zonska teorija čvrstog tijela
Post on 09-Jan-2016
133 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Uvod
• Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni
elektroni se kreću u periodičnom polju kristalne rešetke
Ova teorija se takođe zove Zonska teorija čvrstog tijela.
• Energetska zonska teorija č.t. je osnovni princip fizike
poluprovodnika i koristi se za objašnjenje razlika
električnih osobina metala, izolatora i poluprovodnika.
Elektron u periodičnom potencijalu – Bloch -ov teorem
• Kristalno č.t. se sastoji od rešetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih
jona raspoređenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se
slobodno kreću kroz rešetku.
• Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodičnom rešetkom
objašnjavaju se Blochovim teoremom.
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
•Potencijal ovdje varira periodično sa periodičnošću kristalne rešetke.
Potencijalna energija čestice je nula kada je blizu jezgra jona a
maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na
rastojanju a).
X
V
V
Jednodimenzionalni periodičnipotencijal u kristalu.
Raspored jona u kristalu
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
+ + + + ++ +
Bloch’ov Teorem
• Bloch’ov Teorem tvrdi da za česticu koja se kreće u periodičnom
potencijalnom polju kristala talasne funkcije ψ(x) imaju oblik:
• uk(x) je periodična funkcija sa periodičnpšću potencijala
– Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridružen
atomima (jonima) od kojih se sastoji č.t.
)()(
function periodic a is )( ,)()(
axuxu
xuwhereexux
kk
kikx
k
• Jednodimenzionalna Schrödinger’ova jednačina
• Periodični potencijal V(x) može da se definira preko konstante rešetke a
kao V(x)=V(x+a)
0][8
2
2
2
2
VE
h
m
dx
d1
0)]([8
2
2
2
2
axVE
h
m
dx
d
Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rješenje Schrödinger’ove jednačine ima oblik:
)()exp()(
3
)()exp()(
rUikrr
DIn
xUikxx
kK
kk
2
I
• Ako posmatramo linearni niz atoma dužine L u jednoj dimenziji, sa N
atoma
• Ovo se smatra Bloch’ovim uslovom. Slično tome, konjugirano
kompleksni oblik j-ne (4) je:
)4.().........exp()()(
)exp()()exp()(
)(exp{)()(
)3....().........()(
ikNaxNax
ikxxUikNaNax
NaxikNaxUNax
NaxUxU
kk
kk
kk
kk
)()()()(
)23()4(
)5).......(exp().()(
**
*
xxNaxNax
andFromEq
ikNaxNax
kkkk
kk
• Ovo znači da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma
i da je vjerovatnost da se elektron nađe uz bilo koji atom
kroz cijeli kristal jednaka.
Bloch’ov Teorem
Vjerovatnost nalaženja elektrona uz bilo koji atom u č.t. Je ista!!!
• Svaki elektron u kristalnom č.t. “pripada” svakom atomu koji čine č.t.
)()( axVxV
X=0 X=a
X=b
Potencijalnana barijera između atoma.
Ovdje se pusti daV a b 0
•Ponašanje elektrona u periodičnom potencijalu:
•(Kronig-Penny’jev Model):
U2(
x) U1(x)
x
V
•Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodičnih
pravougaonih jama kao na sl.
• Potencijalna energija je 0 u regionima 0<x<a, i jednaka V0 u regionima -
b<x<0.
• Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rješavanjem slijedećih
Schrödinger-ovih jednačina:
2........00)(2
1..............002
022
2
22
2
xbforVEm
dx
d
axforEm
dx
d
• Ako definiramo realne veličine α i β kao:
• I pošto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu možemo očekivati da
bude:
• Zamjenjujući (4) u (2) dobije se slijedeća jednačina za uk(x)
3......).........(;)(22
0202
22 VE
EVmand
mE
4.).........()( xUex kikx
axforukdx
duik
dx
ud 00)(2 1
22121
2
5
00)(2 22222
2
xbforkdx
duik
dx
ud
0
0)()(
2
)()(1
xbforDeCeu
axforBeAeuxikxik
xkixKi
6
Rješenja ovih jednačina se mogu napisati kao:
7
Gdje su A,B,C,D konstante .Ova rješenja moraju zadovoljavati
granične uslove:
bxaxbxax
xxxx
dx
du
dx
duuu
dx
du
dx
duuu
212
0
2
0
10201
;)()(
;)()(
1
8
• Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne
funkcije Ψ i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda
dΨ/dx u tački x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva
uslova potiču zbog zahtjeva periodičnosti of uk(x).
• Kad primijenimo ove uslove na jednačinu (7) dobijemo šetiri
linearne homogene jednačine koje sadrže konstante A,B,C,D:
• A+B=C+D
bikbikakiak DeCeBeAe
ikDikCkBikAi)()()()(
),()()()(
9
Koeficijenti A,B,C,D se mogu odrediti rješavanjem ovih jednačina što vodi
do slijedeće jednačine ;
)(coscoscoshsinsinh2
22
baKabab
10
• Uzimajući da je Vo beskonačno, a b da teži nuli dobije se da Vob ostaje
konačno .
• veličina lim(Vob) predstavlja jačinu barijere
• Na ovaj način jednačina (10) postaje
kaaaSinbmV
coscos2
0
Ako definiramo veličinu P kao
20
bamV
p
11
• Onda se (11) svodi na
Kaa
ap coscos
sin 12
Ovo je uslov postojanja rješenja talasne jednačine.
Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti αa za koje
je lijeva strana te jednačine u opsegu od +1do -1;
•Posljedice ove jednačine se mogu bolje razumjeti sa slike.
π
Kronig-Penney-ev Model
a
)cos()sin(
aa
aP
1
-1
Ovo su regioni gdje je jednačina zadovoljenja tj. gdje postoje rješenja
Općenito, kad energija raste (a raste), svaka slijedeća zona postaje šira, a svaki slijedeći gap uži.
Granice za αa = n.
Ovdje nema rješenjaOvdje je, k2 < 0
0 2π 3π-π
-π
-2π
• Dio između vertikalnih osa koji leži između horizontalnih linija
predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu
aa
ap
cossin
• Zaključci:
• **Dozvoljeni intervali αa koji dozvoljavaju da postoje
mehanička talasna rješenja prikazani su kao osjenčeni
intervali tako da je kretanje elektrona u periodičnom polju
kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije
razdvojenih zonama zabranjenih energija.
• ** Sa porastom vrijednosti α raste širina zona dozvoljene
energije, a smanjuje se širina zona zabranjene energije.
• ** Ako je jačina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane
jednačine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 čini to u regionima strmije funkcije
pa zone dozvoljenih energija postaju šire.
Ako P teži u beskonačno dozvoljena zona se reducira na jedan
Energetski nivo :
a0
p
0p
a
Ako P teži nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene
elektronima.
22
2
22
2
2
22
2
22
222
22
2
1
2)
2(
1)
2(
)2
)(8
(
)2
(
2
coscos
mvm
p
h
p
m
hE
m
hE
m
hE
km
E
mEk
k
k
kaa
Brillouin-ove zone (E-k krivulja)
• Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u
jednoj, dvije ili tri dimenzije.
• Tako je energetski spektar elektrona koji se kreće u polju periodičnog
potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone.
a
1
-1
d
d
2
d
3
d
4
d
d
2
d
3
d
4
Kronig-Penney-jev model nam daje DETALJNA rješenja za zone. Koje su skoro kosinusionalne po prirodi.
• Kad se parabola koja predstavlja energiju
slobodnog elektrona uporedi sa energijom
elektrona u periodičnom polju kristala, vidi se da
ova druga parabola ima diskontinuitete za
vrijednosti od k koje su date sa
• k=nπ/a
Pošto je k talasni vektor
k=2π/λ
nπ/a =2π/λ
2a=nλ
A ovo je oblik Bragg’ovog zakona.
I
• Rješenje talasne jednačine pod ovim uslovima daje dva stojeća talasa
koji pokazuju da su moguća dva položaja elektrona sa različitim
potencijalnim energijama a istom vrijednošću od k . To dovodi do
prekida na E-K krivulji.
• Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od
k=-π/a do +π/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona
Porijeklo energetskih zona u č.t.
• Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su čvrsto vezani i
imaju diskretne, oštre energetske nivoe.
• Kada se dva identična atoma primaknu bliže, onda se vanjske orbite tih
elektrona preklope i intereaguju.
• Ako se više atoma približe, stvara se više energetskih nivoa pa za č.t.
Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa.
• Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu
traku.
• Širina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih
atoma i veća je za najvanjskije elektrone.
• Energetske zone u č.t. su važne za određivanje mnogih
fizikalnih svojstava č.t. Dozvoljene energ. zone:
(1) Valentna zona
(2) Provodna zona
• Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se
vodljiva/provodna zona, a slijedeća unutrašnja zona se
zove valentna zona. Gap između ove dvije dozvoljene
zone zove se zabranjena energetska zona ili energetski
gap.
Klasifikacija čvrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore
• Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa čvrsta tijela se
dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike.
Izolatori:
• U slučaju izolatora, zabranjena zona je vrlo široka.
• Zbog ovoga elektroni ne mogu preskočiti iz valentne zone u
provodnu.
Zabranjena zona
Valentna zona
Provodna zona
IZOLATORI
Zabranjena zona
Valentna zona
Provodna zona
POLUPROVODNICI
Valentna zona
Provodna zona
PROVODNICI
Poluprovodnici• U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala .
• Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika.
• Zabranjena zona je reda 0.7ev i 1.1ev.
Provodnici• Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se
preklapaju.
• Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu.
Efektivna masa elektrona• Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodičnog potencijala koji stvara
rešetka.
• Kada se elektron u periodičnom potencijalu rešetke ubrza električnim
poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa
elektrona m*.
• Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem električnog polja .
Ubrzanje nije konstanta u periodičnoj rešeci kristala tako da masa
elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se
elektron kreće u periodičnom polju kristala
m
eEa
eEma
eEf
*m
eEa
Posmatrajmo slobodni elektron
kao talasni paket koji se kreće
brzinom Vg
dk
dEv
dk
dE
hv
h
dEd
h
EhE
dk
dv
dk
dv
vectorwavek
frequencyangular
wheredk
dv
g
g
g
g
g
1
2
.,,
2
.
.2
F
dk
Eda
dt
dp
dk
Eda
dt
pd
dk
Eda
Fdt
dpand
pkcedt
dk
dk
Eda
dtdk
Eda
dt
dva g
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)(1
))(
(1
..
.,sin
1
11
}{2
2
2 dk
Edm
m
mfk
Stepen slobode elektrona se općenito definira faktorom
a. Promjena E sa K
b. Promjena v sa K
c. Promjena m* sa K
d. Promjena fk sa K
k
0
E
0
V
m
0a
a
0k
kf
)(a
)(b
)(c
)(d
• Promjena v sa k:
k
0
E
0
V
m
0a
a
0k
kf
)(a
)(b
)(c
)(d
Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0,
brzina je nula nakon čega vrijednost k
raste.
Za k=k0 (k0 odgovara prevojnoj tački na
E-k krivulji) .Iza ove tačke prevoja brzina
počinje da opada i konačno uzima
vrijednost nula za k=π/a
• Promjena m* sa k
k
0
E
0
V
m
0a
a
0k
kf
)(a
)(b
)(c
)(d
Promjena m* sa k.
Za k=0 efektivna masa se primiče m. Kako
vrijednost k raste raste i m* dostižući svoj
maksimum u prevojnoj tački E-k krivulje.
Nakon prevojne tačke m* postaje negativno
dostižući malu negativnu vrijednost za
k = π/a.
• Promjena fksa k:
k
0
E
0
V
m
0a
a
0k
kf
)(a
)(b
)(c
)(d
Stepen slobode elektrona: fk=m/m*
2
2
2 dk
Edmfk
Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi
u stanju k. Ako je m* velika ,fk je malo,
tj. čestica se ponaša kao “teška” čestica.
Kada je fk=1 elektron se ponaša kao slobodni
elektron .
Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj
polovini trake, a negativno u gornjoj polovini.
top related