statis tak tentu.doc

Bab 2SISTEM GAYA STATIS TAK-TERTENTU

Tinjauan Instruksional Khusus:Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep sistem gaya statis tertentu dan statis tak tertentu, mampu membedakannya dan mampu melakukan analisis terhadap sistem-sistem gaya tersebut.

Definisi sistem gaya statis tertentuJika nilai gaya-gaya luar yang bekerja pada suatu benda dapat ditentukan dengan persamaan kesetimbangan statis (equations of static equilibrium), maka sistem gaya dikatakan statis tertentu (statically determinate).

Contoh 1.Batang yang ditunjukkan pada Gb. 2-1 dibeban

14

P

R3

R1

R2

i dengan gaya P. Reaksinya adalah R1

, R2

, dan R3

. Sistem gaya

15

adalah statis tertentu karena terdapat tiga persamaan keseti

16

mbangan yang tersedia untuk sistem dan persamaan-persamaan te

17

rsebut cukup untuk menentukan ketiga variabel (dalam hal ini

18

gaya-gaya reaksi) yang tidak diketahui.

Gb. 2-1Contoh 2.Rangka ABC

19

P1

R3

R1

R2

P2B

A

D C

D yang ditunjukkan pada Gb. 2-2 dibebani dengan gaya P1

dan P

20

2

. Gaya-gaya reaksinya adalah R1

, R2

, dan R3

. Lagi, karena te

21

rdapat tiga persamaan kesetimbangan statis yang tersedia untu

22

k sistem dan ketiga reaksi gaya yang tidak diketahui dapat di

23

tentukan, maka sistem gaya-gaya luar ini adalah statis terten

24

tu.

Gb. 2-2

Kedua contoh yang diilustrasikan diatas hanya mengacu pada reaksi eksternal dan sistem gaya dapat dinyatakan sebagai statis tertentu secara eksternal.

Definisi sistem gaya statis tak tentuPada banyak kasus, gaya-gaya yang bekerja pada benda tidak dapat ditentukan dengan persamaan statis saja sebab terdapat lebih banyak gaya yang tidak diketahui daripada persamaan kesetimbangannya. Pada kasus demikian sistem gaya dikatakan statis tak tertentu (statically indeterminate).

Contoh 3.Batang yang ditunjukkan pada Gb. 2-

25

P

R4

R1

R2

R3

3 dibebani dengan gaya P. Reaksi gayanya adalah R1

, R2

, R3

, d

26

an R4

. Sistem gaya adalah statis tek tertentu karena terdapat

27

empat gaya reaksi yang tidak diketahui sedangkan persamaan k

28

esetimbangan statis hanya ada tiga. Sistem gaya seperti ini d

29

ikatakan tak tertentu pada derajat pertama (indeterminate to

30

the first degree).

Gb. 2-3

Contoh 4.Batang yang ditunjukkan pada Gb.

31

P

R4

R1

R2

R3

M1

2-4 adalah statis tak tentu derajat kedua karena ada lima re

32

aksi R1

, R2

, R3

, R4

, dan M1

yang tidak diketahui, sedang pers

33

amaan kesetimbangan haya ada tiga. Akibatnya nilai semua reak

34

sinya tidak dapat ditentukan hanya dengan persamaan keseimban

35

gan statis.

Gb. 2-4

Metode analisa elastisPendekatan yang akan kita lakukan dalam analisa elastis disini disebut metode deformasi karena analisa ini menitik beratkan pada perilaku perubahan bentuk dari sistem. Secara singkat, prosedur yang akan diikuti dalam analisa suatu sistem tak-tertentu adalah pertama menulis seluruh persamaan keseimbangan statis yang ada pada sistem dan kemudian menambahkan pada persamaan ini persamaan-persamaan yang didasarkan atas perilaku perubahan bentuk atau deformasi struktur. Jumlah persamaan tambahan ini harus cukup sedemikian sehingga jumlah total persamaan statis dan persamaan deformasi sama dengan jumlah gaya-gaya yang tidak diketahui.Contoh.Tiga batang yang disusun sepert

36

C

A

B

DP θθ

i gambar disamping menyangga beban vertikal P. Batang AB dan

37

BD adalah sama, masing-masing dengan panjang L dan luas penam

38

pang A1

. Batang vertikal BC juga mempunyai panjang L tetapi l

39

uas penampangnya adalah A2

. Semua batang mempunyai modulus E

40

yang sama dan di sambungkan pada pin A, B, C dan D. Tentukan

41

gaya aksial pada masing-masing batang.

Pertama, kita gambar diagram gaya-gaya (free-body diagram) pada pin B. Gaya-gaya pada setiap batang dinyatakan dengan P1 dan P2 (Gb. a). Untuk kesetimbangan vertikal kita peroleh:

Kita asumsikan, secara temporer, bahwa pin B dipindahkan. Kemudian kita uji deformasinya. Dibawah gaya aksial P2 batang vertikal akan bergerak turun sebesar

sehingga ujung batang bawah (mula-mula di B) berpindah ke B’ (Gb. b)

(a) (b) (c)

Gaya tekanan di AB menyebabkannya memendek sebesar ∆ ditunjukkan dengan BB″ (Gb. c). Batang AB berputar terhadap sumbu A sebagai batang kaku sehingga B″ berpindah ke B′″ lurus dibawah titik C. Dari Gb. c, komponen vertikal dari. ∆ adalah

42

P2

P1

B

P1P θθ

B

B’

C

∆1B’’’

A

B’’B

θ

θ

∆

Selanjutnya, pin kita masukkan kembali kedalam sistem Titik B′ dan B′″ harus berimpit sehingga

Dengan mensubstitusi persamaan ini kedalam persamaan kesetimbangannya maka diperoleh:

dimana α =A2/A1

Analisa untuk kekuatan maksimum (ultimate strength)Kita asumsikan bahwa kurva tegangan re

43

σ

ε

σyp

εyp

gangan untuk suatu bahan mempunyai bentuk seperti Gb. 2

44

-5, yaitu mencirikan suatu bahan yang amat sangat liat

45

seperti misalnya baja struktur. Idealisasi perilaku ela

46

stoplastic seperti ini merupakan contoh yang pas untuk

47

mewakili bahan baja karbon rendah. Gambaran ini menunju

48

kkan bahwa bahan tidak mampu menghasilkan tegangan yang

49

lebih besar dari titik lelahnya.

Gb. 2-5

Pada sistem statis tak tentu setiap aksi yang tidak elastis dapat merubah batas-batas kondisi sistem. Dibawah perubahan kondisi ini beban yang dapat disangga oleh sistem biasanya meningkat melebihi apabila semua aksi adalah elastis. Rancangbangun struktur statis tak tentu untuk suatu beban dimana beberapa atau semua bagian struktur mencapai titik lelah dan menyebabkan ‘runtuh’nya sistem dinamakan batas rancangbangun (limit design). Beban maksimum berkaitan dengan rancangbangun tersebut tentu saja adalah dibagi dengan suatu faktor keselamatan untuk menentukan beban kerja (working load). Istilah batas rancang-bangun yang digunakan disini, hanya digunakan untuk struktur statis tak tentu.

Contoh.Ke

50

A B C

D

P

70°

35°

rangka seperti ditunjukkan pada gambar disamping terdiri atas

51

tiga batang AD, BD, dan CD yang disambungkan dengan pin pada

52

ujung-ujungnya. Batang-batang tersebut terbuat dari bahan ya

53

ng sama dengan luas penampang yang sama pula. Kapasitas beban

54

maksimumnya adalah 30 kN. Tentukan beban vertikal maksimum P

55

u

yang dapat diterapkan pada sistem

Kita asumsikan bahwa batang BD dan CD telah mencapai batas lelahnya. Pengujian untuk diagram gaya pada simpul D adalah sebagai berikut:

Dengan demikian, batang AD tidak mengalami peluluhan karena gaya batang untuk kesetimbangannya lebih kecil dari 30 kN yang diperlukan untuk mencapai titik lelah. Dengan menjumlahkan gaya-gaya vertikal untuk kesetimbangannya, kita dapatkan

56

PAD 30kN 30kN

D

P

70°

35°