:: rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. tenzori.pdf ·...

Rotacija koordinatnih osi

T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije

T2T3T4T5

Konjugirani tenzori

T6Kvocijentno pravilo

T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor

T9Moment impulsaTenzor inercije

T10(a)T10(b)T10(c)

Glavne osiT10(d)T10(e)

Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11

:: Rotacija koordinatnih osi ::Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru,a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja definicije vektora. Međutim, fizikalneveličine, pomodu kojih opisujemo ponašanje raznih pojava, ne smiju ovisiti o izborureferentnog sustava pa demo najprije promotriti ponašanje komponenti vektora položaja prirotacijama koordinatnih osi.

Rotacijom koordinatnih osi referentni sustav K postaje K’

• koordinatne osi ::

• jedinični vektori ::

• vektor položaja ::




T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: T1 ::Izrazite radij-vektor točke T(1,-2,3) u novom koordinatnom sustavu koji se dobije rotacijomKartezijevog sustava oko osi z za 30° suprotno smjeru kazaljke na satu. Usporedite duljinevektora u jednom i drugom koordinatnom sustavu.

30°30°

x2x1

x’2

x’1

x3 =x’3

T1



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



Definiciju vektora sada možemo poopditi preko načina na koji se njegove komponentetransformiraju (kovariraju) kod rotacije koordinatnog sustava:

Za skup od N veličina Vj kažemo da su komponente N-dimenzionalnog vektora V, ako i samoako su njihove vrijednosti u rotiranom koordinatnom sustavu dane sa

Neovisnost o referentnom sustavu (koja slijedi iz kovarijancije) je potrebna da bi se formuliraliuniverzalni zakoni fizike koji uključuju vektore ili opdenitije tenzore.

:: Poopdenje definicije vektora ::

Samo u Kartezijevim koordinatama nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnihtransformacija:

:: Einsteinova konvencija o zbrajanju ::Ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim dopustivimvrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi za sve komponentenavedene veličine.

:: Vektori u Kartezijevim koordinatama ::

Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektora



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Tenzori ::Tenzor je matematička ili fizikalna veličina invarijantna na translacije, a ima Nn komponentigdje je N dimenzija prostora te n stupanj tenzora.

Rang (stupanj) tenzora možemo odredit promatrajudi ponašanje njegovih komponenti priprijelazu iz koordinatnog sustava K u koordinatni sustav K’ :

gdje indeksa imamo n (stupanj tenzora), a svaki poprima vrijednosti od 1 do N (dimenzijaprostora).

• tenzor 0. stupnja ima samo jednu komponentu (invarijantan je) :: skalar

• tenzor 1. stupnja :: vektor

• tenzor 2. stupnja :: 9 komponenti u R3 (npr. tenzor tromosti, tenzor napetosti…)

Prema transformacijama komponenti tenzore dijelimo na ( navedene su relacije za tenzore 2. stupnja):

kovarijantne (indeksi dolje)

kontravarijantne (indeksi gore)

miješane (indeksi analogno prethodnima)

Tenzor 2. stupnja je simetričan ako vrijedi, a antisimetričan ako

Tenzori



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Algebarske operacije sa tenzorima ::

Koristedi invarijantnost skalara na rotacije, pokažite da je skalarni produkt vektora skalar.

:: T3 ::Ako je kontravarijantni tenzor 2. stupnja S simetričan, a A antisimetričan, odredite AijSij.

Uvijek vrijedi

U pojedinom pribrojniku umjesto ij mogu pisati bilo koji drugi indeksi pa ih možemo zamijeniti

Iskoristimo li zadanu simetričnost imamo

:: T2 ::

• Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se pokomponentama analogno operacijama s vektorima i matricama.

• Direktni produkt:

Algebarskeoperacije

T2T3



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: T4 ::Pokažite da se proizvoljni tenzor ranga 2 može napisati kao zbroj simetričnog i antisimetričnogtenzora.

Kako su dokazi za kovarijantne, kontravarijantne i miješane tenzore slični, dokazat demo zakontravarijantni:

Dodamo li i oduzmemo imamo

Zamjena indeksa odgovara transponiranju matrične reprezentacije vektora pa akotransponiramo prvi sumand

dobijemo isti taj što znači: je simetričan tenzor.

Transponiranjem drugog imamo

što znači je antisimetričan tenzor.

T4



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: T5 ::Dokažite: doprinos antisimetričnog dijela metričkog tenzora u kvadratu linijskog elementaiznosi 0.

Kvadrat linijskog elementa:

Koristedi tvrdnje dokazane u prethodnom zadatku, metrički tenzor možemo zapisati kao

T5



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Konjugirani (pridruženi) tenzor ::

Dokažite: , a oba su i invarijantna dok nije.

Koristedi operacije podizanja i spuštanja indeksa dokazujemo jednakost:

Pošto se radi o jednakim tenzorima dovoljno je pokazati invarijantnost jednoga. Polazedi odumnoška u rotiranom koordinatnom sustavu i koristedi transformacijske relacije prelazimo upočetni:

invarijantan izraz

ne možemo više reducirat, znači: izraz nije invarijantan

Konjugirani tenzor dobivamo operacijama spuštanja/podizanja indeksa:

:: T6 ::

Konjugirani tenzori

T6



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Kvocijentno pravilo ::

Dokažite kvocijentno pravilo:

Pravilo vrijedi u svakom zarotiranom Kartezijevom sustavu pa demo ga napisati u crtkanom:

// B transformiramo u necrtkani

// Primijenimo kvocijentno pravilo

// A transformiramo u crtkani

// Izjednačimo početak i kraj jednakosti

// A opdenit pa je izraz u zagradi 0

// Način transformacije tenzora 2. ranga

Ako relacije vrijede u svim rotiranim Kartezijevim sustavima te ako je rang od A i B naznačenbrojem indeksa , K je tenzor ranga koji je naznačen ukupnim brojem svojih indeksa:

:: T7 ::

Kvocijentno pravilo

T7



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Epsilon tenzor (tenzor 3. stupnja) ::

Koristedi identitet za tenzore, dokažite:

:: T8 ::

Epsilon tenzorT8



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Metrički tenzor ::

Odredite metrički tenzor u cilindričnim koordinatama:

Cilindrične koordinate Kartezijeve koorinate

:: T9 ::

Metrički tenzorT9



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Kutni moment (moment impulsa) za proizvoljnu kutnu brzinu ::

Kutnu brzinu možemo zapisati u opdenitom obliku:

Moment impulsa iznosi

Primijenimo li imamo:

Prema tome opdi izraz za moment impulsa glasi:

gdje su

te analogno definiramo ostale komponente Iij.

( , , ).x y z ω

L m m r ω rr v

2 2

2 2

2 2

( )

( )

( )

x y z

x y z

x y z

y z xy xz

yx z x yz

zx zy x y

r ω r

( ) ( ) ( ) A B C B A C C A B

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

z zx x zy y zz z

L I I I

L I I I

L I I I

2 2( )

xx

x y

I m y z

I m x y

Moment impulsa



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



:: Tenzor inercije I ::

Pronađite moment inercije homogene kocke mase M i stranice a pri rotaciji oko vrha(ishodište je u vrhu, orjentacija osi nije određena).

Kada nađemo tenzor inercije, možemo odabrati bilo koju kutnu brzinu rotacije i odmah znamopripadni moment impulsa

Kako se radi o jednolikoj raspodjeli mase potrebno je izračunati 9 integrala za odrediti tenzorinercije. Međutim, zbog simetrije svi dijagonalni elementi su isti, a ostali su različiti, ali jednakimeđusobno pa je dovoljno izračunati 2 integrala.

:: T10 (a) ::

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I I I

I

x

y

z

ω

x

y

z

L

L

L

LL Iω

2 2( )

xx

x y

I m y z

I m x y

L Iω

2 2

0 0 0( )

a a a

xxI dx dy dz y z 3/M a

2 2 5 22 23 30 0 0 0 0 0

.a a a a a a

xxI dx y dy dz dx dy z dz a Ma

5 21 14 40 0 0 0 0 0

, .a a a a a a

xyI dx dy dz xy xdx ydy dz a Ma

2 2 22 1 13 4 4 2

2 2 21 2 14 3 4

2 2 21 1 24 4 3

8 3 3

3 8 312

3 3 8

Ma Ma MaMa

Ma Ma Ma

Ma Ma Ma

I

Dobivene relacije možemo zapisati u matričnom obliku (=> moment inercije I tenzor je 2.stupnja)

=> simetrični tenzorTI I

Tenzor inercijeT10(a)



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko x-osi kojaprolazi vrhom kocke.

Moment impulsa nema isti smjer kao os rotacije.

:: T10 (b) ::

Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko osi kojaprolazi vrhom kocke i ide dijagonalno kroz kocku.

Moment impulsa ima isti smjer kao os rotacije (kutna brzina).

:: T10 (c) ::

1

13

1

ω2 2 2

8 3 3 1 2

3 8 3 1 212 12 63 3

3 3 8 1 2

Ma Ma MaL Iω ω

1

0

0

ω2

2

8 3 3 1 2 / 3

3 8 3 0 1/ 412

3 3 8 0 1/ 4

MaMaL Iω

T10(b)T10(c)



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



Odredite moment inercije za slučaj kada se središte rotacije nalazi u centru kocke teusporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa

Moment je inercije u koordinatnom sustavu odabranom pod (d) dijagonalna matrica, amoment impulsa uvijek ima isti smjer kao i kutna brzina bez obzira na položaj osi rotacije.Koordinatni sustav u kojem je tenzor dijagonalan nazivamo sustav glavnih osi. Kako sekomponente tenzora mijenjaju pri rotaciji, rotacijom možemo (ako se radi o simetričnomtenzoru) proizvoljno odabrani koordinatni sustava transformirati u sustav glavnih osi u kojemje taj tenzor dijagonalan. Iz gore dobivene relacije možemo napisati opdeniti izraz:

--> --> -->

Znači: problem određivanja glavnih osi svodi se na određivanje svojstvenih vrijednosti λ(vrijednosti na dijagonali) i svojstvenih vektora ω. Jedinični vektori koordinatnog sustava ukojem je tenzor dijagonalan definirani su preko normiranih svojstvenih vektora v(i)= ω/|ω|

:: T10 (d) ::

/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

2 2 2 3 22 13 6/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

2 ( / 2)

a a a a a a

xxa a a a a a

I dx y dy dz dx dy z dz a a Ma

/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2, 0

a a a a a a

xya a a a a a

I dx dy dz xy xdx ydy dz

2 21 0 0

0 1 06 6

0 0 1

Ma MaI 1

2

6

MaL Iω ω

Iω ω Iω 1ω ( ) 0 I 1 ω det( ) 0 I 1

:: Glavne osi ::

Glavne osiT10(d)



T2T3T4T5

Konjugirani tenzori


T7Epsilon tenzor

T8Metrički tenzor


T10(a)T10(b)T10(c)



Koristedi podatke izračunate pod (a), odredite glavne osi rotacije za kocku koja rotira oko vrha.

Za imamo:

------------------------

Rj: x = y = z

Za imamo:

Znači: Možemo uzeti osi, s ishodištem u vrhu kocke,

jednu u smjeru e’1, a druge dvije u smjeru dva proizvoljna međusobno okomita vektora e’2 ie’3 koji su okomiti na e’1 i dobit demo dijagonalan oblik tenzora I’.

:: T10 (e) ::

28 3 3

3 8 3 ;12

3 3 8

MaI

det( ) 0 I 1 2

8 3 3

3 8 3 (2 )(11 ) 0

3 3 8

21

1 62 Ma

8 3 3 6 3 3

3 8 3 3 6 3 0

3 3 8 3 3 6

x x

y y

z z

2112 3 12

11 Ma

2 0

2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

3 3 3

3 3 3 0

3 3 3

0

z

x yy z

x

21

2,3 1 3 ,3 10 x y z ωω ee

22 0 0

0 11 012

0 0 11

MaI

1

11

13

1

e

T10(e)

:: rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. tenzori.pdf ·...

Documents