temat: zmienna losowa.agrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/stat_rol... · anna rajfura,...
Post on 24-Jun-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1
Temat:
Zmienna losowa.
Rozkład ciągły
Kody kolorów:
żółty – nowe pojęcie pomarańczowy – uwaga
* - materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 2
Zagadnienia
1. Przedstawienie rozkładu ciągłego.
2. Przykłady rozkładów ciągłych:
a. rozkład jednostajny,
b. rozkład normalny.
3. Prawo trzech sigm.
4. Parametry rozkładu.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 3
Przypomnienie – dośw. losowe
Przykłady doświadczeń losowych:
• rzut kostką do gry • rzut monetą
• losowanie kuli z urny
• losowanie karty z talii kart
• strzał do celu
Mogą być powtarzane wielokrotnie.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 4
Przypomnienie – zmienna losowa
Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. Jeżeli wypadnie więcej niż 4 oczka,
to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł.
Niech wygrana gracza będzie zmienną lo-
sową, ozn. X.
Polecenie. Przedstaw rozkład zmiennej lo-sowej X w postaci tabeli, wykresu funkcji
rozkładu, wykresu funkcji dystrybuanty.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 5
Przypomnienie – rozkład zm. los.
D
wyniki dośw. D: 1 2 3 4 5 6
wygrana gracza: -1 -1 -1 -1 10 10
wygrana xi: -1 10
p-stwo pi: 2/3 1/3
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 6
Przypomnienie – funkcja rozkładu
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
10
wartości xi
p-stwo pi
-1
1/3
2/3
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 7
Przypomnienie – dystrybuanta
2/3
10 t
FX (t)
-1
1
RttXPtFdef
X ,
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 8
Przypomnienie - komentarz
Różnie określone zmienne losowe X, Y, na-wet z różnych doświadczeń losowych DX,
DY i przestrzeni ΩX, ΩY, mogą mieć jedna-kowe rozkłady (przykład na tablicy). Dla-
tego można badać własności samych roz-
kładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 9
Typy rozkładów
Rozkład
skokowy ciągły
Przykłady:
• dwupunktowy (0-1) • równomierny
• dwumianowy • Poissona
Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 10
Rozkład zmiennej losowej ciągłej
Rozkład zmiennej losowej X ciągłej można przedstawić za pomocą:
• funkcji gęstości p-stwa (fgp)
)(xfy
• funkcji dystrybuanty:
tXPtFdef
X
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 11
Funkcja gęstości p-stwa
Definicja. Funkcja gęstości p-stwa zmien-nej losowej X, ozn.: y = f (x), to funkcja
spełniająca warunki:
1. wykres leży nad lub na osi OX
fDxxf gdy,0)(
2. pole obszaru ograniczonego z góry wy-kresem funkcji, a z dołu osią OX jest
równe 1
1)( dxxf
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 12
Funkcja gęstości p-stwa - idea
Funkcja gęstości p-stwa zmiennej losowej X: y = f (x)
wartości zmiennej losowej X
f (x)
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 13
Zdarzenie losowe
Wykres fgp y = f (x)
Zdarzenie losowe
b;aX
czyt.: zm. los. X przyj-
muje wartości z prze-
działu od a do b
wartości zmiennej losowej X
f (x)
a b
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 14
Zdarzenia losowe - przykłady
Przykłady (przy a < b):
baX , baX ,
baX , baX ,
aX , aX ,
,aX ,aX
aaaX ,
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 15
P-stwo na wykresie fgp
Wykres fgp y = f (x)
wartości zmiennej losowej X
f(x)
a b
P-stwo zdarzenia
losowego (a ; b) –
zakreskowane pole
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 16
P-stwo zdarzenia losowego
Zdarzenie losowe: zmienna losowa X przyj-mie wartość z przedziału [a, b], ozn.:
baX ,
P-stwo zdarzenia losowego:
baXP ,
Graficzna interpretacja p-stwa: „pole pod wykresem fgp”
Obliczanie p-stwa:
b
a
dxxfbaXP ,
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 17
Dystrybuanta - definicja
Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: FX(t)
tdef
X dxxftXPtF )()(
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 18
Dystrybuanta – wykres
FX (t) – dystrybuanta zm. los. X
0 t
F(t)
a
F(a)
1
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 19
Dystrybuanta – własności
FX (t) – dystrybuanta zm. los. X
• 0lim
tFXt
• 1lim
tFXt
• FX (t) jest funkcją niemalejącą
• FX(t) jest funkcją (prawostronnie) ciągłą
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 20
Dystrybuanta na wykresie fgp
Wykres fgp y = f(x)
tXPtFX )(
wartości zmiennej losowej X
f(x)
t
zakreskowane pole
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 21
P-stwo zdarzenia losowego
aFbFbaXP ,
wartości zmiennej losowej X
f(x)
a b
P-stwo zdarzenia lo-
sowego (a ; b) – za-
kreskowane pole
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 22
Przykłady rozkładów ciągłych
• jednostajny na odcinku (a,b)
• normalny
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 23
Rozkład jednostajny na odcinku (a ; b)
Wzór fgp:
baxdla
baxdlaabxf
,0
,1
)(
0
1
x
f(x)
a
1/(b-a)
b
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 24
Rozkład normalny
Wzór funkcji gęstości:
Rxexfx
,σπ2
1)(
2
2
σ2
μ
Parametry w rozkładzie normalnym:
μ (czyt.: mi)
σ (czyt.: sigma)
Rμ
0σ
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 25
Rozkład normalny – wykres fgp
krzywa Gaussa
Własności matematyczne.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
μ=2, σ=1
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 26
Parametr μ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
x
f(x) μ = -4 σ = 2
μ = 2 σ = 2
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 27
Parametr σ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
μ = 2 σ = 1
μ = 2 σ = 3
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 28
Oznaczenia
Wyrażenie:
zmienna losowa X ma rozkład normalny
z parametrami μ oraz σ2
zapisujemy:
X ~ N ( μ, σ 2)
Definicja. Mówimy, że zmienna losowa Z
ma rozkład normalny standardowy, jeśli
μ = 0, σ = 1.
Zapisujemy:
Z ~ N ( 0, 1)
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 29
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
μ=2, σ=1
Zdarzenie losowe
Wykres fgp y = f (x)
Zdarzenie losowe
baX ;
a b
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 30
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
μ=2, σ=1
P-stwo zdarzenia losowego
Wykres fgp y = f (x)
P-stwo zdarzenia
losowego - zakre-
skowane pole pod krzywą
a b
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 31
P-stwo zdarzenia losowego
P-stwo zdarzenia losowego:
baXP ,
Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej lo-sowej X, ozn.: FX (t)
tXPtFdef
X )(
P-stwo zdarzenia losowego:
aFbFbaXP XX ,
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 32
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Dystrybuanta na wykresie fgp
Wykres fgp y = f (x)
tFpolenezakreskowa
X
t
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 33
Tablice statystyczne
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 34
Tablica dystrybuanty F Z (x )
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
:
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
Zadania.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 35
Wzory
Wyznaczanie wartości dystrybuanty stan-dardowego rozkładu normalnego przy uży-
ciu tablic:
Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to:
FZ (– a) = 1 – FZ (a) (1)
Wzór na standaryzację zmiennej losowej:
Jeśli Z~N (0, 1), X~N (μ, σ2), to:
σ
μ-x
ZX F x F 0)( 0 (2)
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 36
Prawo trzech sigm
Jeśli X ~ N( μ, σ2), to:
68,0σμ;σμ XP
95,0σ2μ;σ2μ XP
9973,0σ3μ;σ3μ XP
Rysunek na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 37
Charakterystyki rozkładu
Nazwy i oznaczenia:
nazwa: średnia wariancja
odchylenie
standar-
dowe
ozn.: EX, μ D2X, σ XD2 , σ
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 38
Wzory dla rozkładu ciągłego
X - zmienna losowa ciągła, y = f (x) funkcja gęstości
dxxfxEX )(
dxxfEXxXD )(22
Wzory dla rozkładu normalnego
μEX 22 σXD
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 39
Rozkład chi – kwadrat
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn są:
• niezależne
• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n
to
X12 + X2
2 + ...+ Xn2
jest zmienną losową o rozkładzie χ2 z
liczbą stopni swobody n.
Ozn. χ2 czytamy: chi-kwadrat
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 40
Rozkład chi – kwadrat cd.
Funkcja gęstości dla rozkładu χ2:
0,Γ2
,0,0)(
2221
21 xdlaex
xdlaxf xnn
n
gdzie:
0
1 ,Γ Rtdueut ut
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 41
Rozkład chi – kwadrat cd.
Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ2:
Deg. of freedom
3
10
50
Chi-Square Distribution
x
dens
ity
0 20 40 60 80 100
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 42
Rozkład t-Studenta
Jeśli zmienne losowe X0, X1, ..., Xn są:
• niezależne
• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n
to
)(22
2
2
11
0
nnXXX
X
jest zmienną losową o rozkładzie t-Stu-
denta z liczbą stopni swobody n.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 43
Rozkład t-Studenta cd.
Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-Stu-denta:
Deg. of freedom
10
50
Student's t Distribution
x
den
sity
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 44
Rozkład F Fishera – Snedecora
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn oraz Y1, Y2, ..., Ym są:
• niezależne
• Xi, Yj~N(0, 1)
to
)(
)(22
2
2
11
22
2
2
11
mm
nn
YYY
XXX
jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera – Snedecora z liczbami stopni
swobody n i m.
Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 45
Rozkład F Fishera – Snedecora
Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F
Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
50,40
F (variance ratio) Distribution
x
den
sity
0 1 2 3 4 5
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
top related