análisis de señales en espacio-fase - fis.unam.mxalejandro/data/tesising.pdf · he de hacer su...

Análisis de señales en

espacio-fase

Una tesis presentada a laUniversidad Autónoma del Estado de Morelos

para obtener el grado deLicenciado en Ingeniería Mecánica

en la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería

Presenta

Alejandro Ricardo Urzúa Pineda

Asesores:Dr. Kurt Bernardo Wolf Bogner

Dr. Juvenal Rueda Paz

Alejandro Ricardo Urzúa Pineda© 2013

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoInstituto de Ciencias Físicas

Departamento de Física Teórica y Computacional

FCQeI, UAEM iii ICF, UNAM

La tesis del C. Alejandro Ricardo Urzúa Pineda ha sido revisada y aceptada por elsiguiente comité revisor.

Dr. Kurt Bernardo Wolf Bogner

Dr. Juvenal Rueda Paz

Dr. Horacio Martínez Valencia

Dr. Humberto Saint-Martin Posada

Ing. Héctor Domínguez Sotelo

Ciudad UniversitariaCuernavaca, Morelos, Mayo del 2013

RECONOCIMIENTOS

He de hacer su debido reconocimiento de las siguientes personas y entidades, queinfluyeron gran medida a la buena realización de este trabajo.

A mi familia, que en mi madre y padre siempre he encontrado el apoyo necesariopara seguir mis sueños y anhelos. A mis hermanos por ser de gran ayuda emocionalcon sus locuras y ocurrencias en los momentos difíciles

A todo el equipo de amigos y asesores que conformé durante la realización de éstetrabajo. Dr. Kurt Bernardo Wolf, en cuya persona he encontrado un invaluableguía de pensamientos e inquietudes y cuya gran enseñanza en el tema y anécdotaspropias del mismo se ve reflejada aquí. Dr. Juvenal Rueda Paz, que aunquede último momento se requirió su apoyo, lo ofreció de manera generosa. Quím.

Guillermo Krözstch Gómez, por el gran interés y apoyo que día con día mostrósobre la realización de éste trabajo; y por compartir día con día el lugar de trabajoconmigo. Fís. Jared Figueroa Cervantes, que desde el punto de vista de uncolega estudiante mostró gran empatía y apoyo, sacándome de dudas en uno queotro embrollo. Consejo de Ciencia y Tecnología, CONACyT, que a través delproyecto “Óptica Matemática” fue de ayuda económica en la realización del presente.Instituto de Ciencias Físicas, por haber sido un lugar ameno y propicio para elestudio y la buena realización de este trabajo.

A los profesores y compañeros del Instituto de Ciencias Físicas y del Institutode Matemáticas (Unidad Cuernavaca), cuyas discusiones y aportaciones acerca deltema de éste trabajo terminaran en una buena obra.

Y quisiera agradecer y reconocer a mis compañeros de la carrera de IngenieríaMecánica de la FCQeI: Uzziel Caldiño, Carolina Ríos, Eduardo Rosel, Roberto Es-trada, Luis Mixquititla, Sergio Ríos, Isaac Lira, Raúl Soto, Fernando Rodríguez ymás, que me deben perdonar por no mencionarlos. Por siempre darme el empujón asus muy peculiares maneras de seguir mi sueño de una carrera de investigación quecomienzo a trazar.

¡Gracias!

FCQeI, UAEM vi ICF, UNAM

EN ESTA TESIS

Se recapitula la teoría de transformadas de Fourier

Se aprendió y recapituló la teoría de grupos de Heisenberg-Weyl

Se aprendió y definió la función de Wigner obtenida de la teoría de grupos deHeisenberg-Weyl

Se buscó y se definió una forma de medir negatividades de la función de Wigner

Se aprendió cómo utilizar la función de Wigner para analizar distribuciones yseñales abstractas y reales

Se realizó un análisis de vibraciones en máquinas utilizando la versión discretade la función de Wigner

Se obtuvieron resultados del análisis anterior y se resaltan las ventajas encomparación con sólo en análisis de Fourier estándar

Se propone una posible línea de investigación futura basada en los resultadosobtenidos del análisis de vibraciones

RESÚMEN

El siguiente trabajo presenta la teoría de distribuciones en espacio-fase de lacual la función de Wigner goza un lugar especial en la representación de sistemascuánticos y análogos clásicos; por ésto que sea considerada una representación dela fenomenología cuántica a la par de la representación de Schrödinger; y más aún,como se mostrará a través del texto, es una poderosa herramienta de análisis ensistemas reales.

El primer capítulo presenta la teoría clásica de Fourier, la cual sirve como puen-te de transición entre dos representaciones equivalentes de un sistema físico. Sepresentan las transformadas canónical lineales como la familia de transformacionesdonde pertenecen los pares de transformación de Fourier. Se muestra que cada parde transformación (en específico para la transforada de Fourier clásica, la transfor-mada fracciona y la transformada canónica lineal) existe una relación que acota laincertidumbre de definición entre ellas.

El segundo capítulo introduce el grupo de Heisenberg-Weyl, del cual se obtienenlos elementos algebrícos con los que se construye intrincadamente la función de Wig-ner a través de operaciones definidas sobre el grupo, actuando éstas sobre matriceselegidas como generadores de los elementos. Se introduce el anillo del grupo y laderivación del operador de Wigner sobre el grupo de Heisenberg-Weyl.

El tercer capítulo detalla la obtención de la función de Wigner como un valorde expectación del operador de Wigner. Se introduce la función de Wigner explí-cita para señales abstractas y su derivación para el tratamiento de señales reales ydistribuciones de densidad.

El cuarto capítulo muestra algunas de las propiedades de la función de Wigner.El quinto capítulo se desarrolla el análisis de señales provenientes del experimento

de la triple rendija, el cual arroja indicios de un alto índice de enredamiento. Serealiza el análisis en espacio-fase del oscilador armónico, sus estados coherentes, y lasuperposición de dos de éstos. Por último, se muestra cómo de la superposición deestados coherentes del oscilador armónico se obtiene un enredamiento a través de suspatrones de interferencia, llamada la sonrisa del gato, se minimiza esta interferenciaal aplicar un método de ventaneo por medio de funciones gaussianas.

El sexto capítulo presenta a la sonrisa del gato como una forma de obtenerinformación holográfica de la funcón original, ésto con el fin de mostrar que esposible realizar una reconstrucción de una senñal a partir de la información contenidatérmino oscilante de la función de Wigner

FCQeI, UAEM ix ICF, UNAM

ÍNDICE GENERAL

1. La transformada de Fourier y la relación de incertidumbre 1

1.1. Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. Transformada discreta de Fourier (TDF) . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Transformada integral de Fourier (TIF) . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Transformación fraccional de Fourier (TFrF) . . . . . . . . . . . 3

1.2. Transformadas canónicas lineales (TCL’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Operadores, transformada integral y kernel . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Relación de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Notación bra-ket y formulación general de la relación de in-

certidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Relaciones de incertidumbre en transformadas . . . . . . . . . . 8

2. Grupo de Heisenberg-Weyl 10

2.1. Álgebra, grupo de Lie y mapeo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.1. Álgebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2. Mapeo exponencial y grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Grupo de Heisenberg-Weyl (gHW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. Representación del grupo en matrices . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Del álgebra al grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Anillo del gHW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Operador de Wigner sobre gHW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Representación en espacio fase: función de Wigner 15

3.1. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Función de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Propiedades de la función de Wigner y estados enredados 19

4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.1. La función de Wigner es real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.2. La función de Wigner está acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.3. La función de Wigner es mayormente positiva . . . . . . . . . . 204.1.4. La función de Wigner es covariante bajo transformaciones ca-

nónicas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

FCQeI, UAEM x ICF, UNAM

4.2. Negatividad de la función de Wigner e indicador de enredamiento enseñales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Análisis de señales 23

5.1. Experimento de la tripe rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Distribuciones de densidad: Oscilador armónico, estados coherentes y

su superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2.1. Soluciones de oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3. Estados coherentes del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4. Superposición de estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5. La sonrisa del gato y su atenuación con una ventana gaussiana . . . . 36

6. Uso de la sonrisa para holografía 40

6.1. Función de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2. Estados gato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3. Reconstrucción holográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Aplicación: Análisis de señales de vibración en máquinas reales 43

7.1. Máquina de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2. Equipo para captura de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3. Análisis del plano-fase resultante bajo función de Wigner . . . . . . . . 45

7.3.1. Método y algoritmo de análisis: Distribución-pseudo Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3.2. Análisis y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. Conclusiones 50

Apéndices 53

A. Derivación alternativa de la función de Wigner 53

B. La función de Wigner es real 55

C. Función de Wigner del oscilador armónico 56

FCQeI, UAEM xi ICF, UNAM

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Plano clásico de variables conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Transformación fraccional de Fourier para una función rectángulo . . 5

4.1. Soportes espaciales de la Función de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1. Funciónes rectángulo en el experimento de las rendijas . . . . . . . . . 245.2. Planos-fase de la función de Wigner para 1,2 y 3 rendijas . . . . . . . . 255.3. Espacios-fase de la función de Wigner para 1,2 y 3 rendijas . . . . . . 265.4. Plano fase y representación en tres dimensiones de la función de Wig-

ner en el experimento de tres rendijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5. Funciones de onda del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.6. Funciones de Wigner del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7. Magnitudes de la negatividad en la función de Wigner del oscilador

armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.8. Estados coherentes y sus respectivas funciones de Wigner . . . . . . . 325.9. Estados coherentes en superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.10. Magnitudes del parámetro de negatividad en la función de Wigner

para la superposición de estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . 355.11. Perfiles de oscilación del término de interferencia . . . . . . . . . . . . . 365.12. Planos fase de la función de Wigner atenuada . . . . . . . . . . . . . . . 385.13. Magnitudes del perfil de la función de Wigner atenuada . . . . . . . . 38

6.1. Curvas de nivel de la función de Wigner de un estado gato compuesto 41

7.1. Esquema del arreglo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.2. Gráficas de los datos del movimiento vibracional vertical y de sus

planos fase de la máquina en sus tres regímenes . . . . . . . . . . . . . 48

CAPÍTULO 1

LA TRANSFORMADA DE FOURIER YLA RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

En éste primer capítulo se introducen las transformadas de Fourier discreta,integral, fraccional y su generalización en las transformadas canónicas lineales, asícomo la relación de incertidumbre entre pares de transformadas de funciones.

Dentro de las herramientas matemáticas más usadas en la física e ingeniería seencuentran las transformadas lineales, una en especial es la transformada de Fourier

que convierte una función de una variable en otra función cuya variable es la canó-nica conjugada de la primera. Esta transformada es usada en el análisis de sistemaslineales, estudios de antenas, óptica, modelado de procesos aleatorios, teoría de pro-babilidad, mecánica cuántica y problemas de valor en la frontera [1], y ultimamenteha sido usada en la restauración de datos astronómicos [2].

Una propiedad importante de los pares de transformadas sucede cuando una es-trecha forma de onda da lugar a un amplio espectro de frecuencias y una ampliaforma de onda da lugar a un estrecho espectro de frecuencias, donde ambos anchos debanda no pueden ser arbitrariamente pequeños simultáneamente. Éste es un resul-tado puramente matemático llamado teorema del producto espacio-ancho de banda;que, aplicado a la mecánica cuántica, se torna en el principio de incertidumbre de

Heisenberg. Este teorema dicta que: el producto del ancho de los módulos cuadrados(definidos como las desviaciones estándar de las funciones) siempre tiene una cotamínima. Ejemplo de esto es que en las piezas musicales, un tono puro no puede serarbitrariamente corto y aún así tener una frecuencia bien definida. Muchos autoresdan por hecho que la transformada de Fourier no es únicamente un término mate-mático, sino que son un conjunto completo de proposiciones acerca de un fenómenofísico. Las transformadas de Fourier en esencia descomponen o separan una forma deonda o función en funciones características (senos, cosenos o exponencial complejo)de diferente frecuencia de cuya suma (o integración) se obtiene la forma de ondaoriginal.

FCQeI, UAEM 2 ICF, UNAM

1.1. Transformadas de Fourier

Ahora se resumirá la teoría de las transformadas de Fourier que contempla lassiguientes tres transformaciones, las cuales serán aplicadas posteriormente a la defi-nición de la función de Wigner para el análisis de señales.

1.1.1. Transformada discreta de Fourier (TDF)

Cuando se requiere calcular el espectro de una forma de onda en un ordenador(PC), no es posible hacerlo a través de un cálculo en coordenadas continuas (enefecto, una integral en la transformada de Fourier) debido a la naturaleza discretade la construcción del ordenador, así como al lenguaje de cálculo inherente a susistema; para esto, existe una transformada de Fourier relacionada a la solución deéste y otros problemas, la llamada transformada discreta de Fourier o TDF.

La TDF es una transformación lineal y unitaria definida en un espacio vectorialVN por la matriz F = ∣Fmn∣ con elementos

Fmn ∶= N−1/2 exp(−2πinm/N) = Fnm = FN−n,N−m = F ∗N−n,m, (1.1)

donde,N es la dimensión del espacio o dimensión de la secuencia discreta de númerosy m,n ∈ ZmodN son los índices de los elementos de matriz.

Se verifica que (1.1) es una transformación unitaria δm,n, ya que

(F†F)mn = ∑k

F ∗mkFnk = N−1∑k

exp[−2πik(n −m)/N] = δm,n,

donde F ∗mk es la compleja conjugada de Fmk, lo que resulta en (F−1 = F†).Entonces las coordenadas de un vector f en dos bases vectoriales de VN relacio-

nadas por la transformación de Fourier como se muestra en [4], son de la forma

f = Ff = fm = N−1/2∑n

fn exp(−2πimn/N), (1.2)

f = F−1f = fn = N−1/2∑m

fm exp(2πimn/N). (1.3)

1.1.2. Transformada integral de Fourier (TIF)

Teniendo VN con N finita en la TDF, se deja que N crezca sin restricción y seobserva el comportamiento de la transformación en el límite N →∞.

Para la derivación de la forma integral se toman espacios vectoriales de dimensión(2N + 1),1 nuevos sistemas de índices e intervalos en las variables de coordenadasdiscretas, definiendo funciones paso f(N)(q), f(N)(p), asumiendo que en tanto N →∞, las funciones paso convergen a una función Riemann-integrable en el intervalode integración. Como se muestra en [4], se obtiene el par de transformación:

f(p) = (2π)−1/2∫ ∞

−∞dq f(q) exp(−iqp), (1.4)

f(q) = (2π)−1/2∫ ∞

−∞dp f(p) exp(iqp), (1.5)

donde f(p) es la transformada integral (o continua) de Fourier (TIF) de f(q) en(1.4) y f(q) es la transformada integral inversa de f(p) en (1.5).

1Se toma N → (2N + 1) para tener un intervalo simétrico de aplicación; m,n ∈ {−N,−N +1, ...,0, ...,N − 1,N}.


Operaciones y propiedades

La TIF tiene un conjunto de operaciones y propiedades que igualmente son apli-cables a la forma discreta, integral o fraccional como se verá posteriormente. Entrelas propiedades y operaciones más importantes se encuentran: Combinación lineal,traslación, multiplicación, convolución y diferenciación.

En el cuadro (1.1) se muestra la definición de estas y otras propiedades de latransformada de Fourier.

Operación / Propiedad f(q) f(p)Combinación lineal αf(q) + βg(q), α, β ∈ R αf(p) + βg(p), α, β ∈ R

Traslaciónf(q + r) exp(irp)f(p)

exp(−isq)f(q) f(p + s)Multiplicación f(q) ⋅ g(q) (2π)−1/2(f ∗ g)(p)Convolución (f ∗ g)(q) (2π)1/2f(p) ⋅ g(p)

Diferenciacióndnf(q)/dqn (ip)nf(p)(−iq)nf(q) dnf(p)/dpn

Dilatación f(aq) a−1f(p/a)Conjugación compleja f(q)∗ f(−p)∗

Inversión f(−q) f(−p)Cuadro 1.1: Propiedades y operaciones de la transformación de Fourier

1.1.3. Transformación fraccional de Fourier (TFrF)

La transformación fraccional de Fourier pertenece a la clase de las representa-ciones en tiempo-frecuencia más utilizadas, en todas estas representaciones normal-mente se usa un plano con dos ejes ortogonales para representar el par de variablesconjugadas (q, q′), como se ve en la Fig. (1.1).Si se representa a la función f(q) sobre el eje q y a su transformación f(q) sobre eleje q′, se puede ver a la TIF como una rotación de de los ejes en sentido contrario alas manecillas del reloj por un ángulo de π/2 rad.

Entonces, la transformación fraccional de Fourier (TFrF) es

(Fαf)(q)] = fα(q′) ∶= ∫ ∞

−∞dq f(q)Fα(q, q′), (1.6)

donde Fα(q, p) es el kernel de la transformación dependiente del parámetro α en unintervalo [0,2π) definido por [9, 10]

Fα(q, p) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

e−iπ/4eiα/2√2π∣ sin(α)∣ exp(i{12 cot(α)(q2 + q′2) − csc(α)qq′}), α ≠ nπ

δ(q − q′), α = 2nπδ(q + q′), α = (2n + 1)π.

(1.7)

La TFrF ha sido ampliamente estudiada [5, 8, 9] sabiéndose ahora que la TFrFde una función f(q) existe bajo las misma condiciones para las cuales la TIF def(q) existe. El kernel de la transformación fraccional cumple con las siguientes pro-piedades:


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Figura 1.2: Aproximaciones sucesivas de la transformación fraccional para una fun-ción rectángulo con α = 0.01,0.05,0.2,0.7,1.3, π/2. Línea roja: parte real, línea azul:parte imaginaria.


fα(q)→ f(q), cuando α → 0 y fα(q)→ f(q) cuando α → π/2.La TFrF cumple a su vez con las propiedades de la TIF presentadas en el cuadro

(1.1) y otras específicas [8, 9]. Así como también la bien conocida identidad de

Parseval para la TIF puede ser extendida a la TFrF

∫∞

−∞dq f(q)∗g(q) = ∫ ∞

−∞dp fα(q′)∗gα(q′). (1.8)

De la cual se puede deducir la propiedad de conservación de norma, si f(q) = g(q),entonces fα(q′) = fα(q′) y se tiene que

∫∞

−∞dq ∣f(q)∣2 = ∫ ∞

−∞dp ∣fα(q′)∣2. (1.9)

1.2. Transformadas canónicas lineales (TCL’s)

Las TCL’s son una clase de transformadas integrales de tres parámetros lascuales incluyen a las transformadas de Fourier anteriormente vistas. Las TCL’s sonconstruidas partiendo de la solución de un problema de operadores encontrado enla teoría de las transformadas integrales. A continuación se resume el planteamientodel problema y su solución, para una revisión más extensa véase [4].

1.2.1. Operadores, transformada integral y kernel

Sean Q y P dos operadores definidos por su acción sobre funciones diferenciablescomo (Qf)q ∶= qf(q), (1.10)

(Pf)q ∶= −idf(q)dq

, (1.11)

esto es, el operador Q multiplica a la función por la variable de la que depende, yel operador P deriva la función y la multiplica por -i.

El problema consiste en obtener las combinaciones lineales de los operadores Q

y P bajo la acción de un operador C cualquiera,

Q′ ∶= CQC−1 = dQ − bP, (1.12)

P′ ∶= CPC−1 = −cQ − aP, (1.13)

donde a, b, c, d son constantes reales. El conmutador de (1.12) y (1.13) resulta en

[Q′,P′] = C[Q,P]C−1 = i✶

con ✶ como matriz unitaria. Entonces los cuatro parámetros a, b, c, d se relacionande la forma

ad − bc = 1.

Se puede caracterizar el operador de transformación CM por la matriz unimodu-lar

M ∶= ( a b

c d) , (1.14)


el cual sirve para la realización del operador linear como una transformada integralcon un kernel de la forma CM(q′, q). Esta realización en concreto es

fM(q′) = (CMf)(q′) ∶= ∫R dq f(q)CM(q, q′), (1.15)

donde la linealidad se satisface de forma inmediata debido a la forma integral. Ladeterminación de la forma del kernel CM(q′, q) se realiza por su acción sobre unapropiado espacio de funciones, la derivación completa se encuentra en [4], pág. 383,donde se obtiene que

CM = (2πb)−1/2 exp(−iπ/4) exp[i(aq2 − 2q′q + dq′2)/2b] (1.16)

con el cual se puede mostrar que si

M = ( 0 1

−1 0) ,

se obtiene la forma de la TIF multiplicada por un factor fase: exp(−iπ/4), y si

M = ( cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α) ) ,

se obtiene la forma de la TFrF multiplicada por un factor fase (e−iπ/4eiα/2).Las TCL’s cuentan asimismo con las propiedades de inversión, composición de

transformaciones (la cual corresponde a una multiplicación de matrices de kernel delas respectivas transformaciones) y la conocida identidad de Parseval, de la cual sedesprende nuevamente la propiedad de conservación de norma.

1.3. Relación de Incertidumbre

Dentro del marco del análisis señales, las relaciones de incertidumbre están acota-das sobre las concentraciones o dispersiones de la energía de la señal en dos dominios(variables). En su forma más general, las relaciones de incertidumbre se estableceentre aquellos operadores Hermitianos A y B que no conmutan, sino que

[A,B] = iC,con C otro operador lineal. La parte central de la relación de incertidumbre es elconjunto de propiedades estadísticas (media ηA, media cuadrada m2

Ay varianza σ2

A)

de un operador A definidas como los promedios ponderados, normalizados por elcuadrado de la norma de la función (o señal) a tratar, estos se definen como

ηA ∶=[∫ dq f∗(q)A f(q)]∣∣f ∣∣2 , (1.17)

m2

A∶=[∫ dq f∗(q)A2 f(q)]∣∣f ∣∣2 , (1.18)

σ2

A∶=[∫ dq f∗(q) (A − ηA)2 f(q)]∣∣f ∣∣2 =

[∫ dq f∗(q) (A2− 2ηAA + η

2

A)2 f(q)]∣∣f ∣∣2

=m2

A− ηA(2[∫ dq f∗(q)A f(q)]∣∣f ∣∣2 − ηA) =m2

A− η2

A. (1.19)


1.3.1. Notación bra-ket y formulación general de la relaciónde incertidumbre

Existe una forma notacional más sencilla de representar las propiedades estadís-ticas de una función, esta forma viene dada por la notación introducida por P.A.M.Dirac [14].. En esta notación, las propiedad estadísticas de la relación de incerti-dumbre, se representan de la forma

ηA = ⟨Ψ∣A∣Ψ⟩, (1.20)

m2

A= ⟨Ψ∣A2∣Ψ⟩, (1.21)

σ2

A= ⟨Ψ∣A′2∣Ψ⟩, (1.22)

con A′ = A − ⟨Ψ∣A∣Ψ⟩.Si la media de la función entre dos operadores A,B se anula, esto es ⟨Ψ∣A∣Ψ⟩ =⟨Ψ∣B∣Ψ⟩ = 0, entonces se prueba que para todo operador hermitiano autoadjunto el

producto de sus varianzas es

σAσB =√⟨Ψ∣A2∣Ψ⟩⟨Ψ∣B2∣Ψ⟩=√⟨AΨ∣AΨ⟩⟨BΨ∣BΨ⟩≥ ∣⟨AΨ∣BΨ⟩∣ Cauchy-Schwarz

= ∣⟨Ψ∣AB∣Ψ⟩∣≥ ∣ 1

2i(⟨Ψ∣AB∣Ψ⟩ − ⟨Ψ∣AB∣Ψ⟩∗)∣

= ∣ 12i⟨Ψ∣C∣Ψ⟩∣

=1

2∣⟨Ψ∣C∣Ψ⟩∣ (1.23)

lo cual establece que la cota mínima en la cual existen las dispersiones es 1

2del

conmutador C.

1.3.2. Relaciones de incertidumbre en transformadas

TIF

Considerando los operadores Q, P cuyo conmutador resultante es i✶, se tiene queimathbbm1 = C, y la multiplicación de dispersiones respectiva resulta en

σfσf ≥1

2, (1.24)

donde σf representa la dispersión de la función original f(q) y σf representa ladispersión de su TIF.

TFrF

En la TFrF los operadores Q,P toman una forma más general la cual refleja ladependencia del parámetro α presente en el kernel de la TFrF, y como se puedeobservar en [15], la multiplicación de las dispersiones en la TFrF es

σfσfα ≥∣sin[π(q′ − q)/2]∣

4π, (1.25)

con q′ y q variables conjugadas de la TFrF.


TCL

La multiplicación de las dispersiones de una función f(q) y su TCL, satisface larelación

σfσfM ≥∣b∣4π, (1.26)

donde b es el parámetro (1-2) de la matriz unimodular (1.14).

CAPÍTULO 2

GRUPO DE HEISENBERG-WEYL

A continuación se presenta una revisión de la teoría matemática en la cual estábasada la realización de la función de Wigner. Se introduce el álgebra de Heisenberg-Weyl como la base generadora con la cual se obtendrán los elementos del grupo deHeisenberg-Weyl bajo la acción de cuantización de Weyl [16].

2.1. Álgebra, grupo de Lie y mapeo exponencial

2.1.1. Álgebra de Lie

Un álgebra de Lie, A, consta de una base de generadores {Xi}Ni=0 el cual formaun espacio vectorial de dimensión N, cuyos elementos son combinaciones lineales

A(v) = v1X1 + v2X2 +⋯+ vNXN , v = {vi}Ni=1 ∈ RN . (2.1)

Dos bases diferentes de estos generadores cumplen con los paréntesis de Lie,[○, ○] ∶ A ×A→ A, los cuales resultan explícitamente en un nuevo generador

[Xi,Xj] = i N

∑k=1

cki,jXk ∈ A, (2.2)

donde cki,j = −ckj,i son constantes de estructura reales que caracterizan el álgebra.

Los elementos del álgebra de Lie que nos interesan pueden ser realizados medianteoperadores diferenciales o matrices, los primeros actuando en espacios de funcionesde variables continuas, y los segundos en componentes discretos de vectores columna,los cuales pueden ser finitos o infinitos.

Representación del álgebra en matrices

Un elemento genérico del álgebra de Lie puede ser representado por una matrizde tamaño N ×N , esto basado en el hecho de que un generador del álgebra elegidocomo el HamiltonianoH de un sistema, con una base de Kronecker (δm,n) apropiada,puede ser representado por una matriz hermitiana H = ∣∣Hm,n∣∣ con elementos

Hm,n = (δm,H ∶ δn)N =H∗n,m, m,n ∈ N ⊂ R, (2.3)


entonces asumiendo que la base de generadores {Xi}Ni=1 del álgebra de Lie A contieneal espacio vectorial VN , con N ⊂ R su dominio común de acción; y, como en (2.3),los elementos de A son

A(v) = ∣∣Am,n(v)∣∣, m,n ∈ R. (2.4)

Am,n(v) = (δm,A(v) ∶ δn)N = N

∑i=1

vi(Xi)m,n, (2.5)

con ∑m∈N δ†mδm = 1 como matriz unitaria; la correspondencia entre el conmutador

de Lie [A,B] de los operadores respectivos y el conmutador de matrices [A,B] secumple; por tanto, las matrices representan satisfactoriamente el álgebra.

2.1.2. Mapeo exponencial y grupos de Lie

Sea X una matriz de N ×N entradas reales o complejas. El exponencial de X,denotado por eX ó exp(X), es la matriz de N × N entradas dada por la serie depotencias

eX = exp(X) ∶= ∞∑k=0

1

k!Xk. (2.6)

Si se considera un álgebra de Lie de dimensión N = ∣N ∣, los elementos genéricosdel álgebra de la forma (2.1) pertenecen al espacio vectorialN -dimensional VN . Estoselementos generan el grupo de Lie, G, N -dimensional bajo el mapeo exponencialX↦ eX, con elementos

g(v) ∶= exp(i N

∑i=1

viXi) ∈ G, (2.7)

donde v ∈ C(G) ⊂ RN , esto es, v pertenece a la traza Cartesiana en RN , que cubreuna vez la conexión entre los elementos del álgebra y el grupo, a su vez, los elementosv constituyen la parametrización polar del grupo. Esta parametrización admite dospropiedades características,

g(αv)g(βv) = g((α + β)v), g(γv) = g(v)γ, α, β, γ ∈ R, (2.8)

y la identidad del grupo dada por g(0) = g0.2.2. Grupo de Heisenberg-Weyl (gHW)

2.2.1. Representación del grupo en matrices

Exponenciar una matriz que representa al álgebra en (2.4, 2.5) significa que loselementos g(v) ∈ G obtenidos van a actuar sobre el vector N -dimensional del espaciode estados VN , esto es

E(g) = exp(iA) = ∣∣Em,n(g)∣∣, (2.9)

Em,n(g) ∶= (δm, g ∶ δn)N = (δm, exp(iA) ∶ δn)N , (2.10)

cuya acción explícitamente es

g ∶ f = E(g)f , (g(v ∶ f))m = N

∑n=1

Em,n(g(v))fn, Em,n(g(v)) ∈ G (2.11)


La multiplicación de elementos g1g2 se da por el producto de las matrices querepresentan los elementos, la unidad se obtiene por la matriz del elemento g0, elinverso del elemento de la matriz es igual al inverso de la matriz misma, la asocia-tividad por tanto se mantiene. Por último, si el álgebra A es auto-adjunta, significaque su mapeo exponencial es unitario y bajo el producto punto de dos vectores enVN con la matriz E(g) se obtiene

(f1,E(g)f2)N = (E(g)†f1, f2)N = (E(g−1)f1, f2)N (2.12)

= (E(g(1 − ν)v))f1,E(g(νv))f2)N , (2.13)

Em,n(g(v)) = Em,n(g(v)−1)∗ = En,m(g(−v))∗,2.2.2. Del álgebra al grupo

El álgebra de Heisenberg-Weyl (aHW) está dada por tres generadores Q, P, H,cuyos paréntesis de Lie1 son

[Q,P] = iH, [H,Q] = 0, [H,P] = 0. (2.14)

Para representar el aHW se hace el uso de matrices de 3 × 3 con generadores dela forma2

Q =⎛⎜⎝

0 1 1

1 0 0

−1 0 0

⎞⎟⎠ , P = −i⎛⎜⎝

0 −1 −1

1 0 0

−1 0 0

⎞⎟⎠ , H =⎛⎜⎝0 0 0

0 2 2

0 −2 −2

⎞⎟⎠ , (2.15)

Se pueden obtener elementos de esta álgebra haciendo combinaciones de susgeneradores en forma w(s, t, u) = sQ+ tP +uH, con Q,P,H ∈ aHW y s, t, u ∈ R, portanto w(s, t, u) ∈ aHW. En representación matricial esto es

w(s, t, u) = sQ + tP + uH = ⎛⎜⎝0 s + it s + it

s − it 2u 2u

it − s −2u −2u

⎞⎟⎠ . (2.16)

Realizando la exponenciación de la forma matricial de w (2.16) se obtiene laforma del elemento dentro del grupo de Heisenberg-Weyl (gHW)

W(s, t, u) = exp(−iw(s, t, u))= 1 − iw −

1

2w2+⋯, (2.17)

se verifica que esta representación no necesita términos de orden superior ya que esnilpotente, en efecto, wn = 0 con n ≥ 3. Explicitamente (2.17) es un elemento enforma matricial

W(s, t, u) = ⎛⎜⎝1 t − is t − is

−is − t 1 − 2iu − 1

2(s2 + t2) −2iu − 1

2(s2 + t2)

is + t 2iu + 1

2(s2 + t2) 1 + 2iu + 1

2(s2 + t2)

⎞⎟⎠ , (2.18)

1En efecto, los conmutadores de los operadores o generadores.2La forma de las matrices depende de los elementos de grupo que se deseen obtener al expo-

nenciar los elementos que representan el álgebra.


(2.18) es llamada “parametrización polar del grupo.” Si dos elementos de gHW seoperan en forma de composición, se obtiene la regla con la cual se rige la operaciónen el grupo de la forma

W(s, t, u)W(s′, t′, u′) =W (s + s′, t + t′, u + u′ + 1

2[ts′ − st′]) . (2.19)

Estos nuevos elementos pueden ser llamados ω y representarse en la forma

ω(s, t, u) = exp[i(sQ + tP + uH)]= exp[isQ] exp[itP ] exp [i (u + 1

2st)H]

= exp[itP ] exp[isQ] exp [i (u − 1

2st)H] ∈ R3. (2.20)

2.2.3. Anillo del gHW

Espacio de funciones sobre gHW

Un espacio de funciones diferenciable y cuadráticamente integrable en L2(G)parametrizado por la traza cartesiana C(G), cuyas medida invariante de Haar 3 secaracteriza por el producto interno de dos funciones

(f1, f2)G ∶= ∫g∈G

dg f1(g)∗f2(g) ≡ ∫v∈C(G)

ω(v)dN vf1(v)∗f2(v), (2.21)

donde ω(v) es una función de peso sobre el grupo que caracteriza la invarianza dela medida de integración.

Anillo del grupo

En un grupo G existe una estructura llamada anillo, que se caracteriza por serun espacio vectorial G con una base generadora dada por los elementos g ∈ G. SiG es un grupo de Lie N -dimensional, el anillo determina un espacio de dimensióninfinita el cual contiene operadores integrales sobre los elementos del grupo G, cuyafunción característica sobre el grupo es

F = ∫v∈C(G)

dHaar g(v)f(g(v))g(v) ∈ G, (2.22)

que actúa sobre cualquier espacio VN de representaciones en los que elementos de Gactúan. En particular, si VN es finito, la ec. (2.22) puede ser representada por unamatriz de N ×N entradas.

2.3. Operador de Wigner sobre gHW

Definiendo el operador del cual se obtendrá la función de Wigner, se consideranlos elementos g ∈ G tratados en parametrización polar v ∈ C(G) con {X}Ni=0 de la

3Una medida invariante de Haar es una forma de asignar un volumen invariante sobre el espaciode integración de las funciones del grupo, en el cual el dominio de integración es todo el grupoque se caracteriza por ser invariante bajo traslaciones derechas e izquierdas, entonces la medidainvariante Haar permite la invarianza del elemento diferencial dg(v) = ω(v)dN v ∈ G.


base generadora del álgebra de Lie como

g(v) ≡ E(v, X) ∶= exp(i N

∑i=1

viXi) ∈ G, (2.23)

donde E(v, X) ≡ E(g, X) se caracteriza por ser una función operador-valuada sobreel grupo. Pero, ya que los generadores Xi no conmutan, es decir XiXj ≠ XjXi, eloperador E debe evaluarse de forma ordenada; en cambio, si se introducen cantidadesconmutables {ζi}Ni=0, ζ ∈ R, se puede obtener la misma función (2.23) como

E(v, ζ) ∶= exp(i N

∑i=1

viζi) = exp (iv ⋅ ζ) ∈ C(G), (2.24)

con lo cual se observa que la nueva función obtenida (2.24), puede ser tratada comola correspondencia clásica de g(v). La parametrización polar del grupo (2.18) ofreceun marco de referencia con el cual comparar el par de operadores (2.23, 2.24) con loque se define el G-operador de Wigner como la función operador-valuada dada por

WG(ζ) ∶= (E(⋅, ζ),E(⋅, X))G (2.25)

= ∫v∈C(G)

ω(v)dN v E(v, ζ)∗E(vX), (2.26)

= ∫v∈C(G)

ω(v)dN v exp(i N

∑i=1vi(Xi − ζi)) , (2.27)

donde el rango del argumento recorre sobre ζ ∈ RN , caracterizado por ser un espacioEuclidianoN -dimensional, llamado espacio de meta-fase, el cual contiene una estruc-tura que puede ser identificada como el espacio-fase del Hamiltoniano del sistema,el cual subyace en G.

CAPÍTULO 3

REPRESENTACIÓN EN ESPACIOFASE: FUNCIÓN DE WIGNER

En este capítulo se aborda la definición de la función de Wigner sobre el grupopara su aplicación a señales (estados o funciones de onda). Se definen los estados(o señales) puros y enredados (entangled). Se estipula la justificación de por qué lafunción de Wigner es apropiada para el análisis de estos estados y en especial qué in-formación se puede obtener de un estado enredado haciendo uso de esta herramientade análisis.

3.1. Justificación

En Mecánica Cuántica un sistema microscópico se describe por medio de unvector de estado ⟨q∣ψ⟩ = ψ(q),1 o por un operador de densidad ρ; pero, éstos sonobjetos matemáticos abstractos y es difícil obtener información significativa de ellos.La representación en espacio-fase de una función de onda que se obtiene por mediode la función de Wigner no contiene más información que la función original, peroes una forma más sencilla de visualizar esta información. En relación con esto, larepresentación en espacio fase es apropiada para considerar la conexión entre lossistemas clásicos y cuánticos.

Si se restringe al análisis de sistemas unidimensionales cuya evolución es descritapor medio de los operadores A, B, se observa que si la relación de conmutacióncumple con [A, B] = ih, entonces es imposible describir un espacio-fase genuino,debido a la restricción que impone la relación de incertidumbre de Heisenberg (1.23).Aún así se puede hacer uso de ciertos objetos que dependan de los valores propiosde los operadores A, B, ésto es, A, B ↦ a, b, donde a, b son números complejos. Perohacer esto requiere una serie de sacrificios, el más significativo es que la “distribución”puede llegar a admitir valores negativos, haciendo que la distribución no cumpla enel sentido estadístico del concepto.

A pesar de esto, la función de Wigner es una poderosa herramienta que nospermite obtener una representación fehaciente de la información contenida en la

1Donde este vector de estado describe todas las posibles funciones de onda en cualquier instante,con ∣⟩ como un vector columna de tantas componentes como la dimensión del sistema analizado.


señal.2 La cual puede ser usada sobre funciones de estado puros, ésto es, señales sinpatrones de interferencia no separables, con lo cual se puede extraer informaciónprecisa sobre qué frecuencias ocurren a qué tiempo, ésto en una única impresiónde toda la señal. Cuando se trata de señales puras, la suma de dos sistemas queevolucionan presenta un tipo de interferencia clásica que con la representación enespacio-fase de la función de Wigner podemos discernir con facilidad qué frecuenciaspertenecen a qué señal sin ambigüedad3; pero, cuando se trata de señales en lascuales la interferencia está directamente relacionada con la evolución del sistema(en efecto, la evolución de cada subsistema que lo compone), es imposible realizaruna separación de éstos sin perder información y alterar el análisis; este tipo deseñales se llaman enredadas. Entonces, la función de Wigner nos presenta una formaviable de obtener información de la señal al representarla en el espacio-fase, donde lascaracterísticas del enredamiento adquieren un significado específico, el cual dependede los patrones de interferencia que se obtengan al hacer interactuar los subsistemasdel sistema total.

3.2. Función de Wigner

En un sistema Hamiltoniano perteneciente a G, se define la G-función de Wignerde una señal f ∈ VN , como el valor de expectación del G-operador de Wigner (2.26),(2.27) en el estado de observación (o análisis). La función de Wigner se define usan-do el producto interno (de funciones) de la señal sobre el conjunto de puntos quepertenecen a N (2.3)

W (f ∣ζ) ∶= (f ,W (ζ)f)N = ∫m,n∈N

f∗mWm,n(ζ)fn = f †W(ζ)f , (3.1)

donde, recordando que W(ζ) = ∣∣Wm,n(ζ)∣∣, es la matriz asociada al G-operador deWigner.

En su artículo de 1932, cuando E. Wigner publicó por primera vez la función,lo hizo para establecer correciones en el modelo mecano-cuántico de un sistema enequilibrio, él necesitaba una herramienta tal que pudiera obtener información almismo momento de una función de estado, algo que la solución de la ecuación deSchrödinger no realizaba, aunque él en ese entonces sólo se “limitó” a enunciar lafunción,4 y derivar algunas propiedades que servirían a su propósito.

Deseando poder dar la función de Wigner en su forma original, se puede tomar

2Una señal que puede ser contenida por una función de onda clásica o cuántica, cuya corres-pondencia semi-clásica se logra por la representación en espacio-fase de la función de Wigner.

3Más aún, éste tipo de señales pueden ser separadas y analizadas en forma aislada.4En este mismo artículo E. Wigner hace notar que esta función en especial había sido usada

antes por él y el físico húngaro Leó Szilárd


la G-función de Wigner y obtenerla de ésta en la forma

W (f ∣ζ) ∶= (f ,∫g∈G

E(g, ζ)∗g ∶ f)N= ∫g∈G

E(g, ζ)∗(f , g ∶ f)N= ∫g∈G

dg(v) exp(−iv ⋅ ζ)(f ,D(v)f)N ,= ∫g∈G

dg(v) exp(−iv ⋅ ζ)(D(−1

2v)f ,D(1

2v)f)N , (3.2)

donde en (3.2) se ha hecho uso de las propiedades de unitariedad y fraccionalizaciónde la parametrización polar del grupo, (2.13).5

Si se normaliza el G-operador de Wigner sobre todo el espacio de meta-faseζ ∈ RN , se obtiene

∫RN

dN ζ W (ζ) = ∫g∈G

g(v)∫RN

dN ζ exp(−iv ⋅ ζ)= (2π)N ∫

v∈C(G)

ω(v)dN v δ(v)g(v)= (2π)Nω(0)g0, (3.3)

donde g0 = g(0) es el elemento identidad del grupo. Si ahora se integra la función deWigner de una señal f (3.2), resulta que es proporcional a la norma cuadrada de lafunción misma,6 entonces

∫RN

dN ζ W (f ∣ζ) = ⎛⎜⎝f ,∫g∈G g(v)∫RN

dN ζ exp(−iv ⋅ ζ)g ∶ f)N⎞⎟⎠ = (2π)Nω(0)∣f ∣2N . (3.4)

Señales

Con el fin de obtener la forma explícita de la función de Wigner para señales (con-tinuas o discretas), se observa que en (3.2), las matrices conjugadas, D(−1

2v),D(1

2v)

representan en realidad una traslación en direcciones opuestas de los elementosv ∈ C(G), que a su vez pertenecen al grupo G, al estar operando sobre f , estoes, actuando sobre un vector columna de coordenadas m, entonces se tiene que lascoordenadas de este vector serán desplazadas conforme la matriz D dicte operandomediante un producto punto de la forma

(D(−1

2v)f ,D(1

2v)f)N = ∫

m,m′,n∈NDm,n(−1

2v)†f∗mDm′,n(12 v)†fm′ , (3.5)

5Cabe aclarar que esta fraccionalización en dos matrices D(v) está definida sobre la parametri-zación polar del grupo de Heisenberg-Weyl.

6(f, f′)N ∶= ∫m∈N

f∗mfm = f

†f , ∣f ∣N ∶=

√(f , f)N


se observa entonces que {v} es un conjunto de coordenadas de integración de latransformación sobre el grupo, por lo cual la medida de integración es dg(v) ↦ dv.Tomando (3.5) y volviendo a (3.2), se tiene que

W (f ∣ζ) = ∫g∈G

∫m,m′,n∈N

dv exp(−iv ⋅ ζ)Dm,n(−1

2v)†f∗mDm′,n(12 v)†fm′ , (3.6)

Y como se demuestra en [30] para funciones monocromáticas, (3.6) es

W (f ∣m,ζ) = 1

2π ∫R

dv exp(−ivζ)f(m − 1

2v)∗f(m + 1

2v), (3.7)

que coincide con la forma presentada por E. Wigner.7

Como se presentara posteriormente, ésta función evaluada es estrictamente real,pero no necesariamente positiva en todo el espacio-fase de análisis.

De señales a distribuciones

Como se puede observar en (3.7), la función de Wigner toma una función de ondaf , realiza una correlación de desplazamientos conjugados para luego aplicar unatransformación tipo TF con la cual se logra la expansión del dominio de definiciónde la función al espacio-fase (bajo Wigner); pero, si el sistema análizado no esrepresentado por una sóla función de onda, sino por una distribución de densidadρ, dada por

ρ = ∫m,n∈N

δmρm,nδn, (3.8)

que representa todas la posibles funciones de onda de un sistema. La función deWigner de una distribución de densidad ρ de acuerdo con (3.1) es definida como

W (ρ∣ζ) ∶= ∫m,n∈N

Wm,n(ζ)ρn,m = Tr (W (ζ)ρ)N , (3.9)

donde Tr es la traza (suma) sobre la diagonal de los elementos matriciales de(W (ζ)ρ).Esta definición de la función de Wigner en términos de una distribución de

densidad es usada para describir estados enredados, ya que si ρ contiene funciones deonda las cuales están ligadas por medio de interferencias no separables (cuánticas),entonces no es posible partir la distribución para eliminar la interferencia; en cambio,se debe tratar la distribución como la única forma de obtener información de losestados de la funciones de onda que componen el sistema, de aquí pues que lafunción de Wigner sea una forma de transformar la información contenida en unadistribución con enredamiento a una representación en espacio-fase, la cual puedeayudar a tomar deducciones del comportamiento del sistema y las interferenciasinherentes que presenta.

7Véase el apéndice A para una forma alternativa de formular la función de Wigner dada porW. Schleich en [19], la cual hace uso de propiedades de traslación de los dominios de la función enespacio fase.

CAPÍTULO 4

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DEWIGNER Y ESTADOS ENREDADOS

El siguiente capítulo está dedicado a la especificación de las propiedades de lafunción de Wigner que la hacen adecuada para el tratamiento de señales enredadas,éstas propiedades a su vez hacen que la función de Wigner sea una herramientamatemática tan eficiente que la descripción mecano-cuántica dada por la ecuaciónde Schrödinger sea fielmente representada por la función de Wigner en espacio-fase,ésto con ayuda de las condiciones de cuantización de Weyl, que dan una estruc-turación de la formulación la cual contiene toda la información de la evolución delos estados cuánticos. Dentro del análisis de señales, las propiedades que conlleva lafunción de Wigner permiten realizar observaciones precisas sobre el comportamientode la información contenida en la misma, ya que por ejemplo, una señal eléctrica enfunción del tiempo puede ser representada por una función con parámetros comple-jos, la función de Wigner como ya se dijo en el capítulo anterior, siempre es real alser evaluada, esto lleva a que la representación en espacio-fase que se obtenga estaráen correspondencia directa con la fenomenología física del sistema analizado.

4.1. Propiedades

4.1.1. La función de Wigner es real

Si una distribución de probabilidad P (q, p) describe un sistema real y representaen forma Hermitiana a la función de onda ψ(q), entonces

P (q, p) = ⟨ψ∣M(q, p)∣ψ⟩ ,donde M(q, p) es un operador auto-adjunto que depende de las coordenadas q y p,entonces, P (q, p) es real, por tanto (3.2), (3.6) y (3.7) son reales.1

1Para una demostración véase el apéndice B


4.1.2. La función de Wigner está acotada

La función de Wigner (3.7) no puede tomar valores arbitrariamente grandes(cuando ∣f ∣ = 1), ésto es, existe una cota superior. Recordando la definición de lafunción de Wigner

W (f ∣q, p) = 1

2π∫R

dτ exp(−ipτ)f(q − 1

2τ)∗f(q + 1

2τ), (4.1)

en la cual se puede interpretar el integrando como el producto escalar de dos fun-ciones de onda de la forma

g1(τ) ∶= 1√2exp(ipτ)f(q − 1

2τ) y g2(τ) ∶= 1√

2f(q + 1

2τ), (4.2)

correspondiente a los estados ∣g1⟩, ∣g2⟩ en notación de Dirac. Entonces, sustituyendo(4.2) en (4.1) se obtiene

W (f ∣q, p) = 1

π∫R

dτ g∗1(τ)g2(τ) = 1

π⟨g1∣g2⟩ . (4.3)

Tomando la magnitud de (4.3)

∣W (f ∣q, p)∣ = 1

π∣ ⟨g1∣g2⟩ ∣,

y con la ayuda de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos funciones de ondanormalizadas ∣ ⟨g1∣g2⟩ ∣2 ≤ ⟨g1∣g2⟩ ⋅ ⟨g1∣g2⟩ = 1 ⋅ 1.

Se establece entonces que la función de Wigner tiene como cota superior

∣W (f ∣q, p)∣ ≤ 1

π, (4.4)

con lo cual se asegura que la función de Wigner puede crecer rápidamente, peronunca ser mayor que el valor 1/π.

4.1.3. La función de Wigner es mayormente positiva

Por otra parte, la función de Wigner puede tomar valores negativos. Sean ρ1, ρ2un par de distribuciones de densidad, la traza del producto de estas dos distribucio-nes está dada por

Tr(ρ1, ρ2) = 2π∫R

dq∫R

dpW (ρ1∣q, p)W (ρ2∣q, p), (4.5)

donde W (ρi∣q, p) es la función de Wigner del operador de densidad ρi, para i = 1,2.Entonces, si se pide que ρ1, ρ2 sean ortogonales

Tr(ρ1, ρ2) = 0, (4.6)

ésto implica que

∫R

dq∫R

dpW (ρ1∣q, p)W (ρ2∣q, p) = 0, (4.7)

lo que significa que en el producto de W (ρ1∣q, p) con W (ρ1∣q, p), alguna de las dosdebe tomar valores negativos para satisfacer la condición de ortogonalidad impuesta.


4.2. Negatividad de la función de Wigner e indica-dor de enredamiento en señales

La negatividad de la función de Wigner ha sido ligada a la no-localidad, éstode acuerdo con la interpretación de variables escondidas en la descripción mecano-cuántica de las funciones de estado, sabiéndose mediante las desigualdades de Bell[22] y la no-localidad de estados investigada por Einstein-Rosen-Podolsky (EPR)[23]. En realidad, Bell argumentaba que un estado EPR puede no exhibir efectos deno localidad debido a que su función de Wigner es mayormente positiva (como semostró anteriormente) y que puede admitir variables no visibles en descripción decorrelaciones de estado.

Un simple indicador de la no-clasicidad de la función de Wigner depende del volu-

men de la parte negativa de la función misma [25]. Recordando la definición de la fun-ción de Wigner (4.1), la cual satisface la condición de normalización ∬ dqdpW (q, p) =1. Existe el doble volumen de la parte negativa en la integración de la función deWigner, que se puede mostrar como

δ(f) ∶=∬ dqdp [∣W (f ∣q, p)∣ −W (f ∣q, p)]=∬ dqdp ∣W (f ∣q, p)∣ − 1. (4.10)

Tratando δ como un parámetro que caracteriza las propiedades de no-clasicidades posible obtener información de cuándo los estados tratados contienen enredamien-to característico.

De hecho, cantidades relacionadas [19] con el volumen de negatividad que contie-ne la función de Wigner han sido ampliamente usadas para describir los efectos deinterferencia que determinan una comparación entre los sistemas clásicos y cuánticoscon enredamiento.

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE SEÑALES

Este capítulo está enfocado a la aplicación del marco teórico presentado en capí-tulos anteriores. Se desarrollan las representaciones en espacio-fase de señales purasy con enredamiento. Se obtienen propiedades relevantes con la función de Wigner.Específicamente se realiza un análisis del experimento de tripe rendija, la cual, ensu versión de doble rendija, fue el parteaguas en la distinción de estados clásicos ycuánticos. Se realiza el análisis de los estados base y coherentes del oscilador armó-nico, y la superposición de dos estados coherentes donde la interferencia no-clásicaes un claro indicador de enredamiento entre los estados.

5.1. Experimento de la tripe rendija

El experimento de las rendijas1 inicialmente demostró cómo la luz puede presen-tar propiedades de partícula y onda simultáneamente. La primera prueba del com-portamiento probabilístico de la luz se obtuvo de las conclusiones de este arregloexperimental, en el cual los patrones de interferencia observados no eran explicadospor un teoría corpuscular; sino que, fue necesaria la introducción de una explicaciónen términos ondulatorios para obtener una teoría coherente en correspondencia conla observación. Concretamente, el experimento consiste en hacer pasar una ondaplana de luz (monocromática) a través de un arreglo de rendijas la cual incide enun pantalla localizada a la distancia focal, después, donde se plasman los patronesde interferencia.

Se simula el experimento de Young con un arreglo de tres rendijas rectangularescomo función de entrada para la función de Wigner, porque adicionalmente el resul-tado obtenido con la representación clásica de la teoría ondulatoria, se manifiestauna dependencia espectral de las distancias entre rendijas con las magnitudes de laspartes negativas de la incertidumbre (sonrisa del gato) no-clásica asociada.

Se define la rendija con la relación

rect(q) ∶=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1, ∣q∣ < 1

2

1

2, ∣q∣ = 1

2

0, ∣q∣ > 1

2

(5.1)

1Originalmente realizado por Thomas Young a principios del s. XIX.


La función de rendija operada por la función de Wigner es una representaciónanalítica aproximada de los frentes de onda.

Se define la función de onda de rendija introduciendo en la ecuación (5.1) un parde parámetros con los cuales se controla la magnitud de apertura y separación entreellas. Para una, dos y tres rendijas se tiene

Frect1(q;a) = rect(qa) (5.2)

Frect2(q;a, b) = rect(q − b2

a) + rect(q + b

2

a) (5.3)

Frect3(q;a, b) = rect(q − ba) + rect(q

a) + rect(q + b

a) , (5.4)

donde a ≥ 1, b ≥ 0 ∈ Z+ son el parámetro de ancho y separación entre rendijas.Cuando a = 1 y b = 0, es decir, hay superposición de rendijas en el punto de origende los desplazamientos, figura 5.1.

Figura 5.1: Funciónes rectángulo en el experimento de las rendijas. a) Una rendija,ec. (5.2) b) Dos rendijas, ec. (5.3) c) Tres rendijas, ec. (5.4)

Tomando la definición de la función de superposición de rendijas (5.4), sustitu-yendo en (3.7) se tiene que la función de Wigner es

W (Frecta,b∣q, p) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2

psin(−2∣q∣ + a)(2 cos(2pb) + 1), ∣q∣ < a

2

4

psin(−∣2∣q∣ − b∣ + a) cos(pb), ∣∣q∣ − b

2∣ < a

2

2

psin(−2∣∣q∣ − b∣ + a), ∣∣q∣ − b∣ < a

2

(5.5)

que como se puede ver, (5.4) es una función evaluada por partes debido a las con-diciones que debe satisfacer en términos de los parámetros a, b y las coordenadas q.De esta ecuación se puede observar una forma “sinc” de dos dimensiones, al igualque la transformada de Fourier de una función rectángulo es una función sinc uni-dimensional.


a = 1 a = 2 a = 3 a = 4 a = 5 a = 6 a = 7 a = 8 a = 9 a = 10b=0 18 72 162 288 450 648 882 1152 1458 1800b=1 12 38 96 190 320 486 688 926 1200 1510b=2 18 48 86 152 250 384 554 760 1002 1280b=3 18 66 108 158 236 342 480 654 864 1110b=4 18 72 138 192 254 344 462 608 786 1000b=5 18 72 156 234 300 374 476 606 764 950b=6 18 72 162 264 354 432 518 632 774 944b=7 18 72 162 282 396 498 588 686 812 966b=8 18 72 162 288 426 552 666 768 878 1016b=9 18 72 162 288 444 594 732 858 972 1024b=10 18 72 162 288 450 624 786 936 1074 1200

Cuadro 5.1: Tabla de valores calculados para∞∫−∞

dqdp ∣W (Frecta,b∣q, p)∣ que muestra

una minimización del parámetro de negatividad en el experimento de tres rendijas.

5.2. Distribuciones de densidad: Oscilador armóni-co, estados coherentes y su superposición

El oscilador armónico unidimensional guarda un lugar único en la fenomenologíafísica debido a su simplicidad aunado a sus únicas características en describir unsistema, en el caso clásico se trata de una representación de las oscilaciones de una omás partículas bajo condiciones establecidas, en el análogo cuántico se trata de unmodelo por más eficiente de tratar sistemas cuánticos con simplicidad y elegancia,debido también a que es de los pocos sistemas cuánticos que admite una soluciónanalítica completa bajo la ecuación de Schrödinger.

5.2.1. Soluciones de oscilador armónico

El operador Hamiltoniano que describe al oscilador armónico es

H ∶=p2

2m+

1

2mω2q2, (5.6)

donde p ∶= −ih d/dq es el operador momento en el espacio de configuración, m es lamasa de la partícula y ω es la frecuencia angular de la misma.

Cualitativamente éste operador puede ser visto como la ecuación que describeun círculo de la forma, con m = ω = h = 1

H =1

2(p2 + q2),

donde {q, p} son respectivamente las coordenadas de posición y momento. Entonces,el análisis del Hamiltoniano se reduce al análisis de un círculo en dos dimensiones, elcual claramente es invariante bajo rotaciones alrededor del origen de coordenadas,más aún, bajo cualquier composición de transformaciones canónical lineales [26].


La solución de la ecuación de Schrödinger con el Hamiltoniano (5.6) en el espaciode configuración tiene la forma [19]

⟨q∣ψn⟩ ∶= ψn(q) = (m2ω2

π)1

4 1√2nn!

exp (−1

2(m2ω2q2))Hn(mωq), (5.7)

donde n es el número de cuantos del oscilador y Hn es el n-ésimo polinomio deHermite.3

Como se vió anteriormente en el Capítulo 3, Seccción 3.3 y como lo muestrael apéndice A, la evaluación de la función de Wigner de una función de onda esla tranformada de Fourier de las coordenadas desplazadas de la función misma.Entonces, tomando (5.7), sustituyendo en la definición de la función de Wigner(3.7) y realizando la integración se obtiene que la función de Wigner del osciladorarmónico es [19], apéndice C

W (ψn∣q, p) = (−1)nπh

exp(− [( p

hmω)2 + (mωq)2])Ln (2 [( p

hmω)2 + (mωq)2]) ,

(5.8)donde Ln es el n-ésimo polinomio de Laguerre.

Resultados

Es posible entonces analizar los estados de energía del oscilador armónico (quedependen del parámetro n) por medio de la función de Wigner, esto es, ∣W (ψn∣q, p)∣2;así también se puede analizar en busca de cantidades negativas como indicadores deno-clasicidad en la función de onda original, (5.7)

En la figura 5.5 se pueden observar los dos estados más bajos del oscilador ar-mónico, se nota que el estado a), cuando n = 0 corresponde exactamente a unadistribución gaussiana, ésto es, no contiene partes negativas, lo que va en corres-pondencia con su función de Wigner en la parte a) de la figura 5.6. Sin embargo, alobservar el estado b) cuando n = 1, figura 5.5, se observa que la función de onda deloscilador toma valores negativos, lo cual va en correspondencia con su función deWigner en b), figura 5.6; lo cual muestra por una parte, que como se mencionó antes,la función de Wigner no es una distribución en el sentido probabilista estricto, ya queestas cantidades negativas no lo permiten y, por otro lado, muestra la no-clasicidadinherente que contiene el oscilador armónico, no-clasicidad que será vista como unfenómeno característico cuando se enredan estados por medio de superposición.

Ahora, debido a la simetría radial que presenta la función de Wigner del osciladorarmónico, podemos observar que las marginales de ésta función son idénticas enforma tanto en la dirección de integración q como en la dirección de integración p,esto es

∞

∫−∞

dq W (ψn∣q, p) = ∞

∫−∞

dpW (ψn∣q, p), (5.9)

si se calculan los marginales del primer y segundo estado de la función de Wigner

3En este capítulo sólo se hará uso de la solución independiente del tiempo para el osciladorarmónico.


Figura 5.7: Magnitudes de la negatividad en la función de Wigner del osciladorarmónico. Estados n = 0 a n = 5. En valor igual a 1, la negatividad es nula.

5.3. Estados coherentes del oscilador

Los estados coherentes del oscilador armónico se obtienen desplazando el estadobase del oscilador armónico, n = 0. Estos estados son de gran importancia en lateoría cuántica, ya que son los estados que más se aproximan a la representaciónclásica de una partícula, en un movimiento restringido a un potencial cuadrático deoscilador.

Tomando la Ecuación (5.7) con n = 0,

ψ0(q) ∶= (m2ω2

π) 1

4

exp (−1

2m2ω2q2) ,

Para que el estado coherente represente un estado análogo al del oscilador bajo eldesplazamiento del estado base de éste, se ha de realizar un desplazamiento por unacantidad q0 =

√2α/mω, con α ≥ 0, y simultáneamente reducir la energía potencial

por una cantidad mωq2/2 = α2ω, con lo cual

ψα(q) ∶= (m2ω2

π) 1

4

exp (−1

2(mωq −√2 α)2) . (5.10)

El cálculo de la función de Wigner en la Ecuación (5.10) se realiza de maneraanáloga a la de la función de onda del oscilador armónico, con la diferencia que no de-pende del número de cuantos n, y se ha introducido el parámetro de desplazamientoα, entonces, tomando (5.10) y sustituyendo en (3.7), se tiene que

Wα(ψ∣q, p) ∶= ( 1π) exp [−(mωq −√2 α)2 − p2] . (5.11)


Observando la Ecuación (5.11), se puede notar la forma gaussiana y sabiendo

que∞∫−∞

dβ exp(−β2) =√π, entonces

∞

∫−∞

dqdp ∣W (ψα∣q, p)∣ ∶ = ∞

∫−∞

dqdp ∣( 1π) exp [−(q −√2 α)2 − p2]∣

=1

π

∞

∫−∞

dqdp ∣ exp(−(q −√2α)2)∣ ∣ exp(−p2)∣=1

π

∞

∫−∞

dqdp exp(Re[−(q −√2α)2]) exp(Re[−p2]),si q −

√2α > 0 y p > 0

∞

∫−∞

dqdp ∣W (ψα∣q, p)∣ = 1

π

∞

∫−∞

dqdp exp(−(q −√2α)2) exp(−p2)=1

π(√π ×√π) = 1

Lo cual muestra que el valor de∞∫−∞

dqdp ∣W (ψα∣q, p)∣ siempre es la unidad inde-

pendientemente de que valores tome el parámetro de desplazamiento α, luego, unestado coherente siempre está valuado positivamente.

5.4. Superposición de estados coherentes

Mencionado anteriormente, la superposición de estados es un principio que surgede la descripción puramente cuántica, en la cual emerge un enredamiento únicorepresentado como un patrón de interferencia dependiente de la interacción de losestados, como el de su distancia de separación en el espacio-fase, el cual muestracuantitativa y cualitativamente estos patrones de interferencia.

La forma de obtener una estricta superposición de dos estados coherentes, eshacer que estos sean ortogonales debido a que la simple suma implica una no orto-gonalidad, luego, es necesario buscar un factor que mida la no ortogonalidad de losdos estados en superposición. Pero, debido a que el tratamiento realizado va sobrela medición de las partes negativas que se obtienen de la función de Wigner, se hade simplificar el análisis a una suma de dos estados coherentes, Ecuación (5.10), dela forma

Ψα(q) = ψα(q) +ψ−α(q), (5.12)

donde los desplazamientos por α y −α determinan la intensidad de interferencia delos estados en superposición.

Por tanto, de la evaluación de la función de Wigner se obtienen tres términos,dos de los cuales son los relativos a los estados puros y un tercero que refleja lainterferencia no-clásica entre los dos primeros

W (Ψα∣q, p) =W (ψα∣q, p) +W (ψ−α∣q, p) +Wint(α,−α)(ψ∣q, p),dondeWint(α,−α)(ψ∣q, p) define la interacción de los dos estados con interferencia, estetérmino es el principal indicador de la no-clasicidad de los estados superpuestos, esdecir, determina el enredamiento cuántico de los mismos.


Para evaluar la función de Wigner de los estados en superposición se tiene que,por la Ecuación (5.12)

Ψα(q) = (m2ω2

π) 1

4

exp (−1

2(mωq −√2 α)2) + (m2ω2

π) 1

4

exp (−1

2(mωq +√2 α)2) ,

es la ecuación explícita que define la suma de los estados coherentes, tomando es-ta ecuación y sustituyéndola en la definición de la función de Wigner se obtienefinalmente, con m = 1 y ω = 1

Wα(Ψ∣q, p) = 1

2πexp(−(q −√2α)2 − (p +√2α)2) + 1

2πexp(−(q −√2α)2 − (p −√2α)2)

+

2

πcos(2√2α(q − 1

2

√2α)) exp(−(q −√2α)2 − p2), (5.13)

donde claramente el primer y segundo término representan al primer y segundoestado coherente, mientras que el tercero se debe a la interferencia entre los primeros.

Resultados

Se observa en la figura 5.9 que la separación de los estados coherentes en su-perposición conlleva a un patrón de interferencia; este patrón es llamado la sonrisa

del gato. Se puede observar que mientras la separación entre estados aumenta, lasonrisa comienza a hacerse más cerrada y con más picos, también llamados dientes,por tanto, a mayor separación, la sonrisa se compacta: La magnitud de la partenegativa de la sonrisa está en razón directa con su parte positiva, esto es, presentasimetría respecto al plano de origen. Se desprende de lo anterior que existe simetríaentre estados coherentes. Aunque la magnitud se conserve independientemente dela separación entre estados, es posible obtener información, debido a que el patrónde interferencia se vuelve más denso al aumentarla.

Para obtener información sobre el comportamiento del patrón de interferencia,nos remitiremos al análisis de los estados de oscilador y de los estados coheren-tes puros del mismo. Entonces, calculando los diez primeros valores del indicador∞∫−∞

dqdp ∣W (ψα∣q, p)∣, de α = 0 a α = 9.

Como se puede observar en la figura 5.10, cuando la separación es α = 0, noexiste negatividad ya que no se tiene término de interferencia entre estados por estarsuperpuestos en el mismo punto del espacio fase. Conforme la separación aumenta,la magnitud de la negatividad se incrementa hasta llegar a un máximo con unaseparación de α = 4, a partir de la cual la magnitud de la negatividad se conserva.En la figura 5.9 se observa que en efecto, la magnitud de la negatividad se conserva,y que el número de dientes en la región de interferencia aumenta conforme unaproporción directa con la separación de los estados coherentes. En el hipotético casode una separación que tiende al infinito, se tiene que la magnitud de la negatividadsigue conservada, pero se tendrá un empaquetamiento denso de infinito número dedientes en la sonrisa o patrón de interferencia.


por tanto es necesaria la aplicación de una ventana (en éste caso Gaussiana) quenos muestre de forma más amable la información contenida en la sonrisa.

Aislando el término que contiene el patrón de interferencia, se tiene

Wint(α)(G∣q, p) ∶ = 2Re [exp(−p2 − q2 + 2ipα)]= 2

√2

πexp(−(p2 + q2)) cos(2pα), (5.15)

cuyo perfil, cuando q = 0, se observa en la figura 5.11, que muestra las oscilacionesespecíficas que se desean minimizar con el ventaneo gaussiano.

En concreto, atenuar esta interferencia se logra analíticamente convolucionandoel término oscilante con la ventana gaussiana, que en este caso es de la forma

Hκ(q, p) ∶= exp(−κ[q2 + p2]), (5.16)

donde κ es un parámetro que permite el incremento o decremento de la formagaussiana, tratando de hacer que la ventana cubra total o parcialmente la magnitudde la intereferencia, dependiendo si se quiere eliminar por completo el patrón deinterferencia o solo minimizarlo respectivamente.

Convolucionando (5.16) con (5.15) se tiene que

Fα,κ(r, s) ∶ = ∞

∬−∞

dqdp 2Re [exp(−p2 − q2 + 2ipα) × exp(−κ[(r − q)2 + (s − p)2])](5.17)

=⎛⎝√2π√(1 + κ)2

⎞⎠ × 2Re [exp(−α2+ (r2 + s2)κ − 2isακ

1 + κ)] . (5.18)

Donde el argumento en la exponencial se ve amortiguado por el parámetro κ, elcual disminuye la magnitud de la oscilación.

Resultados

Se muestra que la elección del parámetro κ influye directamente en la minimiza-ción del patrón de interferencia.

En la figura 5.12 se observa el término de interferencia de los planos fase de lafunción de Wigner atenuada, esto cuando α = 5 y κ = 1/2π, π/2, π,2π. Se observa quecuando κ = 1/2π se tiene en la sonrisa una cantidad mínima de dientes, conforme elvalor de κ aumenta los dientes comienzan a cerrarse, es decir, comienzan a aumentar,como se ven en b), c) y d), las partes negativas presentadas como zonas oscuras sedistribuyen entre los dientes.

Lo que esta representación no muestra es la magnitud de los dientes, tomando elperfil de la función de Wigner atenuada, q = 0 en (5.18). Se observa en la figura 5.13que cuando κ = 1/2π la magnitud de los dientes es mínima, sin embargo, cuando κaumenta de magnitud los dientes aumentan al igual que su magnitud, esto se puedeobservar en la parte b), c) y d).


En la siguiente tabla se muestran los valores calculados del parámetro de nega-

tividad∞∫−∞

dqdp ∣W (Fα,κ∣q, p)∣ desde α = 0 a α = 10 y κ = 1/2π, π/2, π,2π.

κ = 1/2π κ = π/2 κ = π κ = 2πα = 0 49.4789 5.01326 2.50663 1.25331α = 1 20.8812 3.39771 1.96892 1.09252α = 2 1.5695 1.05775 0.954208 0.723671α = 3 0.0210105 0.151257 0.285322 0.364244α = 4 0.0000500938 0.00993525 0.0526384 0.139311α = 5 2.12717×10−8 0.00029976 0.00599166 0.0404871α = 6 1.60875×10−12 4.15434×10−6 0.000420793 0.00894106α = 7 2.16694×10−17 2.64461×10−8 0.0000182333 0.00150038α = 8 5.19848×10−23 7.73312×10−11 4.87462×10−7 0.000191318α = 9 2.22114×10−29 1.03867×10−13 8.04066×10−9 0.0000185375α = 10 1.69023×10−36 6.40821× ∗ 10−17 8.18312×10−11 1.36485×10−6

Un valor κ < 1 muestra una magnitud grande del parámetro en los primerosvalores de α, tal es el caso de κ = 1/2π, donde observa que se comienza con unvalor grande, pero conforme la separación α aumenta, el parámetro muestra unatendencia decreciente muy rápida, lo cual al llegar a una separación de α = 10, elvalor calculado de ∫ ∞−∞ dqdp ∣W (F10,1/2π ∣q, p)∣ ≈ 0, y el tratamiento casi ha atenuadotodo rastro del patrón de interferencia. Diferente es lo que pasa con κ < 1, donderápidamente hay una caída en la magnitud del parámetro, ejemplo, κ = π,2π; pero,a diferencia de lo que pasó en el primer caso, esta súbita disminución va acompañadade una subsecuente y lenta caída en el valor conforme α aumenta y, como se puedededucir, la relación entre α y κ dicta que con valores grandes de α se necesita unvalor pequeño de κ y viceversa, esto con fines prácticos en los cuales el que analizamediante ventaneo decida si quiere una gran separación con mínima interferencia opoca separación e igual, una mínima interferencia.

Como lo demuestra E.C.G. Sudarshan et. al. [28], la convolución de dos funcionesde Wigner donde el término de convolución sea punto-a-punto no-negativo satisfacelas condiciones para las cuales ésta operación es estrictamente positiva, lo cual escien por ciento cierto cuando se trata de una Gaussiana; pero, cuando se tratanotras funciones más exóticas y que tienen partes negativas, lo anterior no se puedeasegurar.

CAPÍTULO 6

USO DE LA SONRISA PARAHOLOGRAFÍA

Es posible que la invención más influyente en las ciencias ópticas y relacionadassea la holografía. La holografía es una técnica de almacenamiento de informacióndesarrollada por Dennis Gabor [27] en 1948. El método original está basado en latransmitividad de una placa fotográfica expuesta a un haz de luz proveniente deun objeto iluminado por otro haz de luz coherente. En este capítulo se presentateóricamente cómo el término de interferencia entre dos señales (sonrisa del gato)contiene la información holográfica de la primera señal con respecto a la segunda, alo cual sigue la reconstucción de la información contenida en la sonrisa.

6.1. Función de Wigner

En el modelo paraxial de señales monocromáticas, con una longitud de ondaλ ≠ 0, la función de Wigner entre dos señales f0(q) y f1(q) se define como

W (fo, f1∣q, p) = 1

2πλ∫R

dη f0(q − 1

2η)∗ exp(−pη/λ) f1(q + 1

2η). (6.1)

En los capítulos anteriores se utilizó la Ecuación (6.1) cuando f0 = f1, lo cual seinterpreta como la cuasi-probabilidad de encontrar el sistema en un estado definidosobre el espacio-fase. Cuando f0 ≠ f1, se le ha llamado de diferentes formas en laliteratura.

Lohmann [28] muestra que durante la producción óptica de una señal, la funciónde Wigner “verdadera” está convolucionada en (q, p) con una Gaussiana de la forma

Gǫ(q) = 1(πǫ)1/4 exp(−q2

2ǫ) ,

donde el producto de anchuras es mínimo, satisfaciendo la relación de Heisenbergpara la igualdad, Ecuación (1.24). Por tanto, la función de Wigner ‘medida’ es laintensidad ∣(Gǫ ∗ f)(q, p)∣2 en la pantalla.


6.2. Estados gato

Figura 6.1: Curvas de nivel de la función de Wigner de un estado gato compuestode la suma de dos Gaussianas con ǫ = 1 y una separación de 5 unidades. Nótese lostres términos en el plano fase, donde el término central es la sonrisa.

Como se vió en la Sección 5.4, la superpsición de dos estados en combinaciónlineal f0+f1 sobre la función de Wigner resulta en un descomposición de tres términosreales

W (f0 + f1, f0 + f1∣q, p) =W (f0, f0∣q, p) +W (f1, f1∣q, p) + S(f0, f1∣q, p), (6.2)

dondeS(f0, f1∣q, p) = 2Re[W (f0, f1∣q, p)]. (6.3)

En las Figuras 5.9 y 6.1 estos tres términos son claramente reconocibles. Lacaracterística dominante es el término cruzado (6.3), llamada sonrisa del gato, comose mencionó en el capítulo anterior en la Ecuación (5.15).

6.3. Reconstrucción holográfica

De la teoría óptica clásica se sabe que la transmitividad de una placa fotográficaexpuesta a un haz de objetivo f1(q, z) iluminado por un haz coherente distintof0(q, z) en el plano estándar z = 0 es

∣f0(q) + f1(q)∣2 = ∣f0(q)∣2 + ∣f1(q)∣2 + 2Re[f0(q)∗f1(q)], (6.4)

y que produce un holograma unidimensional. Los primeros dos términos varian muypoco sobre la pantalla, resultando en una iluminación de fondo constante. Por otrolado, el tercer término es áltamente oscilante, y en algunas partes puede ser negativo.


Cuando se integra la Ecuación (6.3) sobre p se encuentra la proyección sobre q,con lo cual se introduce la función holográfica

H(f0, f1∣q) = ∫R

dp S(f0, f1∣q, p)= 2Re

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∫R dpW (f0, f1∣q, p)⎤⎥⎥⎥⎥⎦= 2Re[f0(q)∗f1(q)]. (6.5)

Se observa que (6.5) es exactamente el término de interferencia en (6.4). Portanto, la proyección del término de sonrisa contiene la información holográfica delhaz f1 bajo la referencia del haz f0.

CAPÍTULO 7

APLICACIÓN: ANÁLISIS DE SEÑALESDE VIBRACIÓN EN MÁQUINAS

REALES

En este capítulo se realiza un análisis en tiempo-frecuencia de las señales ob-tenidas de una máquina real para estudiar vibraciones. Se analizan estas señalesmediante la versión discretizada de la función de Wigner, llamada: distribución deWigner-Ville. Mediante este método se buscan las frecuencias naturales de oscilaciónde la máquina, así como resonancias y frecuencias residuales debidas a un mal mon-taje, un mal engrasado de los rodamientos, etc., esto caracterizando tres regímenesde movimiento: dos transitorios, en el arranque y parada, y uno estable durante lavelocidad nominal.

7.1. Máquina de rotación

Se trabajó con una máquina pedagógica llamada rotorkit, localizada en el labo-ratorio de vibraciones mecánicas del Centro de Investigación en Ingeniería y

Ciencias Aplicadas CIICAp a cargo del Dr. Juan Carlos García Castrejón. Esterotorkit consta de un motor de corriente directa de velocidad regulable, se encuentraconectado a un eje de aluminio descansando en un par de rodamientos extremos,todo el equipo sobre un banco de trabajo dedicado.

El rotorkit es un Bently-Nevada RK-4, cuyo propósito es básicamente de enseñan-za, ya que puede reproducir cierto tipo de fenómenos encontrados en las máquinasreales bajo funcionamiento industrial, como resonancias, desbalanceo, perturbacio-nes de carcasa, etc. El eje que transmite el movimiento rotatorio del motor es dealuminio, sobre éste se coloca un disco de pruebas para balanceo. La unidad decontrol de velocidad maneja los parámetros de velocidad máxima y aceleración odesaceleración del motor. Las especificaciones son:

Velocidad máxima: 10 000 RPM

Rampa máxima de subida o bajada (aceleración o desaceleración): ± 15 000RPM/Min


En la Figura 7.1 se muestra un esquema con la disposición de los elementos:motor, eje de aluminio, disco de balanceo y unidad de control del rotor.

Figura 7.1: Esquema del arreglo experimental. Superior izquierda: Unidad de controldel motor y unidad concentradora de sensores. Inferior derecha: a) motor, b) eje dealuminio, c) soporte de sensores y sensores, d) rodamientos e), disco de balanceo.

7.2. Equipo para captura de datos

Se contó con un par de proxímetros, dispuestos sobre un soporte a 90 gradosentre sí, como se observa en la Figura 7.1. Estos proxímetros están calibrados paragenerar una diferencia de potencial de 5mV entre la punta del sensor y la superficiedel eje, con lo cual, las vibraciones del eje son convertidas en fluctuaciones de ladiferencia de potencial, así, el adquisidor de datos traduce los cambios de la diferen-cia de potencial en desplazamientos con respecto al centro de rotación del eje. Lossensores son conectados a un concentrador de datos Bently-Nevada de 4 canales.La recolección y procesamiento de datos lo realiza un adquisidor Nicolet-Compasscorriendo un software de procesamiento Prism, que permite controlar los parámetrosde: resolución vertical y horizontal, llamadas “lines” y “span” respectivamente, asícomo el número de puntos a muestrear y el intervalo de muestreo. El software des-pliega en tiempo real la forma de onda y la transformada de Fourier del movimientorotatorio del eje. La configuración del software en los tres regímenes de movimientofue:

Número de datos a muestrear: 4096 = 212

Delta del tiempo: 3.1 ms

Resolución vertical: 1600 líneas


Resolución horizontal: 125 líneas

Por tanto, dado que se tomarán 4096 datos con intervalos de 3.1ms entre mues-tras, la ventana de análisis es de 12.7s aproximadamente. Estos juegos de datos sonexportados como tablas en un archivo de texto plano, el cual contiene en una colum-na el intervalo de tiempo y en otra las amplitudes de los desplazamientos, para esteanálisis, verticales. Una vez adquiridos los datos para el arranque, estable y parada,se procede a su análisis en el plano fase.

7.3. Análisis del plano-fase resultante bajo funciónde Wigner

7.3.1. Método y algoritmo de análisis: Distribución-pseudoWigner-Ville

El método de análisis empleado hace uso de la versión discreta de la función deWigner (3.7) desarrollada por Claasen y Mecklenbrauker [31], dada por

W (t, ω) = 2 τ=∞∑

τ=−∞exp(−i2ωτ)s(t + τ)s∗(t − τ) (7.1)

La forma de (7.1) para una señal muestreada s(n), de n = 0 a n = N − 1 tiene laforma

W (l, k) = 1

N

N−1∑n=0

exp ( − i4πnk

N)s(l + n)s∗(l − n) (7.2)

donde s(m) = 0 param < 0 ym > N−1. La Ecuación (7.2) tiene periodicidad de N/21

y aunque el muestreo de la señal s(t) satisface el criterio de estabilidad de Nyquist,aún existen componentes de aliasing2 en la función de Wigner. Un tratamiento hechoa la señal para evitar el aliasing es el uso de la forma analítica de esta señal antesde realizar el cómputo de la función de Wigner. En 1948, J. Ville [32] propuso el usode la señal analítica en la representación tiempo-frecuencia de una señal real.

La justificación para usar una forma analítica de la señal original de debe alhecho de que en el dominio de las frecuencias, las componentes negativas de lasamplitudes pueden hacerse cero. En rigor, matemáticamente deben de considerarsetodas las componentes del plano de fase, en la práctica no es una desventaja, ya

1De (7.2) se desprende que

W [l, k +m(N/2)] = 1

N

N−1

∑n=0

exp ( − i4π

Nn(k +m(N/2)))s(l + n)s∗(l − n)

=

1

N

N−1

∑n=0

exp ( − i4πnk

N) exp ( − imn2π)s(l + n)s∗(l − n)

=W (l, k)

Ya que exp(−imn2π) = 1 para m ∈ Z+

2El aliasing es un fenómeno asociado a cualquier dispositivo o proceso donde la informaciónse divide en muestras individuales. Se puede concebir como una interferencia donde hay ciertaproporción entre el muestreo y la estructura repetitiva de los datos, como los patrones de Moiré;estos patrones son la sonrisa del gato revisada en los Capítulos 5 y 6.


que solo las componentes positivas de las frecuencias tienen una interpretación enla física clásica. La componente imaginaria de la señal se obtiene en vía de unatransformada de Hilbert. Por lo cual la señal analítica se expresa con

s(t) ∶= sr(t) + iH{sr(t)} (7.3)

donde s(t) es la nueva señal analítica, sr(t) es la señal real de entrada y H{sr(t)}es la transformada de Hilbert generada por la convolución (∗) de la señal originalcon un impulso respuesta h(t) de 90 grados en cambio de fase definida como:

H{sr(t)} ∶= (sr ∗ h)(t) = ∫ dτ sr(τ)h(t − τ), h(t) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2 sin

2(π2t)

πt, t ≠ 0

0, t = 0. (7.4)

La forma discreta (e infinita) de la convolución (7.4) se toma con

H{sr(n)} ∶= ∞∑

m=−∞sr(m)h(n −m). (7.5)

Ya que los resultados de la experimentación de vibración son datos muestreadoscompuestos de N puntos, recogidos en intervalos ∆t, se aplica la forma discretaequivalente de la función de Wigner

W (m∆t, k∆ω) ∶= 2∆t 2N−1∑n=0

exp(−iπnk/N)s[(m + n)∆t]s∗[(m − n)∆t] (7.6)

donde ∆ω = π/(2N∆t).El algoritmo computacional de análisis usado, basado en la transformada rápida

de Fourier (FFT), es la realización hecha por Shin y Jeon [33] del texto de Wahl yBolton [34], e implementado por Krötzsch y Rueda en Mathematica© 8

W (m∆t, k∆ω) = Re{2∆t FFT [corr(i)]}, (7.7)

corr(i) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩s(m + i − 1)s∗(m − i + 1), m ≥ i

0, m < i, para 1 ≤ i ≤ N + 1

corr∗(i) = corr(2N − i + 2), para 2 ≤ i ≤ N

Cuando se discretizan datos es conveniente reducir la fuga causada por discon-tinuidades presentes en el registro finito de los mismos, para este fin se empleó unaventana modificada de Hamming3

D(t) ∶= ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0.54 − 0.46 cos(10πt/T ), 0 ≤ t ≤ T /10

1.0, T /10 ≤ t ≤ 9T /100.54 − 0.46 cos(10π(T − t)/T ), 9T /10 ≤ t ≤ T.

Una vez obtenida la distribución de Wigner se desea minimizar la interferenciay los valores negativos presentes en el espacio-fase resultante, para ésto se empleó

3Esta ventana es usada debido a que embona el valor y la derivada de los dos extremos de lafila de datos, y eso evita los brincos y frecuencias fantasma.


una función de ventana Gaussiana en el dominio de tiempo-frecuencia. La ventanaGaussiana tiene la forma

Gj,k(q, p) ∶= 1

2πjk∆t∆ωexp [−{( p2

2j2) + ( q2

2k2)}] , (7.8)

Esta función de ventana Gaussiana se convoluciona con la distribución de Wigner

W ′(l,m) ∶= ∆t∆ω

2π

l+j∑

p=l−j

m+k∑

q=m−kW (p, q)G(p − l, q −m) (7.9)

La función de Wigner obtenida por la aplicación de esta ventana Gaussiana esllamada Distribución-pseudo Wigner-Ville (PWVD). De los resultados obtenidosde este tratamiento se realizó el análisis e intepretación del funcionamiento de lamáquina real.

7.3.2. Análisis y resultados

Como se apuntó en capítulos anteriores, la función de Wigner es una represen-tación matemática que de forma completa muestra el dominio mixto de tiempoy frecuencia. En el plano fase discreto obtenido de la PWVD, dos característicasespecíficas definen una señal en el dominio temporal: el tiempo medio y la duración.

Mencionado en el Capítulo 1, la transformada de Fourier de una señal se com-pone por la suma de sinuoides de diferentes frecuencias y se conoce espectro de laseñal, que en analogía con el dominio temporal, especifíca también una densidad deenergía localizada mayormente en las frecuencias más relevantes en el plano fase. Sepuntualiza la existencia de una frecuencia media asociada con su desviación estándarllamada “ancho de banda.”

Debido a que tiempo y frecuencia son dos variables conjugadas canónicas, existela limitación de no poder definir las dos simultáneamente, esto es, un efecto de mejoraen la resolución de una de ellas empeora la resolución de la otra y viceversa (cuandolos operadores asociados a estos observables no conmutan, Cap. 1). En el plano fase sepueden encontrar perturbaciones tan significativas, que en muchas ocasiones dificultala interpretación de los resultados, especialmente al presentarse multifrecuencias. Esdebido a esto que sea necesario conocer con precisión las características de resolucióntemporal y espectral para la aplicación que se va a utilizar y decidir el conjunto deparámetros y variables más adecuados para la representación y análisis de resultados.

El interés principal de nuestro análisis se centra en la identificación de la fre-cuencia natural de la máquina y la presencia de sus armónicos, así como de lasfrecuencias residuales y de reacción al cambio de torca en el eje debido a las tazasde aceleración que este experimenta.


Figura 7.2: Gráficas de los datos del movimiento vibracional vertical y de sus planosfase de la máquina en sus tres regímenes. La primera columna corresponde al régimende arranque, la segunda al estable y la tercera corresponde a la parada de la máquina.La primera fila muestra la variación de la distancia respecto del tiempo. La segundafila muestra los perfiles de las frecuencias a diferentes tiempos. La tercera fila muestralos planos fase en tiempo y frecuencia. La cuarta fila es la representación de tresdimensiones en tiempo, frecuencia y amplitud; la amplitud de ésta representaciónse corresponde con aquella de los perfiles de frecuencias en la segunda fila.

Cuando la máquina se encuentra en proceso de arranque el plano fase, primeracolumna Figura 7.2, revela que, al inicio del tiempo experimental ocurre un levanta-miento considerable de este plano durante 4s aproximadamente, marcando la ocu-rrencia a 120Hz4, esta se desvanece de manera asintótica con un corrimiento haciafrecuencias más altas durante un segundo, este comportamiento en el primer armó-nico de la frecuencia fundamental es debido a que la ventana de análisis sólo tomaparte de la pendiente de arranque, sin llegar a tomar datos de movimiento estable.A los 10s del tiempo experimental se presenta una señal de 7.5Hz que da lugar a un

4Las frecuencias mostradas en la Figura 7.2 presentan una desviación del valor debido al mé-todo discreto de cálculo utilizado, es por ello que las frecuencias de 60Hz y 120Hz no se plasmanexactamente en esos valores, pero sabemos, debido al experimento, que los valores son correctos.


tren de frecuencias sesgadas, con corrimiento amortiguado de poca amplitud haciamayores frecuencias y tiempos. Aparece entre ellas un pico justamente en 60Hz,mostrando así que durante el arranque la frecuencia debida a la velocidad nominalde 3600 RPM se alcanza a este tiempo.. El tren de señales corresponde a la reacciónen vibración que experimenta el eje debido al cambio de torca en la aceleración delmotor que lo impulsa.

Durante el régimen de movimiento estable se observa en el plano fase, segundacolumna Figura 7.2, una marca de 60Hz sostenida durante todo el tiempo expe-rimental, esta corresponde a la frecuencia de rotación fundamental de la máquina.Cabe aclarar que en la representación de tres dimensiones los bordes aparecen re-dondeados por al alisamiento Gaussiano efectuado durante el cálculo. Debido a laperiodicidad de la transformada finita de Fourier, de un 15% a un 25% de los bordesdeben tacharse; pero lo cierto es que una marca a 60Hz se hace patente mientrasdura el régimen.

Al realizar la desaceleración para detener la rotación de la máquina, ésta no lohace de manera abrupta sino que disminuye la torca de manera paulatina como seaprecia en el plano fase de la tercera columna Figura 7.2. A los 60Hz se destaca unamarca que pertenece a los últimos segundos del régimen estacionario, se levanta desdeel comienzo del tiempo experimental hasta alrededor de 5s, a partir de los cualesdesvanece rápidamente en forma variable hacia frecuencias menores. La diferencia deamplitud con la de la marca en el régimen estable indica la disminución de energíaal desacelerar. Próximo a los 10s aparece, al igual que en el arranque, un tren defrecuencias el cual esta vez disminuye en frecuencia mientras aumenta en el tiempo.

Basado en lo anterior se llega a la conclusión de que la máquina en la cual seexperimentó se encuentra en general en buen estado, balanceada de buena maneray sin problemas de componentes flojos o en mal estado, esto debido a que los dostransientes de arranque y parada ocurren a las frecuencias y tiempos estipuladospor la velocidad de rotación; más aún, en el régimen estable la presencia única de lafrecuencia fundamental nos indica que las vibraciones del eje sobre los rodamientoses pequeña y no tiene efecto destructivo sobre la evolución del movimiento. No seobservan resonancias o algún otro tipo de señal no deseada.

CAPÍTULO 8

CONCLUSIONES

Se estudió la función de Wigner como una herramienta matemática para el tra-tamiento y análisis de señales en espacio-fase. Se revisó su construcción con base ala teoría de Fourier y se derivó su forma clásica a partir de la acción de los elementosen el grupo de Heisenberg-Weyl. Se revisaron sus principales propiedades caracterís-ticas y se definió un parámetro mediante el cual se mide la cantidad de negatividadpresente en el espacio fase, esto como un indicador de no clasicidad y enredamientode las señales procesadas.

Concluyendo, la función de Wigner es una excelente herramienta para el análisisde señales tipo Gaussianas, como los estados de oscilador cuántico y los estados cohe-rentes. En el análisis de señales tipo rendija se concluye que con ciertas previsiones1

se puede tener un arreglo de estas de tal forma que se disminuya la interferenciaproducida por el arreglo experimental, esto se logró midiendo varias combinacionesde anchura y separación de tal forma que cada combinación determinaba un pará-metro de negatividad, por tanto, se buscaron aquellos arreglos que lo disminuyen.Se obtuvo que la disminución mediante ventaneo Gaussiano en el caso continuo dela función de Wigner de estados superpuestos es dependiente de la separación, estoes, para cada valor de separación entre estados, existe un parámetro de ventanaque disminuye o atenúa la interferencia a un mínimo, mas no se encontró un valorinvariante que disminuya esta interferencia ni mucho menos que la haga nula. Semostró como el término de interferencia puede ser usado como un elemento en lareconstrucción holográfica de señales, esto basado en el hecho conocido de la teoríaóptica convencional, obteniendo una forma análoga a esta mediante las marginalesde la función de Wigner. En la parte de aplicación se concluyó que la forma discre-ta de la función de Wigner puede ser usada con éxito para caracterizar el estadode funcionamiento de una máquina real, y se concluyó que el uso de una ventanaGaussiana discreta debe ser usada para resaltar los elementos que caracterizan estefuncionamiento, en este caso, las frecuencias naturales y residuales del movimiento.

Una línea de trabajo a futuro podría ser la determinación concisa de que lanegatividad presente en el espacio-fase no necesariamente determina que se tratade una señal no-clásica, ya que, como se observa en la Figura 7.2 del Capítulo 7,el espacio-fase de las señales de la máquina real contienen cierta parte negativa,

1Como que el dominio de análisis en el espacio-fase se ve fraccionado debido a la definicióninicial de las funciones que definen las rendijas.


dando lugar a que el sistema pueda ser no-clásico, pero ya que no hay nada másreal que una máquina en funcionamiento se encuentra una disyuntiva que necesitaaclaración.

Otra línea posible de explotar sería la creación de un algoritmo optimizado ycomercializable para el monitoreo de vibraciones en máquinas reales. Basado en lafunción discreta de Wigner y el ventaneo Gaussiano discreto, se puede crear unalgoritmo que muestre en tiempo-real el estado de funcionamiento de la máquina,extendiendo con creces los beneficios por sobre el análisis de sólo la transformadarápida de Fourier.

Hoja en Blanco

APÉNDICE A

DERIVACIÓN ALTERNATIVA DE LAFUNCIÓN DE WIGNER

La siguiente formulación de la función de Wigner está basada en la descripciónmecano-cuántica de Heisenberg quien describió la transición de los niveles n′ a n′′ enun átomo. Heisenberg hizo énfasis en el hecho de que no es el movimiento en el niveln′ o el nivel n′′ lo que importa, sino el hecho del salto cuántico n′ → n′′. En relacióna ésto, se ha de definir el salto del movimiento de una partícula de la posición x′ ala posición x′′, entonces, en analogía al salto cuántico descrito, se define la distanciaentre posiciones de la forma η ≡ x′′ − x′. Heisenberg estableció que la intensidad de

transición entre estados está dada por un operador matricial.1

En el caso de una partícula moviéndose en una dimensión, el operador de densi-dad ρ es el operador indicado que describe el estado de la partícula, el cual sugierela matriz ⟨x′′∣ρ∣x′⟩ que describe el salto cuántico del estado ∣x′⟩ al estado ∣x′′⟩. Sepuede definir el centro del salto por x ∶= (x′ − x′′)/2 e introducir un nuevo par decoordenadas en remplazado de x′, x′′, el centro x y la distancia η por

x′ = x −1

2η y x′′ = x +

1

2η.

El salto cuántico es entonces ⟨x + 1

2η∣ρ∣x − 1

2η⟩. Ciertamente se asocia el momento

p con el salto cuántico x′ → x′′ de la partícula. Ya que la distribución del momentode una partícula partiendo de su representación en la distribución espacial estádada por la transformada de Fourier, es entonces que la función de Wigner es unatransformada de Fourier

W (ρ∣x, p) = 1

2π∫R

dη exp(−ipη)ρ(x′′, x′),del operador de densidad ρ(x, η) en la representación de posición en las variables xy η, cambiando variables se obtiene que

ρ(x′′, x′) = ρ(x + 1

2η, x −

1

2η) = ⟨x + 1

2η ∣ρ∣x − 1

2η⟩ .

1La transición de estados de un dipolo está dada por el momento del dipolo µ de la forma⟨n′′∣µ∣n′⟩.


Entonces, la transformada de Fourier es realizada sobre las variables (x′, x′′) quellevan a las variables (x, p), que son reconocidas como las variables en la represen-tación de espacio fase de la función de Wigner, entonces el resultado de la TF

W (ρ∣x, p) = 1

2π∫R

dη exp(−ipη) ⟨x + 1

2η ∣ρ∣x − 1

2η⟩ .

El factor de escala 1/2π se incluye para que la propiedad de normalización secumpla, ésto es

∫R

dx ∫R

dpW (ρ∣x, p) = 1.Ahora, si se tratan estados puros en los cuales la distribución de densidad cambia

por el vector de estado puro ∣ψ⟩, ésto es ρ = ∣ψ⟩⟨ψ∣, se tiene que

W (ψ∣x, p) = 1

2π∫R

dη exp(−ipη)ψ∗(x − 1

2η)ψ(x + 1

2η), (A.1)

con ψ(x) ∶= ⟨x∣ψ⟩, con lo cual se observa que (A.1) corresponde a la forma presentadaen (3.6). Es así pues que la función de Wigner pueda verse como la transformada deFourier de las posiciones desplazadas de la función de onda del estado ∣ψ⟩.

APÉNDICE B

LA FUNCIÓN DE WIGNER ES REAL

Para probar que la función de Wigner es real se necesita que su compleja conju-gada de la función ψ(q) sea igual a la función de Wigner original

W ∗(ψ∣q, p) =W (ψ∣q, p).Sea (A.1) la función de Wigner de la función de onda ψ(q), entonces

W ∗(ψ∣q, p) = 1

2π∫R

dη exp(ipη){ψ∗(q − 1

2η)ψ(q + 1

2η}∗,

sabiendo que (ψ∗)∗ = ψ, y con el cambio η′ = −η, entonces

W ∗(ψ∣x, p) = 1

2π

∞

∫−∞

d(η′) exp(ipη)ψ(x − 1

2η)ψ∗(x + 1

2η)

=1

2π

−∞

∫∞

dη exp(ipη)ψ(x − 1

2η)ψ∗(x + 1

2η),

donde en el último paso se hizo el cambio en el orden del intervalo de integración(−∞,∞)→ (∞,−∞) con lo cual d(η′)→ dη, entonces se observa que

1

2π

−∞

∫∞

dη exp(ipη)ψ(x − 1

2η)ψ∗(x + 1

2η) = 1

2π

∞

∫−∞

dη exp(−ipη)ψ∗(x − 1

2η)ψ(x + 1

2η)

W ∗(ψ∣q, p) =W (ψ∣q, p) (B.1)


APÉNDICE C

FUNCIÓN DE WIGNER DELOSCILADOR ARMÓNICO

La evaluación de la función de Wigner de la función de onda del oscilador ar-mónico (5.7) se realiza efectuando la transformada de Fourier de la función de ondadesplazada.

Entonces, sea

ψl(q) = (m2ω2

π)1

4 1√2ll!

exp (−1

2(m2ω2q2))Hl(mωq), (C.1)

la función de onda del oscilador armónico en el espacio de configuración. Sustitu-yendo (C.1) en la definición de la función de Wigner (A.1)

W (ψ∣q, p) = 1

2π∫R

dη exp(−ipη)ψ∗(q − 1

2η)ψ(q + 1

2η),

se tiene que evaluar la integral

Wl(ψ∣q, p) = 1

2π

∞

∫−∞

dη exp(−ipη) (m2ω2

π)1

4 1√2ll![exp (−1

2(mωq − 1

2η)2)Hl(mωq − 1

2η)]×

[exp (−1

2(mωq + 1

2η)2)Hl(mωq + 1

2η)]

=1

2π

1√π

exp(−m2ω2q2)2ll!

∞

∫−∞

dη exp (−i p

mωη − 1

4η2)Hl(mωq − 1

2η)Hl(mωq + 1

2η).

(C.2)

Completando el cuadrado en el exponente del integrando

− (η2)2 − 2η

2ip

mω− (i p

mω) − ( p

mω)2 = −(η

2+ i

p

mω)2 − ( p

mω)2 ,

e introduciendo una nueva variable de integración

κ ∶=η

2+ i

p

mω,


con lo cual la ec. (C.2) se convierte en

Wl(ψ∣q, p) = 1π

1

2ll!exp [−(mω)2 − ( p

mω)]×

1√π

∞

∫−∞

dκ exp(−κ2)Hl(mω + κ − i p

mω)Hl(mω − κ + i p

mω).

Que con la relación de simetría de los polinomios de Hermite,Hl(−κ) = (−1)lHl(κ),se tiene que

Wl(ψ∣q, p) = (−1)lπ

1

2ll!exp [−(mω)2 − ( p

mω)]×

1√π

∞

∫−∞

dκ exp(−κ2)Hl(κ − i p

mω+mω)Hl(κ − i p

mω−mω),

la cual permite aplicar la integración conocida

1

2ll!

∞

∫−∞

dκ exp(−κ2)Hl(κ + κ1)Hl(κ + κ2) = Ll(−2κ1κ2),donde Ll denota el l-ésimo polinomio de Laguerre.

Por tanto, usando ésto y la relación

(−i pmω+mωq)(−i p

mω−mωq) = −( p

mω)2 − (mωq)2

se encuentra que la evaluación y expansión de la función de Wigner es

Wl(ψ∣q, p) = (−1)lπ

exp [−{( p

mω)2 + (mωq)2}]Ll [−{( p

mω)2 + (mωq)2}] . (C.3)

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