sistem persamaan linier - luk.staff.ugm.ac.id · kuda-kuda dalam bentuk matriks 4 3 34 13 24 3 1...
Post on 07-May-2019
221 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sistem Persamaan LinierDjoko Luknanto
Jurusan Teknik Sipil dan LingkunganFT UGM
23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id) 2
Kuda-kuda dalam bentuk matriks
4
3
3 4
1 3
2 4
3
1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0
tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1
A
A
B
H PV PV P Pp Pp Pp
P4
P3
HA
VA
C
BA
1 2
3
VB
Penyelesaian dalam bentuk matriks
[A]23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id) 3
4
3
3 4
1 3
2 4
3
1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0
tan0 0 2 0 0 0csc0 0 0 1 1 0sec0 0 0 1 1 000 0 0 0 cos 1
A
A
B
H PV PV P Pp Pp Pp
{x}={B}
Eliminasi Gauss
23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id) 4
Baris 1
3/43/4
2/42/4
1/41/4
motivasi
pengurang
hasil
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
23/10/2013 Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id) 5
[A] {x}={B}{x}= ?[A]-1{x}= {B}
Hindari!
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dengan eliminasi Gauss
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 6
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
a a a x ba a a x ba a a x b
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
00 0
a a a x bc c x d
c x d
12 13 1 1
23 2 2
3 3
10 10 0 1
d d x fd x f
x f
1 2
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
1. Dengan menggunakan matriks invers
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 7
11 12 13 1 1 1 1
21 22 23 2 2 2 2
31 32 33 3 3 3 3
atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d
1 11
2 2
3 3
[ ]x bx A bx b
1 11
2 2
3 3
[ ]x cx A cx c
1 11
2 2
3 3
[ ]x dx A dx d
Cara mencari matrik invers Matriks invers sebaiknya dihindari; cara yang
lebih efisien akan dijelaskan kemudian.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 8
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
[ ][ ] { }
1 0 00 1 00 0 1
IA B
a a a ba a a ba a a b
1
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
[ ] [ ]{ }
1 0 00 1 00 0 1
I Ax
c d d dc d d dc d d d
1. Bentuk [A]{B}[I]2. Ubah menjadi
[I]{C}[A]-1
dengan cara• Eliminasi Gauss:
ubah [A][I]maka:1) {B}{C}2) [I][A]-1
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2. Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 9
[ ]{ } { }A x B[ ][ ]{ } { }L T x B
[ ]{ } { }L y B[ ]{ } { }T x y
[ ][ ]L T
{ }y{ }x
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2. Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 10
11 12 13 1 1 1 1
21 22 23 2 2 2 2
31 32 33 3 3 3 3
atau ataua a a x b c da a a x b c da a a x b c d
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ } { }
[ ]
1 0 01 0 0
1 0 0
L T
A
T T T x bL T T x bL L T x b
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 11
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ }
{ } { }
1 0 01 0 0
1 0 0Y
L T
T T T x bL T T x bL L T x b
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
{ } { }
[ ]
1 0 01 0 0
1 0 0
L T
A
T T T x bL T T x bL L T x b
1 1
21 2 2
31 32 3 3
{ }
{ }
1 0 01 0
1Y
L
Y bL Y bL L Y b
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 12
1 2 3 1 1 11 0 0Y Y Y b Y b
21 1 2 3 2 2 2 21 11 0L Y Y Y b Y b L Y
31 1 32 2 3 3 3 3 31 1 32 21L Y L Y Y b Y b L Y L Y
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
00 0
T T T x YT T x Y
T x Y
Dekomposisi [A] = [L][T]
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 13
31 2 33 3 3 3
33
0 0 Yx x T x Y xT
2 23 31 22 2 23 3 2 2
22
0 Y T xx T x T x Y xT
1 12 2 13 311 1 12 2 13 3 1 1
11
Y T x T xT x T x T x Y xT
Matriks Tridiagonal
Dalam dunia ketekniksipilan banyak dijumpai matriks tridiagonal terutama dalam penyelesaian numerik persamaan diferensial.
Matriks tridiagonal A = [aij] jikaaij = 0 untuk |i - j| > 1
Bentuk matriksnya dapat dilihat dalam tayangan berikut
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 14
Matriks Tridiagonal
Matriks yang anggotanya hanya terdapat pada diagonal, bawah dan atas diagonal.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 15
1 1
2 2 2
3 3 2
1 1 1
0 0 00
00 0
0n n n
n n
a cb a c
b a c
b a cb a
Matriks Tridiagonal
A = LU
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 16
1 1
2 2 2
3 3
1
0 10 0 1
01
0 0 0 1n
n n
bb
b
Matriks TridiagonalDengan mengalikan LU = A diperoleh: a1 = 1 dan c1 = 11 ai = i + bii-1 untuk i = 2, 3, …, n ii = ci untuk i = 2, 3, …, n-1dari persamaan di atas diperoleh langkah hitungan berikut ini: 1 = a1 dan 1 = c1/1 i = ai – bii-1 i = ci/i untuk i = 2, 3, …, n n = an – bnn-1Koefisien dan disimpan untuk hitungan-hitungan lanjutan …
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 17
Matriks Tridiagonal
Nilai x dihitung dari [A]{x} = {f} yang diubah menjadi
[LU]{x} = {f}dengan [U]{x} = {z} dan [L]{z} = {f} sehingga {z} dihitung terlebih dahulu baru kemudian {x}:
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 18
1 11
1
2,3,...,i i ii
i
f f b zz z i n
1 1, 2,...,1n n i i i ix z x z x i n n
Matriks Pita
Metoda penyelesaian untuk matriks tridiagonal ini dikenal dengan nama Algoritma Thomas.
Untuk matriks pita yaitu matriks yang anggota bernilai tidak nol berada di sekitar diagonal, maka teknik yang sama dapat dilakukan dan secara umum disebut metoda sapuan ganda.
23/10/2013 Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/) 19
top related