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1
TRELIÇAS São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.
Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.
Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.
Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.
Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.
Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N.
1º Condição de Treliça Isostática:
2 . n = b + � Sendo
2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0 (Momento fletor)
Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário
+ -
3º Métodos dos Nós
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.
Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.
Calma, nos exercicios verá que é fácil.
� n = nº de nós � b = quantidade de barras � � = nº de reações (Verticais e
2
Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO
- COMPRESSÃO
Treliça Esquemática
3
Exercícios
1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0
VA+VE = 200 KN VA = 400÷4
100+VE = 200 KN VA = 100 KN
VE = 200-100
VE = 100 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NAB
VA
NAF
NAB
VA
NAF
4
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB = 0 NAF = 0
100+NAB = 0
NAB = -100 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0
-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0
-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN
NBF = 70,7 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0
NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0
NCD = - 50 KN
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0
-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0
NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN
50
NBA
NBC
NBF
NBF NBA NBF
50
NBC
10
NCF
NC NCNCB
NCF
10
NCB
NFD
NFE NFE NFA NFA
NFC NFB
NFB NFC NFD
NFB NFD
5
NDF
NFD = 70,7 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NED+100 = 0 0-HE = 0
NED = -100 KN HE = 0 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0
-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0
-50-50+100 = 0 50-50 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NBC -50 COMPRESSÃO NDC -50 COMPRESSÃO NBF 70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO
VE
HE HE NEF
VE
NEF
NED NED
ND
50 50
NDND NDE
NDE
ND
6
NCF -100 COMPRESSÃO
2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0
60+HB = 40 -HA.2+120 = 0
HB = 40-60 HA = 120÷2
HB = -20 KN HA = 60 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
7
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0
20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0
NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57°
NBC = 22,36 KN
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0
10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0
NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0
NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC = 0 -NEA+NED = 0
-(-40)+NED = 0
NED = -40 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
VB
NBA
NBC
NBA
NBC HB
VB
NBC
HB
NAB
NA
NAE HA
NAB
NAHA NAE
NA
NEC
NEA
NEC
NED NEA NED
NCB
NC
NC
40
NC40
NCB
NC
NCB
8
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0
22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0
10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-20+20+40 = 0
NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0
NCD = 44,7 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0
-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0
-20+20 = 0 -40+40 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NAB 10 TRAÇÃO NBC 22,36 TRAÇÃO NAC -22,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 44,7 TRAÇÃO
NCE NC NCE NC
20
NDE
ND ND
ND
NDE
20
9
3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
10
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0
VA = 6-3 VB = 48÷16
VA = 3 t VB = 3 t
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0
N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0
N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t
N13 = -5 t
Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N23 = 0 -N21+N24 = 0
-4+N24 = 0
N24 = 4 t
Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
N13
VA
N12
VA
N12 HA
N13
HA
N13
N23
N24 N21
N23
N21 N24
N32
N34
N34
N31
N35
N31
N35
2 N35
2
N31 N32 N34
11
-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0
(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4
N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°
N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5
”2”
Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”
“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5
“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5
2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67
N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t
N34 = -1,67 t
Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0
-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0
+
N54
N57 N53
N53 N57
2 2
N53 N54 N57
12
N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87°
N57 = -3,33 t
Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0
+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0
-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0
N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t
N47 = 1,67 t
Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme
tabela.
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO
N13 = N87 -5 COMPRESSÃO N12 = N86 4 TRAÇÃO
N47
N46 N42
N45 N43
N43 N45 N47
N42
N43
N46
N47
13
N24 = N64 4 TRAÇÃO N23 = N67 0 - N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO
N54 2 TRAÇÃO
4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
14
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.7 = 11+3
14 = 14 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0
HA = -HB HA = 24÷3
HB = -8 t HA = 8 t
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0
6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0
-N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57°
N51 = 2 t N56 = 8,94 t
VB
N56
HB
VB
HB N56
N51 N51 N56
15
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0
2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0
N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0
N16 = -2,83 t N12 = - 6 t
Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0
-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0
N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57°
N67 = 6,7 t
Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0
1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0
N15
N16
HA HA N12
N15 N16
N16
N12
N62
N67 N61
N65
N67
2 2
N61 N62 N67
N65
N65
N61
N26
N27
N21 N21 N23
N26 N27
N27
N23
16
N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0
N27 = -2,23 t N23 = -4 t
Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37 = 0 -N32+N34 = 0
-(-4)+N34 = 0
N34 = -4 t
Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0
-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0
-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0
N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0
N74 = 4,47 t
Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N37
N32 N32 N34
N37
N34
N73
N74 N72
N76
N74
2 2
N72 N73 N74
N76
N76
N72
N43
N47
2 2 N47
N47
N43
17
-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 0
-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0
-2+2 = 0 +4-4 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO
N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO
18
5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0
VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4
VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN
VA = 12,5 KN
19
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0
12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0
NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN
NAC = -15,63 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0
-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0
-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0
NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN
NCE = 3,13 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0
VA
NA
HA HA NAE
NA
NA
NAE
VA
NCE NC
NC
10 10
NC NCE
NCNC
NCE
NED
NEB NEA
NEC
NEA
NEC
NEB
NED
NEC NED
20
3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0
NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0
NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0
-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0
-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0
NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0
NDB = -21,88 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0
17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NDB NDE
20 20
NDE NDB
NDND
NDB NDE
VB
NBE
NBD NBD
NBD
NBE
VB
21
NAC -15,63 COMPRESSÃO NAE 9,38 TRAÇÃO NCE 3,13 TRAÇÃO NCD -11,26 COMPRESSÃO NED -3,13 COMPRESSÃO NEB 13,14 TRAÇÃO NDB -21,88 COMPRESSÃO
6º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
22
2.n = b+ν
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0
HB = -HA HB = 360÷0,9
HA = - 400 KN HB = 400 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBA = 0 HB+NBD = 0
400+NBD = 0
NBD = -400 KN
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0
225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0
NAB
NA
HA HA NA
VA
NA
NA
NAB
NBA
HB HB NBD
NBA
NBD
VA
NA
23
NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN
NAC = 375 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0
375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0
NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0
NDE = -100 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0
-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0
-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0
NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0
NCE = 125 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
ND
NDE NDB
ND
NDB
ND
NDE
ND ND
NCE
NC
15 15
NC NCE
NCNC
NCE
NED
NEC
75 75 NEC
NEC
NED
24
-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0
-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0
-75+75 = 0 -100+100 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NBA 0 - NBD -400 COMPRESSÃO NAD 375 TRAÇÃO NAC 100 TRAÇÃO NDC -225 COMPRESSÃO NDE -100 COMPRESSÃO NCE 125 TRAÇÃO
7º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
25
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0
4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0
VE = 8-4 VA = 16a÷4a
VE = 4 KN VA = 4 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0
4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0
NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN
NAB = -8 KN
VA
NAB
NAF
NAB
NAB
NAF
VA
26
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0
NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0
NFG = 6,9 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0
NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9
(NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9
NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30°
NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8
”2”
Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”
4
NFA NFA NFG
NFB
NFG
4
NFB
NBF
NB
NB
NBA
NBC
NBA
NBC
NBC
NBA NBF NB
27
“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0
“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0
2NBC = -8 NBG = -4 KN
NBC = -8÷2
NBC = -4 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0
-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0
2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0
NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30°
NCD = -4 KN
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0
-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0
NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0
NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN
+
NC
NCNCB
NCB NC
NCB NC NC
NG
NGNGF
NGNG
NG NG NG
NGF
NG
NG
NG
28
Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NAB = NED -8 COMPRESSÃO NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO NFB = NHD 4 TRAÇÃO NBC = NDC -4 COMPRESSÃO NBG = NDG -4 COMPRESSÃO
NCG 4 TRAÇÃO
29
8º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-400.2a-400.1a = 0
30
1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a
VJ = 2000-1000 VF = 1000 N
VJ = 1000 N
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NAF = 0 NAB = 0
NAF = -400 N
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0
NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -848,5.cos45°+NFG = 0
NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N
NFB = -848,5 N
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NGB = 0 -NGF+NGH = 0
-600+NGH = 0
NAF
40
NAB
40
NAB
NAF
NFA
NFB
NFG
NFA NFB
NFB
NFG
VF VF
NGNGF
NG NG
NGF NG
31
NGH = 600 N
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0
-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-848,5).cos45°+282,8.cos45°=0
-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0
NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N
NBH = 282,8 N
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0
NCH = -400 N -(-800)+NCD=0
NCD = -800 N
Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (N) ESFORÇO
NAB = NED 0 -
NBA
NBH
NBF
NBC
NBF NBC
40
NBNBH
NBF NB NBH
NBA
40
NCB NCNCB NC
40
NC NB
40
32
NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO NFG = NJI 600 TRAÇÃO NGB = NID 0 - NGH = NIH 600 TRAÇÃO NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO NBC = NDC -800 COMPRESSÃO
NCH -400 COMPRESSÃO
9º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
33
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.6 = 8+4
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0
HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0
VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6
VE = 20,25 KN
Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada.
Os cálculos mostrarão essa teoria.
34
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAC = 0 -9+NAB = 0
NAB = 9 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0
-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0
-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0
NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°
NBC = -11,25 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -9+NCB.cos36,87°+NCD = 0
0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-11,25).cos36,87°+NCD = 0
NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0
NCD = 18 KN
NA
9 NAB NAB
NA
9
NBA
NBC NBC
NBD NBC NBD
NBA
NC
NCB
NC
NC NCB
NCB
NC
NCE NCE
9 9
35
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0
6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0
6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°
NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0
20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-22,5).cos36,87° = 0
20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok
0 = 0
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFD-VF = 0 -HF = 0
20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok
ND
NDE
NDE
NDB
NDF NDE NDF
ND
NDB
NEC
NED
NEC NED
NED
VE VE
HE H
HE confirmada
NFD NFD
HF
VF VF
HF
36
0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NAB 9 TRAÇÃO NAC 0 - NCE -6,75 COMPRESSÃO NCD 18 TRAÇÃO NBD 6,75 TRAÇÃO NBC -11,25 COMPRESSÃO NDF 20,25 TRAÇÃO NDE -22,5 COMPRESSÃO
HF confirmada
37
10º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0
HF = -HC HF = 720÷4,5
HC = -160 KN HF = 160 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NDA NDE
NDA
38
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NDA-100 = 0 NDE = 0
NDA = 100 KN
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0
NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0
(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62°
NAB-NAE = 100÷sen22,62°
NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0
”2”
Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”
“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0
“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0
2NAB = 260 NAE = -130 KN
NAB = 260÷2
NAB = 130 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
10
NDE
10
NAB
NAE
NAB
NAB
NAE
NA NA NAE
+
NEB NEA
NEA NEB
NEF
NEA
39
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA.cos22,62° = 0
NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-130).cos22,62° = 0
NEB = 50 KN NEF = -120 KN
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB.cos39,81° = 0
NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-NFB.cos39,81° = 0
NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81°
NFB = -52 KN
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0
NEF NED NED
NFC NFB
HF
NFB NFC
HF NFE NFB
NFE
NBF
NBA
NBC NBC
NBC
NBE NBF
NBA NBE NBF
NBA
40
173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-52).cos39,81°=0
66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0
0=0 NBC = 160÷cos22,62°
NBC = 173 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV= 0 ΣFH = 0
VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0
100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0
100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0
0=0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
NDA 100 TRAÇÃO NDE 0 - NAE -130 COMPRESSÃO NAB 130 TRAÇÃO NEB 50 TRAÇÃO NEF -120 COMPRESSÃO NFC 33,3 TRAÇÃO NFB -52 COMPRESSÃO NBC 173 TRAÇÃO
NCB
HC HC
VC
NCF NCB NCF
NCB
VC
41
11º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
42
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+ν
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
2º Passo Reações de Apoio
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0
VA+13,5 = 30 VB = 135÷10
VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN
VA = 16,5 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0
16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-23).cos45° = 0
N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN
N12 = -23 KN
N12
N13
N12
N12
N13
VA VA
HA HA
43
Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N32 = 0 -N31+N32.cos71,57°+N34 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0
N34 = 16,3 kN
Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N42 = 0 -N43+N42.cos71,57°+N45 = 0
-16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0
N45 = 16,3 kN
Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0
-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-0+N26+2,29.cos45°+0=0
N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0
N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN
N32
N34
N32
N32
N34
N31 N31
N42
N45
N42
N32
N34 N43
N31
N25
N21
N26
N26
15
N23
N25
N21 N23 N24
N21
15
N24 N25
N24 N23
44
Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0
N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0
N67 = -17,88 KN
Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-N54+N57.cos45°+N58 = 0
2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-16,3+18,9.cos45°+N58 = 0
N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0
N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN
N57 = 18,9 KN
Nó “8” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N87 = 0 -N85+N87.cos71,57°+N89 = 0
15
N67
15
N67
N65 N65
N62 N62
N57
N58 N54
N56 N52 N52 N56 N57
N54
N52
N58
N57
N87
N89
N87
N87
N89
N85 N85
45
-4,5+0.cos.71,57°+N89 = 0
N89 = 4,5 KN
Nó “9” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0
N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-4,5+N910 = 0
N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0
N97 = -14,23 KN
Nó “10” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0 ΣFH = 0
N107 = 0 -N107-N109 = 0
-0-N109 = 0
N109 = 0
Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
N97
N910
N97
N910
N98
N97
VB VB
N98
N10N10
N10N10
N10
N71N76
N71N75
N76
46
ΣFV = 0 ΣFH = 0
-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0
-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-14,23).cos71,57°+0=0
-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO
N12 -23 COMPRESSÃO N13 16,3 TRAÇÃO N34 16,3 TRAÇÃO N42 0 - N32 0 - N45 16,3 TRAÇÃO N52 2,29 TRAÇÃO N26 -17,88 COMPRESSÃO N67 -17,88 COMPRESSÃO N65 -15 COMPRESSÃO N58 4,5 TRAÇÃO N57 18,9 TRAÇÃO N87 0 - N89 4,5 TRAÇÃO N97 -14,23 COMPRESSÃO
N910 0 - N107 0 -
N78 N75 N78 N79 N75
N79 N71 N79 N78
47
Bibliografia
INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007
Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005
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