td6 - algebre lineaire
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Universite Antonine Semestre-2Annee 2012-2013
TD chapitre 6 : Applications a la diagonalisation
1. On considere la matrice A =
1 0 20 −1 02 0 1
.
(a) Calculer le polynome caracteristique de A.
(b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associes.
(c) Pourquoi A est-elle diagonalisable ? Donner D diagonale et P inversible telles que D =P−1AP .
(d) Calculer An pour tout n ∈ N.
2. Calculer la puissance nieme et l’exponentielle de la matrice A =
3 −3 2−1 5 −2−1 3 0
.
3. Determiner les suites (un), (vn) et (wn) donnees par :
u0 = −3 v0 = 1 w0 = 0 et
un+1 = −un
vn+1 = un − vn + wn
wn+1 = 3un + 2wn
4. Soit (un) une suite definie par recurrence par :
u0 = 3 u1 = 1 et un+2 = 3un+1 − 2un
Exprimer un en fonction de n.
5. On considere le systeme differentiel suivant :x′ = x + yy′ = x + zz′ = y + z
(a) Ecrire le systeme sous la forme Y ′ = AY ou A est une matrice 3×3, et Y (t) =
x(t)y(t)z(t)
.
(b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
(c) Deduire la solution du systeme differentiel.
(d) Trouver des matrices P , P−1, et une matrice diagonale D telles que A = PDP−1.
(e) Calculer An.
(f) Calculer eAt.
(g) Retrouver la solution du systeme en utilisant eAt.
6. Reprendre les memes questions pour le systeme differentiel suivant :x′ = y + zy′ = x + zz′ = x + y
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