unidad 7: rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo 7-2 cálculo de momentos de inercia....

UNIDAD 7: Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo

7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones.

7-3 Momento de torsión.

7-1 Energía cinética de rotación.

7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo.

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido.

7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación.

7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas.

7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira. 7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular.

7-1 Energía cinética de rotación

O

rmi

iv 221 . iiit vmKK

ii rv .y

x

2

21

iii vmK

2221 . iit rmK

2221 iit rmK

Ya vimos que:

O

rmi

iv

y

x

A la cantidad:

MOMENTO DE INERCIA I

Por lo tanto, podemos escribir

221 IKR

2ii rm

2mKgI

7-1 Energía cinética de rotación

Ejemplo¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?

y

x1Kg

2Kg

3Kg2m

3m

1m

7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones.

1r 2r

nr

1m 2m

nmy

x

z

dmrI .2Cuando: n

m 0

0

2

mii rmI

dVrI .. 2

Sabiendo que:

zdr

r

RL

dmrI .2

dVdm . drrL ...2..

drrLrI ...2...2

drrLI ...2.. 3

R

drrLI0

3...2.. 4

21 ... RLI

Momento de inercia de un cilindro solido

zdr

r

RL

V

M

422

1

..RL

LR

MI

LR

M

.. 2

221 RMI

Momento de inercia de un cilindro solido

Momento de inercia, aplicaciones.

Teorema de Steiner

x

y

𝒚´

𝒚𝒚𝑪𝑴

x

y

2.DMII CM

TEOREMA DE STEINER Ó

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Teorema de Steiner

𝒚´

𝒚𝒚𝑪𝑴

Teorema de Steiner EJEMPLO: MOMENTO DE INERCIA DE BARRA RÍGIDA UNIFORME DE MASA M Y LONGITUD L RESPECTO A EJE QUE PASA POR UNO DE SUS EXTREMOS

2121 LMICM 2.DMII CM

D

22

2..

12

1 LMLMI

22

4..

12

1 LMLM

12

.3. 22 LMLM 12

.4 2LM3

. 2LMI

7-3 Momento de torsión Si empujamos un objeto con libertad de moverse, se moverá Algunos objetos se desplazan sin girar, otros giran sin desplazarse y otros se desplazan y giran al mismo tiempo

¿Qué hace que un objeto gire al aplicar una fuerza?

Cuando abrimos una puerta,

ó apretamos una tuerca,

ó abrimos una canilla

se ejerce una fuerza de giro.

Esa fuerza de giro produce un momento ó torque

Si queremos que un objeto se mueva

Aplicamos una FUERZA

LAS FUERZAS TIENDEN A ACELERAR LOS OBJETOS

Si queremos que un objeto gire

Aplicamos un TORQUE

LOS TORQUES PRODUCEN ROTACIÓN DE OBJETOS

7-3 Momento de torsión

El Torque se produce cuando la fuerza se aplica con “apalancamiento”

“Apalancamiento” ó palanca es el vínculo que hay entre la fuerza aplicada y el punto respecto al que gira el objeto

F

palanca

bisagra

90°

Nunca tiraríamos de la perilla hacia el costado

La experiencia nos indica que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo

7-3 Momento de torsión

Ahora, ¿Cómo influye la distancia entre el eje de giro y el punto de contacto de la fuerza?. Es decir la distancia del brazo de palanca

Aunque la magnitud de la fuerza sea la misma, el momento es distinto en cada caso.

Momento = brazo de palanca x fuerza

Fd

fuerza

F

momento

d

fuerza

más momento

d

fuerza

aún más momento

d

Ya vimos que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo

mN

O

F

r

z

y

xP

7-3 Momento de torsión

O

F

r

y

x

P

rFTF

r

Línea de acción de la fuerza

Brazo de palanca

. .( . )r F r F sen

( . ). .r sen F r F

7-3 Momento de torsión

O

z

y

x

r F

P

Fr

.( . )r F sen

7-3 Momento de torsión

Se le asigna el signo positivo (+), cuando el momento de la fuerza hace que el cuerpo gire en sentido contrario a las agujas del reloj

)positivo(MO

F

)negativo(MO

F

Se le asigna signo negativo (-), cuando el momento de la fuerza hace girar al cuerpo en sentido horario.

Signo del momento

O

1F

r

y

x

P

1rF

1TF

1 1 1. .( . )Tr F r F sen

2F

2TF

2rF

22 2. .( . )Tr F r F sen

1 2

1. .r F sen 2. .r F sen

1 2.( . . )r F sen F sen

Momento de fuerzas concurrentes

O

1F

r

y

x

P

R

2F

TR

rR

.R Tr R

R 1. .r F sen 2. .r F sen1 2.( . . )R r F sen F sen

1 2. .TR F sen F sen

1 2.cos .cosrR F F

1R 2

El momento de la resultante de dos o mas fuerzas concurrentes a un punto contenido en un plano de las mismas, es igual a la suma

de los momentos de las fuerzas concurrentes, con respecto al mismo punto”.

Momento de fuerzas concurrentes

1

n

R ni

1F

1r

nF

3F

2F

O

2r

3r

nr

1 2 3 ...T n

1 1 1. .r F sen

2 2 2. .r F sen

3 3 3. .r F sen

. .n n nr F sen

1

n

T ni

Momento de fuerzas no concurrentes

EjemploEncuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para la barra que se muestra abajo:

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

tR = - 80 N mtR = - 80 N mSentido de las manecillas del

reloj

tR = t20 + t30 + t40 = -40 N m -120 N m + 80 N m

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 N

A

O

F

r

m

rF

tFtt amF .

)..( tamrtFr.

)...( rmr

.. 2rm .I

y

x

7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo

Eje z

rdm

tdF

tt admdF .d dmrat ..tdFr.

dmr .. 2

.I

d

dmr .. 2

dmr .. 2

7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo

Dos bloques, como muestra la figura, están conectados por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea de radio 0,25m y un momento de inercia I. El bloque sobre el plano inclinado sin fricción esta subiendo con una aceleración constante . Determinar las tensiones de las dos partes de la cuerda y el momento de inercia de la polea

a

7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación

𝑟𝑑𝜃

𝜑𝐹

𝑃

𝑂

𝑑𝑠𝑑𝑠=𝑟 .𝑑𝜃

𝑑𝑊=𝐹 .𝑑 𝑠 𝑑𝑊=𝐹 .𝑑𝑠 .𝑠𝑒𝑛𝜑

𝑑𝑊=𝐹 .𝑠𝑒𝑛𝜑 .𝑟 .𝑑𝛼

𝜏𝑑𝑊=𝜏 .𝑑𝜃

Ecuación del Trabajo de una fuerza en una rotación infinitesimal

𝑃

7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación

𝑟𝑑𝜃

𝜑𝐹

𝑃

𝑂

𝑑𝑠

.IYa vimos que:

∑𝜏=𝐼 ∙𝑑𝜔𝑑𝑡¿ 𝐼 ∙

𝑑𝜔𝑑𝜃

∙𝑑𝜃𝑑𝑡

Reordenando:

¿ 𝐼 ∙𝑑𝜔𝑑𝜃

∙𝜔

∑𝜏 .𝑑𝜃=𝐼 ∙𝜔 .𝑑𝜔∑𝑊=

𝜔𝑖

𝜔 𝑓

𝐼 ∙𝜔 .𝑑𝜔

¿𝑑𝑊

¿12𝐼 ∙𝜔2 f

i

Teorema del Trabajo y la Energía Cinética para la rotación

Ya vimos:

Los cuerpos pueden tener movimiento de traslación

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido

Los cuerpos pueden tener movimiento de rotación

Pero generalmente:

Los cuerpos tienen movimiento de traslación y rotación simultáneamente

Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido

Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”

v

vv

vLa velocidad en cada punto, se obtiene con la suma de los dos movimientos superpuestos

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido

Si rueda sin deslizar

0´v

0 cmvvEn el punto de contacto

Por lo tanto:

cmvv ´ cmvv 2´

abajo

centro

arriba

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido

Si la velocidad angular

es Rvcm .Y el radio de la rueda es R

7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido

Energía cinética de rotación y traslación

01 v

Rv .2

Rv 2.3

Rvcm .Ya vimos que

cmvRv .2

cmvRv 22.3

Energía cinética de rotación y traslación

01 v

Rv .2

Rv 2.3

De esta manera, la Energía Cinética es:

2..21 IK

Donde I es el momento de inercia de un disco que gira alrededor de un eje que pasa por su borde

Energía cinética de rotación y traslación

01 v

Rv .2

Rv 2.3

Aplicando el Teorema de Steiner (de los ejes paralelos)

2.RMII cm 22 )...(2

1 RMIK cm

Energía cinética de rotación y traslación

Aplicando distributiva

222 ...21..2

1 RMIK cm recordando

Rvcm .22 ..2

1..21

cmcm vMIK

Energía cinética de rotación y traslación

Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento

Recordando la conservación de la Energía Mecánica

22 ..21..2

1cmcm vMIK

ff KUKU 00

Energía cinética de rotación y traslación

ctevMIhgM cmcm 22 ..21..2

1..

cteKUKU ff 00

conservación de la Energía Mecánica para cuerpos que ruedan sin deslizarse.

Ejemplo

7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas

z

y

x r

p

m

pr

L

prL

senprL ..

v

vmp.

Cantidad de movimiento

lineal

Cantidad de movimiento angular

Módulo

Fr

dt

pdF

dt

pdr

p

dt

rd

vdt

rd y pv

//

z

y

x r

p

m

prL

v

Recordando

7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas

z

y

x r

p

m

rpL

v

0pdt

rd

dt

prd )(

dt

pdr

dt

Ld )(

pdt

rd

nLLLLL

...321 iL

A medida que pasa el tiempo

dt

Ld

dt

Ld

dt

Ld

dt

Ld

dt

Ld n

...321 dt

Ld i

dt

Ld

i dt

Ld i

El torque asociado a

fuerzas internas es cero

extdt

Ld

Para un sistema de partículas:

z

y

x

r p

m

v

7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira

senprL ..Recordando

Si el movimiento es circular 90

prL . vmr ..L

z

y

x

ir

ip

im

iv

iiii vmrL ..

senprL ..Recordando

Si el movimiento es circular 90

prL . vmr ..Considerando un cuerpo

rígidoiL

ii rv ... 2iii rmL

z

y

x

ir

ip

im

iv

Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del

cuerpo

Como =cte

iL

.IL

iLL .. 2ii rm

.. 2 ii rmL

Cantidad de movimiento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de

simetría

7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular

extdt

Ld

Recordando

Si el torque neto es cero

0 ext

0dt

Ld

cteL

Cuando el torque neto externo que actúa en un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total permanece constante

• La conservación de la cantidad de movimiento angular es una ley de conservación universal, válidas en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares , hasta los movimientos de las galaxias

constanteLLntot

fi LL

Una persona se para en el centro de una mesa giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una pesa de 5Kg en cada mano. Se lo pone a girar sobre un eje vertical a razón de 2rev/s. Calcular la nueva velocidad angular de la persona si se lleva las pesas al pecho.Su momento de inercia (sin las pesas) es de 3Kg.m2 con los brazos estirados y baja a 2,2Kg.m2 si pone las manos en el pecho. Las pesas están a 1m del eje al principio y a 0,20m al final; trátelas como partículas