sistemas e sinais (leic) capítulo 10 transformadas de fourierlco/ss-leic-0809/pdf/cap...
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-
Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 –Transformadas de Fourier
Carlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
-
Sinais e Transformadas de Fourier
SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para tempo contínuo a definir)
SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)
SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT (tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)
SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)
-
CTFT
( )
1, ( ) ( )
2
, ( ) ( )
jwt
jwt
x SinaisContínuos tempo C
CTFT x X SinaisContínuos frequência C
t tempo x t X w e dw
w frequências X w x t e dt
O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundos
O domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s
-
Sinais periódicos
0
0
2( ) ( ),
( )jkw t
k
x t p x t wp
x t X e
Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento
em série de Fourier
-
Se o período tender para infinito
0
0
2, 0
( ) ( )jkw t jwt
k
p wp
x t X e X w e dw
-2p -p 0 p 2p
-2w0 -w0 0w0 2w0
-
Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT
-2p -p 0 p 2p
-2w0 -w0 0w0 2w0
-p 0 p
-4w0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 -2w0 -3w0 -4w0
0
0
2, 0, ( ) ( )
jkw t jwt
kp w x t X e X w e dwp
-
Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT
Na CTFT todas as frequências estão representadas.
Os sinais normais terão um espectro da frequência.
Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide.
Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.
Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência.
De um modo geral, o área definida pela CTFT entre duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.
-
Exemplo: CTFT de uma exponencial
0
0
0
, ( )
1( ) ( )
2
( ) 2 ( )
jw t
jw tjwt
t tempo x t e
x t X w e dw e
X w w w
w0
-
Exemplo: CTFT de um coseno
0 0
0
0
0 0
, ( ) cos( )
1( ) ( ) cos( )
2 2
( ) ( ) ( )
jw t jw tjwt
t tempo x t w t
e ex t X w e dw w t
X w w w w w
w0-w0
-
Exemplo: CTFT de um seno
0 0
0
0
0 0
, ( ) sin( )
1( ) ( ) sin( )
2 2
( ) ( ) ( )
jw t jw tjwt
t tempo x t w t
e ex t X w e dw w t
j
X w w w w wj
w0-w0
/ j)
/j)
-
CTFT de sinais reais
Se o sinal é real :
*
*
* *
* *
*
*
*
( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
jwt jwt
jwt j t
j t
jwt jwt
x t x t
x t X w e dw X w e dw w
X w e dw X e d
X e d w
X w e dw X w e dw
X w X w Já era um resultado conhecido
das séries de Fourier
-
Mudança de escala
2
2
2
2
2
( ) (2 )
1 1( ) ( ) 2
2 2
1
2 2
1
2 2
1( )
2 2
jwt jw t
j t
jwt
y t x t
Y w e dw X w e dw w
X e d w
wX e dw
wY W X
-
Linearidade
1 2
1 2( ) ( ) ( )
y ax bx
Y w aX w bX w
-
Reverse …
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
jwt jwt
jwt jut jut
y t x t
y t x t X w e dw Y w e dw
u w
Y w e dw X u e du X u e du
Y w X w
-
Delta no domínio do tempo
0
0( ) ( ) ( )
e se ( ) ( )?
( ) ( ) 1
jw t
jwt
x t e X w w w
x t t
X w x t e dt
O delta de Dirac tem todas as frequências. Se
pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt)
e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.
-
Delta de Dirac como entrada
Como o delta de Dirac representa todas as frequências, quando se excita um sistema com um delta de Dirac obtem-se toda a informação sobre o sistema uma vez que o excitámos com todas as frequências.
-
Sinais Periódicos
Relação entre a transformada de Fourier e a Série de Fourier
0
0
0
( ) ( ) 2 ( )
( ) 2
jkw t
k k
k k
k
x t X e X w X w kw
X kw X
pt
w0w
2w0 3w00-w0
-
Exemplo
(1 )
0 0
(1 )
0
0 0( )
1 0
( ) ( )
( ) ( )
1 1
(1 ) 1
t
t jwt t jwt jw t
jw t
tu t
t
y t e u t
Y w e u t e dt e e dt e dt
ejw jw
-
Exemplo
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
1
tz t y t e u t
Z w Y wjw
Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a
Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w)
-
Soma das duas …
'
'
2
( ) ( ) ( )
1 1 (1 ) (1 )( ) ( ) ( )
1 1 (1 )(1 )
2
1
tz t e y t y t
jw jwZ w Y w Y w
jw jw jw jw
w
-
Resposta Impulsiva e Resposta em Frequência
( ) ( ) ?
( ) ( * )( ) ( ) ( )
( )
( )
jwt
jwt
h t H w
y t h x t h s x t s ds
x t e
H w e ( )( ) jw t sh s e ds
A Resposta em Frequência é a Tranformada de Fourier da Resposta Impulsiva.
-
Exemplo
Calcular a resposta impulsiva de
( ) ( ) ( )
sabendo que a resposta em frequência é
1( )
1
Resposta:
1Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de ( )
1
é ( ) ( )t
y t y t x t
H wjw
H wjw
h t e u t
-
Exemplo
Calcular a resposta impulsiva de
( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )y t y t y t x t
-
Calculando a RF
2
Resposta:
( ) ?
( )( ) jwt
H w
H w jw e 3 ( ) jwtH w jw e 2 ( ) jwtH w e jwte
2
1 1( )
( ) 3 2 (2 )(1 )H w
jw jw jw jw
-
Factorizando …
(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado
em dois termos (ver apêndice B)).
1( )
2 1 (2 )(1 )
(1 ) (2 ) 1 2 1
2 1 0 1; 1
1 1( )
1 2
A BH w
jw jw jw jw
A jw B jw A Ajw B Bjw
A B A B A B B A
H wjw jw
-
TF inversa …
2
Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de
1 1( )
1 2
é
( ) ( )t t
H wjw jw
h t e e u t
-
Nota
Quando se resolvem equações diferenciais sabemos que somos conduzidos a uma resposta livre, a uma resposta forçada, etc.
Este método permite resolver qualquer equação diferencial desde que se saibam factorizar polinómios, decompor em fracções parciais e fazer a convolução
-
Mais simetria
1( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
Mudanças de variável:
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 ( )
jwt jwt
jsu jsw
jwt
x t X w e dw x t X w e dw
x u X s e ds x w X s e ds
x w X t e dt
x t X w X t x w
-
Exemplos
-a a
/ax(t)
X(w)=?
-
Exemplo
( ) ( ) ( )
1 1 2 2sin( )
2
a a
jwt jwt jwt
a a
a
jwa jwaa
jwt jwa jwa
a
X w x t e dt x t e dt e dta
e ee e e aw
a jw a jw aw j aw
-
Exemplo
sin( )( ) 2
awX w
aw
2
waw=
w= /a
aw= 2
w= 2 /a
aw= -
w= - /a
aw= -2
w= 2 /aw= 0
-
Exemplo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
>> a=10;
>> w=-pi:pi/1000:pi;
>> X=2*pi/a./w.*(sin(a*w));
Warning: Divide by zero.
>> plot (w,X)
sin( )( ) 2 2 sinc
sin( )Nota: sinc( )
aw aX w w
aw
xx
x
-
Função sinc
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
>> %% a função sinc(x) retorna
(sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico
pode ser obtido por:
>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w))
sin( )( ) 2 2 sinc
sin( )Nota: sinc( )
aw aX w w
aw
xx
x
-
Analogamente
-a a
/ax(t)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
X(w)
Se considerarmos que um sistema tem como resposta
impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seria
x(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que
um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real
É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados
de um ficheiro já seria possível)
-
Aproximação usando Delay
-a a
/ax(w) X(w)
Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da
resposta impulsiva para t
-
Exemplo
1 3( )
1 1 2
jwH w
jw jw
Qual a amplitude e fase ?
-
Amplitude e fase
2
2 2
1 3( )
1 1 2
1 9( )
1 1 4
( ) (3 ) ( ) (2 )
jwH w
jw jw
wH w
w w
H w arctg w arctg w arctg w
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16-1.5
-1
-0.5
0
-
Qual a equação diferencial que descreve o sistema ?
2
1 3 1 3( )
1 1 2 1 3 2
2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )
jw jwH w
jw jw jw w
y t y t y t x t x t
-
E a resposta impulsiva ?
2
1 3( )
1 1 2 1 1 2
1 2 1 1 3
2 1 3
1 1
2 3 2 1 3 2; 1
1( )
1( ) 2 ( )
2
t
t
jw A BH w
jw jw jw jw
A jw B jw jw
A B A B jw jw
A B B A
A B A A A B
wcomo x at X
a a
h t e e u t
-
E a resposta a um degrau ?
2
0
1 0( )
0 0
1( ) 2 ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
t
tx t
t
h t e e u t
y t h s x t s ds h s ds
Como era de esperar uma vez que o degrau
corresponde ao integral de um impulso. Aplicando o
integral da entrada obtemos o integral da saída, uma
vez que o sistema é linear.
-
Exemplo simetria
Cálculo de integrais que não se saberia calcular
( ) ( )
1( )
1
1( )
1
( ) 2 ( )
12 ( )
1
t
w
jwt w
x t e u t
X wjw
se
x tjt
X w e u w
e dt e u wjt
-
Mais exemplos de simetria
Produto de sinais
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )
x y t X w Y w
x t y t X Y w
-
DTFT
2
2
2
0
: SinaisDiscretos SinaisContínuosPeriódicos
: SinaisContínuosPeriódicos SinaisDiscretos
( ) ( )
R, ( ) ( )
1, ( ) ( )
2
jwn
jwn
DTFT
InvDTFT
n x n w X w
w X w x n e
t N x n X w e dw
-
Exemplo
43
0
1( ) ( )
1
jwjwn jwn
jwn n
eX w x n e e
e
0
1
x(n)
-
Módulo
81( )
1
jw
jw
eX w
e0
1x(n)
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
4
6
w
|X(w
)|
A DTFT tem periodicidade 2pi
-
DTFT e Série de Fourier
0
0
( 2 )
( ) ( )
( 2 ) ( ) ( )
A DTFT é portanto periódica. Se é periódica
pode ser representada por uma série de Fourier:
( )
( )
jwn
n
j w n
n
jkw t
k
k
jkw w jkw
k k
k k
X w x n e
X w x n e X w
x t X e
X w e e
( )
Por isso, se calcularmos os coeficientes da série
de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal
pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem
à DTFT a menos de uma inversão no tempo.
k x k
-
DFT
0
0
2
2
1'
0
1'
0
: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretosPeriódicos
: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretos
, ( )
1, ( )
pjnw k
n
k
pjkw n
k
k
DFT
InvDFT
n X x k e
n x n X ep
-
Exemplo
43
0
1( ) ( )
1
jwjwn jwn
jwn n
eX w x n e e
e
0
1x(n) periódico8
p
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