tugas translate chapter12 lagrangian and hamiltonian
Post on 29-Nov-2015
429 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
1
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
12.1 PENDAHULUAN
Dalam bab-bab sebelumnya, kami jelas menunjukkan dan menetapkan pentingnya hukum
Newton. Dengan menggunakan hukum kedua Newton dan kondisi awal yang diberikan, kami mampu
mendapatkan persamaan gerak dari sistem tertentu dan menggambarkan gerak sistem. Hukum Newton
dapat digunakan hanya jika semua gaya yang bekerja pada sistem yang diketahui, yaitu kondisi dinamis
yang dikenal. Selain itu, kami menggunakan koordinat persegi panjang, dengan penggunaan sesekali
polar, silinder, atau koordinat bola.
Dalam kebanyakan situasi, masalahnya tidak sesederhana itu untuk memecahkan dengan cara
dinamis dan kondisi awal, misalnya, massa yang dibatasi untuk bergerak pada permukaan bola atau
manik yang meluncur pada sebuah kawat. Dalam situasi ini, tidak hanya bentuk yang tidak diketahui
kendala membuat masalah sulit untuk memecahkan, tetapi menggunakan empat persegi panjang atau
lainnya yang biasa digunakan Koordinat dapat membuat tidak mungkin untuk mengatasi masalah itu
(bahkan jika gaya kendala yang dikenal). Dua metode yang berbeda, persamaan Lagrangangian dan
persamaan Hamilton, telah dikembangkan untuk menangani masalah tersebut. Kedua teknik ini bukan
hasil dari teori-teori baru. Mereka berasal dari hukum kedua Newton dan mereka menawarkan banyak
kemudahan dalam menangani masalah yang sangat sulit yang bersifat fisik. Pertama, teknik ini
menggunakan koordinat umum. Artinya, bukan dari yang terbatas pada penggunaan koordinat persegi
panjang atau kutub dan sejenisnya, kuantitas apapun yang cocok, seperti kecepatan, momentum linier,
momentum sudut, atau (panjang)2, yang digunakan dalam memecahkan masalah. Koordinat umum
tersebut biasanya dilambangkan dengan qK, di mana q1 mungkin v, q2 mungkin x, q3 mungkin sudut ,
dan seterusnya. Selanjutnya, teknik ini menggunakan pendekatan energi, memiliki keuntungan utama
berurusan dengan skalar, bukan vektor. Kita akan membahas ini secara rinci dalam bagian berikut. Kita
mungkin menyebutkan secara singkat perbedaan antara Lagrange dan metode Hamilton. Dalam
formalisme Lagrange koordinat umum digunakan adalah posisi dan kecepatan, sehingga persamaan
diferensial linear orde kedua. Di Hamilton formalisme koordinat umum digunakan adalah posisi dan
momentum, sehingga diferensial linear orde pertama persamaan. Metode ini tidak hanya membantu
dalam memecahkan persamaan gerak menggambarkan sistem, tetapi juga dapat digunakan untuk
menghitung kendala dan gaya reaksi.
12.2 KOORDINAT UMUM DAN KENDALA
Untuk menemukan posisi partikel, kita membutuhkan tiga koordinat. Koordinat ini bisa Cartesian
koordinat x, y, dan z, silinder koordinat r, , dan z, bulat koordinat r, , dan f, atau tiga koordinat lain
yang cocok. Jika ada beberapa batasan atau kendala terhadap mosi partikel, kita membutuhkan kurang
dari tiga koordinat. Misalnya, jika partikel dibatasi untuk bergerak pada permukaan pesawat, hanya dua
koordinat yang cukup, sedangkan jika partikel tersebut dibatasi untuk bergerak dalam garis lurus, hanya
satu koordinat sudah cukup untuk menggambarkan gerakan partikel.
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
2
Mari kita mempertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari N partikel. Untuk menentukan
posisi seperti sistem pada waktu tertentu, kita perlu N vektor, sementara setiap vektor dapat
digambarkan oleh tiga koordinat. Dengan demikian, secara umum, kita perlu 3N koordinat untuk
menggambarkan suatu sistem mekanik yang diberikan. Jika ada kendala, jumlah koordinat yang
diperlukan untuk menentukan sistem akan berkurang. Sebagai contoh, misalkan sistem adalah tubuh
yang kaku, dan seperti yang kita tahu, jarak antara partikel yang berbeda adalah tetap. Ini jarak tetap
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Seperti yang kita dijelaskan dalam Bab 9, tubuh kaku dapat
sepenuhnya dijelaskan oleh hanya enam koordinat, yaitu, hanya enam koordinat diperlukan untuk
menentukan konfigurasi yang kaku tubuh sistem. Dari enam, tiga koordinat memberikan posisi beberapa
titik acuan yang nyaman di tubuh, biasanya pusat massa sehubungan dengan asal beberapa sistem
koordinat yang dipilih, dan sisanya tiga koordinat menggambarkan orientasi tubuh dalam ruang.
Kami tertarik untuk menemukan jumlah minimum koordinat diperlukan untuk menggambarkan
system N partikel. Biasanya, kendala pada setiap sistem yang diberikan dijelaskan dengan cara
persamaan. Misalkan ada sejumlah m persamaan seperti yang menggambarkan kendala. Minimum
jumlah koordinat, n, harus benar-benar menggambarkan gerakan atau konfigurasi dari sistem tersebut
pada waktu tertentu diberikan oleh
(12.1)
Dimana n adalah jumlah derajat kebebasan dari sistem. Hal ini tidak perlu bahwa n ini koordinat
harus persegi panjang, silinder, atau koordinat lengkung lainnya. Sebagai soal Bahkan, n bisa setiap
parameter, seperti panjang, (panjang)2, sudut, energi, berdimensi kuantitas, atau kuantitas lainnya,
asalkan benar-benar menggambarkan konfigurasi sistem. Itu Nama umum koordinat diberikan untuk
setiap set jumlah yang benar-benar menggambarkan keadaan atau konfigurasi sistem. Koordinat umum
n ini lazim ditulis sebagai
q1, q2, q3, . . . qn (12.2a)
atau qk, dimana k= 1,2, 3 . . . . n (12, 2b)
Koordinat umum n ini tidak dibatasi oleh kendala. Jika setiap koordinat dapat bervariasi
independen yang lain, sistem ini dikatakan holonomic. Dalam sistem nonholonomic, yang koordinat tidak
bisa bervariasi secara independen. Oleh karena itu dalam sistem tersebut jumlah derajat kebebasan
adalah kurang dari jumlah minimum yang diperlukan untuk menentukan koordinat konfigurasi sistem.
Sebagai contoh, bola dibatasi untuk menggulung pada permukaan pesawat sempurna kasar kebutuhan
hanya lima koordinat untuk menentukan konfigurasi, dua untuk posisi pusat massa dan tiga untuk
orientasi. Tapi lima koordinat tidak bisa semua bervariasi secara independen. Ketika gulungan bola,
setidaknya dua koordinat harus berubah. Oleh karena ini adalah sistem nonholonomic. Itu investigasi dan
deskripsi sistem nonholonomic terlibat dan tidak akan dipertimbangkan di sini. Kita akan membatasi diri
pada pembahasan sistem holonomic untuk sementara waktu.
Satu set cocok koordinat umum dari sebuah sistem adalah yang menghasilkan persamaan gerak
yang mengarah ke interpretasi mudah gerak. Ini qn bentuk koordinat umum ruang konfigurasi, dengan
setiap dimensi diwakili oleh koordinat qK. Jalur system diwakili oleh kurva dalam ruang konfigurasi. Jalan
di ruang konfigurasi tidak meminjamkan dirinya untuk interpretasi yang sama sebagai jalur dalam ruang
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
3
tiga dimensi biasa. Di analogi dengan koordinat Cartesian, kita dapat menentukan turunan dari qk yang
�̇�1, �̇�2 . . , Atau �̇�k sebagai kecepatan umum.
Mari kita mempertimbangkan partikel tunggal yang koordinat persegi panjang x, y, dan z adalah
fungsi dari umum koordinat q1, q2, dan q3, yaitu
(12.3)
Misalkan perubahan sistem dari konfigurasi awal yang diberikan oleh (qh q2, q3) ke lingkungan
Konfigurasi yang diberikan oleh (qx + 8QU q2 + sq2, q3 + 8q3). Kita dapat mengekspresikan sesuai
perubahan dalam koordinat Cartesian oleh hubungan berikut:
(12.4)
dengan ekspresi yang sama untuk y dan z, dimana n adalah sama dengan tiga dan derivatif parsial x/
xK, .. . adalah fungsi dari q itu. Nilai n tergantung pada derajat kebebasan. Sebagai contoh, jika tidak ada
kendala, m = 0, dan dari Persamaan. (12.1) untuk N = 1, n = 3, karena kami telah menggunaka di atas, n
akan kurang dari 3 jika ada kendala pada sistem.
Mari kita mempertimbangkan kasus yang lebih umum di mana sistem mekanis terdiri dari
sejumlah besar partikel yang memiliki derajat kebebasan n. Konfigurasi sistem yang ditentukan oleh
umum koordinat q1, q2, . . qn. Misalkan konfigurasi perubahan sistem dari (q1, q2, . . qn) ke konfigurasi
baru {q1 + q1 . q2 + q2,. . . , qn + qn). Koordinat kartesian partikel i berubah dari (xi, yi zi) ke (xi + Xiyi +
yi zi, + zi). pemindahan ini Xi, Yi dan zi dapat dinyatakan dalam hal umum koordinat qk sebagai
(12.5)
dengan ekspresi yang sama untuk yi dan zi. Sekali lagi turunan parsial adalah fungsi dari umum
koordinat qk.
Hal ini penting pada saat ini untuk membedakan antara dua jenis pemindahan: yang sebenarnya
perpindahan dri dan virtual (tidak dalam kenyataannya atau nama) perpindahan ri. Misalkan massa mi
yang bertindak oleh gaya eksternal Fi dan menyebabkan massa mi bergerak dari ri ke ri + dri dalam waktu
Interval dt. Perpindahan ini harus konsisten dengan kedua persamaan gerak dan persamaan kendala
yang menggambarkan sistem ini secara massal, maka perpindahan tersebut sebenarnya perpindahan. Di
sisi lain, perpindahan virtual konsisten dengan persamaan dari kendala tetapi tidak memenuhi
persamaan gerak atau waktu. Misalnya, bob pendulum panjang mungkin dipindahkan dari (, ) untuk
(, + ) dalam setiap interval waktu sewenang-wenang selama sebagai bob tetap pada busur lingkaran
dengan jari-jari . Dengan demikian ri dan qi adalah perpindahan virtual. Kita akan memanfaatkan
prinsip kerja virtual di bawah ini. Kami akan menyebabkan maya perpindahan ri sehingga maya W
kerja. Pada dasarnya, dalam pemindahan tersebut, relative orientasi dan jarak antara partikel tetap tidak
berubah.
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
4
12.3 GAYA UMUM
Partikel Tunggal
Pertimbangkan gaya F yang bekerja pada satu partikel bermassa m dan menghasilkan
perpindahan maya r partikel. Usaha yang dilakukan W dengan gaya ini diberikan oleh
(12.6)
di mana Fx, Fy, dan Fz adalah komponen persegi panjang F. Kita dapat mengekspresikan perpindahan x,
y, dan zin hal qk koordinat umum. Memanfaatkan Pers. (12.4) dan (12.6), kita dapat menulis
(12.7)
Dimana
(12.8)
Qk disebut gaya umum terkait dengan koordinat umum qK. dimensi dari Qk tergantung pada
dimensi qK. Dimensi Qk qk adalah kerja. Jika terjadi kenaikan qK memiliki dimensi jarak, Qk akan
memiliki dimensi jara, jika Qk memiliki dimensi sudut , Qk akan memiliki dmensions torsi . Ini
mungkin menunjukkan bahwa kuantitas QK dan jumlah x, y, dan z disebut perpindahan virtual sistem
karena tidak perlu bahwa pemindahan tersebut mewakili pemindahan sebenarnya.
Sistem Partikel
Mari kita menerapkan ide-ide sebelumnya untuk kasus umum dari sistem yang terdiri dari N
partikel bertindak oleh gaya Fi = (i = 1, 2, … , N). Total kerja yang dilakukan W untuk sebuah r
perpindahan virtual, system adalah
(12.9)
Sekali lagi, mengekspresikan perpindahan virtual dalam hal koordinat umum, menggunakan Persamaan.
(12.5), kita mendapatkan
(12.10a)
Bertukar urutan penjumlahan, kita mendapatkan
(12.10b)
atau
(12.11)
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
5
Dimana
(12.12)
Qk disebut gaya umum yang terkait dengan koordinat umum qk. Sekali lagi, dimensi gaya umum Qk
tergantung pada dimensi qk tapi produk Qk qk selalu bekerja.
Sistem Konservatif
Mari kita menuliskan ungkapan gaya umum yang konservatif. Misalkan seorang konservatif
medan gaya diwakili oleh fungsi potensial V = V (x, y, z). Komponen persegi panjang dari gaya yang
bekerja pada sebuah partikel diberikan oleh
(12.13)
Persamaan Qk untuk gaya umum yang diberikan oleh pers. (12.8) menjadi
(12.8)
Ekspresi dalam tanda kurung adalah turunan parsial dari fungsi V sehubungan dengan qk. Artinya,
(12.14)
Ini mengungkapkan hubungan antara gaya umum dan potensi mewakili konservatif System
Perhatikan gerak partikel bermassa m bergerak dalam pesawat. Menggunakan pesawat
koordinat polar (r, ) sebagai koordinat umum, menghitung (a) perpindahan x dan y, dan (b) gaya
umum untuk partikel bertindak dengan gaya
Solusi
Karena koordinat kutub pesawat (r, ) adalah koordinat umum
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
6
(a) perubahan dalam koordinat Cartesian adalah
(b) Dari definisi umum,
kita dapatkan
LATIHAN 12.1 Pertimbangkan gerak sebuah partikel bermassa m bergerak di angkasa. Menggunakan
umum koordinat (r, , z), menghitung (a) perpindahan x, y, dan z, dan (b) gaya umum untuk
partikel bertindak dengan gaya
12.4 PERSAMAAN LAGRANGE GERAK UNTUK SATU PARTIKEL
Kami tertarik dalam menggambarkan gerak sebuah partikel tunggal dengan cara persamaan
ditulis dalam hal koordinat umum. Hal ini membawa kita untuk persamaan Lagrange. Kita bisa mulai
dengan Hukum kedua Newton, F = ma. Tapi lebih mudah untuk memulai dengan ekspresi untuk energi
kinetic T dalam hal koordinat Cartesian dan kemudian menulis Tin hal koordinat umum. (Catatan bahwa
kita menggunakan T bukannya K untuk energi kinetik.) Mari x, y, dan z menjadi koordinat Cartesian,
sementara q1, q2, … , qn adalah koordinat umum. Energi kinetik partikel dalam Cartesian koordinat adalah
(12.15)
Karena (12.16)
Sama seperti (12.17)
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
7
kita dapat mengevaluasi dalam qk dengan prosedur berikut:
(12.18)
Dengan demikian kita dapat menggambarkan berbagai komponen kecepatan dalam hal koordinat umum
qk dan umum kecepatan ; yaitu,
(12.19)
Kita sekarang dapat menulis persamanaan (12.15) untuk energy kinetic sebagai
(12.20)
Mengambil turunan yang berhubungan dengan kecepatan umum �̇�k
(12.21)
Gunakan persamaan (12.18), kita bisa menuliskan
(12.22)
Perhatikan bahwa x/qk adalah koefisien �̇�k dalam ekspresi �̇� dalam persamaan (12.18) substitusikan ini
dan ekspresi yang sama untuk istilah lain dalam Pers. (12.21),
(12.23)
Sekarang membedakan kedua sisi dari persamaan ini terhadap t:
(12.24)
Untuk menyederhanakan tiga istilah terakhir di sisi kanan, kita menggunakan fakta bahwa d/dt dan /qk
adalah yang dapat dipertukarkan
(12.25)
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
8
Dengan demikian istilah keempat di sebelah kanan persamaan. (12.24) dapat ditulis sebagai
(12.26)
dengan ekspresi yang sama untuk istilah lain. Juga mencatat bahwa
(12.27)
Menggabungkan Pers. (12,25) dan (12,26) dengan Persamaan. (12.24), kita memperoleh
(12.28)
Menggunakan definisi gaya umum dan energi kinetik yang diberikan oleh Pers. (12.8) dan (12,20),
(12.8)
(12.20)
pada persamaan (12.28), memberikan
(12.29)
Persamaan diferensial ini dalam koordinat umum menggambarkan gerak partikel dan dikenal sebagai
persamaan Lagrange gerak.
Persamaan Lagrange mengambil bentuk yang lebih sederhana jika gerakan berada dalam medan
gaya konservatif sehingga
(12.30)
yang pada mengganti dalam Pers. (12.29) menghasilkan
(12.31)
Mari kita mendefinisikan fungsi Lagrangian L sebagai perbedaan antara energi kinetik dan potensial
energi, yaitu,
(12.32)
Hal ini penting untuk mengetahui bahwa, jika V adalah fungsi dari koordinat umum dan bukan dari yang
umum kecepatan, maka
(12.33)
[Jika V tidak terlepas dari kecepatan q, maka V = V (q, q) akan menyebabkan gaya tensor, yang kita tidak
akan membahas di sini.] Jadi kita dapat menulis
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
9
Subsitusikan hasil ini pada persamaan (12.31), menghasilkan
(12.34)
Dimana persamaan Lagrange menggambarkan gerak partikel dalam medan gaya konservatif.
Untuk memecahkan persamaan ini, kita harus mengetahui fungsi Lagrangian L dalam umum yang sesuai
koordinat. Karena energi adalah kuantitas skalar, Lagrangian L adalah fungsi skalar. Demikian Lagrangian
L akan invarian terhadap transformasi koordinat. Ini berarti bahwa Lagrangian memberikan deskripsi
yang sama dari sistem dalam kondisi tertentu tidak peduli yang koordinat umum digunakan. Jadi Pers.
(12.34) menggambarkan gerakan partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif dalam hal
apapun koordinat umum. Pertimbangkan sebuah partikel bermassa m bergerak dalam pesawat dan
tunduk pada gaya yang menarik kuadrat terbalik. Cari persamaan gerak dan ekspresi bagi gaya umum.
Larutan Biarkan pesawat koordinat polar (r, ) menjadi koordinat umum untuk digunakan dalam masalah
ini. Kutub koordinat (r, ) dan koordinat Cartesian (x, y) terkait dengan
x = r cos dan y = r sin (i)
Menggunakan hubungan ini, kita memperoleh ungkapan berikut untuk energi kinetik dan potensial:
(ii)
(iii)
Dengan demikian Lagrangian di koordinat (r, ) adalah
(iv)
Pada persamaan Lagrangian
Mari kita subsitusi q1 = r dan q2 = , sehingga
(v)
Dan (vi)
Dari persamaan (iv)
Dan
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
10
Subsitusikan ini ke persamaan (v), kita dapatkan
(vii)
Karena partikel bergerak dalam bidang konservatif, kita dapat menulis
(viii)
Dan kita ambil persamaan (vii) untuk, F(r) = Fr
(ix)
Sekali lagi dari persamaan (iv)
Dan
Oleh karena itu Persamaan Lagrange [Eq. (vi)] mengambil bentuk
(x)
Atau (xi)
dimana J, yang dapat diidentifikasi sebagai momentum sudut, adalah konstan. Artinya, integrasi
Persamaan (xi) hasil
= Konstan (xii)
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa dalam medan gaya konservatif momentum sudut J adalah
konstanta gerak. Juga, seperti dari contoh sebelumnya,
Qr = Fr dan Q = r F
kita mungkin tiba di berikut menggunakan Persamaan. (12.33),
(xiii)
(xiv)
Maka,
Dan
Dimana Q = adalah torsi dan sama dengan nol.
LATIHAN 12.2 Ulangi contoh untuk kasus gaya kuadrat terbalik menjijikkan. Bagaimana situasi dalam
latihan ini berbeda dengan yang ada dalam contoh?
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
11
Contoh 12.3
Pertimbangkan mesin Atwood terdiri dari katrol tunggal momen inersia terhadap suatu sumbu melalui
pusatnya dan tegak lurus terhadap pesawat tersebut. Panjang tali inextensible menghubungkan dua
massa dan akan lebih dari katrol adalah . Hitung percepatan sistem.
Solusi
Misalkan x adalah jarak vertikal variabel dari katrol untuk m1 massa sedangkan m2 massa di kejauhan -
X dari katrol, seperti ditunjukkan pada Gambar. Contoh 12.3. Jadi hanya ada satu derajat kebebasan x
yang mewakili konfigurasi sistem. Kecepatan dari dua massa dan kecepatan sudut dari disk dapat ditulis
sebagai
(i)
Gambar Contoh 12.3
Dan , dimana (ii)
demikian, total energi kinetik dari sistem adalah
(iii)
sedangkan energi potensial dari sistem ini adalah
(iv)
System Lagranian adalah
Hanya ada satu derajat kebebasan, yang merupakan umum koordinat q = x. Persamaan Lagrange adalah
(vi)
Dari peresamaan (v)
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
12
Dan
Subsitusikan ini ke persamaan (vi), persamaan Lagranian menjadi
Jika
Jika m1 > m2 , massa m1 turun dengan percepatan konstan
Jika m1 > m2 , massa m1 Jika m1 > m2 , massa m1 naik dengan percepatan konstan
Contoh 12.3 Pertimbangkan mesin Atwood ganda, seperti ditunjukkan pada Gambar. Exer. 12.3. Dengan
asumsi gesekan puli, yaitu I1 = I2 = 0, menghitung percepatan massa. Asumsikan dua derajat kebebasan
X1 dan x2, seperti yang ditunjukkan.
Gambar contoh 12.3
Latihan 12.4 Pertimbangkan mesin Atwood dibahas dalam Contoh 12.3. Asumsikan bahwa katrol
adalah gesekan, dan menghitung ketegangan S dalam tali, seperti ditunjukkan pada Gambar. Ex. 12.4.
Gambar contoh 12.4
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
13
Solusi
Dalam Contoh 12.3, sementara membahas mesin Atwood, kami hanya tertarik pada gerakan sistem;
maka koordinat dibatasi untuk memiliki nilai konstan. Untuk menemukan ketegangan dalam tali,
panjang harus disertakan sebagai koordinat. Karena katrol adalah gesekan, tidak ada energi kinetik
rotasi. Oleh karena itu ekspresi untuk energi kinetik diberikan oleh
(i)
Dua gaya yang bekerja pada sistem adalah ketegangan S dalam tali dan gaya gravitasi, seperti yang
ditunjukkan. Itu kerja yang dilakukan ketika x meningkat menjadi x + Sx, sementara tetap konstan,
membandingkan dengan
kita dapatkan
Pekerjaan dilakukan ketika meningkat menjadi + 1, sedangkan x tetap konstan, adalah
bandingkan dengan
kita dapatkan
Perhatikan bahwa umum gaya Qx tidak mengandung S, sementara g, tergantung pada S. Untuk
memecahkan S, kita harus memecahkan berikut dua persamaan Lagrange.
Persamaan Lagrangian untuk koordinat x dan 1, diberikan oleh Persamaan. (12.29), dan umum gaya
yang diberikan oleh Pers. (Ii) dan (iii), adalah
Kami memecahkan persamaan dengan menggantikan T dan menyederhanakan
Subsitusi untuk v1=0 dan a1=0, kita dapat dua hasil persamaan
Kita pecahkan persamaan (vi) dan (vii) untuk S dan ax, seperti berikut
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
DENDY SITI KAMILAH
14
Diberikan
Didapatkan
Nilai S diberikan oleh Persamaan. (viii), sedangkan nilai x dihitung dari Persamaan. (ix), sebagai
ditunjukkan di bawah ini
Biarkan ax = (vf - VO)/tl, danmenggunakan ini dalam
Persamaan. (ix) kita mendapatkan
Diintegralkan dari x0 sampai x dan t0 sampai t
Kami mendapatkan perpindahan x sebagai
LATIHAN 12.4 Ulangi contoh asumsi bahwa katrol tidak gesekan dan bahwa ia memiliki sesaat inersia I
top related