sin・・cos ななななんんんんてててて見見見たたたくくくなな...

数学が得意になる、たった１つの原理

1 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

ssiinn・・・・・・・・ccooss ななななななななんんんんんんんんてててててててて見見見見見見見見たたたたたたたたくくくくくくくくなななななななないいいいいいいい

tanなんてなんてなんてなんてもっともっともっともっと見見見見たくないたくないたくないたくない

さて今回は sinや cos、いわゆる三角比・三角関数をテーマに解説していきたいと思います。

三角比は僕にとって本当に苦手で怖い存在でした。

どのくらい苦手かというと問題文に sinや cosが含まれているのを見た瞬間に、解くのをあ

きらめるくらい苦手でした。

「「「「ああああーーーーここここのののの問題問題問題問題、、、、sinsinsinsin がががが入入入入ってるからってるからってるからってるから無理無理無理無理。。。。やめたやめたやめたやめた、、、、やめたやめたやめたやめた」」」」

こんな状態だったので sinを使った三角形の面積公式や cosの入ったベクトルの内積なども

すべてあきらめてしまっていました。

sinや cosがわからないと高校数学のほとんどの分野を捨ててしまうことになってしまいま

す。そうなれば、自分ひとりでなんとかするのはとても難しいです。

このこのこのこのレポートレポートレポートレポートではではではでは三角比三角比三角比三角比のののの定義定義定義定義からからからから三角関数三角関数三角関数三角関数のののの定義定義定義定義までまでまでまで一気一気一気一気にににに解説解説解説解説ししししますますますます。。。。

三角比と三角関数を別々に解説している参考書がほとんどなので、このような解説はあま

りないかも知れません。

僕もなるべくわかりやすく解説をしていきますが、今回の内容は簡単なものではないです。

まったくの０の状態から三角関数まで学習するわけですから、最後までついてこれないか

もしれません。

わからない部分は自分で調べるなり、参考書を読むなりして補足するようにしてください。

もちろん質問してくれても OKですよ。

数学が得意になる、たった１つの原理

2 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

三角比三角比三角比三角比のののの定義定義定義定義

さてまずは定義からいってみましょう。

下のような直角三角形がよく教科書や参考書に載ってますよね。

(この文字の置き方を見た時点で「そういうことね」と気付いたら、もうすでに十分に理解

できている証拠だと思いますよ。)

r

y=θsin

r

x=θcos

x

y=θtan

読み方ですが sinは「「「「サインサインサインサイン」」」」、cosは「「「「コサインコサインコサインコサイン」」」」、tan は「「「「タンジェントタンジェントタンジェントタンジェント」」」」と読みます。

僕は友達に sinを思いっきり「シン」といってしまったことがあります…

とりあえず、文字がたくさん出てきているのでわかりやすい言葉に置き換えてみましょう。

★三角比の定義(置き換えた版)

斜辺

高さ=θsin

斜辺

底辺=θcos

底辺

高さ=θtan

文字を消したので、だいぶ見やすくなりましたね。

r

x

y

θ

θ

斜辺

底辺

高さ

数学が得意になる、たった１つの原理

3 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

なにかわからないものが出てきたとき、自分で理解できるものに置き換えて考えるという

習慣は数学に限らず、とても役に立ちます。

・・・・文字文字文字文字をををを日本語日本語日本語日本語にににに置置置置きききき換換換換ええええるるるる

・・・・日本語日本語日本語日本語をををを文字文字文字文字にににに置置置置きききき換換換換えるえるえるえる

・・・・マークシートマークシートマークシートマークシートのののの試験試験試験試験ではではではでは、、、、答答答答えをえをえをえを文字文字文字文字でででで置置置置きききき換換換換えるえるえるえる

などなど

相手相手相手相手のののの土俵土俵土俵土俵でででで勝負勝負勝負勝負をしないでをしないでをしないでをしないで、、、、自分自分自分自分のののの土俵土俵土俵土俵にににに引引引引っっっっ張張張張ってきてってきてってきてってきて勝負勝負勝負勝負するというするというするというするという考考考考ええええはははは大切大切大切大切でででで

すすすす。。。。

自分がわかりやすい形でしっかりと覚えておきましょう。

sin30°°°°=1/2？？？？

ほとんどの場合定義の説明が終わると、こんな表が出てきて「覚えろ～」とか言われます

ね。

あなたが暗記が得意なら、サッと覚えてしまっていいと思います。

ただ、なぜこのなぜこのなぜこのなぜこの表表表表のようなのようなのようなのような結果結果結果結果になるのかになるのかになるのかになるのかはきちんと理解しておく必要があります。

偉そうなことを書きましたが学生の頃はもちろん僕も、三角比のテストのときはこの表を

直前に暗記、もしくは机に書いてました。

そしてテストが始まった瞬間に、問題用紙に書き出してそれを見ながら問題を解いてまし

た。

しかしそんなのは所詮付け焼刃な訳で、学年が上がり三角関数なんかがでてくる頃にはす

っかり忘れてしまっています。sinってなんだっけ？みたいな

覚えろ～

sin

cos

tan

0° 30°45° 60°90°

sin

cos

tan

0° 30°45° 60°90°

数学が得意になる、たった１つの原理

4 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

なので、そんな表よりも下の三角形を覚えておきましょう。

中学校のときから出てきている三角形たちです。メルマガ創刊号でも紹介した三角定規の

形ですね。(ちなみに持ってない場合は、すぐに買ってくださいね。)

出題者出題者出題者出題者はこれらはこれらはこれらはこれらのののの三角形三角形三角形三角形をいろんなをいろんなをいろんなをいろんな形形形形にににに加工加工加工加工してしてしてして問題文問題文問題文問題文にににに埋埋埋埋めめめめ込込込込みますみますみますみます。。。。

なので図形問題図形問題図形問題図形問題のののの大半大半大半大半ににににはこれらのはこれらのはこれらのはこれらの三角形三角形三角形三角形がががが潜潜潜潜んでんでんでんでますますますます。。。。

長さや向きが変わってもすぐにわかるようにしておいてくださいね。

下の三角形は斜辺の長さを１にしたものです。

この三角形がきちんと理解できて、定義を覚えていればもうさっきの表はいらないはずで

す。

1

30° 45°

160° 45°

1

60°

30°

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

1

1√2

30° 45°

1

1

√3

260° 45°

√32

1

60°

30°

数学が得意になる、たった１つの原理

5 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

例題：sin30°,cos30°,tan30°を求めよ。

→30°を見た瞬間、下の三角形が頭に浮かべば OKです。

浮かんだ図を紙に描いて計算してみましょう。

2

130sin ==°

斜辺

高さ

2

330cos ==°

斜辺

底辺

3

1tan30 ==°

斜辺

底辺

---------------------------------------------------

[宿題]次の問題に答えよ。

(１)sin45°,cos45°,tan45°を求めよ。

(２)sin60°,cos60°,tan60°を求めよ。

(３)sin(90°－θ)を cosを使って表せ。

(４)a、bの値を求めよ。

---------------------------------------------------

[解答] (１) (２) (３)略 (４)a=2

37 b=

2

7

7

60°

a

b

1

30°

√3

260°

数学が得意になる、たった１つの原理

6 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

三角比三角比三角比三角比→→→→三角関数三角関数三角関数三角関数

続いて三角関数の解説に入ります。

ここで必ず持っていなければならないイメージがあります。

それは…

・・・・sinsinsinsin はははは「「「「yyyy」」」」

・・・・coscoscoscos はははは「「「「xxxx」」」」

・・・・tantantantan はははは「「「「傾傾傾傾きききき」」」」

抽象的に聞こえますが大切なイメージであり本質です。

「あれ？さっきの三角比の定義と違う？」と感じるかもしれませんが、そのまま読み進め

てください。

読み終わる頃には、三角比の話とつながるはずです。

tanのののの本当本当本当本当のののの姿姿姿姿

突然ですが、あなたは一次関数を知ってますか？

そう、あの直線です。こんなかんじのヤツですね。

こんなことを書くと･･･

「「「「バカバカバカバカにするなよにするなよにするなよにするなよ、、、、そのくらいそのくらいそのくらいそのくらい知知知知ってるよってるよってるよってるよ。。。。中学校中学校中学校中学校のののの範囲範囲範囲範囲だろだろだろだろ」」」」

と思うかもしれませんが念のため復習をしておきます。

x

y

y=ax+b

0

数学が得意になる、たった１つの原理

7 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

★一次関数のグラフ

一般式は baxy += の形で表すことができます。

ちなみに aは傾きでｂは切片といいましたね。

baxy +=

例としてグラフを描いてみましょうか。

例： xy 3=

の変化量

の変化量傾き＝

x

y なので xが１増えるとｙが３増えているので1

3

x

y=

の変化量

の変化量 で３です。

一次関数も奥が深いのでもっと紹介したいのですが、とりあえず解説に戻ります。

xy 3=

yの変化量

xの変化量

数学が得意になる、たった１つの原理

8 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

先ほどの三角形に補助線を引いて座標の上に載せてみましょう。

さらに、ここで底辺を「xの増加量」、高さを「yの増加量」とみると

傾きの増加量

の増加量

底辺

高さ===

xtan

yθ よって 傾き=θtan という関係が成り立ちます。

つまり θtan というのはただただただただ単単単単にににに中学校中学校中学校中学校でででで習習習習ったったったった「「「「傾傾傾傾きききき」」」」だったわけです。

いかにも難しく「タンジェントは…」なんて言ってますが、ただのただのただのただの傾傾傾傾ききききです。

これからは tanがでてきても、「「「「あっあっあっあっ、、、、傾傾傾傾きのことかきのことかきのことかきのことか」」」」と思ってくださいね。

言葉の難しさに惑わされずに、こういう見方ができてくると次のような問題は見ただけで

分かってしまうと思います。

例題： θtan を求めよ。

頭の中にすっと座標軸が見えてくれば合格です。

ここまでで tanのイメージはつかめてもらえたと思います。

続いて sinと cosにいきます。

√3

1

θ

1

1

θ

OOOO

y

x

θ

斜辺高さ

底辺= xの増加量

= yの増加量

数学が得意になる、たった１つの原理

9 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

sinはははは「「「「y」」」」cosはははは「「「「x」」」」

まずは下のような三角形を考えて見ましょう。

斜辺の長さが１の直角三角形です。

このとき、三角比の定義を使って sinと cosを求めて見ましょう。

斜辺の値１を代入してみると…

＝高さ高さ

斜辺

高さ

1sin ==θ よって ＝高さθsin

底辺底辺

斜辺

底辺===

1cosθ よって 底辺=θcos

高さの長さが sinθになり底辺の長さが cosθになっています。

つまり、下のようになります。

ちなみに、このときの tanθはいくつになるかわかりますか？

･････

････

･･･

･･

･

1

θ

1

θ

cosθ

sinθ

数学が得意になる、たった１つの原理

10 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

できましたか？

θ

θθ

cos

sintan = となります。

cosや sinが入っていて変に感じるかもしれないですが、合っています。

公式集にもよく載っています。

また三平方の定理より 1sincos 22=θθ＋ もいえます。

★ 三平方の定理

222 cba =+

222 1sincos =θθ＋

三平方の定理はもちろんですが、

====================

・θ

θθ

cos

sintan =

・ 1sincos 22=θθ＋

====================

この２つの公式もきちんと覚えておいてください。

(もう三角比の定義が理解できているので、公式というより常識になっていると思います。)

c

b

a1

cosθ

sinθ

数学が得意になる、たった１つの原理

11 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

さて、この三角形を再び座標の上に載せます。

座標の値に cosθとか sinθが入って見にくいですが、点 Pのｘ座標が cosθでｙ座標が sin

θになっていることがわかります。

これがさっき

・・・・sinsinsinsin はははは「「「「yyyy」」」」

・・・・coscoscoscos はははは「「「「xxxx」」」」

と話した理由です。

・・・・sinsinsinsin はははは「「「「yyyy 座標座標座標座標」」」」

・・・・coscoscoscos はははは「「「「xxxx 座標座標座標座標」」」」

と思ってくれても良いです。

そろそろ準備が整ってきました。

ここまでくれば三角関数の定義も理解できるとおもいます。

それでは、見ていきましょう。

θ

1sinθ

cosθOOOO

y

x

点P(cosθ, sinθ)

数学が得意になる、たった１つの原理

12 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

三角関数三角関数三角関数三角関数のののの定義定義定義定義

三角関数の定義は以下のようになっています。

=====================================================

単位円 122=+ yx に点(1,0)から正方向にθ回転した点 Pを取る。

このとき、点 Pの座標を(cosθ,sinθ)、OPの傾きを tanθとするのが三角関数の定義です。

=====================================================

どうですか？

言葉が難しくて理解しにくいかもしれません。

単語の解説をしながら一行一行見ていきます。

「単位円 122=+ yx に点(1,0)から正方向にθ回転した点 Pを取る。」

→単位円単位円単位円単位円というのは半径半径半径半径がががが１１１１のののの円円円円のこと。

円の式を習っていない人は 122=+ yx がわかりにくかったかもしれませんが、 122

=+ yx

はこんな図形なんだと分かれば OKです。

122=+ yx

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

θ

y

x

点PPPP(cosθ, sinθ)

直線OPの傾き＝tanθ

1

-1

-1 OOOO

y

x1

中心(0,0)、半径１の円

数学が得意になる、たった１つの原理

13 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

→「正方向にθ回転した点 Pを取る」は少し難しいですね。

数学で正方向正方向正方向正方向にににに回転回転回転回転というのは「「「「反時計回反時計回反時計回反時計回りりりり」」」」のことです。

点(1,0)が回転していく動きをイメージしましょう。θ回転して止まった点をPとします。

このとき、点 Pの座標を(cosθ,sinθ)、OPの傾きを tanθとするのが三角関数の定義です。

→頭の中にこんな図が描ければ合格です。

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

θ

y

x

点PPPP

正方向正方向正方向正方向ににににθθθθ回転回転回転回転

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

θ

y

x

点PPPP(cosθ, sinθ)

直線OPの傾き＝tanθ

数学が得意になる、たった１つの原理

14 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

せっかくなんで、ちょっと遊んでみましょう。

θに数字を入れると点 Pが回転するイメージをつかんでください。

たとえばθに 30°を代入してみます。

点(1,0)が反時計回りに 30°回転していきます。

このとき、きちんと下の三角形が隠れていることに気付くことが大切です。

三角形に気付けば、点 Pの座標はすぐに分かります。

30°

160°

2

1

2

3

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

30°

y

x

1

2

3

2

1

点 P（2

3 ,2

1 ）

1

(1,0)

-1

-1OOOO

30°

y

x

点PPPP(cos30°,sin30°)

数学が得意になる、たった１つの原理

15 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

ちなみに tan30°の値はわかりますか？

傾きを求めようとすると、

2

3

2

1

という形になってしまいますね。

僕は昔この分数の中に分数が入った形が苦手だったのでここで解説をします。

いくつか考え方がありますが、１１１１をかけるをかけるをかけるをかける方法方法方法方法がポピュラーかと思うのでそれを解説しま

す。

2

3

2

1

×１＝

2

3

2

1

×2

2＝

1

2

2

3

1

2

2

1

×

×

＝3

1

STEP1:STEP1:STEP1:STEP1:１１１１をををを2

2とととと見見見見るるるる。。。。

STEP2:STEP2:STEP2:STEP2:２２２２をををを1

2とととと見見見見ることがることがることがることがポイントポイントポイントポイントですですですです。。。。

例題を用意したのでやってみてくださいね。

[例題](１)

2

1

3(分母が分数) (２)

2

2

3

(分子が分数)

30°

160°

2

1

2

3

STEP1

STEP2

数学が得意になる、たった１つの原理

16 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

次はθに 150°を代入してみます。

点(1,0)が反時計回りに 150°回転していきます。

このときも向きが違いますが、下の三角形が隠れていますね。

点 Pの x座標がマイナスの値になっていることに注目してくださいね。

今まで、正の範囲でしか考えていなかったので戸惑うかもしれませんが少しずつ慣れてい

きましょう。

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

150°

y

x

1

30°

160°

2

1

2

3

点 P（2

3−

,2

1 ）

2

1

2

3

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

150°

y

x

点PPPP(cos150°,sin150°)

数学が得意になる、たった１つの原理

17 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

角度が 180°を超えてもやり方は同じです。

１つやってみましょう。

このときは、下の三角形が隠れているのがわかります。

慣れてくれば、図を頭の中で描けるようになるので楽になります。

ぜひ、描けるようになるまで練習をしてくださいね。

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

315°

y

x

点PPPP(cos315°,sin315°)

1

1

45°

45°

2

1

2

1

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

315°

y

x

1

2

1

2

1

点 P（

2

1 ,

2

1−

）

数学が得意になる、たった１つの原理

18 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

練習としてθにいろんな値をガンガン代入して計算をしてみましょう。

0°、45°、120°、240°、360°、420°などなんでもいれてみましょう。

何度か計算すればコツが見えてきます。

そのコツの一つとして対称性対称性対称性対称性やややや周期性周期性周期性周期性があります。

対称性や周期性は本当にいろんなところに潜んでいて、気付くことで一瞬で解答までたど

り着くことができます。僕のなかでは一撃必殺一撃必殺一撃必殺一撃必殺のイメージがあります。

ただ、ある程度まとめて勉強しないと見えてこない部分があるのでいつかレポートにでき

ればいいなぁとは思ってます。

また三角関数の対称性・周期性はグラフを書いてみると、とても分かりやすくなります。

今回は省きますが、自分でぜひ調べてみてくださいね。

OOOO θθθθ

1111

数学が得意になる、たった１つの原理

19 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

最初に書いた通り、今回のレポートの内容は難しかったかもしれませんが、ぜひ何度か読

み返してみてください。きっといろんな発見があるとおもいます。

今回今回今回今回もももも本当本当本当本当のののの基礎基礎基礎基礎とととと呼呼呼呼べるべるべるべる、、、、応用応用応用応用のののの利利利利くくくく知識知識知識知識をををを提供提供提供提供ししししたつもりですたつもりですたつもりですたつもりです。。。。

是非、この知識をもとにいろんな問題を解いてみてください。

知っているだけでは点数・偏差値は決して上がりません。

教わった知識を持って、必ず問題に挑んでください。

解けないときもあるかもしれません。

そのときはそのときはそのときはそのときは、、、、なんでそのなんでそのなんでそのなんでその問題問題問題問題がががが解解解解けなかったのかけなかったのかけなかったのかけなかったのか？？？？

自分自分自分自分にににに足足足足りなかったりなかったりなかったりなかった知識知識知識知識はははは何何何何なのかなのかなのかなのか？？？？

知識知識知識知識があってがあってがあってがあって解解解解けなかったならけなかったならけなかったならけなかったなら、、、、どういうどういうどういうどういう視点視点視点視点がががが足足足足りなかったのかりなかったのかりなかったのかりなかったのか？？？？

これらを意識して勉強すれば成績が上がらないなんてことはないはずです。

数学が得意になる、たった１つの原理

20 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

最後にポイントをまとめておきます。

==================================================

★三角比の定義

==================================================

★確実に理解すべき三角形たち

→これらの三角形は本当に大切です。どんな形で問われても答えられるように

しておきましょう。三角定規は必ず手に入れておいてください。

==================================================

★三角関数

・・・・sinsinsinsin はははは「「「「yyyy」」」」

・・・・coscoscoscos はははは「「「「xxxx」」」」

・・・・tantantantan はははは「「「「傾傾傾傾きききき」」」」

==================================================

斜辺

高さ=θsin

斜辺

底辺=θcos

底辺

高さ=θtan

θ

斜辺

底辺

高さ

1√2

30° 45°

1

1

√3

260° 45°

√32

1

60°

30°

数学が得意になる、たった１つの原理

21 Copyright©2010 Nao Wada. All Rights Reserved.

==================================================

★ 三平方の定理

222 cba =+

222 1sincos =θθ＋

==================================================

★三角比の定理

・θ

θθ

cos

sintan =

→この式がの増加量

の増加量傾き＝

x

y と見えていますか？tantantantan はははは傾傾傾傾ききききでしたねでしたねでしたねでしたね。。。。

・ 1sincos 22=θθ＋

→三平方の定理との関連性を思い出してくださいね。

円の方程式も併せて理解しておきましょう。

==================================================

★三角関数の定義

単位円 122=+ yx に点(1,0)から正方向にθ回転した点 Pを取る。

このとき、点 Pの座標を(cosθ、sinθ)、OPの傾きを tanθと

するのが三角関数の定義です。

→単位円単位円単位円単位円は「半径半径半径半径がががが 1111 のののの円円円円」、正方向正方向正方向正方向というのは「反時計回反時計回反時計回反時計回りりりり」

でした。θに角度を代入することで、点 Pが回転していく

様子を頭の中にしっかり描いてくださいね。

==================================================

c

b

a

1

(1,0)

-1

-1 OOOO

θ

y

x

点PPPP(cosθ, sinθ)

直線OPの傾き＝tanθ

1

cosθ

sinθ