vektori mõiste, tehted vektoritega

Vektori mõiste, tehted Vektori mõiste, tehted vektoritegavektoritega

Vektori mõisteVektori mõisteSuurusi, mida saab esitada ühe

arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks

(nt õhutemperatuur, õpilase kaal, vanus, kauba hind jms)

Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks

(nt ilmateadetes tuule tugevusvektor)

Vektori mõiste, vektori Vektori mõiste, vektori tähistaminetähistamineVektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku

◦ sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus:

siht näitab, kuidas vektor asetseb

suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud

pikkus on vektori arvväärtuseks

A

B

ABa

Vektorite Vektorite kasutusvaldkondikasutusvaldkondi

Fototöötlus (vektorgraafika), tugevusvektoridliikusmisülesannetes, erinevad füüsika valdkonnad (nt magnetväli vaakumis).

Vektorite võrdsusVektorite võrdsusVektorid on samasihilised kui

nad on paralleelsed◦Samasihilisus ehk kollineaarsus

◦Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised

ba

cd

Vektorite võrdsusVektorite võrdsusVektorid on võrdsed, kui nad on

samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused

ab

ba

Vektori koordinaadidVektori koordinaadid

B

A

)4;3(AB

Vektori koordinaadidVektori koordinaadidJoonesta järgmised vektorid:

)4;0(

)3;2(

)2;1(

)5;2(

d

c

b

a

Vektori koordinaadidVektori koordinaadid

)4;0(

)3;2(

)2;1(

)5;2(

d

c

b

aa

b

c

d

Vektori koordinaadidVektori koordinaadidOlgu vektori alguspunkt M(1;2) ja

lõpp-punkt N(5;7). Joonesta antud vektor koordinaattasandil ja märgi üles tema koordinaadid.

7 N

6

5

4

3

2 M

1

1 2 3 4 5 6

)5;4(MN

Vektori koordinaadidVektori koordinaadid

A(x1;y1)

B(x2;y2)

Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis

AB = (x2 – x1; y2 – y1).

AB

Vektori koordinaadidVektori koordinaadidLeia vektori koordinaadid, kui on

antud vektori alguspunkt ja lõpp-punkt.a) A(7;6), B(2;1)

b) C(-2;3), D(4;2)

AB

DC

)5;5(

)1;6(

Vektori pikkusVektori pikkus

Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus

| v | = 22 ba

Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis

AB = (x2 – x1; y2 – y1)

siis selle vektori pikkus

| AB | = 2

122

12 )y– y()– x x(

Vektorit pikkusega 1 nimetatakse ühikvektoriks.

Vektori pikkusVektori pikkusLeia vektorite pikkus.a)

b) G(2;7), H(5;3)

)8;6(kk

GH

101008)6( 22

525

)4(3)73()25( 2222

Vektorite liitmineVektorite liitmineLennuk lendas punktist A 200 km

itta ja jõudis punkti B. Sealt lendas lennuk veel 400 km itta ja jõudis punkti C.◦Geomeetriline lahendus

◦Algebraline lahendus

A B C

AB BC

AC on vektorite AB ja BC summavektor.

AB=(200;0) ja BC=(400;0)AB+BC=(200;0)+(400;0)=(600;0)=AC

Vektorite liitmineVektorite liitmineMees liikus punktist P 200 m

lõunasse punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ning jõudis punkti R.◦Geomeetriline lahendus

◦Algebraline lahendus

R

Q

PPQ

QR P

R

PR

PR on vektorite PQ ja QR summavektor.

PQ=(0;-200) ja QR=(0;500)PQ+QR=(0;-200)+(0;500)=(0;300)=PR

Vektorite liitmineVektorite liitmineKeha liikus punktist A vektori

võrra ja seejärel vektori võrra. ◦Geomeetriline lahendus

◦Algebraline lahendus

)3;5(AB

)4;1(BC

B

A

C

AB

BCAC

AC on vektorite AB ja BC summavektor. AB=(5;3) ja BC=(1;4)AB+BC=(5;3)+(1;4)=(6;7)=AC

Vektorite liitmineVektorite liitmine

Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid

);(

);();(

dbcavuw

dcvbau

Vektorite liitmineVektorite liitmineEt liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega. Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga.

C

A BaAB

bBC AC

Kolmnurgareegel

D a

b

Rööpkülikureegel

NullvektorNullvektorVektorit nimetatakse

nullvektoriks◦Nullvektori pikkus on võrdne nulliga◦Nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt

ühtivad◦Nullvektori siht ja suund ei ole

määratud

)0;0(O

VastandvektorVastandvektorKui kaks vektorit on teineteise

vastandvektorid, siis on nad ühepikkused ja samasihilised aga vastassuunalised.y

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 x

)3;4(a

Oaa

yxa

yxa

);(

);(

)3;4( a

Vektorite lahutamineVektorite lahutamineVektori lahutamine tähendab

selle vektori vastandvektori liitmist

);(

);();()(

);;();(

dbca

dcbavuvu

dcvbau

Vektorite lahutamineVektorite lahutamineVektorite vahe leidmiseks paigutame

need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.

Rakendame kolmnurga reeglit: liidame vektorid

a

bb

baab

Vektorite lahutamineVektorite lahutamineSelleks, et lahutada ühest vektorist

teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist.◦ Vektorite vahe vektor lähtub lahutava

vektori lõpp-punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti.

Leia vektorite

Vektorite lahutamineVektorite lahutamine

ab

ba

Vektori korrutamine Vektori korrutamine arvugaarvuga

Vektori korrutamine Vektori korrutamine arvugaarvuga

saame nullvektori