analisi in frequenza -...
TRANSCRIPT
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
1
ANALISI IN FREQUENZA
Consideriamo una funzione periodica ( qi(t) = qi(t+T) ), di periodo T.
Se soddisfa le condizioni di Dirichelet (singolo valore, finita, numero finito di
discontinuità, massimi e minimi in un periodo), può essere rappresentata come
somma di componenti sinusoidali (Serie di Fourier).
x t aT
an t
Tb sin
n t
Tn nn( )
/( cos
/ /)
0 1
1
2 2 2
dove:
aT
x t dtT
T
0 2
21
( )
/
/
aT
x tt
Tdtn T
T
2 2
22
2
( )cos//
/
bT
x t sint
Tdtn T
T
2 2
22
2
( )//
/
Il numero di termini sarebbe infinito ma generalmente si approssima ad un numero
finito significativo.
In generale utilizzeremo un numero tanto più elevato di termini quanto più rapide
sono le variazioni di qi(t).
I vari elementi costitutiscono lo Spettro di Vibrazione in Frequenza.
Vibrazioni Periodiche producono spettri formati da linee discrete mentre per
Vibrazioni Random gli spettri sono continui e non sono applicabili i discorsi sin qui
svolti.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
2
Si utilizzano due modi tradizionali per eseguire l’analisi in frequenza di un
segnale:
1) la tecnica digitale di analisi attraverso l’utilizzo di filtri di frequenza,
2) la tecnica digitale di analisi consistente nella valutazione diretta numerica della
trasformata di Fourier (DFT, FFT)
Utilizzo dei Filtri di frequenza. Per rilevare le singole componenti in
frequenza che costituiscono il segnale a banda larga si ricorre ad un filtro che lascia
passare solo quelle parti del segnale che sono contenute in una stretta banda di
frequenza. Il passabanda del filtro viene spostato sequenzialmente sull’intero
campo di interesse in modo da ottenere letture separate dei livelli di vibrazione per
ciascuna banda.
Il filtro può essere costituito da un certo numero di filtri singoli, adiacenti, a
frequenza fissa, che vengono esplorati sequenzialmente in frequenza mediante
commutazione, oppure, la copertura continua della gamma di frequenze può
essere ottenuta mediante un unico filtro singolo mobile, sintonizzabile.
Esistono due tipi fondamentali di filtro: il filtro a larghezza di banda costante che
ha una ampiezza di banda costante, e il filtro a percentuale costante di
ampiezza di banda in cui la banda del filtro è una percentuale costante della
frequenza centrale.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
3
La Trasformata di Fourier
Una funzione x(t) che soddisfa la condizione x t dt( )
può essere
rappresentata dalla sua Trasformata di Fourier, vale a dire dall’integrale:
X i x t e dt x t t dt i x t sin t dtii t
i i( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( )
e cioè da uno Spettro Continuo.
Risulta:
X i X iq
qiO I
o
i
( ) ( )
La Funzione di Trasferiemnto Sinusoidale caratterizza in modo completo il
comportamento dinamico di un sistema.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
4
Nella analisi numerica si utilizza la DFT o Trasformata Discreta di Fourier che.
come dice il nome, non è altro che la discretizzazione della forma prima esposta.
Per tale rappresentazione una funzione che è definita solo in N punti discreti (per t =
tk , con k =1,N) può essere rappresentata da una serie finita:
X kN
x ni kn
N
n
N
e( ) ( )
1 2
0
1
l’indice k=0, 1, ..., N-1 si riferisce alle frequenze fk
N tkc
1
l’indice n si riferisce agli istanti di campionalento t n tn c
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
5
E’ da notare che:
la DFT è la forma dell’Analisi di Fourier più utilizzata negli analizzatori digitali di
spettro;
la DFT assume necessariamente che la funzione x(t) sia periodica;
la rappresentazione DFT è valida solo per lo specificato valore xk (x(t) per t = tk )
usato nella descrizione discretizzata della x(t);
nella DFT la Trasformata di Fourier è descritta da N valori.
Un algoritmo estremamente efficiente per calcolare la DFT è la FFT (Fast
Fourier Trasform). Tale algoritmo è quello utilizzato per il calcolo della DFT in tutti
o quasi gli analizzatori di spettro.
Quindi attraverso l’utilizzo delle DFT e/o FFT (analizzatori di spettro) si
valutano gli Spettri delle funzioni ingresso f(t) e uscita x(t).
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
6
La Funzione Risposta in Frequenza
Un modello molto efficace di sistema lineare è costituito da un modello nel
dominio della frequenza, nel quale lo spettro in uscita è espresso come lo spettro in
ingresso ponderato da un descrittore del sistema:
X() = H() F()
Questo descrittore del sistema H() è chiamato Funzione Risposta in
Frequenza (FRF),ed è definito come:
H() = X() F()
rappresenta il rapporto complesso tra uscita ed ingresso, in funzione della
frequenza . Il termine "complesso" indica che la funzione ha una magnitudine
H() ed una fase H()=().
L'interpretazione fisica di FRF è la seguente: una forza sinusoidale in
ingresso, alla frequenza , produrrà un movimento sinusoidale in uscita avente la
stessa frequenza. L'ampiezza dell'uscita sarà moltiplicata per un valore |H()| e la
fase, tra l'uscita e l'ingresso, sarà spostata di un valore H().
Poiché ci siamo imposti di trattare solo con sistemi lineari, ogni spettro
ingresso/uscita può essere considerato come la somma di sinusoidi. La FRF
descrive le proprietà dinamiche di un sistema, indipendentemente dal tipo di
segnale usato per la misura. La FRF è quindi egualmente applicabile all'eccitazione
armonica, transiente o casuale.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
7
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
8
La definizione di FRF comporta che, nel misurare una funzione specifica, le
misure possono essere eseguite in modo sequenziale, a frequenze distinte, o
simultaneamente, a diverse frequenze. Una tecnica utile consiste nell'usare una
forza d'eccitazione ad ampia larghezza di banda di frequenza. Questo riduce in
modo notevole il tempo di misura, rispetto all'eccitazione sinusoidale, nella quale
viene misurata una sola frequenza alla volta.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
9
TRASFORMATA DI FOURIER
Interpretazione grafica
INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Trasformata di Fourier diretta Qi(i) di un ingresso transitorio q
i(t), che è zero
per t < 0, è data da:
Q i q t t dt i q t sin t dti i i( ) ( )cos( ) ( ) ( )
0 0
Si consideri un transitorio che si estingue dopo un tempo t0;
Si scelga un valore numerico di , per esempio 1;
cos(1t) è una curva perfettamente definita e può essere disegnata rispetto al
tempo;
Si moltiplichi qi(t) e cos(
1t) punto per punto per ottenere una curva
qi(t)cos(
1t);
Si integri con un appropriato metodo numerico o grafico la curva qi(t)cos(
1t)
da t=0 a t=t0;
Si indichi il valore numerico dell'integrale (area sottesa dalla curva) con a1;
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
10
Si ripeta la procedura per qi(t)sin(
1t) e si indichi il valore dell'integrale con
b1;
Qi(i1)=a1+ib
1
Si ripeta per ogni frequenza desiderata in modo da ottenere una curva di
Qi(i1) in funzione di
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
11
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
12
DOMINIO DEL TEMPO E DOMINIO DELLA FREQUENZA.
010
2030
40
0
0.5
1
1.5-5
0
5
tHz
V
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
13
DIFFERENZA NEL CONTENUTO IN FREQUENZA DI UN TRANSITORIO LUNGO O
BREVE.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
14
SPETTRO IN FREQUENZA DI UN IMPULSO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
15
INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA TRASFORMATA INVERSA DI FOURIER
q t Q i t di i( ) Re[ ( )]cos( )
0
t > 0
qi(t) = 0 t < 0
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
16
SPETTRO LINEARE (Densità Spettrale quadratica media)
Lo spettro lineare è la Trasformata di Fourier di un segnale x(t).
S f F x tx ( ) [ ( )]
Esso da informazioni sia sull’ampiezza che sulla fase per ogni frequenza della
banda di analisi.
AUTOSPETTRO
L’autospettro è l’ampiezza al quadrato dello spettro lineare, cioè:
G f S f S fxx x x( ) ( ) ( )*
L’autospettro è quindi una funzione che contiene solo informazioni riguardanti
l’ampiezza, non la fase.
CROSS SPETTRO (Densità Spettrale quadratica media incrociata)
Il cross spettro è una misura della potenza mutua tra due segnali per ogni
frequenza della banda di analisi. È definito come:
G f S f S fyx y x( ) ( ) ( )*
Il cross spettro contiene informazioni sia sull’ampiezza che sulla fase.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
17
LA COERENZA
La funzione di coerenza costituisce un mezzo per stabilire il grado di linearità tra
i segnali di ingresso e di uscita.
( )
( )
( ) ( )
2
2
G
G G
xy
xx yy
dove:
Gxy ( ) Cross Spettro
Gxx ( ) Autospettro
0 12 ( )
I valori limiti della coerenza sono: 1, nel caso di assenza di rumore nelle misure,
0 nel caso di rumore puro nelle misure.
In altre parole risulta: G G GXF XX FFy( ) ( ) 2
, cioè se qualsiasi autospettro
contiene del rumore non coerente, il valore del cross spettro elevato al quadrato
sarà inferiore al prodotto degli autospettri. Questo perché i contributi del rumore
non coerente sono mediate dal cross spettro.
La funzione di coerenza per ogni frequenza indica il grado di relazione lineare
tra il segnale d’ingresso misurato ed il segnale di uscita. La funzione di coerenza
è analoga al coefficiente di correlazione, al quadrato, usato nel campo statistico.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Istituto di Energetica
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Analisi in Frequenza
18