teorie čísel nekonečno
Post on 07-Jan-2016
33 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Teoretická informatikaTomáš Foltýnekfoltynek@pef.mendelu.cz
Teorie číselNekonečno
Teoretická informatika
Opakování z minulé přednášky
• Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl?
• Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský součin?
• Co je to relace? Jaké vlastnosti mohou mít relace na množině?
• Co je to zobrazení? Jaké může mít vlastnosti?
• Formulujte alespoň 3 axiomy teorie množin
strana 2
Teoretická informatika
Teorie čísel
• Odvětví matematiky zabývající se čísly– Definice číselných množin
– Definice operací na číselných množinách
– Vlastnosti (zejm. dělitelnost)
– Souvislost s algebrou
• Číselné množinyN – přirozená čísla Z – celá čísla
Q – racionální čísla I – iracionální čísla
R – reálná čísla C – komplexní čísla
strana 3
Teoretická informatika
Přirozená čísla (N)
• Množina spolu se zobrazením succ• Peanovy axiomy
– (!x)(y)(xsucc(y)) … toto číslo značíme 0– (x,y)(succ(x) = succ(y) x = y)– (x)(x+0 = x)– (x,y)(x+succ(y) = succ(x+y))– (x)(x*0 = 0)– (x,y)(x*succ(y) = x*y + x)– Je-li U N taková, že 0U a (x)(xUsucc(x)U),
potom U = N.
strana 4
Teoretická informatika
Přirozená čísla a nula
• Axiomatická definice vyžaduje, aby 0 N• Všeobecně platí, že 0N
– zejména z historických důvodů
• Nadále tedy nulu nebudeme považovat za přirozené číslo– rozlišujeme tedy N a N0.
• Pouze pro potřeby axiomatické výstavby nulu do N zahrneme.
strana 5
Teoretická informatika
Celá čísla (Z)
• K množině N „připojíme“ všechny rozdíly přirozených čísel, které v ní dosud nejsou
• Na množině NN zavedeme relaci – (a,b) (c,d) a+d = b+c
– Tato relace je ekvivalencí
• Množinu celých čísel definujeme jako rozklad příslušný této ekvivalenciZ = NN/
• Teprve nyní lze zavést operaci rozdílu!
strana 6
Teoretická informatika
Racionální čísla (Q)
• Racionální čísla lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel– na přirozených ani celých číslech podíl nelze definovat
• Konstrukce založená na kartézském součinu Z (Z-{0})
• Na něm definujeme relaci – (a,b) (c,d) a*d = b*c– Místo (a,b) píšeme a/b
• Q = Z (Z-{0})/• Operace jsou definovány
– a/b + c/d = (a*d+c*b)/(b*d)– a/b * c/d = (a*c)/(b*d)
strana 7
Teoretická informatika
Reálná čísla (R)
• Na množině Q definujeme řez jako dvojici množin A, B Q, značíme (A/B), které jsou neprázdné, disjunktní a platí ( aA, bB)(a<b)
• Nastávají 3 možnosti– A obsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo
• např. ({xQ|x5}/{xQ|x>5})– A neobsahuje největší číslo, B obsahuje nejmenší číslo
• např. ({xQ|x<5}/{xQ|x5})– A neobsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo
• např. ({xQ|x22}/{xQ|x2>2})• Množina reálných čísel je množina všech řezů na Q
R = {(A/B)}
strana 8
Teoretická informatika
Komplexní čísla (C)
• Motivace k zavedení C: Výpočet odmocnin ze záporných čísel
• C = R R• Místo (a,b) píšeme a+bi• Operace:
– (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i– (a+bi) * (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
• Imaginární jednotka i– (0+1i) * (0+1i) = -1+0i
strana 9
Teoretická informatikaTomáš Foltýnekfoltynek@pef.mendelu.cz
Nekonečné množiny
Teoretická informatika
O pojmu nekonečno
• Bouřlivý historický vývoj– Potenciální x aktuální nekonečno
• Zenon z Eleje a jeho paradox o Achillovi a želvě
• Aproximativní výpočty – Eudoxos, Archimédes
• Integrální počet – Newton, Leibniz
strana 11
Teoretická informatika
Kardinalita
• U konečných množin máme počet prvků• U nekonečných množin používáme pojem
mohutnost (též kardinalita)• Kdy jsou dvě množiny stejně mohutné?
– Když mezi nimi existuje bijekce• Množiny, které mají stejnou mohutnost jako N,
se nazývají spočetné– Spočetné jsou tedy ty množiny, jejichž prvky lze
uspořádat do posloupnosti• Ostatní nekonečné množiny jsou nespočetné
strana 12
Teoretická informatika
Spočetné množiny
• Označme S množinu všech sudých čísel– S = {2, 4 ,6, …}
• Zobrazení f: N S, f(n) = 2*n je bijekce N na S. Množina S je tedy spočetná.– Sudých čísel je tedy stejný počet jako všech
přirozených čísel• Celek je stejně velký jako jeho část!
• Podobně ukážeme, že Z je spočetná množina– Jak definovat bijekci mezi N a Z?
strana 13
Teoretická informatika
Spočetnost racionálních čísel
• Stejný problém jako spočetnost NN
• Dvojice N čísel uspořádáme do posloupnosti podle obrázku
• Důsledek: Nn je spočetná pro každé přirozené n
NN 1 2 3 … n …
1 (1,1) (1,2) (1,3) … (1,n) …
2 (2,1) (2,2) (2,3) … (2,n) …
3 (3,1) (3,2) (3,3) … (3,n) …
… … … … … … …
m (m,1) (m,2) (m,3) … (m,n) …
… … … … … … …
strana 14
Teoretická informatika
Nespočetnost reálných čísel
• Reálná čísla tvoří nespočetnou množinu– Nelze je uspořádat do posloupnosti– Důkaz G. Cantora (1891)– Metoda diagonalizace
• Ukážeme dokonce, že reálná čísla v intervalu <0,1) tvoří nespočetnou množinu
strana 15
Teoretická informatika
Cantorův důkaz I.
• Důkaz sporem• R čísla z (0,1) – nekonečná posloupnost
nekonečných posloupností číslic desetinných částí
• Zapíšeme do matice M• Pokud takto skutečně vyjádříme všechna čísla,
dokážeme spočetnost• Vezmeme posloupnost číslic na úhlopříčce a
zkonstruujeme číslo d– di = 2, pokud mi,i2, di = 3, pokud mi,i=2
strana 16
Teoretická informatika
Cantorův důkaz II.
• Zkonstruovali jsme reálné číslo d.• To však v matici evidentně není, protože n-tá posloupnost má v n-tém sloupci jinou číslici
• Našli jsme tedy nové reálné číslo• Reálná čísla tedy nelze bezezbytku
seřadit do nekonečné posloupnosti• Reálná čísla jsou tedy nespočetná
strana 17
Teoretická informatika
Kardinální čísla I.
• Mohutnost množiny označuje kardinální číslo
• Mohutnost spočetné množiny (N) je o
– čteme „alef nula“
• Mohutnost R je dána jako mohutnost množiny všech podmnožin spočetné množiny, nazývá se mohutnost kontinua a značí se c– 2o ≤ c
strana 18
Teoretická informatika
Kardinální čísla II.
• Cantorův důkaz ukazuje, že o< 2o
• Aritmetika kard. čísel 2o 2o = 2o
• Z Cantorova důkazu (věty) plyne neexistence největšího kardinálního čísla– Potenční množina má vždy větší mohutnost
• Kardinální čísla netvoří množinu– díky axiomu sjednocení by existovalo největší
kardinální číslo
strana 19
Teoretická informatika
Kardinální čísla III.
• Neexistuje množina všech množin – její potenční množina by byla nejvýše tak
velká jako ona sama
• Známá kardinální čísla jsou konečná (přirozená čísla) a nekonečná (nejmenší je o, větší je např. c)
• Nevíme, zda je c nejmenší nespočetné kardinální číslo– nerozhodnutelný problém teorie množin
strana 20
top related