análise de sistema de potência - carmen lucia

8/17/2019 Análise de Sistema de Potência - Carmen Lucia

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AAnnáálliissee ddee SSiisstteemmaass ddee PPoottêênncciiaa

Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges

Edição: Prof. Sergio Sami Hazan

Leonardo Ney de A. Guerra

EE - UFRJ

Departamento de Eletrotécnica

Março 2005


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Índice

Capítulo 1 – Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência.... ................. .................. .. 5

1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência ............... ................. ................. ................. ....... 51.2 – Modelos da linha de transmissão.................. ................. ................ ................. ................. ........ 5

1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)............................................ ....................................................... 51.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)........................................................ ...................... 61.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km).............................................................. ........................ 7

1.3 – Modelo do transformador ....................................................................................................... 81.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos...................... ..................................................... 81.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos................... ......................................................... 91.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos. ..................................... 111.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi .................................................. 12

1.4 – Modelo do gerador ............... ................. ................ ................ ................ ................ ................ 14

1.5 – Modelo da carga....................................................................................................................141.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência.................................................................... ......... 141.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade ................................................................. .... 141.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito.................................................... ............... 151.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP.................................................... .................................. 15

Capítulo 2 – Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente.........................................................16

2.1 – Objetivo ................ ................. ................. ................ ................. ................. ............. ............... 16

2.2 – Tipos de representação ................. ................ ................. ................. ................. ............... .......16

2.3 –Equações nodais.....................................................................................................................16

2.3.1 – Equivalência de fontes.......................... ..................................................................... .................... 162.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias ........................................................ 172.3.3 – Características de YBARRA ............................................................. ................................................. 192.3.4 – Características de ZBARRA.............................................................. ................................................. 192.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA ................................................................21

2.3.5.1 – Elementos de YBARRA...............................................................................................222.3.5.2 – Elementos de ZBARRA ...............................................................................................22

2.4 – Redução da rede ................ ................. ................ ................. ................ ................. ............... ..252.4.1 – Objetivo.........................................................................................................................................252.4.2 – Eliminação de barra ................................................................... .................................................... 25

2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente.............................................252.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente ................. .............29

2.4.3 – Equivalentes de rede...... ................................................................ ................................................ 32

2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados ................ ................. ................. ........32

2.6 – Modificação da matriz admitância de barra ................. ................. ................. ................. ........35

2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra ............... ................. ................. ......352.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra.................................................................. ...... 35

2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência .................. ................. ........362.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k ................. ................ 372.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência ................... .................. 372.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j............................38

2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra........................................................................... 402.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância z b da matriz ZBARRA......................................................422.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras........................ .................................... 42

2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitânciade barra..........................................................................................................................................42

2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra .............................................................. 42


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Análise de Sistemas de Potência

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2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra.................................... 43

Capítulo 3 – Fluxo de Potência...........................................................................................................45

3.1 – Introdução.............................................................................................................................453.1.1 – Dados de entrada ............................................................... ............................................................ 45

3.1.2 – Condição de geração e carga ............................................................... .......................................... 453.1.2.1 – Geração...................................................................................................................453.1.2.2 – Carga ................ ................. ................ ................. ................ ................. ............... ....45

3.1.3 – Restrições operativas ............................................................................ ......................................... 453.1.4 – Dispositivos de controle ........................................................... ..................................................... 453.1.5 – Solução da rede............................................................... ............................................................... 453.1.6 – Aplicações......................................................... .................................................................... ......... 463.1.7 – Modelo da rede...................................................... ............................................................... ......... 463.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência..................................................... ................................. 463.1.9 – Métodos de solução ......................................................... .............................................................. 46

3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA ..................................................................................463.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA ..................................................................................473.1.9.3 – Método de Newton-Raphson ...................................................................................47

3.1.9.4 – Métodos desacoplados.............................................................................................473.1.9.5 – Fluxo de potência linear ................ ................. ................. ................ ................. .......47

3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas..................................473.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar ............................................. 483.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack............. ................................................................. 513.2.3 – Tipos de barras............................................. ................................................................ .................. 51

3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ .................................................................513.2.3.2 – Barra de carga ou PQ ................ ................. ................ ................ ................. ............513.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV............................................................................51

3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência ........................................................... ......................... 513.2.4.1 – Subsistema 1...........................................................................................................523.2.4.2 – Subsistema 2...........................................................................................................52

3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel....................................................................533.3.1 – Revisão do método de Jacobi ............................................................. ........................................... 533.3.2 – O método de Gauss-Seidel ........................................................ .................................................... 543.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel................................................ .................... 553.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência.................................... 553.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel.................................... ........................................................ 553.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV.............................. ........................................................... 55

3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson..............................................................583.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0 ............................................................ .......... 583.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0] ........................................................... ........ 593.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência................................ 593.4.4 – Matriz jacobiana geral .................................................................... ............................................... 603.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência......................... ................................... 603.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson: ......................... 613.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano ...................................................... ............. 633.4.8 – Estrutura do jacobiano.............................................................. ..................................................... 63

3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts..........................673.5.1 – Linha de transmissão média ou longa............................... ............................................................. 673.5.2 – Linha de transmissão curta ............................................................... ............................................. 693.5.3 – Transformador .......................................................... ............................................................. ........ 703.5.4 – Elementos shunt......................................... .................................................................. .................. 71

3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido .............................................................763.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado........................................................... ... 76

3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado................................. 763.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido......... ............................................................... 773.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presençade ramos com elevada relação r/x................................ ...................................................................... ........ 83


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4

4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas ................. ................. ................. .................. ......... 1224.12.1 – Modelo clássico de estabilidade ................................................................. ............................... 1224.12.2 – Etapas do estudo .......................................................... .............................................................. 123

4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema......................................................................125

Capítulo 5 – Operação Econômica de Sistemas de Potência ................ ................. .................. ........... 126

5.1 – Introdução...........................................................................................................................126

5.2 – Características das unidades geradoras.................................................................................126

5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração .........1275.3.1 – Sistema térmico .......................................................... ................................................................. 1275.3.2 – Sistema hidro-térmico................................................................................. ................................. 127

5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos..........................................................................1275.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais.................................................................... 1275.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão........................ ................................... 128

5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange...............................................................1295.4.3 – Extensão para o caso de n geradores ........................................................... ................................ 132

5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão 1325.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão ........................................................... .................................. 137


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Capítulo 1Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência

1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência

a) Linha de transmissão; b) Transformador de potência;c) Gerador;d) Carga.

Existe mais de um modelo para cada um dos elementos listados. Para cada tipo de estudo existe ummodelo específico do elemento.

Os modelos apresentados a seguir consideram:

a) A rede em regime permanente; b) O sistema elétrico simétrico e equilibrado, logo somente componentes de seqüência positiva;c) Valores em por unidade.

A Figura 1.1 mostra um pequeno sistema elétrico de potência onde T 1 e T 2 são transformadores.

Figura 1.1 – Sistema elétrico de potência

1.2 – Modelos da linha de transmissão

O modelo da linha de transmissão depende do comprimento da mesma. A seguir a modelagem decada um dos três comprimentos típicos.

1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)

Neste caso a capacitância da linha, por ser pequena, é desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência e a indutância. A Figura 1.2 mostra o modelo da linha curta.

Figura 1.2 – Modelo da linha curta

G

Linha de transmissão

T 1 T 2 Gerador

Cargas

jω × LS I

& R I &r

S V & RV

&


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Da Figura 1.2 pode-se tirar as seguintes equações:

L jr z ×+= ω

RS I I && = , (1.1)

R RS I zV V &&& ×+= . (1.2)

Explicitando-se as variáveis da receptora vem:

S R I I && = ,

S S R I zV V &&& ×−= .

1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)

Neste caso considera-se a capacitância da linha concentrada em ambas as extremidades da mesma.A linha é representada pelo modelo pi-nominal, mostrado na Figura 1.3.

Figura 1.3 – Modelo da linha de comprimento médio

Da Figura 1.3 pode-se tirar as seguintes equações:

1 I zV V RS &&&

×+= , R R V

y I I &&& ×+=

21.

Substituindo-se a corrente 1 I & na equação acima e agrupando termos vem:

R RS I zV y

zV &&& ×+×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+=2

1 . (1.3)

S S V y

I I &&& ×+=21

.

Substituindo-se na equação de S I &

a corrente 1 I &

e a tensão S V &

e agrupando termos vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+×+×+= R R R RS I zV y

z y

V y

I I &&&&&2

122

,

R RS I y

zV y y

z I &&& ×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×++×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×=

21

22

2

2

. (1.4)

Explicitando-se as variáveis da receptora, considere o sistema formado pelas Equações 1.3 e 1.4.:

R RS I bV aV &&& ×+×= ,

R RS I d V c I &&&

×+×= .

cbd ad c

ba×−×==Δ ,

S V &

1 I &

z

S I & R I &

RV & y/2 y/2


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7

S S

S

S V

I bV d d I

bV

R

&&&

&& ×−×==δ ,

S S

S

S I

V c I a I c

V a

R

&&&

&& ×−×==δ .

Substituindo-se valores vem:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +××−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

×−×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

=×−××−×

=

y y

z z y

z y

z

I zV y

z

cbd a

I bV d V

S S S S

R

421

21

21

2

&&&&

& ,

S S R I zV y

zV &&& ×−×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+=

21 .

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +××−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

×⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ ×+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ×−×⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ×+

=×−××−×

=

y y

z z y

z y

z

V y y z I y z

cbd a

V c I a I

S S

S S R

421

21

22

221

2

2

&&&&

& ,

S S R I y

zV y y

z I &&& ×⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×++×⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ×+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−=2

12

22

2

.

Observação: 1=×−× cbd a .

1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km)

O modelo da linha longa é determinado considerando-se os parâmetros da linha distribuídos, o queresulta em equações diferenciais parciais, as quais são ajustadas a um modelo pi-equivalente, mostradona Figura 1.4.

Figura 1.4 – Modelo da linha longa

Os valores dos parâmetros da Figura 1.4 estão mostrados a seguir.

l

lsenh Z z eequivalent ×

××=

γ

γ )(

2

)2tanh(

l

lY y eequivalent ×

××=

γ

γ

y z ×=γ , constante de propagação,

l z Z ×= e l yY ×= , onde l é o comprimento da linha.

R I &

S I & 1 I &

S V & RV & yequivalente / 2

zequivalente

yequivalente / 2


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1.3 – Modelo do transformador

1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos

A Figura 1.5 mostra o modelo completo de um transformador monofásico de dois enrolamentos.

Figura 1.5 –

Modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos

A Figura 1.6 mostra o modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos comtodos os parâmetros referidos ao primário, onde a grandeza com primo designa grandeza refletida.

Figura 1.6 – Modelo completo do transformador com parâmetros referidos ao primário

Considerando-se que a corrente de magnetização do transformador é muito menor que a corrente decarga, e também considerando-se que o transformador é um equipamento de rendimento elevado, maiorque 98%, pode-se, sem perda de exatidão, desprezar o ramo paralelo e a resistência série dotransformador, resultando no modelo da Figura 1.7, onde 21 ' x x xeq += .

Figura 1.7 – Modelo do transformador monofásico desprezando-se o ramo paralelo e a resistência dos

enrolamentos

1 I & r 1 x1

1V & 2V &

2 I & r 2 x2

r f xm

1 I & r 1

x1

1V & 2'V

&

2 I &r '2 x'2

r f xm

2V &

2 I &

1V &

1 I &

xeq

2'V &

2V &


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1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos

A Figura 1.8 mostra o esquema de um transformador monofásico de três enrolamentos.

Figura 1.8 – Construção do transformador monofásico de três enrolamentos

Dos ensaios de curto-circuito tem-se:

S PPS x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,

T PPT x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,T S ST x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento secundário.

Referindo-se todos os parâmetros ensaiados a uma mesma base tem-se PS x , PT x , ST x e,

resolvendo-se o sistema de três equações vem que:

)(5,0 ST PT PS P x x x x −+×=

)(5,0 PT ST PS S x x x x −+×=

)(5,0 PS ST PT T x x x x −+×=

A Figura 1.9 mostra o circuito equivalente do transformador de três enrolamentos, onde o ponto de

encontro dos três enrolamentos é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.

Figura 1.9 – Circuito equivalente de um transformador de três enrolamentos

Exemplo 1.1.Um transformador trifásico de três enrolamentos com tensões 132/33/6,6 kV tem as seguintes

reatâncias em pu, medidas entre enrolamentos e referidas a 30 MVA, 132 kV: 15,0=PS x , 09,0=PT x ,

08,0=ST x . O enrolamento secundário de 6,6 kV alimenta uma carga balanceada com corrente de

2.000,0 A com fator de potência em atraso de 0,8 e o enrolamento terciário de 33 kV alimenta um reatorde 0,50 j Ω/fase conectado em estrela. Calcular a tensão no enrolamento primário de 132 kV para que a

tensão no enrolamento secundário seja de 6,6 kV.

T V &

PV & S V &

S V &

PV &

xP

xS

xT

T V &

P S

T


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Solução: Na base de 30 MVA e 132 kV vem:

08,0)08,009,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= ST PT PS P x x x x pu,

07,0)09,008,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PT ST PS S x x x x pu,

01,0)15,008,009,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PS ST PT T

x x x x pu.

Valores base do enrolamento terciário:

V B3 = 33 kV, S B3 = 30 MVA, 3,36/ 3233 == B B B S V Z Ω,

86,524)3( 333 =×= B B B V S I A.

Valores base do enrolamento secundário:

V B2 = 6,6 kV, S B2 = 30 MVA, 45,1/ 2222 == B B B S V Z Ω,

32,624.2)3( 222 =×= B B B V S I A.

Valores base do enrolamento primário:

V B1 = 132 kV, S B1 = 30 MVA, 8,580/ 1211 == B B B S V Z Ω,

22,131)3( 111 =×= B B B V S I A.

Corrente secundária em pu: I 2 = 2.000/ I B2 = 2.000/2.624,32 = 0,76 pu. O fator de potência é 0,8 em

atraso, 02 87,3676,0 −∠= I & e000,1 ∠=S V & .

Reatância terciária em pu: x3 = 50,0/36,3 = 1,38 pu.

Para se encontrar a solução do exemplo basta agora resolver o circuito equivalente da Figura 1.10onde todos os valores estão em pu.

Figura 1.10 – Circuito equivalente do transformador de três enrolamentos do Exemplo 1.1

Tomando-se as correntes de malha 1 I & e 2 I & monta-se o seguinte sistema de equações:

PV I j j I j &&& =−∠−×++× )87,3676,0()38,101,0(08,0 011 ,

0)87,3676,0()38,101,0(0,00,187,3676,007,0 1000 =−−∠×++∠+−∠× I j j j & .

Agrupando termos vem:0

1 13,5306,147,1 ∠=−× PV I j && ,

1000 39,113,5306,10,00,113,5305,0 I j &×=∠+∠+∠ .

000

1 93,6136,19039,1/07,2889,1 −∠=∠∠= I &

,001 76,413,113,5306,147,1 ∠=∠−×= I jV P && .

j1,38

T V &

j0,08

j0,07

j0,01

PV &

PS

T

z L

2 I &

mV &

1 I &

3 I &

S V &


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Outro método de solução: O potencial do ponto M é:

2 I xV V S S M &&& ×+= ,

04,003,136,203,113,5305,00,187,3676,007,000,1 0000 j jV M +=∠=∠+=−∠×+∠=& .

Corrente no enrolamento terciário:

00

003 63,8774,0

9039,137,203,1

38,101,036,203,1 −∠=

∠∠=

+∠=

+=

j j x xV I

LT

P&& .

A corrente no enrolamento primário é:000

321 93,6136,120,164,063,8774,087,3676,0 −∠=−=−∠+−∠=+= j I I I &&& .

Tensão na reatância de dispersão do enrolamento primário:00

1 07,2811,093,6136,108,0 ∠=−∠×=×= j I xV P XP && .

Tensão nos terminais do enrolamento primário:

°∠=+=∠+∠=+= 76,413,109,013,137,203,107,2811,0 00 jV V V M XPP &&& ,

logo a tensão primária deve ser de 4,14913,1132 =× kV.

1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos.

A modelagem do transformador trifásico em estudos de curto-circuito é, em geral, diferente damodelagem de três transformadores monofásicos. Na construção do transformador trifásico tipo núcleoenvolvido, diferentemente do transformador tipo núcleo envolvente, é suposto que a soma dos fluxosdas três fases é instantaneamente nulo, não havendo, portanto caminho de retorno para estes fluxos.Para regime permanente simétrico e equilibrado os modelos são iguais.

Atenção deve ser dispensada com relação à defasagem entre as tensões de linha primária esecundária.

Sob condições balanceadas não existe corrente de neutro, logo os elementos de circuito que porventura estão conectados ao neutro não são representados no diagrama de impedâncias.Se o transformador estiver ligado em delta-delta (Δ-Δ) ou estrela-estrela (Y-Y), a modelagem é

idêntica ao modelo monofásico.Se o transformador estiver ligado em estrela-delta (Y-Δ) ou delta-estrela (Δ-Y), existe defasagem

de 300 entre as tensões terminais primárias e secundárias.A norma brasileira diz que, independentemente do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y, as tensões de

linha secundárias devem estar atrasadas de 300 em relação às tensões de linha primárias.A Figura 1.11 mostra um transformador trifásico Y-Δ com relação de transformação monofásica

N 1: N 2. Determinação do ângulo das tensões de linha na ligação Y- Δ, seqüência de fase abc. É supostoque o lado estrela seja o enrolamento primário.

Figura 1.11 – Transformador Y-

e diagramas fasoriais das tensões terminais

abV &

bcV &

caV &

AN V &

CN V &

BN V &

ABV &

A

B

C

a

b

c

N

N 1: N 2

N 1: N 2

N 1: N 2


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A Figura 1.11 mostra que as tensões AN V & , BN V & , CN V & do lado Y estão em fase com as tensões abV & ,

bcV & , caV & do lado delta, respectivamente.

Relação de transformação monofásica: N 1: N 2.

Relação de transformação das tensões de linha N 1 Y-Δ N 2;0

20

1 0:303 ∠+∠× N N .

Se AN V & está em fase com abV & ,0303 +∠×= AN AB V V && ,

1

2

N

N V V AN ab ×= && ,

0

2

1 303

+∠×

×= N

N V V ab AB&& ,

0

1

2 303

−∠×

×= N

N V V ABab&& .

A Figura 1.12 mostra o modelo do transformador em pu escolhendo-se as bases de tensão com amesma relação de transformação das tensões de linha.

Figura 1.12 – Transformador trifásico Y-

e seu modelo equivalente em pu

Da Figura 1.12 vem:021 30∠= V V && ,

2

1)(

2

)(1 3

N

N

V

V base

base ×= ,

eq x do modelo do transformador trifásico em pu não muda com o tipo de ligação do transformador

trifásico, pois esta reatância vem do ensaio em curto.

1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi

LTC: load tap change ou TCAT: transformador com comutação automática de tape. O tape passa aser uma variável do modelo. A admitância do modelo pode ser colocada do lado unitário ou do lado do

tape. Assume-se que o valor da admitância não varia com a posição do tape.A Figura 1.13 representa um transformador com comutação automática de tape com relação 1:t . A

seguir a dedução do modelo equivalente do TCAT a partir da Figura 1.13, que será igualado ao circuito pi da Figura 1.14, onde A, B e C são admitâncias.

Figura 1.13 – Diagrama esquemático de um transformador com tape

1:t

iV &

jV &

i I & k I &

y

j I &

k V &

1V &

Y-Δ

2V &

xeq

2V & 1V &


15/143


13

t V

V

j

i 1=&

&, i j V t V && ×= .

)()( k ik jk V V t yV V y I &&&&& −××=−×= ,

k ik V yV yt I &&& ×−××= . (1.5)

t I I

j

i =&& , k j I I && = , logo k i I t I && ×= .

Substituindo-se nesta equação o valor de k I & da Equação 1.5 vem:

k ii V yt V yt I &&& ××−××= 2 . (1.6)

Figura 1.14 – Modelo pi de um circuito elétrico genérico

Equações do modelo pi da Figura 1.14.

)(1 k i V V A I &&& −×= ,

k k V C I I &&& ×−= 1 , k k ik V C V AV A I &&&& ×−×−×= ,

k ik V C AV A I &&& ×+−×= )( . (1.7)

1 I V B I ii&&& +×= , k iii V AV AV B I &&&& ×−×+×= ,

k ii V AV B A I &&& ×−×+= )( . (1.8)

Igualando-se as equações (1.5, 1.7) e (1.6, 1.8) vem: A yt =× ,

yt C C yt yC A y ×−=⇒+×=→+= )1( ,

yt t B yt yt B A yt B B A yt ×−=⇒×−×=→−×=→+=× )( 2222 .

O modelo pi do transformador com tape está mostrado na Figura 1.15.

Figura 1.15 – Modelo pi do transformador com tape 1: t

Se 1=t , ou seja, se o transformador está operando na relação nominal, o circuito equivalente sereduz ao modelo conhecido, como mostrado na Figura 1.16, onde z y 1= .

Figura 1.16 – Circuito equivalente do transformador com tape para 1=t

1 I &

C B

A

iV &

k V &

k I &

i I &

1 I &

i I &

(1– t )× y(t 2 – t )× y

t × y

iV &

k V &

k I &

S V &

yS I

& R I &

RV &


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14

1.4 – Modelo do gerador

A Figura 1.17 mostra o modelo do gerador síncrono de rotor cilíndrico (pólos lisos).

Figura 1.17 – Modelo do gerador de rotor cilíndrico

r a = resistência da armadura, X S = reatância síncrona, que é a soma da reatância X a , devido a reação da armadura e da reatância

X l devido a dispersão.Pode-se desprezar a resistência da armadura nas máquinas em que a resistência da armadura é

muito menor que X S .Regime permanente: S X ,Regime transitório ou dinâmico: reatância transitória ( x'd ) ou sub-transitória ( x''d ).

1.5 – Modelo da carga

A representação da carga depende muito do tipo de estudo realizado. A carga pode ser representada por potência constante, corrente constante ou impedância constante. É importante que se conheça avariação das potências ativas e reativas com a variação da tensão. Em uma barra típica a carga écomposta de motores de indução (50 a 70%), aquecimento e iluminação (20 a 30%) e motoressíncronos (5 a 10%). Embora seja exato considerar as características PV e QV de cada tipo de carga para simulação de fluxo de carga e estabilidade, o tratamento analít ico é muito complicado. Para os

cálculos envolvidos existem três maneiras de se representar a carga.

1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência

A Figura 1.18 mostra a representação da carga como potência ativa e reativa constantes.

Figura 1.18 – Representação da carga com potência constante para estudo de fluxo de potência

1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade

Neste caso a atenção não é com a dinâmica da carga, mas sim com a dinâmica do sistema. Por estarazão a carga é representada por impedância constante como mostra a Figura 1.19.

Figura 1.19 – Representação da carga para estudo de estabilidade com impedância constante

P L + jQ L

k

z

k

t V & E &

jX S r a

∼


17/143


15

1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito

Cargas estáticas e pequenas máquinas são desprezadas. Somente as máquinas de grande portecontribuem para o curto, logo apenas estas máquinas são consideradas.

1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP

Neste modelo parte da carga é representada por impedância constante, parte da carga é representada por corrente constante e parte da carga é representada por potência constante.

Carga = ctectecte P I Z ++ ,)min(2 )( alno pi z P pV pV pP ×+×+×= ,

0,1=++ pi z p p p ,

onde: p z é a parcela da carga representada como Z constante, pi é a parcela da carga representadacomo I constante, p p é a parcela da carga representada como P constante.

)min(2 )( alno pi z QqV qV qQ ×+×+×= ,

0,1=++ pi z qqq ,

onde: q z é a parcela da carga representada como Z constante, qi é a parcela da carga representadacomo I constante, q p é a parcela da carga representada como P constante.


18/143


16

Capítulo 2Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente

2.1 – Objetivo

Determinação das matrizes que representam a rede elétrica de corrente alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.

2.2 – Tipos de representação

a) Modelo com parâmetros de admitância; b) Modelo com parâmetros de impedância.

As equações da rede serão extraídas utilizando-se a análise nodal da rede, pois esta apresentadesempenho computacional mais eficiente.

2.3 –Equações nodais

2.3.1 – Equivalência de fontes

As fontes da Figura 2.1 são equivalentes se I z E g && ×= , gg z y 1= .

Figura 2.1 – Equivalência entre fonte de corrente e fonte de tensão

A notação usada no presente texto é:

• Letra maiúscula com índice duplo corresponde a um elemento da matriz;• Letra minúscula com índice simples ou duplo corresponde à impedância ou admitância de um

elemento do sistema.

E & ∼

zgREDE

V &

1 I &

1 I &

R

EDE

V & zg I &

REDE

V & yg I &

1 I &


19/143


17

2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias

Seja o sistema da Figura 2.2, onde E 3 representa um motor.

Figura 2.2 – Sistema exemplo para as equações nodais da rede

Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a Figura 2.3.

Figura 2.3 – Sistema exemplo com os modelos dos elementos da rede

A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede da Figura 2.3 em que cada fonte de tensão em série comimpedância foi transformada em fonte de corrente em paralelo com a admitância e as impedâncias daslinhas foram transformadas em admitâncias.

2 E &

∼ 1 E &

zt 1 zg1 zg2 zt 2

∼

∼ 3 E &

z11 z22

z33

zt 3

zm3

z13

z12

1 2

3

z23

3

2

T 1 T 2

∼ 1

E &

∼ 2

E &

∼ 3 E &

1

T 3


20/143


18

Figura 2.4 – Diagrama unifilar do sistema exemplo com admitâncias

11

1

11

11

t g z z

E

z

E I

+== &&

& ,1111

111

t g z z z y

+== ,

22

2

22

22

t g z z E

z E I

+== &&& ,

22222 11

t g z z z y

+== ,

33

3

33

33

t m z z

E

z

E I

+==

&&& ,

33333

11

t m z z z y

+== ,

124

1

z y = ,

235

1

z y = ,

136

1

z y = .

Equações nodais do circuito da Figura 2.4.

Barra 1: )()()( 0113162141 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,

Barra 2: )()()( 0221243252 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,

Barra 3: )()()( 0331362353 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= .

Barra 0: )()()()( 303202101321 V V yV V yV V y I I I &&&&&&&&& −×+−×+−×=−−− .

A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Basta somar as equaçõesdas barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando-se termos das equações das barras 1, 2, 3 vem:

362416411 )( V yV yV y y y I &&&& ×−×−×++= ,

352542142 )( V yV y y yV y I &&&& ×−×+++×−= , (2.1)

365325163 )( V y y yV yV y I &&&& ×+++×−×−= .

Colocando-se as Equações 2.1 na forma matricial, tem-se para a matriz admitância nodal BARRAY :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−

−++−

−−++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

65356

55424

64641

3

2

1

V

V

V

y y y y y

y y y y y

y y y y y

I

I

I

&

&

&

&

&

&

. (2.2)

A Equação 2.2 é da forma V Y I BARRA && ×= , onde: I & é o vetor de injeção de corrente na rede por

fontes independentes, V & é o vetor de tensão nas barras em relação à referência e BARRAY é a matriz de

admitância de barra ou matriz de admitância nodal.

y1 1 I

& 3 I &2 I & y2 y3

y4 y5

y6

0

1 2 3


21/143


19

2.3.3 – Características de Y BARRA

1) Simétrica;2) Complexa;3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de

referência;

4) Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem;5) Os elementos da diagonal principal são positivos;6) Os elementos fora da diagonal principal são negativos;7) Os elementos da diagonal principal Ykk são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à

barra k;8) Os elementos fora da diagonal principal Ykj são o simétrico da soma das admitâncias que

ligam as barras k e j.

As características 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz Y BARRA por inspeção da rede.

Pode-se também escrever a equação V Y I BARRA && ×= como I Z V BARRA && ×= , onde1−= BARRA BARRA Y Z . A

matriz Z BAR RA é conhecida como matriz de impedância de barra ou matriz de impedância nodal.

2.3.4 – Características de Z BARRA

1) Simétrica;2) Complexa;3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de

referência;4) Matriz cheia.

Exemplo 2.1Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever V Y I BARRA && ×= que

corresponde ao diagrama unifilar da Figura 2.5, sabendo-se que 005,1 ∠=a E & ,07,365,1 −∠=b E & ,

005,1 ∠=c E & , zg = j1,15, zt = j0,1, z13 = j0,25, z14 = j0,2, z24 = j0,2, z34 = j0,125, z23 = j0,4 em valores por

unidade.

Figura 2.5 – Diagrama unifilar do exemplo 2.1

A Figura 2.6 mostra o diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5.

2

∼

a E & 1

∼

c E &

∼

b E &

4

3


22/143


20

Figura 2.6 – Diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5

A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitâncias onde todas as fontes de tensão foramtransformadas em fontes de corrente. A seguir os cálculos para a determinação dos parâmetros dosistema da Figura 2.7

Figura 2.7 – Diagrama unifilar de admitâncias do circuito da Figura 2.5

∼

07,365,1 −∠=b E &

∼

005,1 ∠=a E & 1

∼

005,1 ∠=c E &

4

3

2

j1,15+ j0,1

j0,2

j1,15+ j0,1

j1,15+ j0,1 j0,2

j0,125

j0,25

j0,4

y8 = – j5,0

1

4

3

2

01 902,1 −∠= I &

y5 = – j2,5

y7 = – j8,0

y4 = – j4,0

y1 = – j0,8

y2=– j0,8

y3 = – j0,8

y6 = – j5,0

02 87,1262,1 −∠= I &

03 902,1 −∠= I &

0


23/143


24/143


22

2.3.5.1 – Elementos de Y BAR RA

Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz admitância de barra:

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

V

V

V

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

I

I

I

&

&

&

&

&

&

.

Os elementos da matriz admitância de barra podem ser calculados pelo ensaio em curto-circuitoonde:

kk Y : admitância própria de curto-circuito da barra k ,

ik Y : admitância de transferência de curto-circuito entre as barras i e k .

Ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8: curto-circuito em todas as barras a exceção da

barra 1. Tem-se portanto 032 == V V && .

[ ]131

2111

3

21

V

Y

Y

Y

I

I

I

&

&

&

&

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01331

01221

01111

32

32

32

==

==

==

=⇒

=⇒

=⇒

V V

V V

V V

V I Y

V I Y

V I Y

&&

&&

&&

&&

&&

&&

.

A expressão geral de cada elemento da matriz admitância de barra relaciona o efeito à causa e é:

k jV k

iik

j

V

I Y

≠=

=,0&

&

&.

Verificação: ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8, ou seja, todas as tensões de barra,com exceção da barra 1 são zero.

)()()( 3162140111 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,

⇒×++= 16411 )( V y y y I && 116411

1 Y y y yV

I =++=

&

&.

)()()( 3251240222 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,

2141

2142 Y y

V

I V y I =−=⇒×−=

&

&&& .

),()()( 1362350333 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×=

3161

3163 Y y

V

I V y I =−=⇒×−=

&

&&& .

2.3.5.2 – Elementos de Z BARRA

Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz impedância de barra:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

I

I

I

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

V

V

V

&

&

&

&

&

&

.

Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito abertoonde:

kk Z : impedância própria de circuito aberto da barra k ,ik Z : impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k .


25/143


23

Ensaio de circuito aberto na barra 1 da Figura 2.8: fontes de corrente inoperantes ou mortas em

todas as barras com exceção da barra 1. Tem-se portanto 032 == I I && .

[ ]131

21

11

3

2

1

I

Z

Z

Z

V

V

V

&

&

&

&

×

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

01331

01221

01111

32

32

32

==

==

==

=⇒

=⇒

=⇒

I I

I I

I I

I V Z

I V Z

I V Z

&&

&&

&&

&&

&&

&&

.

A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:

k j I k

iik

j

I

V Z

≠=

=,0&

&

&.

Observações:

1) se a corrente 1 I & (corrente injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu, 111 V Z &= , 221 V Z &= ,

331 V Z &= , ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.

2) Z kk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes

de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin, )(Thkk kk Z Z = .

Pelo significado físico dos elementos de Y BAR RA e Z BAR RA evidencia-se que não há reciprocidadeentre estes elementos, ou seja, kmkm Z Y 1≠ .

Exemplo 2.2Resolva as equações nodais do Exemplo 2.1 para encontrar a matriz impedância de barra pela

inversão da matriz admitância de barra. Calcule então as tensões de barra.

Solução:

Invertendo-se a matriz BARRAY com auxílio da função inv( ) do MATLAB obtém-se:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

0

20,10

96,072,0

20,10

4733,04232,04126,04142,0

4232,04558,03922,04020,0

4126,03922,04872,03706,0

4142,04020,03706,04774,0

V

V

V

V

j

j

j

j j j j

j j j j

j j j j

j j j j

&

&

&

&

.

O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada, ou seja:

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−∠

−∠

−∠

−∠

=⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0

0

0

0

4

32

1

97,11432,1

36,11434,1

24,14427,1

71,10436,1

2971,04009,1

2824,04059,1

3508,03830,1

2668,04111,1

j

j

j

j

V

V

V

V

&

&

&

&

.

Exemplo 2.3

Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referênciado circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4.

A impedância do capacitor é: 0,5 j zC −= pu.

Z 44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.

4V & é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado.

Z 44 é obtido invertendo-se a matriz BARRAY . A matriz BARRA Z está mostrada acima, logo Z 44 = j0,47e 4V

& , também mostrado acima vale 04 97,11432,1 −∠=V & . A Figura 2.9 mostra o circuito de Thèvenin emquestão.


26/143


24

Figura 2.9 – Equivalente de Thèvenin por elemento de BARRA Z

Solução:

00

44

4 03,783163,00,54733,0

97,11432,1

0,5 ∠=

−−∠

=−

= j j j Z

V I capacitor

&& .

A nova tensão da barra 4 passa a ser: 00 97,11582,10,503,783163,0 −∠=−×∠ j .

Notar que a nova tensão na barra 4 aumentou de valor.

Exemplo 2.4Se uma corrente de 003,783163,0 ∠− pu é injetada na barra 4 do exemplo 2.2 (esta é a mesma

corrente que passa pelo capacitor) com todas as outras fontes mantidas, encontre as tensões nas barras1, 2, 3, 4. Notar que não existe capacitor neste exemplo.

Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tensões nodais somente devidas a esta correnteinjetada pode ser calculada a partir da matriz Z BAR RA. Basta multiplicar a matriz Z BAR RA pelo vetor

corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz Z BAR RA pela corrente003,783163,0 ∠− .

Efetuando-se esta operação vem:

004141 97,111309,04142,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,

004242 97,111304,04126,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,

004343 97,111337,04232,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,

004444 97,111496,04733,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu.

Para se determinar as novas tensões nas barras pode-se utilizar a superposição, adicionando-se as

tensões das barras somente devidas às fontes de corrente 1 I & , 2 I & , 3 I & com as tensões das barras devidas

à fonte de corrente de 003,783163,0 ∠− .

0001 81,10567,197,111309,071,10436,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,

0002 04,14557,197,111304,024,14427,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,

0003 41,11568,197,111337,036,11434,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,

0004 97,11582,197,111496,097,11432,1 −∠=−∠+−∠=V & pu.

Observar que a tensão da barra 4 é a mesma da do exemplo 2.3.

capacitor I &

4V

&

∼

Z 44

– j5,0

0

4


27/143


25

2.4 – Redução da rede

2.4.1 – Objetivo

As matrizes impedância de barra e admitância de barra de um sistema elétrico real são muitograndes, dimensão da ordem de milhares. Nos estudos não é necessário se conhecer a tensão em todasas barras do sistema, logo seguem técnicas para reduzir a dimensão da rede, eliminando-se trechos não prioritários da rede para o estudo em questão.

2.4.2 – Eliminação de barra

Seja a rede elétrica representada pela matriz admitância de barra. A eliminação se processa paraduas diferentes situações:

a) não existe fonte de corrente na barra a ser eliminada, b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.

2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente

Particionamento da matriz. Ordenam-se as equações de tal forma que todas as barras sem fontefiquem juntas e na parte inferior da matriz.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

V

V

V

V

V

Y Y Y

Y Y

I

I

I

I

I

BBt

AB BA

AB AA

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

.

Supondo-se 0= B I & ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

B

A

BBt

AB

AB AA

B

A

V

V

Y Y

Y Y

I

I

&

&

&

&,

B AB A AA A V Y V Y I &&& ×+×= ,

At

AB BB B B BB At

AB B V Y Y V V Y V Y I &&&&& ××−=→=×+×= −10 .

Substituindo-se o valor de BV & na equação de A I & vem:

At

AB BB AB A AA A V Y Y Y V Y I &&& ×××−×= −1 .

Agrupando-se termos vem:

( ) AY t

AB BB AB AA A V Y Y Y Y I A

&4 4 4 4 34 4 4 4 21

&

×××−=

−1

, que está na forma A A A V Y I &&

×= .

A ordem da matriz Y A neste exemplo é a do número de barras com fonte de corrente.

Exemplo 2.5.Eliminação de apenas uma barra do sistema de três barras da Figura 2.8 com 03 = I & .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

2

1

0 V

V

V

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

I

I

&

&

&

&

&

[ ] [ ]32311

3323

13

2221

1211Y Y Y

Y

Y

Y Y

Y Y Y A ××⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= − .

A I &

B I &

BV &

AV &

A I &

B I &

BV &

AV &


28/143


26

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−

×−

×−

×−

=

33

322322

33

312321

33

321312

33

311311

Y

Y Y Y

Y

Y Y Y

Y

Y Y Y

Y

Y Y Y

Y A .

Esta matriz representa um sistema equivalente ao sistema de três barras, agora com dimensão 2×2.Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminação da barra n é:

nn

njin

ijijY

Y Y Y Y

×−=' ,

que é chamada de eliminação de Kron.Para maior eficiência computacional deve-se evitar a inversão da matriz Y BB. O procedimento é

então o de eliminar uma barra por vez, aplicando-se a eliminação de Kron tantas vezes quanto onúmero de barras a serem eliminadas.

A partir de Y A pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas barras,mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz Y BAR RA 2 × 2 são:

3111 ''' y yY += , 3222 ''' y yY += , 32112 ''' yY Y −== .Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, y'2, y'3.

Figura 2.10 – Sistema equivalente ao sistema de três barras

Exemplo 2.6Eliminar as barras 3 e 4 do sistema da Figura 2.11 sabendo-se que estas não têm fonte. Desenhar o

circuito equivalente com estes nós eliminados e calcular as potências ativa e reativa injetadas ou

absorvidas em cada barra. 01 902,1 −∠= I & ,0

2 87,1262,1 −∠= I & .

Figura 2.11 – Sistema para a eliminação das barras 3 e 4

1 I & y'1

2 I & y'2

y'3

0

1 2

1

43

2

1 I &

y5 = – j2,5

y7=– j8,0

y4 = – j4,0

y1 = – j0,8

y2 = – j0,8

y6 = – j5,0

y8 = – j5,02 I

&


29/143


27

V Y I BARRA&& ×=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

0,180,80,50,50,85,145,20,4

0,55,23,80,0

0,50,40,08,9

j j j j

j j j j

j j j

j j j

Y BARRA .

Eliminação da barra 4.

41,80,18

0,50,58,9'11 j

j

j j jY −=

−×

−−= ,

39,10,18

0,50,50,0'' 2112 j

j

j jY Y =

−×

−== ,

22,60,18

0,80,50,4'' 3113 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

91,60,18

0,50,53,8'22 j j

j j jY −=

−×−−= ,

72,40,18

0,80,55,2'' 3223 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

94,100,18

0,80,85,14'33 j

j

j j jY −=

−×

−−= .

Após a eliminação da barra 4 a matriz Y BAR RA fica:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=94,1072,422,6

72,492,639,1

22,639,141,8

'

j j j

j j j

j j j

Y BARRA .

Eliminando-se agora a barra 3 vem:

87,494,10

22,622,641,8'' 11 j

j

j j jY −=

−×

−−= ,

07,494,10

72,422,639,1'''' 2112 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

87,494,10

72,472,491,6'' 22 j

j

j j jY −=

−×

−−= .

Após a eliminação das barras 4 e 3 a matriz Y BAR RA fica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

87,407,4

07,487,4''

j j

j jY BARRA .

A Figura 2.12 mostra o sistema de duas barras, que tem a matriz Y BAR RA como acima, equivalente aosistema da Figura 2.11 de quatro barras.

2 431

2 31


30/143


28

Figura 2.12 – Circuito equivalente após a eliminação das barras, sem fonte, 4 e 3

Para se calcular os valores dos elementos do circuito da Figura 2.12 basta aplicar as regras daconstrução da matriz Y BAR RA e resolver o sistema. Tem-se então:

87,4'''''' 31)11( j y yY BARRA −=+= , 87,4'''''' 32)22( j y yY BARRA −=+= ,

07,4'''''' 3)21()12( j yY Y BARRA BARRA =−== .

Resolvendo-se o sistema vem:07,4'' 3 j y −= , 80,007,487,4'''' 21 j j j y y −=+−== .

Para se calcular a potência injetada em cada barra, basta calcular primeiramente as tensões nas barras. Tem-se que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

87,407,4

07,487,4

V

V

j j

j j

I

I

&

&

&

&,

onde o vetor corrente é conhecido. Utilizando-se o programa MATLAB para inverter a matriz Y BAR RA com a função inv(Y BAR RA) vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

68,057,0

57,068,0

I

I

j j

j j

V

V

&

&

&

&,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠

−∠×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0

2

1

87,1262,1

902,1

68,057,0

57,068,0

j j

j j

V

V

&

&,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠

−∠=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0

2

1

14,2042,1

73,1642,1

49,034,1

41,036,1

j

j

V

V

&

&.

000*

111 27,7371,1902,173,1642,1 ∠=∠×−∠=×= I V S &&&

,64,149,01 jS +=& ,

000*222 73,10671,187,1262,114,2042,1 ∠=∠×−∠=×= I V S &&& ,

64,149,02 jS +−=& .

Perdas na linha de transmissão:0

21 63,710849,00806,00268,0 ∠=+=− jV V && ,00

21312 37,183460,0)63,710849,0()07,4()('' −∠=∠×−=−×= jV V y I &&& .

y''1 01 902,1 −∠= I & 02 87,1262,1 −∠= I &

y''2

y''3

0

1 2


31/143


29

Potência injetada na linha a partir da barra 1:

)37,183460,0()73,1642,1( 00*12112 ∠×−∠=×= I V S &&& ,

014,049,064,149,0 012 jS +=∠=& .

Potência injetada na linha a partir da barra 2:

)37,1835,0()14,2042,1( 00*21221 ∠−×−∠=×= I V S &&& ,015,049,022,17849,0 021 jS +−=∠=& .

029,02112 jS S =+ && .

A potência reativa consumida na linha também pode ser calculada por:

029,007,434,0'' 23212 == y I .

Perda reativa na admitância do gerador 1:

621,18,042,1'' 212

11 =×=×= yV Q .

Perda reativa na admitância do gerador 2:

621,18,042,1'' 222

22 =×=×= yV Q .

Perda reativa total:Qtotal = 0,029 + 1,621 + 1,621 = 3,271.

Potência total injetada no sistema:

64,149,064,149,021 j jS S S total +−+=+= &&& ,

27,3 jS total =& .

2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente

A eliminação de barra onde existe fonte de corrente é semelhante a eliminação de Gauss. Estemétodo também vale quando não existe fonte de corrente na barra eliminada, sendo a fonte de correntenula um caso particular.

A eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz triangularsuperior. Com isto encontra-se o valor de uma variável e, por substituição todas as demais variáveis.Quando da eliminação de barra com fonte pode ocorrer que uma barra, originalmente sem fonte, fiquecom fonte.

A eliminação de Gauss consiste de duas etapas:a) normalização da primeira equação, b) eliminação da variável pivotada nas outras equações.

Seja o sistema V Y I BARRA && ×= de dimensão três por três, escrito na forma estendida a seguir.

3232131333 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,

1212111313 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,

2222121323 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× .

a) Normalização da primeira equação.

Dividindo-se a primeira linha por 33Y e mantendo-se as outras linhas inalteradas vem:

33

32

33

321

33

3131

Y

I V

Y

Y V

Y

Y V

&&&& =×+×+× ,

1212111313 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,2222121323 I V Y V Y V Y

&&&& =×+×+× .


32/143


30

b) Eliminação da variável pivotada 3V & nas demais equações.

Basta fazer a operação assinalada a seguir, onde o termo primo substitui a linha original.

11322' LY L L ×−=

12333' LY L L ×−=

33

32

33

321

33

3131

Y

I V Y

Y V Y

Y V &&&& =×+×+× ,

133

31312

33

3213121

33

3113113 '0 I

Y

I Y I V

Y

Y Y Y V

Y

Y Y Y V &

&&&&& =

×−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+× ,

233

32322

33

3223221

33

3123213 '0 I

Y

I Y I V

Y

Y Y Y V

Y

Y Y Y V &

&&&&& =

×−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+× .

O sistema ficou então reduzido a:

1212111 ''' I V Y V Y &&& =×+× ,

2222121 ''' I V Y V Y &&& =×+× .

A formação do termo ijY ' é a mesma da redução de Kron para a eliminação da barra n, ou

seja,nn

njinijij

Y

Y Y Y Y

×−=' .

A formação das novas correntes injetadas énn

ninii

Y

I Y I I

&&& ×−=' para a eliminação da barra n.

A Figura 2.13 mostra o circuito equivalente sem a barra 3.

Figura 2.13 – Redução de sistema de três barras com fonte de corrente na barra eliminada

Exemplo 2.7.

Eliminar as barras 4 e 3 do sistema da Figura 2.7, cuja equação V Y I BARRA && ×= está repetido aseguir.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠

−∠

−∠

4

3

2

1

0

0

0

0,180,80,50,5

0,83,155,20,4

0,55,23,80,0

0,50,40,08,9

0,0

902,1

87,1262,1

902,1

V

V

V

V

j j j j

j j j j

j j j

j j j

&

&

&

&

.

Eliminação da barra 4 do sistema da Figura 2.7.

41,80,18

0,50,58,9'11 j j

j j jY −=−

×−−= ,

y'11' I & 2' I & y'2

y'3

0

1 2


33/143


31

39,10,18

0,50,50,0'' 2112 j

j

j jY Y =

−×

−== ,

22,60,18

0,80,50,4'' 3113 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

91,6

0,18

0,50,53,8'22 j

j

j j jY −=

−

×−−= ,

72,40,18

0,80,55,2'' 3223 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

74,110,18

0,80,83,15'33 j

j

j j jY −=

−×

−−= .

Após a eliminação da barra 4 o sistema fica:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−∠−∠

−∠

3

2

1

0

0

0

74,1172,422,672,491,639,1

22,639,141,8

902,187,1262,1

902,1

V V

V

j j j j j j

j j j

&

&

&

.

Eliminação da barra 3.

11,574,11

22,622,641,8'' 11 j

j

j j jY −=

−×

−−= ,

89,374,11

72,422,639,1'''' 2112 j

j

j j jY Y =

−×

−== ,

01,5

74,11

72,472,491,6'' 22 j

j

j j jY −=

−

×−−= .

000

01 9084,184,164,0902,174,11

902,122,6902,1' −∠=−=−−∠=

−−∠×

−−∠= j j j

j I & ,

000

02 53,11661,148,087,1262,174,11

902,172,487,1262,1' −∠=−−∠=

−−∠×

−−∠= j j

j I & .

Após a eliminação da barra 3 o sistema fica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠

−∠

2

10

0

01,589,3

89,311,5

53,11661,1

9084,1

V

V

j j

j j

&

&.

A Figura 2.14 mostra o circuito equivalente do sistema no qual foram eliminadas a barra 4, que nãotinha fonte, e a barra 3, que tinha fonte.

Figura 2.14 – Circuito equivalente com eliminação de barra que contém fonte

02 53,11661,1'' −∠= I &

01 9084,1'' −∠= I &

–j3,89

0

1 2

–j1,22 –j1,12

2 31


34/143


35/143


33

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

lk

ji

klm

mij

kl

ij

V V

V V

y y

y y

I

I

&&

&&

&

&,

onde a matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento. Expandindo-se a equaçãoacima vem:

lmk m jijiijij V yV yV yV y I &&&&& ×−×+×−×= ,

lmk m jijiij ji V yV yV yV y I &&&&& ×+×−×+×−= ,

lklk kl jmimkl V yV yV yV y I &&&&& ×−×+×−×= ,

lklk kl jmimlk V yV yV yV y I &&&&& ×+×−×+×−= .

Sabendo-se que iij I I && = , j ji I I && = , k kl I I && = , llk I I && = e colocando-se a equação acima em forma

matricial tem-se:

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

l

k

j

i

klklmm

klklmm

mmijij

mmijij

l

k

j

i

V V

V

V

y y y y y y y y

y y y y

y y y y

I I

I

I

&&

&

&

&&

&

&

.

Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Y BARRA sem mútua.

Regra prática para a montagem da matriz Y BARRA com mútuas:

1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua;2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva;3) Montar a matriz Y BAR RA sem considerar a admitância mútua ym;4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais

igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais

marcados diferentemente.

A Figura 2.18 mostra o circuito equivalente do circuito da Figura 2.17 com mútuas.

Figura 2.18 - Circuito equivalente com elementos acoplados

Exemplo 2.8.Sejam z12 = z34 = j0,25 pu e zm = j0,15 pu como mostrados na Figura 2.19. Determinar a matriz

Y BAR RA do sistema.

Figura 2.19 - Circuito referente ao exemplo

yij

ykl

ym

ym

–ym –ym

lk

ji

z34

zm

z12 1

3

2

4


36/143


34

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

34

12

43

21

25,015,0

15,025,0

I

I

j j

j j

V V

V V

&

&

&&

&&,

onde a matriz acima é a matriz Z primitiva. A matriz Y primitiva é a inversa de Z primitiva.

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−=

25,675,3

75,325,6

j j

j jY

PRIMITIVA

,

75,3 j ym = , 25,63412 j y y −== .

i) Sem acoplamento.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

25,625,600

25,625,600

0025,625,6

0025,625,6

j j

j j

j j

j j

Y BARRA

ii) Considerando-se o acoplamento.

Basta acrescentar + ym em (1,3), (2,4), (3,1), (4,2) e acrescentar – ym em (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−−+

+−−

−+−

=

25,625,675,3075,30

25,625,675,3075,30

75,3075,3025,625,6

75,3075,3025,625,6

j j j j

j j j j

j j j j

j j j j

Y BARRA .

Exemplo 2.9.Sejam 25,02313 j z z == pu, 15,0 j zm = pu. Determinar a matriz admitância de barra do circuito da

Figura 2.20.

Figura 2.20 - Exercício de cálculo da matriz admitância de barra com mútuas

Inicialmente determina-se a matriz impedância primitiva, invertendo-se esta determina-se a matrizadmitância primitiva, determina-se a matriz admitância de barra sem se considerar as mútuas e depoisinclui-se as mútuas seguindo os passos do algoritmo.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=25,015,015,025,0

j j

j j Z PRIMITIVA , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=25,675,3

75,325,6 j j

j jY PRIMITIVA .

i) matriz admitância de barra sem se considerar as admitâncias mútuas é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−

−

−

=

25,625,65,1225,625,6

25,625,60

25,6025,6

j j j j j

j j

j j

Y BARRA .

ii) matriz admitância de barra com as admitâncias mútuasCom a polaridade indicada no enunciado do exercício, m y+ deve ser adicionado aos elementos

(3,3), (1,2), (3,3), (2,1) e m y− deve ser adicionado aos elementos (3,2), (1,3), (3,1), (2,3).Incluindo-se as mútuas na matriz acima vem:

z13

z23

zm

1 I &

2 I &

3 I & 3

2

1


37/143


35

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−=−−=−=

−=−+

−=+−

=

75,375,35,120,575,325,65,275,325,65,2

75,325,65,225,675,30

75,325,65,275,3025,6

j j j j j j j j j j

j j j j j

j j j j j

Y BARRA .

A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz Y BAR RA encontrada com a utilização da

regra acima.

211331 I z I zV V m&&&& ×+×=− ,

223132 I z I zV V m&&&& ×+×=− .

321 I I I &&& −=+ , logo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

2

1

23

13

32

31

I

I

z z

z z

V V

V V

m

m

&

&

&&

&&, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

32

31

23

13

2

1

V V

V V

y y

y y

I

I

m

m

&&

&&

&

&,

31321131323131131 )( V y yV yV y I V yV yV yV y I mmmm &&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,

32322312323223312 )( V y yV yV y I V yV yV yV y I mmmm &&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,

3231322311321 )2()()( V y y yV y yV y y I I mmm &&&&& ××−−−+×++×+=+ ,

323132231133 )2()()( V y y yV y yV y y I mmm &&&& ××+++×−−+×−−= .

Em forma matricial vem:

⎥⎥�

análise de sistema de potência - carmen lucia

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