stabilnost konstrukcija 1 18 - grf.bg.ac.rs · m. Đurić: “stabilnost i dinamika...

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 1

STABILNOST KONSTRUKCIJA

Uvodno predavanjeMarija Nefovska-Danilović

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 2

Literatura M. Sekulović: “ Teorija linijskih nosača “

GK, Beograd, 2005. M. Đurić: “Stabilnost i dinamika

konstrukcija”, Građevinski fakultet, Beograd, 1977.

S. Ranković, B. Ćorić: “Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka”, Građevinski fakultet, Beograd, 1983.

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 3

Stabilnost konstrukcija je sposobnostkonstrukcije da pri zadatom opterećenjuočuva svoj prvobitan položaj i formuravnoteže usled dodatnih, malihporemećaja.

Pojam stabilnosti

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 4

Stabilno stanje je stanje pri kome se pri malom poremećaju javljaju mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tako da se pri prestanku poremećaja konstrukcija vraća u prvobitno stanje.

Nestabilno stanje je stanje pri kome ne dolazi do vraćanja u prvobitno stanje, već konstrukcija zauzima nov položaj.

Neutralno (indiferentno) stanje je stanje pri kome dolazi do prelaska iz stabilnog u nestabilno stanje, tj. do gubitka stabilnosti.

Kritično opterećenje je opterećenje pri kome dolazi do gubitka stabilnosti.

Pojam stabilnosti

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 5

A-stabilno stanjeB- indiferentno stanjeC- nestabilno stanje

Matrična analiza konstrukcija3. Stabilnost konstrukcija 6

Linearna stabilnost Zasniva se na pretpostavci o međusobnoj

nezavisnosti aksijalnih i poprečnihdeformacija štapa

3. Stabilnost konstrukcija 7

Tačka u kojoj konstrukcija gubi stabilnost se naziva kritična tačka (critical point). Postoje 2 vrste kritične tačke: granična tačka (limit point) tačka bifurkacije (bifurcation point)

Gubitak stabilnosti konstrukcije

3. Stabilnost konstrukcija 8

Granična tačka(limit point) je tačka u kojoj je iscrpljena sposobnost sistema da primi dodatno opterećenje, tako da prirast deformacije dovodi do pada kapaciteta opterećenja.

3. Stabilnost konstrukcija 9

Tačka bifurkacije je tačka u kojoj se pored jednog ravnotežnog položaja javlja i drugi ravnotežni položaj.

Fenomen koji se pritome javlja naziva se izvijanje.

3. Stabilnost konstrukcija 10

bifurkacija

limit (granica elastične stabilnosti)

I

II

Horizontalno pomeranje

Horiz

onta

lno

opte

reće

nje

H

H=P

H=P

P P

Primarna ravnotežna grana

Sekundarna ravnotežna grana (post-kritično ponašanje)

Post-kritični kolaps

3. Stabilnost konstrukcija 11

Kritično opterećenje je opterećenje pri kome se javljaju dva moguća ravnotežna položaja.

Postupak određivanja kritične tačke tj. kritičnog opterećenja nije jednostavan. Kritična tačka se globalno može definisati kao tačka posle koje matrica krutosti sistema prestaje da bude pozitivno definitna.

3. Stabilnost konstrukcija 12

U tački bifurkacije matrica krutosti sistema postaje singularna.

Za inženjersku praksu je od najvećeg interesa određivanje kritičnog opterećenja, tj. opterećenja pri kome dolazi do gubitka stabilnosti konstrukcije.

3. Stabilnost konstrukcija 13

Praktično imamo 2 problema: Određivanje kritične tačke (tačka bifurkacije) Određivanje ponašanja konstrukcije posle

kritičnog položaja Samo mali broj konstrukcija se ponaša tako

da se javlja idealna bifurkacija (imperfekcija u geomeriji, materijalu i opterećenju smanjuje mogućnost pojave bifurkacije)

3. Stabilnost konstrukcija 14

U okviru analize stabilnosti konstrukcija bavićemo se samo problemom određivanja kritičnog opterećenja, tj. tačke bifurkacije.

Problem post-kritičnog ponašanja konstrukcije je daleko složeniji, zahteva primenu nelinearne analize i nije predmet proučavanja.

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 15

Kriterijumi za stabilnost nosača

Statički kriterijum stabilnosti Dinamički kriterijum stabilnosti

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 16

Statički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje je najmanjeopterećenje konstrukcije pri kome poredprvobitnog (osnovnog) ravnotežnogpoložaja postoji bar još jedan ravnotežnipoložaj.

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 17

Dinamički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje konstrukcije jenajmanje opterećenje pri kome maliporemećaji izazivaju kretanje konstrukcijekoje nije ograničeno na neposrednuokolinu prvobitnog ravnotežnog položaja.

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 18

Određivanje kritičnog opterećenja Statički kriterijum:

Kritično opterećenje se dobija iz uslova ravnoteže susedne konfiguracije ili iz minimuma potencijalneenergije sistema

Dinamički kriterijum:Kritično opterećenje se dobija iz diferencijalne jednačine kretanja slobodnih vibracija

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 19

Statički kriterijum stabilnosti Konstrukciji se zadaje nova

(pretpostavljena tj. očekivana) formadeformacije, pa se određuje opterećenjekoje je u stanju da održi sistem u novompoložaju ravnoteže.

Dve metode: - direktna - energetska

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 20

a) Direktna metoda

Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom (pretpostavljenom) ravnotežnom položaju.Na taj način se dobijaju:

- diferencijalne jednačine ravnoteže za kontinualne sisteme,

- algebarske jednačine ravnoteže za diskretnesisteme.

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 21

Direktna metoda. Primer: sistem sa jednim stepenom slobode

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 22

Uslov ravnoteže na (novoj) deformisanoj konfiguraciji:

gde je:k - krutost opruge

Za mali ugao je sin cos:

0cossin0 aFPlM opA

sinkaFop

0)(0 22 kaPlkaPl

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 23

Trivijalno rešenje (prvobitna konfiguracja):

Netrivijalno rešenje (nova ravnotežna konfiguracija):

0

lkaPkaPl kr

22 0

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 24

Grafički prikaz: sila – pomeranje

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 25

b)Energetske metodeStabilan, labilan, indiferentan položaj ravnoteže

Stabilan položaj

Nestabilan položaj

Indiferentan položaj

>0<0

2 0

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 26

2

2

2

- stabilan položaj0, 0 , 0

nestabilan položaj0, 0 , 0

indiferentan položaj0, 0 0

min

max

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 27

Ukupna potencijala energija u novoj(pretpostavljenoj) ravnotežnoj konfiguracijisistema jednaka je:

( )

s s

s s

A A RA deformacioni rad

potencijalna energija unutrasnjih silaR potencijalna energija spoljašnjih sila

negativnom radu spoljašnjih sila

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 28

Posle izvođenja sistema u blisko susednostanje, izjednačava se rad spoljašnjih silasa prirastom potencijalne energijesistema, odnosno sa negativnim radomunutrašnjih sila

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 29

Kritična sila se dobija iz stava o stacionarnostipotencijalne energije

0gde je

1 ( ) - varijacija energije deformacije2

- varijacija rada spoljašnjih sila

s

s

s i iis

A R

A N M dx

R p vdx P

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 30

Primer: sistem sa jednim stepenom slobode

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 31

s s

0R A

Princip o minimumu potencijalne energije:

s

2 2op

2 2

R P Pl(1 cos )1 1A F a sin ka sin2 2

1Pl(1 cos ) ka sin2

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 32

2

2

0

Pl sin ka sin cos 0sin ( Pl ka cos ) 0

a) trivijalno rešenjesin 0 0

netrivijalno rešenje

2

2 2

b )Pl ka cos 0

ka kaP cos za 1 : cos 1 Pl l

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 33

Domaći zadatak

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 34

Za sisteme sa više nepoznatihOčekivana deformacija u novoj ravnotežnoj konfiguraciji se prikazuje preko konačnog broja parametara pomeranja v1, v2, ..., vn. Unoseći pretpostavljenu konfiguraciju u izraz za dobija se zavisnost sile P i parametara pomeranja:

),,,( 21 nvvvPP

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 35

Iz uslova minimuma za silu P:

dobija se oblik nove ravnotežne konfiguracije i odgovarajuće kritično opterećenje

),,2,1(0 nivPi

1 2( , , ..., )kr kr krkr nP P v v v

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 36

Matrična formulacija elastične stabilosti linijskih nosača

U okviru ovog predmeta bavićemo se matričnom formulacijom elastične stabilosti linijskih nosača.

Matrična formulacija se zasniva na geometrijski nelinearnoj analizi štapa, odnosno na teoriji drugog reda.

Formulišu se matrice krutosti štapa K po linearizovanoj teoriji drugog reda, kao i matrica krutosti sistema (nosača)

Formiraju se jednačine sistema iz kojih se može odrediti kritično opterećenje, ili uticaji po teoriji II reda