vwo a samenvatting hoofdstuk 9

vwo A Samenvatting Hoofdstuk 9

De recursieve formule van een getallenrij

Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke termuit één of meer voorafgaande termen volgt.

Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde.

vb. un = un – 1 + 160 met u0 = 25

9.1

opgave 15

a) u0 = 1

u1 = 1 + 1 + 1 = 3

u2 = 3 + 2 + 1 = 6

u3 = 6 + 3 + 1 = 10

u4 = 10 + 4 + 1 = 15

u5 = 15 + 5 + 1 = 21

b) Totaal = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

c) 10e laag is u9 = 55

15e laag is u14 = 120

d) v9 = 220, dus uit 220 sinaasappels.

• Voer in y1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3).

De tabel geeft : bij x = 14 hoort y = 680.

De stapel bestaat uit 15 lagen.

1

6

9.1

Rekenkundige rijen

Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee

opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.

Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is

• de directe formule un = u0 + vn

• de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0.

Voor de rekenkundige rij un geldt

som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term)

00

1( 1)( )

2

n

k nk

u n u u

9.2

opgave 22 un = un – 1 – 4 met u0 = 251

a) rr met u0 = 251 en v = -4

dus un = 251 – 4n

b) u18 = 251 – 4 · 18 = 179

c) 21e term is u20 = 251 – 4 · 20 = 171

d) Los op

251 – 4n = 0

-4n = -251

n = 62,75

Dus u62 > 0 en u63 < 0.

Vanaf de 64e term is un negatief.9.2

Meetkundige rijen

Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van tweeopeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.

Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is

• de directe formule un = u0 · rn

• de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0.

Voor een meetkundige rij un geldt

som meetkundige rij =

10

0

(1 )

1

nn

kk

u ru

r

eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor

9.3

opgave 43 a) un = 5,2 · 0,8n

8e week

u7 = 5,2 · 0,87

u7 ≈ 1,1

De toename in de 8e week is 11 mm.

b) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,87

=

≈ 21,6

De plant is 216 mm gegroeid.

c) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,89

=

≈ 23,2

De hoogte na 10 weken is 18 + 23,2 = 41,2 cm.

85,2(1 0,8 )

1 0,8

105,2(1 0,8 )

1 0,8

9.3

Radiaal

Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α.

booglengte PQ = hoek α

booglengte = 1 α = 1 rad

booglengte = 2 α = 2 rad

booglengte = π α = π rad

1 rad ≈ 57,3°

O (1,0)

y

Pα

Q

x

9.4

Sinus en cosinus

Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1,0).

O (1,0)

y

xA

α

P(xP , yP)

1

sin α = = = yP

cos α = = = xP

PQ

OP

yP

1OQ

OP

xP

1

Q

∟

sos cas

xP

yP

1

9.4

Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x)

O π 2π-π-2π

-1

1

periode = 2π

periode = 2π

amplitude = 1

amplitude = 1evenwichtsstand = 0

f(x) = sin(x)

g(x) = cos(x)½π

9.4

Bijzonderheden aflezen uit een formule met een sinus

9.4

Kenmerken van sinusoïdenFormules hebben de vorm : y = a + b sin(c(x - d)) en y = a + b cos(c(x - d))

amplitude = |b| en c > 0

9.5

Kenmerken van de grafiek van y = a + b sin(c(x - d))

evenwichtsstand y = a

amplitude = b

periode =

beginpunt (d, a)

2π c

9.5

voorbeeld

f(x) = 5 – 3 sin (¼πx)

evenwichtsstand = 5

amplitude = 3

periode = = 8

-3 < 0

dus grafiek dalend door beginpunt (0,5)

214

9.5