ut t () 1, 0 = ≥ ut t () 0, 0 = < - Α.Τ.Ε.Ι.Θ. Τμήμα ...32835423-4a6d... ·...
Post on 18-Feb-2019
243 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ
Μοναδιαία βηµατική συνάρτηση (Unit Step Function)
( ) 1, 0( ) 0, 0
U t tU t t
= ≥= <
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Κρουστική Συνάρτηση δέλτα του Dirac (γενικευµένη συνάρτηση)
( ) 0, 0
( ) 1, 0
t t
t dtε
ε
δ
δ ε−
= ≠
= >∫
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
1( ) ( ), για α= 1 δ(-t)=δ(t) Αρτια Συνάρτησηat ta
δ δ= − ⇒
2
( )( ) du ttdt
δ =
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ
u(t+2)
-5 -4 -3 -2 -1 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u(t-2)
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
( 2)tδ +
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
3
( 2)tδ +
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
Μοναδιαία Συνάρτηση Ράµπας
( )2
u t τ+
Τετραγωνικός Παλµός
( ) 1,2 2
( ) 0, λλού
P t t
P t
τ
τ
τ τ
α
= − ≤ <
=
5
ΓΝΩΣΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ∆Η ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ
( ) a ty t e−=
( ) siny t tω=
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1
-0.5
0.5
1
ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER
sinj te Cos t j tω ω ω= +
6
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΗΜΑΤΟΣ
2
1
2
1
2 1
0
12 2
2 1
1( ) ( ) (1)t
ΜΕ ΠΕΡΙΟ∆Ο Τ
1X(t)= ( ) (2)T
ΤΙΜΗ(RMS)
1X(t)=[ ( ) ] (3)t
t
t
T
t
t
X t x t dtt
x t dt
x t dtt
=−
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ
ΕΝΕΡΓΟΣ
−
∫
∫
∫
Παράδειγµα
του x(t)=Asinωt απο την (3) έχουµε x(t)=2Aό ήνεργ ς ιµΕ Τ
Κάθε σήµα (συνάρτηση του χρόνου) µπορεί να γραφτεί σαν το άθροισµα ενός άρτιου και ενός περιτού σήµατος.
( ) ( ) ( )
1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2
even odd
even
odd
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
= +
= + −
= − −
Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΗΣ δ(t):
0 0( ) ( ) ( )
t=0 έχουµε f(t)δ(t)=f(0)
f t t t f tδ
ια
− =
Γ
∫∫
ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ: Υπάρχει σταθερά Τ (περίοδος) για την οποία ισχύει:
( ) ( ),x t x t t+ Τ = −∞ < < ∞
7
ΣΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΟΛΑ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ):
2 ( ) Πεπερασµένη ενέργειαE x t dt= < ∞∫
ΣΗΜΑ ΙΣΧΥΟΣ:
2
2 11
2
2 1
1lim [ ( ) ] 0 π.χ. Περιοδικά σήµαταt
t tt
P x t dtt t− →∞
= >− ∫
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ∆ΟΥ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΕΞΟ∆ΟΥ
ΣΧΕΣΗ ΕΙΣΟ∆ΟΥ-ΕΞΟ∆ΟΥ
( ) ( )Y t F x t=
Γενικώς,η τιµή της εξόδου την χρονική στιγµή t εξαρτάται απο όλες τις τιµές της εισόδου x(t) µέχρι και την χρονική στιγµή t και όχι µόνο απο την τιµή της εισόδου
x(t) την χρονική στιγµή t.
AITIOTHTA
Ενα σύστηµα ( ) ( )Y t F x t= λέγεται αιτιατό (φυσικό) εαν, για κάθε χρονική στιγµή
0t , η έξοδος 0( )y t του συστήµατος εξαρτάται µόνο απο την είσοδο x(t) µέχρι την χρονική στιγµή 0t .
F X(t) Y(t)
Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)
8
∆ηλαδή η έξοδος δεν εξαρτάται απο µελλοντικές τιµές της εισόδου. Όλα τα φυσικά συστήµατα είναι αιτιατά. Μη-αιτιατά δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσµο, µπορούν
όµως να προσεγγιστούν µε χρονο-καθυστερήσεις.
Παράδειγµα
Το σύστηµα ( ) ( 1)y t x t= − είναι αιτιατό
Το σύστηµα ( ) ( 1)y t x t= + είναι µη αιτιατό.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ)
Ενα σύστηµα ( ) ( )y t F x t= αν για κάθε 1t ,η έξοδος στην είσοδο 1( )x t t− είναι η
1( )y t t− . ∆ηλαδή 1 ( )F x t t− = 1( )y t t− .
Χρονική ολίσθηση στο σήµα εισόδου, οδηγεί σε αντίστοιχη ολίσθηση στο σήµα εξόδου.
10
Ένα αιτιατό σύστηµα ( ) ( )y t F x t= δεν έχει µνήµη αν για κάθε 1t η έξοδος 1( )y t εξαρτάται µόνο απο την τιµή της εισόδου 1( )x t την χρονική στιγµή 1t . Το σύστηµα αυτό ονοµάζεται και στιγµιαίο.
Π.χ. το σύστηµα ( ) ( )y t kx t= δεν έχει µνήµη. Είναι ενισχυτής για κ>1 και εξασθενητής για κ<1.
Ένα αιτιατό σύστηµα έχει µνήµη εαν για κάθε 1t η έξοδος 1( )y t εξαρτάται απο τις τιµές της εισόδου ( )x t για t µέσα σε ένα διάστηµα µέχρι την χρονική στιγµή 1t :
0 1t t t≤ ≤
Π.χ. το σύστηµα µε σχέση εισόδου εξόδου 0
( ) ( )t
y t x dτ
τ
τ τ=
=
= ∫ (ολοκληρωτής) έχει
µνήµη διοτι η έξοδος εξαρτάται απο τις τιµές της εισόδου χ(τ) για 0 tτ≤ ≤
Ένα σύστηµα ( ) ( )y t F x t= ονοµάζεται:
1. προσθετικό αν για κάθε ζεύγος εισόδων 1 2( ), ( )x t x t ισχύει
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )F x t x t F x t F x t+ = +
2. οµογενές εαν για κάθε α ισχύει ( ) ( )F ax t aF x t=
3. Γραµµικό αν είναι προσθετικό και οµογενές. ∆ηλαδή:
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )F ax t bx t aF x t bF x t+ = +
Ο ολοκληρωτής 0
( ) ( )t
y t x dτ
τ
τ τ=
=
= ∫ ειναι γραµµικό σύστηµα αφού
1 2 1 20 0 0
[ ( ) ( )] ( ) ( )t t t
ax bx d a x d b x dτ τ τ
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ= = =
= = =
+ = +∫ ∫ ∫
Παράδειγµα
Το σύστηµα µε σχέση εισόδου-εξόδου 2( ) ( )y t x t= για είσοδο ( )ax t η έξοδος είναι 2 2 ( )a x t και όχι 2 ( )ax t ,εποµένως το σύστηµα δεν είναι οµογενές και άρα δεν είναι
και γραµµικό.
11
ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ(IMPULSE RESPONSE)
Έστω το σύστηµα F το οποίο είναι γραµµικό και χρονοαµετάβλητο. Κρουστική απόκριση ονοµάζεται η έξοδος του συστήµατος για είσοδο ( ) ( )x t tδ= , την
συνάρτηση Dirac.
( ) ( )h t F tδ=
Αν γράψουµε την ( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ= −∫ σύµφωνα µε την ιδιοτητα δειγµατοληψίας της συνάρτησης δ τότε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )y t F x t F x t d x F t d x h t dτ δ τ τ τ δ τ τ τ τ τ= = − = − = −∫ ∫ ∫ δηλαδή
F X(t) Y(t)
Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)
F δ(t) h(t)
Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)
Κρουστική απόκριση
12
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫
Εποµένως, εαν γνωρίζουµε την κρουστική απόκτριση ενός γραµµικού-χρονοαµετάβλητου συστήµατος,µπορούµε να υπολογίσουµε την έξοδο του για
οποιαδήποτε είσοδο χ(t) µεσω του συνελικτικού ολοκληρώµατος.
ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUTION)
( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ= = −∫
Παράδειγµα
Να υπολογιστεί η συνέλιξη ( ) ( )* ( )y t x t h t= οταν ( ) ( ), 0atx t e u t a−= > και ( ) ( )h t u t= .u(t) είναι η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση(unit step function)
Το γινόµενο µέσα στο ολοκλήρωµα είναι 0≠ µόνο για 0 , 0t tτ< < >
Για 0t < εχουµε ( ) ( ) 0x h tτ τ− =
1
t
( ), 0u t tτ− < τ
1
t
( ), 0u t tτ− > τ
1
t τ
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫
ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (CONVOLUTION INTEGRAL)
13
Για 0t > έχουµε
( ) ( ) ,0x h t e tαττ τ τ−− = < <
( ) ( ) 0,x h tτ τ αλλου− =
Αρα για t>0 εχουµε 00
1 1( ) [ ] (1 ) ( )t
a a t aty t e d e e u ta
τ ττα
− − −= = − = −∫
Λύση: 1( ) (1 ) ( )aty t e u ta
−= −
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫
Γενικά ισχύει 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )f t f t f f t dτ τ τ= −∫
• Αντιµεταθετική 1 2 2 1( )* ( ) ( )* ( )f t f t f t f t=
• Προσεταιριστική 1 2 3 1 2 3[ ( )* ( )]* ( ) ( )*[ ( )* ( )]f t f t f t f t f t f t=
• Συνέλιξη µε δ(t) δίνει την f(t): ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t f t d f tδ δ δ τ τ τ= = − =∫
1/a
t
14
• Ιδιότητα δειγµατοληψίας της δ του Dirac: 0 0( ) ( ) ( )f t d t t dt f t− =∫
• Επιµεριστική ιδιότητα: 1 2 3 1 2 1 3( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )f t f t f t f t f t f t f t+ = +
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
00 0
1
0 0
( ) [ cos sin ]2
2 , η περιοδος του σηµατος
n nn
af t a n t b n t
s f TT
ω ω
πω π
∞
=
= + +
= =
∑
ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ!!!
Οι συντελεστες ,n na b υπολογίζονται σε µία περίοδο: 1
1
02 ( )t T
t
a f t dtT
+
= ∫
1
0
1
02 ( ) cos
n
t T
nt
a f t tdtT
ω>
+
= ∫
1
1
02 ( )sint T
nt
b f t tdtT
ω+
= ∫
Βιβλίο Fourier:”Théorie analytique de la chaleur” 1822. Μετάδοση Θερµότητας Μαθηµατικες συνθήκες για σύγκλιση (Ικανές αλλα όχι απαραίτητες) Dirichlet (1829):
1. 1
1
( )t T
t
f t dt+
< ∞∫ ,πεπερασµένο
2. Πεπερασµένο πλήθος min-max και ασυνεχειών σε µια περίοδο
Στις ασυνέχειες το ανάπτυγµα Fourier συγκλίνει στο 0 0 01( ) [ ( ) ( )]2
f t f t f t− += +
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ FOURIER ΜΟΝΟ ΜΕ COS KAI ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
0 01
( ) cos( )n nn
f t A A n tω θ∞
=
= + +∑
2 2 10
0 , , tan ( )2
nn n n n
n
a bA A a ba
θ −= = + = −
15
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΜΙΓΑ∆ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
0( ) in tn
nf t c e ω
∞
=−∞
= ∑
1
0
1
1 ( )t T
in tn
t
c f t e dtT
ω+
−= ∫
Οι συναρτήσεις 0
( )in t
netT
ω
Φ = αποτελούν πλήρη βάση συναρτήσεων
∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ:
ΣΧΕΣΕΙΣ:
Parseval: Ενέργεια σήµατος = Ε =
1
1
22 2 2 2 2 20
1 1( ) ( )
4 2 2
t
n n n nn n nt
Ta T Tf t dt a b TA A T c∞ ∞ ∞
= = =−∞
= + + = + =∑ ∑ ∑∫
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
Ανάπτυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθετική Fourier):
( ) ( )k
S t kTδ τ∞
=−∞
= −∑
0 0 02
2
1 1 1( )T
in t inTnc s t e dt e
T T Tω ω− −
−= = =∫
∆ιότι 0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ∞
−∞− =∫
01( ) in t
ns t e
Tω
∞
=−∞
= ∑
16
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER
Ανάπτυξη σειράς παλµών σε σειρά Fourier (εκθετική)
( ) 1,2
( ) 0,2
P t t
P t t
τ
τ
τ
τ
= ≤
= >
0 00
0 0
2 2 2 202
0 0 022 2
00
0
( ) ( )
1 1 1 1 2( ) [ ] [ ] sin( )2
sin( )2 sin ( )
22
k
Tjn jnin t
in t in tn
T
n
s t p t kT
ne e ec s t e dt e dtT T T jn T jn Tn
n nc cT Tn
τ
τ τ τω ωτωω ω
ττ
ω τω ω ω
τω ω ττ ττω
∞
=−∞
−−− −
−− −
= −
−= = = = =
− −
= =
∑
∫ ∫
Αφού ισχύουν:
0
sinsin ( )
2 ( )2 2
xc xx
n n nT T
ω τ π ττ π
=
= =
t
S(t)
T 2T -2T -T
2τ
−2τ−Τ Τ
17
Εποµένως: ( ) sin ( ( ))nc c nTτ τπ=
Τ
Και το ανάπτυγµα Fourier της παλµοσειράς είναι:
0( ) sin [ ] in t
n
ns t c eT T
ωτ πτ∞
=−∞
= ∑
ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ
Ισχύς του σήµατος της παλµοσειράς s(t):
222
22
1 1( )EP s t dt dtT T T T
ττ
ττ
τ−
−
= = = =∫ ∫
01
( ) 2 sin ( )cosn
ns t c n tT T Tτ τ πτ ω
∞
=
= + ∑
DC ορος(σταθερός) n-στή αρµονική
18
Ισχυς του DC όρου: 2 20 0 ( )P c
Tτ
= =
Ισχύς της n-στής αρµονικής: 2 2 2 2 22 2( ) sin ( )2n n n n
n aP c c c cT Tτ πτ
−= + = = =
(RMS τιµή ηµιτονοειδούς σήµατος = 2
2na )
ΠΟΣΟΣΤΟ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ:
2100 % 100 2( )sin ( )n
np np cP T T
τ πτ= = i
Π.χ. γιά duty cycle = 20%=|t/T=1/5 έχουµε
0
2 2
21
22
23
100( ) 20%
1100 2( )sin ( ) 40sin ( )5 2 2
40sin ( ) 35%5240sin ( ) 23%5
340sin ( ) 10%5
n
p
n np c c
p c
p c
p c
τ
π π
π
π
π
= =Τ
= =
= =
= =
= =
i
Για η
5
0 1 2 3
5 0, 1, 2,3,..... H 5 ,10 , αρµονικές είναι µηδενικέςp 88% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους=DC όρος + 3 αρµονικές
kn k p kp p p
η κτλ= → = =+ + + =
Για Duty cycle=50%, 12T
τ= έχουµε:
19
0
2
21
22
23
0 1 2 3
1100 50%2
100sin ( )2
100sin ( ) 40,5%22100sin ( ) 02
3100sin ( ) 4,5%2
95% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους
n
p
np c
p c
p c
p c
p p p p
π
π
π
π
= =
=
= =
= =
= =
+ + + =
Οι 2 0kp = , άρτιες αρµονικές είναι µηδενικές.
ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Πλουσιότερο φάσµα για µικρό duty cycle.
0 01
0
( ) cos( )
1 0.25
n nn
s t A A n t
AT
ω θ
τ
∞
=
= + +
= = =
∑
2sin c
20
1
2
3
1
5
2 sin ( ), 1, 2,3,...
12 sin ( ) 0.375 51 22 sin ( ) 0.35 51 32 sin ( ) 0.215 51 42 sin ( ) 0.095 5
0
nnA c n
T T
A c
A c
A c
A c
A
τ πτ
π
π
π
π
= =
= =
= =
= =
= =
=
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3
ΑΠΛΗ ΑΝΟΡΘΩΣΗ-ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΗΜΙΑΝΟΡΘΩΜΕΝΗΣ ΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER(AC->DC)
0.370.3
0.21
nA
21
D1: Ιδανική δίοδος
0 2
2
( ) cos( ), ( ) 0( ) 0, ( ) 0L
L
V t A t u tV t u t
ω= >= ≤
0
0 0
0 00 0 0 0 0 0
2
0
2
0
( 1) ( 1)2 4 4( 1) ( 1) 4 4
0 04 42 4 4
1 cos
cos( )2
1[ ] [ ] [ ]2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1)
T
in tn
T
i t i t
T T TT Ti n t i n t
i t in t i t in t i n t i n tn T T
T T T
c A te dtT
e et
A A A e A ec e e e e dt e dt e dtT T T T j n T j n
ω
ω ω
ω ωω ω ω ω ω ω
ω
ω
ω ω
−
−
−
− − − +− − − − − +
− −− − −
=
+=
= + = + = + =− − − +
=
∫
∫ ∫ ∫
0 0 0 0( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 4 4 4 0 0
0 0 0 0
0
sin[( 1) ] sin[( 1) ]4 4[ ] [ ]
2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1)2 2
T T T Ti n i n i n i n T Tn nA e e A e e A AT j n T j n T n T n
T TT
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ωπω π
− − − − + + − +− −+ = +
− − − + − +
= =
εποµένως:
sin( 1) sin( 1)2 2[ ]
2 1 1n
n nAcn n
π π
π
− += +
− +
22
ΑΣΚΗΣΗ. ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ
Σε µία περίοδο ( ) , 0
2
( ) ,02
Tf t A t
Tf t A t
= − − < <
= < <
Έχουµε:
02 2
00
2 2
1 1( ) [ ] 0
T T
T T
a f t dt Adt AdtT T
− −
= = − + =∫ ∫ ∫ εποµένως το τετραγωνικό σήµα δεν έχει
συνεχή (DC) συνιστώσα (Μέσος όρος µηδέν).
02 2
0 0 00
2 2
2 2( ) cos [ cos cos ] 0
T T
nT T
a f t n tdt A n tdt A n tdt nT T
ω ω ω− −
= = − + = ∀∫ ∫ ∫
Η σειρά δεν έχει συνηµιτονοειδείς όρους λόγω περιττής συµµετρίας( ( ) ( )f t f t− = − ).
02 200 0 2
0 0 0 00 020
2 2
cos cos2 2 2( )sin [ sin sin ] [ ] [ ]
0,2(cos 0 cos( ) cos( ) cos 0) [1 cos( )] 4 ,
T TT
n TT T
n t n tAb f t n tdt A n tdt A n tdtT T T n n
nA An n n An n n ό
n
ω ωω ω ωω ω
αρτιοπ π π
π π περιττπ
−− −
= = − + = + − =
== − − + = − =
=
∫ ∫ ∫
εποµένως:
0 0 0 01
00
2 1 cos( ) 4 1 1( ) sin [sin sin 3 sin 5 ....]3 5
n=2k+1:4 1( ) sin(2 1)
2 1
n
k
A n Af t n t n t t tn
Af t k tk
π ω ω ω ωπ π
ια
ωπ
∞
=
∞
=
−= = + + +
Γ
= ++
∑
∑
0( )f t A= 01
2 2
1 1 0
cos( )
tan ( ) tan ( ) 90
n nn
n n n n
nn
n
A n t
A a b bba
ω θ
θ
∞
=
− −=
+ +
= + =
− = − ∞ = −
∑
23
ΑΣΚΗΣΗ Έστω οι ορθοκανονικές συναρτήσεις ( )i tφ στο διάστηµα [a,b]:
0,( ) ( )
1,
b
i ja
i jt t dt
i jφ φ
≠=
=∫
Έστω η προσέγγιση της συνάρτησης f(t) από:
0( ) ( )
N
i ii
f t a tφ=
=∑
Να επιλεγούν οι συντελεστές ia του παραπάνω αναπτύγµατος ώστε να
1,27A0.42A
0.25A0.18A
nA
n 1 3 5 7
1 3 5 7
090−
24
ελαχιστοποιείται το RMS σφάλµα: 2 2
0
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] (1)b b N
i iia a
S f t f t dt f t a t dtφ=
= − = −∑∫ ∫
Λύση
Θα πρέπει 0, 0,1,2,...,k
S k Na∂
= =∂
Χρησιµοποιούµε το k για να µην µπερδευτούµε µε την µεταβλητή i του αθροίσµατος. Παραγωγίζουµε την (1) και έχουµε:
0
2 [ ( ) ( )] ( ) 0, 0,1,2,3,...,b N
i i kik a
S f t a t t dt k Na
φ φ=
∂= − = =
∂ ∑∫
Ή ισοδύναµα:
0
( ) ( ) ( ) ( )b bN
k i i k kia a
f t t dt a t t dt aφ φ φ=
= =∑∫ ∫
Αφού ( ) ( ) 0 µόνο για i=kb
i ka
a t t dtφ φ ≠∫
Το άθροισµα στα δεξιά έχει έναν µόνο µη µηδενικό όρο, τον ka .Έτσι προκύπτει οτι
οι συντελεστές ( ) ( )b
ka
f t t dtφ∫ ελαχιστοποιούν το RMS σφάλµα της προσέγγισης.
• Γενικευµένη ανάλυση FOURIER σε βάση ορθογώνιων συναρτήσεων
• Ειδική περίπτωση η τριγωνοµετρική σειρά FOURIER περιοδικών
συναρτήσεων σε ηµίτονα και συνηµίτονα µε αρµονικό λόγο συχνοτήτων. 0 , 1, 2,3,4,....n k kω ω= = ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους
συχνότητας 0 02 2 fTπω π= =
25
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ BONUS:
ΑΣΚΗΣΗ 1.Ορθογωνικότητα των συναρτήσεων 0 01,cos ,n t sin tω ω στο διάστηµα [0,1] Να αποδειχθούν οι σχέσεις:
0 00
0 00
0 00
00
00
0,sin sin
,20,
cos cos,
2
sin cos 0, ,
sin 0,
0, 0cos
, 0
T
T
T
T
T
m nm t n tdt T m n
m nm t n tdt T m n
m t n tdt m n
m tdt m
nn tdt
T n
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω
≠=
=
≠=
=
= ∀
= ∀
≠=
=
∫
∫
∫
∫
∫
Άρτια συνάρτηση: µόνο συνηµιτονοειδείς όρους και χρονικά αµετάβλητες. Περιττή συνάρτηση:µόνο ηµιτονοειδείς όρους.
ΑΣΚΗΣΗ 2. Υπολογίστε τις τιµές των ολοκληρωµάτων:
42
44
2
4
( ) cos
( )sin
( 2)[ ( ) 3 ( 2)]
[ ( ) ( 2) ( 5)]
a
aa
a
t tdt
t tdt
t t t dt
t t t t dt
δ ω
δ ω
δ δ
δ δ δ
−
−
−
−
+ + −
+ + + +
∫
∫
∫
∫
ΑΣΚΗΣΗ 3. Αναπτύξτε σε τριγωνοµετρική σειρά FOURIER:
1. Το τετραγωνικό σήµα: , 0
2( ),0
2
TA tf t
TA t
− − < <=
< <
2. Το τριγωνικό σήµα: (1 2 ), 0
2( )(1 2 ),0
2
t TA tTf tt TA tT
+ − ≤ <=
− < ≤
26
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
( ) ( ) [ ( )]i tF f t e dt FT f tωω∞
−
−∞
= =∫
Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier: 11( ) ( ) [ ( )]
2i tf t F e d FT Fωω ω ω
π
+∞−
−∞
= =∫
Ιδιότητες:
Αν f(t) πραγµατική συνάρτηση του χρόνου τότε:
( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin
( ) ( ) ( )
( ) ( ) cos ( )
( ) ( )sin ( )ή
F j f t tdt j f t tdt
f t f t f t
f t tdt
f t tdt
αρτια περιττη
αρτια αρτ
περιττ περ
ω ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
+∞
−∞
= ℜ + ℑ = −
= +
ℜ = =ℜ
ℑ = − = ℑ
∫ ∫
∫
∫
Οι άρτιες συναρτήσεις έχουνε πραγµατικό FT και οι περιττές φανταστικό. Το πραγµατικό µέρος του FT είναι άρτια συνάρτηση ενώ το φανταστικό µέρος είναι περιττή συνάρτηση του ω (αυτό ισχύει γενικά για µιγαδικό F.T.).
Παράδειγµα
( )( ) ( )
00
2 2 2 2 2 2
( )
1
2 2
( ) ( ), 0
1( ) ( ) [ ]( )
1( ) ( ) ( )
( ) ( )1( ) , ( ) tan
at
a j tat j t a j t a j t
j
f t e u t a
eF e u t e dt e dt e dta j a j
a j aF j ja j a a a
F A e
aa
ωω ω ω
φ ω
ωω ω
ω ωω ω ωω ω ω ω
ω ωωω ω
ω
−
∞ − +− − − + − + ∞
−
= >
= = = = =− + +
−= = = − =ℜ + ℑ
+ + + +
=
Α = Φ = −+
∫ ∫ ∫
27
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός FOURIER της συνάρτησης δ-Dirac:
00 ( ) ( ) 1j t j t j
tFT t t e dt e eω ω ωδ δ − − −== = = =∫
Αφού ισχύει οτι ( ) ( ) (0)f t t dt fδ =∫ (ιδιότητα δειγµατοληψίας), εποµένως
( ) 1FT tδ = .
( )ate u t−
( )u t
FT ( )tδ
1
28
Να υπολογιστεί ο F.T. της συνάρτησης τετραγωνικού παλµού: 1,
( ) 2 20,
T TtP t
ύτ
λλο
− < <=
Α
Λύση
2 2 22
22
sin( )2 2( ) ( ) [ ] sin( ) sin ( )2 2
2sinsin ( )
T T Tj jTj ti t j t
TT
Te e e T TP P t e dt e dt T T cTj j
xc xx
ω ωωω ω
τ τ
ωω ω ω
ω ω ω ω
−−− −
−−
−= = = = = = =
−
=
∫ ∫
∆ίπλευρος εκθετικός παλµός
, 0( )
, 0
at
at
e tx t
e t
− ≥=
<
0 ( ) ( )0
00
2 2 2 2
1 1( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
a j t a j tat j t at j t e eX e e dt e e dt
a j a j a j a ja j a j a
a a
ω ωω ωω
ω ω ω ωω ω
ω ω
∞ − − −− − − ∞
−∞−∞
= + = + = + =− − − +
+ + −= =
+ +
∫ ∫
/ 2T− / 2T
1
29
Γραµµική ιδιότητα
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )FT
af t bf t aF bFω ω+ ↔ +
Συµµετρική ιδιότητα
Αν ( ) ( )FT
f t F ω↔
Τότε ( ) 2 ( )FT
F t fπ ω↔ −
Απόδειξη
1( ) ( )2
2 ( ) ( )
j t
j t
f t F e d
f t F e d
ω
ω
ω ωπ
π ω ω
∞
−∞
∞
−∞
=
=
∫
∫
Εαν θέσουµε t t= − τότε 2 ( ) ( ) j tf t F e dωπ ω ω∞
−
−∞
− = ∫
και όπου t ω← και όπου tω ← τότε έχουµε
2 ( ) ( ) ( )j tf F t e dt FT f tωπ ω∞
−
−∞
− = =∫
Μετατόπιση στον χρόνο
Αν ( ) ( )FT
f t F ω↔ Τότε 0
0( ) ( ) j tf t t F e ωω −− ↔
Απόδειξη
0) 0[ ( ] ( ) j tFT f t t f t t e dtω∞
−
−∞
− = −∫
Θέτουµε 0t t ξ− = ,αλλαγή µεταβλητής οπότε 0t t ξ= + και dt dξ=
0 0 00[ ( )] ( ) ( ) ( )j t j t j tj jFT f t t f e e d e f e d e Fω ω ωωξ ωξξ ξ ξ ξ ω
∞ ∞− − −− −
−∞ −∞
− = = =∫ ∫
30
Επειδή 0
( )
( ( ) )0
( ) ( )
( ) ( )
j
FTj t
F A e
f t t A e
φ ω
φ ω ω
ω ω
ω −
=
− ↔
Μετατόπιση στον χρόνο ↔Αλλαγή φάσης µόνο,το πλάτος παραµένει ως έχει
Μετατόπιση στη συχνότητα-∆ιαµόρφωση (Modulation)
00
( ) ( )
( ) ( )
FT
FTj t
f t F
f t e Fω
ω
ω ω
↔
↔ −
Απόδειξη
0 0 0
0 0
( )0
0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) cos ] ( )2
1 1( )cos ( ) ( )2 2
j t j t j t
j t j tj t
FT f t e f t e dt f t e dt F
e eFT x t t x t e dt
x t t X
ω ω ω ω
ω ωω
ω ω
ω
ω ω ω ω ω
∞ ∞− − −
−∞ −∞
∞ −−
−∞
= = = −
+=
↔ − + Χ +
∫ ∫
∫
Κλιµάκωση στον χρόνο (µικρή διάρκεια στον χρόνο,µεγάλη στη συχνότητα)
1( ) ( )f at Fa
ωα
↔
Προκύπτει ότι για 1a = − είναι ( ) ( )FT
f t F ω− ↔ −
Συνέλιξη στον χρόνο
Αν 1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
FT
FT
f t F
f t F
ω
ω
↔
↔
Τότε 1 2 1 2( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )FT
f t f t f t F F Fω ω ω= ↔ =
31
Απόδειξη
Μετασχηµατισµός FOURIER παραγώγου συνάρτησης
Αν ( ) ( )FT
f t F ω↔
Τότε ( ) ( )FTdf t j F
dtω ω↔ και γενικά ισχύει:
( ) ( ) ( )
n FTnd f t j F
dtω ω↔
Απόδειξη
( ) 1[ ( ) ]2
σειράς της παραγώγισης και ολοκλήρωσης:
1 1 1= ( ) ( ) [ ( )]2π 2 2
j t
j tj t j t
df t d F e ddt dt
ή
deF d F j e d j F e ddt
ω
ωω ω
ω ωπ
λλαγ
ω ω ω ω ω ω ω ωπ π
∞
−∞
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= =
Α
= =
∫
∫ ∫ ∫
Εφαρµογή για την δ-Dirac:
( ) ( )n nFT t jδ ω=
Σχέση Parseval2
21( ) ( )2
f t dt A dω ωπ
∞ ∞
−∞ −∞
∈= =∫ ∫
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1 1-
[ ( )] [ ( )* ( )] [ ( ) ( ) ]
Αλλάζουµε την σειρά ολοκλήρωσης t µε τ:
= ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j t j t
j t j j
FT f t f t f t e dt f f t d e dt
f f t e dt d f F e d F f e d F F
ω ω
ω ωτ ωτ
τ τ τ
τ τ τ τ ω τ ω τ τ ω
∞ ∞ ∞− −
−∞ −∞ −∞
∞ ∞ ∞ ∞− − −
∞ −∞ −∞ −∞
= = − =
− = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1( )F ω
32
ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογιστεί η ενέργεια που βρίσκεται στην ζώνη συχνοτήτων απο 0ω = εως 20 ( )radω π= του σήµατος ( ) ( )tf t e u t−= . Επίσης το ποσοστό % της ενέργειας.
Λύση
( ) 1
2
22 2
0 0 0
12
1 1( ) , ( ) tan ( )1 1
1[ ] [ ]2 2
1 1 1 1[tan ] ( )2 1 2 2 2 2 2
j
tt t
F ej
ee dt e dt
d
φ ωω φ ω ωω ω
ω π πωπ ω π π
−
∞∞ ∞ −− −
∞− ∞
−∞−∞
= = = −+ +
∈= = = =−
∈= = = + =+
∫ ∫
∫
Αρα ισχύει η ταυτότητα του Parseval
201 62.8
1 62.8220
1
1 1 1[tan ] (1.55 1.55) 0.4952 1 2 20.495 0.99 99%0.5
dπ
π
ω ωπ ω π π
−−
−
∈ = = = + =+
∈= = =
∈
∫
top related