transferencia de masa 1649 grupo 3 -...
Post on 08-Oct-2018
221 Views
Preview:
TRANSCRIPT
2014-08-11
Contenido
Similitud de las propiedades conservativas;
Transporte por convección;
Transporte por difusión molecular;
Balance general de una propiedad conservativa;
Ecuación de continuidad;
Balance de molar de un componente de interés, A.
Referencia principal. Brodkey, Capítulos 2 y 3.
t v G
0
Flux de : v
0vt
0A AB A A A AC D C v C Rt
S
Similitud en el transporte por convección de momentum, energía y masa
v v
3 3
masa velocidad L momentum L
t tL L
C pq C T v 3C
calorias Lq
tL
A An C v3
A
moles A Ln
tL
Flux convectivo de Concentración de velocidad
3 Concentración de
L
v
Sea una propiedad conservativa
Transporte de Momentum por difusión molecular
Sistema: una tabla de superficie A está colocada en el fondo de un estanque; inicialmente
(t=0) la tabla está quieta (v=0); “de repente” (t >0), se le aplica a la tabla una fuerza
tangencial constante F, para moverla a una velocidad constante v0; esta condición se
mantiene hasta que el sistema alcanza el estado estacionario (no hay dependencia de las
características del sistema respecto del tiempo).
Sea y la dirección en la que se mueve la tabla; y considere que el fluido se mueve en
régimen laminar, es decir que el fluido se mueve en capas y que éstas no se mezclan unas
con otras.
Algunas unidades
; pero, no hay esfuerzos negativos2 12 1 y yx x v v v 0 0
Fluidos Newtonianos:y
xy
dv
dx
y
xy
dvv
dx
2 2 2 2
masa aceleraciónfuerza L 1 L 1 1= = masa = masa
A t tL t L L
2
1 1momentum
t L
2
momentum = flux de momentum difusivo ... unidades del flux convetivo
t L
2
1 1masa velocidad
t L
2 3
23
3
momentum momentumComo:
L L
t L
1
LL L =
t
2
concentración de momemtL
tu
1
Lm
como: gradiente1
L
2
2momentumconcentración de momemtum
L
tt L
3
2 2 2
3
2momentum mL a1 1 1
L L L
saL L L
t t tL L tv v v
2
Si constaL
tnte v
2
3
m m
tLL
L
tv v
mcomo: ... unidades de viscosidad
tL
... v Newton
Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)
caloriasFlujo de calor:
tCQ
2 2
flujo de calor calorias 1Flux de calor: = =
tL LCq
2
0
02
mol C L
mo
cal cal=
tL tL l LCCq
22
0
3 0
L 1 m Lol calC =
t L L mol C t
1
LC pq C T
2 1
2 1
z
p p
C p
C T C Tq C T
z z
Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)
22
0
3 0
L 1 m Lol calC =
t L L mol C t
1
LC pq C T
2 1
2 1
z
p p
C p
C T C Tq C T
z z
Asumiendo que es independiente de la temperatura pC T
2 1 2 1Como: ; T T z z
2 1
2 1
p p
p p zC z
C T C Tq C T C T
z z
Transporte molecular de masa (moles de A)
moles de Flujo molar de :
tA
AA j
2 2
flujo molar de moles 1Flux molar de :
tL LA
A AA n
2
2 3
2
2
2moles L L
t
1 moles =
t Lt L
L 1
LL LA
A AC
2 1
2 1
A
A AB z
A
A
C Cn D C
z z
2 1 2 1Además : ; A Az z C C
2 1
2 1
0 no hay flux negativoA A
A AB AB Az
C Cn D D C
z z
2 1
2 1
0A A
A AB AB Az
C Cn D D C
z z
Transporte de masa (moles de A)
: A AB ALey de Fick n D C
:
flux molar de
Coeficiente de difusión molecular de en
Gradiente de la concentración molar de
A
AB
A
Ley de Fick
n A
D A B
C A
Similitud en el transporte por difusión de momentum, energía o masa
2
C p
L
tq C T
2
tv
L
2
gradiente de la concentraciónL
tde momentum
Cuando es cons tante : - v ... Newton
2
Cq gradiente de la concentracióL
n de c lt
a or
PCuando C es cons tante : q k T ... Fourier
2
AA
L
tn C
2
An gradiente de la concentración molar AL
tde
AB AAn D C ... Fick
Transporte de una propiedad conservativa φ por difusión molecular
Flux de φ por difusión molecular: Ψ
δ: coeficiente de la difusión molecular de φ
: gradiente de
ψ: concentración de φ
Concentración de
Flux de por convección: v
Transporte de una propiedad conservativa φ por convección y por
difusión molecular .
Flux de por difusión:
Flux total de : v
No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;
Postulados:
* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual
implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;
* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el
elemento de control.
Balance General de una Propiedad Conservativa φ .
Enfoque Vectorial
Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0
dV
Balance General de una Propiedad Conservativa PC en el elemento de control EC
Principio de Conservación a la PC de interés en el EC:
dV
Acumulación de PC
Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por DifusiónPC PC
Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por ConvecciónPC PC
Rapidez de Transformación de PC
neta
ne
Acumulación de
Rapidez de transporte de por Difusión
Rapidez de transporte de por Convección
Rapidez de Transformación
ta
de
PC
PC
PC
PC
Transporte por Difusión molecular
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux diferencial por difusión molecular:
Flujo diferencial por difusión: ndA
Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA
Flux positivo
El flux y v van en dirección opuesta
Flujo diferencial de salida por difusión: ndA
El flux y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Difusión Molecular
Flujo total de entrada =
ENA
ndA
=
ENA
ndA =
ENA
n dA
Flujo total de salida =
SAA
ndA =
SAA
n dA
Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
dV
Difusión Molecular
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
=
EN SAA A
n dA
Flujo Neto total por Difusión = ECA
n dA
Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA
n dA
RNTD = ECA
n dA
pc
flux =tiempo × área
pc flujo= flux × área = = rapidez
tiempo
Transporte por Convección
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux por Convección = v
Flujo diferencial por Convección =v ndA
Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA
n y v tienen direcciones opuestas
n y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA
Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA
dV
Convección
Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA
Flujo total por Convección EN SA
EN SA
A A
neto n v dA n v dA
dV
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo total por Conveción = ECA
neto n v dA
Rapidez Neta de transporte por Convección = ECA
n v dA
RNTC = ECA
n v dA
pc
flux =tiempo × área
pc flujo= flux × área = = rapidez
tiempo
Acumulación
dV Por definición:
d
dt
3
pc concentración de la propiedad conservativa
L
Cantidad de pc que tiene un elemento diferencial : d VV d
Acumulación de pc en el volumen diferencia l :d
dVd
dt
V
Acumulación de pc en todo el volumen control :
C CV
C
V
d d
dt dtV dV dV
Acumulación de
CV
dpc dV
dt
( )
C C CV V A
ddV dV n w dA
dt t
Acumulación A
CV
dVt
Suponiendo que el EC está fijo … v = v … w = 0
De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación queda:
dV
Rapidez de Transformación de la pc
Rapidez de TransformacionDefiniendo:
Volumen G
Rapidez de Transformacion en el elemento diferencial : GdV dV
Rapidez de Transformacion en todo el volumen RT :
C
G
V
V dV
Sustituyendo [A], [RND], [RNC], [RT] en la ecuación de conservación se obtiene el modelo
matemático en términos de la concentración de la propiedad conservativa ψ
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
[RT] ...
C
G
V
dV
RNTD ... CA
ndA
[RNTC] ... CA
v ndA
[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]
... [A]
CV
dVt
Como:
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:
C CA V
ndA dV
C CA V
v ndA v dV
Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:
C C C C
G
V V V V
dV dV v dV dVt
t v G
dV 0
VC
t v G
dV 0
VC
Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de volumen finito, es decir que
dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se cumple si y solo si:
Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ
t v G
0
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección Transformación
Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una propiedad conservativa φ en
términos de la concentración de dicha propiedad ψ
Por lo tanto, la expresión del balance de una propiedad conservativa φ , puede expresarse en
términos de la concentración de dicha propiedad ψ y de la derivada material (el observador se
mueve con la misma velocidad que el elemento de control: v = w) de la siguiente manes:
Balance de una propiedad conservativa expresada en términos de la derivada material
Como: 0 G Gv vt t
Como: v v v
Para fluidos incompresibles: 0 v v v
v vt t
Derivada material:
Dv
Dt t
G
D
Dt
Ecuación de Continuidad… es un caso particular de Balance de Masa, que tiene las
siguientes restricciones
1. Solamente hay trasporte por convección;
2. No hay transformación.
En el balance de la propiedad conservativa φ , ψ representa a la concentración de φ , es
decir PC/volumen.
t v
G
0
Por lo tanto, en el modelo de transporte de masa en un sistema donde no cambia su
composición se cumple: φ = masa ; consecuentemente ψ = masa / volumen = densidad = ρ
Ecuación de Continuidad: v 0t
Como:
Gv 0t
0Gvt
0, porque ni ni son funciones de la posición
0, porque en las transformaciones químicas la masa total se conservaG
Balance molar por componente (A)
1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión
Ahora, en el Balance de la Propiedad Conservativa ψ se tiene:
Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
3 3 ; A
A A
npcpc n C
L L
Como: 0Gvt
0A AB A A AC D C v C Rt
Balance molar por componente (A)1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión;3. El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la posición.
Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
Como: 0A AB A A AC D C v C Rt
0A AB A A AC D C v C Rt
Balance molar por componente (A)
1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión;3. El volumen de control es constante (no es función de tiempo ni de posición);
Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
4. El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la posición;5. El elemento de control intercambia materia a través de una interfase.
Intercambio vía interfase
0A AB A A A AC D C v C Rt
S
Balance diferencial molar de A en términos de su concentración:
CA
tD
ABC
A vC
A R
A
0
Unidades
CA
t
1
seg
mol
L3
mol
seg L3
DAB
CA
1
L
1
L
L2
sec
mol
L3
mol
seg L3
vCA
1
L
L
seg
mol
L3
mol
seg L3
A A 3
molR ,S
seg L
top related