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REVISÃO – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE DO CICLO TRIGONOMÉTRICO TURMA: 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
PROF. LUCAS FACTOR Trigonometria no Triangulo Retângulo Considere o triangulo retângulo abaixo: Definimos seno (sen) de um ângulo , cosseno (cos) de um ângulo , tangente (tg) de um ângulo ,cotangente (cotg) de um ângulo , secante(sec) de um ângulo e cossecante (cossec) de um ângulo , como :
H
CO
Hipotenusa
toCatetoOpos)sen(
H
CA
Hipotenusa
centeCatetoAdja)cos(
CA
CO
centeCatetoAdja
toCatetoOpostg )(
CO
CA
toCatetoOpos
centeCatetoAdjag )(cot
CA
H
centeCatetoAdja
Hipotenusa)sec(
CO
H
toCatetoOpos
Hipotenusa)sec(cos
Exemplos:
Sabemos que sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72 , Calcular o valor de x em cada figura:
Resolução:
a) cmxxx
8,510
58,010
)36sen(
b) mxxx
45
80,05
)36cos(
c) Kmxxx
tg 4,1420
72,020
)36(
Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto é:
222 acb
Exemplo: Sabendo que é um ângulo agudo e que 13
5)cos( , calcular )(tg e )(cot g .
Resolução: Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo tal que o cateto adjacente a mede 5 e a hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. Pelo teorema de Pitágoras temos:
222 135 x
12
144
25169
2
2
x
x
x
Logo, 5
12)(
centeCatetoAdja
toCatetoOpostg e
12
5)(cot
CO
CAg
Exercício: Sabendo que é um ângulo agudo e que 5
3)sen( , calcular )(tg e )(cot g .
Tabela dos Ângulos Notáveis
30º 45º 60º
Sen
2
1
2
2
2
3
Cós
2
3
2
2
2
1
Tg
3
3
1 3
Por convenção:
)sen(sen
))(cos()(cos
))(sen()(sen
kk
nn
nn
Exercícios: Calcular o valor das expressões:
1))º45()º30(sen
)º30(cos)º60cos(53
2
tgE
Resolução:
9
10
8
94
5
18
14
3
2
1
12
1
2
3
2
1
)º45()º30(sen
)º30(cos2
1
5
3
2
53
2
tg
E
2)x
xxE
2cos
4cos2sen2
para x=15º
Resolução:
3
4
4
3
1
2
3
2
1
2
1
)º30(cos
)º60cos()º30sen(
)º15.2(cos
)º15.4cos()º15.2sen(222
E
3)Determinar o valor de x na figura:
Resolução: Como o triangulo BCD é isósceles, pois possui dois ângulos de mesma medida; logo, CD=BD=20m. Assim, do triangulo ABD, temos que:
310
202
3
20º60sen
x
x
x
BD
x
Logo, 310x m
4) Sabendo que 3,2 tgtg , calcular o valor de x na figura
Resolução: Vamos introduzir uma variável auxiliar, fazendo DA=y. Assim do triangulo ABC temos:
y
x
y
xtg
52
5
Do triangulo ABD temos:
y
x
y
xtg 3
Devemos então resolver o sistema:
)(3
3
)(5
2
IIx
yy
x
Iy
x
Substituindo (II) em (I), temos:
30
35
2
xx
x
Logo, 30x cm Estudo na Circunferência Unidades de Medidas de Arcos
Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é º360
1dessa
circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um grau (1º); logo, uma circunferência mede 360º.
Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento do raio dessa circunferência , define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um radiano (1 rad); logo, uma circunferência mede 2 rad, pois o comprimento de
uma circunferência de raio r é r2 .
OBS: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio. Transformação de Unidades de Medidas de Arcos Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um mesmo arco. Por exemplo, 2 rad é equivalente a 360º, pois ambas são medidas de um arco de uma volta completa. Conseqüentemente, temos que:
rad é equivalente a 180°
Disso segue que: 1° é equivalente(~) 180
1rad e 1 rad é equivalente a
180
Exemplo: a)Ache a medida equivalente em radianos de 162°
b)Ache a medida equivalente em graus de 12
5 rad
Resolução:
a) 162° ~162.180
rad
162° ~ 10
9 rad
b)
180.
12
5~
12
5rad
75~12
5rad
A Circunferência Trigonométrica A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio unitário (1) e centro na origem. Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(1,0).Esses arcos serão percorridos no sentido anti-horário.Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual á medida angular do arco AP
Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 360º ou de 0 rad a 2 rad
Definimos:
Seno de é a ordenada (correspondente ao eixoy)do ponto P (indicação: sen )
Cosseno de é a abcissa (correspondente ao eixo x )do ponto P(indicação: cos ) Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos, num triangulo retângulo .Veja:
OQOQ
raio
OQ
QPQP
raio
QP
1cos
1sen
Simetrias
Exemplos:
Assim:
1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a 2
rad)
2° Quadrante: 90° a 180° ou ( 2
rad a )
3° Quadrante: 180° a 270° ou ( rad a 2
3rad)
4° Quadrante: 270° a 360° ou ( 2
3rad a 2 )
Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico
Exemplo: Sabendo que e 87,02
3º30cos5,0
2
1º30sen , achar um valor aproximado de:
a) sen 150º e cos 150º b)sen 210º e cos 210º
b) º210AP
Então:
87,0º30cosº210cos
5,0º30senº210sen
O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. Sendo a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que:
P no primeiro quadrante: ;0cos0sen e
P no 2º quadrante: 0cos0sen e ;
P no 3º quadrante: 0cos0sen e
P no 4º quadrante: 0cos0sen e
Sendo a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante:
cos)º180cos(sen)º180(sen e
cos)º180cos(sen)º180sen( e
cos)º360cos(sen)º360sen( e
Funções Trigonométricas Definição1: Suponha que t seja um numero real.Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do circulo unitário com centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por:
yt sen então a função cosseno será definido por xt cos
Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais .O maior valor da função é 1 e o menor é –1.As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre –1 e 1; segue ,portanto, que imagem da função é [ –1, 1]. Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura.
Vemos que:
sen(0) = 0 e cos(0) =1
2
22.
2
1
4cos
2
22.
2
1
4sen
02
cos12
sen
1cos0sen
02
3cos1
2
3sen
Propriedades: 1) )sen()sen( tt e )cos()cos( tt
Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. 2) tt sen)2sen( e tt cos)2cos(
Esta propriedade é chamada de Periodicidade.
Definição2: Uma função f será periódica se existir um numero real 0p tal que quando x estiver no
domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x).
O numero p é chamado de período de f . Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da função
a)
4
17sen
b)
3
7cos
c)
3
2cos
Resolução:
a)
4
17sen
=
2
2
4sen2.2
4sen4
4sen
4
16
4sen
4
16sen
b)
3
7cos
=
2
1
3cos2
3cos
3
6cos
c)
3
2cos
=
2
1
3
4cos2
3
4cos
3
64cos
Relação Fundamental da Trigonometria
1cossen 22 Definição:
cos
sentg
cos
1sec
sen
coscot g
sen
1seccos
Identidades Notáveis
22 1sec tg
22 cot1seccos g
1)sec).(cos(sen
1)).(sec(cos
1)).(cot( gtg
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