solución de la ecuación de un mas

15 de agosto de 2014

Solución de la Ecuación Diferencial del MASHarold Daniel Cordero Bustamante

Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería, Colombia.

Se busca hallar la solución de la ecuación diferencialdel Movimiento Armónico Simple, dada por:

d2x

dt2+ ω2x = 0

Partimos del sistema Masa-Muelle, pues es un sistemasencillo de trabajar (tal como se muestra en la Figura 1).

Figura 1: Sistema Masa - Muelle

Usando el teorema del trabajo y la energía cinética,tenemos la ecuación general:∫ x

x0

~F · ~x = 12mv

2 − 12mv

20 (1)

Para nuestro sistema, la fuerza que se ejerce sobre Mpor el resorte es F = −kx.

Entonces la ecuación (1) quedaría expresada como:

12Mv2 − 1

2Mv20 = −k

∫ x

x0

xdx (2)

Siendo los valores de v0 y x0 dados por las condicionesiniciales (en este caso, y por simplicidad, tomaremos ax0 como la máxima amplitud, desde donde se suelta elsistema con velocidad inicial v0 = 0).Ahora, resolviendo la integral, obtenemos la relación

de las energías Potencial y Cinética:

12Mv2 − 1

2Mv20 = −1

2kx2 + 1

2kx20 (3)

Como dijimos antes, v0 = 0, ahora, despejando v2 setiene que:

v2 = − k

Mx2 + k

Mx2

0

Donde v = dxdt . Hallando la raíz cuadrada y reempla-

zando éste valor en la ecuación anterior:

dx

dt=

√k

m

√x2

0 − x2

Tenemos aquí, una ecuación diferencial de primer or-den donde podemos separar variables, de tal manera que:

dx√x2

0 − x2=

√k

Mdt

Integrando ambas partes:

∫ x

x0

dx√x2

0 − x2=

√k

M

∫ t

0dt

La integral de la izquierda es elemental, correspondien-te a la función Arcsen, así mismo, del lado derecho elvalor de

√kM corresponde a la frecuencia angular ω.

arc sen( xx0

)|xx0= ωt

Evaluando la solución de la integral de la izquierda,obtenemos:

arc sen( xx0

)− arc sen(1) = ωt

Pero Arcsen(1) = π2 , entonces:

arc sen( xx0

) = ωt+ π

2

Así, aplicando la función Seno en ambos lados de laecuación, se obtiene:

x

x0= sin(ωt+ π

2 )

De lo que finalmente podemos encontrar la ecuaciónque nos propusimos al principio:

2

x = x0 sin(ωt+ π

2 )

O también, sabiendo que el seno y el coseno tienen unadiferencia de fase de π

2 , la ecuación se puede reescribir:

x = x0 cos(ωt) (4)

Si derivamos dos veces esta ecuación, obtenemos lo si-

guiente:

d2x

dt2= −x0ω

2 cos(ωt)

Donde x = x0 cos(ωt), por tanto, la ecuación (4) vieneentonces a ser la solución de la ecuación diferencial delMAS, la cual expresamos al principio del presente docu-mento.