trigo no me trie cours

Lycée Fénelon CoursBCPST1 Durée : 2 h

Trigonom ’etrie

Les énoncés et parties suivis du symbole [�] ne seront pas traités en cours.

A. Les lignes trigonométriques 3A. 1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A. 2. Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

a) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5b) Démonstrations des formules [�] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

B. Résolution d’équations trigonométriques 7B. 1. L’équation cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7B. 2. L’équation sinx = s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8B. 3. Le système cosx = c & sinx = s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9B. 4. L’équation tanx = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10B. 5. L’équation A cosx+B sinx = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

C. Linéarisation 12

Prérequis

Revoir le chapitre sur :

• les complexes.

Les trois lettres AQT signifient ��Âne Qui Trotte �� et sont utilisées pour désigner une démons-tration facile laissée au lecteur.

Dans ce chapitre, on fait de la trigonométrie en évoquant a minima la nature fonctionnelle ducosinus, du sinus et de la tangente. Ces quantités sont ainsi définies géométriquement à partir descoordonnées d’un point du cercle unité. Pour souligner ce contexte non fonctionnel, on ne parled’ailleurs pas de �� fonctions circulaires �� mais de �� lignes trigonométriques ��.

Nous reviendrons évidemment plus tard sur l’étude des fonctions circulaires.

2

A. Les lignes trigonométriques

A. 1. Définitions

Nous rappelons ici la définition du cosinus, du sinus et de la tangente en les désignant commedes �� fonctions ��. Dans la suite de ce chapitre, leur nature fonctionnelle ne sera pas étudiée. Nousy reviendrons ultérieurement.

Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormal di-

Oθcos θ

sin θ tan θ

1

1rect (O,−→ı ,−→ ). On note C le cercle de centre O et derayon 1 (cercle trigonométrique).

Pour tout nombre réel θ, le point M de C tel quel’angle orienté (−→ı ,

−−→OM) ait pour mesure θ, a pour coordon-

nées (cos θ, sin θ). On définit ainsi sur R deux fonctions 2π-périodiques, sinus et cosinus.

Leur quotient tan θ =sin θ

cos θest la fonction tangente. Elle

est définie et π-périodique sur R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z}.

Définition 1

On peut également définir la fonction cotangente sur R \ {kπ : k ∈ Z} par

cotan θ =cos θ

sin θ·

Les principales valeurs des fonctions trigonométriques sont données dans le tableau ci-dessous :

θ

cos θ

sin θ

tan θ

0π

6

π

4

π

3

π

2

1

√3

2

√2

2

1

20

01

2

√2

2

√3

21

0

√3

31

√3

�

�

�

�

Expressions par les éléments du triangle

Le théorème de Thalès permet de déduire, de la définition du cosinus, du sinus et de latangente que dans un triangle rectangle

θ

côté adjacent

côté opposéhypothénuse

on a les formules bien connues :

cos θ =côté adjacenthypothénuse

, sin θ =côté opposéhypothénuse

et tan θ =côté opposécôté adjacent

·

3

L’encadré suivant fait le point sur les propriétés graphiques des fonctions cosinus et sinus.�

�

�

�

Sinusoïdes

Graphiquement, les fonctions cosinus et sinus sont représentées par deux sinusoïdesdéphasées de π/2. La fonction cosinus est paire sur R et la fonction sinus est impaire sur R.

0

cos

sin

π/2 π 2π

1

−1

3π/2

L’encadré suivant fait le point sur les propriétés graphiques de la fonction tangente.�

�

�

�

��Tangentoïde ��

La fonction tangente est représentée, quant à elle, par une succession de ��branchesverticales �� réparties π-périodiquement et admettant en chaque point xk = π/2 + kπ uneasymptote verticale. La fonction tangente est impaire sur R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z}.

0

tan

π/2−π/2

3π/2

4

A. 2. Formules de trigonométrie

a) Formulaire

cos2 θ + sin2 θ = 1

cos (−θ) = cos θ cos (π − θ) = − cos θ cos (π + θ) = − cos θ cos(π

2− θ)= sin θ cos

(π

2+ θ)= − sin θ

sin (−θ) = − sin θ sin (π − θ) = sin θ sin (π + θ) = − sin θ sin(π

2− θ)= cos θ sin

(π

2+ θ)= cos θ

tan (−θ) = − tan θ tan (π − θ) = − tan θ tan (π + θ) = tan θ tan(π

2− θ)=

1

tan θtan

(π

2+ θ)= − 1

tan θ

cos (a+ b) = cos a cos b− sina sin bcos (a− b) = cos a cos b+ sina sin b

cos 2a = cos2 a− sin2 acos 2a = 2cos2 a− 1cos 2a = 1− 2 sin2 a

cos2 a =1 + cos 2a

2cos a =

1− t2

1 + t2où t = tan (a/2)

sin (a+ b) = sina cos b+ cos a sin bsin (a− b) = sina cos b− cos a sin b

sin 2a = 2 sina cos a sin2 a =1− cos 2a

2sina =

2t

1 + t2

tan (a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

tan (a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b

tan 2a =2 tan a

1− tan2 atan2 a =

1− cos 2a1 + cos 2a

tan a =2t

1− t2

cos p+ cos q = 2cosp+ q

2cos

p− q

2

cos p− cos q = −2 sin p+ q

2sin

p− q

2

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q

2

sin p− sin q = 2cosp+ q

2sin

p− q

2

tan p+ tan q =sin (p+ q)

cos p cos q

tan p− tan q =sin (p− q)

cos p cos q

5

b) Démonstrations des formules [�]

Dans le formulaire précédent, les formules des deux premiers tableaux découlent très rapidementde la définition des fonctions circulaires et de quelques remarques très simples de symétrie dans lecercle trigonométrique.Pour les deux derniers tableaux, toutes les formules s’obtiennent facilement dès lors que l’on

connait la formulecos (a+ b) = cos a cos b− sina sin b.

L’objectif de ce paragraphe est de donner une démonstration géométrique de cette formulelorsque a, b et a + b sont trois angles compris entre 0 et π/2. Il est facile de constater que sil’on n’est pas dans cette situation, il est possible de s’y ramener en utilisant les diverses symétriesdu cercle trigonométrique et les formules qui vont avec (celles du deuxième tableau de la pageprécédente).

Considérons le dessin suivant :

On a

cos(a+ b) = OH

= OI cos a car OHI est rectangle en H

= (OH ′ − IH ′) cosa

= (cos b− IH ′) cos a car OH ′M est rectangle en H ′

= (cos b−MH ′ tan a) cos a car MH ′I est rectangle en H ′

= (cos b− sin b tan a) cos a car OH ′M est rectangle en H′

= cos a cos b− sina sin b.

6

B. Résolution d’équations trigonométriques

Cette section est consacrée aux méthodes de résolution des équations trigonométriques deréférence.

B. 1. L’équation cosx = c�

�

�

�

Résolution de cosx = c

Soit c ∈ [−1; 1]. L’équation cosx = c, d’inconnue réelle x, possède une unique solutionx0 dans [0;π]. L’ensemble de ses solutions est alors

S = {x0 + 2kπ : k ∈ Z}∪{−x0 + 2kπ : k ∈ Z}.

Le nombre x0 ∈ [0;π] s’appelle l’arc cosinus de c et est noté arccos c. Sur la calculatrice, on

l’obtient à l’aide de la touche cos−1 .

Il découle de ce résultat que l’on a

cosu = cos v ⇐⇒

u = v + 2kπ (k ∈ Z)ou

u = −v + 2ℓπ (ℓ ∈ Z)ce qui peut être utile pour résoudre certaines équations.

Exemples :

• L’équation cosx = 2 n’a pas de solution.

• L’ensemble des solutions de cosx =√3

2est S =

{π

6+ 2kπ : k ∈ Z

}∪{− π

6+ 2ℓπ : ℓ ∈ Z

}.

• On a

cosx = cos(π

3−2x

)⇐⇒

x = −π

3+ 2x+ 2ℓπ (ℓ ∈ Z)

ou

x = −π

3+ 2x+ 2ℓπ (ℓ ∈ Z)

⇐⇒

x =π

9+2kπ

3(k ∈ Z)

ou

x =π

3+ 2ℓπ (ℓ ∈ Z).

On peut représenter graphiquement les solutions sur le cercle unité :

π

9

7π

9

13π

9

π

3

7

B. 2. L’équation sin x = s�

�

�

�

Résolution de sinx = s

Soit s ∈ [−1; 1]. L’équation sinx = s, d’inconnue réelle x, possède une unique solutionx0 dans [−π/2;π/2]. L’ensemble de ses solutions est

S = {x0 + 2kπ : k ∈ Z}∪{π − x0 + 2kπ : k ∈ Z}.

Le nombre x0 ∈ [−π/2;π/2] s’appelle l’arc sinus de s et est noté arcsin s. Sur la calculatrice,

on l’obtient à l’aide de la touche sin−1 .

Il découle de ce résultat que l’on a

sinu = sin v ⇐⇒

u = v + 2kπ (k ∈ Z)ou

u = π − v + 2ℓπ (ℓ ∈ Z)

ce qui peut être utile pour résoudre certaines équations.

Exemple :

• L’ensemble des solutions de sinx =

√3

2est S =

{π

3+ 2kπ : k ∈ Z

}∪{2π3+ 2ℓπ : ℓ ∈ Z

}.

8

B. 3. Le système cosx = c & sin x = s�

�

�

�

Résolution du système cos & sin

Considérons le système d’équations{cosx = c

sinx = s

Si c2 + s2 = 1, ce système ne possède pas de solution.Si la condition c2 + s2 = 1 est vérifiée, ce système possède une unique solution x0 dans

[0; 2π[. L’ensemble de ses solutions est alors

S = {x0 + 2kπ : k ∈ Z}.

On peut retenir de ce résultat qu’une mesure d’angle est connue sans ambiguïté (c’est à direconnue modulo 2π) dès que l’on connaît son cosinus et son sinus.

Exemple :

• L’ensemble des solutions du système

cosx =

√2

2

sinx = −√2

2

est S ={− π

4+ 2kπ : k ∈ Z

}.

9

B. 4. L’équation tan x = t�

�

�

�

Résolution de tan x = t

Soit t ∈ R. L’équation tanx = t, d’inconnue réelle x, possède une unique solution x0dans ]−π/2;π/2[. L’ensemble de ses solutions est alors

S = {x0 + kπ : k ∈ Z}.

Le nombre x0 ∈ ]−π/2;π/2[ s’appelle l’arc tangente de t et est noté arctan t. Sur la calcu-

latrice, on l’obtient à l’aide de la touche tan−1 .

Il découle de ce résultat que l’on a

tanu = tan v ⇐⇒ u = v + kπ (k ∈ Z)

ce qui peut être utile pour résoudre certaines équations.

Exemples :

• L’ensemble des solutions de l’équation tanx = 1 est S ={π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

• L’équation tanx = −√3 admet S =

{− π

3+ kπ : k ∈ Z

}comme ensemble de solutions.

10

B. 5. L’équation A cosx+B sin x = C�

�

�

�

Transformation de A cosx+B sin x en r cos(x− ϕ)Pour transformer la quantité E = A cosx + B sinx (où A,B ∈ R∗) en une expression

de la forme r cos(x− ϕ), on effectue les étapes suivantes :

• on calcule r =√

A2 +B2 = 0 ;• on factorise E par r pour obtenir E = r(α cosx+ β sinx) avec α = A/r et β = B/r ;

• comme α2 + β2 = 1, il existe ϕ ∈ R tel que α = cosϕ et β = cosϕ, ce qui donne

E = r(cosϕ cosx+ sinϕ sinx),

c’est-à-direE = r cos(x− ϕ).

On notera que r et ϕ sont le module et un argument du nombre complexe A+ iB.

Cette transformation a plusieurs applications :

• Elle permet, en physique, de déterminer l’amplitude et la phase d’un signal (électromagné-tique, sonore, . . . ) défini comme la somme de deux signaux.

• On peut aussi l’utiliser pour résoudre les équations du type A cosx+B sinx = C où A,B,Csont trois nombres réels, en se ramenant à une équation du type cosx = c. Des exemplessont donnés ci-dessous.

Exemples :

• Considérons l’équation −3 cosx + 4 sinx = 10. On a r =√(−3)2 + 42 =

√25 = 5 donc

l’équation est équivalente à

−35cosx+

4

5sinx = 2 ⇐⇒ cos(x− ϕ) = 2,

où cosϕ = −3/5 et sinϕ = 4/5. L’équation n’a donc aucune solution.

• Résolvons l’équation (E) :√3 cosx− sinx = 2. On a r =

√3 + 1 = 2, donc

(E) ⇐⇒√3

2cosx− 1

2sinx = 1

⇐⇒ cos(x+

π

6

)= 1

⇐⇒ x+π

6= 2kπ (k ∈ Z)

⇐⇒ x = −π

6+ 2kπ (k ∈ Z),

doncS =

{− π

6+ 2kπ : k ∈ Z

}·

11

C. Linéarisation�

�

�

�

Linéarisation d’une expression trigonométrique

Linéariser une expression trigonométrique, c’est transformer un produit de fonctionscirculaires en une somme de telles fonctions. Pour cela, on effectue les étapes suivantes :

• on remplace chaque occurrence des fonctions cosinus et sinus par leur expression ennombres complexes à l’aide des formules d’Euler :

cos θ =eiθ+e−iθ

2, sin θ =

eiθ − e−iθ2i

;

• on développe les différents produits qui apparaissent dans l’expression ;• on réutilise les formules d’Euler pour revenir en nombres réels.

Exemples :

• Linéarisons cos3 θ. On a

cos3 θ =(eiθ+e−iθ

2

)3

=1

8(e3iθ +3 e2iθ e−iθ+3eiθ e−2iθ +e−3iθ)

=1

8(e3iθ +e−3iθ) +

3

8(eiθ+e−iθ)

=1

4cos 3θ +

3

4cos θ.

• Les formules

cosx cos y =1

2

[cos(x− y) + cos(x+ y)

],

sinx sin y =1

2

[cos(x− y)− cos(x+ y)

],

sinx cos y =1

2

[sin(x+ y) + sin(x− y)

]

sont des cas particuliers de linéarisation d’expressions trigonométriques.2 h 00

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