傳輸線原理與smith chart
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一、傳輸線原理與 Smith Chart
場論分析與基本電路學之間的間隙，可藉由傳輸線原理銜接起來。因此，在微波網路的
分析中，傳輸線原理扮演著非常重要的角色。
1.1 傳輸線的電路模型及參數
傳輸線通常皆以兩條等長的導線表示，如圖 1.1a。圖中一小段長度為 ∆z 的傳輸線，可用圖 1.1b的集總元件電路模型描述，圖中的 R，L，G，C為傳輸線每單位長度的物理量，其定義為：
R ＝ 兩個導體中每單位長度的串聯電阻，單位是 Ω/m。 L ＝ 兩個導體中每單位長度的串聯電感，單位是 Η/m。 G ＝ 每單位長度的並聯電導，單位是 S/m。 C ＝ 每單位長度的並聯電容，單位是 F/m。
∆
+
-∆ ∆
∆ ∆+
-
( , )
( , )
∆
+
-
(a) (b)
圖 1.1 一段微量長度傳輸線的等效電路與其電壓、電流的定義。（a）電壓與電流的定義。（b）集總等效電路。
在圖 1.1b的電路中，由柯希荷夫電壓（KVL）及電流定律（KCL）可得：
( + , )∆
∆( + , )
)b1.1(0),(),(),(),(
)a1.1(0),(),(),(),(
=∆+−∂
∂∆−∆−
=∆+−∂
∂∆−∆−
tzzit
tzvzCtzzvGtzi
tzzvt
tzizLtzziRtzv
1
將（1.1a）與（1.1b）除以 ∆z，並取 ∆z → 0的極限，可得：
)b2.1(),(),(),(
)a2.1(),(),(),(
ttzvCtzGv
ztzi
ttziLtzRi
ztzv
∂∂
−−=∂
∂∂
∂−−=
∂∂
此兩式為時域的傳輸線方程式，或稱為電報方程式（Telegrapher equation）。 在弦式穩態（sinusoidal steady state）時，以 cos為表示電磁物理量相量的基準，（1.2）可
化簡為
)b3.1()()()(
)a3.1()()()(
zVCjGdz
zdI
zILjRdz
zdV
ω
ω
+−=
+−=
傳輸線上的電波傳播
由（1.3a）與（1.3b）兩式，可解出傳輸線上電壓 V(z) 與電流 I(z) 的波動方程式：
)b4.1(0)()(
)a4.1(0)()(
22
2
22
2
=−
=−
zIdz
zId
zVdz
zVd
γ
γ
其中 ))(( CjGLjRj ωωβαγ ++=+= 是與頻率有關的複傳播常數（complex propagation
constant），α 稱為衰減常數（attenuation constant），β 稱為相位常數（phase constant）。（1.4）的行進波（traveling wave）解為
)b5.1()(
)a5.1()(
zo
zo
zo
zo
eIeIzI
eVeVzV
γγ
γγ
+−−+
+−−+
+=
+=
其中 項表示波往 +z方向傳播， 項表示波往 –z 方向傳播。將（1.3a）代入（1.5a）的電壓波（voltage wave），可得傳輸線上的電流波（current wave）：
ze γ− ze γ+
[ ]zo
zo eVeVLjRzI γγ
γω +−−+ −
+=)(
2
將此式與（1.5b）比較，可得傳輸線的特性阻抗（characteristic impedance）Zo為
)6.1(CjGLjRLjRZo ω
ωγ
ω++
=+
=
特性阻抗 Zo建立了傳輸線上電壓與電流的關係如下：
)7.1(−
−
+
+
−==o
oo
o
o
IVZ
IV
無損傳輸線
在許多實際的情況，傳輸線的損耗性都很低，甚至可以忽略不計，上述的公式就可進一步簡化。令（1.3）中的 R = G = 0，則傳播常數
LCjj ωβαγ =+= ,
或 LCωβ = (1.8a)
α = 0 (1.8b) 正如預期，無損傳輸線的衰減常數為零。（1.6）中的特性阻抗可化簡為
)9.1(CLZo =
為一實數。所以，無損傳輸線上的電壓波與電流波的數學式為
)b10.1()(
)a10.1()(
zj
o
ozj
o
o
zjo
zjo
eZVe
ZVzI
eVeVzV
ββ
ββ
+−
−+
+−−+
−=
+=
波長及相位速度分別為
)b11.1(1
)a11.1(22
LCv
LC
p ==
==
βω
ωπ
βπλ
3
結論：任何傳輸線最重要的有兩個參數，就是相位常數 β 以及特性阻抗 Zo。這兩個參數
會隨著傳輸線的使用頻段、結構、材質改變而不同，大部分傳輸線的傳播常數、特性阻抗、
及衰減常數，其實都是用場論分析得來的，這仍是許多學術研究者努力的重點。請參考 Guru的表 9.1，該表列出同軸線、雙金屬導線、平行導電板三種傳輸線的參數。
1.2 有載的無損傳輸線
圖 1.2 末端負載為阻抗 ZL的傳輸線
圖 1.2所示為一無損的傳輸線，其終端接到一個阻抗為 ZL 的負載。假設由 z < 0處的波源所產生的入射波為 Vo
＋e-jβz。已知行進波的電壓與電流之比值為特性阻抗 Zo。在負載端，
電壓與電流的比值必為 ZL ≠ Zo。所以，在傳輸線的負載端必產生反射波，才能同時滿足這
兩個條件。傳輸線上的總電壓與總電流，均可寫成入射波與反射波的和，如（1.10）所示。在 z = 0處，負載上的總電壓與總電流的關係為
-
+
-
+
= 0= -
( )
( )
)12.1()0()0(
−+
−+
−+
==oo
oooL VV
VVZIVZ
將 Vo
− 解出，可得
)13.1(+−
+−
= ooL
oLo V
ZZZZV
反射電壓波振幅與入射電壓波振幅的比值，稱為反射係數 Γ（reflection coefficient）：
)14.1(oL
oL
o
o
ZZZZ
VV
+−
==Γ +
−
當傳輸線的負載沒有完全匹配時，負載端無法接收到從信號源送出的全部功率。損失的部分稱為反射損失（return loss, RL），其定義（用 dB）為 RL = −20 log |Γ| (1.15)
4
故匹配負載（Γ = 0）的反射損失為無限大 dB（沒有反射的功率）；反之，造成全反射（|Γ| = 1）的負載，其反射損失為 0dB（所有的入射功率均被反射回去）。 若負載與傳輸線匹配，反射係數為零，線上電壓波的振幅大小 |V(z)| = |Vo
+| 為定值，不會隨 z位置不同而改變。如果負載不匹配，反射波加上入射波，在傳輸線上形成駐波（standing wave），線上的電壓波振幅大小就不再是定值，此時電壓波會有週期性的高低起伏，最高的電壓為 Vmax，最低電壓為 Vmin。所以，另有一個指標也可用以描述負載匹配的程度，稱為駐波
比（standing wave ratio, SWR），定義為 Vmax與 Vmin的比值。我們可以證明
( )( ) )16.1(
11
11
SWRmin
max
Γ−
Γ+=
Γ−
Γ+== +
+
o
o
VV
VV
從（1.16）可看出，SWR為一實數，並且 1≦SWR≦∞，當 SWR = 1（0dB）時，表示負載完全匹配。 由（1.14），反射係數的定義是：負載端的反射波對入射波電壓的比值。其實反射係數的觀念也可用在傳輸線上任何一點。由（1.10a），在 l−=z 處，反射波與入射波的電壓比為
)17.1()0()()()( 2 l
l
ll βj
o
o eVV −
+
−
Γ=−−
=−Γ
式中的 Γ(0) 就是 z = 0 處的反射係數，請參考（1.14）。 在負載未匹配的傳輸線上，電壓會上下起伏，電流也是如此。因此，在傳輸線上任一點看進去的輸入阻抗，也應該會隨位置改變。利用（1.10）的 V(z) 與 I(z)，在距離負載 l−=z處，往負載方向看進去的輸入阻抗為
)18.1(11
)()()( 2
2
l
l
ll
ll
l
ll β
β
ββ
ββ
j
j
ojo
jo
jo
jo
oin eeZ
eVeVeVeVZ
IVZ −
−
−−+
−−+
Γ−Γ+
=−+
=−−
=−
將（1.14）的 Γ 代入（1.18），可得到更有用的公式：
( ) ( )( ) ( ) )19.1(
tantan)(
l
ll
ll
ll
ββ
ββ
ββ
Lo
oLoj
oLj
oL
joL
joL
oin jZZjZZZ
eZZeZZeZZeZZZZ
++
=−−+−++
=− −+
−+
無損傳輸線所接的負載，有時會是一些特殊的負載，所以先討論這些負載情形及其特性。若負載短路，ZL = 0，由（1.14）知其反射係數為 Γ = –1；由（1.16）知其 SWR為無限大。很明顯，負載端的電壓 V = 0，而其電流卻為極大值。由（1.19），
)20.1(tan)( ll βoin jZZ =−
5
對任意的 值，此輸入阻抗均為純虛數，其值可能由l ∞− j 變化到 ∞+ j 。例如，當 = 0，Zl in = 0；若 =λ/4，則 Zl in = （開路）。（1.20）也同時指出，輸入阻抗為週期函數，其週期為 λ/2。若負載為開路（open circuit），Z
∞
l
L = ∞。我們可證明其反射係數為 Γ = 1，其 SWR值也是無限大，在任意位置 ，其輸入阻抗為 −=z
)21.1(cot)( ll βoin jZZ −=−
對任意的 值，Zl in 值也必為純虛數。同理，若 = λ/2，β = π，由（1.19）得 l l
Zin = ZL (1.22) 也就是說，從距離負載半波長（或其整數倍）處看進去的輸入阻抗，就是負載的阻抗，不論
傳輸線的特性阻抗為何。 1.3 Smith Chart 圖 1.3就是 Smith Chart（史密斯圖）。它不但是今日許多 CAD軟體及微波設計儀器的不
可或缺的部分，也是探討傳輸線上種種電波現象極為有用的工具。 史密斯圖只是電壓反射係數 Γ 的極座標圖。令反射係數 Γ = |Γ|ejθ，其大小 |Γ|，就是 Γ 點到圓心的距離（|Γ|≦1），相位角 θ（-180o≦ θ ≦180o）則是以圓心右側的橫軸為零度，逆
時針計算到 Γ 點的角度。任何 |Γ|≦1的反射係數，均可在史密斯圖上找到唯一對應的一點。以｜Γ｜定值所畫的圓，成為定｜Γ｜圓（constant-|Γ| circle），請參考圖 1.4。 利用史密斯圖上相關於阻抗（或導納）的圓，就能將反射係數與正規化（normalized）的阻抗（或導納）值，彼此互相轉換，這就是史密斯圖的實際用途。利用該圖處理阻抗時，都
是用正規化的阻抗值，通常以小寫的英文字母表示。通常用以正規化的常數，就是傳輸線的
特性阻抗 Zo，例如，z = Z/Zo 即為阻抗 Z的正規化值。 若無損傳輸線的特性阻抗為 Zo，負載為 ZL，由（1.14）知，在負載端的反射係數為
)23.1(11 θj
L
L
oL
oL ezz
ZZZZ
Γ=+−
=+−
=Γ
其中 zL = ZL/Zo為負載的正規化阻抗。將 zL 以 Γ 表示：
)24.1(11
11
θ
θ
j
j
L ee
zΓ−Γ+
=Γ−Γ+
=
將 Γ 與 zL 分別分解為實部與虛部，則此複數等式可化為兩實數的等式。令 Γ ＝ Γr + jΓi， zL = rL + jxL，則兩個複變數之間的關係如下：
6
)b25.1()1(
2
)a25.1()1(
1
22
22
22
ir
iL
ir
irL
x
r
Γ+Γ−Γ
=
Γ+Γ−Γ−Γ−
=
圖 1.3 Smith Chart（史密斯圖）
7
重新整理（1.25）可得
( ) )b26.1(111
)a26.1(1
11
222
22
2
=
−Γ+−Γ
+
=Γ+
+
−Γ
LLir
Li
L
Lr
xx
rrr
顯然，此兩式在 Γr， Γi平面上為兩族不同半徑的圓：定電阻圓（constant-r circle）由（1.26a）定義，而定電抗圓（constant-x circle）由（1.26b）定義，請參考圖 1.4。舉例而言，rL = 1的圓，圓心位於 Γr = 0.5，Γi = 0；其半徑為 0.5，所以它會經過史密斯圖的中心點。所有由（1.26a）定義的定電阻圓的圓心，都會落在 Γi ＝ 0 的水平軸上，並通過史密斯圖右側 Γ = 1 的點；所有定電抗圓的圓心，都在 Γr = 1軸上（在史密斯圖之外），並且每一個圓也都通過 Γ = 1點。每一個定電阻圓與每一個定電抗圓均彼此正交。
我們也可利用史密斯圖，以圖解方式求（1.19）的傳輸線輸入阻抗。由（1.18）知
)27.1(11)( 2
2
l
l
l β
β
j
j
oin eeZZ −
−
Γ−Γ+
=−
其中 Γ 為負載端的反射係數， l為傳輸線的長度（正數）。不難看出（1.27）與（1.24）相當類似，兩者的差別僅在於 Γ 的相位項。因此，在史密斯圖上點出負載端的反射係數 |Γ|ejθ，
若終端負載為 zL，則在 處的輸入阻抗，就是從該點（|Γ|el−=z jθ）開始，以順時針方向，半
徑不變，繞圓心轉 2β 角度後，所到達的點（角度為 θ – 2β ）。半徑不變的原因，是因為若負載沒有改變，沿著傳輸線移動，反射係數的大小（絕對值）也不會有所改變。
l l
為方便上述各種繞著圓心轉動的需要，在史密斯圖的週邊，附有「遠離」與「前往」波源的電氣長度（也就是實際長度或距離除以波長的值）座標，「遠離」與「前往」波源的方向，
分別與「前往」與「遠離」負載方向同義。這些電氣長度的座標是都相對值，只有在考慮史
密斯圖上兩點之間的電氣長度或距離時才有意義。 請注意：繞史密斯圖一圈僅有 0.5 個波長；也就是說，傳輸線上的反射係數與輸入阻抗為週期函數，其週期就是半波長。一段 λ/2（或其整數倍）的傳輸線，相當於在史密斯圖上繞圓心轉 2β = 2π，恰好繞回原處。這也說明：距離負載端半波長處，所看到的輸入阻抗就等於負載阻抗，不會有任何改變。我們用下面的實例，說明如何使用史密斯圖，分析各種傳
輸線的問題。
l
8
0.25
0.250.26
0.24
0.28
0.22
0.300.20
0.32
0.18
0.34
0.16
0.36
0.140.38
0.12
0.40
0.10
0.420.08
0.44
0.06
0.460.
04
0.48
0.00
0.00
0.48
0.04
0.46
0.06
0.44
0.08
0.42
0.10
0.40 0.12
0.38
0.14
0.36
0.16
0.34
0.180.32
0.20 0.30
0.22 0.280.24
0.2618
0-1
70
-160
-150
-140
-130
-120
-110
-100-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-2020
30
40
50
60
70
8090
100
110
120
130
140
150
160
170
-
r = 0
.1
x = -0.1
x =
-1
x = -2
x = -5
x = 5
x = 2
x =
1
x = 0.5
x = 0.1
r = 0
.5
r = 1
.0
r = 2
.0
r = 5
.0
x = -0
.5
Constant-r circlesConstant-x circles
圖 1.4
| |=0.2Γ
| |=0.5Γ
| |=0.8Γ
| |=1Γ
Constant- circlesΓ
9
實例 1.1 史密斯圖的基本功能與使用 一段長為 0.3λ ，特性阻抗為50Ω的傳輸線，負載為 130＋j90Ω。求負載端的反射係數、輸入端的反射係數與輸入阻抗。 解：
z =(2.6,1.8)L
Γ
z =(0.255,0.117)
負載的正規化阻抗為 zL ＝ 2.60 + j1.80。 將此點記在史密斯圖上，如上圖所示。用圓規定出圓心與 zL的距離，可讀得 |Γ| = 0.6。 由圓心經過 zL畫一條射線，從圓週的角度座標，可讀得負載端反射係數的相位角為 21.8o。 先用前往波源（WTG或順時針方向）的座標，讀出負載的參考位置為 0.220λ，再沿著傳輸線往波源方向（WTG）轉 0.3λ，到達 0.520λ，相當於 0.020λ 的位置。由圓心經過此點畫一條射線，會與定 |Γ| 值圓相交於 zin = 0.255 + j0.117，所以輸入阻抗為 Zin = zin×Zo = 12.7 + j5.8 Ω。請注意：輸入端的反射係數大小仍然為 |Γ| = 0.6，由射線與圓周的交點，可讀出其相位角為 165.8o。
10
實例 1.2 史密斯圖的基本功能與使用 試利用 Smith chart 求出下面兩電路的輸入阻抗 Zin1及 Zin2。L = 7.958 nH, C = 4.8pF, R = 100Ω，f = 2 GHz，Zo = 50Ω。 解：先求出各元件的正規化阻抗值：
3316.050108.41022
1
00.250
10958.71022
250
100
129
99
jj
z
jjz
r
C
L
−=×××××
=
=××××
=
==
−
−
π
π
(1) (2,0)
(2) (1.15,-0.73)
(3) (1.15,-1.06)
(1) (2,0)
(2) (2,2)
(3) (0.63,-1.42)
Const-| | circleΓ Const-| | circleΓ
Const-r circle (r = 1.15)
Const-r circle (r = 2)
Zin2in1Z
(a) (b)
11
= 50o= 30o
(a) (b)
阻抗與導納合併的史密斯圖
史密斯圖也可用以處理導納的計算，其方式與處理正規化阻抗值的方式相同，甚至也能用作阻抗與導納彼此間的轉換。從數學上看，
11
11
11
+−
−=+−
=+−
=Γyy
yy
zz
也就是說，在圖上某一點（正規化阻抗值） z = r + jx 所對應的（正規化）導納 y = g + jb 就是該點繞圓心旋轉 180o之所得。換句話說，阻抗（或導納）點之圓心對稱點，即為其相對應
的導納（或阻抗）點，所以史密斯圖可以同時用於阻抗與導納的計算。 在解題的過程中，該圖可以隨時依需要，當成是阻抗圖或導納圖。不過，從阻抗到導納，
或從導納到阻抗，每一次的轉換，都必須將圖轉 180o。為了避免轉來轉去，可以只用一張圖，
上面除了印一般的史密斯圖之外，也重疊印上轉過 180o的史密斯圖，如圖 1.5 所示。這樣的圖通常稱為阻抗與導納合併史密斯圖，圖中每一點有一個 |Γ| 值，Z-chart 讀到的值就是 z，由 Y-chart讀到的值即為 y，且 yz = 1。
圖 1.5 YZ-chart
12
實例 1.3 導納史密斯圖的運算 50Ω 的傳輸線之負載為 ZL = 100 + j50Ω。如果傳輸線長 0.15λ，負載的導納與其傳輸線的輸入導納為何？ 解：三種方法如下： (1) 負載的正規化阻抗為 zL = 2 + j1。先使用標準史密斯圖，當成 Z-chart。在圖上點出 zL的位
置，再畫出定 |Γ| 圓。沿著定 |Γ| 圓走 0.15λ（108o），所得之點即為 zin，再取其圓心的對
稱點，即為輸入導納 yin，求 Yin 的公式為 Yin = yinYo = yin/Zo。 (2) 由 zL點沿著定 |Γ| 圓走 λ/4（或者直接延長從 zL到圓心的連線，與定 |Γ| 圓相交的點），即得導納值 yL。將此圖當成導納圖，在 yL 點依順時鐘方向轉 0.15λ，即得 yin。
(3) 以如圖 1.5 的阻抗導納合併圖分析此問題。圖中阻抗與導納的轉換非常簡單，只要在同一點讀出適當的座標就可以了。先在阻抗座標上點出 zL，在該點可同時讀得導納值為 0.4 – j0.2，實際的導納值為 YL＝yLYo = yL/Zo = 0.0080 – j0.0040 S。在圓周的WTG座標上，負載導納的參考位置為 0.214λ，依順時鐘方向轉 0.15λ，得 0.364λ。由圓心畫一條到圓周 0.364λ位置的直線，會與定 |Γ| 圓交於一點，此點的正規化導納值為 yin = 0.60 + j0.66，所以 Yin = 0.0122 + j0.0132 S。
(1)(2,1)
(2)(0.75,-0.83)
(1)(2,1)
（1）第一種方法求導納
(3)(0.60,0.66)
13
(1)(2,1)
（2）以第二種方法求導納
(2)(0.4,-0.2)
(3)(0.60,0.66)
(2,y-chart)(0.4,-0.2)
(3,y-chart)(0.60,-0.66)
（3）以第三種方法求導納
(1,zchart)(2,1)
14
練習題：導納史密斯圖的運算 50Ω 的傳輸線之負載如下圖所示，若頻率為 1GHz，試利用 YZ-chart求算負載之阻抗。
15