tÍch phÂn vÀ Ứng dỤ ng - bai-giang.webnode.vn. tÍch... · tích phân bất định 2....

Chương VI

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. Tích phân bất định

2. Tích phân xác định

3. Ứng dụng của tích phân

2 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3

F(x) la nguyên ham của ham f(x) trong (a, b)

⟺ 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶: tich phân bất định

Nhận xét

• Nếu ( )F x la nguyên ham của ( )f x thì ( )F x C cũng la

nguyên ham của ( )f x .

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

4 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

5

1) . , aadx ax C

2) 1

, 11

xx dx C

3) lndx

x Cx

; 4) 2dx

x Cx

5) x xe dx e C ; 6) ln

xx aa dx C

a

7) cos sinxdx x C ; 8) sin cosxdx x C

9) 2

tancos

dxx C

x; 10)

2cot

sin

dxx C

x

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

6

11) 2 2

1arctan 0

dx xC a

x a a a

12) 2 2

arcsin 0dx x

C aaa x

13)

1

lndx x a

C a bx a x b a b x b

14) ln tansin 2

dx xC

x 15) ln tan

cos 2 4

dx xC

x

16) 2

2ln 0

dxx x a C a

x a

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

7 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

8 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

9

2

dxa /

4 x

2

dxb /

x 4

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

VD 1. Tính 24

dxI

x.

A. 1 2

ln4 2

xI C

x; B.

1 2ln

4 2

xI C

x;

C. 1 2

ln2 2

xI C

x; D.

1 2ln

2 2

xI C

x.

Giải.

1 2

ln2 2 2 2 2

1 2ln .

4 2

dx xI C

x x x

xC A

x

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 10

VD 2. Tính 2 6

dxI

x x.

Giải.

1 3

ln3 2 3 2 2

1 3ln .

5 2

dx xI C

x x x

xC

x

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 11

12 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

13

32/ xa x e dx

22

4

arctan/

x

b dxx

/ arcsinc xdx

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

14 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

15

Lưu y khi dung tich phân tưng phân

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

16 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

17 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

18 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

19 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

20 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

21

Dang 1

Dang 2

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

22

Dang 3

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

23 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

24 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

25

Dang 4

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Trong đo

26 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Ham hưu ty :

27

Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam

thức ở mẫu có < 0, sẽ được phân tích ở dạng

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Cach 1. Quy đông mẫu sô va đông nhất tư sô 2

vê đê tim A, B

28

a/

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

a/

29

Cach 2.

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Cach 1. Quy đông mẫu sô va đông nhất tư sô 2

vê đê tim A, B,C

30

b/

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Cach 2.

Tư biêu thức

31

b/

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

c/

32 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

33

a/

1 7

dx dx

4 x 1 4 x 3

2

2x 1dx

x 2x 3

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

34

b/

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

35

c/

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

36

Trong đo m1, n1, m2, n2 la cac sô nguyên

Phương phap:

Đăt: 𝒕𝒏 =𝒂𝒙+𝒃

𝒄𝒙+𝒅, 𝒏 𝒍𝒂 𝑩𝑺𝑪𝑵𝑵(𝒏𝟏, 𝒏𝟐)

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

37 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

38 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

39 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

40 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

41 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

42 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

43 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 44

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 45

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 46

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 47

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 48

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 49

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 50

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 51

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 52

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 53

𝐻𝐷: 𝑡 = 𝑥

𝐻𝐷: 𝑡 =1

𝑥

sec 𝑥 𝑑𝑥 = 1

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝐻𝐷: 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛

𝑥

2

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 54

55

ĐS:

ĐS:

ĐS:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

56

ĐS:

ĐS:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

57 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

58 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

59 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

60 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

61 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

62 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

63 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

64 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

65 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

66 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

67 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

68 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

69 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

70 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

71 CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 72

3.1. Tính diện tích hình phẳng và thê tích khối

tròn xoay

3.2. Tính vận tốc, quảng đường di chuyên của

vật thê.

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 73

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị

hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và các đường thẳng

𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) là

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 74

xb

aS f x d

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị hai

hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔(𝑥), các đường thẳng

𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 a < b là:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 75

xb

aS f x g x d

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a/ Đô thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 và các

đường thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2, y = 0.

b/ Đô thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 và các đường

thẳng 𝑥 = −1, 𝑥 = 2, y = 0.

c/ Hai đô thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 1 5; 𝑦 = 𝑒𝑥 và

các đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 1

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 76

Thê tích khối tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn bởi đô thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và

các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 khi quay quanh

trục O𝑥 là:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 77

2 xb

aV f x d

Tính thê tích khối tròn xoay sinh ra khi

hình phẳng giới hạn bởi đô thị hàm số

𝑦 = 𝑓 𝑥 = xsinx và các đường thẳng

𝑥 = 0, 𝑥 =𝜋

2 , y = 0 khi quay quanh trục O𝑥

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 78

Thê tích khối tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn bởi đô thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và

các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 khi quay quanh

trục O𝑦 là:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 79

2 yV g y d

Trong ®ã: , ;y f x x g y x a y

x b y

Tính thê tích khối tròn xoay sinh ra khi

hình phẳng giới hạn bởi đô thị hàm số

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 và các đường thẳng 𝑦 = 0,

y = 2 − x khi quay quanh trục O𝑦

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 80

Phương trình hoành độ giao điêm:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 81

21 2

0

12 2 0

2

Víi x=1 y=1.

ThÓ tÝch khèi trßn xoay:

11V 2

6Oy

xx x x x

x

x x

Một vật thê chuyên động có vận tốc biến đổi

theo công thức 𝑣(𝑡),

Quảng đường vật di chuyển từ thời điểm 𝒕𝟏 đến 𝒕𝟐 là:

Vận tốc tính theo gia tốc là:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 82

v t a t dt

2

1

t

ts v t dt

Một vật thê chuyên động với vận tốc 10m/s

thì tăng tốc với gia tốc 𝑎 𝑡 = 3𝑡 + 𝑡2 (𝑚/𝑠2)

Quảng đường vật đi được trong khoảng thời

gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao

nhiêu?

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 83

Ta có:

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 84

3 22

1

1

3 2

33

3 2

Khi t=0 th× v=10 nªn C 10

3VËy: 10

3 2

t tv t a t dt t t dt C

t tv t

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 85

3 2 4 3

2

2

4 3

4 3

310 10

3 2 12 2

Khi b¾t ®Çu t¨ng tèc th× s=0,t=0 nªn C 0.

Do ®ã: 1012 2

10 10 430010 10.10

12 2 3

t t t ts t v t dt dt t C

t ts t t

VËy s m

86

𝑇í𝑛𝑕 𝑑𝑥

𝑥2 − 𝑥4

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 87

Tính Đáp án

CHƯƠNG VI. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 88

Tính Đáp án