sesion 2-la integral doble e iterada

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 1/17

Escuela de IngeMat

La integral doble e iterada

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano

Isaac Newton (

Lic. Montes Ob

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 2/17

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: 

Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 3/17

¿Qué necesitamos recordar?

•Gráfica de regiones.

• Cálculo de integrales simples

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 4/17

Sea : ⊂ ℝ → ℝ 

= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤

El conjunto = * , , … , ⋅  constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … ,  es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … ,  es la partic

cada k-ésimo rectángulo esta dado por:

∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R

 : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición  está dada por:  (∗, ∗)∆∆<< , entonces la ien  se define por:

, = → (∗,  ∗)∆∆ 

 <

<

Donde: (∗, ∗) es el valor de la imagen de la función para cualquier (∗, ∗) ∈ , - ×

= ∆ , = 1 , ⋅  llamada la norma de la partición de la región D.

INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS I

a b

c

d  

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 5/17

Sea : ⊂ ℝ → ℝ 

= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤

El conjunto = * , , … , ⋅  constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … ,  es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … ,  es la partic

cada k-ésimo rectángulo esta dado por:

∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R

 : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición  está dada por:  ( , )∆∆<< , entonces la ien  se define por:

, = →∞ (,  )∆∆

 <

<

Donde: ( , ) es el valor de la función para ( , ) esquina superior derecha en , - ×

∆ =

,

∆ =

INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS II

a b

c

d  

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 6/17

Geométricamente la integral doble es el volumen del sólido definido por la superficie =región cerrada como base.

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 7/17

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 8/17

INTEGRALES DOBLES SOBREREGIONES GENERALES

Sea : ⊂ ℝ → ℝ 

El conjunto = * , , …  constituye una partición de la región cerrada , y desechamos las

están completamente en R, donde , = 1 ,  es el i-ésimo rectángulo en . El área de cada i-ésdado por:  = ∆∆ 

La suma de Rieman de la función : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición  está dada por: <entonces la integral doble de  en  se define por:

, = 

, = → (∗, ∗)∆∆

<

R

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 9/17

Ejemplo:  Determinar aproximadamente (2 −3) , con una partición de

*, , … ,   y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈ ℝℝ / ≥Solución:

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 10/17

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 11/17

Sea  : ⊂ ℝ → ℝ  una función continua sobre el rectángulo = * , ≤ ≤  

CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES POR INTEGRALES ITERADAS(TEOREMA DE FUBINI, 1879-1943)

1° CASO

Las integrales iteradas de  sobre  son:

, = ,

, = ,

Ejemplo 1:

a b

c

d

 X

 Y

Calcular   ,  donde  , = 4 + 8 + 6   y = * ( , ) ∈ ℝ/0 ≤ ≤ 1, 0

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 12/17

Ejemplo 2:

Calcular la integral doble   ,  donde  , =  y = * ( , ) ∈ ℝ/ 0 ≤ ≤ 1 , 0

2° CASO

Sea

 : ⊂ ℝ

→ ℝ una función continua sobre

= * , ∈ ℝ

/ ≤ ≤ () 

b

=  

=  

a

La in tegral iterada de  sobre  es:

, = ,

Ejemplo 3:

Calcular ( + )   en el cuadrilatero del plano xy que tiene

  0,0 , 1, −1 , 2,1 , (1,3).

, : , → ℝ son funciones con ≤ , ∀ ∈

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 13/17

Ejemplo 4:

Calcular (+)  donde es la región limitada por las curvas: = 2, = 4 − , =

3° CASO

Sea

 : ⊂ ℝ

→ ℝ una función continua sobre

= * , ∈ ℝ

/ ≤ ≤ () 

c

d

x=   x=  

, : , → ℝ son funciones continuas tal ≤ , ∀ ∈ , - 

La integral iterada de  sobre  es:

, = ,

Ejemplo 5:

Calcular

 donde

= * ( , ) ∈ ℝ

/0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 4 −

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 14/17

Sea : ⊂ ℝ → ℝ una función continua y definida por  , = 1 , sea la región R de las form

 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Entonces; definimos el área de la región  por:

  = =

  = =

Ejemplo 6:

Hallar el área de la región R limitada por las curvas: =  , = 4 − .

b

=  

=  

ac

d

x=   x=  

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 15/17

Ejercicios: Determinar aproximadamente (3−2+1) , con una partición de la

*, , … ,   y (∗, ∗)  el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈− 2 ≤ ≤ 0 .

Determinar aproximadamente (4 − 9 − ) , con una partición d = * , , … ,   y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈0 ≤ ≤ 2 4 − .

Demuestre que:

, =

,

Demuestre que:

, ± , - =

, ± 

,

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 16/17

Ejercicios:Calcular la integral sobre , si la región D es

0 ≤ ≤  , 0 ≤ ≤ .

Calcular la integral doble , donde R está limitado po

= + 1.Calcular  si R es el dominio limitado por las curvas = 1, Calcular la integral doble (+2) , donde R está limitad

= − , = 0 , = 4 

Calcular la integral doble (2−) , donde R está limitado po

= 4 − .

Se diseña canales con la forma típica de una parábola de una pranchura a. Se desea conocer una fórmula para calcular el área de la seprofundidad d.

Ó Ó Á

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

http://slidepdf.com/reader/full/sesion-2-la-integral-doble-e-iterada 17/17

SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: 

Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.