universität stuttgart wissensverarbeitung und numerik i nstitut für k ernenergetik und e...
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist das Ziel der Vorlesung -
Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle
- Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern
Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz
Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht Wie diskretisieren wir Funktionen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).
Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist
y = f(x)
x steht für die unabhängigen Variablen,
y steht für die abhängigen Variablen,
f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.
a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen
wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt.
Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.
yyixx ~y~
Diskretisierung von Funkionen -1
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Diskretisierung von Funktionen -2
b) Diskretisierung der abhängigen Variablen
Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von
c) Diskretisierung durch statistische Methode
wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.
xi
Ni iayy ~
xxfxf *
y~ xf * x
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Diskretisierung der abhängigen Variablen
Durch die Diskretisierung der Unabhängigen nähert man y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch
Diskretisierung der abhängigen Variablen
Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen.
ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig.
Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert
xNayy ii
n
i
0
y
00
dxxNaywdxyywn
iiijj
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Methode der gewichteten Residuen
Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n.
Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten a i bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können.
Mit der Abkürzung
hat das Gleichungssystem folgende Form
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
nnnnnn
nn
nn
1100
11111010
00101000
........
jjij NwdxNw
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Beispiel: Näherung von y =x2
6/56/1
4/13/16/1
12/16/13/1
6/1
3/1
11
10
10
10
10
0110
1100
111
010
10
aa
aa
aa
NwNw
NwNw
xx
xx
xundx
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Stückweise Näherung
Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann
xnji
m
j
nj
iiyy
1 0
~
sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj
Die Näherung heißt stückweise stetig.
xnj
Diskretisierung von x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten
Folgende Wahlen sind besonders häufig:
,
,
,
,
dxxydx
da
dxxya
xxydx
da
xya
i
xi
ii
ii
i
d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen
d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand).
d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen.
d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung
Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)
Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:
xn
n
n
x
x
xfdx
d
na
xfdx
da
xfdx
da
xfa
/)(!
1
..........
/)(!2
1
/)(
)(
2
2
2
1
00
• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.
y~
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Taylor-Reihenentwicklung -2
Ergebnis der Näherung
• Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied
• Konvergenz
xoxf
ndx
nd
n
noxx
xoxf
dx
dxxxfxyxy /)(
!
)(.../)(
!10)
0()(~)(
1)(0ˆ/)(1
1
)!1(
1)( noxx
oxxf
ndx
nd
n
noxx
)1(0ˆ)1(0ˆ1)(0
nhnxn
oxx
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
V 4: Nullstellensuche
Teil II: Rechner als endliche Maschine
Kap. 4: Operationen auf diskrete Werte am Beispiel iterativer Verfahren
Inhalt: Nullstellensuche Nichtlineare Gleichungen
Experimente: Bestimmung von x aus x2 - a = 0 nach verschiedenen Verfahren Lösung von x3 = 1 mit verschiedenen Startwerten
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Das sollten Sie heute lernen
Grundverständnis iterativer Verfahren Umsetzung in ein Programm zur Nullstellensuche für beliebige
Funktionen (Übungen) Schwierigkeiten nichtlinearer Probleme
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Nullstellensuche
Zu jedem Problem
existiert ein Umkehrproblem
Die Bestimmung des Wertes xp zu einem vorgegebenen Wert yp heißt Nullstellensuche.
Zu lösen ist das Problem
Für komplizierte Verläufe von f(x) kann dies nur näherungsweise geschehen. Folgender Algorithmus hat sich bewährt:
Nähere xp durch
Berechne
Für
sonst
Der Algorithmus heißt Iteration.
xfy xFxyfyfx 11
0pyxfxg
0
0 xxp
np
n
pxFx 1
Ende,1 n
p
n
pxx
1 nn
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Nullstellensuche -2
Die Iteration wird also abgebrochen, wenn kleiner als eine vorgegebene Schranke ist. Wird diese Schranke unterschritten, so sagt man, die Folge der sei konvergent.
Folgende Fragen sind zu klären:
a) Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift?
b) Welche Anfangswerte sind zu wählen?
c) Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der ?
d) Wie schnell konvergiert die Folge der ?
np
np xx 1
n
px
n
px
n
px
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Beispiel: x2 - a = 0 - iterative Lösung
Aufgabe:
Bestimme x so, daß x2 = a erfüllt ist, d.h.
Mögliche Iterationsvorschriften:
02)(2)( axxgapyxxf
xFipx
gipx
ipxg
pxg
ipxi
pxi
pxgausund
ipxgi
pxi
pxi
pxgi
pxgxg
xFipxi
pxai
pxxa
xFipxai
pxax
32
22
101
110.3
)(2
2)(102.2
)(1
/12.1
Das Verfahren 3 heißt Newton Methode
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 4
Beispiel: x2 - a = 0 - Konvergenzabschätzung
Für die drei Iterationsvorschriften gilt:
02
12
1
2
1x3.
212122
212
.1
x
axF
x
axF
axxFxxaxF.
axwegenx
aaF
x
axF
Die Iterationsvorschrift ist also nicht konvergent.
Die Iterationsvorschrift ist nur für Werte a <1 konvergent
Die Iterationsvorschrift ist immer konvergent. Ihr Konvergenzverhalten wird von
F‘‘ und x2 bestimmt.
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Beispiel: x2 - a = 0 - KonvergenzabschätzungDurch eine Fehleranalyse können die drei Verfahren unterschieden werden.
ipi
p xFxAus 1
i
p
i
p xxx mit Folgt
xFdx
dipxxF
dx
dipxxF
ip
xxFipxxi
px
2
22
!2
1
11
10
1 oder
ixFx
xFipxi
px
x
FxFcondi
pxFcondi
pxbzw 1.
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Kondition bei BeispielansätzenDas bedeutet für die drei Iterationsvorschriften
axx
axF
x
axFa 2
21 wegen1)
Die Iterationsvorschrift ist also nicht konvergent
axxFxxaxFa 2121)() 22
Die Iterationsvorschrift ist nur für Werte a > 1 konvergent.
012
1
2
1)
23
x
axF
x
axxFa
Die Iterationsvorschrift ist immer konvergent.
Ihr Konvergenzverhalten wird von F“ und x2 bestimmt.
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Konvergenzabschätzung
Für die Konvergenzabschätzung ist also die Kondition
am aktuellen Lösungspunkt zu bestimmen.
Daraus folgt:
a) Konvergenz ist nur möglich, wenn
b) Gilt spricht man von monotoner, sonst von alternierender Konvergenz.
c) Ändert sich stark, so kann die Konvergenzgeschwindigkeit durch den Anfangswert bestimmt werden.
d) Bei monotoner Konvergenz kann aus der relativen Genauigkeit
auf Konvergenz geschlossen werden.
FFx
Fcond
1)( FcondxF
1)(0 xF
)(xF
i
p
i
p
i
pxxx /1
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Konvergenzverbesserung bei Iterationen
Bei monotoner Konvergenz kann man aus aufeinanderfolgenden Schritten auf die Konvergenzrate schließen. Definiert man
Konvergenzmonotonex
x
x
x
xxx
i
i
i
i
iii
1
1
1
und gilt
so folgt, daß man aus xi eine neue Lösung bestimmen kann. i
xx
1
2
i
i
ii
x x
xxx
ix* Konvergiert schneller als xi, wenn man ersetzt
(Aitken-Methode).
Für monotone Konvergenz muß gelten:
ist der Überrelaxationsfaktor.
121 iii xxdurchx
112
ii
i
xx
x
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Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
1. Newton-Verfahren
Bei nichtlinearen Problemen kann es schwierig sein, zu bestimmen.
Geschieht dies durch eine lineare Interpolation
erhält man das Sekantenverfahren.
2. Einschließungsverfahren
Liegt die Lösung in einem Intervall , so kann man die Lösung verbessern, indem man
einen Zwischenpunkt bildet und als neues Intervall dasjenige nimmt, für das das
Produkt der Funktionswerte an den Randpunkten negativ ist:
1
1
ii
ii
i
xx
xfxfxf
ixf
ii
ii
xf
xfxx
1
ii xx21
, iii xxx
215,0
0,
0,
22
11
iiii
iiii
xfxfwennxxinLösung
xfxfwennxxinLösung
Zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung mit einer Variablen x der Gestalt f x) = 0gibt es verschiedene Typen von Verfahren zur iterativen Lösung.
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Konvergenzordnung der Iterationsverfahren
Beim Iterationsverfahren werden durch eine Iterationsvorschrift der Gestalt
0,vorgegeben, 01 kxxgx kk
Folgen bestimmt, für welche
gelten soll.
Ohne weitere Voraussetzung ist ihre Konvergenzordnung linear - also verhältnismäßig langsam. Als typisches Verfahren von quadratischer Konvergenz gilt das
kx 0 xfmitxx k
0,vorgegeben,Verfahren-NEWTON 01 kxxf
xfxx
k
kkk
Von überlinearer Konvergenzordnung ist das damit verwandte
kxxVorgabe
xxxfxf
xfx
kk
kk
kk ,,,x 10
1
11krfahrenSekantenve
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Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist ein iteratives Verfahren Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift? Welche Anfangswerte sind zu wählen? Unter welchen Bedingungen konvergiert eine Iterationsfolge Wie schnell konvergiert eine Iterationsfolge Was ist eine Newton Iteration Welche Probleme treten bei nichtlinearen Gleichungen auf
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Iterationsverfahren
Viele Probleme lassen sich umformulieren in eine Nullstellenbestimmung. So
auch die Aufgabe x²=a in f(x)=x²-a=0, gesucht wird x. Indem f(x)=0 so umge-
formt wird, daß x=(x) gilt, ergibt sich die Iterationsvorschrift xneu=(xalt) wo-
bei xneu für den neu berechneten Wert steht der rekursiv in xalt eingesetzt
wird. Für den ersten Wert xalt muß ein Startwert vorgegeben werden. Für x²=a
ergibt sich z.B.
a) (x) = a/x
b) (x) = a+x-x² (Es sind unendlich viele Umformungen möglich)
c) (x) = (x²+a)/2x die letzte Iterationvorschrift (Newton) ergibt sich aus (x)=x-f(x)/f'(x)
Der Versuch wird durchKlick gestartet
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0
Die Funktion f sei zweimal stetig differenzierbar im I=[a,b] und besitze in (a,b) eine einfache Nullstelle , es seien also f()=0 und f'=() .Die Schrittfunktion lautet (x)= x - f(x)/f'(x).Versuch: Nullstellensuche bei nichtlinearer Gleichung: y=x³ mit y=1 ergibt (x)= x - (x³-1)/3x².Lösungen sind:
x = 1
x = 12
i
x = 12
i
1
2
3
( )
( )
1 3
1 3
Der Versuch wird durchKlick gestartet
Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen
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