zÁklady ekonometrie 10. cvičení nelineární funkce

1

ZÁKLADY EKONOMETRIE

10. cvičení

Nelineární funkce

2

Nelineární funkce

tj. nelineární v parametrech (nikoliv v proměnných)

Pozn.: užívá se přirozený logaritmus, i když software píše „log“

2y x u

lny x u

y ux

y x u

3

Linearizace

Semi-logaritmická transformacelogaritmus je pouze na jedné straně rovnice

např. logistická křivka

Logaritmická transformacelogaritmus na obou stranách rovnice

např. Cobb-Douglasova produkční funkce

4

POPTÁVKOVÉ FUNKCE

(Logistická křivka)

5

Poptávkové funkce

KlasickéD = f (příjem, cenový index,…) + u

Po předmětech dlouhodobé spotřeby (PDS)závisí na čase, příp. příjmu apod.

dynamický model analýzy poptávky

logistická křivka

6

Předměty dlouhodobé spotřeby

Vybavenost PDS roste s růstem reálných příjmů

Nákupy PDS hrazeny zejména z úspor

Nasycenost PDS časem dosáhne hladiny, kdy se poptávka omezí na nahrazení opotřebovaných exemplářů

Zajímáme se o:

Současnou vybavenost PDS – kolik se v současnosti používá

Dlouhodobý trend

7

Logistická křivka - postup

Výrobek je nově uveden na trhmůže si jej koupit potenciální domácnost

Poptávka po výrobku rychle akcelerujes rostoucí informovaností o výrobku roste i vybavenost výrobkem

Pokles nákupůvětšina domácností již výrobek má

objevuje se renovační poptávka

tzv. brzdící faktor – tempo růstu vybavenosti v sobě nese zárodek zániku

8

Poptávka

Čistá poptávkanákupy, které zvyšují vybavenost

tj. nákupy na tzv. první vybavení

Renovační poptávkanákupy PDS za účelem nahrazení vyřazených PDS z používání

nezvyšují vybavenost

zajišťují prostou reprodukci

9

Předměty dlouhodobé spotřeby

Úroveň vybavenosti se asymptoticky blíží k horní hranici – tzv. hladině nasycení (resp. saturace)

Hladina Saturace - S

10

Hladina saturace

Po jejím dosažení již poptávka nereaguje na změny

Absolutní vybavenostměřená celkovým počtem PDS v používání

Relativní vybavenostmnožství PDS připadající na 100 (1 000…) obyvatel či domácností

11

Logistická křivka

Logistický růstový model

Čas – jediná vysvětlující proměnná

Abstrahujeme od čisté poptávky na druhé a další vybavení

12

Logistická křivka

Vybavenost v čase t … Vt

Extrémní hodnoty vybavenosti:nulahladina saturace S (každá domácnost výrobek vlastní)

buď zadána také jako funkce času – tj. St

nebo jako fixní hodnota (bude náš případ)

S – Vt … domácnosti, které ještě PDS nejsou vybaveny – tj. okruh potenciálních zákazníků

Tvar

Funkce nelineární ve třech parametrech:Sa, b

1t a bt u

SV

e

13

Logistická křivka

Lze zlinearizovat přes semilogaritmickou transformaci

Po substituci odhadujeme MNČ tvar

y* = a – bt + u,

kde * ln 1t

Sy

V

14

Logistická křivka

do závěrečného testu znát základní vztahy:

inflexní bod: t* = a/b, Vt = S/2

a – úrovňová konstanta ovlivňující výchozí úroveň Vt

b - vyjadřuje rychlost nasycování trhu (čím vyšší b, tím rychleji se trh nasytí)

dVt/dt … změna relativní vybavenosti na přírůstku času (tj. dt) v důsledku čisté poptávky po PDS

přes řešení Bernoulliho diferenciální rovnice

lim tt

V S

Tvar logistické křivky

Parametr a shodný, b různý

Tvar logistické křivky

Parametr b shodný, a různý

17

Příklad – lkriv.xls

Data představují počet domácností, které vlastní plazmové televizory:

Z expertní analýzy víme, že hodnota S je 100.

Úkoly:Určete explicitní tvar křivky Vt

Určete inflexní bod t*, tj. dobu, kdy je trh nasycen z 50 % hodnoty S

Otestuje heteroskedasticitu Whiteovým testem

18

DUMMY = UMĚLÉ PROMĚNNÉ

19

Umělé proměnné

= proměnné 0-1

= dummy proměnné

= booleovské proměnné

Kvalitativní proměnnédosud – kvantitativní (resp. numerické) proměnné

20

Umělé proměnné

Jde o doplněk ke kvantitativním veličinámZpřesňují model

Růst vícenásobného koeficientu determinacePokles nevysvětleného rozptylu

21

Umělé proměnné – průřezová data

Vyjadřují přítomnost či nepřítomnost dané vlastnosti

Přítomnost … obvykle 1

Zbytek … obvykle 0např. žena „1“, muž „0“

např. vzdělání – základní „0“, střední „1“, vysokoškolské „2“ apod.

22

Umělé proměnné – časové řady

Základní funkce:sezónnost

v PcGivu se vyskytnou v nabídce speciálních proměnných, jen pokud jsou data měsíční či čtvrtletní

23

Umělé proměnné - postup

Pozor: vyvarovat se perfektní multikolinearityDo modelu zahrneme o jednu dummy proměnnou méně než je počet sledovaných vlastností

Zbylá dummy proměnná tvoří základ, ke kterému ostatní vlastnosti porovnávámeDvě pohlaví – jedna dummyTři stupně vzdělání – dvě dummy

24

Příklad - dummy2.xls

Y – plat učitelů

X – praxe

Roli hraje pohlaví – muž / žena

Odhadněte model Y = f (X, pohlaví)

25

Příklad – dummy2 - řešení

X- počet let praxe

19,457 1,279 , 0Y X m

20,621 1,279 , 1Y X m

Y - měsíční plat (tis. Kč)

20,62

19,45

26

Příklad - rozpocet.xls

R – příjmy státního rozpočtu v miliardách Kč

Odhadněte model: R = f (trend)

Pokuste se zachytit v modelu vliv posledního čtvrtletí v daném roce (tj. zapojit čtvrtý kvartál do modelu)

Rozpočet

28

Možná otázka do závěrečného testu

Poptávka po předmětech dlouhodobé spotřebyPodstata

Tvar funkce

Odhad pomocí MNČ

Interpretace koeficientů

Dummy proměnnéProč je uvažujeme?

Jak s nimi počítáme?

Jak je interpretujeme?