Partie IMR, MESSIRDI BACHIR "Enseignant aux dpartement deMathmatiques- Facult dessciences- Universit deTLEMCEN".Cours pour lestudiants"ST-SM-MI-GBM-ARCH-Ecoles prparatoires..."ALLAHOMAIDJALHOU FI MIZANEHASSANATE ALAB RAHIMAHOALLAH1Partie II2Partie III3Table des MatiresI MR, MESSIRDI BACHIR" Enseignant aux dpartement de Mathmatiques-Facult des sciences- Universit de TLEMCEN". 1II Cours pour les tudiants" ST-SM-MI-GBM-ARCH-Ecoles prpara-toires..." 2III3IV ALLAHOMAIDJALHOUFI MIZANE HASSANATE ALABRAHIMAHOALLAH 41 Logique lmentaire- Quelques types des raisonnements-Thorie des ensem-bles 121.1 LOGIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.1 PROPOSITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 NGATION DUNE PROPOSITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 CONNECTEURS LOGIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4 LES QUANTIFICATEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 LE RAISONNEMENT PAR LABSURDE. . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 LE CONTRAPOSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.2.3 LE RAISONNEMENT PAR RCURRENCE . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 THORIE DES ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Inclusion-sous ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Egalit de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.5 Runion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.6 Partition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.7 Complmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.8 Ensemble produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.9 Dirence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.10 Dirence symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.11Exemple dapplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Relations dquivalence- Relations dordre 312.1 RELATIONS DQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.1 NOTION DE RELATION BINAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 RELATION DQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 RELATION DORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Lordre total et lordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.2 MAJORANT,MINORANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3 La borne suprieure, la borne infrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.4 Maximum, minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Les applications 513.1 NOTION DAPPLICATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 GALIT DE DEUX APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5253.3 COMPOSE DE DEUX APPLICATIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 IMAGE DUNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 INJECTIVIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 SURJECTIVIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 BIJECTIVIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8 BIJECTION RCIPROQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9 IMAGE RCIPROQUE DUNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.10 INVOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.11 PROPRITS DES APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.13 Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 Suites numriques. 714.1 DFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 QUELQUES CARACTRES DES SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.1 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.2 Suites bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 NATURE DUNE SUITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2 Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 THORME FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 PROPRIT FONDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6 THORME DENCADREMENT (RGLE DES DEUX GENDARMES) . . . 764.7 SOUS-SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8 Suites adjacentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.9 Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.10 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79V Fonctions numriques dune variable relle. 874.10.11.1 DFINITIONS ET PROPRITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8864.10.21.2 LIMITE ET CONTINUT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.10.31.3 THORME DES VALEURS INTERMDIARES . . . . . . . . . . . 904.10.41.4 Le PROLONGEMENT PAR CONTINUT . . . . . . . . . . . . . . 914.10.52.1 DRIVATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.10.62.2 FONCTION DE CLASSE Ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.10.82.3 THORME DE ROLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.10.92.4 THORME DES ACCROISSEMENTS FINIS . . . . . . . . . . . . 984.10.102.5 THORME DE LHPITAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 Dveloppements limits. 1015.1 1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.1 1.1 Thorme des acroissement nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.2 1.2 Thorme des acroissement nis gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.3 1.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.4 1.4 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.5 1.5 Formule de Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 2. Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2.1 2.1 Principaux dveloppement limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.2 2.2 Proprits des dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.3 2.3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109VI Les nombres complexes. 1245.4.1 1.1 DFINITIONS ET PROPRITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4.2 1.2 CALCUL DUN MODULE ET LARGUMENT DUNE PUISSANCEDUN NOMBRE COMPLEXE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4.3 1.3 SIMPLIFICATION DUN RAPPORT DE NOMBRES COMPLEXES 1275.4.4 1.4 NATURE DUN NOMBRE COMPLEXE. . . . . . . . . . . . . . . . 12775.4.5 1.5 RACINES CARRES DUN NOMBRE COMPLEXE. . . . . . . . . 1285.4.6 1.6 RACINES n-IMES DUN NOMBRE COMPLEXE NON NUL . . . 1295.4.7 1.7 FACTORISATION DUN POLYNME REL. . . . . . . . . . . . . 1305.4.8 1.8 LA FORMULE DEULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.4.9 1.9 LA FORMULE DE MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.4.101.10 SIMPLIFICATION DE SOMMES DE COSINUS OU BIEN SINUS . 1315.5 Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132VII Structures algbriques. 1345.5.1 1.1 DFINITIONS ET PROPRITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.5.2 1.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.5.3 1.3 Structure danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.5.4 1.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.7 Le corrig: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144VIII Espaces vectoriels: 1555.8 Introduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.9 Dnition dun espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.9.1 Laddition: (note ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.9.2 Une opration externe, la multiplication par un lment de | : . . . . . . 1565.10 Exemples:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.11 Proprits immdiates des oprations dans un espace vectoriel: . . . . . . . . . . 1575.12 Sous -espaces vectoriels: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.12.1Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.13 Intersection et la runion de deux sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.14 Somme de sous-espaces. Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.14.1Somme de sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.14.2Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.15 Famille de vecteurs dun espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16085.15.11) Dpendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.15.22) Indpendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.15.33) Famille gnratrice ou systme gnrateur:. . . . . . . . . . . . . . . . 1615.15.44) Base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.15.55) Dimension dun espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.15.66) Rang dun systme de vecteurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.15.77) Lien entre la dimension et la somme directe:. . . . . . . . . . . . . . . 1625.16 Sous-espace engendr par un ensemble: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.17 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.18 Le corrig: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165IX Mthodes dintgration: 1715.19 Formules fondamentales dintgration: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.19.1Formule de changement de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.19.2Formule de rduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.20 Intgration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.20.1Intgration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.21 Intgrales trigonomtriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.21.1Les identits trigonomtriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.22 Subtitutions trigonomtriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.23 Intgration par fractions partielles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.23.1Fraction rationnelle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.24 Divers changements de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.25 Intgration des fonctions hyperboliques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.26 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.27 Le corrig des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191X Applications linaires: 2005.28 Application linaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.29 Noyau dune application linaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20195.30 Injectivit dune application linaire:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.31 Image dune application linaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.32 Rang dune application linaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.33 Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.34 Projecteur: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.35 Symtrie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.36 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205XI QUATIONS DIFFRENTIELLES 2095.37 1-QUATIONS DIFFRENTIELLES DORDRE 1: . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.37.1Exemple:_r31_jt = j2r2j 2r1-QUATIONS DIFFRENTIELLES DORDRE 2 COEFFICEINTSCONSTANTS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.38 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.39 Le corrig des xercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219XII Les Matrices. 2255.40 Matrices associes une application linaire dans le cas des espaces de dimen-sions nies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.41 Proprits des matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.42 Oprations sur les matrices:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.43 Inverse dune matrice carre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.43.1Inversion dune matrice par la mthode de GAUSS: . . . . . . . . . . . . 2345.43.2Inversion dune matrice par la notion du dterminant: . . . . . . . . . . . 2365.44 Changement de base. Matrices semblables: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.45 La matrice associe dans un changement de base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.46 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247105.47 Universit de Tlemcen AnneUniversitaire: 2010 - 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011Chapitre 1Logique lmentaire- Quelques typesdes raisonnements-Thorie desensembles1.1 LOGIQUEVous savez par exprience quun cours de mathmatiques est constitu dune suite dnoncs,appels dnitions ou propositions. Les dnitions sont poses a priori et les propositionsdoivent tre dmontres laide de dnitions ou dautres propositions dja tablies. Cestcette dmarche, qui consiste passer avec logique, les direntes tapes dun raisonnementmathmatique. Il nous a cependant paru utile de dgager quelques rgles de logique universelle.1.1.1 PROPOSITIONSUne proposition un nonc (une assertion) dont on peut armer sans ambigut sil est vraiou faux. Par exemple 2 1 est une proposition vraie; _2 est un nombre rationnel, est uneproposition fausse; mais 1 nest pas une proposition car on na pas des donnes sur lesdeux ensembles et 1.Par suite on note une proposition vraie par "V" ou "1", et une proposition fausse par "F"ou "0".121.1.2 NGATION DUNE PROPOSITIONSi 1 est une proposition, on note la ngation de 1 par non 1 ou 1, qui est vraie si 1 est fausseet fausse si 1 est vraie.1.1.3 CONNECTEURS LOGIQUES deux propositions 1 et Q, on peut associer une troisime, qui est dnit par un connecteurlogique entre ces deux propositions.ConjonctionOn appelle conjonction de deux propositions 1 et Q, la proposition note 1 .Q qui est vraie,si 1 et Q sont vraies et fausse dans les autres cas. Deux propostions sont incompatibles, sileur conjonction est fausse.DisjonctionUne disjonction de deux propositions, est not par 1 .Q, et elle est vraie si lun des deux estvraie.ImplicationLimplication de deux propositions 1 et Q, est la proposition (non 1) ou Q, note 1 = Q(qui se lit 1 implique Q), qui est fausse dans le seul cas o 1 est vraie et Q est fausse.quivalenceDeux propositions sont dites quivalentes, ce quon note 1 == Q, si elles sont toutes lesdeux vraies, ou toutes les deux fausses. En examinant la proposition 1 =Q et Q =1.13Ces formules sont rduits dans le tableau suivant:1 Q1 1 . Q 1 . Q 1 =Q 1 ==Q1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 11.1.4 LES QUANTIFICATEURSSoit un ensemble 1 et une proprit dtermine 1. On peut se poser les deux questionssuivantes:a) Existe-t-il des lments de 1 qui possdent cette proprit?b) Dans larmative, la proprit appartient-elle tous les lments?Pour formuler les rponses ces deux questions on introduit deux symboles appels quan-ticateurs. Ce sont:Quanticateur existentielIl scrit et signie: il existe au moins un lment de 1 ayant la proprit 1.Par exemplelcriturer R tel que: r2r 2 = 0signie quil existe au moins un nombre rel tel que: r2r 2 = 0.Quanticateur universelQui scrit \ et signie que tout lment de 1 vrie 1. Par exemple lcriture\r R tel que: r2 2r 1 = (r 1)2signie que pour tout nombre rel vrie lidentit crite.Dnition 1.1 Une tautologie est une proposition qui est vraie dans tous les cas.14Exemple 1.1 Vrier que la proposition:(1 =Q) . (Q =1)est une tautologie.1 Q 1 =Q Q =1 (1 =Q) . (Q =1)1 1 1 1 11 0 0 1 10 1 1 0 10 0 1 1 11.2 QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTSIl est important de trouver un moyen ou une mthode pour rpondre un certain problme,pour cela on sinspire quelques techniques ou raisonnements.1.2.1 LE RAISONNEMENT PAR LABSURDEgnralement, la recherche dune rponse un problme sapuie sur les hypothses donns oules thormes connus, mais parfois le chemin direct est dicille vrier. On sinspire doncsur le raisonnement par labsurde, qui propose que la ngation du problme voulu est vraie,et par suite on arrive une contradiction avec les hypothses donns, ou lun des thormesconnus, ou bien lun des axiomes.... Cest dire quon a proposer est fausse, ce qui arme quele problme voulu est vraie. Autrement dit:(1 =Q) ==_Q =une contradiction_.Exemple 1.2 Montrons que::2est pair =: est pair15par labsurde supposons que:: nest pas pair =: est impair =: = 2/ 1=:2= 2_2/2 2/_ 1= 2j 1=:2est impair, contradiction avec lhypothse.= ce quon a proposer est fausse=: est pair.1.2.2 LE CONTRAPOSEOn appelle contrapose dune implication 1 =Q limplication (non Q =non 1). Autrementdit si on a non Q implique non 1, alors par hypothse on a 1, cest--dire, on a pas non Q,alors on a Q.Exemple 1.3 Montrons que:\r, j R r ,= j =8r 2 ,= 8j 2En eet:8r 2 = 8j 2 =r = j cest le contrapose.1.2.3 LE RAISONNEMENT PAR RCURRENCEOn utilise le raisonnement par rcurrence dans le cas dune relation ou formule qui depend dunindice : N. Alors pour montrer quune proprit est vraie pour tout entier : suprieur ougal un entier :0, on vrie quelle est hriditaire ( cest--dire que si elle est vraie pour unentier quelconque, alors elle est vraie pour son suivant). Il sut alors quelle soit vraie pourlentier :0 pour en dduire quelle est vraie pour tout entier : suprieur ou gal un entier :0.Exemple 1 Montrons que quel que soit lentier naturel :, lentier 82a 2aest divisible par7.(1a)Par rcurrence montrons que (1a) est vraie pour tout : N.16Si : = 0, 8020= 0 = 0.7 =8020est divisible par 7.=10 est vraie.Supposons que (1a) est vraie (lhypothse de rcurrence), et montrons que (1a+1) lest aussi,cest--dire:82(a+1)2a+1est divisible par7.En eet:82(a+1)2a+1= 2._82a2a_ 7.82a= 2.7./ 7.82a(lhypothse de rcurrence)= 7_2./ 82a_= 7./t=82(a+1)2a+1est divisible par7.Conclusion:\: N, 82a2aest divisible par 7.1.3 THORIE DES ENSEMBLESUn ensemble est constiu dobjets matriels, ou de phnomnes, ou de signes, ou didentitsabstraites, rassembls en vertu dune proprit commune.Un ensemble est une entit dune nature dirente de celle des lments qui le composent:un ensemble de points nest pas un point, mme sil ne contient quun point.Certains ensembles particulirement importants sont dsigns par des lettres dtermines.Signalons:N = 0, 1, 2, 8, 4, , ... ;Z = 0, 1, 2, 8, ... ;Q, ensemble des nombres rationnels: fractions positives ou ngatives;R, ensemble des nombres rels;17C, ensemble des nombres complexes.Dune autre faon on peut dsigner un ensemble ou une partie en prcisant les propritsparticulires 1 vries par un lment r de cette partie, par exemple:r, r R; 1 _ r _ VOCABULAIRES ET NOTATIONS:Si a est un lment de lensemble 1, on crit a 1, on nonce " a lment de 1 " ou encore" a appartient 1 ". La ngation de lnonc prcdent se note a , 1. Notons quun ensemblequi ne contient aucun lment est dit lensemble vide, not: ?.1.3.1 Inclusion-sous ensembleSoient 1, 1 deux ensemble. Si tous les lments dun ensemble 1 appartiennent un ensemble1 on dit que 1 est inclus dans 1, ou bien 1 est un sous ensemble de 1.Exemple 1.4 N R.Exemple 1.5 ? 1, avec 1 est un ensemble quelconque.Preuve: Soit a ? =a 1 est vraie car la premire proposition est fausse, ce qui armeque limplication est vraie.1.3.2 Egalit de deux ensemblesSoient 1, 1 deux ensemble. Pour montrer que 1 = 1, on montre que 1 1 et 1 1.1.3.3 Ensemble des partiesOn appelle ensemble des parties dun ensemble 1, et lon dsigne par j (1), lensemble dontles lments sont les parties de 1. On a ? j (1) , 1 j (1).Exemple 1.6 1 = 1, 2, 8, alors: j (1) = ?, 1 , 2 , 8 , 1, 2 , 1, 8 , 2, 8 , 1 .181.3.4 IntersectionOn appelle intersection dune famille de parties, , 1, C, par exemple, le sous-ensemble formpar les lments appartenant chacune des parties considres. On dsigne cette intersectionpar la notation 1 C. Elle peut se rduire la partie vide, en particulier si des sous-ensembles sont disjoints. On a alors:r 1 =r et r 11.3.5 RunionLensemble de tous les lments appartenant au moins lune des parties , 1, C, est dit larunion de ces parties, note:' 1 ' C. On a alors:r ' 1 =r ou r 11.3.6 PartitionOn ralise une partition dun ensemble 1 en classant les lments de 1 dans des sous ensemblesdisjoints 11, 12, 13, ..., tels que tout lment de 1 soit class. On la note par: 1 (1) .Enparticulier on a:1 (1) = 11' 12' 13' ...et 1i 1)=?, \i ,= ,Exemple 2 1 = 1, 2, 8, alors:1 (1) = 1 , 2 , 8ou bien 1 (1) = 1, 2 , 8...1.3.7 ComplmentaireLe complment dun ensemble 1 dans un ensemble 1, est lensemble dans la runion avec 1est gale 1, et lintersection avec 1 est gale lensemble vide. On le note: C11ou bien1.19Donc on a:1 ' 1 = 1et 1 1 =?1.3.8 Ensemble produitOn appelle produit de deux ensembles 1 et 1 lensemble des couples ordonns du type (r, j)avec r 1 et j 1, not 1 1.1.3.9 DirenceLa dirence entre deux ensemble 1 et 1 est lensemble:1 r1 = r 1 avec r , 11.3.10 Dirence symtriqueLa dirence symtrique entre deux ensemble 1 et 1 est lensemble:11 = (1 r1) ' (1 r1)= (1 ' 1) r(1 1)= (r 1 avec r , 1) ou bien (r 1 avec r , 1)1.3.11 Exemple dapplicationSoient 1 et 1 deux sous ensembles de G, montrons que:1 ' 1 =_11_1) montrons que:1 ' 1 _11_20Soit r 1 ' 1 =r 1 ou r 1 =r G et r , 1 ou r G et r , 1.=r G et r , 1 ou r , 1.=r G et r , 1 1=r _11_2 dune faon similaire on montre que:_11_ 1 ' 11.4 ExerciceExercice 01: 1, Q, 1sont trois propositions.(1) Vrier les lois de Morgan:1) 1.Q = 1 . Q 2) 1.Q = 1 . Q(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?a) [1 =Q[ = 1 .Qb) [1 =Q[ =_Q = 1c) [1 . Q[ . 1 =[Q =1[d) [1 =(Q. 1)[ =[(1 =Q) . (1 =1)[.Exercice 02: Pour : N+, Montrer que:1) Si :2est pair, alors : est pair.2) Si 2a1 est un nombre premier alors : est premier.3) Si r et j sont dirents alors les nombres (r 1) (j 1) et (r 1) (j 1) sont dirents.4) a et j sont deux entiers naturels; montrer que lon a :( j premier et j divise a2) =j divise a.215) _2 est un nombre irrationnel. Dduire que: _2 +_8 est irrationnel.Exercice 03: Montrer par rcurrence que:1) \: N, 4a 6: 1 est un multiple de 9.2) \: N+,a

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 14:(: 1) (: 2) (: 8) .8) \: N+, 2a1_ :!. avec :! = :(: 1) (: 2) ...1 et 0! = 1Exercice 04: , 1 et C sont trois parties dun ensemble1. Montrer que:1) ' 1 = C =1 C.2) 1 =C11 C1 =' 1 = 13) C'11= C1 C114) 1 = C =( 1 = Cet ' 1 = ' C )5) ( 1) C (1 ' C) .6) On suppose que: 1 = ' 1.A-t-on 1 = C.Exercice 05: Soient 1 un ensemble, , 1 1 (1) .Rsoudre dans 1 (1) les quations suivantes:1) A ' = 1 et 2) A = 18) A = 1 et 4) A = 1Exercice 06: Soient 1 un ensemble non vide, et 1 (1) lensemble de ses parties. On suppose que card1 = :.Montrer par rcurrence que:card 1(1) = 2a.1.5 Solution des exercicesExercice 01: 1 et Q tant deux proposition:22(1) Vrions les lois de Morgan:1 Q1Q 1 . Q1.Q1 . Q 1 . Q = 1 . Q1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 10 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 0 1 1 11 Q1Q 1 . Q1.Q1 . Q1.Q = 1 . Q1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 1 10 0 1 1 0 1 1 1(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?Une tautologie est une proposition qui est vrai dans tous les cas.1 Q1Q 1 =Q1 .QQ = 11 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 00 1 1 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1la suite du tableau[1 =Q[ = 1 .Q [1 =Q[ =_Q = 11 11 11 11 1231 Q 1 1 . Q Q =1 Q. 1 1 =Q 1 =1 [1 . Q[ . 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1 0 11 0 1 0 1 0 0 1 11 0 0 0 1 0 0 0 00 1 1 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 00 0 1 0 1 0 1 1 10 0 0 0 1 0 1 1 0la suite du tableau1 =(Q. 1) (1 =Q) . (1 =1) c) d)1 1 1 10 0 0 10 0 1 10 0 0 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 0 1Ce qui implique que: les propositions a), b) et d) sont des tautologies mais b) nestpas une tautologie.Exercice 02: Pour : N+, Montrons par un raisonnement par labsurde que:(1) Si :2est pair, alors : est pair.Supposons que: : nest pas pair = n est impair = / N tel que: : = 2/ 1 = :2=(2/ 1)2= 4/2 4/ 1 = 2_2/2 2/_ 1= 2: 1 avec : = 2/2 2/ N =:2est impair (contradiction avec lhypothse).(2) Si 2a1 est un nombre premier alors : est premier.24Supposons que : nest pas premier=a, / N avec / ,= 0 tel que: : = a / , (a, /) ,= (:, 1)et (a, /) ,= (1, :) .Alors 2a 1 = 2ob 1 = (2o)b 1 = [(2o) 1[ [1 (2o)[ avec oog 1 (2o) = / 1. Mais[(2o) 1[ ,= 2a1 et [(2o) 1[ ,= 1=2a1 = '[1 (2o)[ avec ' ,= 2a1 et ' ,= 1 =2a1 nest pas premier (contradictionavec lhypothse).(3) Si r et j sont dirents alors les nombres (r 1) (j 1) et (r 1) (j 1) sont dirents.Supposons que (r 1) (j 1) = (r 1) (j 1) = rj r j 1 = rj r j 1 =2j = 2r =r = j (contradiction avec lhypothse).(4) a et j sont deux entiers naturels; montrer que lon a :( j premier et j divise a2) =j divise a.Si j premier et j divise a2=/ N tel que: a2= /j =aa= /j=___ a divise j et / divise a contradiction avec le fait que j est premier.ou bien: jdivise a et adivise /=j divise a.(5) si j est premier alors _j est un nombre irrationnel.Supposons par labsurde que: _j est un nombre rationnel= a, / N , (a, /) = 1 avec/ ,= 0 et _j = ob =j =_ob_2=j/2= a2=j divise a2mais j premier=j divise a =a = /j, / N =/2= j/2=j divise /2,mais j premier=j divise /= j ,= 1 est un diviseur commun de a et / contradiction avec (a, /) = 1 = _j est unnombre irrationnel.(6) _2 est un nombre irrationnel. Dduire que: _2 +_8 est irrationnel.Daprs (5) _2 est un nombre irrationnel. Supposons que _2 +_8 est rationnel=1_2+_3 Q =_2 -_8 Qla somme des deux nombres= 2_2 Q = _2 Q contradiction= _2 +_8 est irra-tionnel.25Exercice 03: Montrons par rcurrence que:1) \: N, 4a 6: 1 est un multiple de 9.2) \: N+,a

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 14:(: 1) (: 2) (: 8) .8) \: N+, 2a1_ :!. avec :! = :(: 1) (: 2) ...1 et 0! = 11) \: N, 4a 6: 1 est un multiple de 9.(1a)Si : = 0, 4060 1 = 0 = 0.0 =4060 1 est un multiple de 0 =10 est vraie.Supposons que (1a) est vraie pour un : N (lhypothse de rcurrence), et montrons que(1a+1) lest aussi, cest--dire:4(a+1) 6 (: 1) 1 est un multiple de 9.En eet:4(a+1) 6 (: 1) 1 = 44a 6: 1 6= 0./ 8.4a 6 (lhypothse de rcurrence)= 0./ 8 (0/ 6: 1) 6 = 0 (/ 8/ 2: 1)= 4(a+1) 6 (: 1) 1 est un multiple de 9.Conclusion:\: N, 4a 6: 1 est un multiple de 9.2) \: N+,a

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 14:(: 1) (: 2) (: 8) . (1a)Si : = 1,1

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 1 (2) (8) = 6 et14:(: 1) (: 2) (: 8) = 141 (2) (8) (4) =6 =11 est vraie.Supposons que (1a) est vraie pour un : N+ (lhypothse de rcurrence), et montrons que26(1a+1) lest aussi, cest--dire:a+1

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 14 (: 1) (: 2) (: 8) (: 4)En eet:a+1

I=1/ (/ 1) (/ 2) =a

I=1/ (/ 1) (/ 2) (: 1) (: 2) (: 8)=14:(: 1) (: 2) (: 8) (: 1) (: 2) (: 8)=14 (: 1) (: 2) (: 8) (: 4)Conclusion:\: N+,a

I=1/ (/ 1) (/ 2) = 14:(: 1) (: 2) (: 8) .3) \: N+, 2a1_ :!. (1a) avec :! = :(: 1) (: 2) ...1 et 0! = 1Pour : = 1, 211= 20= 1 _ 1! = 1 =10 est vraie.Supposons que (1a) est vraie pour un : N+ (lhypothse de rcurrence), et montrons que(1a+1) lest aussi, cest--dire:2a_ (: 1)!En eet:2a= 2.2a1_ 2.:! _ (: 1) .:! = (: 1)!Conclusion:\: N+, 2a1_ :!.Exercice 04: , 1 et C sont trois parties dun ensemble1. Montrons que:(1) ' 1 = C =1 C."=" Montrons que: ' 1 = C =1 Ca) 1 , si r 1 =r ' 1 =r C =r =1 b) C, si r =r ' 1 =r C =r et r C = C=1 C27"="1 C =' 1 = Ca) ' 1 C, si r ' 1 =___r =r Cou r 1 =r =r C =r Cb) C ' 1, si r C =r =r ' 1(2) 1 =C11 C1 =' 1 = 1a) Montrons que: 1 =C11 C1En eet:"="si r C11 =r 1 et r , 1 =r 1 et r , car 1 =r C1"="si r =r , C1 =r , C11 =r 1b) Montrons que: C11 C1 =' 1 = 1"="1) ' 1 1si r ' 1 =___ r =r , C1 =r , C11 =x Bou x B=r 12)1 ' 1 vident dans tous les cas."="C11 C1si r C11 =r , 1 =r , ' 1 =r , =r C1.(3) C'11= C1 C11" "C'11 C1 C11si r C'11=r , ' 1 =r , et r , 1 =r C1 et r C11 =r C1 C11" " C1 C11 C'11si r C1 C11 =r C1 et r C11 =r , et r , 1 =r , ' 1 =r C'11.(4) 1 = C =( 1 = Cet ' 1 = ' C )"=" Montrons que: ( 1 = Cet ' 1 = ' C )si 1 = C = 1 = Cet ' 1 = ' C"=" Montrons que: 1 = C" "si r 1 =r ' 1 =r ' C28=___ r =r 1car on a r 1 =r C =x Cou x C=r C" " si r C =r ' C =r ' 1=___ r =r C car on a r C =r 1 =x Bou x B=r 1(5) ( 1) C (1 ' C) .si r ( 1) C = r ( 1) et r , C = r et r , 1 et r , C = r et(r , 1 et r , C)=r et r , 1 ' C =r (1 ' C)(6) On suppose que: 1 = ' C.A-t-on 1 = C.Non car par exemple: = 1, 2, 4 , 1 = 1, 2, 4 et C = 1, 2 on a: 1 = 'C.mais1 ,= C.Exercice 05: Soient 1 un ensemble non vide, et 1 (1) lensemble de ses parties. On suppose que card1 = :.Montrer par rcurrence que:card 1(1) = 2a, \: N+.Par rcurrence:1re tape: Pour un ensemble qui contient un seul lment par exemple: 1 = a = 1(1) = ?, a=card 1 (1) = 21= 2donc la relation est vraie pour : = 12me tape: supposons que pour un ensemble a qui contient : lments alors: card 1(a) = 2a29et montrons que pour un ensemble a+1 qui contient : 1 lments alors: card 1(a+1) = 2a+1En eet: si on a un ensemble a+1 qui contient : 1 lments alors: lensemble desparties contient les sous ensemblesqui ont un lien avec les : premiers lments qui sont 2asous ensembles et on ajoute lesmmes sous enembles mais qui contientsllment dordre (: 1) chaque fois.=card 1 (a+1) = 2a 2a= 2a+1.conclusion:card 1(1) = 2a, \: N+.Exercice 06: Soient 1 un ensemble, , 1 1 (1) .Rsoudre dans 1 (1) les quations suivantes:(1) A ' = 1 et (2) A = 1(8) A = 1 et (4) A = 1(1) A ' = 1 = 1 =A = C1 ' 1 avec1 Alors lensemble des solutions est I1 =_A = C1 ' 1 avec 1 1 () ensemble des parties de _(2) A = 1 =1 =A = 1 ' 1 avec1 C1Alors lensemble des solutions est I2 =_A = 1 ' 1 avec 1 1 _C1_ensemble des parties de C1_(8) A = 1 = 1 = ? =A = 1 ' 1 avec1 Alors lensemble des solutions est I3 = A = 1 ' 1 avec 1 1 () ensemble des parties de (4) A = 1 =A = (1 ) ' ( 1) .30Chapitre 2Relations dquivalence- Relationsdordre2.1 RELATIONS DQUIVALENCE2.1.1 NOTION DE RELATION BINAIREOn appelle relation de 1 vers 1 tout procd associant des lments de 1 des lments de1.Soit + une relation de 1 vers 1. Si r 1 est en relation avec j 1, on notera:r+jLensemble des couples (r, j) 1 1 vriant une relation + est appel le graphe de +.Si 1 = 1, une relation de 1 vers 1 est appele relation binaire sur 1 ( ou dans 1). Parexemple lgalit est une relation binaire sur tout ensemble 1.Proprits des relations binaires dans un ensembleSoit + une relation binaire dans un ensemble 1 et r, j, . des lments de 1.Reexivit+ est rexive si:\r 1 r+r31Exemple 3 Soit + la relation dnie sur Z par:r+j =8 divise (r j)(On rappelle que a divise / =/ Z : / = /a).Alors on a: pour tout r Z, rr = 0 = 08, donc 8 divise (r r), do r+r, et par suite+ est rexive.Transitivit+ est transitive si:\r, j, . 1 r+j et j+. =r+.Exemple 4 Soit + la relation dnie sur N N par:_r, rt_+_j, jt_=r rt = j jtAlors on a: pour tout (r, rt) N N, r rt = r rt, do (r, rt) +(r, rt), et par suite +est rexive.Symtrie+ est symtrique si:\r, j 1 r+j =j+rExemple 5 Soit + la relation dnie sur R par:r+j =(r j) est un multiple de 2Alors on a: \r, j R, r+j = (r j) est un multiple de 2 = (j r) est un multiple de 2=j+r, et par suite + est symtrique.Antisymtrie+ est antisymtrique si:\r, j 1 r+j et j+r =r = j32Exemple 6 Soit + la relation dnie sur N+ par:a+/ =a divise /Alors on a: \a, / N+, a+/ =a divise / =/1 N+ tel que:/ = /1 a, dautre part on a:/+a =/ divise a =/2 N+tc|nc : a = /2 /=a = /2 /1 a=/2 /1 = 1 =/2 = /1 = 1=a = /et par suite + est antisymtrique.2.1.2 RELATION DQUIVALENCEDnitionUne relation dnie dans un ensemble 1 est une relation dquivalence si elle est:A rexive,A symtrique,A transitive.Sir+j, avec + est une relation dquivalence. Alors on dit que r est quivalent j modulo+.Exemple 2.1 Soit + la relation dnie sur Z par:r+j =8 divise (r j)Classe dquivalenceUne classe dquivalence dun lment r donn est lensemble des lments j quivalents cet lment note: ` r ou c| (r) ou bien C (r) .33Exemple 7 Soit + la relation dnie sur Z par:r+j =8 divise (r j)alors:`2 = r Z tel que: r+2r+2 =8 divise (r 2)= / Z : r 2 = /8=r = /8 2=`2 = ..., 7, 4, 1, 2, , 8, ...Ensemble quotientLensemble des classes dquivalence modulo + se nomme ensemble quotient de 1 par + etse note1T ou 1 +.Lensemble quotient constitue une partition de 1.En eet si r 1, ` r ,= ? puisque + est rexive et r ` r.Et on a: ' ` r = 1, r 1.Enn si ` r ,= ` j = ` r ` j = ? car sil existe un lment a ` r ` j =a+r et j+a =r+j = ` r = ` j(contradiction).Remarque 2.1 Si a ` r alors ` a = ` r.2.2 RELATION DORDREDnition 2.1 Une relation dnie dans un ensemble 1 est une relation dordre si elle est:A rexive,A antisymtrique,A transitive.34Exemple 8 Soit + la relation dnie sur N+ par:j+ =(: N+ tel que ja= ) .En eet:a) La rexivit:on a: j1= j =j+j =+ est rexive.b) Lantisymtrie:si: j+ et + j =___ (:1 N+ tel que ja1= ) et(:2 N+ tel que a2= j)= a1a2= =:1:2 = 1 =:1 = :2 = 1=j = =+ est antisymtrique.b) La transitivit:si: j+ et + r =___ (:1 N+ tel que ja1= ) et(:2 N+ tel que a2= r)= ja1a2= r =(: = :1:2 N+ tel que jn= r)=j+ r =+ est transitive.conclusion: + est une relation dordre.2.2.1 Lordre total et lordre partielDnition 2.2 Soit + une relation dordre dnie sur un ensemble 1, alors si pour tout r, j 1, on a ou bien r+j ou j+r, on dira que lordre est total, si non cest direc, , 1 tel que on a ni c+, ni ,+c35alors + est un ordre partiel.Exemple 2.2 Soit + la relation dnie sur N+ par:j+ =(: N+ tel que ja= ) .+ est un ordre partiel car:pour c = 2 et , = 8 on ni c+, ni ,+c.2.2.2 MAJORANT,MINORANTDnition 2.3 Soit 1 un ensemble muni dune relation dordre +, alors ' est un majorantde 1, si \r 1, r+'. Dautre part : est un minorant de 1, si \r 1, :+r.Exemple 2.3 Dans 1 = [2, [ muni dune relation dordre + dnie par:r+j =r _ jlordre est total et on a par exemple:7 est un majorant de 1 et 8 est un minorant de 1.2.2.3 La borne suprieure, la borne infrieureDnition 2.4 Soit 1 un ensemble muni dune relation dordre +, alors la borne suprieuredun ensemble 1 est le plus petit des majorant, note onj1.Dautre part la borne infrieureest le plus grand des minorants, note 1:) 1.Exemple 2.4 Dans 1 = [2, [ muni dune relation dordre + dnie par:r+j =r _ jonj1 =et 1:) 1 = 2 .362.2.4 Maximum, minimumDnition 2.5 Soit 1 un ensemble muni dune relation dordre +, alors si la borne suprieuredun ensemble 1 appartient 1, alors llment maximal (maximum) ou dit le plus grandlment de lensemble existe et il est gal la borne suprieure de 1, si non alors le maximumnexiste pas. Dautre part si la borne infrieure dun ensemble 1 appartient 1, alors llmentminimal (minimum) ou dit le plus petit lment de lensemble existe et il est gal la borneinfrieure de 1, si non le minimum nexiste pas.On note le maximum par: 'ar1 et le minimum par: 'i:1Exemple 2.5 Dans 1 = [2, [ muni dune relation dordre + dnie par:r+j =r _ j___onj1 = , 1 ='ar1 nexiste pas et1:) 1 = 2 1 ='i: 1 =1:) 1 = 2 .2.3 ExerciceExercice 01: On dnit dans R+ la relation 1 par:r 1 j ==r2 1r2 = j2 1j2(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.(2) Dterminer la classe dquivalence de a R+.Exercice 02: On dnit dans R+ la relation 1 par: r 1 j == aj0(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.(2) Dterminer c| (1) et c| (2) . En dduire la classe dquivalence de a R+.Exercice 03: soit o la relation dans R dnie par:a o / =a3/3= a /37(1) Montrer que o est une relation dquivalence.(2) Discuter suivant la valeur de : le nombre dlments contenus dans la classe de : .Exercice 04: Soit 1 la relation binaire dnie sur Z N+ par:(r, j) 1_r t, j t_=rj tr tj = 0.(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.(2) Dterminer c| ((1, 2)) et c| ((1, 2)) .Exercice 05 : Dans j (1), ensemble des parties de 1 ,= ?, 1 est dnie par: 1 1 =_ = 1 ou = C11_(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.(2) Dterminer c| (?) ,en dduire c| (1) .(3) A-t-on c| ( 1) = c| () c| (1) pour , 1 dans j (1)justier.Exercice 06: Soit 1 la relation dnie sur N+ par:r 1j = : N tel que : r a=j .(1) Montrer que 1 est une relation dordre dans N+.(2) Cet ordre est-il total ?(3) Soit lensemble 1 = 1, 4, 8 . Dterminer sils existent, 'ar et 'i: pour lordre1.Exercice 07: Soit dans R2la relation dnie par:(r, j) __r t, j t_=r _ r tet j _ j t.38(1) Montrer quil sagit dune relation dordre. Lordre est-il total ?(2) Prciser deux minorants, deux majorants, bornes infrieure et suprieure de la partie:=(1, 2) , (8, 1) .(3) La partie possde-t-elle un plus grand lment ? un plus petit lment ?.Exercice 08: On dnit dans Z la relation o par:a o / =a _ / 1(1) Vrier que 0 o 1 et 1 o 0.Donner une conclusion?(2) Soit 1 la relation dnie sur Z par:a 1 / =a / 1Montre que 1 est une relation dordre dans Z.2.4 Solution des exercicesExercice 01: On dnit dans R+ la relation 1 par:r 1 j ==r2 1r2 = j2 1j2(1) Montrons que + est une relation dquivalence dans R+.a) + est-elle rexive?+ est rexive= \r R+, r + r.\r R+, r2 1r2 = r2 1r2 =r +r =+ est rexiveb) + est-elle symtrique?39+ est symtrique=\(r, j) R+R+, r + j =j + r.\(r, j) R+R+, r +j =r2 1r2 = j2 1j2=j2 1j2 = r2 1r2 =j+r= + est symtrique .c) + est-elle transitive?+ est transitive=\(r, j, .) R+R+R+, r +j et j+. =r +..\(r, j, .) R+R+R+, r +j et j+.=r2 1r2 = j2 1j2 et j2 1j2 = .2 1.2=r2 1r2 = .2 1.2 =r +..Conclusion : + est une relation dquivalence dans R+.2) Dterminons la classe dquivalence de a R+.` a = r R+,r +a alors: r +a = r21a2= a21o2 = r4 1 = _a21o2_r2=r4_a21o2_r21 = 00n pose t = r2=t2_a21o2_t 1 = 0 = =_a21o2_24=_a21o2 2

_a21o2 2alors:1/ Si = 0 = _a21o2_2 4 = 0 = a21o2 = 2 = t =

o2 1a2

2=t = 1out = 1 qui ne convient pas car t0=r = 1 = ` a = a, 1, 1 .1. 2/ Si < 0 =alors on a un lment unique dans la classe de a = ` a = a.3/ Si 0 = t1 =

o2 1a2

_.2ou bien t2 =

o2 1a2

+_.2alors on a 5 lmentsdans la classe de a= ` a =_a,_t2, _t2,_t1, _t1_.40Exercice 02: On dnit dans R+ la relation 1 par:r 1 j == rj0(1) Montrons que + est une relation dquivalence dans R+.a) + est-elle rexive?+ est rexive= \r R+, r + r.\r R+,rr = 10 =r +r =+ est rexiveb) + est-elle symtrique?+ est symtrique=\(r, j) R+R+, r + j =j + r.\(r, j) R+R+, r +j = rj0 =jr0 =j+r= + est symtriquec) + est-elle transitive?+ est transitive=\(r, j, .) R+R+R+, r +j et j+. =r +..\(r, j, .) R+R+R+, r +j et j+. = rj0et j.0=r et j ont le mme signe et j et . ont le mme signe et r ,= 0=r et . ont le mme signe et r ,= 0 =r . _ 0 =r +. =+ est transitiveConclusion : + est une relation dquivalence dans R+.(2) Dterminons la classe dquivalence de 1.`1 = r R+,r +1 .r +1 =r10 =r0 = `1 = [0, [41b) Dterminons la classe dquivalence de 2.`2 = r R+,r +(2) .r +1 =r20 =r < 0 =`2 = [, 0[(3) Soit a R+, alors ` a =___ [0, [ si a0[, 0[ si a < 0Exercice 03: soit o la relation dans R dnie par:a o / =a3/3= a /(1) Montrons que o est une relation dquivalence.a) o est-elle rexive?o est rexive= \a R, ao a.\a R, =a3a3= a a = 0 =a oa =o est rexiveb) o est-elle symtrique?o est symtrique= \(a, /) R R, a + / =/ + a.\(a, /) R R, a +/ =a3/3= a / ==/3a3= / a =/ oa =o est symtrique.c) o est-elle transitive?o est transitive= \(a, /, c) R R R, ao/ et /oc =a oc.\(a, /, c) R R R,a +/ = \a R, =a3/3= a /et /oc = \a R, =/3c3= / c=a3c3= a c =a oc =o est transitive422) Discuter suivant la valeur de : le nombre dlments contenus dans la classe de : .c| (:) =a R, :oa:oa = :3a3= :a=(:a) (:2a:a2) = (:a)=(a :) (a2:a :2) = (a :) =___a = :ou a2:a :2= 1 =a2:a :21 = 0conclusion: pour = :24_:21_= 4 8:2=_2 _8:_ _2 _8:_1/ Si = 0 = : =2_3ou : = 2_3alors on a deux lments dans la classede :.2/ Si < 0 = : _, 2_3_'_2_3, _alors on a un lment unique dans laclasse de :.3/ Si 0 = : _2_3,2_3_ alors on a 3 lments dans la classe de :.Exercice 04: Soit 1 la relation binaire dnie sur Z N+ par:(r, j) 1_rt, jt_=rj tr tj = 0.(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.a) 1 est-elle rexive?1 est rexive= \(r, j) Z N+, (r, j) 1(r, j)\(r, j) Z N+ =rj r j = 0 =(r, j) 1(r, j) =1 est rexiveb) 1 est-elle symtrique?1 est symtrique= \(r, j) , (rt, jt) Z N+, (r, j) 1(rt, jt) =(rt, jt) 1(r, j)soient (r, j) ,_rt, jt_ Z N+, si (r, j) 1_rt, jt_=rj tr tj = 0 ==r tj rj t = 0 =_rt, jt_1(r, j) =1 est symtrique.43c) 1 est-elle transitive?1 est transitive= \(r, j) , (rt, jt) , (rtt, jtt) Z N+, (r, j) 1(rt, jt) et (rt, jt) 1(rtt, jtt) =(r, j) 1(rtt, jtt) .soient (r, j) ,_rt, jt_, (rtt, jtt) Z N+,(r, j) 1_rt, jt_ =rj tr tj = 0 =rt = rj tjcar j N+et _rt, jt_1_rtt, jtt_ =rtjttrttjt = 0 = rj tjjttrttjt = 0=rjjttrtt = 0 =rjttjrtt = 0=(r, j) 1_rtt, jtt_=1 est transitive(2) Dterminer c| ((1, 2)) et c| ((1, 2)) .c| ((1, 2)) = (r, j) Z N+, (r, j) 1(1, 2)(r, j) 1(1, 2)=2r j = 0 =c| ((1, 2)) = r(1, 2) , r Ret pour:c| ((1, 2)) = (r, j) Z N+, (r, j) 1(1, 2)(r, j) 1(1, 2)=2r j = 0 =c| ((1, 2)) = r(1, 2) , r RExercice 05 : Dans j (1), ensemble des parties de 1 ,= ?, 1 est dnie par: 1 1 =_ = 1 ou = C11_(1) Montrer que 1 est une relation dquivalence.+ est rexive= \ j (1) , + .on a: = = + =+ est rexiveb) + est-elle symtrique?44+ est symtrique=\, 1 j (1), + 1 =1 + soient , 1 j (1) , +1 =_ = 1 ou = C11_= _1 = ou 1 = C1_=1+= + est symtrique .c) + est-elle transitive?+ est transitive=\, 1, C j (1) , +1 et 1+C = +C.\, 1, C j (1) , +1 et 1+C =_ = 1 ou = C11_et _1 = Cou 1 = CC1_=___ = 1et 1 = C = = C = 1et1 = CC1 = = CC1 = C11et 1 = C = = CC1 = C11 et1 = CC1 = = C=_ = C ou = CC1_= +C.Conclusion : + est une relation dquivalence dans j (1) .(2) Dterminer c| (?) ,en dduire c| (1) .c| (?) = j (1) ,+?+? = _ = ? ou = C?1_= = ? ou = 1c| (?) = ?, 1 et puisque 1 c| (?) =c| (1) = ?, 1(3) A-t-on c| ( 1) = c| () c| (1) pour , 1 dans j (1)justier.non car pour: = ? et 1 = 1 on a: c| ( 1) = c| (?) = ?, 1mais c| () c| (1) = c| (?) c| (1) ,= ?, 1 car 1 , ?, 145donc: c| ( 1) ,= c| () c| (1)Exercice 06: Soit 1 la relation dnie sur N+ par:r 1j = : N tel que : r a=j .(1) Montrer que 1 est une relation dordre dans N+.a) 1 est-elle rexive?1 est rexive= \r N+, r 1 r\r N+ = : =1 N tel que : r 1= r =r 1 r =1 est rexiveb) 1 est-elle antisymtrique?1 est antisymtrique= \r, j N+, r 1 j et j 1 r =r = jsoient r, j N+, si r1j et j1r = :1 N tel que : r a1=jet :2 N tel que : ja2=r =( ja2)a1= r a1=j=:1:2 = 1 =:1 = :2 = 1=r = j =1 est antisymtrique.c) 1 est-elle transitive?1est transitive= \r, j, . N+, r 1 j et j 1 . =r 1 ..soient r, j, . N+,r1j et j1.= :1 N tel que : r a1=jet :2 N tel que : j a2=. =(r a1)a2= .: = :1:2 N tel que : r a= .=r 1 . =1 est transitive(2) Cet ordre est-il total ?46Lordre nest pas total car pour les deux entiers 2, 8 on a ni 2 13 ni 8 1 2.(3) Soit lensemble 1 = 1, 4, 8 . Dterminer sils existent, 'ar 1 et 'i: 1 pour lordre1.' est un majorant de 1 =\r 1, r 1 ' =___1 1' = :1 N tel que : 1 a1='4 1' = :2 N tel que : 4 a2= '8 1' = :3 N tel que : 8 a3='Alors les seul majorant est ' = 1 daprs la premire quation=onj1 = 1 ='ar 1 = 1et on a : est un minorant de 1 =\r 1, : 1 r=___: 11 = :1 N tel que : : a1=1 =: N: 14 = :2 N tel que : : a2= 4 =: = 2, 4: 18 = :3 N tel que : : a3=8 =2, 8=: = 2( lintersection entre les trois cas)=1:)1 = 2 , 1 ='i: 1 nexiste pas.Exercice 07: Soit dans R2la relation dnie par:(r, j) __r t, j t_=r _ r tet j _ j t.(1) Montrer quil sagit dune relation dordre. Lordre est-il total ?a) _ est-elle rexive?_ est rexive= \(r, j) R2, (r, j) _ (r, j)\(r, j) R2=r _ ret j _ j =(r, j) _ (r, j) = _ est rexiveb) _ est-elle antisymtrique?_ est antisymtrique= \(r, j) , (rt, jt) R2, (r, j) _ (rt, jt) et (rt, jt) _ (r, j) =(r, j) =47(rt, jt)soient (r, j) ,_rt, jt_ R2, si (r, j) __rt, jt_=r _ r tet j _ j tet si _rt, jt_1(r, j)=r t _ r et j t _ j =r = rt et j = jt=(r, j) =_rt, jt_=_ est antisymtrique.c) _ est-elle transitive?_ est transitive= \(r, j) , (rt, jt) , (rtt, jtt) R2, (r, j) _ (rt, jt) et (rt, jt) _ (rtt, jtt) =(r, j) _ (rtt, jtt) .soient (r, j) ,_rt, jt_, (rtt, jtt) R2,(r, j)_ _rt, jt_=r _ r tet j _ j tet _rt, jt_ _ _rtt, jtt_=rt _ rttet jt _ jtt=r _ rttet j _ jtt=(r, j) __rtt, jtt_=_est transitiveconclusion: _ est une relation dordre qui est partiel car pour les deux couples:(2, 8) et (4, 1) on a ni (2, 8) _ (4, 1) ni (4, 1) _ (2, 8) .(2) Prciser deux minorants, deux majorants, bornes infrieure et suprieure de la partie:=(1, 2) , (8, 1) .('1, '2) est un majorant de =\(r, j) , (r, j) _('1, '2) =___(1, 2) _ ('1, '2) =1 _ '1et 2 _ '2(8, 1) _ ('1, '2) =8 _ '1et 1 _ '2=('1, '2) R avec 8 _ '1 et 2 _ '2=onj = (8, 2) , ='ar nexiste pas.(:1, :2) est un minorant de =\(r, j) , (:1, :2) _(r, j) =___(:1, :2) _ (1, 2) =:1 _ 1et :2 _ 2(:1, :2) _(8, 1) =:1 _ 8et :2 _ 1=(:1, :2) R avec :1 _ 1 et :2 _ 1=1:) = (1, 1) , ='i: nexiste pas.48Exercice 08: On dnit dans Z la relation o par:a o / =a _ / 1(1) Vrier que 0 o 1 et 1 o 0.Donner une conclusion?0 _ 1 1 =0 o 1et 1 _ 0 1 =1 o 0 alors la relation nest pas antisymtrique.(2) Soit 1 la relation dnie sur Z par:a 1 / =a / 1Montrons que 1 est une relation dordre dans Z.a) 1 est-elle rexive?1 est rexive= \a Z, a 1 a\a Z, a a 1 =a1a =1 est rexiveb) 1 est-elle antisymtrique?1 est antisymtrique=\a, / Z, a 1/ et / 1a =a = /soient a, / Z, si a1/ et /1a =a / 1et / a 1 = (a /) < (/ a)=(a /)1 < (a /)(1)alors si (a /),= 0 =1 < (1) (contradiction)=a = / =1 est antisymtrique.c) 1 est-elle transitive?491est transitive= \a, /, c Z, a 1 / et / 1 c =a 1 csoient a, /, c Z,a 1 / et / 1 c = a / 1 =a _ /et / c 1 =/ _ c =a _ c=a < c 1 =1 est transitiveConclusion: 1 est une relation dordre.50Chapitre 3Les applications3.1 NOTION DAPPLICATIONtant donn deux ensembles 1 et 1 on dnit une application de 1 dans 1 en se donnant unergle permettant de faire correspondre tout lment de 1 un lment dterminer de 1. Cettergle est considre comme un oprateur, not ), T, ... Si a 1, ) (a) dsigne le transform dea et reprsente donc un lment de 1, et on note:) : 1 1r )(r) = jOn dit que j est fonction de r. 1 est lensemble de dpart, 1 lensemble darrive. Llmentj associ r est limage de r par ).Exemple 3.1) : R Rr )(r) = 6r 8513.2 GALIT DE DEUX APPLICATIONSPour montrer que deux applications ) et q sont gales, on montre quelles ont le mme ensemblede dpart 1, et le mme ensemble darrive 1 et que\r 1, )(r) = q (r)Exemple 3.2 Soit 1 un ensemble. Pour toute partie A de 1, on note ,A lapplication de 1dans 0, 1 dnie par:,A (t) =___ 1 si t A0 si non,A est appele application caractristique de A.Exemple 9 Montrons que:\, 1 1 (1) , ,1 = , ,1En eet:On sait que ,1 et ,,1 ont mme ensemble de dpart 1 et mme ensemble darriv0, 1, il sut de montrer que:\t 1, ,1 (t) = (, ,1) (t)On distingue les cas suivants:F si t ( 1) =,1 (t) = 1, et (, ,1) (t) = (,) (t)(,1) (t) = 1 1 = 1 (car t et t 1),F si t (r1) =,1 (t) = 0, et (, ,1) (t) = (,) (t)(,1) (t) = 1 0 = 1 (car t et t , 1),F si t (1 r) = ,1 (t) = 0, et (, ,1) (t) = N(,) (t)(,1) (t) = 01 = 1 (cart , et t 1),F si t , (' 1) =,1 (t) = 0, et (, ,1) (t) = (,) (t)(,1) (t) = 0 0 = 0 (car t , et t , 1).52Donc, pour tout t 1, ,1 (t) = (, ,1) (t)et par suite ,1 = , ,1.3.3 COMPOSE DE DEUX APPLICATIONSSoient ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1 et q une application de 1 dansun ensemble G. Alors le compose de ces deux application estq ) : 1 Gr (q )) (r) = q ()(r))Exemple 3.3) : N N et q : N Nr )(r) = 2r r q (r) =___a2si r est paira+12si r est impairAlors:) q : N Nr )(q (r)) =___r si r est pairr 1 si r est impairet q ) : N Nr q ()(r)) = q (2r) = r car 2r = j est un entier pairRemarque 3.1 Dans le cas gnral:q ) ,= ) q (voir lexemple).533.4 IMAGE DUNE PARTIESoient ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1 et une partie de 1. Alorslimage de par ) est dnie par:)() = )(r) , r Exemple 3.4) : R R+r )(r) = [r[ et = 1, 1, 2, 2, 8, 8On a donc:)() = 1, , 2, 83.5 INJECTIVITSoit ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1. Par dnition:) est injective = \r1, r2 1, r1 ,= r2 =)(r1) ,= )(r2)ou bien : )(r1) = )(r2) =r1 = r2(le contrapos)Exemple 3.5) : R R et q : R R+r )(r) = 2r r q (r) = [r[Alors:) est injective car: \r1, r2 R, r1 ,= r2 =2r1 ,= 2r2 =)(r1) ,= )(r2)mais q nest pas injective car par exemple : 2 ,= 2 mais )(2) = )(2) .543.6 SURJECTIVITSoit ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1.Alors:) est surjective = \j 1, r 1 tel que: )(r) = jcest dire chaque lment de lensemble darriv admet un antcdent.Exemple 3.6) : R R et q : N Nr )(r) = [r[ r q (r) =___a2si r est paira+12si r est impairAlors:) nest pas surjective car si j R, \r R, : )(r) = [r[ , = j,mais q est surjective car : \j N, r = 2j N avec)(r) = )(2j) = 2j2= j3.7 BIJECTIVITSoit ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1.Alors:) est bijective =) est injective et surjective.=\j 1, !r 1 tel que: )(r) = jExemple 3.7) : R+R+r )(r) = [r[Exemple 10 ) est bijective.553.8 BIJECTION RCIPROQUESoit ) une application bijective dun ensemble 1 dans un ensemble 1. Alors lapplicationrciproque )1est dnie de 1 dans 1, qui a pour chaque lment j, on associe un lmentunique r.Exemple 3.8) : R Rr )(r) = 8r Exemple 11j = 8r =r = j 8=)1: R Rj j 83.9 IMAGE RCIPROQUE DUNE PARTIESoient ) une application dun ensemble 1 dans un ensemble 1 et 1 une partie de 1. Alorslimage rciproque de 1 par ) est dnie par:)(1) = r 1, )(r) 1Exemple 3.9) : R+R+r )(r) = [r[ et 1 = 1, 2, 8On a donc:)1(1) = 1, , 2, 8563.10 INVOLUTIONune involution est une bijection dun ensemble 1 sur lui-mme, qui est gale son inverse, cest dire:\r 1 )(r) = )1(r)=)[)(r)[ = r ou bien: ) ) = 1ou1 est lapplication identit : \r 1 1 (r) =r.3.11 PROPRITS DES APPLICATIONSSi , 1 1 (1) alors: 1 =)() = )(1)En eet: si j )() =r tel que, )(r) = j= r 1 tel que, )(r) = j car: 1=j )(1) =)() )(1) .de mme pour : )(1) )() .et on a:)(' 1) = )() ' )(1))( 1) )() )(1)Lgalit nayant lieu que si ) est injective.57Exemple 3.10 = 0, , 1 = 0, 8 et )(r) = cos r=)() = 1, 1 , )(1) = 1, 1)( 1) = 1 et )() )(1) = 1, 1= )() )(1))( 1) () nest pas injective).3.12 ExercicesExercice 01: Soit 1 un ensemble. Pour toute partie A de 1, on note ,A lapplication de 1 dans 0, 1dnie par:\t 1, (,A (t) = 1) =(t A) .,A est appele application caractristique de A.(1) Montrer que: \, 1 1 (1) , ,1= , .,1 .(2) En dduireque: , = (, )2.(3) , = 1 , .(4) ,'1= , ,1 , .,1 .Exercice 02: On considre les deux applications de N dans N dnies pour tout r N, respectivementpar:) (r) = 2r, q (r) =___a2si r est paira + 12si r est impairDterminer les applications n = q ) et = ) q .Exercice 03: ) : 1 1 une application, _ 1 et 1 _ 1.(1) Montrer que: ) (' 1) = ) () ' ) (1) .(2) a) Montrer que: ) ( 1) ) () ) (1) .b) Donner un exemple pour lequel ) ( 1) ,= ) () ) (1) .58c) Montrer que si ) est injective alors: ) ( 1) = ) () ) (1) .Exercice 04:(1) Montrer que ) de R dans [1, 1[ dnie par:) (r) =r1 [r[est bijective et dterminer sa rciproque.(2) Soit q lapplication de R dans lintervalle [1, 1[ dnie par:)(r) = sin (r)a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?b) Montrer que la restriction de ) 12 , 12_ est une bijection de 12 , 12_sur [1, 1[ .Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?) : R+ R b) q : Z N c) /: R+R+r sinrrr [r[ [r[ r _rExercice 06: Soit ) de [0, 1[ dans[1, [ dnie par:)(r) =1_1 r2.(1) Montrer que ) est une application et quelle est bijective.(2) Dnir alors lapplication rciproque.Exercice 07: Soit / lapplication de R dans R dnie par: / (r) =4aa2+1.(1) Vrier que pour tout rel a non nul on a: / (a) = / _1o_.lapplication / est-elle injective? Justier.(2) Soit ) la fonction dnie sur lintervalle 1 = [1, [ par ) (r) = / (r) .59a) Montrer que ) est injective.b) Vrier que: \r 1, ) (r) _ 2.c) Montrer que ) est une bijection de 1 sur [0, 2[ et trouver )1(r) .Exercice 08 : Soit ) : R R dnie par: ) (r) =aa2+1.(1) Calculer ) (2) et ) _12_. ) est-elle injective?(2) Rsoudre dans R : ) (r) = 2. ) est-elle surjective?(3) Dterminer ) (R) .(Indication: utiliser (r 1)2_ 0 et (r 1)2_ 0).Exercice 09: Soient 1, 1, G trois ensembles et ) : 1 1, q : 1 G deux applications.(1) Montrer que: q ) est injective =) est injective.(2) Montrer que: q ) est surjective =q est surjective.(3) ) et q sont bijectives = q ) est bijective et (q ))1= ) 1 q1.Exercice 10: Soient 1, 1, G trois ensembles, on considre ) et q deux applications quelconques de 1dans 1 et / une application injective de 1 dans G. montrer que:/ ) = / q=) = q .Exercice 11 : Soient et 1 1 (1) et ) : 1 (1) 1 ()1 (1) dnie par:) (A) = (A , A 1) .(1) Montrer que ) est injective si et seulement si ' 1 = 1 .(2) Montrer que ) est surjective si et seulement si 1 = O.(3) Donner une condition ncessaire et susante pour que ) soit bijective.Dterminer ) 1.603.13 Solution des exercicesExercice 01: Soit 1 un ensemble. Pour toute partie A de 1, on note ,A lapplication de 1 dans 0, 1dnie par:\t 1, (,A (t) = 1) =(t A) .,A est appele application caractristique de A.(1) Montrons que: \, 1 1 (1) , ,1= , .,1 .,1: 1 0, 1 et , .,1: 1 0, 1 car: 00 = 0, 01 = 10 = 0 et 11 = 1.Montrons alors que: \t 1, ,1 (t) = , (t) .,1 (t),1 (t) =___ 1si t 10 si t , 1=___ 1si t et t 10 si t , ou t , 1et , (t) .,1 (t) =___1si t et t 10 si t ou t , 10si t , ou t 10si t , ou t , 1=___ 1si t et t 10 si t , ou t , 1=,1 (t) =,1= , .,1 .(2) En dduireque: , = (, )2.On a: , = (, )2daprs (1) mais: , = ,car: = =, = (, )2.(3) , = 1 , ., (t) =___ 1si t 0 si t , =___ 0si t 1 si t , et 1, =___ 1 1 si t 1 0 si t , =___ 0si t 1 si t , de plus: , (t) : 1 0, 1 et 1 , : 1 0, 1 =, = 1 , .(4) ,'1= , ,1 , .,1 .,'1=___ 1si t ' 10 si t , ' 1=___ 1si t ou t 10 si t , et t , 1.61, (t),1 (t), (t) .,1 (t) =___1 0 0si t et t , 10 1 0 si t , ou t 10 0 0si t , ou t , 11 1 1si t ou t 1=___ 1si t ou t 10 si t , et t , 1=,'1 (t) .et on a: ,'1: 1 0, 1 et , (t) ,1 (t) , (t) .,1 (t) : 1 0, 1=,'1= , ,1 , .,1 .Exercice 02: On considre les deux applications de N dans N dnies pour tout r N, respectivementpar:) (r) = 2r, q (r) =___a2si r est paira + 12si r est impairDterminons les applications n = q ) et = ) q .n : N Nr n(r) = q ) (r) = q [) (r)[ = q (2r) = 2a2= r.et : N Nr (r) = )q (r) = ) [q (r)[ =___)_a2_ si r est pair)_a+12_si r est impair=___r si r est pairr 1si r est impair ,=q ) (r) .Exercice 03: ) : 1 1 une application, _ 1 et 1 _ 1.(1) Montrons que: ) (' 1) = ) () ' ) (1) .a) ) (' 1) ) () ' ) (1)Soit j ) (' 1) =r ' 1 tel que: ) (r) = j= r ou r 1 tel que: ) (r) = j= ( r tel que: ) (r) = j) ou (r 1 tel que: ) (r) = j)=j ) () ouj ) (1) =j ) () ' ) (1) .b) j ) () ' ) (1) =j ) () ouj ) (1)= ( r tel que: ) (r) = j) ou (r 1 tel que: ) (r) = j)=r ou r 1 tel que: ) (r) = j=r ' 1 tel que: ) (r) = j = j ) (' 1) .62(2) a) Montrons que: ) ( 1) ) () ) (1) .Soit j ) ( 1) =r 1 tel que: ) (r) = j= r et r 1 tel que: ) (r) = j= ( r tel que: ) (r) = j) et (r 1 tel que: ) (r) = j)=j ) () et j ) (1) =j ) () ) (1) .b) Donner un exemple pour lequel ) () ) (1) ) ( 1) .1. On pose: = 0, 1 et 1 = 0, 1 avec: ) (r) = [r[ .) () = 0, 1 et ) (1) = 0, 1 = ) () ) (1) = 0, 1et 1 = 0 =) ( 1) = 0conclusion: ) () ) (1) ) ( 1) .c) Montrer que si ) est injective alors: ) ( 1) = ) () ) (1).Il sut de montrer que: ) () ) (1) ) ( 1)j ) () ) (1) =j ) () et j ) (1)= ( r1 tel que: ) (r1) = j) et (r2 1 tel que: ) (r2) = j)et puisque ) est injective alors: r1 = r2 = r=r et r 1 tel que: ) (r) = j=r 1 tel que: ) (r) = j = j ) ( 1) .Exercice 04:(1) Montrer que ) de R dans [1, 1[ dnie par:) (r) =r1 [r[est bijective et dterminer sa rciproque.a) ) est elle injective?\r1, r2 R, si ) (r1) = ) (r2) =r1 = r2Soient r1, r2 R, si ) (r1) = ) (r2) =a11 + [a1[ =a21 + [a2[63=___a11 + a1 =a21 + a2 si r1 _ 0 et r2 _ 0 =r1 = r2a11 + a1 =a21 a2 si r1 _ 0 et r2 _ 0ne convient pas que dans le cas o r1, r2 ont le mme signea11 a1 =a21 + a2 si r1 _ 0 et r2 _ 0ne convient pas que dans le cas o r1, r2 ont le mme signea11 a1 =a21 a2 si r1 _ 0 et r2 _ 0r1 = r2= r1 = r2 = ) estinjective.b) ) est elle surjective?Montrons que: \j [1, 1[ , r R tel que: ) (r) = j Si j [1, 0[ =r < 0 =a1 a = j =r =j1+j < 0 qui existe si: j [1, 0[ Si j [0, 1[ =r0 =a1 +a = j =r =j1j < 0 qui existe si: j [0, 1[conclusion: ) est une application bijective avec:)1: [1, 1[ Rj ___j1j si j [0, 1[j1+j si j [1, 0[.(2) Soit q lapplication de R dans lintervalle [1, 1[ dnie par:q (r) = sin (r)a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?1) q nest pas injective car: si r1 = 0 et r2 = 2; r1 ,= r2 mais: q (r1) = q (r2) = 0.2) 1 _ sin(r) _ 1 = G est surjective3) q nest pas bijective car elle nest pas injective.b) Montrer que la restriction de q 12 , 12_ est une bijection de 12 , 12_sur [1, 1[ .Soit / la restriction de q 12 , 12_=/ :12 , 12_[1, 1[ r r /(r) = sin (r)1) / est surjective car: si r 12 , 12_=1 < sin(r) < 1.2) il reste montrer que: / est injective?Soient r1, r2 12 , 12_, si /(r1) = /(r2) =sin(r1) sin(r2) = 064=2 sin_(a1a2)2_cos_(a1+a2)2_= 0=___sin_(a1a2)2_= 0 =r1 = r2cos_(a1+a2)2_= 0 =r1 r2 = 1 cas qui nest pas possible. = / est injective= /est bijective.Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?a) ) : R+ R b) q : Z N c) /: R+R+r sinrrr [r[ [r[ r _ra)- ) nest pas injective car: r1 = 2, r2 = 4, r1 ,= r2 mais ) (r1) =) (r2) = 0.- Pour surjective: si on pose lapplication / (r) = sinr r = /t (r) = cos r 1 = /t(r) _ 0 =/ est dcroissante= le seul cas pour que / (r) = 0 quand r = 0 donc pour j = 1, \r R+, sinr ,= r =sin aa ,= 1 =) (r) ,= 1Alors ) nest pas surjective.b) q : Z Nr [r[ [r[[r[ dsigne la partie entire qui est paer dnition: max j avec j Z et j _ r.- q nest pas injective car: r1 = 1, r2 = 2, r1 ,= r2 mais ) (r1) =) (r2) = 0.- Pour surjective: on a pour r Z+, q (r) = 0 et si r Z, q (r) = r r = 2r N estqui pair=\j = 2/ 1 (impair), \r Z, q (r) ,= j. Alors q nest pas surjective.c) /: R+R+r _rSoient r1, r2 R+, /(r1) = /(r2) = _r1 = _r2 = r1 = r2 car / est strictementcroissante=/ est injective.Pour surjective: \j R+, r R+tel que:j = _r (il sut de prendre r = j2)= / estsurjective=/ est bijective.65Exercice 06: Soit ) de [0, 1[ dans[1, [ dnie par:)(r) =1_1 r2.(1) Montrer que ) est une application et quelle est bijective.) est une application =\r [0, 1[ , j [1, [ tel que: ) (r) = j) t (r) =a(1a2)32 _ 0 car r [0, 1[ = ) est croissante en plus on a:) (0) = 1 et lima1)(r) = =) [0, 1[ = [1, [ do ) est une application.- ) est injective car: \r1, r2 [0, 1[ , ) (r1) = ) (r2) =1_1a21=1_1a22=r21 = r22 =r1 =r2.- ) est surjective car: \j [1, [ , r [0, 1[ tel que:) (r) = j =1_1a2 = j = r =_j21j [0, 1[car j _ 1.(2) Alors lapplication rciproque est:)1: [1, [ [0, 1[j )1(j) =_j21j.Exercice 07: Soit / lapplication de R dans R dnie par: / (r) =4aa2+1.(1) Vrier que pour tout rel a non nul on a: / (a) = / _1o_./ (a) / _1o_=4oo2+1 41a(1a)2+1 = 0 =/ (a) = / _1o_.1. lapplication / est-elle injective? Justier./ nest pas injective car pour: r1 = 2 et r2 = 12 on a: r1 ,= r2 mais daprs (1) / (2) = /_12_.(2) Soit ) la fonction dnie sur lintervalle 1 = [1, [ par ) (r) = / (r) .a) Montrons que ) est injective:66Montrons que: \r1, r2 R, si ) (r1) = ) (r2) =r1 = r2En eet: si ) (r1) = ) (r2) =4a1a21+1 =4a2a22+1 = (r1r2) (1 r1r2) = 0 = r1 = r2 our1 =1a2 cas qui nest pas possiblepour: r1, r2 [1, [ sauf si r1 = r2 =) est injective.1. b) Vrier que: \r 1, ) (r) _ 2.) (r) 2 = 2(a1)21+a2_ 0 = ) (r) _ 2.1. c) Montrer que ) est une bijection de 1 sur [0, 2[ et trouver )1(r) .On a: ) est injective en plus:- ) est surjective car: \j [0, 2[ , r [1, [ tel que: ) (r) = j =4aa2+1= j =jr24r j = 0 = 16 4j2_ 0 car: j [0, 2[ = r1 = 2 2_4 j2 ou r2 = 2 2_4 j2 une solutionqui ne convient pas=r = 2 2_4 j2 qui existe \j [0, 2[ = ) est bijective.(2) Alors lapplication rciproque est:)1: [0, 2[ [1, [j )1(j) = 2 2_4 j2.Exercice 08 : Soit ) : R R dnie par: ) (r) =aa2+1.(1) Calculer ) (2) et ) _12_. ) est-elle injective?) (2) = ) _12_= 25 =) nest pas injective car: r1 ,= r2 mais ) (2) = ) _12_.(2) Rsoudre dans R : ) (r) = 2. ) est-elle surjective?) (r) = 2 =aa2+1 = 2 = 2r2 r 2 = 0 = = 1 < 0 = lensemble des solutions estvide (O).Donc pour j = 2, \r R; ) (r) ,= 2 =) nest surjective67(3) Dterminer ) (R) .(Indication: utiliser (r 1)2_ 0 et (r 1)2_ 0).on a: (r 1)2_ 0 et (r 1)2_ 0 = r2 1 _ 2r et r2 1 _ 2r = 12 _aa2+1 _ 12 = )(R) =_12, 12.Exercice 09: Soient 1, 1, G trois ensembles et ) : 1 1, q : 1 G deux applications.(1) Montrer que: q ) est injective =) est injective.Supposons par labsurde que )nest pas injective=r1, r2 1 avec r1 ,= r2 et ) (r1) = )(r2) =q [)(r1)[ = q [)(r2)[car q est une application alors q ) (r1) = q ) (r2) = q ) nest pas injective.(contradiction)=) est injective.(2) Montrer que: q ) est surjective =q est surjective.q) est surjective=\. G, r 1 tel que: q) (r) = . =q [) (r)[ = . =j = ) (r) 1car ) est une application et q (j) = .alors q est surjective.(3 ) ) et q sont bijectives = q ) est bijective et (q ))1= ) 1 q1.Si ) et q sont bijectives. Montrons alors que:q ) est injective ensuite quelle est surjective?Pour injective:Soient r1, r2 1 avec r1 ,= r2 = ) (r1) ,= ) (r2) car ) est injective= q [)(r1)[ ,=q [)(r2)[car q est injective= q ) est injective .Pour surjective:\. G, j 1 tel que: q (j) = . car q est surjective= r 1 tel que: q [) (r)[ = . car )est surjective=q ) (r) = . =q ) est surjective.En plus si ona: / / = 1d = / = /1, ce qui fait pour notre exercice: (q ))1=_)1 q1_ (q )) = )1 1d ) = 1d =(q ))1= ) 1 q1.Exercice 10: Soient 1, 1, G trois ensembles, on considre ) et q deux applications quelconques de 1dans 1 et / une application injective de 1 dans G. montrer que:/ ) = / q=) = q .68Par labsurde: supposons que: ) ,= q = r 1 et ) (r) ,= q (r) = r 1 tq: /[) (r)[ ,= / [q (r)[ car / est injective=r 1 tq: / ) (r) ,= / q (r) =/ ) ,= / qExercice 11 : Soient et 1 1 (1) et ) : 1 (1) 1 ()1 (1) dnie par:) (A) = (A , A 1) .(1) Montrer que ) est injective si et seulement si ' 1 = 1 ."="hyp: ) est injectivePb: ' 1 = 1" " evident car et 1 1 (1) ." "Par labsurde supposons que 1 nest pas inclu dans ' 1 alors: r 1 et r , ' 1=r 1 et r , et r , 1 =r = r1 = O =) (r) = (r , r 1) =(O, O) = ) (O) avec O , = r=) nest pas injective (contradiction), ce qui implique que: ' 1 = 1." ="hyp: ' 1 = 1Pb: ) est injectiveSoient A1, A2 1 (1) avec ) (A1) = ) (A2)=(A1 , A1 1) = (A2 , A2 1) =A1 = A2 et A1 1 = A2 1=(A1 ) '(A1 1) = (A2 ) '(A2 1) =A1(' 1) = A2(' 1) (la distrib-utivit)=A1 (1) = A2 (1) =A1 = A2 =) est injective.(2) Montrer que ) est surjective si et seulement si 1 = O."="hyp: ) est surjectivePb: 1 = O" " evident car lensemble vide est inclu dans chaque ensemble.69" "Par labsurde supposons que 1 nest pas inclu dans O alors: r 1 =r =r = r 1Mais (r , O) 1 ()1 (1) alors \1 1 (1) on a: ) (1 ) = (1 , 1 1) ,= (r , O)car r 1=) nest pas surjective." ="hyp: 1 = OPb: ) est surjectiveSupposons que ) nest pas surjective=(11, 12) 1 () 1 (1) et (11, 12) ,= ) (A) , \A 1 (1)=(11, 12) ,= (A , A 1) , \A 1 (1) , en particulier si A = 11' 12=(11, 12) ,= ((11' 12) , (11' 12) 1),mais11 1 () , 12 1 (1) et 1 = O=(11, 12) ,= (11 , 12 1) = (11, 12) =contradiction= ) est surjective.(3) Donner une condition ncessaire et susante pour que ) soit bijective.Dterminer ) 1.une condition ncessaire et susante pour que ) soit bijective est: '1 = 1 et 1 =O = = C11.On a: ) (A) = (A , A 1) = (11, 12) 1 ()1 (1)=A = 11 et A 1 = 12 et puisque ' 1 = 1 =)1(11, 12) = A = 11' 12.70Chapitre 4Suites numriques.4.1 DFINITIONSOn appelle suite dlments de 1 une application dun sous ensemble = :0, :0 1, de N vers 1. On la note:n : 1: n(:) = nana est appel terme gnral de la suite n, que lon note aussi (na)aa0 .Considrons les deux suites (na)a0, (a)a1, dnies par:na = 2 : 1, a =_: 1.On deux types de suites:1. Une suite dnie par un terme gnral qui est dni par un indice :.Exemple 12na =1:2 1, a = sin:.2. Une suite rcurrente:Cest une suite qui est dnie par une relation entre ces termes dordre :, : 1, : 1, 71Exemple 13___n0 = 2na =_na1 1.Remarque 14(na)aN = (a)a =na = a\: N4.2 QUELQUES CARACTRES DES SUITES4.2.1 Suites monotonesPour tudier la monotonie dune suite on calcul la valeur suivante:na+1na pour tout : N.Donc on a les cas suivants:1) si na+1na _ 0, \ : Nalors la suite est dite croissante.2) si na+1na 0, \ : Nalors la suite est dite strictement croissante.8) si na+1na _ 0, \ : Nalors la suite est dite dcroissante.4) si na+1na< 0, \ : Nalors la suite est dite strictement dcroissante.) si na+1na= 0, \ : Nalors la suite est dite constante.Dune autre manire on peut calculer la valeur:na+1na= | pour tout : N.72Alors on a:1) si |_ 1, \ : Nalors la suite est dite croissante.2) si |1, \ : Nalors la suite est dite strictement croissante.8) si |_ 1 , \ : Nalors la suite est dite dcroissante.4) si | < 1 , \ : Nalors la suite est dite strictement dcroissante.) si | = 1, \ : Nalors la suite est dite constante.Exemple 15___n0 = 2na = 2 1&n1.Alors on a:na+1na = 2 1na na = (na1)2na< 0,\ : N car na0.donc la suite est dcroissante.4.2.2 Suites bornes- Une suite (na) est majore sil existe ' R tel que na _ ', \ : N.- Une suite (na) est minore sil existe : R tel que : _ na, \ : N.- Une suite (na) est borne si elle est majore et minore la fois.Exemple 16___n0 = 2na = 2 1&n1.Montrons par rcurrence que:na1,\ : NEn eet: pour : = 0, on a:n0 = 21.Supposons que: na1 pour un : x et montrons que:na+11.73on a:na+1 = 2 1na2 1 = 1Conclusion 17na1,\ : Ncest dire (na) est minore par 1.4.3 NATURE DUNE SUITE4.3.1 Suites convergentesDnition 18 Une suite (na) est dite convergente si sa limite | existe et elle est gale uneconstante unique.Exemple 19na = 1: =lima+ona = 0.4.3.2 Suites divergentesDnition 20 Une suite (na) est dite divergente si sa limite | est gale linnie ou biendeux limites ou plus.Exemple 211) na= : =lima+ona = .2) a= (1)a=___1 si : = 2/1 si : = 2/ 1 / Nla limite nexiste pas car on a le cas dindice pair et lindice impair.4.4 THORME FONDAMENTAUXProposition 22 1) Une suite croissante majore est une suite convergente.2) Une suite dcroissante minore est une suite convergente.74Exemple 23___n0 = 2na = 2 1&n1.Proposition 24 (na) est dcroissante minore par 1 ou bien 0, alors elle est convergente.Remarque 25 Si on a une suite dcroissante minore par une constante c, ou bien croissantemajore par c, alors la limite nest pas ncssairement c.Exemple 26___n0 = 2na = 2 1&n1.(na) est dcroissante minore parc = 0, donc pour dterminer la limite passant la formulede rcurrence:na= 2 1na1 =lima+ona = lima+o_2 1na1_=| = 2 1| =|22| 1 = 0=(| 1)2= 0 =| = 1 ,= c.4.5 PROPRIT FONDAMENTALES1) Si (na) est convergente = elle est borne.2)Si lima+ona = | alors lima+o[na[ = [| [ .3)lima+ona = 0 =lima+o[na[ = 0.754.6 THORME DENCADREMENT (RGLE DES DEUXGENDARMES)Soient (na) et (a) deux suites convergentes vers la mme limite et (na) une suite telle que:na _ na _ a ou bien na < na < aAlors la suite (na) est convergente sa limite est gale |.Exemple 27 Dans un cercle unit on a:rcos r_ sinr _ r1=cos r _ sinrr_ 1= lima0cos r _ lima0sinrr_ 1=1 _ lima0sinrr_ 1= lima0sinrr= 1.4.7 SOUS-SUITESOn appelle une sous-suite (suite extraite ou bien suite partielle) dune suite (na)aN, lasuite (I) dnie par:I = n(c(I)), \/ Navec:: : N N/ : (/)est une application dindice strictement croissante.Exemple 28 La suite (n2I)IN,_resp (n2I+1)IN_ est une sous suite de (na)aN.764.8 Suites adjacentes:(la)aN et (\a)aN sont dites deux suites adjacentes si et seulement si:1) (la)aN est une suite croissante,2) (\a)aN est une suite dcroissante,8) lima+o(\ala) = 0,4) la _ \a, \: N.4.9 Exercices:Exercice 01: Calculer l1, l2 et l3 dans les cas suivants:1)la =1a+1 sin:22) la =579(5+2a)4710(4+3a)8)la =1a3

aI=1/2.Exercice 02: Calculer les limites suivantes:1) lima +o_ 11.2 12.3 ... 1a.(a+1)_, 2) lima +oa3+7a2_a2+1, 8) lima +o_:2 0 _:2 44) lima +o a12 a13a15 a16 , ) lima +o a2 sin:2, 6) lima +o: 3_1 :3, 7) lima +o sin2a cos3aa8) lima +o 2n+3non, a R, 0) lima +on_8 sin2:, 10) lima +o a3+2n3n.Exercice 03: (la) est dnie par: la = ln (1 la1) avec l0 0 .Chercher la limite de la.Exercice 04: a) Soit (la) une suite croissante, montrer que la suite (\a) = l1+l2+....+lnaest croissante.b) Si (la) est une suite convergente peut-on en dduire que (\a) lest aussi.Exercice 05: Posons l1 = 14, l2 =1.3422! et \: _ 8, la = 1.3.5....(2a1)4n.a!Montrer lingalitln+1la< 12. En dduire la limite de la suite (la) .Exercice 06 : Soient (la)a 2 et (\a)a 1 deux suites telles que:la = : 7: 1et \a = : 2:(1) Montrer que (\a)a 1 est une sous-suite de (la)a 2 .77(2) Soit (/a)a N une suite dnie par /a =25n3.5n+1 trouver une suite (aa)a N telle que /a ensoit extraite.Exercice 07 : Soit unnombre rel tel que [[ 1.1) Montrer que: lima +oa= 0.2) Soit oa = 23... a; calculer (1 ) oapuis lima +ooa .Exercice 08 : On considre la suite dnie par:___l0 = 2la+1 = 12la 1ln: N(1) Montrer que la _2 pour tout : _ 0 et que (la) est strictement dcroissante.(2) Calculer lima +ola .(3) On pose \a = la _2. Montrer que: \a+1 =(\n)22lnet en dduire que: \a+1