wykład 3 - analiza kinematyczna mechanizmów płaskich - metoda analityczna.pdf
Post on 13-Apr-2018
277 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
1/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 1
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMW P!ASKICH
METODA ANALITYCZNA
Analiza kinematyczna mechanizmw d"wigniowych metod# wielobokuwektorowego
W opisywanej metodzie !a"cuch kinematyczny dowolnego p!askiegomechanizmu d#wigniowego przedstawia si$ w postaci zamkni$tegowieloboku wektorowego (Rys. 1), ktry okre%la chwilowe po!o&eniecz!onw.
Ka&dy z wektorw iI tego wieloboku zdefiniowany jest we wsp!rz$dnych
biegunowych przez dwa parametry: d!ugo%' wektora ii II = oraz k(t i
okre%laj(cy jego kierunek.
Rys. 1. Mechanizm d#wigniowy Rys. 2. Okre%lanie k(tw w metodzie
jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego
Dodatni k(t i jest to taki k(t o jaki nale&y obrci' o% x uk!adu
wsp!rz$dnych Oxyw kierunku przeciwnym do ruchu wskazwek zegara wprawoskr$tnym uk!adzie wsp!rz$dnych aby jej dodatni zwrot pokry! si$ z
dodatnim zwrotem wektora iI co przedstawiono na Rys. 2.
Przy takiej umowie wsp!rz$dne wektora )I,I(I iyixi wynosz(zawsze:
iiiyiiix sinII,cosII == (1)
a znaki wsp!rz$dnych s(okre%lone poprzez znaki funkcji isin i icos .
Mechanizm p!aski zdefiniowany jest przez zamkni$ty wielobok sk!adaj(cy
si$z nwektorw, co zapisujemy nast$puj(co: 0In
1ii=
= (2)
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
2/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 2
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Wielobok wektorowy zbudowany nacz!onach mechanizmu posiada
2nparametrw.
(2)
Rys. 1. Mechanizm d#wigniowy jako wielobok wektorowy
Wielobok wektorowy opisany rwnaniem (2) po zrzutowaniu go na osiep!askiego uk!adu wsp!rz$dnych odpowiada dwm rwnaniom skalarnym:
0cosl,0l i
n
1ii
n
1iix ==
== (3)
0sinl,0l in
1ii
n
1iiy ==
== (4)
Poniewa& uk!ad rwna" (3), (4) musi by' oznaczony, na jego podstawiemo&na wyznaczy' dwa szukane parametry geometryczne np. dwied!ugo%ci, d!ugo%' i k(t lub dwa k(ty. Pozosta!e 2n - 2parametry musz(by'zatem znane i nale&y je przyj(' jako dane w momencie definiowaniamechanizmu.
Po zr&niczkowaniu rwna" (3), (4) wzgl$dem czasu otrzymujemy uk!adyrwna":
0dt
dl,0
dt
dl n
1i
iyn
1i
ix ====
(5)
oraz 0dt
ld,0
dt
ld n
1i2
iy2
n
1i2ix
2
====
(6)
0In
1ii=
=
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
3/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 3
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Z uk!adu rwna" (5) wyznacza si$dwie szukane pr$dko%ci liniowe lub k(towea na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub k#towe.
Przy r!niczkowaniu uk"adu (5) wzgl#dem czasu mog$zaj%&dwa przypadki:
a) d"ugo%&danego cz"onu jest sta"a constli= , wtedy
0dt
dli = oraz 0dt
ld2i
2
= , (7)
b) d"ugo%&danego cz"onu jest zmienna constli , wtedy
0dt
dli oraz 0
dt
ld2i
2
(8)
Dla prowadnic prostoliniowych wyra!eniedt
dli okre%la pr!dko"#
liniow$ skracania lub wyd"u!ania si# danego wektora reprezentuj$cegocz"on. Kierunek tej pr#dko%ci pokrywa si#z kierunkiem cz"onu.
Wyra!enie 2i
2
dt
ldokre%laprzyspieszenie liniowewynikaj$ce ze skracania
lub wyd"u!ania si# danego wektora reprezentuj$cego cz"on. W przypadku
cz"onw prostoliniowych (prowadnic) przyspieszenie 2i2
dt
ld jest
przyspieszeniem stycznym le!$cym na linii danego cz"onu a jego kierunekjest zgodny
z kierunkiem pr#dko%ci.
Zachodz$cztery mo!liwe przypadki zmian pr#dko%ci i przyspieszenia:
a)0
dt
lda,0
dt
dlv
2
i2
t
i
i
i
>=>= - wektor il reprezentuj$cy element
zwi#ksza sw$ d"ugo%& i na tej podstawie okre%lamy graficznie zwrot
pr#dko%ci ko'ca tego wektora. Przyspieszenie stycznetia i pr#dko%& iv
maj$zwroty zgodne,
b) 0dt
lda,0
dt
dlv
2i
2ti
ii
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
4/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 4
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
c) 0dt
lda,0
dt
dlv
2i
2ti
ii = - wektor przyspieszenia stycznego tia ma
zwrot przeciwny do zwrotu wektora pr#dko%ci iv
. Element zwi#ksza d"u-go%&.
d) 0dt
lda,0
dt
dlv
2i
2ti
ii >=
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
5/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 5
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przyk&ad '. Mechanizm korbowo-suwakowy
Mechanizm mo&na zapisa' trzema wektorami w sposb pokazany na Rys. 3. Nale&y
zatem przyj('23 2 = 4parametry.
Dane: == 011 ),t( , 21 lBC,lAB == Szukane: )t(),t(xx 22CC == , )t(),t(vv 22CC == , )t(),t(aa 22CC ==
Rozwi(zanie
Dwa wektory 21 l,l maj(sta!(d!ugo%'. Wektor 0l zmienia swoj(d!ugo%'w czasie ru-
chu mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy po-
!o&enia k(towe poszczeglnych wektorw wzgl$dem osi Oxza pomoc(k(tw skierowa-
nych.
Rys. 3. Wielobok wektorowy mechanizmu korbowo-suwakowego
Opisujemy wielobok wektorowy rwnaniem wektorowym:
0lll 021 =++ (P1.1)Nast$pnie piszemy odpowiednie rwnania skalarne:
0lcoslcosl 02211 =+ (P1.2)
0sinlsinl 2211 =+ (P1.3)
Przyjmuj(c oznaczenie mamy z (P1.3) mamy:
112
12 sinsin
l
lsin == (P1.4)
i st(d )sinsin(arc 12 = (P1.5)
Dalej oznaczymy: 122
22
2 sin1sin1cosA === (P1.6)
2
1
l
l
=
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
6/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 6
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
W celu wyznaczenia pr$dko%ci liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu Cko-
nieczne jest wprowadzenie wektora promienia wodz#cego tego punktu Cr .
Wektor promie" wodz(cy dowolnego mechanizmu p!askiego lub prze-strzennego prowadzony jest zawsze od pocz(tku uk!adu wsp!rz$dnych do
danego punktu, ktrego pr$dko%'lub przyspieszenie chcemy obliczy'.
210CC lll)0,x(r +== (P1.7)
Rys. 3
Wsp&rz$dna wektora promienia wodz#cego okre%laj#ca po&o(enie su-waka wynosi: Alcoslcoslcoslllx 2112211x2x1C +=+=+= P1.8)
W celu obliczenia pr$dko%ci k(towej r&niczkujemy (P1.5) wzgl$dem czasu:
11
12
1122
1122
cosAcos
cos
coscos
===
=
!!!
!!
(P1.9)
Nast$pnie r&niczkuj(c (P1.8) wzgl$dem czasu obliczymy pr$dko%'liniow(punktu C:
)2sinA5,0(sinlxv 11
111CC +== !! (P1.10)
W celu obliczenia przyspieszenia k(towego r&niczkujemy (P1.9) wzgl$dem czasu:
== 1111
2
12122 cos2sincos
Asin
A
!!!!!
(P1.11)
Nast$pnie r&niczkujemy (P1.10) i otrzymamy przyspieszenie liniowe punktu C: P1.12)
++
+== 11
2
3
3
12111111CC 2cos
A2sin
A4cosl2sin
A2sinlxa
!!!!!
Je&eli korba 1IAB = obraca si$ze sta!(pr$dko%ci(k(tow(, wtedy jej przyspieszenie
k(towe jest rwne zero czyli 0dt
d 111 ===
!!
, co nale&y uwzgl$dni'w rwnaniach.
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
7/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 7
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przyk&ad 2. Mechanizm czworoboku przegubowego
W ten mechanizm wpisujemy cztery wektory (Rys. 4). Nale&y zatem przyj('24 2 = 6
parametrw. Wszystkie wektory w przypadku tego mechanizmu maj(sta!(d!ugo%'.
Dane: =003211 ,l,l,l,l,
Szukane: 323232 ,,,,, .
Rozwi(zanie
Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym: 0llll 0321 =+++ (P2.1)
Rys. 4. Wielobok wektorowy mechanizmu czworoboku przegubowego
Po rzutowaniu rwnania (P2.1) na osie uk!adu wsp!rz$dnych otrzymamy:
0sinlsinlsinl
0lcoslcoslcosl
332211
0332211
=++=++
(P2.2)
Przekszta!camy uk!ad rwna"(P2.2) do postaci:
332211
3302211
sinlsinlsinl
cosllcoslcosl
=+=+
(P2.3)
Po wprowadzeniu oznacze": ,sinlB,lcoslA 11011 == otrzymamy:
3322
3322
sinlsinlB
coslcoslA
=+=+
(P2.4)
Rwnania (P2.4) podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami
0llsinBl2BcosAl2A 23
2222
222
2 =++++ (P2.5)
Rwnanie (P2.5) dzielimy przez 2Al2
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
8/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 8
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
0sinA
Bcos
Al2
llBA22
2
23
22
22
=++++
(P2.6)
Przyjmiemy oznaczenia: 2
23
22
22
Al2
llBA
C
++
= , AB
D= , zatem (P2.6) przyjmie
posta': 0sinDcosC 22 =++ (P2.7)
Po podniesieniu (P2.6) stronami do kwadratu otrzymujemy:
0)DC(cosC2cos)D1( 222222 =+++ (P2.8)
Po podstawieniu 2cosw = otrzymamy rwnanie kwadratowe w postaci:
0)DC(Cw2w)D1(2222
=+++ (P2.9)z ktrego wyznaczymy dwa pierwiastki ,w,w 21 a nast$pnie dwie warto%ci
k(ta 2 , tj. k(ty )2(2)1(2 , .
Dwa rozwi(zania rwnania kwadratowego (P2.9) odpowiadaj( dwm wa-riantom po!o&enia cz!onw mechanizmu czworoboku przegubowego przy
ustalonym po!o&eniu cz!onu nap$dzaj(cego 1 co pokazano na Rys. 4. K(t
3 znajdziemy z rwnania (P2.4). Otrzymamy odpowiednio: )2(3)1(3 , .
W celu wyznaczenia pr$dko%ci k(towej cz!onw 2 i 3r&niczkujemy pierw-sze z rwna"(P2.2) i otrzymujemy:
0sinlsinlsinl 333222111 =++ (P2.10)
gdzie: ,dt
d,
dt
d,
dt
d 33
22
11
=== - pochodne k(tw,
W celu wyznaczenia pr$dko%ci k(towej 3 obracamy uk!ad wsp!rz$dnycho k(t 2 . Rwnanie (P2.10) przyjmie posta':
0)sin(l)sin(l)sin(l 233322222111 =++ (P2.11)
a poniewa&wyra&enie 0)sin(l 2222 = to otrzymamy:
)sin(l
)sin(l
233
21113
= (P2.12)
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
9/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 9
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Analogicznie obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t 3 mamy:
0)sin(l)sin(l)sin(l 333332223111 =++ (P2.13)
Poniewa& 0)sin( 33 = to pr$dko%'k(towa cz!onu 2:
1322
3112
)sin(l
)sin(l
= (P2.14)
W celu obliczenia przyspiesze"k(towych r&niczkujemy rwnanie (P2.10)
0sinlcoslsinlcoslsinlcosl 333332322222
2211111
21 =+++++
(P2.15)
Przyspieszenie k(towe cz!onu 3- 3 otrzymamy obracaj(c uk!ad wsp!rz$d-
nych o k(t 2
)sin(l
)cos(ll)sin(l)cos(l
233
233232
222111211
21
3
+++= 2.16)
Przyspieszenie k(towe cz!onu 2- 2 otrzymamy obracaj(c uk!ad wsp!rz$d-
nych o k(t 3
)sin(l
l)cos(l)sin(l)cos(l
322
323322
223111311
21
2
+++= (P2.17)
Rwnania (P2.15), (P2.16) i (P2.17) ulegn(uproszczeniu je&eli pr$dko%'k(-
towa const1= , wwczas przyspieszenie 01= .
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
10/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 10
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przyk&ad 3. Analiza toru, pr$dko%ci i przyspieszenia punktu p&aszczy-zny cznikowej mechanizmu czworoboku przegubowego.
Dla mechanizmu czworoboku przegubowego wyznaczymy parametry kinematyczne
punktu K nale&(cego do p!aszczyzny !(cznikowej (Rys. 5).
Dane: 242424411 ,,,l),t(,l !!!!!! ==+= Szukane: tor punktu K, pr$dko%'punktu Kv oraz przyspieszenie Ka .
Rys. 5. Czworobok przegubowy z oznaczonym punktem K p!aszczyzny !(cznikowej
Rozwi(zanieNa podstawie Rys. 5 zapiszemy rwnanie wektora promienia wodz(cego
punktu K:
41K llr += (P3.1)
Nast$pnie wyznaczymy wsp!rz$dne wektora Kr .
)sin(lsinlr
)cos(lcoslr
2411Ky
2411Kx
++=
++= (P3.2)
Zale&no%ci (P3.2) s(parametrycznymi rwnaniami toru punktu Kczyli rwna-
niami hodografu wektora promienia wodz(cego Kr
Nast$pnie r&niczkujemy rwnania (P3.2) i znajdujemy wsp!rz$dne wektorapr$dko%ci punktu K.
)cos(lcosldt
drv
)sin(lsinldt
drv
224111Ky
Kx
224111Kx
Kx
++==
+==
(P3.3)
Zale&no%ci (P3.3) s(parametrycznymi rwnaniami hodografu pr$dko%ci Kv .
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
11/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 11
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Warto%'wektora pr$dko%ci punktu Kokre%limy z zale&no%ci
2Ky
2KxK vvv += (P3.4)
Cosinusy kierunkowe jaki tworzy wektor Kv z osiami uk!adu wsp!rz$d-
nych okre%laj(zale&no%ci:
K
KxK
v
v)x,vcos( = ,
K
KyK
v
v)y,vcos( = (P3.5)
Analogicznie wyznaczymy wsp!rz$dne wektora przyspieszenia Ka
)sin(l)cos(lsinlcosldt
dra
)cos(l)sin(lcoslsinldt
dra
22242241
2111112
2Ky
Kx
22242241
2211112
2Kx
Kx
+++==
++==
(P3.6)
Zale&no%' (P3.6) przestawiaj( parametryczne rwnania hodografu przy-spieszenia. Warto%'ca!kowitego przyspieszenia punku Kwynosi:
2Ky
2KxK aaa += (P3.7)
a jego cosinusy kierunkowe
K
KxK
a
a)x,acos( = ,
K
KyK
a
a)y,acos( = (P3.8)
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
12/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 12
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przyk&ad 4. Mechanizm jarzmowy
Mechanizm jarzmowy przedstawiony na Rys. 6 podobnie jak mechanizm korbowo-
suwakowy mo&na zapisa'za pomoc(wieloboku trzech wektorw. Nale&y zatem za!o&y'
23 - 2 = 4parametry mechanizmu. Jedynym cz!onem o zmiennej d!ugo%ci jest jarzmo 3.
Dane: 0,CAl),t(,ABl 00111 ====
Szukane: 3l , 3 , dt
dlv 33B2B = , 3 , 2
32
t3B2B
dt
lda = , 3
Rys. 6. Wielobok wektorowy mechanizmu jarzmowego
Wpisujemy w analizowany mechanizm zamkni$ty trjk(t wektorw i zapisu-jemy go rwnaniem:
0lll 031 =++ (P4.1)Po zrzutowaniu na osie uk!adu wsp!rz$dnych otrzymamy rwnania ska-
larne:
0sinlsinl
0lcoslcosl
3311
03311
=+
=++
(P4.2)
Z uk!adu rwna"(P4.2) wyznaczymy d!ugo%'jarzma 3l :
1133
11033
sinlsinlcosllcosl
== (P4.3)
Po podniesieniu uk!adu rwna" (P4.3) do kwadratu i dodaniu stronami znaj-
dziemy d!ugo%'jarzma 3l :
21110
20
211
21103 Icosll2I)sinl()cosll(l ++=++= (P4.4)
Dziel(c stronami rwnania (P4.3) mamy:
110113
110113
cosllsinltgarc,
cosllsinltg
+=+= (P4.5)
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
13/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 13
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
W celu znalezienia pr$dko%ci k(towych i liniowych jarzma 3r&niczkujemy
pierwsze z rwna"(P4.2) tj. rwnanie: 0lcoslcosl 03311 =++
podstawiaj(c 11 != i 33 != :
0sinlcosdt
dlsinl 3333
3111 =+ (P4.6)
Pr$dko%' wzgl$dn( suwaka 2 wzgl$dem prowadnicy 3 tj.dt
dlv 33B2B =
znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych Oxyo k(t 3 ,
0)sin(l)cos(dt
dl)sin(l 333333
33111 =+ (P4.7)
Ostatecznie pr$dko%'wzgl$dna suwaka 2wzgl$dem prowadnicy 3:
)sin(ldt
dlv 3111
33B2B == (P4.8)
Pr$dko%' k(tow( jarzma 3 znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych
o k(t ( "903 ). Z rwnania:
0)90sin(l
)90(cosdt
dl)90sin(l
o3333
o33
33111
=+
++++
"
(P4.9)
Ostatecznie pr$dko%'k(towa jarzma: )cos(l
l311
3
13 = (P4.10)
W celu znalezienia przyspiesze"k(towych i liniowych r&niczkujemy rw-
nanie (P4.6) podstawiaj(c 3311 , == !!!! : (P4.11)
0coslsinlsindt
dl2cos
dt
ldcoslsinl 3
23333333
332
32
1211111 =+
Przyspieszenie styczne suwaka 2wzgl$dem prowadnicy 3 tj. 23
2t
3B2Bdt
lda =
znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t 3 :
0ldt
ld)cos(l)sin(l 2332
32
312113111 =+ (P4.12)
ostatecznie:23331
211311123
2t
3B2B l)cos(l)sin(ldt
lda ++== (P4.13)
-
7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf
14/14
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 14
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t ( "903 ): otrzymamy przyspieszenie
k(towe jarzma:
0)90cos(l)90sin(l
)90sin(dt
dl2)90cos(dt
ld
)90cos(l)90sin(l
332333333
3333
33232
312113111
=++
++++
+++
""
""
""
(P4.14)
ostatecznie:
3
3331
21
3
1311
3
13
ldt
dl2)sin(
l
l)cos(
l
l += (P4.15)
Przyk&ad 5. Mechanizm z&o(ony
Analiza kinematyczna mechanizmu z!o&onego zostanie pokazana na przyk!adzie me-
chanizmu nap$du sto!u strugarki przedstawionego w postaci schematu na Rys. 7.
Zadanie mo&na rozwi(za'w dwch etapach:
Etap '.Analiza mechanizmu jarzmowego opisanego
wielobokiem wektorowym: 0lll 031 =++ P5.1 ()
Dane: ,90,l),t(,lo
0011 =
Szukane: 3l , 3 , dt
dl3, 3 , 2
32
dt
ld, 3
Etap 2.Analiza mechanizmu korbowo-suwakowegoopisanego wielobokiem wektorowym:
0llll 764*3 =+++ (P5.2)
Dane:""" 0,270,l,l,180,l 76643
*3
*3 ===
Szukane: 747474 l,,l,,l, !!!!!!
Rys. 7. Wielobok wektorowy
mechanizmu z!o&onego
Poniewa& przyk!ady analizy kinematycznej mechanizmu jarzmowego jak rwnie&
korbowo-suwakowego zosta!y pokazane ju&w niniejszym rozdziale nale&y je wykorzy-sta'i zastosowa'w rozwa&anym przypadku mechanizmu z!o&onego.
top related