vektori a (a - prirodoslovno matematički fakultet, …mapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/mmf1...
Post on 22-Mar-2019
228 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MMF1- 1
VEKTORI1
je jednoznačno određen modulom, smjerom i orijentacijom. Vektor od točke A do B označavamo .
Modul vektora (oznaka: ) jest duljina dužine . Smjer od određen je smjerom pravca kroz A i B.
Vektori i , koji leže na istom pravcu p, imaju isu orijentaciju ako B i C leže na p s iste strane točke A, a
suprotnu orjentaciju ako B i C leže na p s različitih strana točke A. Suprotni vektori su vektori jednakih modula i
smjerova, a suprotnih orijentacija ( ). Nulvektor je vektor čiji je modul 0. Radijvektor točke A jest
usmjerena dužina iz ishodišta do točke A (oznaka: ). Vektori jednaki su ( ) ako i samo ako su
njihovi moduli (iznosi), smjerovi i orijentacije jednaki; odnosno jednake njihove komponente. Linearna
kombinacija vektora jest vektor , gdje su . Kolinearni vektori jesu vektori koji imaju isti
smjer ( su kolinearni ako za koji je ). Komplanarni vektori su vektori koji su paralelni s
istom ravninom (nekolinearni vektori te vektor komplanarni su ako za koje je ).
Vektor od točke A do točke B Radijus vektor točke A rastavljen na komponente
x
y
z
ji
k
A(ax,ay,az)
B(bx,by,bz)
x
y
z
j
i
k
A(ax,ay,az)
ay
a x
az
a
a
bg
Duljina (iznos) vektora Množenje vektora skalarom (realnim brojem)
Jedinični vektor u smjeru vektora (skalarne komponente od jednake su kosinusima smjerova)
Zbrajanje vektora
komutativnost:
asocijativnost:
distributivnost:
Pravilo trokuta
A
BC=A+B
Pravilo paralelograma
A
BC=A+B
1 Vektor je element vektorskog prostora. Pod pojmom vektor, ovdje demo podrazumijevati samo elemente trodimenzionalanog Euklidskog prostora, odnosno usmjerene (orijentirane) dužine.
MMF1- 2
VEKTORI1 Skalarni umnožak Vektorski umnožak Mješoviti umnožak
Jedinični vektori , , Trostruki vektorski umnožak
Pravilo desne ruke za vektroski umnožak: Prsti desne ruke idu od vektora
prema vektoru za manji kut, a palac pokazuje vektor .
Vektorski umnožak , , Primjene umnožaka vektora
i j
k
Volumen paralelepipeda određenog vektorima iznosi
Za komplanarne vektore vrijedi:
Površina paralelograma razapetog vektorima iznosi
Za kolinearne vektore vrijedi:
DERIVACIJE Funkcija derivabilna je (također i neprekidna) u točki (u) ako postoji limes
Jednadžba tangente na krivulju u točki Jednadžba normale na krivulju u točki
Tablica derivacija2
2 ; definirano za ; definirano samo za ; i definirano za
; definirano za x 0; definirano za x>1; definirano samo za ; definirano samo za .
MMF1- 3
DERIVACIJE Pravila deriviranja
PARCIJALNE DERIVACIJE
Parcijalna derivacija funkcije po argumentu , definira se sa
Deriviramo je kao funkciju jedne varijable ( ) držedi sve ostale varijable konstantama. Ako za funkciju u točki
T postoje sve parcijalne derivacije onda je f derivabilna u točki T.
Parcijanu derivaciju prve parcijalne derivacije funkcije nazivamo parcijalna derivacija
drugog reda
Ako parcijalne derivacije postoje i ako su neprekidne onda rezultat višestrukog deriviranja ne ovisi o poretku
deriviranja. Specijalo za Schwartzov teorem za glasi
Deriviranje složenih funkcija
Deriviranje vektora
Totalni prirast derivabilne funkcije
Totalni (potpuni) diferencijal diferencijabilne funkcije
Totalni diferencijal višeg reda funkcije
Opdenito, kada postoje neprekidne odgovarajude derivacije, vrijedi simbolička fomula za diferencijal višeg reda
EKSTREMI
Ispitivanje ekstrema funkcije u točki . U stupcu desno je prvi, a u stupcu
desno drugi način. Ako prvim načinom nema odluke, ispitujemo drugim.
NUŽNI UVJETI
Rješavanjem prethodnog sustava dobijemo stacionarne točke u kojima može (ali ne mora) imati ekstrem.
Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji kandidati su za ekstreme.
MMF1- 4
DOVOLJNI UVJETI
Odredimo determinante:
Funkcija u točki :
ima MINIMUM, ako je
ima MAKSIMUM, ako je
NEMA EKSTREMA, ako je
NEMA ODLUKE, ako je
Ako u dovoljno maloj okolini točke za
vrijedi:
, ima MINIMUM u točki
, ima MAKSIMUM u točki
mijenja predznak, NEMA EKSTREMA u
točki
za neku kombinaciju diferencijala, o
ekstremima funkcije NEMA ODLUKE (pa moramo
računati totalni prirast funkcije).
UVJETNI EKSTREMI Pronalaženje ekstrema funkcije uz uvjete (argumenti su povezani jednadžbama (za ))
svodi se na uobičajeno traženje ekstrema nove funkcije
NUŽNI UVJETI
Ako je jedno rješenje ovog sustava tada f može imati ekstrem
u točki .
DOVOLJNI UVJETI
Pomodu predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije ispitujemo postojanje i tip uvjetnog ekstrema
a za prethodno dobivene stacionarne točke i točke u kojima nisu definirane prve parcijalne derivacije. Veze
diferencijala argumenata dobijemo diferenciranjem uvjeta
Izračunamo m diferencijala kao funkcije preostalih n-m diferencijala te ih uvrstimo u za
Ako je:
, ima MINIMUM u točki
, ima MAKSIMUM u točki
mijenja predznak, NEMA EKSTREMA u točki
, o ekstremima funkcije NEMA ODLUKE u točki T
MMF1- 5
GRADIJENT Gradijent (skalarnog polja) [vektor] Nabla operator Derivacija u smjeru vektora
Geometrijska interpretacija Fizikalni primjeri
je vektor koji ima smjer najbrže
prostorne promjene funkcije , vektor
okomit na ekvipotencijalne plohe.
Ako nazivamo njegovim
potencijalom.
Za konzervativne sile (sile čiji rad ne ovisi o putu ved samo o
početnoj i konačnoj točki) vrijedi
DIVERGENCIJA Divergencija (vektorskog polja) [skalar] Izvori polja Ponori polja
Jednadžba kontinuiteta
Rezultantni tok različit od nule dovodi do promjene gustode unutar volumena.
ROTACIJA Rotacija (vektorskog polja) [vektor]
Rotacija centralne sile Rotacija vektora položaja Rotacija gradijenta
Polja
potencijalno polje: , a bar u nekim točkama
solenoidno polje: , a bar u nekim točkama
Laplaceovo polje: i
Složena polja, za koja bar u nekim točkama
vrijedi i , uvijek se mogu
predstaviti kao superpozicija potencijalnog i
solenoidnog polja
DJELOVANJE NABLA OPERATORA Laplasijan Divergencija rotacije Rotacija rotacije
Djelovanje nabla operatora
MMF1- 6
NEODREĐENI INTEGRALI3
Potencije
Eksponencijalne funkcije
Trigonometrijske funkcije Hiperbolne funkcije
Razlomljene racionalne funkcije Iracionalne funkcije
Osnovna pravila integriranja
Metoda supstitucije
nepredkidno derivabilna,
Parcijalno integriranje
, neprekidno derivabilne
ODREĐENI INTEGRALI Definicija Newton Leibnizova formula
Zamjena varijabli u određenom integralu
neprekidna na ; i neprekidne na ; ;
3 ;
MMF1- 7
VIŠESTRUKI INTEGRALI Dvostruki integral
Dvostrukim integralom neprekidne funkcije preko određenog zatvorenog područja S u ravnini xOy
nazivamo limes odgovarajude integralne sume
gdje je , , a suma protegnuta preko vrijednosti i za koje .
Dvostruki integral u pravokutnim koordinatama
Dvostruki integral u krivocrtnim koordinatama
Trostruki integral
Trostrukim integralom neprekidne funkcije preko određenog zatvorenog područja V u prostoru
nazivamo limes odgovarajude integralne sume
Integriranje se svodi na tri uzastopna jednostruka integrala ili jednog dvostrukog i jednog jednostrukog.
Trostruki integral u pravokutnim koordinatama
Ako je područje integracije definirano nejednadžbama , , ,
Trostruki integral u krivocrtnim koordinatama4
4 Uvjeti primjenjivosti pri prijelazu iz jednih varijabli u druge: neprekidne su funkcije veze , , i njihove parcijalne derivacije prvog reda funkcije veze su uspostavljaju međusobno jednoznačno i obostrano neprekidno pridruživanje Jakobijan zadržava stalan predznak u području
MMF1- 8
KRIVULJNI INTEGRALI Krivuljni integral 1. vrste
Krivuljnim inetgralom prve vrste (ne ovisi o smjeru puta integracije), neprekidne funkcije , po krivulji C
nazivamo limes odgovarajude integralne sume
gdje su elementi luka krivulje C, , a diferencijal luka.
Krivuljni integral 2. vrste
Krivuljnim inetgralom druge vrste (ovisi o smjeru puta integracije ako podintegralni izraz nije totalni diferencijal
neke jednoznačne funkcije), neprekidnih funkcija i po glatkoj krivulji C nazivamo limes
odgovarajude integralne sume.
Krivuljni integrali 1. i 2. vrste u prostoru
Krivuljni integrali funkcije po prostronoj krivulji C računaju se po analognim relacijama.
PLOŠNI INTEGRALI Plošni integral 1. vrste
Plošnim inetgralom prve vrste (ne ovisi o izboru strane plohe S), neprekidne funkcije , po glatkoj plohi
S nazivamo limes odgovarajude integralne sume
gdje su površine i-tih elemenata plohe S, točka , a jednoznačna projekcija glatke plohe
S na ravninu xOy (svaki pravac paralelan s osi Oz siječe plohu S samo u jednoj točki).
Plošni integral 2. vrste
Plošnim inetgralom druge vrste (ovisi o izboru strane plohe S jer pri prijelazu na drugu stranu plohe mijenja
predznak), neprekidnih funkcija , i , po plohi S, čija normala ima smjer
, nazivamo limes odgovarajude integralne sume.
Ako je ploha S zadana implicitno sa , onda kosinus smjera normale te plohe određujemo
Formula Ostrogradskog - Gaussa
Ako je S zatvorena glatka ploha, koja omeđuje konačno područje V, a , ,
funkcije koje su, a i njihove prve parcijalne derivacije, neprekidne u zatvorenom području V+S,
MMF1- 9
VEKTORSKI INTEGRALI
Rješavamo ih svođenjem na skalarne integrale rastavljajudi ih na komponente ili množedi skalarno vektore.
Krivuljni integrali
Diferencijalni vektor pomaka
Plošni integrali
Element površine
Za zatvorenu ploha, uzimamo pozitivan smjer prema vani.
Za otvorenu plohu, pozitivni smjer pokazuje palac desne
ako zavijemo prste desne ruke u smjeru obilaska ruba.
Volumni integrali
Element volumena
dV
Gaussov teorem (o divergenciji) Stokesov teorem (o rotaciji)
Ako površina S zatvara volumen V, tada vrijedi
Ako krivulja C zatvara površinu S, tada vrijedi
Greenov teorem
Ako površina S zatvara volumen V, tada vrijedi:
PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA Duljina krivulje Masa krivulje Koordinate težišta krivulje Moment inercije krivulje s obzirom na x-os
Površina lika Masa lika Koordinate težišta lika Moment inercije lika s obzirom na x-os
Volumen tijela Masa tijela Koordinate težišta tijela Moment inercije tijela s obzirom na x-os
Volumen i oplošje rotacionog tijela koje nastaje rotacijom krivulje y oko x-osi
Cirkulacija vektorskog polja Tok vektorskog polja Rad sile duž krivulje C
MMF1- 10
ZAKRIVLJENI KOORDINATENI SUSTAVI Koordinate5 Jacobijan Transformacija koordinata Invertibilna transformacija
Vektor položaja Diferencijalni vektro pomaka Element kvadrata udaljenosti Metrički tenzor
Ortogonalni koordinatni sustavi6
ORTOGONALNI KOORDINATNI SUSTAVI Lameovi koeficijenti Tangencijalni vektor Diferencijalni vektor udaljenosti Jedinični vektori
Element luka Element volumena Element duljine luka Element površine
Gradijent Divergencija
Laplasijan Rotacija
Koordinatni sustav Kartezijev koordinatni sustav
Sferni koordinatni sustav
Cilindrični koordinatni sustav
Polarni koordinatni sustav
5 Svaka točka definirana je presjekom triju ravnina (x, y, z=konst) u Cartesijevom koordinatnom sustavu. Analogno možemo odrediti točku u zakrivljenom koordinatnom sustavu definiranom familijom ploha . 6 Definirani međusobno okomitim plohama.
MMF1- 11
ORTOGONALNI KOORDINATNI SUSTAVI Vektori u cilindričnom koordinatnom sustavu
Vektori u sfernom koordinatnom sustavu
Jacobijan (odnos Kartezijevih koordinata i zakrivljenih koordinata )
Kartezijev koordinatni sustav:
Sferni koordinatni sustav:
Cilindrični koordinatni sustav:
Polarni koordinatni sustav:
Element volumena Element površine Element sferne površine u sfernim koordinatama
TENZORI Tenzor je matematička ili fizikalna veličina invarijantna na translacije, a ima komponenti gdje je N dimenzija
prostora te n red tenzora. Skalar je tenzor nultog stupnja, a vektor je tenzor prvog stupnja. Rang (stupanj)
tenzora možemo odredit promatrajudi njegovo ponašanje pri rotaciji u koordinatnom sustavu. Prema
Einsteinovoj konvenciji za sumiranje ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim
dopustivim vrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi za sve njegove vrijednosti.
Rotacija koordinatnih osi7
Vektori8 Skalari Vektori u Kartezijevim koordinatama
Transformacija komponenti tenzora9 Kovarijantni vektor Kontravarijantni vektor
Kovarijantni tenzor ranga 2 Miješani tenzor ranga 2 Kontravarijantni tenzor ranga 2
Simetrični tenzor ranga 2 Antisimetrični tenzor ranga 2 Prikaz tenzora ranga 2
Kvocijentno pravilo 10
7 Matrica rotacije A je ortogonalna te vrijedi . 8 N veličina komponente su N-dimenzionalnog vektora akko se komponente transformiraju danim pravilom pri rotaciji. 9 Ako se članovi s n indeksa pri bilo kojem prijelazu iz sustava S u S' transformiraju po danom pravilu onda se T zove
tenzor n-tog stupnja (ranga), a članovi s uređenim indeksima komponente su tenzora T. 10 Ako relacije vrijede u svim rotiranim Cartesijevim sustavima, K je tenzor ranga koji je naznačen ukupnim brojem indeksa.
MMF1- 12
TENZORI Elementatrne algebarske operacije
Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se po komponentama analogno
operacijama s vektorima i matricama.
Kontrakcija11 Direktni produkt
Transformacija glavnih osi
Za svaki simetrični tenzor T postoji ortogonalna
transformacija D, kojom se T transformira u dijagonalni oblik
Elementi zovu se svojstvene vrijednosti
tenzora T, a jednake su korijenima jednadžbe
Vektori stupci , , matrice transformacije D zovu se svojstveni vektori i redom pripadaju svojstvenim
vrijednostima , , jer zadovoljavaju jednadžbu . Smjerovi tih vektora zovu se glavni smjerovi, a
transformacija koja T prevodi u dijagonalni oblik zove se transformacija glavnih osi.
INVARIJANTNI TENZORI
Kartezijev je tenzor invarijantan ako su mu sve komponente u svim koordinatnim sustavima nepromijenjene.
Delta tenzor (tenzor stupnja 2) Epsilon tenzor12 (tenzor stupnja 3)
PRIMJERI TENZORA 2. STUPNJA U FIZICI Tenzor napetosti
Ako u točki P elastičnog tijela odaberemo malu plohu čiji smjer normale gleda u
pravcu osi nekog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava, tada sila po
jedinici površine te plohe predstavlja vektor čije su komponente , , .
Moment tromosti
Komponente tenzora tromosti momenti su tromosti s obzirom na koordinatene
osi, a momenti devijacija obzirom na koordinatne osi.
11
Ako u tenzoru stupnja obavimo sumiranje po dva jednaka indeksa, dobit demo tenzor stupnja . Npr., tenzor
drugog stupnja C, s članovima , koji dobijemo kao produkt dva vektora i ,
snižavanjem preko indeksa i postaje skalar , odnosno tenzor stupnja 0, tj. skalarni produkt vektora i . 12
Mješoviti produkt jediničnih vektora u smjerovima koordinatnih osi pravokutnog koordinatnog sustava , , .
top related