傳輸線原理與smith chart

一、傳輸線原理與 Smith Chart

場論分析與基本電路學之間的間隙，可藉由傳輸線原理銜接起來。因此，在微波網路的

分析中，傳輸線原理扮演著非常重要的角色。

1.1 傳輸線的電路模型及參數

傳輸線通常皆以兩條等長的導線表示，如圖 1.1a。圖中一小段長度為 ∆z 的傳輸線，可用圖 1.1b的集總元件電路模型描述，圖中的 R，L，G，C為傳輸線每單位長度的物理量，其定義為：

R ＝ 兩個導體中每單位長度的串聯電阻，單位是 Ω/m。 L ＝ 兩個導體中每單位長度的串聯電感，單位是 Η/m。 G ＝ 每單位長度的並聯電導，單位是 S/m。 C ＝ 每單位長度的並聯電容，單位是 F/m。

∆

+

-∆ ∆

∆ ∆+

-

( , )

( , )

∆

+

-

(a) (b)

圖 1.1 一段微量長度傳輸線的等效電路與其電壓、電流的定義。（a）電壓與電流的定義。（b）集總等效電路。

在圖 1.1b的電路中，由柯希荷夫電壓（KVL）及電流定律（KCL）可得：

( + , )∆

∆( + , )

)b1.1(0),(),(),(),(

)a1.1(0),(),(),(),(

=∆+−∂

∂∆−∆−

=∆+−∂

∂∆−∆−

tzzit

tzvzCtzzvGtzi

tzzvt

tzizLtzziRtzv

1

將（1.1a）與（1.1b）除以 ∆z，並取 ∆z → 0的極限，可得：

)b2.1(),(),(),(

)a2.1(),(),(),(

ttzvCtzGv

ztzi

ttziLtzRi

ztzv

∂∂

−−=∂

∂∂

∂−−=

∂∂

此兩式為時域的傳輸線方程式，或稱為電報方程式（Telegrapher equation）。 在弦式穩態（sinusoidal steady state）時，以 cos為表示電磁物理量相量的基準，（1.2）可

化簡為

)b3.1()()()(

)a3.1()()()(

zVCjGdz

zdI

zILjRdz

zdV

ω

ω

+−=

+−=

傳輸線上的電波傳播

由（1.3a）與（1.3b）兩式，可解出傳輸線上電壓 V(z) 與電流 I(z) 的波動方程式：

)b4.1(0)()(

)a4.1(0)()(

22

2

22

2

=−

=−

zIdz

zId

zVdz

zVd

γ

γ

其中 ))(( CjGLjRj ωωβαγ ++=+= 是與頻率有關的複傳播常數（complex propagation

constant），α 稱為衰減常數（attenuation constant），β 稱為相位常數（phase constant）。（1.4）的行進波（traveling wave）解為

)b5.1()(

)a5.1()(

zo

zo

zo

zo

eIeIzI

eVeVzV

γγ

γγ

+−−+

+−−+

+=

+=

其中 項表示波往 +z方向傳播， 項表示波往 –z 方向傳播。將（1.3a）代入（1.5a）的電壓波（voltage wave），可得傳輸線上的電流波（current wave）：

ze γ− ze γ+

[ ]zo

zo eVeVLjRzI γγ

γω +−−+ −

+=)(

2

將此式與（1.5b）比較，可得傳輸線的特性阻抗（characteristic impedance）Zo為

)6.1(CjGLjRLjRZo ω

ωγ

ω++

=+

=

特性阻抗 Zo建立了傳輸線上電壓與電流的關係如下：

)7.1(−

−

+

+

−==o

oo

o

o

IVZ

IV

無損傳輸線

在許多實際的情況，傳輸線的損耗性都很低，甚至可以忽略不計，上述的公式就可進一步簡化。令（1.3）中的 R = G = 0，則傳播常數

LCjj ωβαγ =+= ,

或 LCωβ = (1.8a)

α = 0 (1.8b) 正如預期，無損傳輸線的衰減常數為零。（1.6）中的特性阻抗可化簡為

)9.1(CLZo =

為一實數。所以，無損傳輸線上的電壓波與電流波的數學式為

)b10.1()(

)a10.1()(

zj

o

ozj

o

o

zjo

zjo

eZVe

ZVzI

eVeVzV

ββ

ββ

+−

−+

+−−+

−=

+=

波長及相位速度分別為

)b11.1(1

)a11.1(22

LCv

LC

p ==

==

βω

ωπ

βπλ

3

結論：任何傳輸線最重要的有兩個參數，就是相位常數 β 以及特性阻抗 Zo。這兩個參數

會隨著傳輸線的使用頻段、結構、材質改變而不同，大部分傳輸線的傳播常數、特性阻抗、

及衰減常數，其實都是用場論分析得來的，這仍是許多學術研究者努力的重點。請參考 Guru的表 9.1，該表列出同軸線、雙金屬導線、平行導電板三種傳輸線的參數。

1.2 有載的無損傳輸線

圖 1.2 末端負載為阻抗 ZL的傳輸線

圖 1.2所示為一無損的傳輸線，其終端接到一個阻抗為 ZL 的負載。假設由 z < 0處的波源所產生的入射波為 Vo

＋e-jβz。已知行進波的電壓與電流之比值為特性阻抗 Zo。在負載端，

電壓與電流的比值必為 ZL ≠ Zo。所以，在傳輸線的負載端必產生反射波，才能同時滿足這

兩個條件。傳輸線上的總電壓與總電流，均可寫成入射波與反射波的和，如（1.10）所示。在 z = 0處，負載上的總電壓與總電流的關係為

-

+

-

+

= 0= -

( )

( )

)12.1()0()0(

−+

−+

−+

==oo

oooL VV

VVZIVZ

將 Vo

− 解出，可得

)13.1(+−

+−

= ooL

oLo V

ZZZZV

反射電壓波振幅與入射電壓波振幅的比值，稱為反射係數 Γ（reflection coefficient）：

)14.1(oL

oL

o

o

ZZZZ

VV

+−

==Γ +

−

當傳輸線的負載沒有完全匹配時，負載端無法接收到從信號源送出的全部功率。損失的部分稱為反射損失（return loss, RL），其定義（用 dB）為 RL = −20 log |Γ| (1.15)

4

故匹配負載（Γ = 0）的反射損失為無限大 dB（沒有反射的功率）；反之，造成全反射（|Γ| = 1）的負載，其反射損失為 0dB（所有的入射功率均被反射回去）。 若負載與傳輸線匹配，反射係數為零，線上電壓波的振幅大小 |V(z)| = |Vo

+| 為定值，不會隨 z位置不同而改變。如果負載不匹配，反射波加上入射波，在傳輸線上形成駐波（standing wave），線上的電壓波振幅大小就不再是定值，此時電壓波會有週期性的高低起伏，最高的電壓為 Vmax，最低電壓為 Vmin。所以，另有一個指標也可用以描述負載匹配的程度，稱為駐波

比（standing wave ratio, SWR），定義為 Vmax與 Vmin的比值。我們可以證明

( )( ) )16.1(

11

11

SWRmin

max

Γ−

Γ+=

Γ−

Γ+== +

+

o

o

VV

VV

從（1.16）可看出，SWR為一實數，並且 1≦SWR≦∞，當 SWR = 1（0dB）時，表示負載完全匹配。 由（1.14），反射係數的定義是：負載端的反射波對入射波電壓的比值。其實反射係數的觀念也可用在傳輸線上任何一點。由（1.10a），在 l−=z 處，反射波與入射波的電壓比為

)17.1()0()()()( 2 l

l

ll βj

o

o eVV −

+

−

Γ=−−

=−Γ

式中的 Γ(0) 就是 z = 0 處的反射係數，請參考（1.14）。 在負載未匹配的傳輸線上，電壓會上下起伏，電流也是如此。因此，在傳輸線上任一點看進去的輸入阻抗，也應該會隨位置改變。利用（1.10）的 V(z) 與 I(z)，在距離負載 l−=z處，往負載方向看進去的輸入阻抗為

)18.1(11

)()()( 2

2

l

l

ll

ll

l

ll β

β

ββ

ββ

j

j

ojo

jo

jo

jo

oin eeZ

eVeVeVeVZ

IVZ −

−

−−+

−−+

Γ−Γ+

=−+

=−−

=−

將（1.14）的 Γ 代入（1.18），可得到更有用的公式：

( ) ( )( ) ( ) )19.1(

tantan)(

l

ll

ll

ll

ββ

ββ

ββ

Lo

oLoj

oLj

oL

joL

joL

oin jZZjZZZ

eZZeZZeZZeZZZZ

++

=−−+−++

=− −+

−+

無損傳輸線所接的負載，有時會是一些特殊的負載，所以先討論這些負載情形及其特性。若負載短路，ZL = 0，由（1.14）知其反射係數為 Γ = –1；由（1.16）知其 SWR為無限大。很明顯，負載端的電壓 V = 0，而其電流卻為極大值。由（1.19），

)20.1(tan)( ll βoin jZZ =−

5

對任意的 值，此輸入阻抗均為純虛數，其值可能由l ∞− j 變化到 ∞+ j 。例如，當 = 0，Zl in = 0；若 =λ/4，則 Zl in = （開路）。（1.20）也同時指出，輸入阻抗為週期函數，其週期為 λ/2。若負載為開路（open circuit），Z

∞

l

L = ∞。我們可證明其反射係數為 Γ = 1，其 SWR值也是無限大，在任意位置 ，其輸入阻抗為 −=z

)21.1(cot)( ll βoin jZZ −=−

對任意的 值，Zl in 值也必為純虛數。同理，若 = λ/2，β = π，由（1.19）得 l l

Zin = ZL (1.22) 也就是說，從距離負載半波長（或其整數倍）處看進去的輸入阻抗，就是負載的阻抗，不論

傳輸線的特性阻抗為何。 1.3 Smith Chart 圖 1.3就是 Smith Chart（史密斯圖）。它不但是今日許多 CAD軟體及微波設計儀器的不

可或缺的部分，也是探討傳輸線上種種電波現象極為有用的工具。 史密斯圖只是電壓反射係數 Γ 的極座標圖。令反射係數 Γ = |Γ|ejθ，其大小 |Γ|，就是 Γ 點到圓心的距離（|Γ|≦1），相位角 θ（-180o≦ θ ≦180o）則是以圓心右側的橫軸為零度，逆

時針計算到 Γ 點的角度。任何 |Γ|≦1的反射係數，均可在史密斯圖上找到唯一對應的一點。以｜Γ｜定值所畫的圓，成為定｜Γ｜圓（constant-|Γ| circle），請參考圖 1.4。 利用史密斯圖上相關於阻抗（或導納）的圓，就能將反射係數與正規化（normalized）的阻抗（或導納）值，彼此互相轉換，這就是史密斯圖的實際用途。利用該圖處理阻抗時，都

是用正規化的阻抗值，通常以小寫的英文字母表示。通常用以正規化的常數，就是傳輸線的

特性阻抗 Zo，例如，z = Z/Zo 即為阻抗 Z的正規化值。 若無損傳輸線的特性阻抗為 Zo，負載為 ZL，由（1.14）知，在負載端的反射係數為

)23.1(11 θj

L

L

oL

oL ezz

ZZZZ

Γ=+−

=+−

=Γ

其中 zL = ZL/Zo為負載的正規化阻抗。將 zL 以 Γ 表示：

)24.1(11

11

θ

θ

j

j

L ee

zΓ−Γ+

=Γ−Γ+

=

將 Γ 與 zL 分別分解為實部與虛部，則此複數等式可化為兩實數的等式。令 Γ ＝ Γr + jΓi， zL = rL + jxL，則兩個複變數之間的關係如下：

6

)b25.1()1(

2

)a25.1()1(

1

22

22

22

ir

iL

ir

irL

x

r

Γ+Γ−Γ

=

Γ+Γ−Γ−Γ−

=

圖 1.3 Smith Chart（史密斯圖）

7

重新整理（1.25）可得

( ) )b26.1(111

)a26.1(1

11

222

22

2

=

−Γ+−Γ

+

=Γ+

+

−Γ

LLir

Li

L

Lr

xx

rrr

顯然，此兩式在 Γr， Γi平面上為兩族不同半徑的圓：定電阻圓（constant-r circle）由（1.26a）定義，而定電抗圓（constant-x circle）由（1.26b）定義，請參考圖 1.4。舉例而言，rL = 1的圓，圓心位於 Γr = 0.5，Γi = 0；其半徑為 0.5，所以它會經過史密斯圖的中心點。所有由（1.26a）定義的定電阻圓的圓心，都會落在 Γi ＝ 0 的水平軸上，並通過史密斯圖右側 Γ = 1 的點；所有定電抗圓的圓心，都在 Γr = 1軸上（在史密斯圖之外），並且每一個圓也都通過 Γ = 1點。每一個定電阻圓與每一個定電抗圓均彼此正交。

我們也可利用史密斯圖，以圖解方式求（1.19）的傳輸線輸入阻抗。由（1.18）知

)27.1(11)( 2

2

l

l

l β

β

j

j

oin eeZZ −

−

Γ−Γ+

=−

其中 Γ 為負載端的反射係數， l為傳輸線的長度（正數）。不難看出（1.27）與（1.24）相當類似，兩者的差別僅在於 Γ 的相位項。因此，在史密斯圖上點出負載端的反射係數 |Γ|ejθ，

若終端負載為 zL，則在 處的輸入阻抗，就是從該點（|Γ|el−=z jθ）開始，以順時針方向，半

徑不變，繞圓心轉 2β 角度後，所到達的點（角度為 θ – 2β ）。半徑不變的原因，是因為若負載沒有改變，沿著傳輸線移動，反射係數的大小（絕對值）也不會有所改變。

l l

為方便上述各種繞著圓心轉動的需要，在史密斯圖的週邊，附有「遠離」與「前往」波源的電氣長度（也就是實際長度或距離除以波長的值）座標，「遠離」與「前往」波源的方向，

分別與「前往」與「遠離」負載方向同義。這些電氣長度的座標是都相對值，只有在考慮史

密斯圖上兩點之間的電氣長度或距離時才有意義。 請注意：繞史密斯圖一圈僅有 0.5 個波長；也就是說，傳輸線上的反射係數與輸入阻抗為週期函數，其週期就是半波長。一段 λ/2（或其整數倍）的傳輸線，相當於在史密斯圖上繞圓心轉 2β = 2π，恰好繞回原處。這也說明：距離負載端半波長處，所看到的輸入阻抗就等於負載阻抗，不會有任何改變。我們用下面的實例，說明如何使用史密斯圖，分析各種傳

輸線的問題。

l

8

0.25

0.250.26

0.24

0.28

0.22

0.300.20

0.32

0.18

0.34

0.16

0.36

0.140.38

0.12

0.40

0.10

0.420.08

0.44

0.06

0.460.

04

0.48

0.00

0.00

0.48

0.04

0.46

0.06

0.44

0.08

0.42

0.10

0.40 0.12

0.38

0.14

0.36

0.16

0.34

0.180.32

0.20 0.30

0.22 0.280.24

0.2618

0-1

70

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-2020

30

40

50

60

70

8090

100

110

120

130

140

150

160

170

-

r = 0

.1

x = -0.1

x =

-1

x = -2

x = -5

x = 5

x = 2

x =

1

x = 0.5

x = 0.1

r = 0

.5

r = 1

.0

r = 2

.0

r = 5

.0

x = -0

.5

Constant-r circlesConstant-x circles

圖 1.4

| |=0.2Γ

| |=0.5Γ

| |=0.8Γ

| |=1Γ

Constant- circlesΓ

9

實例 1.1 史密斯圖的基本功能與使用 一段長為 0.3λ ，特性阻抗為50Ω的傳輸線，負載為 130＋j90Ω。求負載端的反射係數、輸入端的反射係數與輸入阻抗。 解：

z =(2.6,1.8)L

Γ

z =(0.255,0.117)

負載的正規化阻抗為 zL ＝ 2.60 + j1.80。 將此點記在史密斯圖上，如上圖所示。用圓規定出圓心與 zL的距離，可讀得 |Γ| = 0.6。 由圓心經過 zL畫一條射線，從圓週的角度座標，可讀得負載端反射係數的相位角為 21.8o。 先用前往波源（WTG或順時針方向）的座標，讀出負載的參考位置為 0.220λ，再沿著傳輸線往波源方向（WTG）轉 0.3λ，到達 0.520λ，相當於 0.020λ 的位置。由圓心經過此點畫一條射線，會與定 |Γ| 值圓相交於 zin = 0.255 + j0.117，所以輸入阻抗為 Zin = zin×Zo = 12.7 + j5.8 Ω。請注意：輸入端的反射係數大小仍然為 |Γ| = 0.6，由射線與圓周的交點，可讀出其相位角為 165.8o。

10

實例 1.2 史密斯圖的基本功能與使用 試利用 Smith chart 求出下面兩電路的輸入阻抗 Zin1及 Zin2。L = 7.958 nH, C = 4.8pF, R = 100Ω，f = 2 GHz，Zo = 50Ω。 解：先求出各元件的正規化阻抗值：

3316.050108.41022

1

00.250

10958.71022

250

100

129

99

jj

z

jjz

r

C

L

−=×××××

=

=××××

=

==

−

−

π

π

(1) (2,0)

(2) (1.15,-0.73)

(3) (1.15,-1.06)

(1) (2,0)

(2) (2,2)

(3) (0.63,-1.42)

Const-| | circleΓ Const-| | circleΓ

Const-r circle (r = 1.15)

Const-r circle (r = 2)

Zin2in1Z

(a) (b)

11

= 50o= 30o

(a) (b)

阻抗與導納合併的史密斯圖

史密斯圖也可用以處理導納的計算，其方式與處理正規化阻抗值的方式相同，甚至也能用作阻抗與導納彼此間的轉換。從數學上看，

11

11

11

+−

−=+−

=+−

=Γyy

yy

zz

也就是說，在圖上某一點（正規化阻抗值） z = r + jx 所對應的（正規化）導納 y = g + jb 就是該點繞圓心旋轉 180o之所得。換句話說，阻抗（或導納）點之圓心對稱點，即為其相對應

的導納（或阻抗）點，所以史密斯圖可以同時用於阻抗與導納的計算。 在解題的過程中，該圖可以隨時依需要，當成是阻抗圖或導納圖。不過，從阻抗到導納，

或從導納到阻抗，每一次的轉換，都必須將圖轉 180o。為了避免轉來轉去，可以只用一張圖，

上面除了印一般的史密斯圖之外，也重疊印上轉過 180o的史密斯圖，如圖 1.5 所示。這樣的圖通常稱為阻抗與導納合併史密斯圖，圖中每一點有一個 |Γ| 值，Z-chart 讀到的值就是 z，由 Y-chart讀到的值即為 y，且 yz = 1。

圖 1.5 YZ-chart

12

實例 1.3 導納史密斯圖的運算 50Ω 的傳輸線之負載為 ZL = 100 + j50Ω。如果傳輸線長 0.15λ，負載的導納與其傳輸線的輸入導納為何？ 解：三種方法如下： (1) 負載的正規化阻抗為 zL = 2 + j1。先使用標準史密斯圖，當成 Z-chart。在圖上點出 zL的位

置，再畫出定 |Γ| 圓。沿著定 |Γ| 圓走 0.15λ（108o），所得之點即為 zin，再取其圓心的對

稱點，即為輸入導納 yin，求 Yin 的公式為 Yin = yinYo = yin/Zo。 (2) 由 zL點沿著定 |Γ| 圓走 λ/4（或者直接延長從 zL到圓心的連線，與定 |Γ| 圓相交的點），即得導納值 yL。將此圖當成導納圖，在 yL 點依順時鐘方向轉 0.15λ，即得 yin。

(3) 以如圖 1.5 的阻抗導納合併圖分析此問題。圖中阻抗與導納的轉換非常簡單，只要在同一點讀出適當的座標就可以了。先在阻抗座標上點出 zL，在該點可同時讀得導納值為 0.4 – j0.2，實際的導納值為 YL＝yLYo = yL/Zo = 0.0080 – j0.0040 S。在圓周的WTG座標上，負載導納的參考位置為 0.214λ，依順時鐘方向轉 0.15λ，得 0.364λ。由圓心畫一條到圓周 0.364λ位置的直線，會與定 |Γ| 圓交於一點，此點的正規化導納值為 yin = 0.60 + j0.66，所以 Yin = 0.0122 + j0.0132 S。

(1)(2,1)

(2)(0.75,-0.83)

(1)(2,1)

（1）第一種方法求導納

(3)(0.60,0.66)

13

(1)(2,1)

（2）以第二種方法求導納

(2)(0.4,-0.2)

(3)(0.60,0.66)

(2,y-chart)(0.4,-0.2)

(3,y-chart)(0.60,-0.66)

（3）以第三種方法求導納

(1,zchart)(2,1)

14

練習題：導納史密斯圖的運算 50Ω 的傳輸線之負載如下圖所示，若頻率為 1GHz，試利用 YZ-chart求算負載之阻抗。

15