the probabilistic method (שיטות הסתברותיות)

Igor Kleiner 2014

The probabilistic method is a remarkable technique for proving the existence of combinatorial objects with specified properties. It is based on probability theory but, surprisingly, it can be used for proving theorems that have nothing to do with probability.

The probabilistic method is a remarkable technique for proving the existence of combinatorial objects with specified properties. It is based on probability theory but, surprisingly, it can be used for proving theorems that have nothing to do with probability.

Isomorphism

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

שאלה פשוטה?

00000012קיימות 2000*1000עבור תמונה טיפוסית בגודלפיקסלים 0000002עבור כל חלוקה יש לעבד כ , חלוקות אפשרויות

בדרך כלל יש הרבה תמונות

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

אפילו שאלה כזו פשוטה לא נצליח לפתור, אז מה?

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

אפילו שאלה כזו פשוטה לא נצליח לפתור, אז מה?

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

אפילו שאלה כזו פשוטה לא נצליח לפתור, אז מה?

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

אפשר בעזרת גישה הסתברותית לבנות אלגוריתם שזמן העבודה שלו

בגודל התמונה יבכלל לא יהי תלו

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

אפשר בעזרת גישה הסתברותית לבנות אלגוריתם שזמן העבודה שלו

בגודל התמונה יבכלל לא יהי תלותמונהגודל ' אלגסיבוכיות

הסתברותי

נאיבי' אלגסיבוכיות

1000*2000 8e+4 2.4е+13

4000*2000 8e+4 3.8e+14

6000*5000 8e+4 5.4e+15

חד צבעיםמישור האם ניתן לחלק את התמונה על ידי קו לשתי חצאי?

The probabilistic method is a remarkable technique for proving the existence of combinatorial objects with specified properties. It is based on probability theory but, surprisingly, it can be used for proving theorems that have nothing to do with probability.

להוכיח קיום בעזרת הסתברות?

להוכיח קיום בעזרת הסתברות?

בהחלט, כן!

אני יודע שציון ממוצע של

הסטודנטים בקורס סטוכסטיים

81-שווה ל

להוכיח קיום בעזרת הסתברות?

בהחלט, כן!

אני יודע שציון ממוצע של

הסטודנטים בקורס סטוכסטיים

81-שווה ל

להוכיח קיום בעזרת הסתברות?

בהחלט, כן!

אני יודע שציון ממוצע של

הסטודנטים בקורס סטוכסטיים

81-שווה ל

אני יכול להסיק שקיים

או יותר81סטודנט שקיבל

להוכיח קיום בעזרת הסתברות?

בהחלט, כן!

התוצאות מדהימות, הרעיון פשוט

דוגמא לא אמיתית

הוכח כי למזכירה רשלנית קיימת אפשרות לשים לפחות מכתב אחד

למעטפה שלו

דוגמא לא אמיתית

הוכח כי למזכירה רשלנית קיימת אפשרות לשים לפחות מכתב אחד

למעטפה שלו

הוכחה הסתברותית :

אז, נשים מכתבים באקראי במעטפות

תוחלת מספר המכתבים שיהיו במעטפות שלהם

-שווה ל

דוגמא לא אמיתית

הוכח כי למזכירה רשלנית קיימת אפשרות לשים לפחות מכתב אחדלמעטפה שלו

הוכחה הסתברותית :

אז, נשים מכתבים באקראי במעטפות

תוחלת מספר המכתבים שיהיו במעטפות שלהם

1-שווה ל

ולכן קיים לפחות סידור אחת שבו לפחות מכתב אחד

ןויהי במקום הנכ

פתרון הסתרותי:

אזי , עמודים צמודים באקראי7נבחר

2-כלומר תוחלת כמות עמודים אדומים במדגם גדולה מ

דוגמא אמיתיתRamsey Number

דוגמא אמיתיתRamsey Number

מהי כמות מינימלית של אנשים כך שבינים תמיד יהו

אנשים שלא-kאנשים שמכירים אחד את השני או -kאו

?=R(k,k)מכירים אחד את השני

R(3,3)=6

R(5,5) = ?

R(6,6) = ???

דוגמא אמיתיתRamsey Number

מהי כמות מינימלית של אנשים כך שבינים תמיד יהו

אנשים שלא-kאנשים שמכירים אחד את השני או -kאו

?=R(k,k)מכירים אחד את השני

R(3,3)=6

R(5,5) = ?

R(6,6) = ???

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

:אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

:אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

:אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

:אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

דוגמא אמיתיתRamsey Number

כך , הוכח כי ניתן לחלק צמתי הגרף לשתי קבוצות: 2דוגמא אמיתית

כ "שכמות הקשתות בין הקבוצות תיהי גדולה או שווה מחצי של סה

הקשתות

של כל גרף לשתי קבוצותהוכח כי ניתן לחלק צמתי: 2דוגמא אמיתית ,

כ "כך שכמות הקשתות בין הקבוצות תיהי גדולה או שווה מחצי של סה

הקשתות

של כל גרף לשתי קבוצותהוכח כי ניתן לחלק צמתי: 2דוגמא אמיתית ,

כ "כך שכמות הקשתות בין הקבוצות תיהי גדולה או שווה מחצי של סה

הקשתות

קשתות?צמתים?גרף? מה נעשה ?

של כל גרף לשתי קבוצותהוכח כי ניתן לחלק צמתי: 2דוגמא אמיתית ,

כ "כך שכמות הקשתות בין הקבוצות תיהי גדולה או שווה מחצי של סה

הקשתות

קשתות?צמתים?גרף? מה נעשה ?

כל צומת : נחלק צמתי הגרף באופן אקראי לשתי קבוצות: פתרון

תבחר אחד משתי הקבוצות0.5בהסתברות

של כל גרף לשתי קבוצותהוכח כי ניתן לחלק צמתי: 2דוגמא אמיתית ,

כ "כך שכמות הקשתות בין הקבוצות תיהי גדולה או שווה מחצי של סה

הקשתות

קשתות?צמתים?גרף? מה נעשה ?

כל צומת : נחלק צמתי הגרף באופן אקראי לשתי קבוצות: פתרון

בוחרת קבוצה0.5בהסתברות

שיטת התיקונים(deletion method)

נסיק מסקנות, נתקן אותו, "לא טוב"נייצר אוביקט אקראי

שיטת התיקונים(deletion method)

נסיק מסקנות, נתקן אותו, "לא טוב"נייצר אוביקט אקראי

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

יות של אנשים שכל אחד מכיר אחד את -kניקח מבנה שעבורה כמות ה

ומכל קבוצה , קטנה מהתוחלת, או אף אחד לא מכיר אחד את השני, השני

k-ואז מקבל מבנה בלי , ל נזרוק בן אחד"אנשים כנk-ל"יות כנ

שיטת התיקונים(deletion method)

נסיק מסקנות, נתקן אותו, "לא טוב"נייצר אוביקט אקראי

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

שיטת התיקונים(deletion method)

נסיק מסקנות, נתקן אותו, "לא טוב"נייצר אוביקט אקראי

דוגמא אמיתיתRamsey Number

0.5עבור כל זוג אנשים בהסתברות : פתרון הסתברותי

אזי, נחליט שהם מכירים אחד את השני

3-SAT

האם קיימת השמה מספקת לנוסחא?

חשובהוסופר קשהבעיה סופר

לא ידוע פתרון אפקטיבי לשאלה זו(P=NP)

3-SAT

האם קיימת השמה מספקת לנוסחא?

חשובהוסופר קשהבעיה סופר

לא ידוע פתרון אפקטיבי לשאלה זו(P=NP)

השמה אקראית, כן? מהקלאזים או יותר75%מספקת האם קיימת השמה

דוגמאות נוספות:

Turan theorem

Wan der Warden’s Theorem

3-SAT

Graph Tournament

Random Graphs

Discrepancy