uma abordagem numérica ao problema de ondas gravitacionais
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8/18/2019 Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Física
Departamento de Física Teórica
Uma Abordagem Numérica ao Problemade Ondas Gravitacionais
Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar
fevereiro de 2007
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de FísicaDepartamento de Física Teórica
Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar
Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira
Uma Abordagem Numérica ao Problema de Ondas
Gravitacionais
Autorizo a Apresentação.
Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira
data da apresentação: fevereiro de 2007.
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CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D
A931 Aguiar, Thalles Carvalho G. R. de.
Uma abordagem numérica ao problema de ondas gravitacionais / Thalles Carvalho G. R. de Aguiar. – 2007.
vi, 54f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira.Monografia (Final de curso) - Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física.
1. 1. Gravitação – Monografia. 2. Ondas gravitacionais - Mo-nografia. 3. Métodos espectrais – Monografia. I. Oliveira, Henrique
Pereira de. II.Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto deFísica. III. Título.
CDU 531.5
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Agradecimentos:
Gostaria de agradecer à minha família, à Amanda, ao meu orientador, Henrique, aos meus
amigos, por toda a ajuda e bons momentos que passamos, e a todas as pessoas que, de alguma
forma, me ajudaram e incentivaram durante os quatro anos de curso.
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Resumo
As equações de Einstein possuem uma natureza não-linear. Uma conseqüência interessante
de quando linearizamos as equações, descrevendo pequenas perturbações, é que elas se tornamequações de onda. Isso sugere que a interação gravitacional se propaga pelo espaço-tempo
como uma onda com velocidade igual à da luz. Uma das formas mais simples de radiação
gravitacional são as ondas com simetria cilíndrica. Seu estudo é importante para um completo
entendimento da interação não-linear. Nesta monografia, as equações de campo serão obtidas
de forma bem objetiva. Em seguida será feita uma rápida exposição dos principais aspectos das
ondas gravitacionais com simetria cilíndrica e dos métodos espectrais utilizados para a obtenção
das soluções. O elemento de linha mais geral com simetria cilíndrica é dado por
ds2 = e2(γ −ψ)(dt2 − dr2) − e2ψ(dz + ωdφ)2 − r2e−2ψdφ2,
onde ω = ω(t, r), ψ = ψ(t, r) e γ = γ (t, r). Nosso ponto de partida será considerar o caso em
que apenas um modo de polarização está presente, ou seja, ω = 0. A evolução desse modo é
governada pela seguinte equação de onda
ψ̈ − ψ
r − ψ = 0,
cuja solução exata pode ser obtida. Aqui, aplicaremos o método de Galerkin e o método de
colocação para estudar a propagação de ondas cilíndricas no regime linear.
Palavras-chave: gravitação, ondas gravitacionais, métodos espectrais, método de Galerkin,
método de colocação
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Abstract
Einsteins’s equations have a non-linear nature. An interesting consequence when one line-
arizes the equations describing the evolution of tiny perturbations is that they become a waveequation. That suggests that the gravitational interaction propagates as a wave with the velocity
of light. One of the simplest forms of gravitational waves are the cylindrical waves. The study
of these waves is important for a complete comprehension of the non-linear interaction. In this
monograph the field equations will be obtained in a very objective way. Then, we will make a
brief exposure of the main features of the gravitational waves with cylindrical simmetry and of
the spectral methods used to obtain the solutions. The general cylindrical line is given by
ds2 = e2(γ −ψ)(dt2 − dr2) − e2ψ(dz + ωdφ)2 − r2e−2ψdφ2,
where ω = ω(t, r), ψ = ψ(t, r) and γ = γ (t, r). Our starting point will be to consider the the
case in which just one polarization mode is present, what means that ω = 0. The evolution of
such a mode is governed by the following wave equation
ψ̈ − ψ
r − ψ = 0,
where an exact solution can be obtained. Here we apply the Galerkin method and the collocation
method to study the propagation of cylindrical waves in the linear regime.
Keywords: gravitation, gravitational waves, spectral methods, galerkin method, collocation
method
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Sumário
Lista de Figuras ix
1 Introdução 1
2 Relatividade Geral a partir do Princípio Variacional 6
2.1 Vínculos diferenciais das equações de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 A lagrangiana de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 A abordagem de Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 As equações de campo completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 O limite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Ondas gravitacionais 15
3.1 Equações de campo linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Métodos espectrais e ondas cilíndricas 23
4.1 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Aplicação dos métodos espectrais 29
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SUMÁRIO viii
5.1 Aplicação e resultados do método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Aplicação e resultados do método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Conclusões 45
Referências Bibliográficas 47
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Lista de Figuras
3.1 Efeitos de uma onda plana gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Forma do pulso inicial da onda em função de r . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de
Galerkin no sistema (r, u) para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de
Galerkin no sistema (r, u) para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-
lerkin em u = 0.8 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-
lerkin em u = 0.8 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.6 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-
lerkin em u = 5 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.7 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-
lerkin em u = 5 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.8 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-lerkin em u = 10 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-
lerkin em u = 10 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.10 Forma do pulso inicial da onda em função de x . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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LISTA DE FIGURAS x
5.11 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de
colocação no sistema (x, u) , para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.12 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de
colocação no sistema (x, u) , para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.13 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 0.8 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.14 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 0.8 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.15 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 5 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.16 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 5 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.17 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 10 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.18 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-
locação em u = 10 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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Capítulo 1
Introdução
A teoria da Relatividade Restrita surgiu, de grosso modo, da incompatibilidade entre a ele-
trodinâmica de Maxwell e a mecânica Newtoniana. As equações de Maxwell não são invarian-
tes sob transformações de Galileu. Talvez motivado pelas tentativas sem sucesso de detectar o
movimento da Terra através do éter, e assumindo que as leis do Eletromagnetismo estivessem
corretas, Einstein propôs que as transformações de Galileu fossem substituídas por outras, que
considerassem a velocidade da luz invariante para todos os referenciais inerciais e mantivessem
a forma das equações de Maxwell. Tais transformações de coordenadas para referenciais iner-
ciais são as transformações de Lorentz, que se reduzem às de Galileu para baixas velocidades
comparadas à da luz. Um dos dois postulados nos quais a teoria da Relatividade Restrita foi ela-
borada é que todos os sistemas inerciais são adequados para descrever um fenômeno físico, ou
seja, as Leis da Física devem ser as mesmas em qualquer referencial inercial. Este postulado é
chamado de Princípio da Relatividade Especial. Entretanto a principal diferença entre a relativi-
dade de Einstein e a relatividade de Galileu é o postulado de que a velocidade da luz permaneçaa mesma, independentemente do movimento do observador, pois faz com que o tempo passe
a ser considerado uma variável na descrição de um evento, e não mais apenas um parâmetro
como na mecânica Newtoniana [1, 2].
Assumindo que as transformações de Lorentz sejam as mais adequadas, as leis do mo-
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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2
vimento tiveram que ser modificadas de forma que se tornassem invariantes de Lorentz, ou
seja, para que mantivessem a mesma forma sob as transformações de coordenadas de Lorentz.
Entretanto, a gravitação Newtoniana não pode ser incluída na Relatividade Restrita, pois sua
formulação, dada basicamente pelas equações
d2xi
dt2 = − ∂φ
∂xi, (1.1)
∇2φ = 4πGρ, (1.2)
onde φ é o potencial gravitacional, ρ é a densidade de matéria e G é a constante da gravitação
universal, não é invariante de Lorentz. A equação de movimento (1.1) é uma equação de movi-
mento em três dimensões, e deveria ser modificada para uma equação quadridimensional. Além
disso, o operador Laplaciano que aparece na equação de Poisson (1.2) significa que o potencial
gravitacional "sente" instantaneamente qualquer modificação na densidade de matéria, o que
não concorda com os postulados da Relatividade Restrita.
Em uma primeira análise, seria razoável esperar que esses problemas poderiam ser resolvi-
dos através de uma generalização direta das equações, entretanto, todas as formulações falham
em algum ponto, seja ele observacional ou teórico. Após examinar as questões referentes à
Relatividade Restrita, Einstein se voltou para a seguinte questão: por que privilegiar uma classe
de referenciais apenas, os referenciais inerciais? Baseado nas idéias do austríaco Ernst Mach,
Einstein formulou o que seria uma das principais bases da nova teoria da gravitação, o princípio
de Equivalência [2].
Para compreender o princípio de Equivalência é necessário entender os conceitos de massainercial e massa gravitacional. Quando estamos em um referencial acelerado, sentimos uma
força atuando sobre nós e se opondo ao movimento. Tais forças, denominadas inerciais, pois
aparecem somente em referenciais acelerados ou em rotação, são proporcionais à chamada
massa inercial. Os efeitos gravitacionais na teoria Newtoniana são proporcionais à massa gra-
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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
vitacional. Entretanto, o que se constata é que a massa inercial é igual à massa gravitacional.
Vários experimentos bastante precisos estabeleceram que a massa gravitacional e a massa iner-
cial diferem entre si em, no máximo, uma parte em 1011. Enquanto na mecânica Newtoniana
isso é apenas uma coincidência, na Relatividade Geral isso é um princípio fundamental. A prin-
cipal conseqüência disso é que, localmente, em um campo gravitacional uniforme é impossível
distinguir efeitos inerciais de efeitos gravitacionais, como fica evidente no experimento men-
tal do elevador de Einstein. Nesse experimento, um observador em queda livre em um campo
gravitacional uniforme é equivalente a um observador em repouso ou movimento uniforme na
ausência de um campo gravitacional. Analogamente, um observador em repouso em um campo
gravitacional uniforme é equivalente a um observador sendo acelerado na ausência de campogravitacional.
Portanto, em um sistema de coordendas imerso em um campo gravitacional, é sempre pos-
sível escolher um sistema de coordenadas localmente inercial, e assim recuperar a Relatividade
Restrita. Esse aspecto do campo gravitacional guarda uma grande semelhança com a geome-
tria Riemanniana. Devido a essa semelhança, podemos esperar que o campo gravitacional seja
descrito através dos elementos dessa geometria. Na geometrica de Riemann, o espaço curvo é
descrito pelo tensor métrico, gµν . Na formulação da Relatividade Geral, os gµν fazem o papel
do potencial gravitacional, e portanto, esperaríamos obter equações de movimento que envol-
vessem o tensor métrico e suas derivadas de segunda ordem, de forma que no limite apropriado,
recuperássemos as equações (1.1) e (1.2). de fato, as equações de campo são dadas por
Gµν = 8πG
c4 T µν ,
onde Gµν é o tensor de Einstein, que será melhor definido no próximo capítulo, e T µν é o
tensor momento energia que representa os elementos geradores do campo gravitacional. Tais
equações são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν , e
a não-linearidade evidencia que o próprio campo gravitacional é fonte de campo gravitacional.
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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4
Uma conseqüência interessante da Relatividade Geral pode ser obtida se fizermos uma apro-
ximação linear das equações de campo. É possível mostrar que pequenas perturbações no
campo gravitacional são propagadas através do espaço tempo segundo uma equação de onda
[2, 3]. As ondas gravitacionais também existem em uma situação mais geral onde são governa-
das pelas equações de campo não-lineares. Nesse caso, não é possível encontrar uma solução
exata para as equações de campo, e muitas vezes um tratamento numérico é satisfatório, pois
revela aspectos da natureza não linear das ondas gravitacionais.
Até hoje, as ondas gravitacionais não foram detectadas diretamente, pois sua amplitude é
muito pequena. Entretanto, atualmente muitos experimentos estão sendo feitos com o objetivo
de detectá-las. Mesmo sem sua detecção direta, é possível verificar prováveis fontes de radiaçãogravitacional como, por exemplo, o binário PSR1913+16 formado por duas estrelas de nêutrons.
Seus parâmetros orbitais foram medidos com grande acurácia e chegou-se à conclusão de que
as duas estrelas estão espiralando em torno de seu centro de massa à medida em que perdem
energia pela emissão ondas gravitacionais.
Nos dois primeiros capítulos, as equações de campo da Relatividade Geral serão obtidas
de um modo bastante objetivo, e um breve tratamento sobre ondas gravitacionais será feito. O
objetivo é obter uma base para a discussão dos aspectos relevantes das ondas gravitacionais com
simetria axial, como a aproximação linear e a solução exata, o que será feito no terceiro capítulo.
Além disso, será feita uma breve exposição dos métodos espectrais, método de Galerkin e
método de colocação, utilizados para o tratamento do problema linear. Finalmente, alguns
dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais no problema em sua aproximação
linear serão mostrados e comparados com a solução exata no último capítulo.
A aplicação dos métodos espectrais [4, 5, 6] ao problema em seu regime linear é um passo
fundamental, que deve anteceder o tratamento numérico do regime não-linear. Essa etapa é ne-
cessária para verificar se o método escolhido pode gerar soluções aproximadas que representem
bem a solução do problema. O trabalho desenvolvido nas páginas pode servir como parâmetro
para uma futura aplicação dos métodos espectrais no problema mais geral, onde a evolução das
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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5
ondas gravitacionais não é linear.
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Capítulo 2
Relatividade Geral a partir do Princípio
Variacional
Assim como na dinâmica clássica, as equações de campo da Relatividade Geral podem ser
obtidas de forma bastante concisa através do princípio variacional de Hamilton, como será feito
nesse capítulo.
2.1 Vínculos diferenciais das equações de campo
Para empregar o princípio variacional [3], é necessário especificar uma densidade lagrangi-
ana L, que é um funcional da métrica gµν e suas derivadas. A densidade lagrangiana L deveser uma densidade tensorial de peso +1, de forma que a integral da ação possa ser resolvida.
O princípio de Hamilton atesta que, se fizermos variações arbitrárias em gµν que se anulem na
borda do espaço Ω, a ação é estacionária. Ou seja, dada a ação
S =
Ω
LdΩ, (2.1)
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 7
temos
gµν → gµν + δgµν ⇒ S → S + δS
δS = Ω
δ Lδgµν
δgµν dΩ = 0. (2.2)
As equações de campo são, então,
Lµν ≡ δ Lδgµν
= 0. (2.3)
Como δS é um escalar,
Lµν deve ser uma densidade tensorial de peso +1. Entretanto, as
equações de campo obedecem a certas identidades diferenciais. Uma maneira de determinarmos
tais identidades a partir do princípio de Hamilton, é gerar uma variação em gµν . Considerando
uma transformação infinitesimal do tipo
xα → xα = xα + εX α, (2.4)
onde X α é um campo vetorial que se anula na borda de Ω e ε
1. A métrica se transforma da
seguinte maneira:
gαβ (x) =
∂xγ
∂xα∂xδ
∂xβ gγδ (x). (2.5)
Expandindo g γδ (x) pelo Teorema de Taylor e mantendo até a primeira ordem em ε, obtemos
gγδ (x + εX ) = g γδ (x
) + εX gγδ,(x). Substituindo essa expressão em (2.5) podemos obter
δgαβ = −ε(X β ;α + X α;β ). (2.6)
Combinando a equação acima com a equação (2.2) obtemos
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 8
δS =
Ω
δ Lδgαβ
δgαβ dΩ = −2ε Ω
δ Lδgαβ
Lαβ(X α;β )dΩ = 0. (2.7)
A integral acima pode ser escrita de uma forma mais útil se observarmos que Lαβ X α;β =(Lαβ X α);β −Lαβ ;β X α. Substituindo essa relação na equação (2.7) podemos obter que
Ω(Lαβ X α);β dΩ =
ΩLαβ ;β X α dΩ. Como o termo entre parênteses é uma densidade tensorial de peso 1, a derivada
covariante é equivalente à derivada usual, e pelo teorema do divergente,
Ω
(Lαβ X α),β dΩ =
∂ Ω
Lαβ X αdS,
podemos obter
Ω
(Lαβ X α);β dΩ = Ω
(Lαβ ;β )X α dΩ =
∂ Ω
Lαβ X αdS. (2.8)
O terceiro termo é uma integral de superfície e, como X α = 0 na borda de Ω obtemos
Ω(L
αβ
;β )X α dΩ = 0 → Lαβ
;β = 0. (2.9)
A identidade obtida é chamada Identidade de Bianchi, e as equações geradas por qualquer
funcional candidato à lagrangiana do campo gravitacional devem obedecer tal identidade.
2.2 A lagrangiana de Einstein
A densidade lagrangiana definida comoLG = √ −gR
é chamada lagrangiana de Einstein,
onde R é o escalar de Ricci e g é o determinante de gµν . O sinal negativo aparece devido ao fato
da assinatura da métrica ser negativa. Explicitamente, podemos escrever LG = √ −ggµν Rµν ,onde o tensor Rµν é o tensor de Ricci. Essas quantidades estão intimamente ligadas à curvatura
do espaço-tempo. A lagrangiana de Einstein pode ser encarada como um funcional de gµν e suas
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 9
primeiras e segundas derivadas, ou seja: LG = LG(gµν , gµν,γ , gµν,γδ). Vale lembrar que gµν e gsão funções de gµν . Considerando gµν as variáveis dinâmicas, a equação de Euler-Lagrange é
escrita como
δ LGδgµν
= ∂ LG∂gµν
−
∂ LG∂gµν,γ
,γ
+
∂ LG∂gµν,γδ
,γδ
= 0.
Pode ser mostrado que
Lµν G = δ LGδgµν
= −√ −gGµν = 0,
e, portanto, as equações de campo no vácuo são
Gµν = Rµν − 12
gµν R = 0,
As equações de campo obedecem à Identidade de Bianchi, que é escrita como Gµν ;β = 0.
2.3 A abordagem de Palatini
Uma abordagem mais elegante e econômica para a obtenção das equações de campo no
vácuo é a abordagem de Palatini. Ela consiste em tratar a métrica e as conexões afim, Γαβγ ,
como variáveis dinâmicas independentes na Lagrangiana de Einstein. Podemos, então, afirmar
que LG = L(gαβ , Γαβγ , Γαβγ,δ), ou, mais especificamente
LG = √ −ggαβ Rαβ = √ −g gαβ (Γγ αβ,γ − Γδαδ,β + Γγ αβ Γδγδ − Γδαγ Γγ βδ ).
Se considerarmos uma variação de√ −ggαβ em relação a δgαβ , então,
δS =
Ω
δ (√ −ggαβ )Rαβ dΩ =
Ω
δ (
√ −g)gαβ + √ −gδ (gαβ )Rαβ dΩ = 0.
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 10
Mas, a partir das seguintes relações,
δ (√ −g) = 1
2
√ −ggγδ δgγδ e δgαβ = −gαγ gβδ δgγδ ,
podemos escrever a variação da ação como
δS = − Ω
√ −g
Rγδ − 12Rgγδ
Gγδ
δgγδ = 0,
e, como as variações δgγδ são arbitrárias, obtemos Gγδ = 0.
Por outro lado, se considerarmos uma variação com respeito a Γαβγ , lembrando que gαβ e
Γαβγ são considerados independentes, temos
δS =
Ω
√ −ggαβ δRαβ dΩ = Ω
(√ −ggαβ )[δ Γγ αβ ;γ − δ Γγ αγ ;β ]dΩ, (2.10)
onde levamos em conta a expressão δRβδ = δ Γαβδ;α − δ Γαβα;δ, resultante da variação de Rαβ emrelação a Γαβγ . Integrando por partes obtemos
δS =
Ω
[(√ −ggαβ );β δ Γγ αγ − (
√ −ggαβ );γ δ Γγ αβ ]dΩ
=
Ω
[δ β γ (√ −ggαδ);δ − (
√ −ggαβ );γ ]δ Γγ αβ dΩ.
Pelo princípio da mínima ação, como δ Γγ αβ é arbitrário, mas simétrico, chegamos à expressão
1
2δ β γ [ ( − g)gαδ];δ + 12δ αγ [√ −ggβδ ];δ − [√ −ggαβ ];γ = 0.
Segue que gαβ ;γ = 0, e portanto,
Γαβγ = 1
2gαδ(gβδ;γ + gγδ ;β − gβγ ;δ). (2.11)
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 11
Conclui-se que, utilizando a lagrangiana de Einstein, ao considerarmos uma variação em rela-
ção ao tensor métrico obtemos as equações de campo para o vácuo, e ao considerarmos uma
variação com relação às conexões afim concluimos que as mesmas são os símbolos de Chris-
toffel.
2.4 As equações de campo completas
Para obtermos as equações completas, assumimos que há outros campos presentes, além do
campo gravitacional, descritos pela lagrangiana de matéria LM . A ação passa a ser escrita como
S =
Ω
(LG + kLM )dΩ,
onde k = 8πG/c4 é uma constante que pode ser determinada através do limite newtoniano,
e ambas as lagragianas são funcionais da métrica e suas derivadas. Então, realizando uma
variação em relação a gαβ , obtemos
δ LGδgαβ
= −√ −gGαβ , (2.12)δ LM δgαβ
≡ √ −gT αβ , (2.13)
onde a equação (2.13) define o tensor momento-energia para os campos presentes. Nesse tensor
está contida toda a informação sobre a energia e a matéria presentes, ou seja, toda a fonte de
campo gravitacional. Sendo assim, as equações de campo completas são
Gαβ = kT αβ , (2.14)
sendo que k = 8πG/c4 pode ser determinada através do fato de que as equações de Einstein de-
vem se reduzir à equação de Poisson (1.2) no limite adequado. As equações de campo definidas
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 12
acima são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν .
2.5 O limite newtoniano
Para determinar a constante k é necessário verificar o limite das equações de campo na
presença de campos gravitacionais fracos. Assumimos que no limite Newtoniano exista um
referencial privilegiado
xα = (x0, x1, x2, x3) = (ct,x,y,z ),
na qual a métrica gµν difere muito pouco da métrica de Minkowski ηµν . Assumimos também
que os campos são produzidos por corpos com baixas velocidades se comparadas à da luz.
Considerando v a velocidade dos corpos, definimos ε um pequeno parâmetro adimensional da
ordem de v/c, de forma que podemos desprezar termos quadráticos ou de ordem superior em ε.
Sendo assim, a métrica pode ser escrita como
gµν = ηµν + εhµν . (2.15)
Em um intervalo de tempo δt um corpo se move uma distância δxa com velocidade v , ou
seja:
δxa = vδt = (v/c)cδt ≈ εδx0.
Assim, para qualquer função f , a seguinte aproximação é válida:
ε ∂f
∂xa ≈ ∂f
∂x0. (2.16)
As condições (2.15) e (2.16) são as suposições iniciais para obtermos o limite Newtoniano.
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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 13
Consideremos, então, o movimento de uma partícula de teste com velocidade da ordem de v
numa linha de mundo parametrizada pelo tempo próprio cuja equação é uma geodésica do tipo
tempo:
d2xα
dτ 2 + Γαβγ
dxβ
dτ
dxγ
dτ = 0. (2.17)
Por definição, temos c2dτ 2 = ds2 = dt2(c2 − v2) = c2dt2(1 − ε2). Assim, dt/dτ = 1 + O(2),e portanto, podemos substituir τ por t em (2.17). Podemos escrever também, pela aproximação
(2.16), dxa ≈ ε c dt, e dessa forma, dxa/cdt = O(ε).Os símbolos de Christoffel Γαβγ =
12
gαδ(gβδ,γ + gγδ,β
− gβγ,δ) ficam da forma Γαβγ =
12
ηαδε(hβδ,γ + hγδ,β − hβγ,δ) + O(ε2), ou seja: Γαβγ = O(ε). Como estamos interessadossomente na parte espacial de (2.17), obtemos, usando as expressões anteriores e dividindo por
c2,
1
c2d2xa
dt2 +
1
c2Γaβγ
dxβ
dt
dxγ
dt [1 + O(ε)] =
1c2 d
2
x
a
dt2 + Γa00 + 2Γa0b dx
b
c dt + Γabc dxbc dt dx
c
c dt + O(ε2) = 0.
Entretanto, o segundo e terceiro termos acima são da ordem de ε2 ou superior. O segundo termo
é
Γa00 = −1
2ε
2
∂h0a∂x0
− ∂ h00∂xa
=
1
2ε
∂h00∂xa
+ O(ε2).
A parte espacial da equação da geodésica pode ser escrita como
d2xa
dt2 = −1
2c2
∂g00∂xa
[1 + O(ε)]. (2.18)
Comparando a equação anterior com a equação Newtoniana correspondente, d2xa/dt2 = −∂φ/∂xa,
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Capítulo 3
Ondas gravitacionais
3.1 Equações de campo linearizadas
Uma pergunta que pode ser feita é: como perturbações do campo gravitacional se propagam
no espaço segundo a teoria da Relatividade Geral? Certamente a velocidade de propagação
dessas perturbações deve ser finita e menor ou igual à da luz, caso contrário existiria um conflito
entre a Relatividade Geral e a Relatividade Restrita.
A descrição geral da evolução de ondas gravitacionais não é nem um pouco trivial, devido
à não-linearidade das equações de campo. Entretanto, é possível tratar o problema através de
uma aproximação linear, ou seja, por meio de perturbações infinitesimais, cuja descrição é re-
lativamente simples [2, 3]. Consideremos, portanto, uma perturbação na métrica de Minkowski
dada por
gµν = ηµν + εhµν , (3.1)
onde ε é um parâmetro adimensional infinitesimal, ou seja |ε| 1, e podemos desprezar termosde segunda ordem ou superior em ε. Consideremos, também, que o espaço é assintoticamente
plano, o que quer dizer que:
15
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 16
limr→∞
hµν = 0. (3.2)
A forma contravariante do tensor métrico pode ser obtida, supondo que gµν
= η
µν
+ ε∆
µν
esabendo que gµν gνρ = δ µρ . De fato ∆
µν = −hµν , e portanto, gµν = ηµν −εhµν . O próximo passoserá obter as equações de campo linearizadas uma vez que conhecemos gµν e gµν . De forma a
simplificar os cálculos a seguir, utilizaremos a seguinte forma para as equações de campo
Rµν = kS µν , (3.3)
onde S µν = T µν − 1/2gµν T . Essa forma pode ser obtida escrevendo o escalar de Ricci emfunção do traço de T µν através de uma contração com com gµν . No vácuo, T µν = 0, e portanto,
as equações de campo se tornam Rµν = 0. Inserindo as expressões que definem g µν e gµν na
equação (2.11) que define os símbolos de Christoffel temos
Γαβγ = 1
2gαδ(gδγ,β + gβδ,γ − gβγ,δ) = 1
2ε(hαγ,β + h
αβ,γ − h αβγ , ). (3.4)
Para calcular as componentes do tensor de Riemann, é necessário achar as derivadas dos sím-bolos de Christoffel, pois
Rαβγ δ = Γαβδ,γ − Γαβγ,δ + Γµβδ Γαµγ − Γµβγ Γαµδ.
Mas como Γαβγ ∼ ε, os termos com multiplicação são da ordem de ε2 e, portanto, podem serignorados. Assim
Rν βγ δ = Γν βδ,γ − Γν βγ,δ. (3.5)
As derivadas dos símbolos de Christoffel ficam
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 17
Γν βδ,γ = 1
2ε(hν δ,βγ + h
ν β,δγ − h ν βδ, γ ), (3.6)
de onde é possível obter a expressão para o tensor de Riemann,
Rαβγδ = 1
2ε(hαδ,βγ + hβγ,αδ − hβδ,αγ − hαγ,βδ), (3.7)
onde observamos que Rαβγδ ∼ O(ε). O tensor de Ricci, definido como Rµρ = gλν Rλµνρ, podeser escrito como
Rαβ = ηγδ Rγαδβ +
O(ε2) =
1
2ε(hδ
β,αδ
+ hδ
α,βδ −h,αβ
−hαβ ),
e, portanto, as equações de campo linearizadas no vácuo são:
hδβ,αδ + hδα,βδ − h,αβ −hαβ = 0. (3.8)
3.2 Transformações de calibre
Analisaremos o que acontece às equações de campo linearizadas quando submetidas a uma
transformação de coordenadas do tipo:
xα = xα + εξ α. (3.9)
que representam a liberdade de calibre na Relatividade Geral. A transformação dada pela equa-
ção (3.9) é a transformação de coordenadas mais geral que mantém coerência com o campodefinido pelo tensor métrico (3.1). Se considerarmos como a métrica se transforma,
gαβ = ∂xγ
∂xα∂xδ
∂xβ gγδ , (3.10)
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 18
e, como g µν = ηµν − εhµν , podemos obter a expressão para hµν , desprezando os termos deordem ε2 ou superior, no novo sistema de coordenadas, ou seja
hαβ = hαβ − (ξ β,α + ξ α,β ). (3.11)
De fato, pode ser verificado que se hµν é solução da equação (3.8), hµν também será. Tanto
o tensor de curvatura, quanto suas contrações são invariantes de calibre. Devido à liberdade
de calibre, podemos escolher um sistema de coordenadas em que as equações de campo se
reduzem a uma equação de onda. Esse sistema de coordenadas é tal que
gµν Γλµν = ηµν Γλµν + O(ε2) = 0, (3.12)
de onde podemos obter o calibre de Einstein,
hµν,µ = 1
2h,ν . (3.13)
De fato, usando (3.13) em (3.8), obtemos as equações de campo,
hµν = 0. (3.14)
Ou seja, as pequenas perturbações no campo gravitacional se propagam pelo espaço-tempo
segundo uma equação de onda, com a velocidade da luz. Portanto, hµν satisfaz (3.14) sujeito
à equação (3.13). No caso de hµν não satisfazer o calibre (3.13), é possível encontrar um
hµν que o satisfaça, realizando uma transformação do tipo (3.11) com ξ α sujeito à equação
ξ α = hβ α,β − 1/2 h,α.
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 19
3.3 Ondas planas
Consideremos as soluções de ondas planas para as equações de campo . O estudo das ondas
planas é bastante útil, pois a solução de uma equação de onda na presença de uma fonte secomporta como uma onda plana quando r → ∞. Como são a forma mais simples de ondas,sua análise é relativamente simples e vários aspectos das ondas gravitacionais ficam evidentes.
A solução de (3.14), sujeita à (3.13), é uma superposição linear de soluções da forma
hµν = eµν exp (ikλxλ) + e∗µν exp (−ikλxλ). (3.15)
onde o tensor constante e simétrico eµν é chamado tensor de polarização, e define as com-ponentes de hµν , e kλ é o quadrivetor de onda. Se a expressão (3.15) satisfaz a equação de
onda (3.14) e o calibre de Einstein (3.13), as seguintes relações também devem ser satisfeitas,
respectivamente,
kµkµ = 0 e kµe
µν =
1
2kν e
µµ. (3.16)
Um tensor simétrico de 2a ordem possui 10 componentes independentes, mas as 4 equações
dadas pela segunda expressão em (3.16) reduzem esse número para 6, pois podemos escrever4 componentes de eµν que seriam independentes em função das componentes restantes. Entre-
tanto, é possível mostrar que apenas 2 dessas 6 componentes representam graus de liberdade
físicos. Isso pode ser feito realizando uma transformação de coordenadas do tipo (3.9), com
ξ µ = iµ exp(ikλxλ) − iµ∗ exp (−ikλxλ). (3.17)
O tensor hµν expresso no novo sistema de coordenadas pode ser escrito como hµν = eµν exp (ikλxλ)+
e∗µν exp (−ikλxλ), onde
eµν = eµν + kµν + kν µ. (3.18)
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 20
O tensor hµν é solução de (3.14) e (3.13), portanto, as relações (3.16) continuam válidas no
novo sistema de coordenadas. Assim, com a expressão (3.17) é possível relacionar 4 das 6
componentes independentes, de forma que no novo sistema de coordenadas apenas 2 compo-
nentes são realmente independentes. Para melhor ilustrar esse aspecto, suponhamos uma onda
plana viajando no sentido positivo do eixo OX , com o vetor de onda dado por
k2 = k3 = 0 e k1 = k0 = k > 0. (3.19)
Nesse caso, das 4 equações definidas pela segunda expressão em (3.16) podemos obter as se-
guintes relações, que reduzem o número de componentes independentes de eµν de 10 para 6:
e12 = e02, e11 = −e00, e13 = e03, e33 = −2e01 − e22.
Quando submetemos o sistema a uma transformação do tipo (3.9) com (3.17), as 6 componentes
restantes se transformam segundo as seguintes relações:
e22
= e22 e23
= e23
e00 = e00 + 2k0 e01 = e01 + k1 + k0
e02 = e02 + k2 e03 = e03 + k3
Portanto, apenas e22 e e23 possuem importância física. De fato, as demais componentes são
nulas se a transformação realizada possuir
0
=−
e00
2k ,
1 =
−e01
−e00
k ,
2 =
−e02
k ,
3 =
−e03
k .
Neste caso, fica evidente que
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 21
hµν =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 h22 h23
0 0 h23 −h22
No caso em que h23 = 0 o elemento de linha se torna ds2 = dt2−dx2−(1−εh22)dy2−(1+εh22)dz
2. Supondo que h22 seja dado por (3.15), verificaremos o que acontece quando uma onda
desse tipo incide sobre uma distribuição de partículas teste. Consideremos, primeiramente, duas
partículas situadas no plano Y Z que, inicialmente possuem coordenadas (y0, z 0) e (y0 + dy,z 0).
A distância própria entre elas é dada por ds2 = −(1 − εh22)dy2. Então, se h22 > 0 as partículasse aproximam e se h22 < 0 as partículas se afastam. O oposto acontece se considerarmos
partículas com coordenadas (y0, z 0) e (y0, z 0+dz ), já que agora ds2 = −(1+εh22)dz 2. Portanto,se uma onda plana oscilatória propagando na direção X incide sobre um anel de partículas
situado no plano Y Z , o anel é deformado em uma elipse cujo eixo maior está sobre o eixo Y ,
ou Z . O caráter transverso da onda é evidente. Nesse estado, é possível dizer que a onda possui
polarização em +.
Analogamente, se considerarmos h22 = 0 e h23 dado por (3.15), o elemento de linha se
torna ds2 = dt2 − dx2 − dy2 + 2εh23dydz − dz 2. Ao considerarmos uma rotação de 45◦ emtorno do eixo X , ou seja,
y = 1√ 2
(y + z ), z = 1√ 2
(−y + z ),
o elemento de linha anterior se torna ds2 = dt2 − dx2 − (1 − εh23)dy2 − (1 + εh23)dz 2.Comparando essa expressão com o elemento de linha obtido na situação em que h23 = 0,
é possível observar que nesse caso a onda produz exatamente o mesmo efeito, mas com os
eixos rotacionados em 45◦. Esse estado da onda gravitacional é chamado de polarização em ×.
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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 22
Figura 3.1: Efeitos de uma onda plana gravitacional.
Na figura (3.1) estão ilustrados os efeitos de uma onda gravitacional plana, com os modos de
polarização + e ×, respectivamente, atravessando um anel de partículas massivas. Uma ondamais geral é dada pela superposição de ondas de ambos modos de polarização.
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Capítulo 4
Métodos espectrais e ondas cilíndricas
Nesse capítulo apresentamos características básicas dos métodos numéricos empregados e
do problema estudado, ou seja, da evolução de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica. Os
dois métodos apresentados a seguir, Colocação [4, 6] e Galerkin [4, 5, 6], fazem parte de um
conjunto maior de técnicas utilizadas para resolver equações diferenciais, sejam elas ordiná-
rias ou parciais. Supondo uma equação diferencial do tipo L(u) = 0, onde L é um operador
diferencial e u = u(x, t), em um domínio D(t, x), com condições de contorno S (u) = 0 na
borda de D, os métodos espectrais consistem basicamente em supor uma solução aproximada
na seguinte forma
uap =N
n=0
an(t)χn(x), (4.1)
sendo χn funções de base escolhidas, que geralmente formam um conjunto completo de fun-
ções, ou seja, são ortonormais e obedecem a uma relação de fechamento. Ao substituirmos a
solução aproximada na equação diferencial obtemos uma função residual
R(a0, a1,...,x,t) = L(uap) =N
n=0
L(an(t) χn(x)).
Ambos os métodos têm como ponto principal a obtenção dos coeficientes an(t) de forma que
23
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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 24
R seja minimizada. Os coeficientes espectrais são obtidos impondo a condição
(wi(x), R) = wi R dx = 0 , i = 0, 1,...,N, (4.2)onde wi são as funções teste e a integração é feita sobre todo o domínio espacial.
4.1 Método de Galerkin
O método foi desenvolvido pelo matemático e engenheiro russo Boris Grigoryevich Galyor-
kin (transliterado como Galerkin) por volta de 1915. Nele as funções teste wi são escolhidas
como sendo as próprias funções de base, ou seja, wi(x) = χi(x). De fato, a função residual R
pode ser expandida como uma série das funções de base
R =∞
n=0
rn(a0, a1,...,an, t)χn(x),
e os coeficientes rn(a0, a1,...,an, t) são obtidos pelo produto rn = (R, χn). Os coeficientes
para n > N decaem rapidamente com n. Então, de forma a minimizar R, estabelecemos que
rn = (R, χn) = 0 , n = 0, 1,...,N.
Dessa forma obtemos um sistema de N + 1 equações para os coeficientes an(t). Resolvendo tal
sistema, que pode ser um sistema de equações algébricas, caso a equação diferencial L(u) = 0
seja elíptica, ou um sistema de equações diferenciais ordinárias se a equação diferencial L(u) =
0 for hiperbólica ou parabólica, determinamos os coeficientes espectrais an(t).
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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 25
4.2 Método de colocação
O método de colocação consiste em tomar a função teste como wk = δ (x − xk), sendo os
pontos xk chamados pontos de colocação. Dessa forma, a equação (4.2) se torna
R(xk) = 0 , k = 0, 1,...,N. (4.3)
Ou seja, a equação residual é igual a zero nos pontos de colocação, o que significa dizer que
a solução aproximada satisfaz a equação diferencial nos pontos de colocação. Resolvendo as
N + 1 equações obtidas de (4.3) obtemos os coeficientes ak.
Uma vantagem desse método em relação ao método de Galerkin é o fato de não precisarmosresolver integrais para a determinação do sistema de equações para os coeficientes modais.
Entretanto, de um modo geral, para conseguirmos uma precisão comparável à do método de
Galerkin, é necessário considerarmos muito mais pontos de colocação e, portanto, mais termos
na expansão da solução aproximada.
4.3 Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica
Ondas gravitacionais cilíndricas são a forma mais simples de radiação gravitacional [8].
Apesar de não possuir sentido físico, seu estudo pode auxiliar na compreensão da interação
não-linear das ondas. O ponto de partida do estudo é a métrica geral cilíndrica de Jordan-
Ehlers-Kompaneets [9], cujo elemento de linha é dado por
ds2
= e2(γ
−Ψ)
(dt2
− dr2
) − e2Ψ
(dz + ωdφ)2
− r2
e−2Ψ
dφ2
, (4.4)
onde as funções γ , Ψ e ω são funções de t e r. As equações de campo no vácuo [11] são
Ψ̈ − Ψ
r − Ψ = e
4Ψ
2r2
ω̇2 − ω2 , (4.5)
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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 26
ω̈ + ω
r − ω = 4
ωΨ − ω̇ Ψ̇
, (4.6)
γ = r
Ψ̇2 + Ψ2
+ e4Ψ
4r
ω̇2 + ω2
, (4.7)
γ̇ = 2r Ψ̇Ψ + 4Ψ
2r ω̇ω. (4.8)
Nas equações acima, Ψ e ω representam os dois graus de liberdade do campo gravitacional,
correspondendo aos modos de polarização + e ×, respectivamente. Mais precisamente, a fun-ção γ representa a energia do campo gravitacional, ou energia C [10]. Mais precisamente, γ dá
a energia gravitacional por unidade de comprimento entre o eixo de simetria e o raio r em um
tempo t. As equações de campo obtidas acima são equações diferenciais parciais não-lineares
e suas soluções analíticas não são conhecidas.
No capítulo seguinte aplicaremos os métodos espectrais a uma aproximação linear da evolu-
ção das ondas gravitacionais, e compararemos com a solução exata das equações nesse regime,
que pode ser obtida. O regime linear ocorre quando apenas um modo de polarização está pre-
sente, digamos +. Nesse caso, ω(t, r) = 0, e as equações de campo são reduzidas a
¨Ψ −
Ψ
r − Ψ = 0, (4.9)γ = r
Ψ̇2 + Ψ2
, (4.10)
γ̇ = 2r Ψ̇Ψ. (4.11)
A equação que descreve a evolução da função Ψ(r, t) se torna uma equação diferencial de onda
em coordenadas cilíndricas. Para que Ψ(r, u) represente uma solução fisicamente aceitável, ela
deve obedecer às seguintes condições de regularidade e contorno:
limr→0
Ψ(r, t) = 0, limr→∞
Ψ(r, t) = 0, limr→∞
Ψ(r, t) = 0 (4.12)
Assumindo que Ψ(r, t) = τ (t)R(r), a equação (4.9) pode ser desmembrada em duas,
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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 27
τ̈ + α2τ = 0 (4.13)
rR + R + α2rR = 0, (4.14)
onde α é uma constante real e arbitrária. De imediato, a solução de (4.13) pode ser escrita como
τ (t) = e−iαt. Com relação à segunda equação, multipliquemos por r e introduzamos a nova
variável definida por ξ = αr, de modo que ela passe a ser reescrita como
ξ d2R
dξ 2
+ dR
dξ
+ ξR = 0,
que é uma equação de Bessel de ordem zero. A solução pode ser escrita como R(r) =
C 1J 0(αr) + C 2Y 0(αr). Observando as condições de regularidade (4.12), C 2 = 0, pois tanto
Y 0(αr) quanto sua derivada divergem em r = 0. A solução fica Ψ(r, t) = A(α)e−iαtJ 0(αr), e a
solução geral para o problema é obtida somando sobre todos os possíveis valores de α. Se α é
uma variável contínua, o somatório pode ser substituído por uma integral, e a solução geral tem
a seguinte forma
Ψ(r, t) =
∞0
A(α)J 0(αr)e−iαtdα. (4.15)
Para determinar A(α) é necessário inverter a expresão anterior. Para isso consideramos t = 0
pois, dessa forma, só é necessário conhecer a forma do pulso da onda nesse instante de tempo,
f (r). A expressão de A(α) pode ser determinada da seguinte forma
Ψ(r, 0) = f (r) =
∞0
A(α)J 0(αr)dα.
Multiplicando a equação acima por rJ 0(αr) e integrando em r de 0 a infinito obtemos
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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 28
∞
0
rJ 0(αr)f (r)dr =
∞
0
rJ 0(αr)
∞
0
A(α)J 0(αr)dα dr ∴
∴ A(α) = ∞0
rJ 0(αr)f (r)dr, (4.16)
onde utilizamos a seguinte relação de ortogonalidade das funções de Bessel [7],
∞0
xJ m(kx)J m(kx)dr =
1
kδ (k − k). (4.17)
Assumindo que o resultado da integral anterior seja A(α) = C e−aα, onde a e C são constantes
arbitrárias, a função Ψ(r, t) fica completamente estabelecida por
Ψ(r, t) = C
∞0
J 0(αr)e−iαte−aαdα. (4.18)
De fato, a solução geral é dada por
Ψ(r, t) = C (a2 + r2 − t2)2 +2 +4a2t2 + a2 + r2 − t2
(a2
+ r2
− t2
)2
+ 4a2
t2
. (4.19)
A forma inicial da onda, f (r), pode ser obtida fazendo t = 0 na expressão acima. A solução
encontrada representa, a medida em que o tempo passa, um pulso incidente na origem para
valores negativos de t, chega na origem em t = 0, é refletida e passa a se propagar no sentido
oposto, ou seja, como se tivesse sido emitido pela origem, para valores positivos de t.
Conhecido Ψ(r, t), podemos determinar a energia gravitacional fazendo
γ = r0
γ̇dr = 2 r0
r Ψ̇Ψdr. (4.20)
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Capítulo 5
Aplicação dos métodos espectrais
Nesse capítulo serão expostos procedimentos, propriedades e resultados obtidos na aplica-
ção dos métodos espectrais ao problema de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica em sua
aproximação linear.
5.1 Aplicação e resultados do método de Galerkin
A partir da solução expressa pela equação (4.19) é conveniente para o tratamento que será
realizado fazer a transformação de coordenadas (r, t) → (r, u), de forma que u = t−r, portanto,t = u + r. Substituindo tal transformação, a = 2 e C = 1/
√ 2 na equação (4.19), obtemos
Ψ(r, u) =
(4 + u2)(u2 + 4ur + 4 + 4r2) + 4 − u2 − 2ur
(4 + u2)(u2 + 4ur + 4 + 4r2) , (5.1)
que satisfaz as seguintes equações
2 Ψ̇ − Ψ − 1r
(Ψ − Ψ̇) = 0, (5.2)
γ = rΨ2, (5.3)
γ̇ = 2r Ψ̇(Ψ − Ψ̇), (5.4)
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que são as equações de campo (4.9), (4.10) e (4.11) expressas no novo sistema de coordenadas.
Nesse sistema, a solução exata apresenta as seguintes características,
limr→∞
Ψ(r, u) = 0 e limr→∞
Ψ(r, u) = 0, (5.5)
além da própria função e suas derivadas serem finitas na origem. Um aspecto interessante a se
observar é a forma como a função acima se comporta na origem e quando r tende a infinito
pois podemos comparar com a função de base que representará a solução aproximada. Em um
instante u = 1, por exemplo, a expansão de Taylor em torno da origem é
0.565685 − 0.226274r − 0.033941r2 + O(r3), (5.6)
e sua expressão assintótica é dada por
0.351578
1
r + 0.196539
1
r
32
+ O
r−5
2
. (5.7)
Nesse sistema de coordenadas, a solução representa uma onda incidindo sobre a origem
e decaindo a zero, conforme u, que consideramos ser a coordenada temporal, cresce. Paravalores negativos de u o pulso se move em direção à origem. Em u = 0 o pulso atinge a origem
e começa a decair. Escolheremos como instante inicial u = 0, e a expressão do pulso inicial é
dada quando consideramos Ψ(r, u = 0), ou seja,
f (r) = 1
2
√ 1 + r2 + 1
1 + r2 . (5.8)
Para determinar a solução aproximada é necessário escolher as funções de base. Uma boa
escolha é uma composição de funções ortonormais, devido à sua convergência, facilidade de
computação e completeza. Em vista disso, as funções escolhidas foram os polinômios de
Chebyshev. Entretanto, como a convergência dos polinômios ocorre dentro do intervalo [−1, 1]e o domínio da variável r é [0, ∞[ , é necessário fazer um mapeamento para que o domínio seja
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limr→0
T Lk(r) = −1 e limr→∞
T Lk(r) = 1.
Quanto à escolha das funções de base χk(r), uma combinação bastante simples dos polinômios
acima que satisfaz as mesmas condições de contorno satisfeitas por Ψ(r, u) dadas por (5.5), é
χk(r) = T Lk+1(r) − T Lk(r). (5.10)
A expansão da função χ3(r), por exemplo, em torno da origem é dada por
2 − 16.666667r + 28.666667r2 + O(r3), (5.11)
e como pode ser observado, se comporta de forma semelhante à solução exata. A expansão
assintótica da função de base χ3(r) é dada por
− 42r
+ 1134
r2 + O
1
r3, (5.12)
e embora decaia de forma diferente da solução exata, esta pode ser bem representada pelo
conjunto de funções escolhido.
Para determinar os coeficientes espectrais ai(u), procedemos como descrito no capítulo
anterior. O primeiro passo é substituir a solução aproximada na equação (5.2), de onde obtemos
a equação residual, dada por
R =N
i=0
2r
dai(u)
du
dχi(r)
dr +
dai(u)
du χi(r) − rai(u)d
2χi(r)
dr2 − ai(u) dχi(r)
dr
. (5.13)
Em seguida, devem ser feitas as projeções (R, χ j(r)) = 0, com j = 0, 1,...N . Com isso,
obtemos um sistema de N + 1 equações diferenciais envolvendo os coeficientes ai(u). Para
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 34
Figura 5.2: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo mé-todo de Galerkin no sistema (r, u) para N = 10.
Figura 5.3: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo mé-todo de Galerkin no sistema (r, u) para N = 15.
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 35
Figura 5.4: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 0.8 para N = 10.
Figura 5.5: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 0.8 para N = 15.
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 36
Figura 5.6: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 5 para N = 10.
Figura 5.7: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 5 para N = 15.
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 37
Figura 5.8: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 10 para N = 10.
Figura 5.9: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 10 para N = 15.
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 38
5.2 Aplicação e resultados do método de colocação
Nessa seção serão expostos os resultados obtidos pela aplicação do método de colocação.
Diferentemente do método de Galerkin, o método de colocação só pode ser aplicado a domíniosfinitos. Para isso, reescreveremos a solução (5.1) e a equação (5.2) no sistema de coordenadas
(x, u), compactando o domínio, com x definido pela transformação inversa de (5.9), dada por
r = −L1 + xx − 1 . (5.15)
Nesse caso, utilizaremos como funções de base os próprios polinômios de Chebyshev T k(x). A
equação (5.2) pode ser escrita como
(1 − x2) Ψ̇ + x(1 − x)2
6 Ψ − (1 + x)(1 − x)
3
12 Ψ + Ψ̇ = 0, (5.16)
onde a linha agora representa derivação com relação a x. A solução exata no novo sistema de
coordenadas, escolhendo novamente L = 3, fica
Ψ(u, x) = a(u, x) + b(u, x)c(u, x) + (b(u, x))2 (x − 1), (5.17)onde
a(u, x) =
(u2 + 4)(u2x2 − 2u2x + u2 − 12ux2 + 12u + 40x2 + 64x + 40),
b(u, x) = −4x − 6ux + u2x − u2 + 4 − 6u,
c(u, x) = 16(ux − u − 3x − 3)2.
O pulso inicial é obtido substituindo u = 0 na equação (5.17), ou seja,
f (u, x) =
√ 2
4
(√
2√
5x2 + 8x + 5 + x − 1)(x − 1)5x2 + 8x + 5
. (5.18)
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 39
Figura 5.10: Forma do pulso inicial da onda em função de x
Escolhemos os N pontos de colocação como sendo os extremos dos polinômios de Chebyshev,
ou seja, xi = cos(πi/N ), com i = 0, 1,...N . Substituindo a equação aproximada na equação
(5.16) obtemos a função residual, que é igual zero nos pontos de colocação, o quer dizer
N i=0
(1 − x2) dai
du
dT idx
+ x(1 − x)2
6 ai
dT idx
− (1 + x)(1 − x)3
12 ai
d2T idx2
+ daidu
T i
= 0, (5.19)
com i = 0, 1,...N . A expressão (5.19) nos fornece N + 1 equações diferenciais para os N + 1
coeficientes modais ai(u). Para resolvê-las, assim como no método de Galerkin, é necesário
determinar o valor de cada coeficiente no instante inicial u = 0, ou seja, ai(0). No instante
u = 0 supomos que Ψ(0, x) = f (x) =N
i=0 ai(0)T i(x), e portanto
a j(0) = 2
N ̄c j
N n=0
1
c̄nf (xn)T j (xn), (5.20)
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 40
onde fizemos uso da seguinte relação de ortogonalidade, válida nos pontos de colocação xn,
2
N ̄ck
N
n=01
c̄nT j(xn)T k(xn) = δ jk,
e o parâmetro c̄k é definido como
c̄k =
2, se k = 0, N
1, se k assume qualquer outro valor
Dessa forma, após resolver o sistema de equações para os coeficientes espectrais podemos
comparar a solução exata com a solução aproximada, como é mostrado nas figuras a seguir.Para valores de u próximos de u = 0, ambos os métodos apresentam bons resultados, e as
soluções obtidas se aproximam bem da solução exata. Entretanto, mesmo com uma truncagem
muito maior, N = 21, a solução obtida pelo método de colocação não acompanha a curva
exata tão bem quanto a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin à medida em que u
cresce. Para valores relativamente baixos de u, há uma discrepância razoavelmente grande nos
resultados obtidos pelo método de colocação, embora como já foi dito, um modo de melhorar
os mesmos é aumentar o número de pontos de colocação. Nesse aspecto, o método de Galerkin
é muito mais eficaz, pois a representação da solução exata pela solução aproximada se mantém
boa para altos valores de u, com N relativamente pequeno.
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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 41
Figura 5.11: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelométodo de colocação no sistema (x, u) , para N = 15.
Figura 5.12: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelométodo de colocação no sistema (x, u) , para N = 21.
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Figura 5.17: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo métodode colocação em u = 10 para N = 15.
Figura 5.18: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo métodode colocação em u = 10 para N = 21.
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Capítulo 6
Conclusões
A partir dos gráficos expostos no capítulo anterior fica evidente a eficiência dos métodos
espectrais, sobretudo a do método de Galerkin. Apesar dos gráficos apresentarem o compor-
tamento das soluções até r = 40, a solução aproximada representa bem a solução exata até o
infinito, pois as funções de base e a solução exata obedecem às mesmas condições de contorno.
Paragandes valores de u, com uma solução de 15 termos, começam a apracer pequenas discre-
pâncias entre as soluções exata e aproximada. Entretanto, Esse problema pode ser resolvido
com um pequeno aumento no número de termos da solução aproximada, por exemplo, para
N = 21. A implementação do método de Galerkin é simples, embora o método exija um es-
forço computacional moderado, devido às diversas integrações que devem ser realizadas para a
determinação dos coeficientes modais.
O método de colocação pôde ser implementado de forma extremamente simples, exigindo
um esforço computacional relativamente pequeno. Entretanto, as soluções geradas por este
método não tiveram a mesma precisão das soluções geradas pelo método de Galerkin, emborase tenha considerado mais termos na série. Por ser um método de fácil execução, é possível
aumentar sua acurácia considerando mais termos na solução aproximada, ou seja, mais pontos
de colocação.
O instante inicial u0 = 0 utilizado para resolver o sistema dinâmico para os coeficientes
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CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 46
espectrais é completamente arbitrário. É possível escolher qualquer outro valor de u0, contanto
que a solução exata seja conhecida nesse instante.
Quanto à convergência dos métodos, fica claro ao observarmos os gráficos que quanto maior
o número de termos considerados nas soluções aproximadas de ambos os métodos, mais estas
se aproximam da solução exata.
Em vista dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais na aproximação linear
da evolução de ondas gravitacionais cilíndricas, podemos esperar que o caso mais geral possa
ser bem representado pelas soluções aproximadas geradas por ambos os métodos, desde que
seja considerada uma truncagem grande o suficiente, da ordem de N = 21 ou maior para o
método de Galerkin. Nesse tipo de aplicação dos métodos apresentados, as mesmas funções debase devem ser escolhidas, pois as condições de contorno são as mesmas tanto para o regime
linear quanto para o regime não-linear, onde os dois modos de polarização estão presentes.
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Referências Bibliográficas
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ory and Applications, Philadelphia: Society For Industrial and Applied Mathematics,
1977, 170p.
[7] JACKSON, John D., Classical Electrodynamics, New jersey: John Wiley & Sons, 1962,
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[8] EINSTEIN, A.; ROSEN, N., J. Franklin Inst. 223, 43, 1937.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 48
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Kl.2, 1960.
[10] THORNE ,Kip S., Phys.Rev. v.138 n.1B, 1965
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