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ANALISIS CINEMATICO DE UN ROBOT BIPEDO

DE 12 GDL INTERNOS

O. Narvaez-Aroche, E. Rocha-Cozatl†, F. Cuenca-Jimenez ‡

Departamento de Mecatronica†, Posgrado en Ingenierıa ‡; Facultad de Ingenierıa, UNAM

Tel. (52 55) 56 22 80 50 y 51, ext. 129. Fax (52 55) 56 22 80 50 y 51, ext. 128

[email protected], [email protected]

Resumen

En este trabajo se presenta el analisis cinematico de un robotbıpedo de 12 GDL internos que ha sido usado para la obtenciondel modelo dinamico del robot. La publicacion de este ultimomodelo se hara posteriormente.

Se selecciono un robot Scout Lynxmotion c⃝ por ser un robotantropomorfico de movimiento tridimensional, cuyo estudioaportara informacion valiosa para el desarrollo del proyecto conel que se colabora.

Ante la falta de referencias bibliograficas que contengan ex-plıcitamente el modelo matematico de un robot similar y conel fin de estudiar y controlar la locomocion bıpeda, el primerpaso para obtener un modelo completo fue realizar el analisiscinematico.

En este trabajo, por razones de espacio solo se reporta lomas representativo del analisis cinematico del robot, el cual seevalua entonces por medio de simulaciones numericas.

Abstract

In this paper we present the kinematic analysis of a 12-internal-DOF biped robot, which has been used to obtain itsdynamical model. We have chosen a Scout Lynxmotion c⃝ robotbecause it is three-dimensional and anthropomorphic, so itsstudy will provide valuable information to the project we arecollaborating with. Since there are few contributions that con-tain explicit models of similar robots, our first goal was to gen-erate a kinematic-dynamic model that will let us study andcontrol the biped’s locomotion. As the space is limited, this pa-per is restricted to the presentation of the representative stepsof the kinematic analysis, which is then evaluated by numericalsimulations. The dynamic model will be published later on.

Nomenclatura

�ni Angulo de rotacion del eje del servomotor que transfiere sumovimiento al eslabon ni.

xni, yni, zni Parametros geometricos del bıpedo correspondien-tes a las distancias de sus eslabones ni.

pni Punto ni.

(O; i0, j0,k0) Marco de referencia inercial constituido por losvectores unitarios mutuamente ortogonales i0, j0,k0, conorigen en el punto O.

(pni; imi, jmi,kmi) Marco de referencia local mi constitui-do por los vectores unitarios mutuamente ortogonalesimi, jmi,kmi, con origen en el punto pni.

Tzi Matriz de transformacion homogenea basica.

Tmi,(m+1)i Matriz de transformaciones homogeneas del marcode referecia mi al (m+ 1) i.

rmini Vector de posicion ni respecto al marco de referencia mi.

rmiGni Vector de posicion del centro de gravedad ni respecto al

marco de referencia mi.

Rx Matriz de rotacion basica.

Rmi(m+1)i

Matriz de rotacion de la base (m+ 1) i a la mi.

vmini , !

mini , a

mini , �

mini Vectores de velocidad, velocidad angu-

lar, aceleracion, aceleracion angular ni respecto al marco

de referencia mi, respectivamente.

Introduccion

La presente contribucion contiene los primerosavances que se han obtenido en el estudio de lacaminata de robots bıpedos con el fin de aportarese conocimiento al desarrollo del proyecto PAPIITIN109109; el cual tiene como objetivo disenar y poneren marcha una ortesis que restituya la movilidad apersonas que poseen alguna discapacidad de miembroinferior.

Con respecto al estudio existente de la caminatabıpeda, se ha encontrado que a pesar de la naturalezade la locomocion del ser humano, su ambicion por re-producir su caminata en una maquina es muy recientecomparado con el tiempo que ha invertido para apor-tar soluciones en materia de otros medios de trans-porte terrestres, marıtimos e inclusive aereos.

En la decada de 1970 se formalizo la inquietud deconstruir robots bıpedos en instituciones academicasde Japon y Yugoslavia, buscando en un principio suestabilidad estatica; es decir, tomando como condicionde equilibrio que la proyeccion del centro de gravedadde los robots sobre su plano de desplazamiento du-rante la caminata siempre se mantuviera en el con-junto convexo formado por sus puntos de contacto condicho plano.

Mas adelante, se establecieron otros criterios de es-tabilidad para la caminata de robots bıpedos tales co-mo el criterio del punto de momento cero (o ZMP, porsus siglas en ingles), el cual sento las bases teoricas

MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO

Derechos Reservados © 2010, SOMIMISBN: 978-607-95309-3-8

de la estabilidad dinamica de la locomocion que ocu-pan los robots mas versatiles de la actualidad, comolos construidos por el Instituto de Tecnologıa de Mas-sachusetts, la Universidad de Waseda y la companıaHonda.

Para poder aplicar dicho criterio en el control deciclos de marcha dinamicamente estables, es necesarioobtener el modelo dinamico de los bıpedos. Sin embar-go, dado que los autores que encabezan los desarrollosteoricos y tecnologicos en esta area conservan granparte de sus avances en documentos confidenciales; larevision del estado del arte sobre modelos de robotsbıpedos arrojo un numero muy bajo de aportacionesutiles. Si bien se encontraron los modelos cinematicoy dinamico (basado en la formulacion Newton-Euler)de un bıpedo tridimensional con juntas esfericas en [8]y las ecuaciones dinamicas para el movimiento de unbıpedo bidimensional en [4], ninguno de estos propor-cionaba la informacion adecuada para analizar nuestrorobot. Menos aun resultan utiles para implementar es-quemas de control basados en modelos Euler-Lagrangecomo los descritos en [5]. En otro conjunto de publi-caciones se omite la presentacion explıcita de modelosdinamicos, optandose por la exposicion de modelosparametrizados de tipo pendulo invertido que tienencomo unico fin la planificacion de las trayectorias de-seadas para el ZMP de los robots [7],[6],[3].

Lo anterior nos lleva al objetivo del trabajo del cualse presenta aquı la primera parte: deducir los mode-los cinematico y dinamico con la formulacion Euler-Lagrange de un bıpedo Scout Lynxmotion (figura 1)con el fin de sentar las bases del desarrollo del controlde este tipo de robots en la UNAM.

Figura 1: Robot de interes: Scout Lynxmotion c⃝

En la seccion 1 se describe la configuracion simplifi-cada del robot en que se sustenta el analisis cinematicode la seccion 2, donde se incluye el analisis de su posi-cion, velocidad y aceleracion; aunque por limitacionesde espacio no se desarrollan completamente las dosultimas. El modelo es verificado por medio de simula-

ciones en la seccion 3 y en la ultima seccion se presen-tan las conclusiones de esta fase de la investigacion yse comenta el trabajo futuro.

1. Arquitectura del Bıpedo

El bıpedo Scout esta constituido por piernas de seiseslabones unidas entre sı mediante un eslabon centralal que, equiparando la arquitectura del robot con laanatomıa de un ser humano, se le denominara torso.Sus trece eslabones se conectan en serie a traves dejuntas rotacionales actuadas por servomotores.

En la figura 2 se presenta el modelo simplificado delensamble CAD del bıpedo en la configuracion espacialque se denotara como posicion neutral. El torso seidentifica con la letra B y los eslabones de las piernascon las etiquetas ni; donde 1 ≤ n ≤ 6 se encuentradeterminada por su distribucion en relacion al torso,correspondiendo n = 1 a los eslabones unidos a estey n = 6 a los que cumplen el papel de pies. Se asignai = 1 a los eslabones de la pierna izquierda e i = 2 alos de la derecha.

Las juntas se representan por medio de cilindroscuyos ejes coinciden con los de los servomotores en elmodelo fısico y se unen entre sı a traves de barras.La rotacion de los ejes de los servomotores se descri-bira por medio de los angulos �ni, siendo ni la etiquetadel eslabon sujeto a su eje y la de su barra correspon-diente en el modelo simplificado. De acuerdo a la clasi-ficacion propuesta en [9], Scout es un bıpedo tridimen-sional antropomorfico, por tanto una analogıa con laanatomıa humana es valida: los seis angulos mostra-dos en rojo conceden al bıpedo los GDL de la cadera,los dos en verde proporcionan el movimiento de lasrodillas y los cuatro en azul se asocian a los tobillos.Las geometrıas de las porciones de los eslabones 6i quetienen contacto con el plano sobre el que se realizara lacaminata (el piso) no fueron simplificadas, debido asu importancia en la determinacion del polıgono desoporte del bıpedo para el analisis posterior de la es-tabilidad dinamica de su caminata.

Debido al caracter tridimensional del robot, se re-quiere de sus vistas coronal y sagital para establecerlos parametros geometricos con relevancia cinematica,que en este caso corresponden a las distancias entrelos puntos medios pni de los ejes de los cilindros se-naladas en las figuras 3 y 4.

Es importante destacar que los puntos pi son la in-terseccion entre las rectas perpendiculares a los ejesde las rotaciones �6i que contienen los puntos p6i enplanos paralelos al sagital y las superficies de los piesque hacen contacto con el piso; siendo y6i las distan-cias que separan a los puntos p6i y pi a lo largo delas barras 6i en los pies izquierdo (i = 1) y derecho(i = 2). x0i son las distancias entre el plano sagitaly los planos paralelos a este donde se encuentran los



Figura 2: Modelo simplificado del bıpedo Scout.

ejes de los servomotores fijos al torso, mientras quel1 y l2 caracterizan los rectangulos que delimitan lasareas de contacto entre cada uno de los pies y el piso.

En tanto que el bıpedo cuenta con simetrıa sagital,se presentan las igualdades:

x21 = x22 x01 = x02x31 = x32 z11 = z12x41 = x42 y61 = y62x51 = x52

En lo sucesivo se aprovecharan estas igualdadespara reducir la notacion de los parametros geometri-cos a x0i, z1i, x2i, x3i, x4i, x5i, y6i.

2. Ecuaciones Cinematicas

El modelo cinematico empleado para el analisis dela caminata del bıpedo se presenta en la figura 5.

El origen O del marco inercial fijo (O; i0, j0,k0) ylos vectores unitarios i0, j0 se encuentran en el planodel piso. El vector i0 es paralelo a los bordes ante-riores y posteriores de los pies, j0 se encuentra en lainterseccion con el plano sagital y k0 es el productocruz i0 × j0.

El punto pB del marco local (pB ; iB , jB ,kB) consti-tuye el punto medio del segmento de recta que une lospuntos p11 y p12. Los vectores iB , jB se encuentran enel plano paralelo a las caras superiores de las piezasdel eslabon B que contiene a pB ; iB es paralelo a losbordes anteriores y posteriores de dicho eslabon y jBes paralelo a sus bordes laterales, mientras que kB esel producto cruz iB × jB .

Figura 3: Vista coronal anterior del modelo simplifi-cado del bıpedo.

Asignando i = 1 para todos los elementos de lapierna izquierda e i = 2 para todos los de la derecha,se aprecia que los puntos pi de los marcos locales(pi; ii, ji,ki) se encuentran en los planos de los piesque hacen contacto con el piso, junto con los vectoresii, ji. Los vectores ii son paralelos a los bordes anterio-res y posteriores de sus pies respectivos, ji son parale-los a los bordes laterales y ki son los productos cruzii × ji.

Con base en los marcos de referencia anteriores, elproblema de cinematica inversa para el analisis de laposicion del bıpedo se define como:

Dada la posicion de los puntos pB ,piy la orientacion de los marcos locales(pB ; iB , jB ,kB), (pi; ii, ji,ki) respecto al marcoinercial (O; i0, j0,k0), encontrar los valores de losangulos �1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i que permiten al bıpedoasumir la configuracion espacial determinada pordichas posiciones y orientaciones.

La posicion de los puntos pB ,pi en el marco inercialse describe con los vectores:

r0B = xBi0 + yBj0 + zBk0 (1)

r0i = xii0 + yij0 + zik0

La orientacion del marco local (pB ; iB , jB ,kB) res-pecto al marco inercial queda caracterizada por mediode los angulos de Euler:

�B , �B , B (2)

Mientras que a los marcos locales de los pies(pi; ii, ji,ki) corresponden los angulos de Euler:

�i, �i, i (3)



Figura 4: Vista sagital derecha del modelo simplificadodel bıpedo.

En la figura 6 se ilustra el orden de las rota-ciones representadas por los angulos de Euler �i, �i, ipara describir la orientacion de los marcos locales(pi; ii, ji,ki) con respecto al marco inercial. El angulo�i corresponde a una rotacion sobre el eje i0, �i a unarotacion sobre el eje j�i y i a una sobre el eje k�i. Demanera analoga, para la orientacion del marco local(pB ; iB , jB ,kB), �B corresponde a una rotacion sobreel eje i0, �B a una rotacion sobre el eje j�B y B auna sobre el eje k�B .

Derivando con respecto al tiempo los vectores en(1) y los angulos de Euler en (2) y (3), el problemacinematico inverso para la velocidad queda definido:

Dadas las velocidades de traslacion y rotacion delos eslabones del torso y los pies con los vectoresv0B = xBi0 + yBj0 + zBk0,v

0i = xii0 + yij0 + zik0 y los

valores de �B , �B , B , �i, �i, i, encontrar los valores�1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i que determinan las velocidadesangulares en las juntas rotacionales del bıpedo.

Derivando con respecto al tiempo los vectores develocidad v0

B ,v0i y �B , �B , B , �i, �i, i, el problema

cinematico inverso para la aceleracion queda definido:Dadas las aceleraciones de traslacion y rotacion

de los eslabones del torso y los pies con los vectoresa0B = xBi0 + yBj0 + zBk0,a

0i = xii0 + yij0 + zik0 y los

valores de �B , �B , B , �i, �i, i, encontrar los valoresde �1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i que determinan las acelera-ciones angulares en las juntas rotacionales del bıpedo.

En las siguientes secciones se describen los proced-imientos realizados para deducir ecuaciones cuya solu-cion numerica dara respuesta a los tres problemas decinematica inversa definidos antes.

Elaborando un conteo del numero de valores que serequieren proporcionar para la solucion del problemade la posicion, se puede deducir que la configuracion

Figura 5: Modelo cinematico para el analisis de lacaminata del bıpedo.

Figura 6: Rotaciones regidas por los angulos de Euler.

espacial del bıpedo solo puede definirse a traves dedieciocho valores: las nueve coordenadas cartesianasde (1), es decir xB , yB , zB , xi, yi, zi, i = 1, 2, y nueveangulos de Euler de (2) y (3), es decir �B , �B , B ,�i, �i, i, i = 1, 2; por lo que se deduce que el robotposee 18 GDL.

Es comun que en el material bibliografico derobotica bıpeda se caracterice a los robots por mediode su numero de juntas, el cual se identifica como sunumero de grados de libertad internos (internal de-grees of freedom, en ingles); desde esta perspectiva sedescribe a Scout como un robot de doce GDL internos.

La literatura reporta que doce es el numero mınimode grados de libertad internos necesarios en un bıpedopara lograr la sıntesis de ciclos de marcha tridimen-sionales aproximados a la locomocion humana [1].



2.1. Ecuaciones de posicion

Para la solucion del problema de cinematica inversade la posicion se usaron matrices de transformacioneshomogeneas basicas.

Las transformaciones Tz1,Tz2,Tz3 representantraslaciones con distancias x, y, z medidas so-bre los ejes i, j,k, respectivamente; mientras queTz4,Tz5,Tz6 constituyen rotaciones de angulos�x, �y, �z sobre estos mismos ejes.

De acuerdo a las coordenadas cartesianas de lospuntos pB ,pi en el marco inercial y los angulos de Eu-ler en (2) y (3), las transformaciones necesarias paratrasladar y rotar el marco de referencia inercial a laposicion y orientacion de los marcos locales del torso(pB ; iB , jB ,kB) y los pies (pi; ii, ji,ki) son:

T0,B = Tz1(xB)Tz2(yB)Tz3(zB)Tz4(�B)Tz5(�B)Tz6( B)

T0,i = Tz1(xi)Tz2(yi)Tz3(zi)Tz4(�i)Tz5(�i)Tz6( i)

Figura 7: Marcos locales empleados para la deduccionde la ecuacion matricial de posicion del bıpedo usandotransformaciones homogeneas. El efecto de las matri-ces de transformacion para trasladarse de un marcolocal a otro se ilustra con flechas moradas.

Figura 8: Marcos locales empleados para la deduc-cion de la ecuacion matricial de posicion usando trans-formaciones homogeneas. Los marcos en verde se ob-tienen despues de realizar una traslacion, mientras quelos azules se generan al rotar.

Figura 9: Marcos locales instalados en los pies, losangulos �7 y �8 son iguales en ambos.

Las transformaciones Tni,(n+1)i listadas a continua-cion, constituyen el producto de las transformacioneshomogeneas basicas que permiten trasladar y rotar losmarcos locales instalados en pni a los que se encuen-tran en p(n+1)i.

TB,11 = Tz1(−x01)Tz6(�11 + �11)

TB,12 = Tz1(x02)Tz6(�12 + �12)

T1i,2i = Tz3(−z1i)Tz5(�2i + �2i)

T2i,3i = Tz1(x2i)Tz6(�3i + �3i)

T3i,4i = Tz1(x3i)Tz6(�4i + �4i)

T4i,5i = Tz1(x4i)Tz6(�5i + �5i)

T5i,6i = Tz1(x5i)Tz6(�6i + �6i)

T6i,i = Tz2(y6i)Tz6(�7)Tz5(�8)



Las transformaciones TB,11,TB,12 corresponden ala alineacion del marco del torso con los marcos locales(p1i; i1i, j1i,k1i), mientras que T6i,i permiten la de losmarcos locales (p6i; i11i, j11i,k11i) y (pi; ii, ji,ki), deacuerdo a lo mostrado en la figura 9. Los angulos �nison constantes para recuperar la posicion que asumeel bıpedo con sus servomotores en posicion neutral,cuando �1i = �2i = �3i = �4i = �5i = �6i = 0.

Partiendo del hecho que el producto de las trans-formaciones homogeneas para hacer coincidir el marcoinercial con los marcos locales de los pies, pasando porel torso y las juntas rotacionales de cada pierna, debeser igual al producto de las transformaciones en T0,i;se pueden definir las ecuaciones de lazo matricial:

T0,BTB,1iT1i,2iT2i,3iT3i,4iT4i,5iT5i,6iT6i,i = T0,i

(4)A partir de (4) se tienen 12 ecuaciones escalares

para la solucion del problema cinematico inverso dela posicion en cada una de las piernas del robot.Tomando 3 ecuaciones de la ultima columna y 3 dela imagen esferica, se constituyen sistemas de 6 ecua-ciones con 6 incognitas correspondientes a los angulos�11, �21, �31, �41, �51, �61 en el caso de la pierna izquier-da y �12, �22, �32, �42, �52, �62 en el de la derecha.

Para incluir las bases de los pies en las simulacionesde la caminata, es indispensable contar con los vec-tores que describen la posicion de los vertices de lospolıgonos que los representan (figura 10).

Figura 10: Vertices de los polıgonos con los que sesimulan las bases de los pies. Los vectores r1p1, r

2e2 re-

presentan la posicion de los puntos pp1 y pe2 en losmarcos locales (p1; i1, j1,k1) y (p2; i2, j2,k2).

Con los vectores riai, ribi, . . . , r

iti cuya definicion se

puede encontrar en el apendice A, se calculan las coor-denadas cartesianas de los vertices en el marco inercial(aix0, aiy0, aiz0), (bix0, biy0, biz0), . . . , (tix0, tiy0, tiz0).Tomando como ejemplo los vertices pai, se opera:

T0,iTz1(aix)Tz2(aiy)

⎡⎢⎢⎣0001

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣aix0aiy0aiz0

1

⎤⎥⎥⎦donde aix, aiy son las coordenadas de los vertices paisobre los ejes de los marcos locales ii y ji, respectiva-mente.

2.2. Ecuaciones de velocidad

Para una solucion eficiente de las ecuaciones de ve-locidad se opto por el uso del metodo vectorial [2]basado en las ecuaciones de posicion:

r0B + r00i + r01i + r02i + r03i + r04i + r05i + r06i = r0i (5)

donde los vectores de posicion de la figura 11 en elmarco inercial son:

r0B = xBi0 + yBj0 + zBk0

r001 = −x01i0Br002 = x02i

0B

r01i = −z1ik01i

r02i = x2ii03i

r03i = x3ii05i

r04i = x4ii07i

r05i = x5ii09i

r06i = y6ij011i

r0i = xii0 + yij0 + zik0

Figura 11: Vectores para la deduccion de las ecua-ciones de velocidad y aceleracion (en morado).

Usando matrices para la descripcion de rotacionesbasicas de angulos �x, �y, �z sobre los ejes i, j,k, losvectores unitarios iB ,k1i, i3i, i5i, i7i, i9i, j11i se descri-



ben en el marco inercial como:

i0B = Rx(�B)Ry(�B)Rz( B)iB

= R0BiB

k01i = R0

BRz(�1i + �1i)k1i

= R01ik1i

i03i = R01iRy(�2i + �2i)i3i

= R03ii3i

i05i = R03iRz(�3i + �3i)i5i

= R05ii5i

i07i = R05iRz(�4i + �4i)i7i

= R07ii7i

i09i = R07iRz(�5i + �5i)i9i

= R09ii9i

j011i = R09iRx(�6i + �6i)j11i

= R011ij11i

Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones deposicion vectorial en (5) se escribe:

r0B + r00i + r01i + r02i + r03i + r04i + r05i + r06i = r0i

Asignando r = v, se tienen las ecuaciones vectoria-les de velocidad lineal para cada pierna:

v0B +v0

0i +v01i +v0

2i +v03i +v0

4i +v05i +v0

6i = v0i (6)

donde los vectores de velocidad en el marco inercialestan dados por:

v0B = xBi0 + yBj0 + zBk0

v00i = !0

B × r00i

v01i = !0

1i × r01i

v02i = !0

2i × r02i

v03i = !0

3i × r03i (7)

v04i = !0

4i × r04i

v05i = !0

5i × r05i

v06i = !0

6i × r06i

v0i = xii0 + yij0 + zik0

El vector de velocidad angular del torso es !0B , !0

ni

son los correspondientes a los ni eslabones.Sustituyendo los vectores (7) en (6), se tiene:

xBi0 + yBj0 + zBk0 + !0B × r00i + !0

1i × r01i++!0

2i × r02i + !03i × r03i + !0

4i × r04i++!0

5i × r05i + !06i × r06i = xii0 + yij0 + zik0

(8)

Las ecuaciones de velocidad angular para cada unade las piernas son:

!06i = !0

i

�Bi0�B + �Bj

0�B + Bk

0 B+ (9)

+�1ik00i + �2ij

02i + �3ik

04i+

+�4ik06i + �5ik

08i + �6ii

010i = �ii

0�i + �ij

0�i + ik

0 i

donde !0i son los vectores de velocidad angular aso-

ciados a cada uno de los pies.Considerando que la solucion numerica de las ecua-

ciones (4) ya ha proporcionado los valores de posicionangular �1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i; con (8) y (9) se puedenconstituir sistemas de 6 ecuaciones escalares con 6incognitas correspondientes a �1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i

2.3. Ecuaciones de aceleracion

Derivando con respecto al tiempo las ecuacionesvectoriales de velocidad lineal en (6), se tiene:

v0B + v0

0i + v01i + v0

2i + v03i + v0

4i + v05i + v0

6i = v0i

Asignando v = a, las ecuaciones vectoriales de ace-leracion lineal son:

a0B + a00i + a01i + a02i + a03i + a04i + a05i + a06i = a0i (10)

donde los vectores de aceleracion en el marco inercialestan dados por:

a0B = xBi0 + yBj0 + zBk0

a00i = �0B × r00i + !0

B ×(!0B × r00i

)a01i = �0

1i × r01i + !01i ×

(!0

1i × r01i)

a02i = �02i × r02i + !0

2i ×(!0

2i × r02i)

a03i = �03i × r03i + !0

3i ×(!0

3i × r03i)

a04i = �04i × r04i + !0

4i ×(!0

4i × r04i)

a05i = �05i × r05i + !0

5i ×(!0

5i × r05i)

a06i = �06i × r06i + !0

6i ×(!0

6i × r06i)

a0i = xii0 + yij0 + zik0

Sustituyendo estos vectores en (10), las ecuacionesde aceleracion lineal para cada pierna quedan:

xBi0 + yBj0 + zBk0 +

�0B × r00i + !0

B ×(!0B × r00i

)+

�01i × r01i + !0

1i ×(!0

1i × r01i)

+

�02i × r02i + !0

2i ×(!0

2i × r02i)

+

�03i × r03i + !0

3i ×(!0

3i × r03i)

+ (11)

�04i × r04i + !0

4i ×(!0

4i × r04i)

+

�05i × r05i + !0

5i ×(!0

5i × r05i)

+

�06i × r06i + !0

6i ×(!0

6i × r06i)

= xii0 + yij0 + zik0

donde �0B es el vector de aceleracion angular asociado

al torso y �0ni son los de cada uno de los eslabones.

Las ecuaciones de aceleracion angular se obtienenderivando con respecto al tiempo (9) :

!06i = !0

i

�06i = �0

i (12)



�Bi0 + �Bj0�B

+ Bk0 B

+ �B

(i0�B × !0

�B

)+�B

(j0�B × !0

B

)+ B

(!0�B

× k0 B

)+�1ik

00i + �1i

(!0B × k0

0i

)+ �2ij

02i + �2i

(!0

1i × j02i)

+�3ik04i + �3i

(!0

2i × k04i

)+ �4ik

06i + �4i

(!0

3i × k06i

)+�5ik

08i + �5i

(!0

4i × k08i

)+ �6ii

010i

+�6i(!0

5i × i010i)

= �ii0 + �ij0�i

+ ik0 i

+

+�i

(i0�i × !0

�i

)+ �i

(j0�i × !0

i

)+ i

(!0�i× k0

i

)(13)

Tomando en cuenta que la solucion numerica de lasecuaciones de posicion y velocidad ya ha proporciona-do los valores de �1i, �2i, . . . , �6i y de �1i, �2i, . . . , �6i;con las ecuaciones vectoriales (11) y (12) se puedenconstituir sistemas de 6 ecuaciones escalares con 6incognitas correspondientes a �1i, �2i, �3i, �4i, �5i, �6i

3. Simulaciones Numericas

El patron de caminata empleado para la simulacionnumerica del ciclo de marcha del bıpedo se diseno con-siderando que las bases de sus pies se conservaranparalelas al plano del piso, que el punto pB se mantu-viera en el plano sagital y que su coordenada zB per-maneciera constante. Bajo estas consideraciones, lasposiciones de los puntos pB ,pi y la orientacion de losmarcos locales (pB ; iB , jB ,kB), (pi; ii, ji,ki) respectoal marco inercial (O; i0, j0,k0) en funcion del tiempo tquedaron restringidas geometricamente por: xB(t) =0, zB(t) = 234,37[mm], x1(t) = x2(t) = 44,54[mm],�B(t) = �1(t) = �2(t) = 0, �B(t) = �1(t) = �2(t) = 0, B(t) = 1(t) = 2(t) = 0; dejando libre la definicionde las funciones yB(t), y1(t), z1(t), y2(t), z2(t).

Cuadro 1: Parametros geometricos. Todos las longi-tudes estan en milımetros, es decir 1 × 10−3[m]

x0i = 44,54 z1i = 54,58 x2i = 29,08x3i = 74,60 x4i = 57,29 x5i = 54,97y6i = 23,06 l1 = 75,24 l2 = 127

Cuadro 2: Angulos �ni en grados, [o]

�11 = 180 �21 = 90 �31 = 330 �41 = 60�51 = 45 �61 = 180 �12 = 0 �22 = 90�32 = 30 �42 = 300 �52 = 315 �62 = 0

�7 = 75 �8 = 270

Se construyo un modelo CAD del robot en la pa-queterıa Solid Edge Academic c⃝ V16 con el que sedeterminaron los parametros geometricos de los Cuadros 1 y 2 y los vectores de posicion para el trazo dela base de los pies del robot en el Apendice A.

Con ayuda de este modelo se obtuvieron valoresinstantaneos para yB , y1, z1, y2, z2 que sirvieron comonodos para generar trayectorias de referencia para elmovimiento del bıpedo en un lapso de 40[s] utilizan-do las splines de segundo grado que se presentan acontinuacion.

yB (t) =

⎧⎨⎩2,23t + 38,5; 0 ≤ t < 15

0,03t2 + 1,23t + 46; 15 ≤ t < 20−0,24t + 12,26t− 64,25; 20 ≤ t < 25

90,76; 25 ≤ t < 40

y1 (t) =

⎧⎨⎩0; 0 ≤ t < 20

1,93t− 38,67; 20 ≤ t < 351,13t2 − 77,4t + 1349,67; 35 ≤ t < 38

−2,55t2 + 202,66t− 3971,47; 38 ≤ t < 40

z1 (t) =

⎧⎨⎩0; 0 ≤ t < 20

4t− 80; 20 ≤ t < 25− 2

5t2 + 24t− 330; 25 ≤ t < 35−4t + 160; 35 ≤ t ≤ 40

y2 (t) =

⎧⎨⎩1,93t; 0 ≤ t < 15

1,13t2 − 32,07t + 255; 15 ≤ t < 18−2,56t2 + 100,59t− 938,94; 18 ≤ t < 20

52,26; 20 ≤ t < 40

z2 (t) =

⎧⎨⎩4t; 0 ≤ t < 5

− 25t2 + 8t− 10; 5 ≤ t < 15−4t + 80; 15 ≤ t ≤ 20

0; 20 ≤ t < 40

Las derivadas analıticas de estas funciones a tramosfueron usadas en el modelo cinematico para la solu-cion de las ecuaciones de velocidad y aceleracion; losresultados se muestran en las figuras 12 a 15 .

La figura 12 presenta la simulacion grafica del ci-clo de marcha, donde se observa que las restriccionesgeometricas impuestas se cumplen. Se decidio colocarun cilindro de referencia para apreciar con claridadla traslacion del bıpedo. En las figuras 13, 14 y 15 sepresentan los valores de posicion, velocidad y acele-racion en las juntas rotacionales del bıpedo, respecti-vamente. Se excluye la presentacion de las curvas quepermanecieron constantes e iguales a cero durante to-do el ciclo de marcha.

Los resultados que se presentan fueron usados paraprogramar el movimiento de los servomotores del bıpe-do, logrando trasladar el ciclo de marcha simulado alrobot de manera exitosa; por lo que se concluye queel modelo cinematico obtenido es satisfactorio.

4. Conclusiones

El modelo cinematico resulta adecuado, pues pro-porciona resultados satisfactorios para el analisis deposicion, velocidad y aceleracion del robot bıpedo.Ademas, ha sido utilizado ya para la obtencion delmodelo dinamico por medio de las ecuaciones deEuler-Lagrange.



Figura 12: Resultados de simulacion: Ciclo de marcha.

Las simulaciones presentadas corresponden a unode los multiples ciclo de marcha posibles. Por tanto,quedan todavıa abiertas algunas preguntas como lassiguientes: ¿Cual trayectoria es la mejor desde el puntode vista de la estabilidad dinamica? ¿Son fısicamenterealizables por el robot?.

Para responder estas preguntas, se ha conforma-do un equipo de trabajo que estudie la estabilidaddinamica de diferentes ciclos de marcha y que coor-dine el movimiento de los 12 servomotores del bıpedopara verificar su viabilidad.

Agradecimientos

Este trabajo se realizo con apoyo del proyecto PA-PIIT IN109109: “Ortesis Adaptronica para Rodilla”.

Los autores agradecen la ayuda de los alumnosMario Pacheco Velis, Ernesto Villalobos Guerrero,Victor Arana Rodrıguez y Rafael Lopez Garcıa.

Referencias

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[8] Ching-Long Shih, William A. Gruver, and Tsu-Tian Lee.Dynamics for control of a biped walking machine. Journalof Robotic Systems, 10(4):531 - 555, 1993.

[9] Eric R. Westervelt and Carlos Canudas de Wit. Walkingand running robots. IEEE Robotics & Automation Maga-zine, 14(2):6 - 7, 2007.

A. Trazo vectorial de los pies

En los cuadros 3 y 4 se definen los vectores de posi-cion para el trazo de los pies.



Cuadro 3: Todas las unidades estan en milımetros, esdecir 1 × 10−3[m]

Pie izquierdo:r1a1 = −2,45i1 + 64,34j1 r1b1 = −2,45i1 + 83,33j1r1c1 = 26,18i1 + 83,33j1 r1d1 = 26,18i1 + 64,34j1r1e1 = 28,18i1 + 64,81j1 r1f1 = 28,18i1 − 24,20j1r1g1 = 26,18i1 − 24,70j1 r1ℎ1 = 26,18i1 − 43,70j1r1i1 = −2,45i1 − 43,70j1 r1j1 = −2,45i1 − 24,7j1r1k1 = −15,12i1 − 24,7j1 r1l1 = −15,12i1 − 43,70j1r1m1 = −44,33i1 − 43,70j1 r1n1 = −44,33i1 − 24,70j1r1o1 = −46,33i1 − 24,20j1 r1p1 = −46,33i1 + 64,81j1r1q1 = −44,33i1 + 64,34j1 r1r1 = −44,33i1 + 83,33j1r1s1 = −15,12i1 + 83,33j1 r1t1 = −15,12i1 + 64,34j1

Cuadro 4: Todas las unidades estan en milımetros, esdecir 1 × 10−3[m]

Pie derecho:r2a2 = 15,70i2 + 64,34j2 r2b2 = 15,70i2 + 83,33j2r2c2 = 44,33i2 + 83,33j2 r2d2 = 44,33i2 + 64,34j2r2e2 = 46,33i2 + 64,81j2 r2f2 = 46,33i2 − 24,20j2r2g2 = 44,33i2 − 24,70j2 r2ℎ2 = 44,33i2 − 43,70j2r2i2 = 15,70i2 − 43,70j2 r2j2 = 15,70i2 − 24,70j2r2k2 = 3,03i2 − 24,70j2 r2l2 = 3,03i2 − 43,70j2r2m2 = −26,18i2 − 43,70j2 r2n2 = −26,18i2 − 24,70j2r2o2 = −28,18i2 − 24,20j2 r2p2 = −28,18i2 + 64,81j2r2q2 = −26,18i2 + 64,34j2 r2r2 = −26,18i2 + 83,33j2r2s2 = 3,03i2 + 83,33j2 r2t2 = 3,03i2 + 64,34j2

Figura 13: Resultados de simulacion: posicionesangulares

Figura 14: Resultados de simulacion: velocidadesangulares

Figura 15: Resultados de simulacion: aceleracionesangulares



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