APLICAII ALE FUNCIILOR DERIVABILE

APLICAII ALE FUNCIILOR DERIVABILE

PROP. x=a este rdcin multipl de ordinul k (1(k(n) a ecuaiei f(x)=0 dac i numai dac f(a)=f(a)=...=f(k-1)(a)=0 i f(k)(a)(0.

DEF. Fie f:E(R. Un punct a(E se numete punct de maxim local al fuunciei f dac exist o vecintate V a lui a, n care funcia are valori mai mici dect n a, adic: f(x)(f(a), (x(V(E.

DEF. Fie f:E(R. Un punct a(E se numete punct de minim local al fuunciei f dac exist o vecintate V a lui a, n care funcia are valori mai mari dect n a, adic: f(x)(f(a), (x(V(E.

DEF. Un punct de maxim local sau minim local pentru o funcie f se numete punct de extrem local al funciei. Valorile funciei n punctele sale de extrem local se numesc extremele locale ale funciei.

DEF. Un punct x0(E se numete punct de maxim absolut al funciei f dac f(x)(f(a), (x(E.

DEF. Un punct x0(E se numete punct de minim absolut al funciei f dac f(x)(f(a), (x(E.

DEF. Un punct de maxim absolut sau minim absolut pentru o funcie f se numete punct de extrem absolut al funciei. Valorile funciei n punctele sale de extrem absolut se numesc extremele absolute ale funciei.

TEOREM. (FERMAT). Fie f:E(R, E interval, iar x0 un punct de extrem din interiorul intervalului. Dac funcia f este derivabil n x0, atunci f(x0)=0. Teorema lui Fermat afirm c punctele de extrem local ale unei funcii derivabile f sunt printre punctele critice, adic punctele de extrem local ale lui f sunt printre soluiile ecuaiei f(x)=0.

TEOREM. (ROLLE). Fie o funcie f:[a;b](R, a,b(R, a(b. Dac: (1) f este continu pe intervalul nchis [a;b]; (2) f este derivabil pe intervalul deschis (a;b); (3) f are valori egale la capetele intervalului, f(a)=f(b), atunci exist cel puin un punct c din intervalul deschis (a;b), c((a;b) n care derivata se anuleaz, f(c)=0.

INTERPRETARE GEOMETRIC. Pe graficul funciei f exist cel puin un punct (c,f(c)), diferit de extremiti, n care tangenta la grafic s fie paralel cu axa Ox.

COROLAR. Fie o funcie f:[a;b](R, a,b(R, a(b, f continu pe intervalul nchis [a;b], f derivabil pe intervalul deschis (a;b) i f(a)=f(b)=0 (a,b sunt rdcini pentru f). Atunci exist cel puin un punct c((a;b) n care derivata se anuleaz, f(c)=0.

LEM. Fie f:E(R o funcie derivabil pe un interval E. ntre dou rdcini (zerouri) consecutive ale derivatei f se afl cel mult o rdcin a ecuaiei f(x)=0. ( Zerourile derivatei separ zerourile funciei).

IRUL LUI ROLLE:

Se precizeaz intervalul de studiu E al ecuaiei f(x)=0, funcia f:E(R fiind derivabl. Rezolvm ecuaia f(x)=0 i aranjm n ordine cresctoare rdcinile reale ale acestei ecuaii x1( x2(....( xn.

Calculm valorile funciei f n aceste puncte , la care adugm limitele lui f, notate ( i (, la capetele din stnga i respectiv la dreapta ale intervalului E. Obinem irul de valori: (, f(x1), f(x2),...., f(xn), (.

irul lui Rolle este irul semnelor acestor valori (poate figura i valoarea zero).

Concluziile privind numrul de rdcini reale ale ecuaiei i intervalele n care acestea sunt plasate. (1) Dac n irul lui Rolle apar dou semne alturate identice atunci n intervalul (xk;xk+1) nu exist rdcini reale ale ecuaiei f(x)=0. (2) Dac n irul lui Rolle apar dou semne alturate diferite atunci n intervalul (xk;xk+1) exist o singur rdcin a ecuaiei f(x)=0. (3) Dac n irul lui Rolle apare zero , de exemplu f(xk)=0, atunci xk este rdcin multipl a ecuaiei f(x)=0, iar n intervalele (xk-1;xk) i (xk;xk+1) ecuaia nu mai are rdcini.

TEOREM. (LAGRANGE). Fie o funcie f:[a;b](R, a,b(R, a(b. Dac: (1) f este continu pe intervalul nchis [a;b]; (2) f este derivabil pe intervalul deschis (a;b); atunci exist cel puin un punct c din intervalul deschis (a;b), c((a;b) pentru care: .

INTERPRETARE GEOMETRIC. Pe graficul funciei f exist cel puin un punct (c,f(c)), diferit de extremiti, n care panta tangentei (f(c)) s fie egal cu panta coardei determinate de punctele A(a,f(a)) i B(b,f(b)).

COROLAR. (PRIMA CONSECIN A TEOREMEI LUI LAGRANGE). Dac o funcie are derivata nul pe un interval atunci ea este constant pe acel interval.

COROLAR. (A DOUA CONSECIN A TEOREMEI LUI LAGRANGE). Dac dou funcii au derivatele egale pe un interval atunci ele difer printr-o constant pe acel interval.

COROLAR. (A TREIA CONSECIN A TEOREMEI LUI LAGRANGE). Fie f:E(R, E interval , o funcie derivabil. Atunci: (1) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este cresctoare pe E; (2) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este descresctoare pe E; (3) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este strict cresctoare pe E; (4) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este strict descresctoare pe E.

COROLAR. (A PATRA CONSECIN A TEOREMEI LUI LAGRANGE). Fie f:E(R, E interval i x0(E. Dac: (1) f este continu n x0; (2) f este derivabil pe E\(x0(; (3) exist . Atunci f are derivat n x0 i f(x0)=l. Dac l(R, atunci f este derivabil n x0 i f(x0)=l.

TEOREM. (FORMULA LUI TAYLOR). Fie Pn(R[X] un polinom de grad n i x0(R un punct fixat. Atunci are loc egalitatea: . Aceast formul se numete dezvoltarea polinomului Pn(x) dup puterile lui (x-x0). TEOREM. ( CAUCHY ). Fie f,g:I(R, a,b(I, a(b. Dac: (1) f i g sunt continue pe intervalul nchis [a;b]; (2) f i g sunt derivabile pe intervalul deschis (a;b); (3) g(x)(0, (x((a,b), atunci exist cel puin un punct c din intervalul deschis (a;b), c((a;b) pentru care: .PAGE 1

_1091514381.unknown

_1091516220.unknown

_1091544242.unknown

_1091513260.unknown