REVISTA EMA 2003, VOL. 8, N 1, 30-46

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA

MARIBEL ANACONA

El presente artculo intenta sealar algunos aportes de la Historia delas Matemticas en la reflexin educativa. Se parte de la consideracinde que en los estudios histricos acerca del desarrollo de un conceptose evidencian elementos lgicos y epistemolgicos claves en el procesode constitucin terica, que posibilitan no slo una mejor comprensindel concepto, sino que revelan aspectos caractersticos de la actividadmatemtica de construccin, que merecen ser tenidos en cuenta por eldocente en sus propuestas educativas. De igual manera, estos estudiosmuestran que las matemticas, como construccin humana, estn liga-das a diferentes dinmicas sociales. Desde esta perspectiva, se pro-mueve una actitud diferente frente al conocimiento matemtico y a suenseanza, pues ste aparece en una interesante relacin con otrasformas de expresin de la cultura, tales como el arte y la filosofa.

The purpose of this paper is to point out some contributions of Mathe-matics History to the educational reflection. The starting point is theconsideration that, in historic studies about concept development, keylogic and epistemological elements to the process of theory constitu-tion are evidenced. Not only do these elements improve the under-standing of the concept, but they also reveal characteristic aspects ofthe mathematical activity of construction which deserve to be consid-ered in teachers' educational proposals. Likewise, these studies showthat mathematics, as human construction, is linked to different socialdynamics. From this perspective, a different attitude towards mathe-matical knowledge and its teaching is promoted, since this knowledgeappears in an interesting relationship with other forms of culturalexpression, like Arts and Philosophy.

Palabras claves: Educacin Matemtica, Historia de las Matemticas, formacin de pro-fesores.

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 31

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

INTRODUCCIN

Cada vez adquiere ms fuerza en el mbito internacional la discusin sobrelos vnculos existentes entre Historia de las Matemticas y EducacinMatemtica. Pese a los diferentes proyectos de investigacin, congresos yartculos que se han desarrollado alrededor de esta temtica en las ltimasdcadas, an no existe en la comunidad acadmica una total claridad y con-senso sobre los aportes que desde la Historia se puedan ofrecer a lareflexin en Educacin Matemtica.

El presente artculo intenta aportar algunos elementos a esta reflexin, apartir de los diferentes estudios, prcticas educativas y proyectos de inves-tigacin, desarrollados en el Grupo de Historia de las Matemticas1 del reade Educacin Matemtica del Instituto de Educacin y Pedagoga de la Uni-versidad del Valle (Colombia). Las consideraciones que aqu se plantean,responden a una percepcin personal de la experiencia docente e investiga-tiva del equipo y, por tanto, no compromete posturas de otros integrantes delmismo.

En la primera parte del artculo, se caracterizan tres maneras de abordarel trabajo histrico, desde cada una de las cuales se sealan aspectos concep-tuales que apuntan y contribuyen a la reflexin educativa. En segundo lugar,se presentan diversas formas de incidencia de la Historia de las Matemticasen la Educacin Matemtica. Para tal efecto, se consideran fundamental-mente dos dimensiones educativas, una ubicada en la formacin de profeso-res y otra ligada a procesos de aprendizaje.

ALGUNOS TEMAS DE REFLEXIN EN HISTORIA DE LAS MATEMTICAS

Tradicionalmente se han distinguido dos maneras de abordar el trabajo his-trico en torno al conocimiento cientfico, una internalista y otra externa-lista. Desde la corriente internalista, se considera que el objeto de laHistoria de las Ciencias, es la ciencia misma. Es as como se trata de haceruna historia de los conceptos, atendiendo bsicamente su estructura lgicade produccin. Desde la externalista, se considera que las explicacionessobre acontecimientos cientficos se pueden obtener primordialmente desdeel mbito social, postura que se acerca ms a una sociologa de las ciencias.

1. Desde hace un poco ms de doce aos, este equipo de profesores realiza diferentes trabajosen Historia de las Matemticas, bajo la coordinacin del profesor Luis Carlos Arboleda; ydesde hace unos ocho aos, sus reflexiones y trabajos se inscriben en el plan de desarrollodel rea de Educacin Matemtica del Instituto de Educacin y Pedagoga.

32 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

Cada una de estas formas de trabajo, asumidas desde una posicin exclu-sivista, no brinda suficientes elementos para hacer una historia ntegra ycompleta sobre la produccin y evolucin de los conceptos cientficos. Des-de la primera postura, se dejan de lado factores que han incidido de maneradefinitiva en la construccin y apropiacin del conocimiento. Se origina enesta clase de estudios la idea de que el desarrollo cientfico es independientedel contexto social y cultural; para el caso de las matemticas, se trasmitetcitamente la concepcin de que son una disciplina no contaminada por elmedio que la rodea, una disciplina considerada fundamentalmente como unarmazn lgico que se va descubriendo de manera autnoma. Desde la co-rriente externalista se corre el riesgo de limitar el estudio a una historia queseale el contexto sociocultural, las condiciones polticas, econmicas o re-ligiosas en que emergen los conceptos, y deje de lado el entramado tericoen s. Sera entonces hacer una historia de las matemticas por fuera de lasmatemticas, lo cual resulta vaco y sin fundamento.

Sin embargo, existe un tercer camino que trata de reconciliar estas dosposturas filosficas y metodolgicas. Es posible pensar en un trabajo en His-toria de las Matemticas que d cuenta de los complejos procesos de gne-sis, evolucin y consolidacin de una teora matemtica, sin olvidar queestos procesos de construccin se desarrollan en el marco de un contexto so-ciocultural, donde circulan de manera particular concepciones pedaggicas,filosficas y teolgicas, as como polticas educativas, entre otras. Aqu separte de la premisa de que las matemticas son, ante todo, una actividad hu-mana; una construccin social compleja edificada durante miles de aos enarduos procesos de interrelacin cultural. Esto significa que las matemticasse encuentran ineludiblemente ligadas a su historia; una historia que dacuenta de su desarrollo conceptual, sobre la base de que tal desarrollo tienelugar en medio de complejas dinmicas sociales. Es as como los estudioshistricos, desde una perspectiva cultural, exigen tener en cuenta nuevas yricas variables al analizar los procesos de construccin terica.

Ubicados en esta forma de concebir las matemticas y el trabajo histri-co, se pueden identificar varias perspectivas o temticas de anlisis, que danlugar a posibles lneas de investigacin dentro del trabajo histrico, a saber:Historia y epistemologa de las matemticas, Historia y enseanza de lasmatemticas e Historia social de las matemticas.

En los estudios histrico-epistemolgicos juega un papel esencial, elanlisis del proceso de construccin terica de un concepto. Sin embargo,ste se realiza teniendo siempre en cuenta el contexto particular de produc-cin terica. Aunque los estudios se realizan fundamentalmente al interiorde la teora, ellos se elaboran bajo la consideracin de que el discurso mate-

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 33

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

mtico es una actividad de razonamiento que se desarrolla en un medio so-ciocultural especfico.2

Esta clase de estudios ofrece significativos aportes a la Educacin Mate-mtica, pues tener un conocimiento sobre los diversos aspectos y conceptosque han incidido en la construccin de una teora, permite formarse una ideams completa del discurso matemtico en la que aparecen otros elementosconstitutivos de las matemticas y su actividad, los cuales generalmente seocultan bajo una presentacin acabada y netamente formal. Por ejemplo, elcontinuo y el infinito navegan de manera intuitiva en los primeros aos deuniversidad; la referencia a ellos en los textos es especialmente tcnica yoperatoria, lo cual esconde las discusiones y riquezas conceptuales que losrodean. En los cursos de clculo se trabaja con lmites, funciones continuas,sumas infinitas, convergencia de sucesiones y series en los reales; sin em-bargo, una conceptualizacin que vaya ms all del uso tcnico, es difcil deencontrar. Para un acercamiento ms integral a conceptos tan complejoscomo continuo e infinito es necesario estudiar algunos de los momentos cla-ves en el proceso de su constitucin terica.

Un estudio histrico-epistemolgico acerca de la gnesis y consolida-cin de estos conceptos da cuenta de la complejidad que los rodea y de losmltiples aspectos que incidieron en su construccin terica. Adems, en unestudio de esta naturaleza, tal como lo presentan Salanskis y Sinaceur(1992)3, el concepto de continuo se muestra como el resultado de intensasdiscusiones de carcter matemtico, fsico, filosfico y teolgico. Una mira-da a la concepcin aristotlica del infinito y el continuo, por ejemplo, ofreceexplicaciones de carcter filosfico acerca de la manera de ser y de la formade existencia de estos conceptos en sus orgenes, aspectos claves para com-prender la naturaleza de los mismos.4 Los trabajos de Cantor, por su parte,revelan la instauracin del infinito en acto, hecho que condujo a un derrum-bamiento del infinito como concepto nico, pues abri la puerta a la cons-truccin de infinitos infinitos. Adems, al igual que Dedekind, Cantoraborda el continuo con un tratamiento puramente aritmtico, en contraposi-cin al geomtrico que tena desde la antigedad griega.

2. En esta perspectiva se han elaborado varios trabajos de investigacin en el Grupo de Histo-ria de las Matemticas. Como ejemplo se puede mencionar la tesis doctoral La represen-tacin de funciones en la obra de Ren Baire del profesor Luis Recalde, prxima a sersustentada.

3. Este libro recoge variados artculos de reconocidos investigadores europeos, quienes abor-dan la gnesis y desarrollo conceptual del continuo desde aspectos histricos, filosficos,ontolgicos, matemticos y fsicos.

4. En esta lnea se ubica el proyecto de Maestra en Educacin Matemtica, titulado De lamatemtica de la continuidad aristotlica a la filosofa del continuo matemtico, queactualmente adelanta el profesor Fernando Glvez.

34 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

Estas nociones matemticas de alto nivel de abstraccin, fundamentalesen el desarrollo de las matemticas y de difcil aprendizaje, desbordan todaintuicin sensible y, por tanto, un estudio que d cuenta de las condicioneslgicas que intervienen en el proceso de constitucin en objeto matemtico,contribuye a una mejor comprensin de los conceptos de continuo e infinito.

En los estudios relacionados con la Historia y enseanza de las matem-ticas se analizan aspectos, conceptos o mtodos histricos que pueden inci-dir, directa o indirectamente, en las reflexiones sobre la enseanza o elaprendizaje de las matemticas. Las formas directas de intervencin sonaquellas posibilidades de aprovechar un estudio histrico en el mbito deuna propuesta educativa. Estn relacionadas fundamentalmente con estrate-gias didcticas de intervencin. Las formas indirectas de incidencia, sonaquellas que circulan en el mbito escolar a veces de manera inconsciente,tales como las concepciones acerca de las matemticas y su enseanza. Esimportante mencionar, que no se trata aqu de ahondar en esta presentacin,pues una amplia caracterizacin de estas formas de incidencia de la historiaen la enseanza, es el propsito de la segunda parte del artculo.

Los trabajos en Historia social de las matemticas se relacionan con elanlisis de los diferentes procesos de elaboracin, apropiacin y transforma-cin de teoras y saberes matemticos en contextos socioculturales propios.En este tipo de investigaciones, adems del anlisis epistemolgico del con-cepto o la teora, se requiere de un complejo estudio de las diferentes condi-ciones sociales y culturales del pas o la comunidad, para comprender, enuna dimensin ms amplia las dificultades de difusin, recepcin y apropia-cin de tal concepto o teora. Esto conlleva a la observacin de institucioneseducativas, al anlisis de textos de enseanza, a la revisin de currculos ydirectrices poltico-educativas y, en general, al estudio de todas aquellas di-nmicas acadmicas y educativas, que inmersas en un contexto social parti-cular, obstaculizaron o hicieron posible la incorporacin y apropiacin deciertos conceptos. En ltimas, se pretende identificar y caracterizar los di-versos aspectos que han contribuido a la formacin de una cultura matem-tica en una comunidad especfica. Esta clase de estudios hace parte de unaconcepcin ms general que ha tomado fuerza en Amrica Latina y que seconoce como Historia Social de las Ciencias (Arboleda, 1993, p. 24)5.

Un estudio sobre la recepcin de las geometras no euclidianas en Co-lombia, se instaura en esta clase de problemticas. Para acercarse de manerams integral a lo sucedido a principios del siglo pasado con la llegada de lasgeometras no euclidianas a Colombia y, en particular, para entender la pos-tura antagnica del profesor Julio Garavito Armero, no es suficiente identi-

5. En este documento el autor presenta una interesante clasificacin y caracterizacin del tipode estudios y problemas que se pueden considerar desde esta perspectiva histrico-social.

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 35

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

ficar los errores matemticos en la prueba del quinto postulado o conocersus apasionados escritos en contra de la instauracin de las geometras noeuclidianas, sino que se hace necesario revisar las concepciones filosficasms predominantes, las polticas educativas, e incluso, el ambiente de prac-ticidad que se viva en nuestro pas. Un estudio articulado de todos estos as-pectos, permite comprender que en ese momento histrico y en lascondiciones socioculturales del pas, la nica geometra viable en los am-bientes escolares e intelectuales era la geometra euclidiana (Arboleda yAnacona, 1996).

Otras temticas de inters en esta lnea de trabajo son, por ejemplo, larelacin matemticas-diversidad cultural y la formacin de cultura cientficaen Colombia. Estas temticas pueden enfocar cuestiones como el estudio de:aspectos etnomatemticos, la incidencia de teoras matemticas en la comu-nidad acadmica y educativa del pas, la produccin original de teoras ennuestros entornos culturales6, etc. Desde este tipo de estudios se espera con-tribuir a una mejor comprensin de las condiciones de nuestra insercin his-trica en la modernidad y a una caracterizacin de una cultura matemticay educativa propia.7

INTERVENCIN DE LA REFLEXIN HISTRICA EN EL MBITO EDUCATIVO

Las reflexiones de este apartado se hacen sobre la consideracin de que laEducacin Matemtica es un campo de naturaleza interdisciplinaria (Vasco,1994)8 y, por tanto, las problemticas educativas deben ser pensadas tantodesde cada una de las disciplinas que la configuran, como desde el conjuntode disciplinas, en un esfuerzo por trascender el nivel de agregado discipli-nar (Arboleda y Castrilln, en prensa). Este esfuerzo debe finalmente tradu-cirse en la elaboracin de propuestas conjuntas en las que intervengan lasdiferentes disciplinas con sus propios conceptos y mtodos. No obstante lanecesidad del trabajo conjunto e interdisciplinar, el propsito de este tra-

6. Actualmente la profesora Gabriela Arbelez aborda, en su tesis doctoral, el estudio de lostrabajos de Indalecio Livano sobre el continuo y el infinito.

7. En esta lnea recientemente el Grupo de Historia junto con el equipo REHSEIS de la Uni-versidad Pars 7 desarroll el proyecto Formacin de cultura cientfica en Colombia: elcaso de las matemticas y la fsica, (1880-1940) (Arboleda y Paty, 2002). En este pro-yecto participaron los profesores Luis Carlos Arboleda, Maribel Anacona, Gabriela Arbe-lez, Regino Martnez-Chavanz, Michel Paty y Martin Zerner.

8. En este artculo el profesor Vasco ubica a la Educacin Matemtica en un octgono deocho disciplinas, que permite pensarla como distinta de ellas pero a su vez impensable sinellas. La Historia de las Matemticas ocupa uno de los vrtices del octgono.

36 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

bajo es identificar y caracterizar las posibles formas de incidencia de laHistoria en la Educacin Matemtica.

En el anlisis se consideran tres componentes: el alumno, el profesor yel conocimiento matemtico. Esta trada no es de manera alguna esttica; lasreflexiones de los docentes inciden en los estudiantes y naturalmente unacomprensin ms integral del discurso matemtico por parte de los alumnos,tendr consecuencias en la formacin de los futuros docentes.

Aqu, el conocimiento matemtico est mediado por una reflexin edu-cativa a partir de los estudios en Historia de las Matemticas. En efecto, des-de los diversos estudios histricos se pretende mostrar que las matemticasson una construccin humana, y como tal, estn ligadas al mbito social ycultural que las produce. Con esta postura filosfica, se pretende contribuiral derrumbe de la concepcin tradicional, segn la cual se considera a lasmatemticas como una disciplina completamente abstracta y formal, desli-gada del hombre y de su entorno. Se intenta mostrar, por el contrario, quelas matemticas son el producto de una actividad viva de razonamiento enla que han intervenido histricamente, de una u otra manera, diversos aspec-tos del contexto sociocultural.

A partir de una concepcin de las matemticas como construccin so-cial, se propende por una enseanza dinmica en la que se replantean cons-tantemente tanto los contenidos, como las maneras de comunicarlos.Estudiantes y profesores podrn ver las matemticas como una actividad delhombre, con vnculos con el arte, la historia, la filosofa y otros campos delconocimiento. Una disciplina en la que tambin tienen lugar el error, el fra-caso y, por supuesto, la creatividad. Esta postura filosfica tiene consecuen-cias en todos los escenarios del mbito educativo; por tal motivo ocupa unlugar central en el diagrama de la Figura N 1; desde ah, y hacia all, apun-tan las formas de incidencia del discurso histrico.

El diagrama bosqueja las posibles formas de intervencin de la reflexinhistrica en el mbito educativo, en dos escenarios. Uno ligado a procesosde aprendizaje de conceptos o teoras matemticas9 y otro ubicado en la for-macin inicial y continuada de profesores de matemticas. En el primero seubican aquellas propiedades de los estudios histricos, que inciden en un me-jor acercamiento al conocimiento matemtico; es el lugar de los estudiantes.En el segundo escenario, se ubican las caractersticas del trabajo histrico queson especialmente tiles en el diseo de diversas actividades de tipo didcti-co; es el lugar de los profesores. La reflexin histrica en torno a cada uno delos escenarios incide en el otro, como lo representan las flechas entre stos enel diagrama. A continuacin se desarrollan cada uno de los escenarios.

9. Es importante decir aqu que la experiencia adquirida en el Grupo de Historia es funda-mentalmente en el mbito de la educacin universitaria.

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 37

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

Intervencin de la reflexin histrica en la formacin de profesores de matemticasExisten algunos aportes de la reflexin histrica que interesan especial-mente a los profesores en sus reflexiones acerca de la enseanza. El estudiode los procesos matemticos de construccin, generalmente ocultos en unapresentacin exclusivamente formal o en la presentacin escolar, aportaelementos conceptuales, metodolgicos y epistemolgicos, que el docentepuede emplear en sus propuestas educativas. A continuacin se describenalgunas de las posibles formas de incidencia.

a. En el diagrama, la expresin abreviada para Historia de las Matemticas es HM.

Figura N 1. Intervencin de la reflexin histrica en el mbito educativoa

LAS MATEMTICAS COMO

CONSTRUCCIN SOCIAL

La HM en la reflexin sobre la

naturaleza de las

matemticasLa historia de la

educacin matemtica

La HM enla relacin entre mate-mticas y

experiencia

Los estudios histrico-epis-temolgicos

como vehculos de conocimiento

La HM, fuente de

problemas y actividades

ldicas

Aportes de la Historia de las Matemticas

en

La HM, puente

entre las matemticas y la cultura

La historia como ele-

mento en la elaboracin curricular

La HM como indicador de dificultades

de comprensin

La HM en el

diseo de actividades didcticas

el aprendizaje

de las matemticas

la formacin de profesores de

matemticas

Indagacin histrico-filosfica

como camino de aprendizaje

38 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

La historia de las matemticas como elemento en la elaboracin deun currculoVarios autores han sealado la importancia de considerar la historia de lasmatemticas como uno de los componentes en la elaboracin del currculo(Sierra, 1997; Moreno, 1998), sobre la base de que existe una especie deparalelismo entre el proceso de evolucin de un conocimiento matemticoy el que siguen los jvenes en el proceso escolar de aprendizaje de dichoconocimiento. Independientemente de aceptar como vlida esta postura, ses importante reconocer que la historia, en un interjuego con el anlisisepistemolgico, da luces sobre la naturaleza del conocimiento matemtico.Esto es de hecho importante cuando se pretende disear unos contenidos,pues la Historia muestra que detrs de ciertos conceptos matemticos seencuentran nociones que han sido esenciales en su gnesis o en su procesode construccin. Pensar por ejemplo, en introducir el concepto de diferen-cial o integral sin considerar previamente un tratamiento didctico de lasnociones de infinito, lmite y continuo, dar como resultado un manejonetamente operatorio y algortmico que no da cuenta de la riqueza tericaque involucran estos conceptos.

La Historia de las Matemticas como indicador de dificultades parala comprensinLa Historia es un indicador de la complejidad epistemolgica de ciertosconceptos matemticos y, por ende, de la posible dificultad en su aprendi-zaje. El conocimiento de las mltiples facetas en la construccin histrica,ofrece al docente un panorama ms real que le permite comprender laseventuales dificultades que tengan sus estudiantes al enfrentarse a esenuevo conocimiento.

Desde esta perspectiva, un aporte de la reflexin histrica reposa en latoma de consciencia, por parte del profesor, acerca de la complejidad deciertos conceptos matemticos. Un ejemplo que permite ilustrar la impor-tancia de esta intervencin histrica, lo constituye el reconocimiento de losentramados filosficos y epistemolgicos que rodean al concepto de nmeroreal. As, una revisin histrica sugiere al docente el pensar en estrategiasque superen la simple pretensin de hacer entender a los estudiantes elconjunto de los reales, con todas sus propiedades algebraicas, de orden y to-polgicas, en una exposicin magistral de dos horas.

La Historia de las Matemticas en el diseo de actividadesdidcticasUna manera de ver la intervencin directa de la Historia en la enseanza delas matemticas es a travs de la elaboracin de actividades didcticas de

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 39

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

carcter histrico. Con esta idea, se han realizado varios trabajos en Franciaa nivel de la educacin secundaria (Barbin y Douady, 1996)10, en los cualesse ha recurrido a la utilizacin de textos histricos, al estudio de un con-cepto en distintos momentos histricos y a la ilustracin de un mtodo deresolucin acorde a una poca en particular, etc.

La utilizacin de textos histricos resulta muy atractiva para los estu-diantes, quienes se sorprenden con las tcnicas, los smbolos y lenguajes uti-lizados, ampliando as su panorama de resolucin del problema (Barbinet al.)11. La demostracin y el rigor, por ejemplo, conceptos transversales enlas matemticas y su enseanza, se dinamizan enormemente al comparar va-rias pruebas de un mismo resultado en momentos histricos distintos. Elanlisis de estas pruebas muestra, entre otras, que las nociones de demostra-cin y rigor no son estticas e inamovibles, sino que han sido construccionesligadas a concepciones filosficas acordes con la poca y la cultura.12

La Historia de las Matemticas en la reflexin sobre la naturalezade las matemticasLa importancia de las reflexiones histricas sobre las distintas concepcio-nes frente a la naturaleza de las matemticas reposa en la intencin de queel docente tome consciencia de la postura que comparte y de sus posiblesimplicaciones didcticas (Santos Trigo, 1993).

Desde una concepcin exclusivamente formalista de las matemticas, unprofesor, consciente o inconscientemente, hace nfasis en los procesos lgi-cos de demostracin y en la forma rigurosa de presentacin de un concepto.De igual manera, se establecen tcitamente en el mbito escolar algunos ele-mentos de poder: el discurso matemtico se presenta perfecto y acabado, es-quivo a la mayora de los seres humanos; y, el profesor y el texto, seconvierten en una autoridad acadmica infranqueable, cuya funcin principalradica en juzgar la validez de las producciones de los estudiantes.

Si por el contrario, el profesor considera que las matemticas son unaconstruccin humana rodeada de mltiples contingencias y relacionada conotras disciplinas, reflejar esta concepcin en su relacin con el conocimien-to matemtico, con el texto y con los estudiantes. Propiciar reflexiones y

10. En este libro las autoras recopilan varios trabajos de investigadores en Educacin Matem-tica de los IREM de Francia, en los que se muestran las posibilidades de la Historia comoestrategia didctica.

11. Este libro, compuesto de quince artculos, relata experiencias de insercin de la historia delas matemticas en la enseanza secundaria, en la universidad y en la formacin de adultos.

12. Desde esta consideracin, el Grupo ha diseado el curso Historia de las Matemticas en laDidctica de las Matemticas, ofrecido a los estudiantes de la Especializacin en Educa-cin Matemtica del Instituto de Educacin y Pedagoga de la Universidad del Valle.

40 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

diversas actividades en las que los estudiantes sientan que no es un conoci-miento acabado sin lugar para la creatividad.13

La historia de la educacin matemticaEl anlisis de ciertos momentos claves en la historia de la educacin mate-mtica colombiana, se constituye en una manera de responder a la preguntasobre la identidad intelectual colombiana, especficamente en lo que serefiere a la identidad en el campo de la educacin. En trminos generales,se espera que este tipo de estudios sobre las prcticas educativas en el pas,brinde explicaciones histricas, epistemolgicas y pedaggicas de nuestropasado, con el fin de encontrar luces sobre aspectos de la cultura y de laeducacin en matemticas en el presente, lo que puede ser aprovechado porparte de los docentes, los directivos y la comunidad acadmica escolar,para hacer ms viables futuros proyectos educativos.

Un ejemplo de este tipo de estudios, lo constituye el anlisis de la in-fluencia de la propuesta matemtica de Bourbaki en la educacin universi-taria colombiana.14 En este trabajo se pretende, entre otras, identificarcules fueron las formas ms representativas de incidencia de la propuestaestructuralista en la enseanza, de qu manera se presentaron y en qu me-dida se dieron. Se indaga, por ejemplo, si la incorporacin de la propuestabourbakista logr caracterizar y tipificar en su momento formas autctonasde pensamiento, conductas y comportamientos, ligados a las diferentes ac-tividades educativas e investigativas en el campo de las matemticas en Co-lombia. O si por el contrario, se constituy en una corriente filosfica ms,que se impuso sin una profunda reflexin sobre su viabilidad para nuestrascondiciones nacionales. Este estudio ofrecer informacin sobre nuestrahistoria y prcticas pedaggicas, que tiene sentido tener presente cuando seasuma el reto de incorporar nuevas propuestas educativas en el pas.

Intervencin de la reflexin histrica en el aprendizaje de las matemticasAs como se mostraron diversas maneras de intervencin del discurso his-trico en la reflexin sobre la enseanza de las matemticas, se sealan a

13. Con estas ideas, se dise el curso Elementos filosficos de las matemticas, para los estu-diantes de la Licenciatura en Matemticas y el curso Matemticas y realidad para la Espe-cializacin en Educacin Matemtica, programas acadmicos del Instituto de Educacin yPedagoga de la Universidad del Valle.

14. En la actualidad la autora de este artculo desarrolla su tesis El formalismo matemticobourbakista en la educacin superior en Colombia, en el marco del Doctorado en Educa-cin realizado en la Universidad del Valle.

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 41

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

continuacin otras particulares formas de incidencia; se trata de los aportesque puede ofrecer el anlisis histrico en el proceso de aprendizaje.

La Historia de las Matemticas en la relacin entre matemticas yexperiencia

En un discurso netamente formal de las matemticas, se eliminan las trazasde la actividad humana que las produjo. Precisamente, uno de los grandespropsitos de la Historia de las Matemticas es reconstruir la heurstica detales procesos, para mostrar que son el producto del razonamiento humanoen el marco de un contexto sociocultural. Esto significa reconocer que lasmatemticas se han nutrido y han estado en interrelacin con mltiplestipos de experiencia, ya sea de orden sensorial o intelectual, y que, portanto existen interesantes vnculos con otras disciplinas del conocimientotales como la fsica, la filosofa, la teologa y el arte, entre otras, en sus dife-rentes procesos de gnesis y evolucin terica.

Esta consideracin humanizante de la ciencia genera en el aprendiz unaposicin distinta frente al conocimiento y estimula en l una participacinanaltica, crtica y creativa, distinta de aquella que se obtendra a partir deuna exposicin esttica y acabada de los conceptos, en la cual todo est per-fectamente terminado y donde las mltiples contingencias de construccinterica quedan ocultas.15

Existen varios ejemplos histricos que nos muestran esta fructfera rela-cin con el mundo de la experiencia. Uno de ellos se refiere a las construc-ciones aritmticas de los pitagricos. En este pasaje de la historia, el nmerocomo ente abstracto y la cosa como ente concreto, estn ntimamente re-lacionados. Los nmeros eran conjuntos de puntos que se clasificaban onto-lgicamente de acuerdo con su forma geomtrica. La figura geomtrica eraquien determinaba y caracterizaba al nmero; ella era efectivamente el cons-titutivo de su realidad. El nmero se presenta aqu como producto de una re-lacin particular con el mundo sensible y acorde a las concepcionesfilosficas de la poca.16

15. En esta perspectiva histrica, el Grupo ha diseado y coordinado el curso Matemticas yexperiencia, ofrecido a los estudiantes de Licenciatura en Matemticas del Instituto deEducacin y Pedagoga de la Universidad del Valle.

16. Las ideas aritmticas de los pitagricos son objeto de un artculo escrito por la autora deeste artculo en conjunto con el profesor Arboleda. Este documento hace parte del libroMatemticas y experiencia, escrito por diferentes miembros del Grupo y prximo apublicarse.

42 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

La Historia de las Matemticas, fuente de problemas y actividadesldicasLa Historia de las Matemticas ofrece un rico manantial de problemas quepueden ser objeto de un tratamiento ldico. Distintos momentos y grandesproblemas tericos, que ocuparon un lugar de importancia en la historia, sepueden convertir en actividades de matemticas recreativas, en las que eljuego y todos sus componentes pedaggicos ocupen un lugar central.17

Desde esta perspectiva, la historia se puede emplear para propiciar unacercamiento distinto al conocimiento matemtico. Se pueden convertir losdatos de un estudio histrico en actividades de naturaleza ldica. Problemasreferidos al infinito, las paradojas, los sistemas formales o las geometras noeuclidianas han ocupado un lugar importante en la historia de las matemti-cas y constituyen importantes ncleos de saber. Por tanto, pensar en estrate-gias ldicas para propiciar un encuentro informal con ellos, resulta de granmotivacin en el proceso de aprendizaje.

Los estudios histrico-epistemolgicos como vehculos de conocimientoUn estudio histrico-epistemolgico que d cuenta de la gnesis, evoluciny consolidacin de un concepto matemtico en el marco de unas condicio-nes socioculturales, contribuye a un conocimiento del concepto matemticoque trasciende los meros procesos algortmicos.18 Este aspecto es de granimportancia para la Educacin Matemtica pues el estudiante y el futurodocente deben tener una visin ms profunda de las matemticas y de suactividad, de tal manera que le permita entender la composicin, su finali-dad, utilidad y sus relaciones con el entorno. Es importante recordar que nose trata de un anlisis netamente internalista, sino que se consideran lasparticularidades del contexto sociocultural, as como la presencia de con-cepciones filosficas en la gnesis del concepto (Arboleda, 1983).

Han sido motivo de especial atencin, estudios histrico-epistemolgi-cos acerca de conceptos como nmero, continuo, infinito, lmite, derivada,integral y convergencia de series, entre otros. Estos conceptos son funda-mentales en el desarrollo del clculo y el anlisis y de difcil apropiacin porparte de los estudiantes en los primeros aos de universidad.

17. En el rea de Educacin Matemtica del Instituto de Educacin y Pedagoga se dise yse tiene en marcha el curso Matemticas recreativas, el cual ha contado con la participa-cin de un buen nmero de profesores, quienes desde distintas disciplinas y perspectivashan aportado a esta reflexin.

18. En esta lnea de accin, se ofrecen los siguientes cursos: Historia de las Matemticas,Geometras no euclidianas, y Pruebas, demostraciones y refutaciones, para estudiantes depregrado y los cursos: Historia del nmero y la magnitud e Historia del anlisis, para estu-diantes de postgrado.

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 43

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

La indagacin histrico-filosfica como camino de aprendizajeLa reflexin filosfica, por su naturaleza y variedad de interrogantes, per-mite recobrar el sentido del conocimiento matemtico, el cual parece per-derse en medio del tecnicismo y del formalismo a ultranza. Interrogantesacerca de lo que es un objeto matemtico, acerca de la naturaleza del razo-namiento, de los juicios de valor, de los paradigmas de conocimiento, etc.,son vas que pueden conducir a una mejor comprensin de los conceptos yde la actividad matemtica. Desde esta perspectiva se trata de que los estu-diantes encuentren en los caminos de la filosofa y la historia, una forma noconvencional, sugestiva y al mismo tiempo reflexiva, para comprender lanaturaleza y dinmica de las matemticas. De igual manera, se espera queeste tipo de reflexiones forje en los futuros docentes un espritu de constanteindagacin y crtica, indispensables en la vida acadmica y profesional.19

La Historia como puente de comunicacin entre las matemticas yla culturaLa Historia de las Matemticas ofrece la posibilidad de mostrar los lazosque existen entre las matemticas como construccin histrica y otras pro-ducciones culturales de la humanidad. Como lo hemos mencionado, estoconlleva a un acercamiento ms humano a las teoras matemticas y generauna aptitud diferente en los estudiantes, pues encuentran vnculos conmanifestaciones culturales de su entorno, tales como la msica, la pintura,la literatura, la arquitectura o el arte en general.

Es as como a partir de ciertos casos histricos, se trata de encontrar con-vergencia donde clsicamente se ha observado divergencia. Un ejemplo deello, lo constituyen las relaciones entre matemticas, arte y literatura. Lasconexiones entre los nmeros y la msica en el pensamiento pitagrico,constituyen otro ejemplo. El papel que jugaron los artistas del Renacimientoen la caracterizacin del movimiento parablico, es otro caso que se puedemencionar, pues ellos, antes que los tericos, pintaron en sus obras entreotras las trayectorias que seguan las balas de un can y el camino quedescriban las fuentes de agua, lo cual contribuy a la posterior descripcinmatemtica.

De otro lado, esta mirada cultural de las matemticas se constituye en unfructfero camino para acercarse al conocimiento matemtico.20 Conceptoscomo el de simetra y proporcionalidad se presentan de forma viva y signi-ficativa en obras de pintura y arquitectura (Pedoe, 1979); el infinito matem-

19. Desde esta postura se ofrece el curso Matemticas y filosofa, a estudiantes de todos losplanes de la Universidad del Valle.

20. A partir de esta relacin se cre el curso Matemticas, arte y literatura, ofrecido a distin-tos planes de la Universidad.

44 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

tico puede tener una mejor recepcin a partir de la lectura de cuentos yensayos literarios, como los ya conocidos de Jorge Luis Borges (Recalde,2000) y los conceptos de anlisis y sntesis se pueden presentar de maneramenos rgida a partir de algunos cuentos de Edgar Allan Poe (Arboleda,2002).

Este es otro lugar desde el cual se insiste en el propsito de que los futu-ros profesionales tengan una idea ms real y menos estereotipada de las ma-temticas; una idea de una disciplina que aunque formal y abstracta tieneprofundas races y relaciones con la cultura humana.

COMENTARIOS FINALES

Este intento por caracterizar algunas formas de incidencia de la Historia delas Matemticas en la Educacin Matemtica, muestra un panorama alenta-dor. Sin embargo, no se quiere transmitir la idea de que sea una tarea fcil,ni mucho menos dejar en el ambiente la sensacin de que las experienciasen el Grupo han sido siempre exitosas.

Se tiene plena consciencia de la complejidad de la problemtica, en tantoque en ella intervienen diferentes dimensiones tales como el tipo de saber,la formacin de los docentes, la situacin concreta del currculo, las estrate-gias didcticas frente al saber del alumno, las concepciones acerca de lasmatemticas, la historia y la didctica y, naturalmente, los intereses de losestudiantes y de la sociedad (Vasco, 2002). La complejidad de esta proble-mtica expresa la necesidad de continuar en esta reflexin, a travs de pro-puestas y prcticas educativas, programas de formacin, diversas estrategiasde difusin, y naturalmente a travs de proyectos de investigacin, puescomo lo afirma el profesor Vasco (2002):

[] iniciar investigaciones en la historia de las matemticas y de laeducacin matemtica en cada pas no es slo un lujo terico, sinouna necesidad cultural para recuperar la historia de las ideas, lasciencias y las artes en el propio pas, y el mejor vehculo para la au-toformacin y para involucrar y entusiasmar a otros docentes por lahistoria de las matemticas.

Por lo anterior, se insiste en que el presente artculo se encuentra lejos dequerer mostrar una relacin transparente y completamente establecida entrela Historia de las Matemticas y la Educacin Matemtica; su finalidad noes la de proponer lineamientos educativos para el aprovechamiento de lahistoria de las matemticas en el mejoramiento de la enseanza. Es simple-mente un intento de situar el problema de la relacin entre dos campos del

LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN MATEMTICA 45

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

saber de naturaleza diferente pero complementaria y de presentar un esque-ma particular de anlisis que contribuya a esta reflexin en el pas.

REFERENCIAS

Arboleda, L.C. (1983). Historia y enseanza de las matemticas (n 4, Serie Episte-mologa, Historia y Didctica de la Matemtica). Bogot: Universidad Nacionalde Colombia.

Arboleda, L.C. (1993). Tesis para la historia social de las ciencias en AmricaLatina. En L.C. Arboleda, J. Arias y E. Armando (Vol. Eds.), Historia Social delas Ciencias en Colombia: Tomo II. Matemticas, Astronoma y Geologa (pp.19-27). Bogot: COLCIENCIAS.

Arboleda, L.C. (2002). El mtodo de anlisis en Poe. Conferencia presentada en elCiclo Lunes de Debate. Universidad del Valle, Santiago de Cali.

Arboleda, L.C. y Anacona, M. (1996). Las geometras no euclidianas en Colombia.La apuesta euclidiana del profesor Julio Garavito Armero (1865-1920). RevistaLatinoamericana de las Ciencias y la Tecnologa QUIPU, 11 (1), 7-24.

Arboleda, L.C. y Castrilln, G. (en prensa). Educacin Matemtica, Pedagoga yDidctica. En Educacin y formacin del pensamiento cientfico, Bogot:ICFES-Universidad del Valle.

Arboleda, L.C. y Paty, M. (2002). Formacin de cultura cientfica en Colombia: elcaso de las matemticas y la fsica, (1880-1940). (Informe presentado a ECOS-Nord). Santiago de Cali: Universidad del Valle.

Barbin, E., Bkouche, R., Bhler, M., Friedelmeyer, J.P., Guillemot, M., Hallez, M.,Jozeau, M., Kahn, C. y Plane, H. (1996). Pour une perspective historique danslenseignement des mathmatiques. Paris: Bulletin Inter-IREM epistmologie.

Barbin, E. y Douady, R. (1996). Enseanza de las matemticas: relacin entresaberes, programas y prcticas. Pars: Topiques ditions.

Moreno, M. (1998). Didctica de la matemtica en la educacin secundaria.Manual para la formacin inicial del profesorado de secundaria. Almera: Uni-versidad de Almera.

Pedoe, D. (1979). La geometra en el arte. Coleccin punto y lnea. Barcelona: Edi-torial Gustavo Gili, S.A.

Recalde, L. (2000). Borges y el infinito. En W. Gonzlez (Ed.), Filosofa en la ciu-dad (pp. 165-192). Santiago de Cali: Universidad del Valle.

Santos Trigo, L. (1993). La naturaleza de las matemticas y sus implicacionesdidcticas. Mathesis, 9 (4), 419-432.

46 MARIBEL ANACONA

REVISTA EMA VOL. 8, N 1, 2003

Salanskis, J-M y Sinaceur, H. (Eds.) (1992). Le Labyrinthe du continu. Colloque deCerisy. Paris: Springer-Verlag.

Sierra, M. (1997). Notas de Historia de las Matemticas para el currculo de secun-daria. En L. Rico (Coord.), E. Castro, E. Castro, M. Coriat, A. Marn, L. Puig,M. Sierra y M. Socas (Eds.), La educacin matemtica en la enseanza secun-daria (pp. 179-194). Barcelona: ICE-Horsori.

Vasco, C. (1994). La educacin matemtica: una disciplina en formacin. Matem-ticas: Enseanza Universitaria, 3 (2), 59-75.

Vasco, C. (2002, noviembre). Siete tensiones irresolubles en la articulacin de lahistoria de las matemticas con la enseanza de las matemticas. Conferenciainaugural de la Primera Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemologade las Matemticas. Universidad del Valle, Santiago de Cali. (En lnea. Docu-mento disponible en http://www.historiadelasmatematicas.univalle.edu.co).

Maribel Patricia Anaconarea de Educacin Matemtica

Instituto de Educacin y PedagogaUniversidad del Valle

Santiago de Cali, ColombiaE-mail: maribel@univalle.edu.co