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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS DE CURITIBA
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
E DE MATERIAIS - PPGEM
TIAGO RODRIGUES WELLER
PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE
MANUFATURA
CURITIBA
DEZEMBRO - 2008
TIAGO RODRIGUES WELLER
PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE
MANUFATURA
Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Engenharia de Manufatura, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.
Orientador: Prof. Luiz C. A. Rodrigues, Dr. Eng.
CURITIBA
DEZEMBRO - 2008
TERMO DE APROVAÇÃO
TIAGO RODRIGUES WELLER
PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE
MANUFATURA
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em engenharia de manufatura, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.
_________________________________ Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr.
Coordenador de Curso
Banca Examinadora
______________________________ ______________________________ Prof. Celso Carnieri, Dr. Prof. Leandro Magatão, Dr. (UFPR) (UTFPR)
______________________________ Profa. Carla C. Amodio Estorilio, Dra. . (UTFPR)
Curitiba, 10 de dezembro de 2008.
iii
Dedico este trabalho à minha família,
principalmente à minha esposa Daniele e
minha filha Ana Clara e especialmente
aos meus pais Valdir e Nilva e, que me
acompanharam e compreenderam os
momentos que estive ausente.
iv
AGRADECIMENTOS
À minha família, minha esposa Daniele, minha filha Ana Clara e aos meus pais Valdir
e Nilva e minha sogra Alcida, pelo grande apoio e pela compreensão naqueles momentos
que abdiquei de suas companhias para dedicar-me a este trabalho.
Ao meu orientador e grande amigo Prof. Luiz Carlos de Abreu Rodrigues, pela grande
paciência e apoio e, principalmente, por acreditar em minha capacidade.
À instituição por possibilitar e me acolher como aluno e professor, e me disponibilizar
todas as estruturas necessárias para realização deste trabalho.
v
“O primeiro dever da inteligência é desconfiar dela mesma“.
Albert Einstein
vi
WELLER, Tiago Rodrigues, PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA, 2008, Dissertação de
Mestrado em Engenharia de Manufatura - Programa de Pós-graduação em
Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná,
Curitiba, 149 p.
RESUMO
A competitividade internacional e a conseqüente necessidade de respostas rápidas
à demanda do mercado têm levado muitas empresas a enfatizar o projeto de
sistemas de manufatura. Uma etapa importante no projeto de sistemas de
manufatura é o seu layout. Uma abordagem adotada em empresas é, inicialmente, a
aplicação de “tecnologia de grupo”, caracterizada pela exploração de similaridades
nas atividades ligadas à produção, para posteriormente aplicar o chamado
Planejamento Sistemático de Layout. Outra possibilidade para a geração de layouts
industriais é a aplicação de uma abordagem de pesquisa operacional, onde os
Algoritmos Genéticos, o Simulated Annealing e a Busca Tabu são técnicas
tradicionais. Apesar de a Busca Tabu ser uma técnica tradicional de pesquisa
operacional, não encontrou-se aplicação da abordagem de Busca Tabu na literatura
para a solução do problema de layout de sistemas de manufatura no chão de
fábrica. Assim, este trabalho de mestrado desenvolverá tal estudo e fará uma
comparação com o método mais comumente usado na geração de layouts que é o
Simulated Annealing. Para isso, apresenta-se uma descrição detalhada do problema
de layout e uma revisão da literatura do problema de layout, de tecnologia de grupo,
do Planejamento Sistemático de Layout e de diferentes abordagens de pesquisa
operacional. O presente trabalho visa caracterizar que o tema de mestrado proposto
é viável e de interesse para a literatura, como para a indústria.
Palavras-chave: busca tabu, simulated annealing, layout, formação de células.
vii
WELLER, Tiago Rodrigues, A TABU SEARCH APPROACH APPLIED TO CELLULAR MANUFACTURING LAYOUT, 2008, Dissertação de Mestrado em
Engenharia de Manufatura - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica
e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 149 p.
ABSTRACT
International competitiveness and the need for fast responses to market
demands have forced industries to emphasize manufacturing systems design. An
important step on manufacturing systems design is the solution of plant layout. An
approach – adopted at some industries – has been applying Group Technology
followed by Systematic Layout Planning. Another approach – found on literature – to
solve plant layout has been the use of operations research techniques, such as
Genetic Algorithms, Simulated Annealing, and Tabu Search. Tabu Search is
considered a traditional operations research technique. But no work applying Tabu
Search to solve layout problems has been found on literature. Therefore, at this work,
two Tabu Search and two Simulated Annealing approaches are proposed to solve
layout problems, and their results are compared. As part of this work, a literature
review is presented. This review is focused on the layout problem, Group
Technology, Systematic Layout Planning, and operations research. A thorough
description of the layout problem is also presented. This work is intended to indicate
that the proposed master’s degree theme is sound and of interest for both the
academy and industry.
Keywords: tabu search, simulated annealing, layout, cell formation.
viii
SUMÁRIO
RESUMO.................................................................................................................... vi ABSTRACT ............................................................................................................... vii LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. xi LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ...................................................................xvii LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................xviii 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
1.1 Metodologia............................................................................................................... 2 2 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE layout ou ARRANJO FÍSICO ................................. 3
2.1 Introdução ................................................................................................................. 3 2.1.1 Tipos de arranjo físico ........................................................................................... 5
2.1.2 Fluxos .................................................................................................................... 8
2.1.3 Equipamentos de movimentação .......................................................................... 8 2.2 Células de produção nos Sistemas Flexíveis de Manufatura (FMS) ........................ 9 2.3 Sistemas de classificação e Tecnologia de Grupo.................................................. 11 2.4 Planejamento Sistemático de Layout (SLP)............................................................ 15
3 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO........................................................................................ 19 3.1 Introdução ............................................................................................................... 19 3.2 Algoritmos Genéticos .............................................................................................. 20
3.2.1 Cruzamento (Crossover) ..................................................................................... 22
3.2.2 Mutação............................................................................................................... 23 3.3 Simulated Annealing (SA) ....................................................................................... 23 3.4 Busca Tabu (BT) ..................................................................................................... 26
3.4.1 Lista Tabu............................................................................................................ 27
3.4.2 Busca de Soluções Vizinhas ............................................................................... 27
3.4.3 Critérios de Aspiração ......................................................................................... 27
3.4.4 Diversificação e Intensificação ............................................................................ 27
3.4.5 Busca Tabu Reativa ............................................................................................ 29 4 LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA.................................................................. 30
4.1 Introdução ............................................................................................................... 30 4.2 Descrição do problema de layout de instalações.................................................... 30 4.3 Formulação do problema ........................................................................................ 32
4.3.1 Função objetivo ................................................................................................... 33 5 METODOLOGIA APLICADA.......................................................................................... 36
5.1 Análise de Variância (ANOVA)................................................................................ 36 5.1.1 Tratamento .......................................................................................................... 36
5.1.2 Unidade experimental ou parcela ........................................................................ 37
ix
5.1.3 Repetição............................................................................................................. 37
5.1.4 Experimentos Fatoriais ........................................................................................ 39 5.2 Características do problema de formação de layout ............................................... 43
5.2.1 Geração da Solução Inicial ao Usar Métodos Heurísticos .................................. 43 5.3 Busca na Vizinhança............................................................................................... 45 5.4 Abordagem de Busca Tabu Proposta ..................................................................... 46 5.5 Implementação do Algoritmo de Simulated Annealing para o Caso Proposto por Chwif et al. (1998) .............................................................................................................. 49
5.5.1 Geração da solução vizinha s’............................................................................. 50 5.6 Algoritmo Simulated Annealing Proposto (SA_Tiago)............................................. 53
6 RESULTADOS DAS IMPLEMENTAÇÕES .................................................................... 55 6.1 Implementação da interface de testes .................................................................... 55 6.2 Apresentação dos Resultados ................................................................................ 58
6.2.1 Análise dos Resultados para 10 Máquinas ......................................................... 59
6.2.2 Análise dos Resultados para 12 Máquinas ......................................................... 65
6.2.3 Análise dos Resultados para 15 Máquinas ......................................................... 71
6.2.4 Análise dos Resultados para 20 Máquinas ......................................................... 77
6.2.5 Análise dos resultados para 30 Máquinas........................................................... 83 PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2006 – Dezembro 2008) ......................... 92 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 93 APÊNDICE A – MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS ..................... 100 A.1 – Fluxo entre 10 máquinas............................................................................................ 100 A.2 – Fluxo entre 12 máquinas............................................................................................ 100 A.3 – Fluxo entre 15 máquinas............................................................................................ 101 A.4 – Fluxo entre 20 máquinas............................................................................................ 101 A.5 – Fluxo entre 30 máquinas............................................................................................ 102 APÊNDICE B – Resultados do simulated annealing ........................................................... 103 B.1 – Resultados do algoritmo proposto por Chwif et al. (1998) ......................................... 103 B.1- Para 10 Máquinas ........................................................................................................ 104 B.2 - Para 12 Máquinas ....................................................................................................... 107 B.3 - Para 15 Máquinas ....................................................................................................... 110 B.4 - Para 20 Máquinas ....................................................................................................... 113 B.5 - Para 30 Máquinas ....................................................................................................... 116 APÊNDICE C – Resultados do simulated annealing PROPOSTO (SA_TIAGO) ................ 119 C.1 - Para 10 Máquinas....................................................................................................... 119 C.2 - Para 12 Máquinas....................................................................................................... 121 C.3 - Para 15 Máquinas....................................................................................................... 123 C.4 - Para 20 Máquinas....................................................................................................... 125 C.5 - Para 30 Máquinas....................................................................................................... 127 APÊNDICE D – Resultados do ALGORITMO DE BUSCA TABU PROPOSTO.................. 129 D.1 - Para 10 Máquinas....................................................................................................... 129 D.2 - Para 12 Máquinas....................................................................................................... 131 D.3 - Para 15 Máquinas....................................................................................................... 133
x
D.4 - Para 20 Máquinas....................................................................................................... 135 D.5 - Para 30 Máquinas....................................................................................................... 137 APÊNDICE E – Resultados do ALGORITMO DE BUSCA TABU HÍBRIDA........................ 139 E.1 - Para 10 Máquinas ....................................................................................................... 139 E.2 - Para 12 Máquinas ....................................................................................................... 141 E.3 - Para 15 Máquinas ....................................................................................................... 143 E.4 - Para 20 Máquinas ....................................................................................................... 145 E.5 - Para 30 Máquinas ....................................................................................................... 147
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 A e B - Diferença entre layout que minimiza estoque e deslocamento. (PEREIRA, 2002) 5
Figura 2.2 – Layout posicional (TORRES, 2001). 5
Figura 2.3 – Layout funcional (TORRES, 2001). 6
Figura 2.4 – Layout linear (TORRES, 2001). 6
Figura 2.5– Layout celular (TORRES, 2001). 7
Figura 2.6- Variedade e Quantidade determinando o tipo de layout. (SLACK et al., 1997) 7
Figura 2.7– Padrões de fluxos (TORRES, 2001). 8
Figura 2.8 – Interface de uma célula de FMS com os demais sistemas da fábrica (DAGNONE, 2000). 10
Figura 2.9 – Matriz de peças e máquinas (RIBEIRO, 2000). 14
Figura 2.10 – Matriz de peças e máquinas em células (RIBEIRO, 2000). 14
Figura 2.11 - Matriz de incidência com agrupamento (RIBEIRO, 2000). 15
Figura 2.12 – Planejamento Sistemático de Layout (MUTHER e WHEELER, 2000). 17
Figura 2.13 – Diagrama espaço-relacional (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000). 17
Figura 2.14 – Elaboração do layout inicial (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000). 17
Figura 2.15– Procedimento do Planejamento Sistemático de Layout (SLP) (TREIN, 2001). 18
Figura 3.1 - Representação de um cromossomo na Biologia e em AGs. 21
Figura 3.2 - Crossover uniforme (BARROS NETO, 1997) 22
Figura 3.3 - Mutação (BARROS NETO, 1997). 23
Figura 3.4 - Formulação geral do SA (NORONHA et al., 2001). 25
Figura 3.5 - Algoritmo básico de Busca Tabu. 29
Figura 4.1 - Diferentes orientações de acordo com a configuração (CHWIF, 1998). 33
Figura 4.2 - Modelamento geométrico do problema (adaptado de CHWIF,1998). 34
Figura 4.3 - Configuração dos blocos a respeito da sobreposição (CHWIF et al., 1998). 35
Figura 5.1 - Geração da solução inicial como primeiro passo na execução do programa. 44
Figura 5.2 - Forma de cálculo de posicionamento das máquinas. 44
Figura 5.3 - Pseudo-código da função de geração da solução inicial. 45
Figura 5.4 a e b - Geração da solução s e sua solução vizinha s’. 46
Figura 5.5 - Pseudo-código do algoritmo de BT implementado. 48
Figura 5.6 - Primeiro movimento aceito entre as máquinas 2 e 4. 49
Figura 5.7 – Pseudo código de SA básico. 50
Figura 5.8 a e b – Permutação entre duas máquinas. 51
Figura 5.9 a e b – Rotação da máquina. 51
Figura 5.10 – Pseudo código de SA que decide qual movimento será realizado. 52
Figura 5.11 – Exemplo de layout infactível gerado pelo algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998). 53
Figura 5.12 – Resultado do layout do algoritmo de SA proposto (SA_Tiago). 54
Figura 6.1 – Interface do SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS. 57
Figura 6.2 – Coordenadas do sistema cartesiano presente no painel. 57
xii
Figura 6.3 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 64
Figura 6.4 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 64
Figura 6.5 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 70
Figura 6.6 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 70
Figura 6.7 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 76
Figura 6.8 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 76
Figura 6.9 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 82
Figura 6.10 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 82
Figura 6.11 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 88
Figura 6.12 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 88
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 - Disposição das equações na Tabela ANOVA. 39
Tabela 5.2 - Plano experimental para algoritmo SA. 40
Tabela 5.3 - Tabela resumo da análise de fatores. 42
Tabela 5.4 Lista tabu para as três primeiras iterações. 48
Tabela 6.1 – Área e fator de aspecto das 30 máquinas. 56
Tabela 6.2 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.1. 59
Tabela 6.3 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.1. 60
Tabela 6.4 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.1. 60
Tabela 6.5 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.1. 61
Tabela 6.6 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 63
Tabela 6.7 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 63
Tabela 6.8 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 65
Tabela 6.9 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.2. 65
Tabela 6.10 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.2. 66
Tabela 6.11 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.2. 66
Tabela 6.12 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.2. 67
Tabela 6.13 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 69
Tabela 6.14 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 71
Tabela 6.15 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.3 71
Tabela 6.16 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.3. 72
Tabela 6.17 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.3. 72
Tabela 6.18 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.3. 73
Tabela 6.19 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 75
Tabela 6.20 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 75
Tabela 6.21 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 77
Tabela 6.22 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.4. 77
Tabela 6.23 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.4. 78
Tabela 6.24 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.4. 78
Tabela 6.25 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.4. 78
Tabela 6.26 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 80
Tabela 6.27 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 81
Tabela 6.28 -Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 81
Tabela 6.29 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.5. 83
Tabela 6.30 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.5. 83
Tabela 6.31 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.5. 84
Tabela 6.32 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.5. 84
Tabela 6.33 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 86
xiv
Tabela 6.34 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 87
Tabela 6.35 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 87
Tabela A.1 - Fluxo entre 10 máquinas 105
Tabela A.2 - Fluxo entre 10 máquinas 105
Tabela A.3 - Fluxo entre 10 máquinas 105
Tabela A.4 - Fluxo entre 10 máquinas 105
Tabela A.5 - Fluxo entre 10 máquinas 105
Tabela B.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 10 máquinas. 104
Tabela B.2 - Apresentação do número de iterações do SA com 10 máquinas. 105
Tabela B.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 10 máquinas. 106
Tabela B.4 - ANOVA para o número de iterações do SA com 10 máquinas. 106
Tabela B.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 12 máquinas. 107
Tabela B.6 - Apresentação do número de iterações do SA com 12 máquinas. 108
Tabela B.7 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 12 máquinas. 109
Tabela B.8 - ANOVA para o número de iterações do SA com 12 máquinas. 109
Tabela B.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 15 máquinas. 110
Tabela B.10 - Apresentação do número de iterações do SA com 15 máquinas. 111
Tabela B.11 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 15 máquinas. 112
Tabela B.12 - ANOVA para o número de iterações do SA com 15 máquinas. 112
Tabela B.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 20 máquinas. 113
Tabela B.14 - Apresentação do número de iterações do SA com 20 máquinas. 114
Tabela B.15 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 20 máquinas. 115
Tabela B.16 - ANOVA para o número de iterações do SA com 20 máquinas. 115
Tabela B.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 30 máquinas. 116
Tabela B.18 - Apresentação do número de iterações do SA com 30 máquinas. 117
Tabela B.19 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 30 máquinas. 118
Tabela B.20 - ANOVA para o número de iterações do SA com 30 máquinas. 118
Tabela C.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 119
Tabela C.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 119
Tabela C.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 10 máquinas. 120
Tabela C.4 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 10 máquinas. 120
Tabela C.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 121
Tabela C.6 - Apresentação do número de iterações executadas. 121
Tabela C.7 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 12 máquinas. 122
Tabela C.8 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 12 máquinas. 122
xv
Tabela C.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 123
Tabela C.10 - Apresentação do número de iterações executadas. 123
Tabela C.11 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 15 máquinas. 124
Tabela C.12 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 15 máquinas. 124
Tabela C.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 125
Tabela C.14 - Apresentação do número de iterações executadas. 125
Tabela C.15 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 20 máquinas. 126
Tabela C.16 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 20 máquinas. 126
Tabela C.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 127
Tabela C.18 - Apresentação do número de iterações executadas. 127
Tabela C.19 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 30 máquinas. 128
Tabela C.20 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 30 máquinas. 128
Tabela D.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 129
Tabela D.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 129
Tabela D.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas. 130
Tabela D.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10 máquinas. 130
Tabela D.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 131
Tabela D.6 - Apresentação do número de iterações executadas. 131
Tabela D.7 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 12 máquinas. 132
Tabela D.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 12 máquinas. 132
Tabela D.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 133
Tabela D.10 - Apresentação do número de iterações executadas. 133
Tabela D.11 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 15 máquinas. 134
Tabela D.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 15 máquinas. 134
Tabela D.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 135
Tabela D.14 - Apresentação do número de iterações executadas. 135
Tabela D.15 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 20 máquinas. 136
Tabela D.16 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 20 máquinas. 136
Tabela D.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 137
Tabela D.18 - Apresentação do número de iterações executadas. 137
Tabela D.19 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 30 máquinas. 138
Tabela D.20 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 30 máquinas. 138
xvi
Tabela E.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 139
Tabela E.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 139
Tabela E.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas. 140
Tabela E.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10 máquinas. 140
Tabela E.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 141
Tabela E.6 - Apresentação do número de iterações executadas. 141
Tabela E.7 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 12 máquinas. 142
Tabela E.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 12 máquinas. 142
Tabela E.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 143
Tabela E.10 - Apresentação do número de iterações executadas. 143
Tabela E.11 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 15 máquinas. 144
Tabela E.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 15 máquinas. 144
Tabela E.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 145
Tabela E.14 - Apresentação do número de iterações executadas. 145
Tabela E.15 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 20 máquinas. 146
Tabela E.16 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 20 máquinas. 146
Tabela E.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 147
Tabela E.18 - Apresentação do número de iterações executadas. 147
Tabela E.19 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 30 máquinas. 148
Tabela E.20 - ANOVA para fator f dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 30 máquinas. 148
xvii
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AG - Algoritmo genético. BB - Branch and Bound . BS - Beam-search. BT - Busca Tabu.
CSM - component supplier management.
FLP - Facility Layout Problem.
FMS - Sistema Flexível de Manufatura
GFLP - General Facility Layout Problem.
MLP - Machine Layout Problem.
QAP - Quadratic Assignment Problem .
SA - SimulatedAannealing.
TG - Tecnologia de grupo.
xviii
LISTA DE SÍMBOLOS
f(x) - Função objetivo
N - Tamanho da população.
f(s) - solução
δE - diferença entre os valores da função objetivo
k - número da iteração
t - temperatura atual
p(δE) - probabilidade da solução ser aceita
Tk+1
- temperatura inicial
Tk - temperatura final.
α - decréscimo exponencial da temperatura.
X - conjunto de soluções geradas. XxV ⊂)( - conjunto associado de soluções vizinhas
x’ - solução vizinha a x
sbest - melhor solução
s* - solução estrela
n - áreas de atividade
m - local possível de instalação de máquina
ikjhC - custo para alocar os departamentos i e j nas localizações k e h
ikX - localização da máquina
Z - definição do QAP
i - bloco
Ai - área do bloco
hi - altura do bloco
wi - largura do bloco
minifa - fator de aspecto mínimo
maxifa - fator de aspecto máximo
P - ponto de coleta de peças
xix
D - ponto de saída de peças
ix - coordenada do bloco
iy - coordenada do bloco
id - distância entre os centróides das máquinas
dem - interação/fluxo entre a instalação i e j
( )pkpk yx , e ( ) jikyx dkdk ,,, = - coordenadas dos pontos de coleta e saída da máquina k,
kw é a largura da máquina k, jik ,=
kh - é a altura da máquina k, jik ,=
kk yx , - são as coordenadas do centróide do bloco k, jik ,=
α - é o peso da função custo
β - peso da função de penalidade
n - número de máquinas
Iij - função de penalidade
Capítulo 1 Introdução 1
1 INTRODUÇÃO
O aumento de produtividade no setor industrial tem sido objeto de preocupação para
os responsáveis pela produção, em razão de um contexto industrial caracterizado por uma
concorrência cada vez mais forte. Os métodos baseados no conceito de Tecnologia de
Grupo (BURBIDGE (1975) apud CAUX et al. (1995)) constituem uma resposta eficiente para
o setor metal-mecânico destinado à produção em lotes pequenos e médios. Este conceito
repousa sobre o agrupamento de peças similares em famílias com o objetivo de fabricá-las
em células de manufatura ou linhas de produção, que reúnem máquinas especialmente
selecionadas para este fim. Isto conduz a uma busca por maior automatização, a uma
redução do tempo de preparação das máquinas, a uma padronização das ferramentas
empregadas e a uma redução dos ciclos de fabricação. Um sistema de produção pode ser
composto de um grande número de etapas que, individual ou coletivamente, interferem na
produtividade de todo o sistema. A etapa de fabricação tem uma importância particular. Com
efeito, em sistemas de produção do tipo jobshop, 5% do tempo destinado à execução de
uma peça é ocupado em operações de máquina e os 95% restantes são gastos em
movimentação e filas de espera. Destes 5%, apenas 30% são reservados à usinagem
propriamente dita, uma vez que a preparação das máquinas e outras tarefas consomem a
maior parte do tempo (CAUX et al. (1995)).
Em um sistema de produção organizado em células de fabricação, a administração
torna-se mais simples e eficiente, em decorrência imediata da decomposição do sistema
global de produção em subsistemas de menor dimensão. Há uma redução do tempo gasto
em transferências entre os postos de trabalho, do tempo de preparação das máquinas, da
quantidade de ferramentas, do tamanho dos lotes e do tempo total de fabricação
(MAHMOODI et al., 1990).
A Tecnologia de Grupo (GT) é um princípio, que decompõe um sistema global em
subsistemas mais simples, os quais são mais fáceis de gerenciar que o sistema como um
todo. Aplicado à manufatura, este princípio serve como base para a formação de células de
manufatura. De acordo com WEMMERLÖV e HYER (1989), as principais melhorias podem
ser esperadas na redução do tempo de deslocamento e manuseio de peças.
O problema da formação de layout consiste em agrupar máquinas (e eventualmente
ferramentas, operações, etc.) em células de manufatura tão independentes quanto possível,
satisfazendo o critério de desempenho, por exemplo, minimizando as movimentações extra-
celulares de peças. Neste caso, o processo de manufatura de peças é dado por uma matriz
Capítulo 1 Introdução 2
de incidência componente–máquina ou por uma matriz de fluxo máquina-máquina (CAUX et
al, 1995, CHENG et al, 1996) ou pela seqüência de operações de manufatura (NAGI, 1990).
Alguns trabalhos consideram que cada operação pode ser conseguida com um
conjunto de máquinas e consideram que cada peça tem um conjunto de diferentes
processos possíveis (LONGENDRAN, 1991). Associada a esta formulação do problema,
pode ser adicionada, como restrição, a capacidade de máquina (NAGI, 1990).
Neste trabalho, o foco é o problema da formação de layout, visando a minimização da
função objetivo que é a minimização da distância total percorrida por todas as peças dentro
da fábrica em função do layout gerado. Propõe-se o estudo da solução deste problema
através da implementação de um algoritmo de Busca Tabu, já que não é do conhecimento
do autor (e de seu orientador) que tais problemas específicos da formação do layout de
sistemas de manufatura tenham sido resolvidos usando a Busca Tabu. Na literatura foram
aplicados outros métodos heurísticos, como o simulated annealing. No capítulo 2 é realizada
uma revisão de literatura onde são identificadas as heurísticas mais utilizadas na resolução
de problemas de otimização. No capítulo 3 é apresentada uma visão geral do problema do
arranjo físico, onde são apresentados os problemas que ocorrem na formação de layouts,
bem como a definição das células de produção nos sistemas de manufatura. É apresentado
ainda o método de formação de células baseado na tecnologia de grupo e o planejamento
sistemático de layout. Foi realizada uma breve revisão sobre métodos estatísticos e análise
de variância, pois foi feito uso dessa ferramenta no tratamento dos resultados apresentados
pelos algoritmos implementado. No capítulo 4 é apresentada a formulação do problema de
formação de layout das instalações
1.1 Metodologia
Como método de pesquisa, será realizada a comparação entre a implementação do
algoritmo de Simulated Annealing apresentado por CHWIF et al. (1998) e os algoritmos de
Simulated Annealing e Busca Tabu implementados pelo autor, para os vários problemas
apresentados por TAM e LI (1991) e TAM (1992). A proposta deste trabalho é realizar uma
implementação e comparação entre as heurísticas citadas para os mesmos problemas e
função objetivo (minimização da distância total percorrida por todas as peças dentro da
fábrica em função do layout gerado) na formação dos layouts de sistemas de manufatura.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 3
2 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE LAYOUT OU ARRANJO
FÍSICO
Este capítulo visa descrever o problema de layout, também chamado de arranjo físico.
No presente texto, os termos layout e arranjo físico são usados indistintamente.
2.1 Introdução
DIAS (1993) define o arranjo físico (layout), como sendo a disposição de homens,
máquinas e materiais que permite integrar o fluxo de materiais e a operação dos
equipamentos de movimentação para que a armazenagem se processe dentro do padrão
máximo de economia e rendimento.
Para PEREIRA (2002) o layout de um armazém deve visar:
• Boa organização;
• Maximizar a utilização do espaço;
• Estocagem econômica, minimizando as despesas de equipamento, espaço, danos
de material e a mão-de-obra do armazém;
• Proporcionar movimentação de materiais da forma mais eficiente;
Para MEDEIROS (2002), o layout apresenta os seguintes objetivos na formação do
sistema de manufatura:
• Fornecer suficiente capacidade de produção.
• Reduzir o custo de manuseio de materiais.
• Adequar-se a restrições do lugar e do espaço físico.
• Permitir elevada utilização e produtividade da mão-de-obra e das máquinas.
• Fornecer flexibilidade de volume e produto.
• Permitir facilidade de manutenção.
• Atingir os objetivos com o menor investimento de capital.
• Promover carga e descarga eficiente de veículos de transporte.
• Permitir facilidade visualização dos estoques.
SLACK et al. (1997) listam algumas razões práticas para destacar a importância do
arranjo físico para a produção:
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 4
• A atividade é difícil e de longa duração, devido às dimensões dos materiais a serem
estocados e transportados;
• O rearranjo físico das posições de estocagem pode interromper o fluxo de materiais
provocando perdas de produção; e
• A construção do arranjo físico de forma inadequada pode levar a padrões de fluxos
excessivamente longos ou confusos, estoque excessivo de materiais, filas de
usuários ao longo da operação, tempos de processamento desnecessariamente
longos, operações inflexíveis, fluxos inflexíveis e de alto custo.
O fluxo de material é o caminho percorrido pelos materiais desde a hora em que
entram na empresa até o momento de saída. Um bom fluxo de materiais permite diminuir o
custo de movimentar materiais. MOURA (1997) considera que é possível conseguir, com o
arranjo físico do armazém, balancear três objetivos:
i) Bom fluxo de material;
ii) Custos de operação baixo para estocagem;
iii) Coleta e eficiente utilização do espaço de estocagem e do equipamento.
Para tanto, torna-se necessário considerar dois princípios básicos:
• O retrocesso deve ser minimizado. Os itens devem ser movimentados sempre em
direção à doca de expedição (figura 2.1b); e
• As atividades devem estar localizadas próximas, reduzindo a distância entre as
operações (figura 2.1b).
PEREIRA (2002) afirma que os layouts para minimizar estoques são diferentes dos
layouts que minimizam o deslocamento de peças tornando necessário o uso de layouts
diferentes para minimizar os custos globais operacionais, conforme mostram
respectivamente os layouts 2.1a e 2.1b.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 5
Figura 2.1 A e B - Diferença entre layout que minimiza estoque e deslocamento. (PEREIRA, 2002)
2.1.1 Tipos de arranjo físico
Existem algumas formas básicas da formação do layout no chão de fábrica e a
utilização de arranjos mistos aumenta em função do mix de produtos fabricados.
• Layout posicional
Neste tipo de layout o produto está fixo enquanto os trabalhadores movimentam-se à
sua volta, como pode ocorrer em locais com área pequena, ou construção de grandes
equipamentos (i.e.: navios, aviões, entre outros) como mostrado na figura 2.2.
Figura 2.2 – Layout posicional (TORRES, 2001).
• Layout funcional ou por processo
Nesta formação de layout as máquinas são organizadas de acordo com a função
desempenhada na fabricação das peças (jobshop), i.e.: agregação de tornos, fresadoras,
retíficas, entre outras, conforme figura 2.3.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 6
Figura 2.3 – Layout funcional (TORRES, 2001).
• Layout linear ou por produto
Nesta organização de layout as máquinas são alocadas de acordo com a seqüência
de fabricação do produto, situando-se uma após a outra, formando uma linha de
produção, facilitando o controle de processo e manipulação dos materiais, como visto na
figura 2.4.
Figura 2.4 – Layout linear (TORRES, 2001).
• Layout celular Neste tipo de arranjo a peça em fabricação entra em uma área (célula) do chão de
fábrica, onde serão realizadas várias etapas do seu processo de fabricação,
concentrando todos os recursos necessários para isso. Com o uso das células de
manufatura consegue-se minimizar o fluxo de peças por longas distâncias ao longo do
chão de fábrica, como mostrado na figura 2.5.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 7
Figura 2.5– Layout celular (TORRES, 2001).
Para TORRES (2001), na adoção do arranjo físico consideram-se como fatores
importantes a diversidade e quantidade de produtos, características dos produtos, formas e
trajetos de manipulação. O layout normalmente é definido pelo fluxo de materiais devido à
sua complexidade e intensidade de movimentações de peças na fábrica. Dessa forma se a
fábrica produz uma grande quantidade de apenas um tipo de produto, o layout tende para
um arranjo por produto ou linear (linha de produção). Agora, caso produza-se uma
quantidade pequena de uma gama variada de produtos, o arranjo pelo fluxo mostra-se
ineficiente, pois, na fabricação dos produtos, os processos são os mais variados. Nesse
caso, a escolha mais adequada é o arranjo funcional se as operações forem semelhantes
entre si. Para produzir uma quantidade pequena de peças de difícil movimentação, tende-se
para uma organização posicional do arranjo. A figura 2.6 representa a relação existente
entre variedade, quantidade e tipo de arranjo.
Figura 2.6- Variedade e Quantidade determinando o tipo de layout. (SLACK et al., 1997)
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 8
2.1.2 Fluxos
Existe uma forte relação entre o layout do chão de fábrica e o fluxo de materiais,
pessoas e informações que circulam na produção, como pode ser visto nos arranjos por
produto, onde existe uma forte correspondência entre seqüência de processos e a posição
das máquinas que os realizam.
Muitos fatores afetam o projeto do arranjo físico (i.e., número de peças, seqüência de
produção, área disponível, flexibilidade desejada, entre outros), o que torna uma avaliação
de alternativas baseada apenas em dados de fluxo em uma solução inadequada, podendo
afetar diretamente os métodos matemáticos e heurísticos de arranjo físico. Na figura 2.7 são
apresentados os tipos mais comuns de fluxo de peças.
Figura 2.7– Padrões de fluxos (TORRES, 2001).
2.1.3 Equipamentos de movimentação
Segundo PEREIRA (2002), a classificação dos equipamentos de movimentação de
materiais segue um esquema funcional, incluindo dispositivos para carga, descarga e
manuseio:
• Veículos industriais: carrinhos de vários tipos como tratores, trailers e veículos
especiais;
• Guindastes, talhas e elevadores: Guindastes, pontes rolantes, guinchos, monovias,
elevadores, entre outros;
• Transportadores: correias, correntes, fitas metálicas, roletes, rodízios, roscas e
vibratórios;
• Estruturas de suporte: suportes e plataformas, vasos, tanques, estrados, paletes,
entre outros.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 9
Existe uma grande variedade de equipamentos de movimentação de peças, podendo
ser agrupados por similaridades, como segue:
• Guinchos e pontes rolantes: operam sobre as áreas de armazenagem, sem usar os
corredores para movimentar cargas;
• Transportadores e esteiras: são muito usados na movimentação de uma grande
quantidade de peças ao longo de uma linha de produção;
• Empilhadeiras e pequenos veículos: meios mecânicos de movimentar peças,
evitando operações manuais lentas e cansativas.
Sendo assim, o projeto de movimentação de materiais deve considerar a aquisição de
equipamentos adequados, de forma a otimizar o fluxo de peças e materiais no interior da
fábrica.
2.2 Células de produção nos Sistemas Flexíveis de Manufatura (FMS)
Segundo DAGNONE (2000), as células de produção baseiam-se no princípio do
trabalho em grupo, no qual um grupo de pessoas deve trabalhar em uma equipe unida e
coesa, visando a maximização no desempenho de uma tarefa. As células de manufatura
baseiam-se em duas idéias: a primeira é que ao invés de organizar-se o espaço em linhas
de produção, onde grandes lotes de diferentes componentes e produtos não acabados
trafegam pelos variados tipos de máquinas, reparte-se a área em unidades celulares
autônomas, cada qual destinada à produção de um grupo de itens. Em cada célula reúne-se
todo o maquinário necessário à fabricação ou montagem daqueles produtos específicos.
Uma definição foi dada por HYDE e KINNEY Jr. (1987b): “Células de manufatura
constituem uma técnica de produzir lotes médios e pequenos de peças de diferentes
tamanhos, formatos e materiais que, entretanto, requerem processos de fabricação
similares, desempenhados em pequenos arranjos de máquinas agrupadas, especificamente
preparadas e seqüenciadas como uma unidade.”
Esta definição leva à identificação dos três passos envolvidos no desenho de uma
célula de manufatura:
• Selecionar as peças (criar famílias por similaridade de forma ou processo);
• Selecionar as máquinas;
• Arranjar fisicamente a célula e designar operadores para ela.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 10
Redefinir o sistema de produção de uma fábrica em células pode provocar mudança
na sua organização, principalmente nos layouts do chão de fábrica e à movimentação de
peças. Mudanças ocorrerão também no planejamento de processos e criação de peças
(concepção e design). Outra mudanças é a interface da célula criada aos elementos
externos à esta, impedindo replicação de dados e fabricação desnecessária de produtos,
apresentado na figura 2.8. DAGNONE (2000) mostra uma metodologia para o projeto de
células de manufatura, com cinco tipos de decisão,dependentes entre si:
• Seleção de peças;
• Seleção de máquinas;
• Layout, a partir da definição de equipamentos e o elenco de operadores;
• Seqüenciamento e controle da célula;
KINNEY Jr. (1987) define que a seleção de peças forma o conjunto de peças a
serem processadas na célula. Estas peças assemelham-se no processo como são
produzidas e as máquinas envolvidas também devem ser de alguma forma semelhantes.
Assim, torna-se necessária a consulta a um banco de dados que conterá informações como
rotas de processamento, atributos de peças, requerimentos de ferramentas, entre outras
informações necessárias, para determinar o agrupamento.
Figura 2.8 – Interface de uma célula de FMS com os demais sistemas da fábrica (DAGNONE, 2000).
Entre as técnicas adotadas para a formação de células (e, consequentemente, de
seu layout) pode-se citar a Tecnologia de Grupo (TG) e a Análise de Cluster(CAUX et
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 11
al.,1995). A segunda alternativa é um procedimento matemático mais complexo, que requer
o estudo das distâncias entre máquinas e células das quais fazem parte. A TG procura a
economia e a otimização de processos através de três princípios (CAUX et al.,1995):
• Layout de grupo;
• Ciclo de controle de fluxo curto;
• Seqüência planejada de uso de máquinas;
Fazer o agrupamento de peças em famílias através da TG pode facilitar o projeto de
células, sua localização na planta e a interação destas células entre si, de acordo com as
famílias de peças que serão geradas. O nível de utilização das máquinas, tempo de vida útil
e a formação de gargalos são critérios que podem ser levados em conta para esse
agrupamento. Dessa forma, tenta evitar-se que máquinas formadoras de gargalos sejam
alocadas em uma mesma célula. Os equipamentos, o layout e os operadores exercem papel
de importância, quando se considera que o volume de produção e o formato das peças
estão diretamente ligados à manipulação de peças na planta. É importante que o layout seja
tal que permita modificações quando necessário e que os operadores sejam multifuncionais.
A avaliação deve ser feita no dimensionamento da célula de acordo com as taxas de
produção de peças planejadas e o controle e programação da célula também são
considerados.
2.3 Sistemas de classificação e Tecnologia de Grupo
A Tecnologia de Grupo (TG) é uma filosofia de manufatura onde similaridades entre
peças ou processo são identificadas e agrupadas para aproveitar as vantagens de suas
similaridades. Segundo WEMMERLÖV e HYER (1986), o aproveitamento dessas
similaridades ocorre de três maneiras:
• Executando tarefas semelhantes conjuntamente, evitando perda de tempo com as
alterações necessárias para mudar de uma atividade (ie., redução do tempo de setup
entre operações);
• Padronizando tarefas similares, focando apenas nas diferenças necessárias (ie.,
redução da variedade de parafusos);
• Armazenando e recuperando (feedback) informações de forma eficiente,
principalmente as relacionadas com um problemas repetidos, reduzindo assim o
tempo de busca por informações e solução dos problemas (ie., utilizar em um novo
produto, componentes de um outro já existente);
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 12
• Realizando as atividades acima pode-se reduzir a diversidade dos itens usados na
fabricação (ie., peças compradas e fabricadas, dispositivos de fixação, ferramentas,
entre outros).
TATIKONDA e WEMMERLÖV (1992) definem as famílias da TG como uma reunião
de objetos (peças) com características similares (de projeto, manufatura, entre outros)
identificadas para um propósito definido. Todos os objetos da família usam métodos
similares de fabricação, obtendo-se ganhos pelo processamento conjunto dessas peças. O
projeto e a manufatura são os principais campos de aplicação da TG.
Na manufatura o aumento de eficiência vêm da: redução dos tempos de setup,
programação seqüenciada de peças da mesma família, melhoria no controle do processo,
planos de processo e instruções padronizadas, formação de células de manufatura e
possibilidade de aumento da qualidade (CAUX et al. 1995).
As vantagens no projeto vêm da otimização na recuperação de informações e na
padronização de itens, onde se usam peças padronizadas na concepção de novos produtos.
Três tipos de atividades são necessárias para implementar a TG:
• Determinação dos critérios para um item pertencer ou não a uma família, alocando
esses itens e equipamentos nas famílias estabelecidas;
• Recuperação das informações relativas aos membros da família;
• Codificar a representação da família e suas classes em uma base de dados;
Segundo TATIKONDA e WEMMERLÖV (1992), os sistemas de classificação surgem
como um grande auxílio para a TG fornecendo uma estrutura para classificar os objetos
(peças ou máquinas) em famílias baseada em atributos selecionados para esses objetos.
Diversos Sistemas de Codificação e Classificação (SCC) surgiram nas últimas décadas, de
acordo com as necessidades de cada empresa, não existindo um sistema universal.
GROOVER (1987) e WEMMERLÖV e HYER (1986), resumem os principais benefícios de
um SCC bem projetado:
• Formação de famílias de peças e células de máquinas (atualmente pouco usado pois
as heurísticas específicas são mais eficientes para essa aplicação. ie.: algoritmos
genéticos);
• Recuperação rápida de desenhos, projetos e planos de processos;
• Estabelecimento de uma base de dados principal.
• Padronização do projeto do produto;
• Racionalização de ferramental e redução do tempo de preparação da máquina e do
tempo total de produção;
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 13
• Estatísticas de peças seguras e confiáveis;
• Estimativa precisa dos requisitos das máquinas-ferramenta e carga de máquina;
• Racionalização do projeto do ferramental, com redução do seu custo e tempo de
fabricação;
• Padronização de processos e ferramental;
• Maximização do planejamento e programação da produção;
• Maximização da utilização das máquinas-ferramenta, dispositivos e mão-de-obra;
Em essência, a TG tenta decompor os sistemas de manufatura em vários
subsistemas, para fazer o agrupamento das máquinas em células. A célula ideal é
independente, ou seja, as famílias de peças são completamente produzidas dentro da
célula. Os benefícios são: a simplificação de controle, de implementação e de automação;
redução dos tempos de preparação (setup), entre a entrada de material e a saída de produto
(throughput), contribuindo para o aumento da qualidade do produto final. Os métodos para
formação de células de manufatura podem ser classificados como orientados pelo projeto ou
pela produção. Enquanto os métodos orientados por projeto agrupam partes baseando-se
em características de seu projeto (similaridades entre componentes), os métodos orientados
por produção o fazem baseando-se nos processos requeridos para sua produção.
Segundo IRANI (1999), os primeiros trabalhos nesta área foram feitos por
MITROFANOV (1963) e BURBIDGE(1963). BURBIDGE (1963) implementou a análise do
fluxo de produção, sendo uma das primeiras e mais reconhecidas metodologias associadas
com tecnologia de grupo. O objetivo destas técnicas é obter células de máquinas
independentes, normalmente, minimizando o movimento extra-celular das peças.
Uma das formas mais comuns de tratar o problema é através da matriz de incidência
peças x máquinas, cujos elementos são zeros ou uns, indicando quais máquinas são
usadas na produção de cada peça. Na matriz 0-1 mostrada na figura 2.9 as linhas
correspondem às peças e as colunas às máquinas (ou vice-versa) e se aij =1, então a parte i
necessita da máquina j para sua produção. Os algoritmos de formação de células fazem a
manipulação de linhas e colunas de forma a produzir agrupamentos, o que os torna
basicamente algoritmos para problemas de agrupamento, ou clustering (figura 2.10).
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 14
Figura 2.9 – Matriz de peças e máquinas (RIBEIRO, 2000).
Figura 2.10 – Matriz de peças e máquinas em células (RIBEIRO, 2000).
O agrupamento de máquinas e componentes, visando a formação de células de
fabricação é um problema matemático complexo (KUSIAK, 1987). Dada a matriz de
incidência na forma (peças x máquinas) ou (peças x tipos de máquinas), onde os tipos de
máquinas podem ser tornos, fresadoras, entre outras, é necessário rearranjar as linhas e as
colunas desta matriz, formando uma estrutura bloco-diagonal.
A figura 2.11 apresenta uma matriz de incidência (peças x máquinas) após o
procedimento de bloco-diagonalização. Nesta figura, os valores dos elementos representam
o tempo de execução da peça i na máquina j. Os elementos dentro dos blocos formam as
células de fabricação. Os elementos fora dos blocos são os chamados movimentos
extracelulares e na prática são indesejáveis. Por isto, no projeto das células de produção
procura-se minimizar o número de movimentos extracelulares e equilibrar a carga de
trabalho entre as células.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 15
Figura 2.11 - Matriz de incidência com agrupamento (RIBEIRO, 2000).
RIBEIRO (2000) mostra que muitas técnicas têm sido utilizadas para fazer a bloco-
diagonalização da matriz de incidência, projetar as células de fabricação e aplicar a TG na
fábrica. Citam-se entre elas a programação matemática, branch and bound, lógica fuzzy,
algoritmos genéticos, redes neurais e metaheurísticas, como o simulated annealing. Hoje
existem sistemas de gerenciamento de componentes e suprimentos (CSM - component
supplier management), com o suporte para busca de semelhanças no desenvolvimento de
produto.
Pode ocorrer confusão entre a TG e os sistemas de classificação e o projeto de
células de manufatura. Deve ficar claro que o sistema de classificação é um meio para a
implantação da TG, e a célula de manufatura é uma das aplicações de TG.
2.4 Planejamento Sistemático de Layout (SLP)
Para planejar a distribuição física dos elementos produtivos disponíveis, MUTHER e
WHEELER (2000) salientam que o arranjo das áreas de trabalho nasceu com o comércio,
com o artesanato e com a execução de trabalhos produtivos. A partir do desenvolvimento de
sistemas produtivos, mais atenção passou a ser dada à utilização do espaço. Uma série de
desenvolvimentos no planejamento de arranjos físicos é atribuída aos engenheiros químicos
e de mineração alemães; a produtores de vagões canadenses; produtores de automóveis de
Detroit e a construtores de navios britânicos. Os profissionais da área Industrial aprenderam
a relacionar suas estruturas às necessidades funcionais, adaptando-as ao espaço
necessário disponível.
O SLP é uma estruturação de fases que o projeto deve passar, fazendo uso de um
padrão de procedimentos para o planejamento contínuo e, de um conjunto de convenções
para identificação, visualização e classificação de várias atividades, relações e alternativas
envolvidas em qualquer projeto de layout.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 16
De acordo com GENARO e CALDEIRA (2003) para o desenvolvimento de um projeto
de layout há necessidade das seguintes etapas:
• Levantamento: faz-se um diagnóstico detalhado das características da organização,
seus colaboradores, materiais e equipamentos e os fluxos de trabalho rotineiros;
• Planejamento de soluções: identifica-se os pontos passíveis de modificações. São
levantadas as possíveis soluções, identificadas as intervenções físicas (obras) e
projetadas as melhorias que deverão ser observadas na proposição do novo layout.;
• Crítica do Planejamento: Uma vez encontradas as soluções consideradas
promissoras, apresenta-se aos usuários o layout proposto, permitindo um
aprimoramento e aceitação das mudanças;
• Implantação: faz-se a implementação do layout proposto, com a alocação dos objetos
e equipamentos nos lugares previstos;
• Controle de resultados: faz-se um diagnóstico detalhado das características da
organização, seus colaboradores, materiais e equipamentos e os fluxos de trabalho
rotineiros.
MUTHER e WHEELER (2000) desenvolveram o SLP baseado na entrada de dados,
nos fluxos de materiais e nas relações entre os postos de trabalho, onde diagramas de
movimento e de relações são produzidos, fazendo-se a alocação dos postos de trabalho
espacialmente, introduzindo o diagrama de relações e a escala AEIOUX (onde cada letra
assume um significado diferente: A = absolutamente necessário, E = muito importante, I =
importante, O = pouco importante, U = desprezível e X = indesejável) para a visualização da
importância da relação e proximidade dos postos de trabalho e a inclusão de fatores
quantitativos (i.e., custos de transporte), mostrado na figura 2.12.
As relações espaciais, combinadas com o diagrama de relações, levam à construção
do Diagrama Espaço-Relacional, também chamado de Diagrama de Blocos, que é o
resultado de layout através da alocação e ajuste dos espaços necessários. O diagrama
espaço-relacional é criado baseado no mapa de inter-relação, ligando as diversas células ou
máquinas, como é mostrado na figura 2.13.
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 17
Figura 2.12 – Planejamento Sistemático de Layout (MUTHER e WHEELER, 2000).
Figura 2.13 – Diagrama espaço-relacional (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000).
Parte-se então para a elaboração de um layout inicial baseado no diagrama de re-
lacionamentos, ignorando-se espaços e restrições de construção.
1 2 34 5
Figura 2.14 – Elaboração do layout inicial (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000).
De acordo com TREIN (2001), o planejamento SLP pode ser usado
seqüencialmente, desenvolvendo inicialmente um layout de um Diagrama de Blocos, e
depois, um layout detalhado de cada planejamento setorial. No final, as relações entre os
postos de trabalho, localização das áreas de estocagem e as entradas e saídas de cada
setor são usadas para determinar a localização relativa das atividades.
A figura 2.15 apresenta um esquema gráfico do SLP apresentado por TREIN (2001).
O procedimento é dividido em três fases denominadas: análise, pesquisa e seleção. Na
Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 18
análise, coleta-se os dados da área selecionada e os níveis de relacionamento entre os
postos de trabalho e as necessidades e disponibilidade de espaço. Na pesquisa definem-se
as limitações reais e, com a elaboração do diagrama espaço-relacional, elaboram-se as
alternativas de layout. Na terceira fase, avaliam-se as alterações propostas e prepara-se
para a mudança de layout.
Figura 2.15– Procedimento do Planejamento Sistemático de Layout (SLP) (TREIN, 2001).
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 19
3 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO
3.1 Introdução
A otimização visa determinar a melhor solução de um problema sem ter que
necessariamente testar todas as possibilidades envolvidas. Problemas de otimização são
caracterizados por situações em que se deseja maximizar ou minimizar uma função
numérica de várias variáveis, num contexto em que podem existir restrições. Tanto as
funções como as restrições dependem dos valores assumidos pelas variáveis do modelo ao
longo do procedimento de otimização.
Técnicas clássicas de otimização são confiáveis e possuem aplicações nos mais
diferentes campos de engenharia e de outras ciências. Porém, estas técnicas podem
apresentar algumas dificuldades numéricas e problemas de robustez relacionados com: a
falta de continuidade das funções a serem otimizadas ou de suas restrições, funções não
convexas, multi-modalidade, existência de ruídos nas funções, necessidade de se trabalhar
com valores discretos para as variáveis, existência de mínimos ou máximos locais, etc.
Assim, os estudos de métodos heurísticos com busca controlada por critérios estocásticos,
são uma tendência de uso nos últimos anos, principalmente devido ao avanço dos recursos
computacionais, pois um fator limitante destes métodos é a necessidade de um número
elevado de avaliações da função objetivo (SCHWEFEL e TAYLOR, 1994). Métodos
heurísticos são abordagens que não garantem a geração e a identificação da solução ótima
do problema tratado, mas permitem que novas soluções sejam avaliadas a cada iteração,
sendo adequados quando métodos exatos, como a programação matemática, não são
capazes de gerar soluções dentro de um tempo de busca considerado aceitável pelo usuário
ou, mesmo, quando não se consegue modelar o problema satisfatoriamente usando-se
métodos exatos (RODRIGUES, 2006).
Os algoritmos genéticos são mecanismos de busca heurística baseados nos
processos de seleção natural da luta pela vida e da genética de populações. Trata-se de um
método pseudo-aleatório; portanto, pode-se dizer que é um método, um procedimento de
exploração inteligente, no espaço de parâmetros codificados (BRAGA, 1998).
Segundo SARAMAGO (2003), o surgimento dos algoritmos genéticos ocorreu a partir
da década 1950 quando alguns biólogos buscavam técnicas computacionais para a
simulação de sistemas biológicos. De acordo com SARAMAGO (2003), entre 1960 e 1970,
na Universidade de Michigan, iniciou-se o estudo de algoritmos genéticos como os
conhecidos atualmente. GOLDBERG (1989) apresentou a solução de complexos problemas
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 20
de engenharia usando algoritmos genéticos, o que ajudou o método a se tornar popular
entre os pesquisadores.
O Simulated Annealing pertence à classe de métodos que tentam simular os
processos usados pela natureza para resolver problemas difíceis. Neste caso, a analogia é
com o crescimento de um cristal simples de um metal fundido, que corresponde a encontrar
o mínimo local da energia interna do metal, que é uma função da disposição dos átomos
(FARIA E SARAMAGO, 2001).
A Busca Tabu também é uma heurística frequentemente usada em problemas de
otimização combinatória. A origem da Busca Tabu se deu na década de 70 e ela foi
primeiramente apresentada por GLOVER (1986). Segundo VIANA (1998), essa heurística
apresenta três princípios: i) uso de uma estrutura de dados (lista) para “guardar” o histórico
da evolução do processo de busca; ii) uso de um mecanismo de controle para fazer um
balanceamento entre a aceitação, ou não, de uma nova configuração, com base nas
informações registradas na “lista tabu” referentes às restrições e aspirações desejadas; e iii)
incorporação de procedimentos que alternam as estratégias de diversificação e
intensificação.
3.2 Algoritmos Genéticos
Segundo GOMES (2003), os algoritmos genéticos (AG) são usados quando
necessita-se uma ferramenta computacional na busca de soluções para problemas
complexos, como aprendizagem de máquinas, planejamento da movimentação de robôs,
reconhecimento de padrões, detecção de imagem, entre outros. O AG é uma heurística
baseada na teoria da seleção natural de Charles Darwin, onde uma população de indivíduos
evolui baseada na seleção natural, onde o mais forte tem mais chance de sobreviver. Dessa
forma, os AGs adquirem os conceitos de pais, filhos, clonagem, cruzamento (crossover),
mutação, população, entre outros. A população é, por analogia, o conjunto de soluções. Os
AGs partem de uma população de indivíduos como solução inicial, e não de uma única
solução inicial como acontece com o simulated annealing e a busca tabu. A população de
indivíduos pode ser gerada aleatoriamente ou não, na qual cada indivíduo sofre uma
avaliação (aplicação da função objetivo), onde os melhores terão chances de sofrerem
manipulações genéticas, como cruzamento (crossover), mutação, ou até clonagem. A
clonagem faz a cópia de um indivíduo, fazendo com que o mesmo permaneça na população
na geração seguinte.
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 21
Outros termos dos sistemas naturais são usados de forma análoga, como um
cromossomo (que fazem a representação da solução ou indivíduo); gene (define uma
característica da solução); alelo (um estado particular do gene); lócus (posição do gene no
cromossomo); genótipo (estrutura) e fenótipo (forma ou modelo dos indivíduos dominantes).
Segundo CORRÊA (2000), o genótipo é a variável independente da função objetivo f(x) e o
fenótipo é a variável dependente, ou seja, é o valor da função objetivo.
VIANA (1998) descreve o conceito de schema ou máscara, que é um modelo de
representação dos cromossomos parecidos através da inclusão de um símbolo especial (*)
na seqüência do gene. Por exemplo, nos cromossomos representados por genes binários (0
ou 1), o schema (*10*1) representa quatro possíveis configurações: (01001), (01011),
(11001) e (11011). A figura 3.1, como mostra CORRÊA (2000), apresenta de forma mais
detalhada esses conceitos citados anteriormente.
Figura 3.1 - Representação de um cromossomo na Biologia e em AGs.
Segundo BEASLEY et al. (2001), os princípios básicos dos AGs foram primeiro
estabelecidos rigorosamente por HOLLAND (1975). Conforme VIANA (1998), os AGs
apresentam as seguintes características:
a) são de uso geral (metas-heurísticas);
b) trabalham unicamente com o valor da função objetivo;
c) técnicas de randomização;
d) utilizam regras probabilísticas;
e) são abrangentes (robustos).
De acordo com BARCELOS (2000), o AG pode ser descrito em seis passos:
a) Inicie uma população de tamanho N, gerando cromossomos aleatoriamente ou não;
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 22
b) Para cada cromossomo da população, aplique a função de avaliação (ou função
objetivo);
c) Através de combinação entre os cromossomos selecionados dessa população, faça a
geração de novos cromossomos. Execute recombinação e mutação nestes
cromossomos;
d) Elimine membros da antiga população e obtenha espaço para os novos
cromossomos, mantendo a população com o mesmo tamanho N;
e) Execute a função de avaliação a esses novos cromossomos e insira-os na
população;
f) Se gerou-se solução satisfatória ou o tempo ou número de gerações esgotaram-se,
retorne o melhor cromossomo encontrado. Caso contrário, volte ao passo (c).
3.2.1 Cruzamento (Crossover)
Segundo GOMES (2003), o crossover é a operação de recombinação das estruturas
genéticas da população. Provoca uma diversificação ao gerar estruturas diferentes das
atuais. No crossover escolhe-se dois cromossomos pais aleatoriamente e troca-se partes de
seu padrão genético. Quanto melhor o valor da função de avaliação de um cromossomo,
maior será a chance de ele ser selecionado para o crossover.
De acordo com BARROS NETO (1997), o processo de crossover faz cortes nos
cromossomos pais que serão trocados seguindo uma regra pré-definida. Os cortes podem
ser fixos para todos os cromossomos ou aleatórios. Existem, basicamente, dois tipos de
crossover, sendo crossover em um ou mais pontos do cromossomo ou crossover uniforme.
O operador crossover é aplicado aos indivíduos da população com uma probabilidade
constante, geralmente entre 0,5 e 0,8. A figura 3.2 ilustra o crossover uniforme, no qual cada
gene do descendente é escolhido aleatoriamente dos correspondentes genes dos pais
Figura 3.2 - Crossover uniforme (BARROS NETO, 1997)
GOMES (2003) afirma que entre os vários tipos de crossover, o do tipo uniforme
parece ser o mais robusto. De forma semelhante, BEASLEY et al. (2001) afirma que o
crossover uniforme parece melhor. Se dois cromossomos pais são semelhantes, os
segmentos modificados pelo crossover em dois pontos serão idênticos, gerando
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 23
descendentes idênticos aos pais. Com o crossover uniforme há uma menor probabilidade
disso acontecer, tendo a vantagem da ordem dos genes ser irrelevante. Isto significa que
operadores de reordenação são desnecessários, excluindo assim a preocupação sobre o
posicionamento dos genes.
3.2.2 Mutação
VIANA (1998) afirma que: “esta operação corresponde a uma pequena perturbação
numa configuração que tem por objetivo tentar regenerar algum indivíduo que, por ‘culpa’ da
lei da probabilidade, foi eliminado de forma inesperada”.
Na mutação seleciona-se uma posição no cromossomo e muda-se o valor do gene
aleatoriamente para um outro alelo possível, sendo um processo semelhante à busca
aleatória. A mutação segue uma probabilidade, mas ela é menor do que aquela que foi
especificada para o crossover porque, por analogia ao processo de evolução natural das
espécies, a mutação tem um caráter negativo. Essa probabilidade é de no máximo 0,2. A
Figura 3.3 a seguir ilustra uma operação de mutação.
Figura 3.3 - Mutação (BARROS NETO, 1997).
Além dos operadores genéticos (mutação e crossover), o tamanho da população,
representação do cromossomo (ou codificação), critério de parada e a determinação da
função objetivo (ou função de fitness) têm muita importância para que se consiga uma boa
performance do AG.
3.3 Simulated Annealing (SA)
Segundo SILVA (2004), o Simulated Annealing (SA), conhecido em português como
recozimento ou têmpera simulada, foi proposto por KIRKPATRICK et al. (1983), sendo uma
técnica de busca local probabilística baseada em uma analogia com mudança de estado dos
materiais, ao simular o resfriamento lento da matéria, após ser aquecida até o estado líquido
(AARTS, 1989). O SA é a técnica que se popularizou na década passada, e desde então
têm se mostrado um método efetivo de busca para um grande número de problemas.
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 24
A analogia com o processo de mudança de estado dos materiais é bastante direta. A
função objetivo substitui a energia, os diversos estados da matéria substituem as possíveis
soluções, os estados meta-estáveis da matéria seriam os ótimos locais e a estrutura
cristalina (considerando um cristal sendo resfriado) sendo o possível ótimo global. O
parâmetro mais importante, e que regula o processo do SA, é a temperatura (T). O valor da
temperatura inicial e o fator de decrescimento dessa temperatura (resfriamento) são fatores
muito importantes para uma boa performance do SA. Este algoritmo se decompõe em duas
grandes buscas sobrepostas. A busca externa controla o término do processo e é baseada
na noção de estado resfriado. A busca interna contém o processo de otimização local ou
intensificação. A variável s* (solução estrela) representa a melhor solução encontrada
durante a execução do algoritmo.
Segundo BLUM e ROLI (2001), o algoritmo começa gerando uma solução inicial
(construída aleatoria ou heuristicamente) e por inicializar a temperatura. Repete-se o
processo de busca até que algum critério de parada seja satisfeito, como por exemplo o
tempo máximo de processamento ou número máximo de iterações, quando é encontrada
uma solução s com função de avaliação, f(s), menor que um valor predefinido, ou um
número máximo de iterações sem alcançar um melhoramento (RODRIGUES, 2006).
O SA também aceita movimentos que piorem a solução vigente. Esses movimentos
não são freqüentes e acontecem seguindo uma probabilidade, o critério de Metrópolis, que é
mostrada na equação 3.1. δE é a diferença entre os valores da função objetivo e tk é o valor
da temperatura na iteração k.
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=
ktEEp δδ exp)( Eq. 3.1
É gerado um número aleatoriamente e se o mesmo for menor do que a probabilidade
p(δE), a solução é aceita. Com isso, é possível piorar a solução para que se possa alcançar
outras regiões dentro do espaço de busca (vizinhança) e assim poder chegar posteriormente
a uma solução de melhor qualidade (mais próxima possível da solução ótima global). Fica
claro, através da equação 3.1, que essa probabilidade de aceitação depende muito da
temperatura e da diferença entre os valores da função objetivo das duas soluções que estão
sendo comparadas. Assim, quanto maior a temperatura, maior a probabilidade de aceitação
de uma solução pior do que a solução corrente. Já para uma dada temperatura, quanto
maior a diferença entre os valores da função objetivo, menor a probabilidade de aceitar
movimentos que “degradam” a solução. Na figura 3.4 é apresentada uma formulação geral
do algoritmo de SA.
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 25
Figura 3.4 - Formulação geral do SA (NORONHA et al., 2001).
O processo de resfriamento é um fator importante para o SA, mas um resfriamento
que converge para um ótimo global é impraticável, pois necessitaria de um tempo infinito
para atingi-lo. Adotam-se então uma programação com resfriamento mais rápido. Uma das
mais usadas segue uma lei geométrica: Tk+1
= α Tk, no qual k se refere à iteração k e α
estará no intervalo ]0,1[ , que corresponde a um decréscimo exponencial da temperatura.
Geralmente o valor de α oscila entre 0,90 e 0,99.
BLUM e ROLI (2001) também acrescentam que a regra de resfriamento pode variar
durante a busca, com o objetivo de ajustar o balanço entre diversificação e intensificação.
Por exemplo, no início da busca, a temperatura T pode ser constante ou decrescer
linearmente, favorecendo assim mais a diversificação. Então, T pode seguir uma regra,
como a geométrica, para convergir para um mínimo local no fim da busca, ou seja,
intensificado mais do que diversificando.
Existe também uma técnica, comumente usada, no processo do SA chamado de
reannealing. Esse processo nada mais é do que promover um reaquecimento no processo.
Ou seja, o sistema é novamente aquecido. Essa técnica pode ser utilizada em casos quando
é verificado que a solução está permanecendo por muitas iterações sem ser melhorada.
Portanto, é promovido um reaquecimento no sistema com a finalidade de escapar de um
possível ótimo local, para que se possa atingir outras regiões e assim tentar melhorar a
solução.
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 26
A meta-heurística Simulated Annealing apresenta as vantagens e desvantagens
descritas a seguir. As vantagens se referem à mesma apresentar uma implementação
simples, pois só visita uma única solução a cada iteração, bastando calcular o valor da
função objetivo da solução vizinha gerada. Além disso, Simulated Annealing pode lidar com
modelos altamente não-lineares, dados caóticos e muitas restrições. Ela é uma técnica
robusta em geral (BUSSETI, 2001a). BUSSETI (2001a) afirma que: “Sua principal vantagem
sobre os outros métodos é a sua habilidade e flexibilidade para se aproximar do ótimo
global. O algoritmo é bastante versátil desde que ele não dependa de alguma propriedade
restritiva do modelo”.
BUSSETI (2001a) também afirma que os métodos SA apresentam a vantagem de
serem facilmente “ajustados”, pois para qualquer sistema estocástico ou não-linear
razoavelmente difícil, um dado algoritmo de otimização pode ser ajustado para aumentar
sua performance, requerendo, subseqüentemente, tempo e esforço para se tornar familiar
com um dado código. A habilidade para ajustar um dado algoritmo, para usar em mais de
um problema, deve ser considerada uma característica importante de uma meta-heurística.
Porém, o SA apresenta algumas desvantagens:
a) Apesar de convergir para a solução ótima, a velocidade de redução de temperatura
exigida implica em visitar um número exponencial de soluções;
b) A princípio é necessário um processo lento de resfriamento e isso resulta em tempos
elevados de processamento;
c) É menos inteligente, pois normalmente só usa a variação do valor da função objetivo
como informação do problema.
No caso do SA implementado pelo autor e seu orientador (denominado SA_Tiago)
foram atingidos bons resultados adicionado-se inteligência no algoritmo, com a proibição por
exemplo dos movimentos de sobreposição de máquinas, pois na prática não é algo viável no
chão de fábrica, embora os problemas apresentados na literatura permitissem esta
sobreposição.
3.4 Busca Tabu (BT)
A Busca Tabu é uma heurística que realiza uma busca na vizinhança da solução
vigente. A partir de uma solução vigente realiza-se uma pesquisa por soluções melhores na
vizinhança desta solução, empregando-se as restrições (contidas na Lista Tabu) para
impedir certos movimentos (ou soluções), por um número definido de iterações (GLOVER,
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 27
1997). Isto é, realiza-se uma busca iterativa na vizinhança definindo como nova solução
aquela com melhor valor da função objetivo. Vizinhança é o conjunto de soluções possíveis
de serem geradas a partir de uma solução dada. Caso não ocorram movimentos que
melhorem a solução, em relação à solução vigente, a Busca Tabu realizará o movimento
que degrada menos o valor da função objetivo.
3.4.1 Lista Tabu
A Busca Tabu trabalha com estruturas de memórias entre as quais a mais usada é a
Lista Tabu, onde ficam armazenados os últimos movimentos realizados, com a função de
evitar que a busca fique presa em pontos de mínimo ou máximo local, provocando a
realização de ciclos. Os movimentos armazenados na Lista Tabu ficam proibidos por um
determinado número de iterações, sendo esse número normalmente relacionado com o
número de movimentos possíveis a partir da nova solução vigente e pode ainda ser
relacionada com o número total de iterações do algoritmo (GLOVER, 1997).
3.4.2 Busca de Soluções Vizinhas
Cada solução Xx∈ , onde X representa o conjunto das soluções que podem ser
geradas têm um conjunto associado de soluções vizinhas XxV ⊂)( , que são chamadas de
soluções vizinhas a x. Toda solução vizinha )(' xVx∈ pode ser gerada a partir de x através
da realização de um movimento. Na Busca Tabu, soluções vizinhas são simétricas, ou seja,
x’ é solução vizinha a x se e somente se x é solução vizinha a x’.
3.4.3 Critérios de Aspiração
Na geração de uma solução vizinha, não pode ser realizado um movimento tabu, ou
seja, contido na lista. Mas, com o objetivo de melhorar ao algoritmo, são definidos alguns
critérios que definem quando um movimento tabu pode ser quebrado, ou seja, é realizado
um movimento proibido. Este critério é o “critério de aspiração” e é utilizado se a solução
formada por um determinado movimento proibido for melhor que a melhor solução
encontrada até o momento (GLOVER, 1997, LAGUNA, 1994).
3.4.4 Diversificação e Intensificação
A Busca Tabu utiliza-se de estratégias como a diversificação e a intensificação, que
evita que a busca fique presa ou deixe de explorar algumas regiões. A intensificação permite
que a busca por soluções em uma certa vizinhança mais promissora seja intensificada
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 28
nessa região. Durante a intensificação, espera-se por melhoras freqüentes na solução
vigente.
Quando a busca fica “presa” em uma região (de mínimos ou máximos locais), ou
seja, quando são realizadas diversas iterações sem melhora da função objetivo, deve ser
realizada uma diversificação, onde a busca é deslocada para outra região ainda não
explorada. Caso não seja realizada a diversificação, a busca pode ficar presa em
determinada região, sem melhorar a solução e sem conseguir sair desta região, provocando
a ocorrência de ciclos. Por isso, a diversificação permite que o algoritmo faça uma busca
mais abrangente em todo o universo de soluções que podem ser obtidas.
Na figura 3.5 é apresentada a implementação do algoritmo básico de Busca Tabu
(RIBEIRO e SOUZA, 2000). Na linha 1, o algoritmo será executado até que o critério de
parada definido seja atingido. Normalmente, o critério de parada é o número máximo de
iterações realizadas sem melhora na função vigente. No final do algoritmo o valor da melhor
solução encontrada fica armazenada na variável sbest, apresentado na linha 11.
Na linha 2 é gerada a solução inicial, o que sempre ocorre quando o algortimo é
iniciado ou é realizada uma diversificação. Então, na linha 3, a solução armazenada na
variável s é atribuída à variável s* (solução estrela). Na linha 5 faz-se a busca na vizinhança
e são geradas as soluções vizinhas da solução vigente s. Na linha 6 a melhor solução
vizinha encontrada é atribuída à variável s’. Na linha 7 é verificado se a solução s’ é melhor
que a solução s*. Caso afirmativo, na linha 8 a solução armazenada em s’ é atribuída para
s*. O laço entre as linhas 4 e 8 é executado até que o critério de parada da intensificação
ocorra. Este critério é um número máximo de iterações sem que s* seja melhorado. Ao sair
do laço entre as linhas 4 e 8, verifica-se na linha 9 se a solução s* é melhor que a melhor
solução encontrada até o momento. Se s* é melhor então na linha 10 é armazenada na
variável sbest.
Uma alternativa ao uso da diversificação é utilizar as melhores soluções encontradas
até o momento, como fez SILVA (2004) propondo um método estocástico que gera uma
solução baseada na probabilidade de ocorrência dos movimentos das melhores soluções já
geradas, que ficaram armazenadas em uma memória denominada de adaptativa. Isto é
feito combinando-se de maneira aleatória a probabilidade das soluções armazenadas na
“Memória Adaptativa”, proposta pelo autor, e o valor da função objetivo associado a elas. Ao
implementar a memória adaptativa ocorre um aumento do custo computacional por causa da
necessidade de armazenamento das melhores soluções e o cálculo da probabilidade para a
geração de novas soluções. Outras formas de diversificação são a aleatória e vários
movimentos de troca (swap) consecutivos.
Capítulo 3 – Técnicas de otimização 29
1. Enquanto o critério de parada da Diversificação não é atingido, faça:
2. Gerar uma solução inicial (s)
3. s* = s; sbest = s;
4. Enquanto o critério de parada da Intensificação não é encontrada,faça:
5. Gerar a vizinhança de s e selecione a melhor solução vizinha (s')
6. s = s'
7. Se s' é melhor que s* então
8. s* = s'
9. Se s* é melhor que sbest então
10. sbest = s*
11.Retornar sbest Figura 3.5 - Algoritmo básico de Busca Tabu.
3.4.5 Busca Tabu Reativa
Segundo SILVA (2004), na busca tabu reativa faz-se uso de uma lista tabu dinâmica,
ou seja, de tamanho variável, e pode-se penalizar a repetição de soluções evitando que a
busca fique presa em regiões de mínimo ou máximo local e diminuindo a ocorrência de
ciclos, forçando a busca de novas soluções em outras regiões. A mudança no tamanho da
lista tabu pode ser obtida após um dado número de repetições da mesma solução e caso
essa situação ocorra, executa-se o procedimento de diversificação, forçando a busca a sair
da região que está gerando soluções repetidas.
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 30
4 LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA
4.1 Introdução
De acordo com CHWIF et al. (1998), o problema de layout de instalações (Facility
Layout Problem - FLP) visa encontrar uma alocação relativa ótima entre as máquinas.
KOUVELIS et al. (1992) aponta que a alocação ótima das instalações é uma das mais
importantes questões que devem ser resolvidas em estágios iniciais de projeto do sistema
de manufatura. Além disso, os custos de operação podem ser reduzidos, aumentando a
produtividade. Observou-se que 20 a 50% do total de despesas na operação do sistema de
manufatura são relacionadas à manipulação de material e à disposição do mesmo no chão
de fábrica.
4.2 Descrição do problema de layout de instalações
Diversas formulações foram dirigidas na literatura para resolver o problema de layout
de instalações. Um grande número de métodos ou técnicas têm sido propostos e podem
ser grosseiramente classificados em métodos ótimos ou sub-ótimos. Alguns autores
tentaram resolver este problemas usando técnicas de busca em árvore, como Branch and
Bound (BB), busca em feixe (Beam-search - BS) e técnicas derivadas (como FBS, DCBS) .
Outros métodos foram propostos baseados em teoria de grafos (CHWIF et al. (1998)).
A abordagem tradicional na resolução do problema do layout é o uso de uma
formulação matemática combinatorial definida por QAP (TORRES, 2001). O QAP (Quadratic
Assignment Problem) atribui n máquinas ou áreas de atividade a m locais possíveis
conhecidos, com n < m. O objetivo é minimizar os custos de alocação das máquinas nos
locais disponíveis. Para isso, seja ikjhC o custo para alocar as máquinas i e j nas
localizações k e h. Para 1=ikX o departamento i estará localizado em k e 0=ikX , caso
contrário. O QAP é então definido como:
Minimize ∑ ∑∑∑= ===
••=m
kjhikikjh
m
h
n
j
n
iXXCZ
1 1112/1 Eq. 4.1
s.a:
11
=∑=
n
iikX , para k=1, ..., m; Eq. 4.2
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 31
1=∑=
m
kiikX , para i=1, ...,n; Eq. 4.3
{ }1,0=ikX , para todo i, k; Eq. 4.4.
A resolução deste problema é então realizada através de algoritmos do tipo branch-
and-bound que fornecem soluções ótimas para um número reduzido de máquinas (até 15
máquinas). Para problemas maiores a solução torna-se difícil, dada a grande quantidade de
combinações possíveis, que é fatorial ao número de máquinas. Outras limitações dessa
formulação são a desconsideração da geometria das áreas das máquinas e a necessidade
de se conhecer previamente os locais disponíveis para a alocação. Devido à complexidade
computacional deste problema, muitas formulações e diversos métodos heurísticos foram
desenvolvidos. Estes métodos heurísticos podem ser classificados em dois grupos: métodos
construtivos e métodos iterativos de melhora (CHWIF et al., 1998).
Recentemente, algumas pesquisas têm sido focalizadas em uma classe especial de
métodos de busca chamados de busca extensiva na vizinhança, que podem ser
considerados como métodos heurísticos genéricos (que podem ser aplicados a qualquer
problema de otimização) ou, mais comumente, métodos meta-heurísticos. A grande
vantagem destes métodos são evitar que a busca fique presa em pontos ótimos locais. Isto
é feito aceitando, as vezes, que certos movimentos de busca piorem a função objetivo. Os
métodos mais conhecidos na literatura são a Busca Tabu (BT) (GLOVER, 1997), Algoritmos
Genéticos (AG) (GOLDBERG, 1989) e Simulated Annealing (SA). HERAGU e ALFA (1992)
compararam a performance do SA e BT em um FLP e eles propuseram um Simulated
Annealing Hibrido (HSA), usando um algoritmo de penalidade modificada. TAM (1991)
utilizou AG e KOUVELIS et al. (1992) aplicou o SA com resultados promissores.
Do ponto de vista geométrico, o FLP pode ser classificado em problemas de layout
discretos e contínuos. A formação aproximada divide o local em uma grade retangular onde
cada célula é associada a uma parte da grade. Se as instalações tiverem áreas desiguais,
elas podem ser divididas em blocos e cada bloco deve ter a mesma área e forma de uma
célula. Embora áreas desiguais possam ser modeladas, formas irregulares são muitas vezes
geradas. De fato, como HERAGU e KUSIAK (1987) relataram, há ainda uma falta de
abordagens de aproximação contínua dos planos de layout ao compará-las com abordagens
discretas. As últimas aproximações têm recebido mais atenção na questão de que todas as
instalações podem ser colocadas em qualquer lugar dentro do espaço físico, sendo
referenciado por MONTREUIL e RATLIFF (1989), HERAGU e KUSIAK (1987), TAM (1992) e
WELGAMA e GIBSON (1993) para aproximação contínua. Além das restrições geométricas
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 32
das instalações (área, formas e orientações), WELGAMA e GIBSON(1993) propuseram um
exemplo especial do GFLP (General Facility Layout Problem) também conhecido como MLP
(Machine Layout Problem).
4.3 Formulação do problema
Cada instalação de máquina pode ser representada como blocos retangulares,
considerando o tamanho, orientação e o fator de aspecto (TAM, 1992). De acordo com TAM
(1992), cada máquina tem além da informação da área, a informação do seu fator de
aspecto. Fator de aspecto indica quanto as medidas de largura e altura da cada máquina
pode variar, porém mantendo a mesma área inicial. O fator de aspecto fai do bloco i é
definido como:
maxmin arg ii
ii fa
wh
uralalturafa ≤=≤ Eq. 4.5
ou
minmax
1arg
1
ii
i
i fawh
uralaltura
fa≤=≤ Eq. 4.6
onde minifa e maxifa são respectivamente os fatores de aspecto mínimo e máximo.
Cada bloco i pode ser modelado como tendo área Ai (tal que Ai = hi*wi), sendo definido
um limite inferior ( minifa ) e superior ( maxifa ) de ]),[( maxmin iii fafafafa ∈ . De acordo com o
fator de aspecto, os blocos podem ser rígidos, ou seja, ter o maxmin iii fafafa == (quando
não podem variar de tamanho) ou flexíveis (quando as suas arestas podem variar de
tamanho, ou seja, maxmin iii fafafa ≤≤ ).
No caso do MLP (Machine Layout Problem), todos os blocos (máquinas) são
considerados como blocos rígidos. Adicionalmente, podem ser considerados pontos de
coleta (pick-up), indicados com a letra P, e saída (drop-off) , indicados com a letra D,
seguindo a abordagem feita por WELGAMA e GIBSON (1993). Basicamente são seis as
configurações das máquinas com posição relativa diferente de pontos de coleta e saída que
podem ser especificados. Conseqüentemente, um bloco pode ser colocado de acordo com
diferentes orientações, respeitando cada configuração dos pontos de coleta e saída, como
pode ser observado na figura 4.1.
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 33
Figura 4.1 - Diferentes orientações de acordo com a configuração (CHWIF, 1998).
A distância medida entre os blocos i e j é considerada linear, então:
jijiij yyxxd −+−= Eq. 4.7
onde (xi , yi) e (xj , yi) são as coordenadas dos bloco i e j, respectivamente. No GFLP, as
distâncias são medidas a partir do centróide dos blocos, visto que no MLP são medidos a
partir dos pontos de coleta e saída. A figura 4.2 apresenta um exemplo da modelagem
geométrica de dois blocos i e j (CHWIF et al., 1998). Para as máquinas i e j:
maxmin iii fafafa ≤≤ Eq. 4.8
Dados das máquinas
),,( maxmin iii fafaAi = Eq. 4.9
Se i é rígida, então:
maxmin iii fafafa == Eq. 4.10
Área:
iii hwA ∗= Eq. 4.11.
4.3.1 Função objetivo
A função objetivo (f), dada a seguir, contém basicamente o total de custo que deve ser
minimizado, que no caso é a distância total percorrida por todas as peças do problema. A
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 34
função penalidade (Iij) é adicionada ao custo de movimentação para evitar uma
sobreposição dos blocos. Isto é necessário desde que o método de otimização adotado
resolva problemas sem restrições de sobreposição. Os custos fixos são descartados, na
função objetivo, porque eles tornam-se insignificantes em um longo período em comparação
aos custos de movimentação. Assim, a função objetivo tem a forma apresentada equação
4.12. A primeira parte da equação 4.12 indica a distância a ser percorrida multiplicada pela
demanda. A segunda parte indica a penalização por sobreposição, caso ela ocorra.
Figura 4.2 - Modelamento geométrico do problema (adaptado de CHWIF,1998).
ij
n
jij
n
iijij
n
j
n
iIωβddemαf ∑∑∑∑
≠====+=
,11112 Eq. 4.12
Eq. 4.13
jiji
ij xxww
B −−+
=2 Eq. 4.14
jiji
ij yyhh
C −−+
=2 Eq. 4.15
)1(1,11
−=
∑∑≠==
nn
demijn
jj
n
iω Eq. 4.16,
onde:
ijdem é a demanda de interação/fluxo entre a máquina i e j;
ω é o fator de interação/fluxo;
Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 35
jijiij yyxxd −+−= onde ( ) jikyx kk ,,, = são as coordenadas do centróide do
bloco k no caso do GFLP;
pjpipjpiij yxxxd −+−= onde ijd é a distância percorrida e ( )pkpk yx , e
( ) jikyx dkdk ,,, = são respectivamente, as coordenadas dos pontos de coleta
e saída da máquina k, no caso do MLP.
kw é a largura da máquina k, jik ,= ;
kh é a altura da máquina k, jik ,= ;
kk yx , são as coordenadas do centróide do bloco k, jik ,= ;
α é o peso da função custo;
β é o peso da função de penalidade;
n é o número de máquinas.
A função de penalidade (Iij) é igual a zero se o bloco i e o bloco j não estiverem
sobrepostos e positiva em caso contrário. A figura 4.3 exemplifica a configuração dos blocos
a respeito da sobreposição.
Figura 4.3 - Configuração dos blocos a respeito da sobreposição (CHWIF et al., 1998).
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 36
5 METODOLOGIA APLICADA
No capítulo 3 foi dada ênfase à formação de células, a partir da Tecnologia de Grupo,
e ao Planejamento Sistemático de Layout porque foi (e ainda é em muitas empresas) assim
que o problema de layout foi abordado, antes da aplicação de técnicas de pesquisa
operacional. No presente trabalho, propõe-se a solução dos problemas discutidos na seção
anterior (4.3) utilizando-se o método de Busca Tabu, já que não é do conhecimento do autor
(e de seu orientador) que tais problemas tenham sido resolvidos usando a Busca Tabu.
Como método de pesquisa, será utilizada a implementação do algoritmo de Simulated
Annealing apresentado por CHWIF et al. (1998), além de um algoritmo de Simulated
Annealing proposto pelo autor e ainda a implementação de dois algoritmos de Busca Tabu,
possibilitando fazer as comparações através do método da ANOVA, apresentado na seção
5.1, entre estes tipos de heurísticas.
5.1 Análise de Variância (ANOVA)
Esta seção baseia-se em BOX et al. (1978). A análise da variância (ANOVA) é um
método estatístico no qual através de testes de igualdade de médias, verifica-se se os
tratamentos produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. É um
procedimento usado na comparação de três ou mais tratamentos, existindo muitas variações
devido aos diferentes tipos de experimentos que podem ser realizados. Para se comparar as
médias de vários experimentos, dependendo do número de experimentos, pode existir um
número muito grande de pares de experimentos a serem analisados para serem
comparados. Por exemplo, em 8 experimentos tem-se: Número de pares = [a(a – 1)]/2 pares
possíveis de experimentos a comparar; ou seja: (8x7)/2=28 pares. Para estes casos é
possível utilizar a análise da Variância, para testar a hipótese de igualdade entre as médias
dos experimentos.
5.1.1 Tratamento
Um tratamento (pode ser chamado também de fator) é uma condição imposta ou
objeto que se deseja medir ou avaliar na execução do experimento, sendo utilizados
normalmente mais de um tratamento (i.e.: equipamentos de diferentes marcas, diferentes
tamanhos de peças, diferentes valores atribuídos a uma variável de um algoritmo, entre
outros). Os fatores podem ser variáveis quantitativas (quando dispostos em uma ordem; i.e.:
níveis de temperatura, quantidade de lubrificantes, entre outros) ou qualitativas (quando não
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 37
são dispostos em ordem; i.e.: marcas de equipamentos, variedade de plantas, entre outros.),
sendo chamados de variáveis independentes (i.e.: se o fator for a temperatura, as diferentes
temperaturas são os níveis do fator) e a variável resposta do fator é chamada de
dependente. Na aplicação desta análise há duas suposições básicas a serem satisfeitas:
a) As amostras devem ser aleatórias e independentes;
b) As amostras devem ser extraídas de populações normais.
5.1.2 Unidade experimental ou parcela
Unidade experimental ou parcela é onde se faz a aplicação do tratamento, sendo
então ela que fornece os dados para serem avaliados (i.e.: um motor, uma peça de motor,
entre outros) podendo serem formadas por grupos ou indivíduos.
5.1.3 Repetição
A repetição é o número de vezes que um fator aparece no experimento, dependendo
do tipo do experimento (delineamento), dos recursos disponíveis, da variabilidade ou da
variável resposta. Estimar um número satisfatório de repetições pode ser algo difícil,
existindo várias metodologias com essa finalidade, sendo muito importante a experiência do
pesquisador sobre o algoritmo.
A média é calculada conforme a equação 5.1. A hipótese nula (H0), na ANOVA,
considera que não existe diferença entre as médias de diferentes amostras (ou
tratamentos), isto é dado por:
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4
A hipótese alternativa é HA : μi ≠ μj, para pelo menos um par (i, j).
i
n
jij
i n
YY
i
∑=
+ =1 Eq. 5.1,
onde: • Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima unidade experimental ou
parcela;
• μ é o efeito constante (média geral) ;
• n é o número de experimentos.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 38
A análise da variância para cada conjunto de resultados obtidos com os algoritmos é
calculada conforme a equação 5.2:
1
)(1
2
2
−
+−=∑=
n
iYS
n
jij
i Eq. 5.2
Na equação 2.3 combinam-se as estimativas das variâncias:
∑∑
−
−=
)1()1( 2
2
i
iiR n
SnS Eq. 5.3
A variabilidade entre os tratamentos é calculado pela equação 5.4, onde ST
2 é
chamado de Quadrado Médio de Tratamento, ou Quadrado Médio entre Tratamentos. Na
equação 5.4 o termo +iY representa a média do tratamento i e ++Y representa a média dos
tratamentos.
11
2
12
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∑∑=
+++=
k
YYS
k
ii
i
jT Eq. 5.4
A comparação entre essas duas estimativas permite testar a hipótese de igualdade
das médias do tratamento. A comparação é feita através da equação 5.5. Essa razão é
denominada razão F ou Fexp.
SSFR
T2
2
exp = Eq. 5.5
Neste ponto há duas estimativas da variância do erro, uma baseada na variância
dentro dos tratamentos ( 2RS ) e outra baseada na variância entre os tratamentos ( 2
TS ). Se a
hipótese de igualdade (H0) for aceita, não se pode dizer que existem diferenças significativas
entre as médias. Caso a hipótese seja diferente, a diferença entre elas pode ter sido
causada pela diferença entre as médias analisadas. O valor esperado de Fexp é
aproximadamente igual a 1 se H0 for verdadeiro. Quanto maior o valor de F, maior é a
evidência de que H0 é falso. A estatística Fexp é o critério utilizado para testar a hipótese H0.
Como o critério envolve a comparação de duas estimativas de variância, o procedimento é
denominado de Análise da Variância (ANOVA).
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 39
Uma medida da variabilidade total das observações é dada pela decomposição da
Soma de Quadrados Total, conforme a equação 5.6,
SQtotal = SQT + SQR Eq. 5.6,
onde :
• SQT é o numerador de 2TS , denominado soma de quadrados devido aos
algoritmos;
• SQR é o numerador de 2RS , denominado Soma de Quadrado de Resíduo ou Soma
de Quadrado do Erro;
A tabela 5.1 representa a distribuição das equações na tabela ANOVA.
Tabela 5.1 - Disposição das equações na Tabela ANOVA.
Fonte Graus
de Liberdade
Soma
Dos Quadrados
Quadrados Médios
Teste FEXP
Algoritmos k – 1 SQT QMT QMT / QMR
Resíduo n – K SQR QMR
Total N – 1 SQTOTAL
Quanto maior o valor do Fexp, maior é a evidência contra H0.
5.1.4 Experimentos Fatoriais
Em determinadas situações, busca-se a melhor combinação de níveis de fatores que
maximizem o rendimento. Usa-se como fator para as variáveis que estão sendo estudadas,
daí o nome de experimento fatorial, para a classe de planos experimentais que busca
analisar o efeito de um conjunto de fatores em uma determinada resposta. Um experimento
fatorial 2k completo envolve um plano com k fatores, cada um com dois níveis. Como fatores
têm todos dois níveis, adota-se a notação (-) para o nível “fator ausente” e (+) para o nível
“fator presente”. A tabela 5.2 apresenta o plano experimental com a notação adotada.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 40
Tabela 5.2 - Plano experimental para algoritmo SA.
Rodada Temperatura inicial
Temperatura de resfriamento
Beta
1 - - -
2 - - +
3 - + -
4 - + +
5 + - -
6 + - +
7 + + -
8 + + +
A primeira informação desejada é obter o efeito de cada fator na resposta. O efeito de
um fator é definido como a mudança que ocorre na resposta quando um fator muda de um
nível para o outro (efeito principal do fator). Calcula-se a média do rendimento em cada um
dos níveis do fator e calcula-se a diferença entre essas médias. Para o cálculo dos
rendimentos são apresentadas as equações 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11 e 5.12.
∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = =
=20
1
2
1
2
1
2
11 1 1 1 i j k lijkl
n
i
p
j
q
k
r
lijkl YY Eq. 5.7
[ ]160
220
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1 1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = = i j k l
ijkl
n
i
p
j
q
k
r
lijkl Y
npqr
YY Eq. 5.8
[ ] ∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = =
==20
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1 1
2
i j k lijkl
n
i
p
j
q
k
r
lijkl YYABCS Eq. 5.9
[ ] ∑ ∑∑∑∑∑∑∑
= =
= = == = =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=p
j j
i k lijkl
n
i
q
k
r
lijkl Y
nqr
YA
1
2
1
220
1
2
1
2
1
2
1 1 1
80 Eq. 5.10
[ ] ∑ ∑∑∑∑∑∑∑
= =
= = == = =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=q
k k
i j lijkl
n
i
p
j
r
lijkl Y
npr
YB
1
2
1
220
1
2
1
2
1
2
1 1 1
80 Eq. 5.11
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 41
[ ] ∑∑∑∑
∑∑∑∑
=
= = =
=
= = =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=2
1
220
1
2
1
2
1
1
2
1 1 1
80l
i j kijklr
l
n
i
p
j
q
kijkl Y
npq
YC Eq. 5.12
Se, por exemplo, o efeito médio de um fator foi estimado como sendo 23, sendo esse
valor a diferença em rendimento entre os níveis deste fator. A questão é: esse valor
depende ou não dos níveis dos outros fatores? Se não depende, diz-se que não há
interação, caso contrário, diz-se que há interação. O cálculo da interação entre os fatores é
apresentado pelas equações 5.13, 5.14 e 5.15:
[ ] ∑∑∑∑
∑∑∑∑
= =
= =
= =
= =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=2
1
2
1
210
1
2
1
1 1
2
1 1
20j k
i lijklp
j
q
k
n
i
r
lijkl Y
nr
YAB Eq. 5.13
[ ] ∑∑∑∑
∑∑∑∑
= =
= =
= =
= =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=2
1
2
1
220
1
2
1
1 1
2
1 1
40j l
i kijklp
j
r
l
n
i
q
kijkl Y
nr
YAC Eq. 5.14
[ ] ∑∑∑∑
∑∑∑∑
= =
= =
= =
= =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=2
1
2
1
220
1
2
1
1 1
2
1 1
40k l
i jijklq
k
r
l
n
i
p
jijkl Y
np
YBC Eq. 5.15
A interação dos três fatores é mais complexa. Ela é a diferença entre o efeito da
interação de dois fatores com respeito aos dois níveis do terceiro fator. Isto é apresentado
na equação 5.16.
[ ] ∑∑∑∑
∑∑∑∑
= = =
=
= = =
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=2
1
2
1
2
1
220
1
1 1 1
2
1
20j k l
iijklp
j
q
k
r
l
n
iijkl Y
n
YABC Eq. 5.16
Cada fator tem apenas dois níveis, então diz-se que cada fator tem 1 grau de
liberdade. Os graus de liberdade de uma interação é igual ao produto dos graus de
liberdade de cada fator que compõe a interação. Como cada fator tem 1 grau de liberdade,
cada interação tem também 1 grau de liberdade. O número de graus de liberdade de um
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 42
experimento é igual ao número de observações menos 1. Um experimento fatorial 2k tem
portanto 2k–1 graus de liberdade. A tabela 5.3 apresenta um algoritmo para o cálculo dos
efeitos principais e interações.
O desvio padrão é o mesmo para qualquer efeito fatorial. Isso é devido ao fato que o
cálculo de qualquer efeito colateral usa todas as observações o mesmo número de vezes. O
desvio padrão de um efeito colateral em um experimento 2k que é replicado n vezes é dado
pela equação 5.17.
Tabela 5.3 - Tabela resumo da análise de fatores.
Graus de liberdade SQ MQ F
A (p – 1) = 1 [A] – [Y] SQA / glA MQA / MQResíduo
B (q – 1) = 1 [B] – [Y] SQB / glB MQB / MQResíduo
C (r – 1) = 1 [C] – [Y] SQC / glC MQC / MQResíduo
AB (p – 1) (q – 1) = 1 [AB] – [A] – [B] + [Y] SQAB / glAB MQAB / MQResíduo
AC (p – 1) (r – 1) = 1 [AC] – [A] – [C] + [Y] SQAC / glAC MQAC / MQResíduo
BC (q – 1) (r – 1) = 1 [BC] – [B] – [C] + [Y] SQBC / glBC MQBC / MQResíduo
ABC (p – 1)(q – 1)(r – 1) =
1
[ABC] – [AB] – [AC] –
[BC] + [A] + [B] + [C] –
[Y]
SQABC / glABC MQABC / MQResíduo
RESÍDUO pqr(n – 1) = 152 [ABCS] – [ABC] SQA / glA
TOTAL pqrn – 1 = 159 [ABCS] – [Y]
222
1).(. Rk Sn
efeitoPD −= Eq. 5.17
Sendo SR2 calculado conforme a equação 5.18:
2
1
2
1
2 )()1(2
1iij
n
jikR yyn
Sk
−−
= ∑∑==
Eq. 5.18,
e yij a j-ésima replicação da i-ésima combinação dos fatores. Um efeito fatorial é significante
se o intervalo, dado pela equação 5.19, não contiver o número zero.
..*2 PDEfeito ±= Eq. 5.19.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 43
5.2 Características do problema de formação de layout
Como visto no capítulo 4, o problema da formação do layout de células de manufatura
pode ser uma das mais importantes questões que devem ser resolvidas em estágios iniciais
de projeto do sistema de manufatura, pois consegue-se que os custos de operação possam
ser reduzidos, aumentando a produtividade.
De acordo com CHWIF et al. (1998) já foram descritas várias técnicas de resolução
para este problema, conforme exposto em 4.2.
- Algoritmos Genéticos
- Simulated Annealing
- Busca em árvore, como Branch and Bound (BB)
- Busca em feixe (Beam-search BS) e técnicas derivadas (como FBS, DCBS)
- Teoria de grafos
Na implementação deste trabalho deve ser ressaltado que será calculada a distância
percorrida por cada peça, em seu roteiro de fabricação, de um problema retirado de TAM
(1992). Neste capítulo serão apresentados os algoritmos analisados neste trabalho para a
solução do problema proposto. Serão descritos dois algoritmos que usam o Simulated
Annealing e outros dois algoritmos que usam Busca Tabu.
5.2.1 Geração da Solução Inicial ao Usar Métodos Heurísticos
O primeiro passo na execução do programa para qualquer das heurísticas
implementadas é a geração da solução inicial, conforme interface apresentada na figura 5.1.
A solução inicial deve ser gerada na primeira iteração antes da execução de qualquer dos
algoritmos, pois a geração da solução inicial em ambos os casos é igual. A solução é gerada
considerando a quantidade de máquinas definidas pelo usuário, sendo feito um sorteio
aleatório que pode gerar soluções iniciais infactíveis, o que não representa problema, pois
durante a execução do algoritmo as soluções viram factíveis. Um exemplo de solução inicial
é apresentado na figura 5.2, para o problema de 30 máquinas. Sempre que uma solução
aleatória for gerada, é apresentado o valor da sua função objetivo.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 44
Figura 5.1 - Geração da solução inicial como primeiro passo na execução do programa.
Figura 5.2 - Forma de cálculo de posicionamento das máquinas.
A alocação das máquinas na geração da solução inicial é realizada da seguinte
maneira: i) as máquinas são alocadas lado a lado em linha, até chegar ao fim da linha, que
representa a barreira física das instalações reais, e então; ii) são alocadas na linha
imediatamente abaixo da linha anterior, respeitando a maior altura de máquina da linha
anterior, como é apresentado na figura 5.2. Esta forma de alocação das máquinas permite
que sejam formados corredores horizontais entre cada linha, o que é na realidade
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 45
necessário para o fluxo de peças. O pseudo-código da função SolucaoInicial é apresentado
na figura 5.3, abaixo. Na linha 2 é definido o total de máquinas que serão usadas no
problema, na linha 3 é realizada a verificação se é a primeira vez que está sendo gerada
uma solução inicial ou se está sendo feito o reaquecimento no caso do SA ou a
diversificação no caso da BT.
01. Função SolucaoInicial
02. Atualizar contador
03. Sorteia máquina i
04. solucao(i) = contador
05. Enquanto contador <= total de máquinas, retorne para a linha 2
06. Calcula a função objetivo
07. Retorna a SolucaoInicial
Figura 5.3 - Pseudo-código da função de geração da solução inicial.
5.3 Busca na Vizinhança
A busca na vizinhança possibilita ao algoritmo a exploração das soluções “vizinhas”,
que podem melhorar a solução encontrada até a iteração corrente. A avaliação da
vizinhança é, em geral, o passo que consome mais tempo do processo de busca.
Durante a execução dos algoritmos são escolhidas as máquinas que sofrerão
mudança de orientação, fator de aspecto ou troca de posição, e a forma de avaliar é
fazendo uma classificação com relação aos custos de deslocamento. Essa classificação
considera a distância total percorrida por todas as máquinas para aquela solução gerada.
Opcionalmente, em outro caso poderiam ser utilizados os custos associados especificados
por unidade de distância. Na figura 5.4a tem-se um exemplo de solução inicial s gerada
aleatoriamente e na figura 5.4b tem-se a sua solução vizinha s’.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 46
Figura 5.4 a e b - Geração da solução s e sua solução vizinha s’.
5.4 Abordagem de Busca Tabu Proposta
Duas heurísticas de busca tabu (BT) foram propostas para resolver o problema de
layout de células de manufatura, levando-se em conta o volume de peças que é
transportado entre as diversas máquinas que compõem o sistema. Basicamente, a única
diferença entre as duas abordagens de busca tabu está no procedimento de diversificação:
• No algoritmo intitulado Busca Tabu Normal gera-se aleatoriamente uma nova solução a
cada diversificação;
• A diversificação no algoritmo intitulado Busca Tabu Híbrida consiste na realização de 20
iterações do simulated annealing, antes de reiniciar a busca tabu.
Devido a esta diferença única, citada acima, entre os dois algoritmos, o restante desta
seção será descrito como um algoritmo único, já que é comum às duas abordagens desta
seção.
A abordagem proposta divide-se em duas etapas que são resolvidas iterativamente.
Ambas as etapas são procedimentos que não foram observados pelos autores em trabalhos
anteriores para problemas similares. Na primeira etapa, a busca tabu é usada para executar
a alocação das máquinas na formação do layout, respeitando ao mesmo tempo a área
disponível, o número de máquinas e a minimização da função objetivo.
A idéia de usar a BT como procedimento proposto para resolver o problema veio da
ausência deste tipo de implementação descrita em literatura. Este procedimento heurístico
explora possíveis soluções para a vizinhança de uma solução corrente. Ele é utilizado para
identificar a melhor solução vizinha de uma solução atual utilizando estratégias de
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 47
movimentação definidas previamente. A melhor solução encontrada na vizinhança (da
solução atual) substituirá a solução atual e a busca na vizinhança será reiniciada
novamente. Várias estruturas de memória podem ser adotadas no intuito de alimentar a
busca e para evitar que a busca fique presa em regiões de ótimos locais.
Muitas estruturas de memória de BT podem ser encontradas na literatura como
implementado em GLOVER E LAGUNA (1997). Mas existe uma estrutura de memória (Lista
Tabu) que é sempre encontrada na BT. Quando um movimento é realizado e que oferece a
melhor solução vizinha, este movimento torna-se proibido (ou tabu) por N iterações, ou seja,
este movimento é inserido na lista tabu em uma tentativa de evitar ciclos do algoritmo. Um
movimento que está na lista tabu só é aceito se oferecer a melhora da solução encontrada
até aquele ponto da busca. Este procedimento é o critério de aspiração. A BT é
caracterizada por duas situações. A primeira situação é chamada de intensificação, quando
a procura se aproxima de uma região promissora e esta região tende a ser intensamente
pesquisada. A segunda situação é quando a busca fica presa em uma região de ótimo local,
daí é realizada uma diversificação. Diversificação é obtida gerando-se uma nova solução
inicial (algoritmo Busca Tabu Normal) ou realizando-se consecutivos movimentos que
retirem a busca da região onde ficou presa (algoritmo Busca Tabu Híbrida), sendo assim
reiniciada a busca.
O pseudo-algoritmo de BT implementado é apresentado na figura 5.5. Foi
implementado o algoritmo com o uso da diversificação porque verificou-se, durante os
testes, que a busca ficava presa em regiões de ótimo local, ou seja, acabavam se repetindo
as soluções por um número muito grande de iterações, impedindo a melhora da função
objetivo. A notação adotada neste algoritmo foi de que a solução vigente tem o seu valor
atribuído a s, a melhor solução é identificada como solução vizinha s' e a melhor solução
global é definida como sbest.
A solução inicial é gerada aleatoriamente e então tem o seu valor atribuído a s
(primeira solução vigente). As sub-rotinas de busca na vizinhança são chamadas na linha 4
do algoritmo principal da BT. Como mencionado anteriormente, a fim de melhorar a
eficiência da BT, é necessário eliminar da busca as soluções infactíveis ou pouco
promissoras. Com esse objetivo os trabalhos de CAUX (2000), XAMBRE (2003), LEI e WU
(2005) e LEI e WU (2006 utilizaram dois movimentos: i) "swap", quando duas máquinas
trocam de lugar; e ii) alteração no fator de aspecto e/ou rotação da peça.
É na linha 5 onde é realizada a aspiração, ou seja, onde os movimentos constantes
na lista tabu (proibidos) podem ocorrer, desde que melhorem a solução vigente, como
ocorre na linha 6. Como pode ser observado na figura 5.6, a cada solução vizinha aceita,
faz-se uma troca no posicionamento entre a primeira e a segunda metade das máquinas, ou
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 48
seja, esta foi a maneira encontrada para forçar uma diversificação de cada solução vizinha
aceita, pois verificou-se que a busca ficava frequentemente presa em regiões de ótimo local.
Esta heurística manteve a característica apresentada na figura 4.5, onde pela forma como
as máquinas são alocadas formam-se os corredores necessários para o fluxo das peças no
chão de fábrica.
1. Gerar uma solução inicial (s)
2. sbest = s;
3. Enquanto o critério de parada não for satisfeito, faça :
4. Gerar a vizinhança de s e selecione a melhor solução vizinha(s')
5. Se s' é melhor que sbest, então: sbest = s'
6. Atualizar solução vigente: s = s’
7. Retornar sbest
Figura 5.5 - Pseudo-código do algoritmo de BT implementado.
Na geração da solução vizinha testa-se o movimento escolhido começando com a
máquina que está na primeira posição com a máquina que ocupa a posição seguinte, ou
seja, testa-se a permutação da máquina que está na posição 1 com a máquina que está na
posição 2, 3,..., até n (o número total de máquinas). Posteriormente e como uma expressão
geral, testa-se a permutação da máquina na posição i com a máquina na posição i+1, i+2, ...
até n. Quando a troca que produzir o melhor valor da função objetivo for identificada, ela
será aceita como nova solução vigente (figura 5.6) e esse movimento irá para a lista tabu
por um número definido de iterações.
Considerando-se que o número de movimentos tabu é igual a 3, se o primeiro
movimento aceito (1ª iteração) for entre as máquinas 2 e 4, estas máquinas permanecerão
tabu até a quarta iteração, como pode ser visto na primeira linha da tabela 5.4. Na segunda
iteração, as máquinas 5 e 8 foram movidas, ficando tabu até a quinta iteração, como pode
ser visto na segunda linha da tabela a seguir. Na terceira iteração, as máquinas 7 e 5
(devido ao critério de aspiração) foram movidas, ficando tabu até a sexta iteração, como
pode ser visto na terceira linha da tabela a seguir. O tamanho da lista tabu e o número de
iterações, que a máquina permanece na Lista Tabu, são as variáveis que foram modificadas
ao longo dos testes do algoritmo.
Tabela 5.4 Lista tabu para as três primeiras iterações. Máquinas
iteração 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -99 4 -99 4 -99 -99 -99 -99 -99 -99 2 -99 4 -99 4 5 -99 -99 5 -99 -99 3 -99 4 -99 4 6 -99 6 -99 -99 -99
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 49
Figura 5.6 - Primeiro movimento aceito entre as máquinas 2 e 4.
5.5 Implementação do Algoritmo de Simulated Annealing para o Caso Proposto por Chwif et al. (1998)
O Simulated Annealing (SA) conforme foi descrito no capítulo 3.3, é uma técnica de
busca local probabilística. O SA se baseia em uma analogia com a mudança de estado dos
materiais, ao simular o resfriamento lento da matéria, após ser aquecida até o estado líquido
(AARTS, 1989), visando atingir uma estrutura cristalina de energia interna mínima.
A partir do momento que é gerada uma solução inicial no espaço de S (conjunto de
todas as soluções) e calculada sua função objetivo f, a proposta é encontrar uma solução
que minimize a função objetivo. O SA faz uso de um processo iterativo de geração da
vizinhança da solução vigente s. Quando a solução vigente s é definida, ocorre a geração de
uma solução vizinha s’. Com cada nova solução vizinha s’, provoca-se o resfriamento da
temperatura inicial a cada iteração, até que algum critério de parada seja satisfeito. O SA
pode permitir a piora da função objetivo, aceitando soluções piores que a solução vigente,
para evitar que a busca fique presa em regiões de ótimo local. A aceitação de soluções
piores se dá em função do critério de Metrópolis, onde a aceitação de soluções piores é
dada por Te /δ− , onde δ é a diferença de custo entre a solução vigente e a solução vizinha, e
T é a temperatura atual. Conforme já foi descrito no capítulo 2, quanto maior for a
temperatura T, maior é a probabilidade de aceitação de movimentos que piorem a solução
vigente. Na prática, usam-se programações de resfriamento mais rápidas. Uma das mais
usadas segue uma lei geométrica: Tk+1
= α Tk, no qual k se refere à iteração e α = ]0,1[ ; que
corresponde a um decréscimo exponencial da temperatura. Os valores de α usados foram
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 50
0,99 e 0,9999. O algoritmo realiza o resfriamento até uma temperatura final fT . Na figura
5.7 é apresentado o pseudo código do algoritmo de SA implementado.
1. Gerar solução inicial ( 0s )
2. s = 0s
3. Escolher temperatura inicial 0TT = , T>0;
4. Enquanto o sistema não esteja resfriado ( fTT ≤ ), faça:
5. Gerar solução vizinha s’
6. )(´)( sfsfδ −=
7. Se 0<δ , então: s = s’
8. Senão,
9. Gerar número aleatório r no intervalo (0,1)
10. Se r < )/( Tδe − , então:
11. s = s’
12. k=k+1
13. Fim do Se
14. T = α*T
14. Fim do enquanto
Figura 5.7 – Pseudo código de SA básico.
Segundo CHWIF et al. (1998), o valor da temperatura está diretamente relacionado
com a taxa de aceitação da solução vizinha. A taxa de aceitação (TA) para uma
determinada temperatura é definida na equação 5.20:
NNTTA r−= 1)( Eq. 5.20,
onde rN é o número das soluções vizinhas descartadas para uma mesma temperatura T.
5.5.1 Geração da solução vizinha s’
Dois procedimentos foram implementados para gerar a vizinhança da solução vigente,
e a cada solução é feito um sorteio para definir qual dos movimentos será realizado. No
primeiro caso é realizada uma permutação entre duas máquinas sorteadas aleatoriamente,
sem modificação do fator de aspecto e orientação da máquina, conforme é mostrado na
figura 5.8a e 5.8b. Para o segundo caso, existem três movimentos possíveis: i)
deslocamento da máquina para esquerda, direita, acima ou abaixo; ii) rotação da máquina,
como pode ser visto na figura 5.9a e 5.9b; ou iii) alteração do fator de aspecto.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 51
Figura 5.8 a e b – Permutação entre duas máquinas.
No algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998), o cálculo da função objetivo e o
posicionamento das máquinas são realizados tomando como referência o centróide da
máquina. Assim, pode haver situações onde ocorrerão sobreposições entre as máquinas,
como pode ser observado na figura 5.11.
Figura 5.9 a e b – Rotação da máquina.
Os dois procedimentos para a geração da solução vizinha são descritos no pseudo
código mostrado na figura 5.10. No segundo caso (envolvendo deslocamento, rotação ou
mudança no fator de aspecto da máquina) na geração da solução vizinha, a chance de
escolha entre girar ou alterar fator de aspecto/orientação é de 50%, bem como a chance de
escolha entre a orientação de 90º ou 180º. No caso de deslocamento da máquina, o valor do
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 52
deslocamento é dado por p, onde k é uma porcentagem, h é a altura máxima e w é a largura
máxima da máquina, conforme mostrado na equação 5.21.
1. Sorteia o tipo de movimento
2. Se for sorteada a permutação de duas máquinas, então:
3. Sorteia máquinas A e B a serem permutadas
4. Troca as coordenadas dos centróides, onde (xa,ya) e (yb,yb) são as
coordenadas dos centróides da máquinas A e B:
5. x=xb;
6. y=yb;
7. xb=xa;
8. yb=ya;
9. xa=x;
10. ya=y.
11. Senão, se escolher o movimento aleatório da máquina A;
12. Sorteia a direção do movimento e então:
13. Se movimento for para cima: pyy AA += ;
14. Se movimento for para baixo: pyy AA −= ;
15. Se movimento for para esquerda: pxx AA −= ;
16. Se movimento for para direita: pxx AA += .
17. Senão, se for alterar o fator de aspecto:
18. Sorteia o fator tal que );/1,/1),,(( infsupsupinf AAAAA fafafafaectofatordeaspfa =
19. Senão, se for fazer rotação:
20. Sorteia se faz rotação de 90º ou 180º
21. Fim se
Figura 5.10 – Pseudo código de SA que decide qual movimento será realizado.
)(100
whkp += Eq. 5.21.
Verificou-se que no algoritmo de SA proposto por CHWIF et al. (1998), a função
objetivo apresentada na equação 4.12 possui o fator de penalidade β que controla a
sobreposição das máquinas, e durante a implementação do algoritmo dependendo do valor
atribuído para esta variável ocorreu a sobreposição das máquinas, o que na prática da
formação do layout do chão de fábrica é infactível (como indicado na figura 5.11). Ainda
nessa implementação ocorreu que na formação do layout o algoritmo pode não respeitar os
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 53
limites de área disponíveis para a alocação do número de máquinas de cada problema,
como foi sugerido por CHWIF et al. (1998) no seu artigo. Pode-se observar na figura 5.11 as
máquinas que ficaram sobrepostas, representadas pelas linhas pontilhadas, e pelas linhas
tracejadas as máquinas que extrapolaram a área disponível para alocação.
Figura 5.11 – Exemplo de layout infactível gerado pelo algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998).
5.6 Algoritmo Simulated Annealing Proposto (SA_Tiago)
Seguindo o mesmo algoritmo de geração da solução inicial aleatoriamente, um
segundo algoritmo de SA foi proposto, apresentando o mesmo algoritmo básico de SA da
seção anterior (CHWIF et al., 1998). A adaptação proposta no algoritmo de SA dá-se no
modo como as máquinas são alocadas. No algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998), a
alocação das máquinas e cálculo da função objetivo é feito baseado no centróide da
máquina, enquanto no algoritmo proposto faz-se a alocação das máquinas baseado nas
suas arestas, evitando o problema da sobreposição.
Os movimentos realizados na geração da solução vizinha são semelhantes aos
realizados nas figuras 5.8 e 5.9. Na figura 5.12 pode ser visto graficamente o resultado de
uma solução encontrada pelo algoritmo SA proposto (SA_TIAGO), onde há uma lista
ordenada das máquinas e cada máquina vai sendo posicionada de acordo com o seu
ordenamento. Percebe-se claramente a formação dos corredores para fluxo de peças em
linha e um melhor aproveitamento da área disponível, notando-se ainda a inexistência de
sobreposições entre as máquinas alocadas.
Capítulo 5 – Metodologia aplicada 54
Figura 5.12 – Resultado do layout do algoritmo de SA proposto (SA_Tiago).
No capítulo 6 serão apresentados a interface de implementação e testes dos
algoritmos e os resultados obtidos.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 55
6 RESULTADOS DAS IMPLEMENTAÇÕES
6.1 Implementação da interface de testes
A implementação da interface de testes teve como objetivo fornecer uma ferramenta
de testes para o estudo do problema de formação de layout com as heurística de Busca
Tabu (BT) e Simulated Annealing (SA). A ferramenta viabilizou os testes com diversos
parâmetros e várias opções de alterações nos algoritmos.
O objetivo deste trabalho foi analisar as formas de implementação e a possibilidade
de melhorar o algoritmo com a alteração de parâmetros, tornando-se mais eficaz na busca
por soluções. Os algoritmos foram implementados com a linguagem de programação Visual
Basic, utilizando-se o Visual Studio 2005, da empresa Microsoft, como ambiente de
desenvolvimento. O algoritmo foi implementado para formação de layouts usando como dados de
entrada o número de máquinas alocadas na célula de manufatura, sendo feitas simulações
para instâncias com 10, 12, 15, 20 e 30 máquinas. A matriz que contém o fluxo de peças
entre cada máquina que foi usada em cada experimento foi retirada de NUGENT et al.
(1968). A área e o fator de aspecto de cada máquina, indicados na tabela 6.1, foram
propostos por TAM (1992). De acordo com esta tabela, foi realizado o cálculo do tamanho
de cada máquina, através do valor fornecido de área e fator de aspecto, conforme figura 6.1.
O programa criado foi denominado “SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS”, tendo a
sua interface principal apresentada na figura 6.2. O cálculo do tamanho da representação
gráfica de cada máquina é representado nas equações 4.8, 4.9, 4.10 e 4.11 (pág. 39). Como
já foi mencionado a função objetivo visa minimizar a distância total percorrida por todas as
peças durante a sua fabricação.
Como o objetivo é a comparação de heurísticas e o estudo das alterações no
algoritmo básico, foi utilizada uma mesma forma de trabalho para todas as implementações,
permitindo uma comparação padronizada, num mesmo ambiente de estudo, para todos os
casos.
Todos os dados necessários durante as simulações provenientes das matrizes de
fluxo de peças e fator de aspecto foram diretamente inseridos dentro do programa, sendo
estes dados diretamente acessados por cada algoritmo quando for necessário. A
implementação básica dos algoritmos de Busca Tabu e Simulated Annealing é realizada
através da definição de variáveis, que são as listas de máquinas, áreas, fatores de aspecto
e volumes de peças entre máquinas. Durante a implementação estes dados do artigo são
Capítulo 6 – Resultado das implementações 56
inseridos diretamente na declaração de parâmetros. A tabela 6.1 apresenta a área e o fator
de aspecto para as 30 máquinas.
Tabela 6.1 – Área e fator de aspecto das 30 máquinas.
Fator de aspecto
Máquina Área Limite Inferior
Limite superior
1 100 0,7 1 2 80 1 1 3 50 0,7 1,3 4 60 0,5 0,8 5 120 0,9 1 6 40 0,6 1 7 20 0,7 1,4 8 40 1 1 9 150 0,8 1,1
10 120 0,5 1,5 11 50 0,7 1,1 12 10 0,8 1,2 13 20 0,95 1,5 14 30 0,75 1,25 15 50 0,9 1,1 16 20 0,8 1,5 17 40 0,4 1,4 18 20 0,9 1,9 19 80 1 1 20 100 0,95 1,15 21 40 0,5 1,5 22 50 1 1,1 23 80 0,6 1 24 10 0,9 1 25 40 0,8 1,1 26 10 0,5 1,2 27 40 0,8 1 28 10 0,5 1,3 29 80 0,9 1,05 30 40 0,9 1,1
As janelas que vemos nos aplicativos são geralmente formulários (forms) que servem
de base para colocar objetos. Os formulários têm a sua área (janela) dividida em pontos
(pixels) localizados de maneira cartesiana através dos eixos x (horizontal) e y (vertical). Uma
particularidade do sistema cartesiano adotado pelo software é em relação a origem do
sistema de coordenadas, que fica localizado na extremidade superior esquerda de cada
objeto, conforme é mostrado na figura 6.2.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 57
Figura 6.1 – Interface do SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS.
Figura 6.2 – Coordenadas do sistema cartesiano presente no painel.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 58
Inicialmente foi criado um objeto painel (panel) que representa a área disponível para
instalação das máquinas/células. As máquinas foram inseridas no programa como objetos
picturebox, ou seja, como elementos gráficos que possuem entre suas propriedades a
possibilidades de variar de tamanho, baseado nas medidas calculadas de altura e largura
obtidas através da equação 4.5 (fator de aspecto). Graficamente a representação da largura
e altura de cada picturebox é feita através de pontos (pixels) na tela do computador, e dessa
forma as arestas são representadas através de valores inteiros, mas como já foi indicado na
figura 4.3, o cálculo da função objetivo é feito através do centróide da máquina. Com relação
à área dos picturebox existem duas possibilidades na representação das máquinas:
i) Informando as arestas: As arestas informadas devem formar o retângulo (picturebox) cujo
produto fornece a área da máquina;
ii) Informando a área: Cada máquina tem informado o valor de sua área, e a partir desta
informação é feito o cálculo da altura e largura que a máquina pode assumir, de acordo
com o fator de aspecto informado.
6.2 Apresentação dos Resultados
As quatro abordagens implementadas (duas de busca tabu e duas de simulated
annealing) foram testadas para vários parâmetros diferentes. Por exemplo, para cada
quantidade de máquinas, as abordagens de busca tabu foram testadas variando-se o
número de iterações tabu de um movimento. Da mesma forma, os dois algoritmos de
simulated annealing foram testados variando-se a taxa de resfriamento (α) e a temperatura
inicial (To). No caso específico da abordagem proposta por CHWIF et al. (1998), também
houve a variação na penalidade por sobreposição entre máquinas (β). Assim, devido ao
grande número de experimentos realizados, adotou-se a Análise de Variância (ANOVA)
como procedimento para a comparação entre experimentos e para a identificação dos
fatores significativos. Ou seja, buscou-se a identificação dos fatores que, ao serem variados
entre dois níveis ou valores distintos, produziram uma variação significativa entre os
resultados do valor da função objetivo e do número de iterações realizadas até o fim da
busca.
Cada experimento foi repetido 20 vezes. A fim de diminuir o tamanho deste capítulo,
parte dos resultados são apresentados nos apêndices desta dissertação. O apêndice A
apresenta os dados do fluxo de peças entre as máquinas e que foram usados no cálculo da
função objetivo. Os apêndices B e C apresentam, respectivamente, os resultados para os
experimentos do algoritmo de simulated annealing proposto por CHWIF et al. (1998) e do
Capítulo 6 – Resultado das implementações 59
algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação (intitulado SA_Tiago). Os
apêndices D e E apresentam, respectivamente, os resultados para os experimentos do
algoritmo de Busca Tabu Normal e do algoritmo de Busca Tabu Híbrida. Nos resultados
apresentados nos apêndices, o valor calculado para o desvio padrão (ou erro) dos
experimentos é comparado ao valor de F (na tabela ANOVA). Se o módulo do valor de F for
maior que o valor do erro (desvio padrão dos experimentos), então pode-se considerar que
este fator é significativo. A seguir, apresenta-se o resumo dos testes entre as várias
abordagens e também comenta-se os resultados apresentados nos vários apêndices.
6.2.1 Análise dos Resultados para 10 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e
β = 100;
• C (temperatura inicial), para os valores To = 10000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 128,70, analisando-se a tabela 6.2, não se pode
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das
possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de
uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença entre as médias
dos valores nos 8 experimentos (combinações de fatores) testados, a variância associada
aos experimentos levou a valores de F inferiores ao erro (igual a 128,70).
Tabela 6.2 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.1.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
-48,76 -49,95 -49,83 49,98 49,98 49,98 -49,88
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 1474,99. Analisando-se a tabela
6.3, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 10 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
Capítulo 6 – Resultado das implementações 60
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos oito
experimentos com 10 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.3 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.1.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
53549,48 0,01 39,39 0,30 21,57 1,56 0,39
Análise do SA proposto (SA_Tiago)
Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação (SA_Tiago)
testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (temperatura inicial), para os valores To = 10000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 122,09, analisando-se a tabela 6.4, não se pode
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B) ou que a interação entre fatores
(AB) foram significativas na obtenção de uma solução melhor para a função objetivo. Ainda
que haja uma diferença entre as médias dos valores nos 4 experimentos (combinações de
fatores) testados, a variância associada aos experimentos levou a valores de F inferiores ao
erro (igual a 122,09).
Tabela 6.4 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.1.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
114,08 4,89 4,41
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2964,47. Analisando-se a tabela
6.5, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
Capítulo 6 – Resultado das implementações 61
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 10 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro
experimentos com 10 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.5 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.1.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
14521,60 2,61 1,16
Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal
Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 16714,25 com
desvio padrão igual a 386,77. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo
foi 16944,50 com desvio padrão igual a 581,67. Na análise dos valores da função objetivo
no apêndice D.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 2,17. Como
o valor de F (2,17) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, não se pode afirmar estatisticamente que a variação no número de
iterações tabu produzirá resultados melhores para a função objetivo.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 417,00 com desvio padrão igual a
63,32. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 325,25 com desvio padrão igual a
51,71. Na análise do número de iterações no apêndice D.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 3.5, foi igual a 25,19. Como o valor de F (25,19) é superior a 4,10,
pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com mais de 95% de confiança) que o aumento no número de iterações
tabu produzirá uma busca mais rápida.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 62
Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida
Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 16564,50 com
desvio padrão igual a 372,61. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo
foi 17060,00 com desvio padrão igual a 594,64. Na análise dos valores da função objetivo
no apêndice E.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 9,97. Como
o valor de F (9,97) é superior a 4,10 , pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de confiança)
que o aumento de 3 para 5 iterações tabu produzirá resultados piores para a função
objetivo.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 380,30 com desvio padrão igual a
55,21. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 399,50 com desvio padrão igual a
66,60. Na análise do número de iterações no apêndice E.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 0,99. Como o valor de F (0,99) é inferior a 4,10 , não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com 95% de confiança) que a variação no número de iterações tabu não
produzirá uma busca mais rápida.
Análise das diferentes abordagens
Na avaliação de cada uma das quatro abordagens propostas, são apresentadas
avaliações tanto da qualidade da solução (ou seja, o valor da função objetivo) quanto do
número de iterações ocorridas. No entanto, na avaliação entre as quatro abordagens, será
feita apenas a análise da qualidade das soluções. Isto se deve por dois fatos: i) devido ao
grande número de testes, foram usados vários computadores, tornando a análise do tempo
de processamento questionável; ii) como o problema de layout não requer urgência de
resposta numa situação real, já que está associado ao planejamento estratégico (de médio e
longo prazo numa empresa), a relevância da discussão do tempo de processamento é
questionável, importando apenas a qualidade da solução.
Na comparação entre as quatro abordagens, realiza-se primeiro a análise entre as
duas abordagens de busca tabu e entre as duas abordagens de simulated annealing. Para
Capítulo 6 – Resultado das implementações 63
isso são tomados os melhores resultados entre as abordagens. Note que, do ponto de vista
estatístico, não houve um melhor resultado para a Busca Tabu Normal. Assim, para a Busca
Tabu Normal com 10 máquinas, tomou-se o experimento com 5 iterações tabu, por ter
apresentado a melhor média para a função objetivo (16944,50 ± 581,67). Tomou-se o
experimento de Busca Tabu Híbrida com 3 iterações tabu porque este experimento foi
estatisticamente superior (ao uso de 5 iterações tabu), cuja média dos valores da função
objetivo foi 16564,50 ± 372,61. A tabela 6.6 apresenta a avaliação entre as duas
abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 10,59) é superior ao valor de corte 4,1
(definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos),
indicando que a Busca Tabu Híbrida foi superior à Busca Tabu Normal.
Tabela 6.6 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 30305,03 30305,03 10,59 Dentro dos tratamentos 38 108715,95 2860,95
TOTAL 39 139020,98
No simulated annealing com 10 máquinas, tanto na proposta de CHWIF et al. (1998)
como no SA proposto (SA_Tiago) não houve, do ponto de vista estatístico, um melhor
resultado. Assim, nos dois casos tomou-se o experimento com temperatura inicial igual a
50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999, sendo que para CHWIF et al. (1998) foi usado
β igual a 100. Este experimento de CHWIF et al. (1998) apresentou média para a função
objetivo igual a 16815,20 ± 590,06. Da mesma forma, no SA proposto (SA_Tiago), o
experimento apresentou média igual a 16213,75 ± 145,94. A tabela 6.7 apresenta a
avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 19,58) é superior
ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade
dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998).
Tabela 6.7 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 3617421,03 3617421,03 19,58
Dentro dos tratamentos 38 7019860,95 184733,18
TOTAL 39 10637281,98
As figuras 6.3 e 6.4 abaixo apresentam dois resultados para os dois SA. Note que na
proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.3, não há necessariamente a
formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores alegam. No entanto,
isto pode ser verificado em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 64
Figura 6.3 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).
Figura 6.4 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 65
Como para 10 máquinas, SA_Tiago e BT Híbrida apresentaram melhores resultados,
foram comparados os resultados destes dois experimentos para o valor da função objetivo.
A tabela 6.8 apresenta a avaliação entre estes experimentos. Note que o valor de F (igual a
15,37) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos
graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago (cuja média foi 16213,75 ±
145,94) foi superior à BT Híbrida (cuja média foi 16564,50 ± 372,61).
Tabela 6.8 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 1230255,63 1230255,63 15,37
Dentro dos tratamentos 38 3042606,75 80068,60
TOTAL 39 4272862,38
6.2.2 Análise dos Resultados para 12 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e
β = 100;
• C (temperatura inicial), para os valores To = 12000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 173,95, analisando-se a tabela 6.9, não pode-se
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das
possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de
uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença entre as médias
dos valores nos 8 experimentos (combinações de fatores) testados, a variância associada
aos experimentos levou a valores de F inferiores ao erro (igual a 173,95).
Tabela 6.9 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.2.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
-31,94 -33,19 -33,22 33,28 33,23 33,23 -33,08
Capítulo 6 – Resultado das implementações 66
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 1525,06. Analisando-se a tabela
6.10, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 12 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos oito
experimentos com 12 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.10 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.2.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
47606,61 3,40 3,71 2,00 5,30 0,00 14,99
Análise do SA proposto (SA_Tiago)
Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação testou-se os
fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (temperatura inicial), para os valores To = 12000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 131,26, analisando-se a tabela 6.11, pode-se afirmar
estatisticamente que o fator A (taxa de resfriamento) foi significativo na obtenção de uma
solução melhor para a função objetivo. Neste caso, há a expectativa de obtenção de valores
melhores para a função objetivo quando o fator A for igual a α = 0,9999, independente dos
demais fatores testados.
Tabela 6.11 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.2.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
150,63 0,06 0,28
Capítulo 6 – Resultado das implementações 67
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2102,89. Analisando-se a tabela
6.12, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 12 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, há a expectativa de obtenção de um
valor melhor para a função objetivo para experimentos com taxa de resfriamento α = 0,9999.
No entanto, há a expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa
de resfriamento é α = 0,99.
Tabela 6.12 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.2. A
(taxa de resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
25640,74 3,52 5,29
Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal
Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 24426,85 com
desvio padrão igual a 359,08. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo
foi 24967,45 com desvio padrão igual a 872,17. Na análise dos valores da função objetivo
no apêndice D.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 6,57. Como
o valor de F (6,57) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de confiança)
que há a expectativa de produzir resultados melhores para a função objetivo com 3
iterações tabu.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 462,05 com desvio padrão igual a
63,02. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 457,85 com desvio padrão igual a
90,34. Na análise do número de iterações no apêndice D.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 0,03. Como o valor de F (0,03) é inferior a 4,10 não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode afirmar
Capítulo 6 – Resultado das implementações 68
estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá uma busca mais
rápida.
Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida
Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 24624,60 com
desvio padrão igual a 403,55. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo
foi 25158,80 com desvio padrão igual a 670,17. Na análise dos valores da função objetivo
no apêndice E.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 9,33. Como
o valor de F (9,33) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de confiança)
que há a expectativa de produzir resultados melhores para a função objetivo com 3
iterações tabu.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 433,45 com desvio padrão igual a
51,50. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 434,10 com desvio padrão igual a
64,42. Na análise do número de iterações no apêndice E.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 0,00. Como o valor de F (0,00) é inferior a 4,10 , não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com 95% de confiança) que a variação no número de iterações tabu não
produzirá uma busca mais rápida.
Análise das diferentes abordagens
Novamente, na avaliação entre as quatro abordagens, será feita apenas a análise da
qualidade das soluções. Para isso são tomados os melhores resultados entre as
abordagens ou o experimento com a melhor média quando isso não puder ser identificado
do ponto de vista estatístico.
Para a Busca Tabu Normal com 12 máquinas, do ponto de vista estatístico, o melhor
experimento foi com 3 iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 24426,85 ±
359,08. Da mesma forma, tomou-se o experimento com 3 iterações tabu para a BT Híbrida,
cuja média dos valores da função objetivo foi 24624,60 ± 403,55. A tabela 6.10 apresenta a
Capítulo 6 – Resultado das implementações 69
avaliação entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 2,68) é inferior ao
valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos
tratamentos), não havendo a rejeição à hipótese de igualdade entre as duas abordagens de
BT.
Tabela 6.13 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 391050,63 391050,63 2,68 Dentro dos tratamentos 38 5543991,35 145894,51
TOTAL 39 5935041,98
No simulated annealing com 12 máquinas, não houve na proposta de CHWIF et al.
(1998), do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Nesta proposta, a melhor média
(24841,20 ± 797,80) ocorreu para temperatura inicial igual a 50000, taxa de resfriamento
igual a 0,9999 e β igual a 100. No SA proposto (SA_Tiago), do ponto de vista estatístico, o
melhor experimento ocorreu para temperatura inicial igual a 12000 e taxa de resfriamento
igual a 0,9999, cuja média para a função objetivo foi 24097,30 ± 287,97. A tabela 6.13
apresenta a avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a
15,38) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos
graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al.
(1998).
Tabela 6.14 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 5533872,10 5533872,10 15,38 Dentro dos tratamentos 38 13668779,40 359704,72
TOTAL 39 19202651,50
As figuras 6.5 e 6.6 a seguir apresentam dois resultados para os dois SA. Note que
na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.5, não há necessariamente a
formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores alegam. No entanto,
isto pode ser verificado em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 70
Figura 6.5 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).
Figura 6.6 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 71
Para 12 máquinas, serão comparados SA_Tiago (que apresentou melhores
resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (já que não foi identificada uma BT
estatisticamente superior). A tabela 6.14 apresenta a avaliação entre estes experimentos.
Note que o valor de F (igual a 10,25) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do
nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago
(cuja média foi 24097,30 ± 287,97) foi superior à BT Normal (cuja média foi 24426,85 ±
359,08).
Tabela 6.15 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 1086032,03 1086032,03 10,25 Dentro dos tratamentos 38 4025424,75 105932,23
TOTAL 39 5111456,77
6.2.3 Análise dos Resultados para 15 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e
β = 100;
• C (temperatura inicial), para os valores To = 15000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 480,29, analisando-se a tabela 6.15, não pode-se
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das
possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de
uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença entre as médias
dos valores nos 8 experimentos (combinações de fatores) testados, a variância associada
aos experimentos levou a valores de F inferiores ao erro (igual a 480,29).
Tabela 6.16 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.3 A
(taxa de resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
-46,91 -48,34 -48,32 48,73 48,78 48,51 -47,91
Capítulo 6 – Resultado das implementações 72
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2189,27. Analisando-se a tabela
6.16, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 15 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos oito
experimentos com 15 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.17 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.3.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
12279,70 1402,82 1083,32 1460,88 1161,50 1510,70 1353,31
Análise do SA proposto (SA_Tiago)
Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação testou-se os
fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (temperatura inicial), para os valores To = 15000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 272,31, analisando-se a tabela 6.17, pode-se afirmar
com 95% de confiança que a hipótese de igualdade entre os experimentos não pode ser
rejeitada.
Tabela 6.18 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.3.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
173,74 0,13 0,00
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2175,05. Analisando-se a tabela
Capítulo 6 – Resultado das implementações 73
6.18, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 15 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro
experimentos com 15 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.19 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.3. A
(taxa de resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
21899,54 2,63 3,47
Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal
Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 43496,70 com
desvio padrão igual a 736,24. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo
foi 43594,25 com desvio padrão igual a 1054,51. Na análise dos valores da função objetivo
no apêndice D.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 0,12. Como
o valor de F (0,12) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, não se pode afirmar estatisticamente que a variação no número de
iterações tabu produzirá resultados melhores para a função objetivo.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 501,00 com desvio padrão igual a
78,15. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 476,10 com desvio padrão igual a
95,55. Na análise do número de iterações no apêndice D.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 3.5, foi igual a 0,81. Como o valor de F (0,81) é inferior a 4,10 não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode afirmar
estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá uma busca mais
rápida.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 74
Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida
Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Para 3 iterações tabu, a média dos
valores da função objetivo foi 44390,80 com desvio padrão igual a 1301,57. Para 5 iterações
tabu, a média dos valores da função objetivo foi 43898,75 com desvio padrão igual a
1228,19. Na análise dos valores da função objetivo no apêndice E.1.1, o valor calculado
para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 1,51. Como o valor de F (1,51) é inferior a 4,10
não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode
afirmar estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá resultados
melhores para a função objetivo.
Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 435,30 com desvio padrão igual a
60,00. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 466,25 com desvio padrão igual a
65,97. Na análise do número de iterações no apêndice E.1.1, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 2,41. Como o valor de F (2,41) é inferior a 4,10 , não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com 95% de confiança) que a variação no número de iterações tabu não
produzirá uma busca mais rápida.
Análise das diferentes abordagens
Novamente, na avaliação entre as quatro abordagens, será feita apenas a análise da
qualidade das soluções. Para isso são tomados os melhores resultados entre as
abordagens ou o experimento com a melhor média quando isso não puder ser identificado
do ponto de vista estatístico.
Para a BT Normal e BT Híbrida com 15 máquinas, não foi possível rejeitar a hipótese
de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com 5
iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 43594,25 ± 1054,51. Da mesma forma,
tomou-se o experimento com 3 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos valores da
função objetivo foi 44390,80 ± 1301,57. A tabela 6.19 apresenta a avaliação entre as duas
abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 4,52) é superior ao valor de corte 4,1
(definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos),
indicando que BT Normal foi superior à BT Híbrida.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 75
Tabela 6.20 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 6344919,03 6344919,03 4,52 Dentro dos tratamentos 38 53315098,95 1403028,92
TOTAL 39 59660017,98
Para o SA de CHWIF et al. (1998) e SA_Tiago com 15 máquinas, não foi possível rejeitar a
hipótese de igualdade entre os experimentos. Assim, para o SA de CHWIF et al. (1998)
tomou-se a média 43681,70 ± 1202,26, que ocorreu para temperatura inicial igual a 50000,
taxa de resfriamento igual a 0,9999 e β igual a 50. No SA_Tiago, tomou-se o experimento
que ocorreu para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999,
cuja média para a função objetivo foi 41870,75 ± 376,16. A tabela 6.20 apresenta a
avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 41,33) é superior
ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade
dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998).
Tabela 6.21 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 32795399,02 32795399,02 41,33 Dentro dos tratamentos 38 30151577,95 793462,58
TOTAL 39 62946976,97
As figuras 6.7 e 6.8 a seguir apresentam dois resultados para os dois SA. Note que,
novamente, na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.7, não há
necessariamente a formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores
alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago.
Para 15 máquinas, serão comparados SA_Tiago (que apresentou melhores
resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (que apresentou melhores resultados
que BT Híbrido). A tabela 6.21 apresenta a avaliação entre estes experimentos. Note que o
valor de F (igual a 10,25) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de
confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago (cuja
média foi 41870,75 ± 376,16) foi superior a BT Normal (cuja média foi 43594,25 ± 1054,51).
Capítulo 6 – Resultado das implementações 76
Figura 6.7 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).
Figura 6.8 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 77
Tabela 6.22 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 1086032,03 1086032,03 10,25 Dentro dos tratamentos 38 4025424,75 105932,23
TOTAL 39 5111456,77
6.2.4 Análise dos Resultados para 20 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e
β = 100;
• C (temperatura inicial), para os valores To = 20000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 853,78, analisando-se a tabela 6.22 não pode-se
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das
possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de
uma solução melhor para a função objetivo.
Tabela 6.23 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.4.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
-2,40 -5,13 -5,13 5,13 5,13 5,14 -5,10
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2300,48. Analisando-se a tabela
6.23, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 20 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não
há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos demais) para a função
objetivo para qualquer um dos oito experimentos com 20 máquinas. No entanto, há a
expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa de resfriamento
é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 78
Tabela 6.24 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.4. A
(taxa de resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
18239,70 0,16 4,63 0,05 17,19 1,85 4,17
Análise do SA proposto (SA_Tiago)
Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação testou-se os
fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (temperatura inicial), para os valores To = 20000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 430,84, analisando-se a tabela 6.24, não se pode
rejeitar a hipótese de igualdade nos 4 experimentos. Para o número de iterações realizadas
nos vários experimentos, o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi
igual a 1715,62. Analisando-se a tabela 6.25, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a
variação do fator A (taxa de resfriamento) foi significativa na identificação do número total de
iterações executadas nos experimentos com 20 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao
executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos
demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro experimentos com 20
máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número menor de iterações
quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.
Tabela 6.25 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.4.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
192,41 0,19 0,51
Tabela 6.26 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.4.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
29774,47 0,26 0,40
Capítulo 6 – Resultado das implementações 79
Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal
Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 5 e it = 7. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 5 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 7. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 101968,45 com
desvio padrão igual a 1786,27. Para 7 iterações tabu, a média dos valores da função
objetivo foi 101480,90 com desvio padrão igual a 1817,74. Na análise dos valores da função
objetivo no apêndice D.4, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 0,73.
Como o valor de F (0,73) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre
os experimentos.
Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 286,74 com desvio padrão igual a
59,50. Para 7 iterações tabu, a média de iterações foi 245,80 com desvio padrão igual a
55,68. Na análise do número de iterações no apêndice D.4, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 5,05. Como o valor de F (5,05) é superior a 4,10, pode-
se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com mais de 95% de confiança) que o aumento no número de iterações
tabu produzirá uma busca mais rápida.
Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida
Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 5 e it = 7. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 5 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 7. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 103462,50 com
desvio padrão igual a 2531,45. Para 7 iterações tabu, a média dos valores da função
objetivo foi 101611,95 com desvio padrão igual a 1518,40. Na análise dos valores da função
objetivo no apêndice E.4, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 7,86.
Como o valor de F (7,86) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os
experimentos. Ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de confiança)
que a redução no número de iterações tabu produzirá resultados piores para a função
objetivo.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 80
. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 449,40 com desvio padrão igual a
49,46. Para 7 iterações tabu, a média de iterações foi 427,30 com desvio padrão igual a
66,00. Na análise do número de iterações no apêndice E.4, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 1,44. Como o valor de F (1,44) é inferior a 4,10 , não se
pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com 95% de confiança) que a variação no número de iterações tabu não
produzirá uma busca mais rápida.
Análise das diferentes abordagens
Novamente, na avaliação entre as quatro abordagens, será feita apenas a análise da
qualidade das soluções. Para isso são tomados os melhores resultados entre as
abordagens ou o experimento com a melhor média quando isso não puder ser identificado
do ponto de vista estatístico.
Para a BT Normal e BT Híbrida com 20 máquinas, não foi possível rejeitar a hipótese
de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com 7
iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 101480,90 ± 1817,74. Da mesma
forma, tomou-se o experimento com 7 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos
valores da função objetivo foi 101611,95 ± 1518,40. A tabela 6.26 apresenta a avaliação
entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 0,06) é inferior ao valor de
corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos
tratamentos), não havendo a rejeição à hipótese de igualdade entre as duas abordagens de
BT.
Tabela 6.27 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 171741,03 171741,03 0,06 Dentro dos tratamentos 38 106584580,75 2804857,39
TOTAL 39 106756321,78
No simulated annealing com 20 máquinas, não houve na proposta de CHWIF et al.
(1998), do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Nesta proposta, a melhor média
(100864,75 ± 1790,69) ocorreu para temperatura inicial igual a 20000, taxa de resfriamento
igual a 0,9999 e β igual a 100. No SA proposto (SA_Tiago), do ponto de vista estatístico, o
melhor experimento ocorreu para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento
igual a 0,9999, cuja média para a função objetivo foi 96673,10 ± 1111,96. A tabela 6.27
apresenta a avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a
Capítulo 6 – Resultado das implementações 81
79,09) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos
graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al.
(1998).
Tabela 6.28 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 175699297,23 175699297,23 79,09 Dentro dos tratamentos 38 84417987,55 2221525,99
TOTAL 39 260117284,77
As figuras 6.9 e 6.10 a seguir apresentam resultados para os dois SA. Note que,
novamente, na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.9, não há
necessariamente a formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores
alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago (figura 6.10). Além disso, na
figura 6.9 fica claro um dos riscos observados no algoritmo de CHWIF et al. (1998), quando
duas máquinas (a esquerda da figura) foram posicionadas fora da região (disponível) de
trabalho.
Para 20 máquinas, serão comparados SA_Tiago (que apresentou melhores
resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (já que não foi identificada uma BT
estatisticamente superior). A tabela 6.28 apresenta a avaliação entre estes experimentos.
Note que o valor de F (igual a 101,81) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do
nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago
(cuja média foi 96673,10 ± 1111,96) foi superior a BT Normal (cuja média foi 101480,90 ±
1817,74).
Tabela 6.29 -Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 231149408,40 231149408,40 101,81 Dentro dos tratamentos 38 86271957,60 2270314,67
TOTAL 39 317421366,00
6.2.5 Análise dos Resultados para 30 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
Capítulo 6 – Resultado das implementações 82
Figura 6.9 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).
Figura 6.10 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 83
6.2.5 Análise dos resultados para 30 Máquinas
Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)
Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e
β = 100;
• C (temperatura inicial), para os valores To = 30000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 5364,00, analisando-se a tabela 6.29, não pode-se
afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das
possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de
uma solução melhor para a função objetivo.
Tabela 6.30 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.5.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
11,73 7,20 7,18 -7,11 -7,16 -7,15 7,16
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 3733,73. Analisando-se a tabela
6.30, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 30 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não
há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos demais) para a função
objetivo para qualquer um dos oito experimentos com 30 máquinas. No entanto, há a
expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa de resfriamento
é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.
Tabela 6.31 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.5.
A (taxa de
resfriamento)
B (Beta)
C (Temperatura
inicial) AB AC BC ABC
9920,08 261,77 261,73 -347,08 -362,65 -260,15 460,02
Capítulo 6 – Resultado das implementações 84
Análise do SA proposto (SA_Tiago)
Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação testou-se os
fatores:
• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;
• B (temperatura inicial), para os valores To = 20000 e To = 50000.
Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos
valores da função objetivo foi igual a 1130,38, analisando-se a tabela 6.31, pode-se afirmar
estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de resfriamento) foi significativa na
obtenção de uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença
entre as médias dos valores nos 4 experimentos (combinações de fatores) testados, a
variância associada aos experimentos levou a valores de F superiores ao erro (igual a
1130,38). Tabela 6.32 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.5.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
225,68 0,49 0,36
Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado
para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 2091,05. Analisando-se a tabela
6.32, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de
resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos
experimentos com 30 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações
entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.
Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um
valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro
experimentos com 30 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número
menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores
para os demais fatores.
Tabela 6.33 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.5.
A (taxa de
resfriamento)
B (Temperatura
inicial) AB
18994,98 0,69 0,64
Capítulo 6 – Resultado das implementações 85
Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal
Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 10 e it = 12. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 10 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 12. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 10 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 232268,00 com
desvio padrão igual a 3246,30. Para 12 iterações tabu, a média dos valores da função
objetivo foi 237684,95 com desvio padrão igual a 4574,77. Na análise dos valores da função
objetivo no apêndice D.5, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a
56,65. Como o valor de F (56,65) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade
entre os experimentos, ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de
confiança) que o aumento no número de iterações tabu produzirá uma piora da função
objetivo.
Para 10 iterações tabu, a média de iterações foi 770,85 com desvio padrão igual a
133,47. Para 12 iterações tabu, a média de iterações foi 193,20 com desvio padrão igual a
40,48. Na análise do número de iterações no apêndice D.5, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 381,06. Como o valor de F (381,06) é superior a 4,10,
pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com mais de 95% de confiança) que o aumento no número de iterações
tabu produzirá uma busca mais rápida.
Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida
Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator
número de iterações tabu, para os valores it = 10 e it = 12. Assim, o que se fez foi testar a
hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 10 e μ2
corresponde ao experimento considerando it = 12. Neste caso, obteve-se de BOX et al.
(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.
Para 10 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 233843,45 com
desvio padrão igual a 4760,07. Para 12 iterações tabu, a média dos valores da função
objetivo foi 234925,25 com desvio padrão igual a 4036,01. Na análise dos valores da função
objetivo no apêndice E.5, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 0,60.
Como o valor de F (0,60) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre
os experimentos.
Capítulo 6 – Resultado das implementações 86
Para 10 iterações tabu, a média de iterações foi 607,20 com desvio padrão igual a
137,64. Para 12 iterações tabu, a média de iterações foi 433,30 com desvio padrão igual a
32,88. Na análise do número de iterações no apêndice E.5, o valor calculado para F,
conforme a equação 2.5, foi igual a 30,20. Como o valor de F (30,20) é superior a 4,10,
pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar
estatisticamente (com mais de 95% de confiança) que o aumento no número de iterações
tabu produzirá uma busca mais rápida.
Análise das diferentes abordagens
Novamente, na avaliação entre as quatro abordagens, será feita apenas a análise da
qualidade das soluções. Para isso são tomados os melhores resultados entre as
abordagens ou o experimento com a melhor média quando isso não puder ser identificado
do ponto de vista estatístico.
Para a BT Normal e BT Híbrida com 30 máquinas, não foi possível rejeitar a hipótese
de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com
10 iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 232268,00 ± 3246,30. Da mesma
forma, tomou-se o experimento com 10 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos
valores da função objetivo foi 233843,45 ± 4760,07. A tabela 6.33 apresenta a avaliação
entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 1,50) é inferior ao valor de
corte 4,10 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos
tratamentos), não havendo a rejeição à hipótese de igualdade entre as duas abordagens de
BT.
Tabela 6.34 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 24820427,03 24820427,03 1,50 Dentro dos tratamentos 38 630738088,95 16598370,76
TOTAL 39 655558515,98
No simulated annealing com 30 máquinas, não houve na proposta de CHWIF et al.
(1998) e em SA_Tiago, do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Na proposta de
CHWIF et al. (1998), a melhor média (224698,56 ± 5220,18) ocorreu para temperatura inicial
igual a 30000, taxa de resfriamento igual a 0,9999 e β igual a 50. Em SA_Tiago, tomou-se o
experimento para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999,
cuja média para a função objetivo foi 222584,90 ± 1931,54. A tabela 6.34 apresenta a
avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 2,88) é inferior ao
Capítulo 6 – Resultado das implementações 87
valor de corte 4,10 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos
tratamentos), não havendo a rejeição à hipótese de igualdade entre as duas abordagens de
SA.
Tabela 6.35 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 44675374,59 44675374,59 2,88 Dentro dos tratamentos 38 588641048,17 15490553,90
TOTAL 39 633316422,76
As figuras 6.11 e 6.12 a seguir apresentam resultados para os dois SA. Note que,
novamente, na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.11, não há
necessariamente a formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores
alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago (figura 6.12). Além disso, na
figura 6.11 fica claro um dos riscos observados no algoritmo de CHWIF et al. (1998), quando
duas máquinas (acima na figura) foram posicionadas fora da região (disponível) de trabalho.
Para 30 máquinas, serão comparados SA_Tiago (que apresentou melhores
resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (já que não foi identificada uma BT
estatisticamente superior). A tabela 6.35 apresenta a avaliação entre estes experimentos.
Note que o valor de F (igual a 131,42) é superior ao valor de corte 4,10 (definido a partir do
nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago
(cuja média foi 222584,90 ± 1931,54) foi superior a BT Normal (cuja média foi 232268,00 ±
3246,30).
Tabela 6.36 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.
Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 937624256,10 937624256,10 131,42 Dentro dos tratamentos 38 271116707,80 7134650,21
TOTAL 39 1208740963,90
Capítulo 6 – Resultado das implementações 88
Figura 6.11 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).
Figura 6.12 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.
Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuros 89
7 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
Esta dissertação apresentou o problema de layout com a possibilidade de variação
do fator de aspecto das máquinas. O objetivo deste trabalho foi analisar o uso de
abordagens de Busca Tabu (BT) para o problema proposto, já que na literatura predomina o
uso do Simulated Annealing (SA). Assim, foram usadas quatro abordagens heurísticas para
resolver o problema proposto, sendo duas usando o simulated annealing e duas abordagens
usando busca tabu. Das quatro abordagens apresentadas, apenas o simulated annealing
proposto por CHWIF et al. (1998) foi extraído da literatura, sendo as outras três propostas
originais deste trabalho. Com isso, foram feitos testes para cada uma das abordagens,
visando a comparação entre as abordagens. Os testes foram executados a partir de
problemas propostos na literatura (TAM, 1991) para 10, 12, 15, 20 e 30 máquinas. Para
comparar as abordagens, adotou-se a Análise de Variância (ANOVA), que é um tratamento
estatístico específico para este fim.
Para 10 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em
cada uma das abordagens de busca tabu indicou que o algoritmo Busca Tabu Híbrida foi
superior ao algoritmo Busca Tabu Normal. Da mesma forma, identificou-se que o algoritmo
de simulated annealing SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na
comparação entre as abordagens de SA e BT indicou que o algoritmo SA_Tiago foi superior
à Busca Tabu Híbrida.
Para 12 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em
cada uma das abordagens de busca tabu indicou que os algoritmos Busca Tabu Híbrida e
Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Por sua vez, identificou-se que o algoritmo
de simulated annealing SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na
comparação entre as abordagens de SA e BT indicou que o algoritmo SA_Tiago foi superior
à Busca Tabu.
Para 15 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em
cada uma das abordagens de busca tabu indicou que, ao contrário do que ocorreu com 10
máquinas, o algoritmo Busca Tabu Normal foi superior ao algoritmo Busca Tabu Híbrida. Por
sua vez, identificou-se que o algoritmo de simulated annealing SA_Tiago novamente foi
superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na comparação entre as abordagens de SA e BT
indicou que o algoritmo SA_Tiago foi novamente superior à Busca Tabu (neste caso, BT
Normal).
Para 20 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em
cada uma das abordagens de busca tabu indicou que os algoritmos Busca Tabu Híbrida e
Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuros 90
Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Por sua vez, identificou-se que o algoritmo
de simulated annealing SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na
comparação entre as abordagens de SA e BT indicou que o algoritmo SA_Tiago foi superior
à Busca Tabu.
Para 30 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em
cada uma das abordagens de busca tabu indicou que os algoritmos Busca Tabu Híbrida e
Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Da mesma forma, identificou-se que os
algoritmos SA_Tiago e CHWIF et al. (1998) têm desempenho similares. Por fim, na
comparação entre as abordagens de SA e BT comparou-se o algoritmo SA_Tiago com
Busca Tabu Normal. Novamente, o algoritmo SA_Tiago foi superior à Busca Tabu.
A partir da análise do comportamento dos algoritmos pode-se concluir que:
• Na comparação entre as abordagens de simulated annealing, o algoritmo SA_Tiago teve
desempenho sempre superior ou similar ao proposto por CHWIF et al. (1998);
• Apesar do que foi afirmado por CHWIF et al. (1998), seu algoritmo não tem a “propensão
natural” a formar “corredores lineares” entre as máquinas, como pode ser observado nas
figuras apresentadas no capítulo 6. Por sua vez, os algoritmos SA_Tiago e os de BT têm
a propriedade de formar “corredores lineares”. De fato, a implementação destes três
últimos algoritmos têm isto como restrição. Assim, o desafio nestas três implementações
é minimizar espaços ociosos juntos aos corredores, como pode ser observado nas
figuras indicadas no capítulo 6. Devido ao seu comportamento similar, apenas foram
apresentadas figuras obtidas a partir de SA_Tiago no capítulo 6;
• O algoritmo SA_Tiago foi sempre superior à busca tabu, para todas as máquinas. Este
resultado, em princípio decepcionante, permitiu constatar que o aspecto aleatório dos
movimentos gerados no simulated annealing favoreceu esta abordagem a sair de pontos
ótimos locais. Por sua vez, a análise da busca usando o algoritmo de busca tabu indicou
que esta abordagem converge em poucas iterações (sempre inferior a 50) para um
ponto de ótimo local, mas que, a partir daí, apresenta grande dificuldade a pontos de
ótimo local ainda mais promissores. Exatamente por este motivo, foram testadas duas
formas de diversificação (BT Normal e BT Híbrida), buscando-se mecanismos que
favoreçam a identificação de novos pontos de ótimo local promissores. No entanto, a
eficiência destes mecanismos foi limitada, como indicaram os resultados;
• Não foi possível testar a busca tabu reativa, que foi citada na revisão bibliográfica,
porque isto implicaria em aumentar ainda mais a grande quantidade de testes realizados
neste trabalho. Assim, a implementação da busca tabu reativa será deixada como
trabalhos futuros;
Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuros 91
• A busca tabu favorece a incorporação do conhecimento, através dos seus mecanismos
de memória. Assim, em trabalhos futuros, pretende-se incorporar mais informações à
solução do problema, como o uso dos resultados do problema de formação de células,
que indica possíveis agrupamentos entre máquinas;
• O desempenho da busca tabu aquém do esperado indica o quão complexo é o problema
de layout de máquinas. De fato, agora está claro que há dois problemas a serem
resolvidos: i) qual o agrupamento ideal de máquinas?; e ii) qual o fator de aspecto ótimo
para cada máquina (que dependerá do agrupamento de máquinas)? Estas questões
serão abordadas nos trabalhos de mestrado já em andamento, orientados pelo prof. Luiz
Rodrigues;
• Esta dissertação serviu como um grande aprendizado sobre o problema de layout. A
partir desta primeira orientação do prof. Luiz Rodrigues, neste tema, estão planejadas
mais duas dissertações associadas ao problema de layout. Assim, estão previstos novos
testes com a busca tabu e algoritmos genéticos, entre outras heurísticas.
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Apêndice A - MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS 100
APÊNDICE A – MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS
MÁQUINAS
Nesta seção são apresentadas as tabelas com os volumes de peças que circulam entre as
diversas máquinas no chão de fábrica, retiradas do problema apresentado por NUGENT et
al. (1967).
A.1 – Fluxo entre 10 máquinas
Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 - 10 0 5 1 0 1 2 2 2 2 - 1 3 2 2 2 3 2 0 3 - 10 2 0 2 5 4 5 4 - 1 1 5 0 0 2 5 - 3 5 5 5 1 6 - 2 2 1 5 7 - 6 0 1 8 - 5 2 9 - 0
Máq
uina
s
10 -
A.2 – Fluxo entre 12 máquinas
Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 - 5 2 4 1 0 0 6 2 1 1 1 2 - 3 0 2 2 2 0 4 5 0 0 3 - 0 0 0 0 5 5 2 2 2 4 - 5 2 2 10 0 0 5 5 5 - 10 0 0 0 5 1 1 6 - 5 1 1 5 4 0 7 - 10 5 2 3 3 8 - 0 0 5 0 9 - 0 10 10
10 - 5 0 11 - 2
Máq
uina
s
12 -
Apêndice A - MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS 101
A.3 – Fluxo entre 15 máquinas
Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 - 10 0 5 1 0 1 2 2 2 2 0 4 0 0 2 - 1 3 2 2 2 3 2 0 2 0 10 5 0 3 - 10 2 0 2 5 4 5 2 2 5 5 5 4 - 1 1 5 0 0 2 1 0 2 5 0 5 - 3 5 5 5 1 0 3 0 5 5 6 - 2 2 1 5 0 0 2 5 10 7 - 6 0 1 5 5 5 1 0 8 - 5 2 10 0 5 0 0 9 - 0 10 5 10 0 2
10 - 0 4 0 0 5 11 - 5 0 5 0 12 - 3 3 0 13 - 10 2 14 - 4
Máq
uina
s
15 -
A.4 – Fluxo entre 20 máquinas
Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 - 0 5 0 5 2 10 3 1 5 5 5 0 0 5 4 4 0 0 1 2 - 3 10 5 1 5 1 2 4 2 5 0 10 10 3 0 5 10 5 3 - 2 0 5 2 4 4 5 0 0 0 5 1 0 0 5 0 0 4 - 1 0 5 2 1 0 10 2 2 0 2 1 5 2 5 5 5 - 5 6 5 2 5 2 0 5 1 1 1 5 2 5 1 6 - 5 2 1 6 0 0 10 0 2 0 1 0 1 5 7 - 0 0 0 5 10 2 2 5 1 2 1 0 10 8 - 1 1 10 10 2 0 10 2 5 2 2 10 9 - 2 0 3 5 5 2 5 0 0 0 2
10 - 5 5 0 5 1 0 0 5 5 2 11 - 5 2 5 1 10 0 2 2 5 12 - 2 10 5 0 1 1 2 5 13 - 2 2 1 0 0 0 5 14 - 5 5 1 5 5 0 15 - 3 0 5 10 10 16 - 0 0 2 0 17 - 5 2 0 18 - 1 1 19 - 6
Máq
uina
s
20 -
Apêndice A - MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS 102
A.5 – Fluxo entre 30 máquinas
Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 - 3 2 0 0 2 10 5 0 5 2 5 0 0 2 0 5 6 3 0 1 10 0 10 2 1 1 1 0 1 2 - 4 0 10 4 0 0 2 2 1 0 5 0 0 0 0 2 0 1 6 1 0 1 2 2 5 1 10 5 3 - 3 4 0 5 5 5 1 4 1 0 4 0 4 0 6 3 2 5 5 2 1 0 0 3 1 0 2 4 - 0 0 0 2 2 0 6 0 2 5 2 5 1 1 1 1 2 2 4 0 2 0 2 2 5 5 5 - 5 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 5 1 0 2 1 0 2 1 6 - 1 2 2 1 4 10 10 2 5 5 0 5 0 0 0 10 0 0 0 4 0 10 1 1 7 - 10 10 5 10 10 6 0 0 10 2 1 10 1 5 5 2 3 5 0 2 0 1 3 8 - 1 3 5 0 0 0 2 4 5 2 10 6 0 5 5 2 5 0 5 5 0 2 9 - 10 2 1 5 2 0 3 0 2 0 0 4 0 5 2 0 5 2 2 5 2
10 - 5 5 6 0 1 5 5 0 5 2 3 5 0 5 2 10 10 1 5 2 11 - 0 0 1 2 1 0 2 0 0 0 6 6 0 4 5 3 2 2 10 12 - 5 5 2 0 0 0 0 2 0 4 5 10 1 0 0 0 0 1 13 - 2 0 4 2 2 1 0 6 2 1 5 5 0 0 1 5 5 14 - 2 1 0 5 3 10 0 0 4 2 0 0 4 2 5 5 15 - 4 5 1 0 1 0 5 0 2 0 0 5 1 1 0 16 - 0 3 0 2 2 0 2 0 5 0 5 2 5 10 17 - 2 2 0 0 0 6 5 3 5 0 0 5 1 18 - 5 1 2 10 10 4 0 0 5 0 0 0 19 - 0 5 5 1 0 5 2 1 2 10 10 20 - 5 2 1 3 1 5 6 5 5 3 21 - 4 0 1 0 0 0 5 0 0 22 - 5 0 4 4 5 0 2 5 23 - 0 4 4 1 0 2 2 24 - 5 5 0 1 0 0 25 - 1 0 10 1 0 26 - 0 0 0 0 27 - 0 0 10 28 - 2 2 29 - 2
Máq
uina
s
30 -
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
103
APÊNDICE B – RESULTADOS DO SIMULATED ANNEALING
Nesta seção são apresentadas as tabelas com os resultados obtidos em cada
execução das duas implementações do algoritmo de simulated annealing. Ou seja, para a
proposta de Chwif et al. (1998) e para o SA proposto neste trabalho.
B.1 – Resultados do algoritmo proposto por Chwif et al. (1998)
Foram gerados oito tratamentos, a partir da variação dos fatores: taxa de resfriamento,
valor do β (penalização por sobreposição de áreas) e temperatura inicial.
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
104
B.1- Para 10 Máquinas
Tabela B.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 10 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 10 10 10 10 10 10 10 10 Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução 1 17786 17127 18106 17285 16859 16510 17037 17019 2 19366 16115 19079 18280 19177 17497 19304 16484 3 20688 16824 21866 17909 18926 16787 18283 15960 4 18924 16067 18348 16621 19222 16424 18846 16632 5 21356 17607 17928 16199 18974 16548 17811 16499 6 20765 17816 19851 17062 18725 16536 18245 17186 7 20470 16794 19600 16740 20441 17290 17835 17953 8 18645 18242 18603 16944 17979 17724 19732 15520 9 17740 17439 18178 16222 18526 17455 17448 17175
10 19743 17304 17172 17482 17933 17074 18891 17102 11 18674 17333 18030 16872 18301 16964 18428 16114 12 20970 17832 19156 16740 19023 16431 18129 16736 13 19384 17244 20055 17613 18441 16038 18270 17037 14 20305 18104 17654 16271 17836 16769 17938 16857 15 18743 18032 18361 17509 17944 16923 18829 16981 16 20402 17532 17937 16908 20145 17482 19108 17302 17 19689 17603 19492 17198 18769 16930 17884 17843 18 20840 17723 18590 16832 18446 16837 18203 16743 19 19245 17123 18484 17236 19204 16734 18478 16963 20 20267 17080 18141 16486 19157 16630 20095 16198
Mínimo 17740 16067 17172 16199 16859 16038 17037 15520 Média 19700,1 17347,05 18731,55 17020,45 18701,4 16879,15 18439,7 16815,2
Desvio padrão 1055,001916 586,4149308 1057,655275 556,3523566 809,6239803 434,9093402 748,3981561 590,0580346
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
105
Tabela B..2 - Apresentação do número de iterações do SA com 10 máquinas.
Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8 Número Máquinas 10 10 10 10 10 10 10 10
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial
(C) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 17810 339570 22026 342104 23720 360136 35178 350258 2 26700 349244 29142 360230 23540 369403 31207 321730 3 24558 347560 21930 359614 23398 340588 34664 361172 4 25576 323510 26382 329382 23034 337292 34676 366946 5 28218 341908 24188 345938 30992 360232 26442 349964 6 20952 338938 19966 332410 32754 362792 27510 356468 7 23000 322222 24810 344948 24606 348858 24196 355006 8 26892 344662 27856 350736 34332 387770 21132 346144 9 23756 319118 26270 315594 31352 338954 25486 366968 10 2950 332020 24986 339594 30322 369306 26394 375978 11 39256 345544 29656 342608 29402 356226 28768 358556 12 25348 351743 25896 348244 32508 351606 31808 348276 13 27403 340322 30676 335620 26276 373518 21146 342983 14 30468 334855 33002 340620 27308 365646 27493 357237 15 24815 335604 31276 338298 24040 348592 32032 345923 16 26502 347823 30152 345872 31298 355288 30448 341732 17 29105 332389 32183 332762 29958 349582 33498 338664 18 28140 348239 28400 335624 28345 344762 32014 359352 19 31129 342982 24738 332876 26524 350279 28332 349183 20 30450 330176 33938 333842 41578 350582 22822 364082
Mínimo 2950 319118 19966 315594 23034 337292 21132 321730 Média 25651,4 338421,45 27373,65 340345,8 28764,35 356070,6 28762,3 352831,1
Variância 47578652,46 90216656,58 15170063,08 106794244,6 21839427,92 162126390,7 19484631,8 145956766,1 Desvio padrão 6897,728065 9498,244921 3894,876517 10334,13008 4673,267371 12732,88619 4414,139984 12081,25681
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
106
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 10 máquinas foi:
D.P.(efeito) 128,7020306
Tabela B.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 10 máquinas.
Graus de liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento) 1 -2493939144,03 -2493939144,03 -48,76 B (Beta) 1 -2554534344,03 -2554534344,03 -49,95 C (Temperatura inicial) 1 -2548609344,03 -2548609344,03 -49,83 AB 1 2556039824,03 2556039824,03 49,98 AC 1 2556276944,03 2556276944,03 49,98 BC 1 2556062824,03 2556062824,03 49,98 ABC 1 -2551167744,03 -2551167744,03 -49,88 RESÍDUO 152 7773880674,00 51143951,80 TOTAL 159 5294009689,98
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 10 máquinas foi:
D.P.(efeito) 1474,990113
Tabela B.4 - ANOVA para o número de iterações do SA com 10 máquinas.
Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento) 1 4077571175618,91 4077571175618,91 53549,48
B (Beta) 1 410163,76 410163,76 0,01 C (Temperatura inicial) 1 2999139899,01 2999139899,01 39,39
AB 1 23033374,06 23033374,06 0,30 AC 1 1642607497,81 1642607497,81 21,57 BC 1 118616526,06 118616526,06 1,56 ABC 1 29576260,51 29576260,51 0,39 RESÍDUO 152 11574169830,85 76145854,15 TOTAL 159 4093958729170,94
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
107
B.2 - Para 12 Máquinas Tabela B.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 12 máquinas.
Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8 Número Máquinas 12 12 12 12 12 12 12 12
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - )
0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )
0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )
0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )
0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução Melhor solução
Melhor solução Melhor solução
Melhor solução Melhor solução
Melhor solução
1 27152 25385 27479 25426 31933 25548 25904 26588 2 26713 24859 27016 25174 27707 25221 27388 24494
3 28815 26224 26094 24700 28155 24729 26262 25960 4 29740 23735 25226 24304 27505 24446 30538 23554 5 27364 25256 29180 25037 28299 23963 25856 24322 6 27291 25391 28172 24863 28777 24264 26965 25806 7 26240 26340 24958 25780 27938 24243 27938 25128 8 28255 26255 26586 25586 28236 25140 26783 24661 9 27466 25466 28318 26118 28122 25347 28467 24823 10 26967 25167 27654 25654 27400 25113 26203 24966 11 27662 25662 26837 24737 30820 25583 26881 23615 12 27111 26611 27322 24522 29929 25923 27382 23923 13 26883 24883 28763 25163 29174 25347 28165 25391 14 28334 25634 31313 25870 25612 25387 29287 24387 15 26932 24932 28577 24577 28255 24313 25908 24343 16 27572 24672 27833 27833 28143 24686 27167 24632 17 29102 25102 28363 26363 29634 25622 28374 25112 18 27344 25344 27204 25504 27685 24819 27115 24532 19 29079 25579 26846 24846 27271 25421 27515 25985 20 26281 26041 28395 24722 27943 24224 25660 24602
Mínimo 26240 23735 24958 24304 25612 23963 25660 23554 Média 27615,15 25426,9 27606,8 25338,95 28426,9 24966,95 27287,9 24841,2
Variância 406477114,3 450779,0421 2018726,484 665090,7868 1865772,411 330640,5763 1563698,411 636480,5895
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
108
Tabela B.6 - Apresentação do número de iterações do SA com 12 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 12 12 12 12 12 12 12 12
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial
(C) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 40292 341168 31428 332444 27392 372130 25258 361378 2 68724 333092 41178 330584 40872 365266 32404 354768 3 39520 362494 30360 337620 34304 351262 52618 357808 4 30024 334914 43748 351022 35983 355490 48410 358420 5 45534 347228 30682 343388 36092 351828 36778 344060 6 33104 332292 33274 361376 29324 353404 50330 343455 7 38142 342494 42312 352342 34983 373138 37827 354366 8 43410 352314 39656 362494 49833 360652 35376 358176 9 37474 343328 25524 334245 43823 375738 38827 356346
10 28808 352322 32746 344538 38273 357334 31228 339543 11 41773 358094 35782 332872 42724 339646 36272 352960 12 43788 356214 29227 346494 28584 334165 39282 343121 13 36987 345228 42748 354314 32362 364848 51287 337545 14 47832 336592 34532 348765 28318 339572 47287 344238 15 50225 366434 36848 352866 31012 344394 36229 330172 16 55321 336456 38847 358876 36662 374828 41128 346294 17 49711 349834 40376 356866 35842 362073 45838 354544 18 35766 333092 39467 345233 42488 357820 38260 338072 19 28552 351763 33190 336782 35264 355922 51528 336394 20 39686 348738 29806 358330 29188 365506 35552 340138
Mínimo 28552 332292 25524 330584 27392 334165 25258 330172 Média 41733,65 346204,55 35586,55 347072,55 35666,15 357750,8 40585,95 347589,9
Variância 92646076,56 102269508,4 27645232,68 105665180,9 36244792,03 144760370,2 58937413,73 83059672,83 Desvio padrão 9625,283194 10112,83879 5257,873399 10279,35703 6020,364775 12031,64038 7677,070648 9113,707963
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
109
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 12 máquinas foi:
D.P.(efeito) 173,9475832
Tabela B.7 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 12 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 -2965220997,56 -2965220997,56 -31,94
B (Beta) 1 -3081845797,56 -3081845797,56 -33,19 C (Temperatura inicial)
1 -3084227727,56 -3084227727,56 -33,22
AB 1 3089587577,56 3089587577,56 33,28 AC 1 3085617527,56 3085617527,56 33,23 BC 1 3085039247,56 3085039247,56 33,23 ABC 1 -3071412327,56 -3071412327,56 -33,08 RESÍDUO 152 14112432337,00 92844949,59 TOTAL 159 11169969839,44
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 12 máquinas foi:
D.P.(efeito) 1525,062349
Tabela B.8 - ANOVA para o número de iterações do SA com 12 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 3875345742675,62 3875345742675,62 47606,61
B (Beta) 1 276686520,10 276686520,10 3,40 C (Temperatura inicial)
1 302252550,63 302252550,63 3,71
AB 1 162634758,40 162634758,40 2,00 AC 1 431103862,22 431103862,22 5,30 BC 1 3610,00 3610,00 0,00 ABC 1 1220560944,10 1220560944,10 14,99 RESÍDUO 152 12373336697,90 81403530,91 TOTAL 159 3890112321618,97
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
110
B.3 - Para 15 Máquinas
Tabela B.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 15 máquinas.
Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8 Número Máquinas 15 15 15 15 15 15 15 15
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + )
Temper. Inicial (C) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução
1 55867 43306 47859 42528 54714 51991 51734 41898 2 49145 41659 52521 45218 46087 50705 55604 45481 3 50356 44220 56103 44262 47663 60849 52122 44202 4 56530 45517 56274 42592 52382 58111 50418 44085 5 48383 43187 58936 45861 52055 48119 61166,29 44374 6 52145 43395 49164 42610 45689 52277 58277 44626 7 50676 44394 48371 43533 48472 53813,14 51003 43499 8 50063 42083 50237 42884 51336 50037 53152 42708 9 52006 44755 55883 45653 56211 49165 50614 42742
10 50069 42524 52750 43320 46187 53695 48546 42027 11 48959 41844 52133 46310 48001 53188 54426 43049 12 49332 44372 53689 43577 47496 47836 48031 44576 13 49509 44022 54691 41689 48938 57368 54200 45019 14 49666 45090 52319 44157 47383 52277 53807 44603 15 54857 42774 48725 43722 52316 50631 51548 43706 16 54625 44178 46411 42915 50787 54926 59248 42787 17 50815 45731 50644 44807 62832,57 49456 53157 42879 18 48037 42301 54667 44106 51603 47689 47972 43854 19 50952 44405 51716 42023 52584 50148 49786 43860 20 53153 43877 50362 42616 51484 47367 54271 43995
Mínimo 48037 41659 46411 41689 45689 47367 47972 41898 Média 51257,25 43681,7 52172,75 43719,15 50711,0285 51982,407 52954,1145 43698,5
Variância 3303241686 1445432,011 10730772,09 1726264,976 16786846,96 13607331,76 13003604,25 961189,1053
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
111
Tabela B.10 - Apresentação do número de iterações do SA com 15 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 15 15 15 15 15 15 15 15 Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
1 35582 345272 41704 335994 47324 40404 28318 354330 2 38576 335976 31500 335302 61060 53614 42884 351686 3 52374 353014 31140 348912 67118 57424 27464 355376 4 53372 321330 43780 347588 40282 55916 48982 361598
5 51152 324684 43290 345742 52522 69028 37456 347270 6 39980 337056 42980 330792 31852 37576 57340 381180 7 32700 363058 33456 369972 40736 29134 48668 358230 8 46876 356696 46686 334572 44734 44142 48360 333980 9 68962 340140 36022 316934 61552 58436 39340 347742
10 54226 329202 57394 350926 42132 52282 52416 388116 11 35296 357034 59846 351866 47816 36152 30918 364510 12 38628 345790 56952 351138 48246 42614 92132 348410 13 67526 344128 42162 378026 36294 37344 51498 364160 14 33608 338630 43006 336432 37028 58138 41876 367954 15 37814 375888 28080 359970 38130 59838 62040 350922 16 47458 341416 48136 327572 44104 44014 54248 360564 17 73416 330696 44496 337990 40766 42364 31524 363332 18 64234 337676 28476 314616 56286 60944 63860 359962 19 28742 332006 44472 327646 35650 56152 35596 363854 20 57004 323608 37322 332156 46486 55222 78984 365678
Mínimo 28742 321330 28080 314616 31852 29134 27464 333980 Média 47876,3 341665 42045 341707,3 46005,9 49536,9 48695,2 359442,7
Variância 177979327,3 196520292,8 83858953,89 260691604,3 90799729,04 110631897,5 278013496,6 143512957,6 Desvio padrão 13340,8893 14018,56957 9157,453461 16145,94699 9528,889182 10518,16987 16673,73673 11979,68938
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
112
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 15 máquinas foi:
D.P.(efeito) 480,2898091
Tabela B.11 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 15 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 -17868667916,06 -17868667916,06 -46,91
B (Beta) 1 -18411814146,06 -18411814146,06 -48,34 C (Temperatura inicial)
1 -18403190706,06 -18403190706,06 -48,32
AB 1 18561885996,06 18561885996,06 48,73 AC 1 18581341996,06 18581341996,06 48,78 BC 1 18475303206,06 18475303206,06 48,51 ABC 1 -18247706796,06 -18247706796,06 -47,91 RESÍDUO 152 57894824869,83 380887005,72 TOTAL 159 40581976503,77
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 15 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2189,266233
Tabela B.12 - ANOVA para o número de iterações do SA com 15 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 2059932112925,62 2059932112925,62 12279,70
B (Beta) 1 235324957493,03 235324957493,03 1402,82 C (Temperatura inicial)
1 181727789616,03 181727789616,03 1083,32
AB 1 245063526795,03 245063526795,03 1460,88 AC 1 194843211890,63 194843211890,63 1161,50 BC 1 253421087832,03 253421087832,03 1510,70 ABC 1 227018858451,02 227018858451,02 1353,31 RESÍDUO 152 25498156921,40 167751032,38 TOTAL 159 3422829701924,77
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
113
B.4 - Para 20 Máquinas
Tabela B.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 20 máquinas.
Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8 Número Máquinas 20 20 20 20 20 20 20 20
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + )
Temper. Inicial (C) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução
1 122578 100518 109891 100789 126057 101903 114384 103038 2 108163 100256 130870,3 98477 112405 100479 116084 101129 3 125173,9 100323 106633 101558 112147 101565 116194 100062 4 110198 100623 106693 97428 113746 98395 111102 102508 5 111135 97441 113246 100635 109008 100446 114785 100585 6 113859 100834 109219 101523 111024 103669 112242 100118 7 119534 102448 117938 101935 105929 101429 107678 100787 8 112739 105247 112596 103678 132340,6 100621 114997 101992 9 109660 99671 113728 99552 112014 103151 113898 97663
10 116401,2 102208 113797 101609 112303 99586 111401 100805 11 109394 106181 112875 100456 116687 98469 113363 97415 12 107845 98655 119800 101057 110388 101780 111678 103874 13 109695 101341 132600 102771 111235 100157 111150 100453 14 120460,9 99236 123461 101812 112797 98778 133299 103013 15 112915 101753 106746 102020 112369 100565 117580 97383 16 117474 99888 106665 98000 114013 100358 124277,7 102585 17 114947 101046 132611 100804 113387 101681 110146,8 101670 18 108322 99645 112875 103955 112214 99796 119098 101676 19 114513 100839 117938 101061 105994 104218 136191,4 103083 20 119192 101553 106546 98175 115063 102414 113693 98779
Mínimo 107845 97441 106546 97428 105929 98395 107678 97383 Média 114209,95 100985,3 115336,415 100864,75 113556,03 100973 116162,095 100930,9
Variância 10150442393 4051496,747 74208434,9 3206586,934 36336913,32 2636518,737 53360592,2 3769351,147
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
114
Tabela B.14 - Apresentação do número de iterações do SA com 20 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 20 20 20 20 20 20 20 20
Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )
0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial
(C) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 50242 325992 46528 353512 54992 356842 59072 348162 2 37386 329908 44536 350804 43436 350710 38186 344502 3 57332 359978 64306 330066 70366 354534 45616 373038 4 56916 342758 62932 360974 76568 357402 62064 348562 5 53266 337782 75612 327420 87280 348072 66440 358120 6 62788 338682 72866 327706 65914 347008 88064 356094
7 69708 332152 68018 326786 55808 394892 53112 338694 8 83412 345352 54458 374180 63858 329868 64754 364604 9 47884 358286 42940 335966 60178 372962 43834 363130 10 52744 330548 73676 343202 45146 344306 55046 347832 11 74930 324426 67076 340474 75470 338474 48618 357772 12 62692 343452 68522 331600 55664 341426 43880 356008 13 44160 355498 61186 342592 47192 338748 35214 365210 14 39130 358970 45226 337258 46366 371396 53996 352082 15 42674 338938 89336 333898 58054 377092 49648 394404 16 66454 340822 65346 313462 45482 322444 53814 329354 17 35674 339554 60196 333568 48338 363234 48160 350362 18 75546 337186 67026 358820 76942 350514 44678 376884 19 54540 346900 61118 348248 56896 366704 34078 357970 20 55270 347408 85336 361964 49402 349686 55736 350106
Mínimo 35674 324426 42940 313462 43436 322444 34078 329354 Média 56137,4 341729,6 63812 341625 59167,6 353815,7 52200,5 356644,5
Variância 177045079,6 112237010,4 161242477,9 222969445,3 161444350,1 292789428,7 152975023,9 201119514,9 Desvio padrão 13305,82878 10594,19701 12698,12891 14932,16144 12706,07532 17111,09081 12368,30724 14181,66122
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
115
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 20 máquinas foi:
D.P.(efeito) 853,7767698
Tabela B.15 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 20 máquinas. Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento)
1 -3078849310,84 -3078849310,84 -2,40
B (Beta) 1 -6565765750,84 -6565765750,84 -5,13 C (Temperatura inicial)
1 -6566553250,84 -6566553250,84 -5,13
AB 1 6572031375,84 6572031375,84 5,13
AC 1 6573757935,84 6573757935,84 5,13 BC 1 6577088315,84 6577088315,84 5,14 ABC 1 -6525646790,84 -6525646790,84 -5,10 RESÍDUO 152 194662737703,40 1280675905,94 TOTAL 159 191648800227,56
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 20 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2300,483125
Tabela B.16 - ANOVA para o número de iterações do SA com 20 máquinas.
Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento)
1 3378499931268,22 3378499931268,22 18239,70
B (Beta) 1 29441412,23 29441412,23 0,16 C (Temperatura inicial)
1 857874226,23 857874226,23 4,63
AB 1 10167697,23 10167697,23 0,05 AC 1 3183887079,02 3183887079,02 17,19 BC 1 342710722,22 342710722,22 1,85 ABC 1 772210350,03 772210350,03 4,17 RESÍDUO 152 28154624286,60 185227791,36 TOTAL 159 3411850847041,78
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
116
B.5 - Para 30 Máquinas
Tabela B.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 30 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 30 30 30 30 30 30 30 30 Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução 1 258392 225135,7 255090 228373 251654 227681 255034 231362 2 259555 230261 265260 224802 250060 223876,9 265005 225962 3 273058 225443 257231 231917 269218 218046 274158,5 223684 4 254127 219750 268361 221414 254601 238361,2 290269,5 224896 5 245201 222328 289808,3 227758 251677 236947,4 260451 223447 6 255213 218436 245198 215869 272846 232082 264667 223758 7 269417 233094 271471 220131 265392 223517 255885 224218 8 253259 220683 247989 226170 263109,2 229260 255269 223864 9 251089,3 224009,4 275481 224947 253198 228595 261507 225018
10 254204 223461 270637 224552 262314,3 230245 282681,7 229276 11 240491,4 232976 267311 237737 274437,1 229482 270011 230047 12 268494,3 220147 267740 224136 247243 230236,6 251160 224748 13 258345,5 223879 277881,1 219503 257724 222645 252535 224963 14 251812 236361,2 254517 221210 255124 226085 297826,3 218988 15 252151,9 226146 280620 225284 262636 230145 261981,8 222355 16 254128,2 222043 255953 230023 241635 227072 255672 236808 17 243497 226307,8 269497 221747 260446 226055 277749 219944 18 260202,8 219120 274430 222593 244926 226865 268691 233964 19 268436,2 227033 222936 279503,2 223457 247107 224962 20 258205 217357 224318 245683 236587,8 277171 223367
Mínimo 240491,4 217357 245198 215869 241635 218046 247107 218988 Média 256463,98 224698,555 266359,7444 224771 258171,34 228362,095 266241,59 225781,55
Variância 79429318155 27250255,39 137690588,4 23226522,84 110393683,4 25746223,18 184447982,3 19566227,63
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
117
Tabela B.18 - Apresentação do número de iterações do SA com 30 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Máquinas 30 30 30 30 30 30 30 30 Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )
Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
1 87912 350718 92028 347796 98432 345358 77674 355674 2 95442 364896 71994 362678 105136 373848 109698 407890 3 102052 357438 64400 354738 110804 349618 66848 345758 4 74664 365686 77726 315082 97444 338350 72466 367228 5 66724 332234 75302 386134 134708 332938 75918 335804 6 71230 344862 76114 363004 87184 384550 89572 381060 7 85420 375442 66986 400520 77020 378820 73368 371124 8 92964 379482 89674 397994 87328 379504 110232 378154 9 92080 331702 108320 317066 91716 375060 73508 339132 10 112430 343602 81838 336230 83046 336828 91908 384604 11 93468 363958 89964 344400 107916 348888 102574 349662 12 90530 339896 64884 339160 129022 380808 67802 351578 13 115304 368396 85660 389100 122610 368206 63740 383842 14 86734 357352 104348 325336 139836 322694 84556 353236 15 111704 342814 141582 335388 106074 369454 93926 351378 16 128680 347580 71956 394598 81244 371016 90398 367578 17 82806 367610 99910 351934 78698 357486 139276 359818 18 132656 357328 75352 397438 81702 372728 96730 402098 19 114578 358094 378222 99580 338886 75232 360886 20 100546 342042 342808 65420 353482 76316 349348
Mínimo 66724 331702 64400 315082 65420 322694 63740 335804 Média 96896,2 354556,6 85446,55556 358981,3 99246 358926,1 86587,1 364792,6
Variância 321663293,4 188543367,6 368032348,1 788923491,1 417401504,4 351361040,2 346048723,6 391645408,5 Desvio padrão 17934,97403 13731,10948 19184,16921 28087,78188 20430,40637 18744,62697 18602,38489 19790,03306
Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)
118
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 30 máquinas foi:
D.P.(efeito) 5364,003613
Tabela B.19 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 30 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 69614240753,01 69614240753,01 11,73
B (Beta) 1 42717006765,01 42717006765,01 7,20 C (Temperatura inicial)
1 42602708889,01 42602708889,01 7,18
AB 1 -42197496695,21 -42197496695,21 -7,11 AC 1 -42483612735,21 -42483612735,21 -7,16 BC 1 -42459512855,21 -42459512855,21 -7,15 ABC 1 42491966541,01 42491966541,01 7,16 RESÍDUO 152 902189853755,66 5935459564,18 TOTAL 159 972475154418,07
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 30 máquinas foi:
D.P.(efeito) 3733,734836
Tabela B.20 - ANOVA para o número de iterações do SA com 30 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 2934285559816,03 2934285559816,03 9920,08
B (Beta) 1 77428761980,05 77428761980,05 261,77 C (Temperatura inicial)
1 77418714937,36 77418714937,36 261,73
AB 1 -102662363644,78 -102662363644,78 -347,08 AC 1 -107270568372,29 -107270568372,29 -362,65 BC 1 -76951329269,01 -76951329269,01 -260,15 ABC 1 136069299328,11 136069299328,11 460,02 RESÍDUO 152 44960471952,43 295792578,63 TOTAL 159 2983278546727,90
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
119
APÊNDICE C – RESULTADOS DO SIMULATED ANNEALING PROPOSTO (SA_TIAGO) Foram gerados quatro tratamentos, a partir da variação dos fatores: taxa de resfriamento e temperatura inicial.
C.1 - Para 10 Máquinas Tabela C.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 10 10 10 10 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
1 17501 16351 16701 16159 2 17175 16826 17572 16159 3 17335 16159 16766 16170 4 17522 16592 17162 16158 5 17483 16988 17361 16155 6 17337 16187 18020 16159 7 17479 16922 16726 16159 8 17695 16709 17988 16159 9 18590 16211 18469 16155 10 16168 16454 17628 16169 11 17758 17422 18009 16159 12 17744 16483 18199 16153 13 16712 18067 17861 16155 14 18141 17454 18232 16159 15 17486 16317 16903 16165 16 18103 16264 17874 16155 17 18510 16211 17721 16155 18 17581 16158 16769 16468 19 17748 16832 17481 16379 20 17469 16783 17858 16725
Mínimo 16168 16158 16701 16153 Média 17576,85 16669,5 17565 16213,75
Variância 297564,23 264110,1579 311379,473 21297,88158 Desvio padrão 545,49449 513,9164892 558,013865 145,9379374
Tabela C.2 - Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4
Número Máquinas 10 10 10 10 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições iterações iterações iteraçõs iterações
1 19546 344992 21318 315924 2 23054 316904 20666 324934 3 19784 314936 16626 329180 4 18828 321988 17320 316484 5 19818 383492 15968 314670 6 21658 356604 20340 325486 7 22170 314916 17606 343994 8 19364 321038 20662 305034 9 17370 349032 20040 319314 10 25470 316114 29262 321982 11 17308 318536 18838 318954 12 18180 321088 17088 342732 13 21164 349645 22838 338122 14 21634 355114 17328 300436 15 22228 314536 21436 333986 16 19026 324321 18302 333346 17 17388 344092 17440 333518 18 23830 343424 16002 335174 19 18624 314346 14680 329402 20 20208 324344 15186 328454
Mínimo 17308 314346 14680 300436 Média 20332,6 332473,1 18947,3 325556,3
Variância 5126261,09 376410796,7 11099761,8 134648092,3 Desvio padrão 2264,12479 19401,30915 3331,63050 11603,7964
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
120
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 10 máquinas foi:
D.P.(efeito) 122,0895677
Tabela C.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 10 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 25506369,80 25506369,80 114,08
B (Temperatura inicial)
1 1093248,80 1093248,80 4,89
AB 1 985236,05 985236,05 4,41 RESÍDUO 76 16992683,30 223587,94
TOTAL 79 44577537,95
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 12 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2964,469913
Tabela C.4 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 10 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 1914254718751,25 1914254718751,25 14521,60
B (Temperatura inicial)
1 344624322,05 344624322,05 2,61
AB 1 152987461,25 152987461,25 1,16 RESÍDUO 76 10018413327,00 131821227,99 TOTAL 79 1924770743861,55
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
121
C.2 - Para 12 Máquinas Tabela C.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 12 12 12 12 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
1 24343 23755 25413 24228 2 25454 24129 26029 24303 3 26218 23644 25602 24268 4 25162 24186 25897 23734 5 25980 24360 25204 23768 6 25687 24363 26407 23751 7 25721 24206 25391 24299 8 24448 24265 24589 24238 9 26168 24288 24389 24203 10 25641 24332 24380 24305 11 25603 24188 26721 23733 12 26239 24265 24994 24585 13 25910 23648 25904 24288 14 24340 24213 25505 24340 15 26229 23642 24921 23638 16 25196 23741 24639 24128 17 26602 23745 26063 23725 18 25292 24130 25446 24230 19 25591 24581 25603 24725 20 25231 24265 26187 24098
Mínimo 24340 23642 24380 23638 Média 25552,75 24097,3 25464,2 24129,35
Variância 412341,98 82928,8526 445248,48 93215,18684 Desvio padrão 642,13860 287,973701 667,26942 305,3116225
Tabela C.6 - Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4
Número Máquinas 12 12 12 12 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições iterações iterações iterações iterações
1 25976 309038 25876 311598 2 24156 313720 19806 310342 3 26218 327324 25392 315168 4 26606 300416 26458 327566 5 26108 308770 23522 311996 6 25520 300582 27368 321070 7 23896 307618 20554 322812 8 19006 310134 27652 324000 9 25220 304880 23176 328810 10 20392 318418 23812 301604 11 19542 313096 18656 339542 12 24780 317858 23526 310150 13 34062 328576 18490 334664 14 25206 294318 20920 329656 15 22154 323664 22522 326360 16 19798 287770 25102 321686 17 21386 314936 23252 324920 18 26300 310484 23522 306290 19 26908 313208 22376 293776 20 19144 326142 24918 320996
Mínimo 19006 287770 18490 293776 Média 24118,9 311547,6 23345 319150,3
Variância 13156477,2 115288160,3 7068561,89 129816047,7 Desvio padrão 3627,18585 10737,23243 2658,67671 11393,68455
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
122
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 12 máquinas foi:
D.P.(efeito) 131,2589369
Tabela C.7 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 12 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 38928870,45 38928870,45 150,63
B (Temperatura inicial)
1 15961,25 15961,25 0,06
AB 1 72721,80 72721,80 0,28 RESÍDUO 76 19640955,70 258433,63
TOTAL 79 58658509,20
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 12 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2102,891847
Tabela C.8 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 12 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 1700809493780,00 1700809493780,00 25640,74
B (Temperatura inicial)
1 233162547,20 233162547,20 3,52
AB 1 350837137,80 350837137,80 5,29 RESÍDUO 76 5041255694,80 66332311,77 TOTAL 79 1706434749159,80
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
123
C.3 - Para 15 Máquinas Tabela C.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 15 15 15 15 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
1 45103 41450 46653 41768 2 44077 41468 42696 41930 3 45962 42235 42490 41962 4 45760 41943 46039 42347 5 45574 41951 44487 41940 6 44491 41787 42979 41768 7 45254 41980 47704 41519 8 44739 42461 42664 41787 9 46909 41405 44541 41616 10 42194 41460 45634 41460 11 46382 41868 46575 41884 12 42833 42020 45113 42786 13 45953 41450 46079 41928 14 43520 42480 44282 41904 15 44231 41413 46890 41461 16 43189 41486 44030 41399 17 44743 41412 45835 41420 18 43919 41801 46365 41952 19 46650 41467 44082 42654 20 46344 42429 44610 41930
Mínimo 42194 41405 42490 41399 Média 44891,35 41798,3 44987,4 41870,75
Variância 1774081,39 144716,8526 2388813,83 141493,1447 Desvio padrão 1331,94646 380,4166829 1545,57880 376,1557453
Tabela C.10 Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4
Número Máquinas 15 15 15 15 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições iterações iterações iterações iterações
1 29590 309572 25520 321162 2 26994 311650 19582 293484 3 26998 295356 34166 305852 4 26018 325304 32398 300430 5 26526 309188 20812 325414 6 23616 313338 34166 309256 7 22746 281474 24566 297454 8 31936 301726 29866 302906 9 41158 308948 22900 305032 10 32650 297962 24808 306332 11 32790 316652 25644 308640 12 28604 287950 26592 320196 13 23970 300196 27900 319908 14 24814 300628 28792 318552 15 23442 275350 25056 317754 16 19564 290554 28558 308806 17 19830 292156 23630 292670 18 26788 314390 25122 308860 19 29712 311242 24408 309490 20 25062 304050 29274 306728
Mínimo 19564 275350 19582 292670 Média 27140,4 302384,3 26688 308946,3
Variância 24966364,8 157863153,4 15798029,8 85222035,91 Desvio padrão 4996,63535 12564,36044 3974,67355 9231,578191
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
124
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 15 máquinas foi:
D.P.(efeito) 272,3081963
Tabela C.11 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 15 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 192801870,45 192801870,45 173,34
B (Temperatura inicial)
1 141961,25 141961,25 0,13
AB 1 2784,80 2784,80 0,00 RESÍDUO 76 84532999,30 1112276,31
TOTAL 79 277479615,80
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 15 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2175,046299
Tabela C.12 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 15 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 1554043515024,20 1554043515024,20 21899,54
B (Temperatura inicial)
1 186636060,80 186636060,80 2,63
AB 1 246009036,80 246009036,80 3,47 RESÍDUO 76 5393142097,20 70962396,02 TOTAL 79 1559869302219,00
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
125
C.4 - Para 20 Máquinas Tabela C.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 20 20 20 20 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
1 106054 96778 102338 98678 2 104078 97145 103314 97434 3 102815 96737 101013 96123 4 100267 97662 104211 97183 5 99143 97157 100537 96157 6 100106 98982 100321 98982 7 98837 98245 103262 96283 8 107216 96543 102877 95869 9 98709 98339 101336 96339 10 100425 98732 101432 98732 11 101358 97160 102642 97131 12 100209 97596 100942 96501 13 101595 97230 101964 97211 14 107680 97340 100979 96740 15 100691 95158 102747 95111 16 104179 95473 104767 95473 17 100824 97148 102800 95988 18 101777 96632 101108 96340 19 101470 95240 103889 95233 20 102788 96730 99812 95954
Mínimo 98709 95158 99812 95111 Média 102011,05 97101,35 102114,55 96673,1
Variância 6922769,94 1077827,082 1900352,15 1236465,042 Desvio padrão 2631,11572 1038,184512 1378,53260 1111,964497
Tabela C.14 - Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4
Número Máquinas 20 20 20 20 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições iterações iterações iterações iterações
1 34472 289314 38128 292814 2 23208 284070 30112 286330 3 27814 281840 32710 281840 4 26286 288474 33746 288474 5 32358 295068 38626 291268 6 28904 283952 32364 284852 7 27502 287386 25808 287386 8 27836 295928 22520 295348 9 28108 284604 27222 286904 10 27004 288640 28886 288640 11 29158 293014 32762 293643 12 28208 287136 35264 287389 13 38410 286574 30592 286234 14 32322 281696 25440 281546 15 24888 270948 32354 273248 16 30392 298396 28396 298126 17 23446 303932 34382 303784 18 28180 281306 39686 280388 19 34658 272524 32004 278524 20 37546 282106 23550 266506
Mínimo 23208 270948 22520 266506 Média 29535 286845,4 31227,6 286662,2
Variância 17992132,4 63662497,31 23317210,3 71627424,91 Desvio padrão 4241,71338 7978,878198 4828,78974 8463,298701
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
126
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 20 máquinas foi:
D.P.(efeito) 430,8405394
Tabela C.15 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 20 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 535731531,61 535731531,61 192,41
B (Temperatura inicial)
1 527312,81 527312,81 0,19
AB 1 1413790,31 1413790,31 0,51 RESÍDUO 76 211610870,25 2784353,56
TOTAL 79 749283504,99
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 20 máquinas foi:
D.P.(efeito) 1715,610994
Tabela C.16 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 20 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 1314537175125,00 1314537175125,00 29774,47
B (Temperatura inicial)
1 11391441,80 11391441,80 0,26
AB 1 17593128,20 17593128,20 0,40 RESÍDUO 76 3355386034,80 44149816,25 TOTAL 79 1317921545729,80
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
127
C.5 - Para 30 Máquinas Tabela C.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 30 30 30 30 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
Melhor solução
1 239880 223814 234240 221102 2 236865 220087 246222 225458 3 231505 220283 232117 219924 4 240489 224291 227066 225150 5 244161 224533 253242 221373 6 239284 222940 237944 223656 7 238457 222200 234180 225118 8 238740 227300 240938 223378 9 238384 224888 229726 224479 10 232940 225380 232920 223149 11 232576 219859 241365 225157 12 233503 226448 237328 220460 13 242267 220136 228903 221563 14 231353 223439 231605 221447 15 242147 221147 232075 222394 16 238568 222324 234627 219212 17 245458 218744 246440 223244 18 241531 222481 232749 223658 19 241954 221493 244316 221587 20 229420 221762 236011 220189
Mínimo 229420 218744 227066 219212 Média 237974,1 222677,45 236700,7 222584,9
Variância 21378768,0 5423988,155 46132227,0 3730852,411 Desvio padrão 4623,71799 2328,945718 6792,07089 1931,54146
Tabela C.18 - Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4
Número Máquinas 30 30 30 30 Taxa Resfriamento
(A) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) 0,99*TEMP
( - ) 0,9999*TEMP
( + ) Temper. Inicial (B) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )
Repetições iterações iterações iterações iterações
1 46176 286470 42982 287496 2 49158 278896 47402 297630 3 38060 285976 39120 298434 4 39306 298310 37334 291236 5 43944 308288 39980 294806 6 45614 296252 32872 280574 7 51504 307064 36204 277616 8 35084 295078 44634 284994 9 46066 290956 51996 296566 10 36318 288718 44728 299134 11 44596 296274 45916 292080 12 43332 297078 40576 310032 13 39826 294764 45724 297624 14 39108 268360 40096 279466 15 44236 279932 41594 303802 16 35864 279024 52288 304934 17 39720 288944 41516 274726 18 38236 297998 32172 288810 19 35170 271020 41020 293178 20 37556 282212 31854 297450
Mínimo 35084 268360 31854 274726 Média 41443,7 289580,7 41500,4 292529,4
Variância 23110535,2 115727072,1 33268620,8 90243866,99 Desvio padrão 4807,34181 10757,65179 5767,89570 9499,677204
Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)
128
O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 30 máquinas foi:
D.P.(efeito) 1130,382205
Tabela C.19 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 30 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 4325461075,01 4325461075,01 225,68
B (Temperatura inicial)
1 9329097,01 9329097,01 0,49
AB 1 6972033,61 6972033,61 0,36 RESÍDUO 76 1456650878,75 19166458,93
TOTAL 79 5798413084,39
O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 30 máquinas foi:
D.P.(efeito) 2091,052746
Tabela C.20 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 30 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
A (Taxa de resfriamento)
1 1245833477780,00 1245833477780,00 18994,98
B (Temperatura inicial)
1 45162145,80 45162145,80 0,69
AB 1 41818320,00 41818320,00 0,64 RESÍDUO 76 4984651810,00 65587523,82 TOTAL 79 1250905110055,80
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
129
APÊNDICE D – RESULTADOS DO ALGORITMO DE BUSCA TABU PROPOSTO. Foram gerados dois tratamentos, a partir da variação do tamanho da lista tabu.
D.1 - Para 10 Máquinas Tabela D.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 10 10
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 16735 16992 2 16778 16240 3 16212 16236 4 16789 16898 5 16814 16794 6 16983 16534 7 17491 17585 8 16825 18114 9 16214 17059
10 16917 16245 11 16201 16507 12 16954 16896 13 16225 17174 14 16752 17562 15 16662 17473 16 17401 16230 17 16905 16353 18 16957 16867 19 16231 17113 20 16239 18018
Mínimo 16201,00 16230,00 Média 16714,25 16944,50
Variância 149591,36 338341,21 Desvio padrão 386,77 581,67
Tabela D.2 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 10 10
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 363 254 2 419 321 3 496 360 4 446 344 5 310 273 6 340 300 7 471 310 8 393 319 9 370 274
10 395 316 11 477 286 12 509 290 13 521 278 14 367 359 15 382 481 16 455 388 17 362 317 18 360 383 19 398 331 20 506 321
Mínimo 310,00 254,00 Média 417,00 325,25
Variância 4008,95 2674,20 Desvio padrão 63,32 51,71
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
130
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 10 máquinas igual a:
Tabela D.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas.
Graus de liberdade
SQ MQ F
Entre tratamentos
1 530150,63 530150,63 2,17
Dentro dos tratamentos
38 9270718,75 243966,28
TOTAL 39 9800869,38
Tabela D.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com
10 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 84180,63 84180,63 25,19
Dentro dos tratamentos
38 126979,75 3341,57
TOTAL 39 211160,38
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
131
D.2 - Para 12 Máquinas Tabela D.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 12 12
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 24261 23716 2 24255 24762 3 24406 24436 4 24908 26331 5 24747 25531 6 24364 24520 7 23880 25953 8 24238 26285 9 24870 24594
10 24310 23742 11 24659 25444 12 24226 24438 13 24883 24817 14 24458 25197 15 23809 23809 16 24592 24782 17 23786 24601 18 24328 24203 19 25033 26651 20 24524 25537
Mínimo 23786,00 23716,00 Média 24426,85 24967,45
Variância 128935,61 760675,00 Desvio padrão 359,08 872,17
Tabela D.6 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 12 12
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 488 465 2 486 467 3 407 475 4 527 408 5 585 402 6 426 434 7 523 534 8 505 320 9 446 461
10 513 639 11 474 583 12 425 529 13 520 356 14 492 343 15 326 540 16 389 401 17 465 578 18 459 472 19 355 311 20 430 439
Mínimo 326,00 311,00 Média 462,05 457,85
Variância 3970,89 8160,77 Desvio padrão 63,02 90,34
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
132
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 12 máquinas igual a:
Tabela D.7 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 12
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 2922483,60 2922483,60 6,57
Dentro dos tratamentos
38 16902601,50 444805,30
TOTAL 39 19825085,10
Tabela D.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com
12 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 176,40 176,40 0,03
Dentro dos tratamentos
38 230501,50 6065,83
TOTAL 39 230677,90
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
133
D.3 - Para 15 Máquinas Tabela D.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 15 15
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 42770 44148 2 44871 44192 3 43466 43483 4 43436 43693 5 43973 41936 6 43004 45475 7 42840 44145 8 43017 44016 9 42410 45792
10 44267 43231 11 42441 44142 12 43220 43745 13 45258 42617 14 43338 42668 15 43650 43265 16 44072 43099 17 43584 44858 18 43161 41873 19 43866 42401 20 43290 43106
Mínimo 42410,00 41873,00 Média 43496,70 43594,25
Variância 542052,85 1111985,78 Desvio padrão 736,24 1054,51
Tabela D.10 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 15 15
Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 605 458 2 503 361 3 508 456 4 351 402 5 482 554 6 453 458 7 532 387 8 529 327 9 627 592
10 577 440 11 662 475 12 413 408 13 533 644 14 416 670 15 429 471 16 534 630 17 502 392 18 486 438 19 455 480 20 423 479
Mínimo 351,00 327,00 Média 501,00 476,10
Variância 6107,58 9129,36 Desvio padrão 78,15 95,55
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
134
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 15 máquinas igual a:
Tabela D.11 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 15
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 95160,03 95160,03 0,12
Dentro dos tratamentos
38 31426733,95 827019,31
TOTAL 39 31521893,98
Tabela D.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações
com 15 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 6200,10 6200,10 0,81
Dentro dos tratamentos
38 289501,80 7618,47
TOTAL 39 295701,90
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
135
D.4 - Para 20 Máquinas Tabela D.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 20 20
Diversificações 4 4 Iterações tabu 5 7
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 100155 103205 2 101101 104083 3 101761 102930 4 100154 102969 5 99836 101808 6 100673 101139 7 100280 101598 8 101826 101156 9 103294 100181
10 103032 104074 11 100489 101759 12 105854 100626 13 102808 101789 14 101859 97080 15 101509 101297 16 103299 98930 17 103634 103692 18 105241 102114 19 103133 100203 20 99431 98985
Mínimo 99431,00 97080,00 Média 101968,45 101480,90
Variância 3190750,89 3304164,31 Desvio padrão 1786,27 1817,74
Tabela D.14 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 20 20
Diversificações 4 4 Iterações tabu 5 7
Repetições iterações iterações 1 230 242 2 335 171 3 270 249 4 280 210 5 364 185 6 258 360 7 208 218 8 278 304 9 406 173
10 329 243 11 228 234 12 207 331 13 373 183 14 357 298 15 318 270 16 230 206 17 243 265 18 310 290 19 228 182 20 283 302
Mínimo 207,00 171,00 Média 286,75 245,80
Variância 3539,78 3099,75 Desvio padrão 59,50 55,68
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
136
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 20 máquinas igual a:
Tabela D.15 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 20
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 2377050,03 2377050,03 0,73
Dentro dos tratamentos
38 123403388,75 3247457,60
TOTAL 39 125780438,78
Tabela D.16 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações
com 20 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 16769,03 16769,03 5,05
Dentro dos tratamentos
38 126150,95 3319,76
TOTAL 39 142919,98
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
137
D.5 - Para 30 Máquinas Tabela D.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 30 30
Diversificações 4 4 Iterações tabu 10 12
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 233945 241615 2 237993 232496 3 227663 234902 4 235343 239692 5 238477 236708 6 234543 237856 7 227779 232087 8 229758 231741 9 232344 239504
10 229756 238940 11 233643 241454 12 228743 243849 13 229444 233152 14 235869 234542 15 230960 232313 16 230665 235986 17 231442 234482 18 233291 240383 19 234668 245357 20 229034 246640
Mínimo 227663,00 231741,00 Média 232268,00 237684,95
Variância 10538448,00 20928518,79 Desvio padrão 3246,30 4574,77
Tabela D.18 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 30 30
Diversificações 4 4 Iterações tabu 10 12
Repetições iterações iterações 1 890 155 2 604 194 3 801 196 4 687 184 5 685 145 6 839 163 7 696 160 8 653 181 9 637 250
10 914 178 11 774 242 12 772 239 13 744 173 14 616 184 15 1015 186 16 912 172 17 701 230 18 761 305 19 1075 180 20 641 147
Mínimo 604,00 145,00 Média 770,85 193,20
Variância 17814,56 1638,48 Desvio padrão 133,47 40,48
Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.
138
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 30 máquinas igual a:
Tabela D.19 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 30
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 891305841,98 891305841,98 56,65
Dentro dos tratamentos
38 597872368,95 15733483,39
TOTAL 39 1489178210,93
Tabela D.20 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações
com 30 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos
1 3706402,98 3706402,98 381,06
Dentro dos tratamentos
38 369607,75 9726,52
TOTAL 39 4076010,73
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
139
APÊNDICE E – RESULTADOS DO ALGORITMO DE BUSCA TABU HÍBRIDA. Foram gerados dois tratamentos, a partir da variação do tamanho da lista tabu.
E.1 - Para 10 Máquinas Tabela E.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 10 10
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 16779 17309 2 16219 16832 3 17437 16184 4 16184 17940 5 16178 17789 6 16864 18067 7 16785 17205 8 16189 16750 9 16207 17454
10 16666 17213 11 16185 16825 12 16834 16218 13 16826 16185 14 16219 17718 15 16857 16830 16 16744 16861 17 16207 17059 18 16170 16257 19 16931 16779 20 16809 17725
Mínimo 16170,00 16184,00 Média 16564,50 17060,00
Variância 138839,32 353594,53 Desvio padrão 372,61 594,64
Tabela E.2 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 10 10
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 357 440 2 314 558 3 363 474 4 373 326 5 386 391 6 318 337 7 475 465 8 439 384 9 375 293
10 364 415 11 451 424 12 363 424 13 376 293 14 434 376 15 329 435 16 362 356 17 517 449 18 321 399 19 339 433 20 350 318
Mínimo 314,00 293,00 Média 380,30 399,50
Variância 3047,69 4435,21 Desvio padrão 55,21 66,60
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
140
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 10 máquinas igual a:
Tabela E.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 2455202,50 2455202,50 9,97
Dentro dos tratamentos
38 9356243,00 246216,92
TOTAL 39 11811445,50
Tabela E.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 3686,40 3686,40 0,99
Dentro dos tratamentos
38 142175,20 3741,45
TOTAL 39 145861,60
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
141
E.2 - Para 12 Máquinas Tabela E.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 12 12
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 24631 25216 2 25235 25772 3 24597 25591 4 25145 24542 5 24269 24426 6 24431 25846 7 24751 24847 8 23752 25943 9 24746 24829
10 24745 25546 11 24265 25833 12 24272 24765 13 25111 25478 14 24219 25515 15 24825 24298 16 25313 26283 17 24472 25506 18 24224 23779 19 24966 24393 20 24523 24768
Mínimo 23752,00 23779,00 Média 24624,60 25158,80
Variância 162853,41 449126,80 Desvio padrão 403,55 670,17
Tabela E.6 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 12 12
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 458 498 2 526 469 3 464 345 4 367 487 5 425 484 6 450 464 7 458 395 8 403 373 9 345 407
10 470 352 11 500 353 12 473 482 13 353 523 14 493 394 15 453 504 16 383 378 17 436 507 18 362 458 19 443 325 20 407 484
Mínimo 345,00 325,00 Média 433,45 434,10
Variância 2652,26 4150,20 Desvio padrão 51,50 64,42
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
142
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 12 máquinas igual a:
Tabela E.7 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 12
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 2853696,40 2853696,40 9,33
Dentro dos tratamentos
38 11627624,00 305990,11
TOTAL 39 14481320,40
Tabela E.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 12
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 4,23 4,23 0,00
Dentro dos tratamentos
38 129246,75 3401,23
TOTAL 39 129250,98
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
143
E.3 - Para 15 Máquinas Tabela E.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 15 15
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 45115 41804 2 42385 43253 3 45777 42941 4 43178 43985 5 45655 45094 6 43516 43350 7 44089 45373 8 45551 45469 9 42828 42665
10 45659 43174 11 44870 42595 12 44445 44122 13 46179 43315 14 45695 46263 15 45391 43163 16 43193 43944 17 42879 45634 18 42338 45153 19 43467 42604 20 45606 44074
Mínimo 42338,00 41804,00 Média 44390,80 43898,75
Variância 1694072,06 1508457,46 Desvio padrão 1301,57 1228,19
Tabela E.10 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 15 15
Diversificações 6 6 Iterações tabu 3 5
Repetições iterações iterações 1 342 496 2 520 449 3 413 479 4 496 530 5 429 417 6 377 459 7 441 504 8 493 436 9 440 526
10 431 548 11 314 468 12 422 457 13 424 574 14 449 409 15 493 422 16 566 573 17 400 350 18 454 359 19 370 376 20 432 493
Mínimo 314,00 350,00 Média 435,30 466,25
Variância 3599,48 4351,99 Desvio padrão 60,00 65,97
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
144
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 15 máquinas igual a:
Tabela E.11 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 15
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 2421132,03 2421132,03 1,51
Dentro dos tratamentos
38 60848060,95 1601264,76
TOTAL 39 63269192,98
Tabela E.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com
15 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 9579,02 9579,02 2,41
Dentro dos tratamentos
38 151077,95 3975,74
TOTAL 39 160656,98
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
145
E.4 - Para 20 Máquinas Tabela E.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 20 20
Diversificações 6 6 Iterações tabu 5 7
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 109840 102349 2 104591 100394 3 102118 100258 4 99170 99894 5 105571 102569 6 107441 102334 7 104564 98678 8 105372 103335 9 100571 103177
10 103879 102316 11 102406 100156 12 100451 100993 13 100814 100393 14 102281 101797 15 102380 102348 16 104865 103933 17 103428 100575 18 104511 100146 19 101719 104341 20 103278 102253
Mínimo 99170,00 98678,00 Média 103462,50 101611,95
Variância 6408222,79 2305550,47 Desvio padrão 2531,45 1518,40
Tabela E.14 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 20 20
Diversificações 6 6 Iterações tabu 5 7
Repetições iterações iterações 1 370 572 2 507 410 3 354 447 4 419 489 5 504 428 6 443 436 7 509 427 8 441 362 9 459 482
10 484 388 11 491 439 12 409 332 13 399 562 14 457 448 15 525 419 16 420 344 17 474 410 18 391 439 19 436 317 20 496 395
Mínimo 354,00 317,00 Média 449,40 427,30
Variância 2446,78 4355,48 Desvio padrão 49,46 66,00
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
146
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 20 máquinas igual a:
Tabela E.15 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 20
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 34245353,03 34245353,03 7,86
Dentro dos tratamentos
38 165561691,95 4356886,63
TOTAL 39 199807044,98
Tabela E.16 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com
20 máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 4884,10 4884,10 1,44
Dentro dos tratamentos
38 129243,00 3401,13
TOTAL 39 134127,10
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
147
E.5 - Para 30 Máquinas Tabela E.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 30 30
Diversificações 6 6 Iterações tabu 10 12
Repetições Melhor solução Melhor solução 1 235894 231626 2 235217 237138 3 238270 237357 4 232746 230014 5 230528 235601 6 235008 235136 7 227810 240598 8 225788 232753 9 241731 240922
10 243295 242946 11 229394 236106 12 235234 228710 13 239049 239696 14 233775 232285 15 231859 234142 16 235392 235023 17 233868 235985 18 228858 230048 19 236482 229967 20 226671 232452
Mínimo 225788,00 228710,00 Média 233843,45 234925,25
Variância 22658293,52 16289353,46 Desvio padrão 4760,07 4036,01
Tabela E.18 - Apresentação do número de iterações executadas.
Tratamento 1 2 Número Máquinas 30 30
Diversificações 6 6 Iterações tabu 10 12
Repetições iterações iterações 1 593 535 2 721 412 3 648 410 4 691 455 5 605 407 6 699 397 7 627 402 8 611 443 9 768 416
10 642 423 11 730 476 12 719 442 13 797 408 14 570 414 15 694 403 16 433 445 17 294 449 18 400 465 19 382 435 20 520 429
Mínimo 294,00 397,00 Média 607,20 433,30
Variância 18945,12 1080,96 Desvio padrão 137,64 32,88
Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.
148
O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,
sendo encontrado o valor de F para o experimento com 30 máquinas igual a:
Tabela E.19 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 30
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 11702912,40 11702912,40 0,60
Dentro dos tratamentos
38 740005292,70 19473823,49
TOTAL 39 751708205,10
Tabela E.20 - ANOVA para fator f dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 30
máquinas. Graus de
liberdade SQ MQ F
Entre tratamentos 1 302412,10 302412,10 30,20
Dentro dos tratamentos
38 380495,40 10013,04
TOTAL 39 682907,50
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