analisis de sensibilidad
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Investigacin Operativa I SIS-2209 ______________________________________________________________________________________________________________________________________
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1
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El tablero ptimo es:
Xi X1 x2 Xn ai ei si b
VB B-1aj B-1 B-1b
Zj-Cj CBB-1 aj - Cj CBB-1 CBB-1b
a) Cambios Discretos en el Vector C
jj1
B CaBC bBC 1B
Intervalo de confianza:
Funcin MAX 0)CaB(C jj1
B
Funcin MIN 0)CaB(C jj1
B
b) Cambios Discretos en b
bBC 1B bB 1
Intervalo de confianza sea la funcin MAX o MIN:
0b)(B 1
Si 0b)(B 1 La solucin es SBNF, aplicamos dual simplex c) Cambios Discretos en A
Primero se debe comprobar que VNBai se realiza el cambio caso contrario NO.
ii1
B CaBC i
1aB
d) Adicin de Nuevas Actividades Xj Se necesita como datos el coeficiente para la Funcin Objetivo y el vector de consumo de recursos
de la nueva variable.
jj1
B CaBC j
1aB
e) Adicin de Nuevas Restricciones Ri Al aadir una nueva restriccin primero estandarizar, luego aadir una nueva fila y columna
para posteriormente llevar los datos de la restriccin al tablero ptimo. Por ultimo siempre
verificar que el conjunto de VB sean vectores unitarios en forma de columna.
PROGRAMACION PARAMETRICA
a) Cambios Continuos en el Vector C
VNB)(jaB jj1
B
MIN 0)aB(
MAX 0)aB(*
jj1
B
jj1
B
La solucin es ptima para: *0
BBB )X(CZ* Sol Gral.
a) Cambios Continuos en el Vector b
K1B 0)(B* K
1
La solucin es ptima para: *0
K1
B BCZ* Sol Gral.
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PROGRAMACION PARAMETRICA
La programacin Parametrica sirve para determinar intervalos de confianza.
CAMBIOS CONTINUOS EN EL VECTOR C Programa Lineal
MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.
X1 + 2X2 + X3 40
3X1 + 2X3 60
X1 + 4X2 30 X1, X2, X3 0
El tablero ptimo es:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 5
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 30
S3 2 0 0 -2 1 1 10
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 160
Solucin: Z=160; X1= 0; X2=5; X3=10
E1) Aplicar 526 y hallar cuando se mantiene optimo la solucin. MAX Z = (3-6 )X1+(2-2 )X2+(5+5 )X3
Calculando el denominador de la formula:
006SSXVNB
052SXXVB
211j
332B
001
103
011
a j Son las VNB de las restricciones.
211 SSX
jj1
B
3114
006318006
101
103
011
112
0210
04121
052aB
Corresponde a VNB solo se tomara en cuenta los negativos (-1)
11
1min*
La solucin es ptima para: 10
Si 0)aB( jj1
B entonces *
Expresin General:
140160)305(5)52(20S)X5(5)X2(2)X(CZ* 332BBB
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CAMBIOS CONTINUOS EN EL VECTOR b Programa Lineal
MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.
X1 + 2X2 + X3 40 -
3X1 + 2X3 60 +2
X1 + 4X2 30 7 X1, X2, X3 0
El tablero ptimo es:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 5
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 30
S3 2 0 0 -2 1 1 10
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 160
Solucin: Z=160; X1= 0; X2=5; X3=10
E2) Cambio continuo
7
2
1
K
10
30
5
bBX 1BK
7
1
1
7
2
1
112
0210
04121
B K1 Solo tomamos en cuenta los negativos (-1 -7)
1.437
10
7
10
1
5Min0/B
B
)(XMin* k
1
k1
BK
Sol ptima: 1.430
Si 0)(B k1 entonces *
Expresin General:
5140618040
730
260
40
112
0210
04121
052)(bBCZ* 1B
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EJEMPLOS ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Ejemplo de un taller de estatuillas.
X1 = cantidad producida de figuras geomtricas
X2 = cantidad producida de figuras religiosas
X3 = cantidad producida de formas libres
X4 = cantidad producida de figuras romnticas
MAX Z = 280X1 + 40X2 + 500X3 + 510X4 s.a.
30X1 + 5X2 + 45X3 + 60X4 300 (Hrs de Trabajo de Corte)
20X1 + 8X2 + 60X3 + 30X4 180 (Hrs de Trabajo de Cincelado)
20X2 +120X4 300 (Hrs de Trabajo de Pulido)
X1, X2, X3, X4 0
Su tablero ptimo es el siguiente:
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b
X1 1 11/10 15/2 0 1/2 -1/10 1/5 0 6
S3 0 76 360 0 20 -8 12 1 60
X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2
Zj-Cj 0 30 70 0 -100 6 5 0 2700
a) Determine un rango de la capacidad de corte para que la solucin existente siga siendo ptima.
0
300
180
0101151
1128
051101
bBX 1B
010
180
15
024608
05
180
10
270
307.5
360
El rango de capacidad de corte para que la solucin siga siendo ptima es: 307.5270
b) El mercado requiere la produccin de figuras polticas. La produccin presenta las
caractersticas:
Corte 15 Hrs.
Cincelado 10 Hrs.
Pulido 20 Hrs.
Aportacin/unidad 240 dlares.
Debe la empresa mantener su actual gama de productos o le convendra ampliarla a las figuras
polticas?
Se tiene una adicin de variable x5 con C5 = 240;
20
10
15
a5
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5
0
20
21
20
10
15
0101151
1128
051101
aBa 51
5
01002401402400
20
21
280,0,510CaBCCZ 551
VB55
Modificando el tablero:
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b
X1 1 11/10 15/2 0 1/2 -1/10 1/5 0 6
S3 0 76 360 0 20 -8 12 1 60
X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2
Zj-Cj 0 30 70 0 -100 6 5 0 2700
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b
X1 1 -4/5 -3/2 0 0 1/10 -1/10 -1/40 9/2
X5 0 19/5 18 0 1 -2/5 3/5 1/20 3
X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2
Zj-Cj 0 410 1870 0 0 -34 65 5 3000
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b
X1 1 -1/10 3 -3/2 0 0 1/20 -1/40 3/2
X5 0 1 0 6 1 0 0 1/20 15
S1 0 -7 -45 15 0 1 -3/2 0 30
Zj-Cj 0 172 340 510 0 0 14 5 4020
Tablero optimo con solucin: x1=3/2, x2=0, x3=0, x4=0, x5=15 para un Z1=4020
Por lo tanto a la Empresa le convendra ampliar su actual gama de productos con figuras
polticas ya que Z1>Z.
c) La empresa puede adquirir de un proveedor externo 5 horas de capacidad de corte y otras 5 de
capacidad de cincelado por un coste total de 75 dlares Le conviene realizar esta adquisicin?
300
185
305
b)(b
300
180
300
b
0
611
80
213
300
185
305
0101151
1128
051101
b)(bBX 1B
2755611
80
213
280,0,510XCZ BVB
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Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 B
X1 1 11/10 15/2 0 -1/10 1/5 0 13/2
S3 0 76 360 0 -8 12 1 80
X4 0 -7/15 -3 1 1/15 -1/10 0 11/6
Zj-Cj 0 30 70 0 6 5 0 2755
Como XB 0 la solucin ptima es: x1=13/2, x2=0, x3=0, x4=11/6 para un Z=2755
Adquiriendo del proveedor mas Hrs. de capacidad con un coste de 75 $.
Z = 2755 75 = 2680 $. Por lo tanto no le conviene hacer la adquisicin de estas horas ya
que su ganancia reduce.
d) En cuanto debera incrementarse la aportacin de las formas libres para que su produccin
resultara rentable?
X3 = formas libre
570C0C570C0
60
45
6,5,0
C
0
60
45
0101151
1128
051101
280,0,510CaBCCZ
333
3331
VB33
La aportacin debe incrementarse en 570 $ de las formas libres, para que su produccin sea
rentable.
e) Indique un rango de la aportacin de las figuras geomtricas en el que la solucin existente
siga siendo ptima. Qu actividades entran en la base dentro de las cotas de dicho rango?
X1 = figuras geomtricas
040,500,0,051-C5
1 34,C
10
1- 1530,-C
2
15 238,-C
10
11
40,500,0,0
1011513-57
128-36076
511012151011
,0,510C
40,500,0,0
00020
10608
01455
0101151
1128
051101
,0,510CCaBCCZ
1111
1
1jj1
VB11
051-C5
1 034C
10
1- 02030-C
2
15 0278-C
10
111111
255C 340C 3
812C
11
2780C 1111
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El rango de la aportacin de las figuras es: 340C270.67 1
Adems ninguna actividad entra en el rango.
f) Indique un rango de la aportacin de las figuras religiosas en el que la solucin siga siendo
ptima. Qu actividades entran en la base dentro de las cotas de dicho rango?
X2 = figuras religiosas
70C0C70C20
8
5
6,5,0
C
20
8
5
0101151
1128
051101
280,0,510CaBCCZ
222
2221
VB22
El rango de aportacin de las figuras religiosas es: 70C2
Las actividades que entran dentro del rango solo es: x1.
g) Suponga que la aportacin vara parametricamente de acuerdo a lo siguiente:
MAX Z = (280+5 )x1+(40-3 )x2+(500+6 )x3+(510+ )x4
Encontrar un valor para el cual la solucin base no cambia y determinar la expresin general
de esta solucin.
C = (280 40 500 510); = (5 -3 6 1) = (a1 a2 a3 a4)
N)(jaB jj1
B para todo j que no esta en la base j=2, 3, 5, 6
3,6,0,000020
10608
01455
,0109,3013
3,6,0,0
00020
10608
01455
0101151
1128
051101
(5,0,1)
6532KK a,a,a,a109,3013,257,302413,6,0,0109,3013,269,30151CZ
El nico candidato para calcular * es a5:
13.8513
180
3013
6
aB
)C(Z*
551
B
55
La solucin es ptima para: 13.850
Los valores de x1, x2, x3, x4 del tablero optimo no cambian solo cambian el valor de Z.
BBB )X(CZ* para
41 )X(5100)X5(280Z*
)2(510)65(280Z*
322700Z* Expresin General para 13.850
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h) Suponga que la disponibilidad de horas de trabajo vara parametricamente de la siguiente
manera:
Corte: (300 + 10 ) Horas
Cincelado: (180 + 5 ) Horas
Pulido: (300-5 ) Horas
Encontrar un valor de para el cual la solucin base no cambia y determinar la expresin
general de esta solucin.
300
180
300
b
5
5
10
0/BB
XMin* k
1
k1
BK
0
61
25
0
5
5
10
0101151
1128
051101
B k1
2.45
12
25
60*
La solucin es ptima para: 2.40
)(bBCXCZ* 1BBB
2057380601800
5300
5180
10300
0416
5300
5180
10300
0101151
1128
051101
2659180Z* Expresin General para 2.40
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PRACTICA RESUELTA
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Paralelo B
Una fbrica ensambla 3 tipos de juguetes: trenes, camiones y automviles, utilizando 3
operaciones. Los lmites diarios sobre los tiempos disponibles para las 3 operaciones son de 430,
460 y 420 minutos respectivamente y las utilidades por cada tren, camin y automvil son de
3, 2 y 5 $us, respectivamente. Los tiempos de ensamble por tren en las 3 operaciones son de 1, 3
y 1 minutos respectivamente. Los tiempos correspondientes por camin y por automvil son (2, 0,
4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo de 0 indica que la operacin no se utiliza).
a) Formular los problemas primal y dual y encontrar sus soluciones.
X1 = cantidad producida de trenes
X2 = cantidad producida de camiones
X3 = cantidad producida de automviles
MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.
1X1 + 2X2 + 1X3 430 (Minutos de Operacin 1)
3X1 + 0X2 + 2X3 460 (Minutos de Operacin 2)
1X1 + 4X2 + 0X3 420 (Minutos de Operacin 3)
X1, X2, X3 0
MIN W = 430Y1 + 460Y2 + 420Y3 s.a.
1Y1 + 3Y2 + 1Y3 3
2Y1 + 0Y2 + 4Y3 2
1Y1 + 2Y2 + 0Y3 5
Y1, Y2, Y3 0
Su tablero ptimo es el siguiente:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
S1 1 2 1 1 0 0 430
S2 3 0 2 0 1 0 460
S3 1 4 0 0 0 1 420
Zj-Cj -3 -2 -5 0 0 0 0
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
S1 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 1 4 0 0 0 1 420
Zj-Cj 9/2 -2 0 0 5/2 0 1150
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1350
Primal Z = 1350; X1 = 0; X2 = 100; X3 = 230
Dual W = 1350; Y1 = 1; Y2 = 2; Y3 = 0
-
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b) Resolviendo el problema, encontrara que en lo ptimo no se fabricaran trenes. Sin embargo la
competencia obliga a la fbrica a producir trenes. Cmo se podra lograr esto para una situacin
de optimalidad?
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1350
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 0 1 0 1/4 -1/8 1/8 205/2
X3 0 0 1 3/2 -1/4 -3/4 215
X1 1 0 0 -1 1/2 1/2 10
Zj-Cj 0 0 0 5 0 -4/2 1310
c) Supongamos que para los trenes de juguete el empleo por unidad de la operacin 2 puede
reducirse a 1 minuto, con este cambio. Es posible que la fabricacin de trenes de una solucin
optima?
052SXXVBC 332B
1
1
1
a1 x1 es VNB
Solucin:
0
21
41
1
1
1
112
0210
04121
aB 11
03330
21
41
0523
1
1
1
112
0210
04121
052CaBC 111
B
El tablero ptimo es:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
X3 1/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 0 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 0 0 0 1 2 0 1350
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X1 1 4 0 2 -1 0 400
X3 0 -2 1 -1 1 0 30
S3 0 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 0 0 0 1 2 0 1350
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Si es posible que se fabriquen trenes con ese cambio: Z = 1350; X1 = 400; X2 = 0; X3 = 30
d) Supongamos que se esta estudiando la posibilidad de introducir un cuarto juguete: camiones
de bomberos. El ensamble no utiliza la operacin 1 y sus tiempos de ensamble en las operaciones
2 y 3 son: 1 y 3 minutos respectivamente. La utilidad por unidad es de 4 $us. Aconsejara a la
fbrica a que introdujera este nuevo producto?
X4 = cantidad producida de camiones de bomberos
Se tiene una adicin de variable x4 con C4 = 4;
3
1
0
a5
4
21
41
3
1
0
112
0210
04121
aBa 41
4
024244
21
41
0524
3
1
0
112
0210
04121
052CaBCCZ 441
VB44
Modificando el tablero:
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 -1/4 1/2 -1/4 0 100
X3 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 4 -2 1 1 20
Zj-Cj 4 0 0 -2 1 2 0 1350
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 b
X2 -1/8 1 0 0 3/8 -3/16 1/16 405/4
X3 5/4 0 1 0 1/4 3/8 -1/8 455/2
X4 1/2 0 0 1 -1/2 1/4 5
Zj-Cj 5 0 0 0 0 5/2 1/2 1360
Tablero optimo con solucin: x1=0, x2=405/4, x3=455/2, x4=5 para un Z1=1360
Por lo tanto a la Empresa le convendra ampliar su actual gama de productos con camiones de
bomberos que Z1>Z.
e) Supongamos que la fbrica decide ampliar sus capacidades de ensamble en 40%. En cuanto
incrementara su utilidad?
Capacidad 1 incrementada en 40% 430 * 0.4 = 172
Capacidad 2 incrementada en 40% 460 * 0.4 = 184
Capacidad 3 incrementada en 40% 420 * 0.4 = 168
-
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12
588
644
602
b)(b
168
184
172
b;
420
460
430
b
28
322
140
588
644
602
112
0210
04121
b)(bBX 1B 189028
322
140
052XCZ BVB
Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 140
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 322
S3 2 0 0 -2 1 1 28
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1890
La solucin ptima es: x1=0, x2=140, x3=322 para un Z=1890
Por lo tanto su utilidad se incrementara en 1890 1350 = 540 $us
f) Para mejorar su utilidad la fbrica propone otra alternativa a la anterior. Cambiar la holgura
de la operacin 3 a la capacidad de la operacin 1. Cul de las 2 utilidades es mayor?
La holgura de la operacin 3 es S3 = 20
Restamos ese valor de la capacidad 3 y le adicionamos a la capacidad 1
400
460
450
b)(b
420
460
430
b
40-
230
110
400
460
450
112
0210
04121
b)(bBX 1B 137040-
230
110
052XCZ BVB
Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 110
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 -40
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1370
Min {|1/-2|} = {S1}
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 1/4 1 0 0 0 1/4 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S1 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 20
Zj-Cj 5 0 0 0 5/2 1/2 1350
-
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13
La solucin ptima es: x1=0, x2=100, x3=230 para un Z=1350
Por lo tanto la primera utilidad es mayor a la segunda utilidad 1890 > 1350
g) Para el caso anterior Seria mas ventajoso asignarle el exceso de capacidad de la operacin 3 a
la operacin 2, en vez de la 1?
La holgura de la operacin 3 es S3 = 20
Restamos ese valor de la capacidad 3 y le adicionamos a la capacidad 2
400
480
430
b)(b
420
460
430
b
20
240
95
400
480
430
112
0210
04121
b)(bBX 1B 139020
240
95
052XCZ BVB
Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 95
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 240
S3 2 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1390
La solucin ptima es: x1=0, x2=95, x3=240 para un Z=1390
Por lo tanto la primera utilidad sigue siendo mayor a la segunda utilidad 1890 > 1390
h) Cul seria el rango de factibilidad de las capacidades de operacin para que la solucin base
se mantenga optima? (Calcule los rangos independientemente para cada capacidad)
0
420
460
112
0210
04121
bBX 1B
08802-
0230
01152
1
440
230
El rango de factibilidad para la capacidad 1 es: 440230
0
420
430
112
0210
04121
bBX 1B
0440
02
1
02154
1
440
860
El rango de factibilidad para la capacidad 2 es: 860440
0
460
430
112
0210
04121
bBX 1B
0400
0230
0100
400
El rango de factibilidad para la capacidad 3 es: 400
-
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14
i) Determine el cambio del valor por minuto en las capacidades de las operaciones 2 y 3.
(FALTA)
Cambio continuo
7
2
1
K
10
30
5
bBX 1BK
7
1
1
7
2
1
112
0210
04121
B K1 Solo tomamos en cuenta los negativos (-1 -7)
1.437
10
7
10
1
5Min0/B
B
)(XMin* k
1
k1
BK
Sol ptima: 1.430
Expresin General:
5140618040
730
260
40
112
0210
04121
052)(bBCZ* 1B
j) Supongamos que cualquier tiempo adicional para la operacin 1, mas all de su capacidad
actual de 430 minutos por da, debe hacerse sobre una base de horas extra a 50 $us/hra. El costo
por hora incluye tanto la mano de obra como la operacin de la maquina. Es econmicamente
ventajoso utilizar las horas extra con la operacin 1?
Capacidad 1 incrementada en 60 minutos 430 + 60 = 490
420
460
490
b)(b
420
460
430
b
100-
230
130
420
460
490
112
0210
04121
b)(bBX 1B 1410100-
230
130
052XCZ BVB
Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 130
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 -100
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1410
Min {|1/-2|} = {S1}
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 1/4 1 0 0 0 1/4 105
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S1 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 50
Zj-Cj 5 0 0 0 5/2 1/2 1360
-
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15
La solucin ptima es: x1=0, x2=105, x3=230 para un Z = 1360 50 = 1310
Por lo tanto no es econmicamente ventajoso utilizar las horas extra con la operacin 1 porque la
utilidad neta menos el costo de la hora adicional de la operacin 1 es menor a la utilidad anterior.
k) Supongamos que el operador de la operacin 2 ha aceptado trabajar 2 horas de tiempo extra al
da, a 45 $us la hora. Adems el costo de la operacin misma es de 10 Sus/hra. Cul es el efecto
neto de esta actividad sobre la utilidad diaria?
Capacidad 2 incrementada en 120 minutos 460 + 120 = 580
420
580
430
b)(b
420
460
430
b
140
290
70
420
580
430
112
0210
04121
b)(bBX 1B 1590
140
290
70
052XCZ BVB
Actualizando el tablero optimo:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 B
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 70
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 290
S3 2 0 0 -2 1 1 140
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1590
Costo 55 $/hora y dos horas son 110 $us
La solucin ptima es: x1=0, x2=70, x3=290 para un Z = 1590 110 = 1480
Por lo tanto por cada da de trabajo extra del operador 2 la empresa ganara (1480 - 1350)=130 $
l) Vale la pena utilizar las horas extra con la operacin 3? Porque?
No vale la pena porque tenemos una holgura de 20 minutos para la operacin 3
m) Supongamos que la fbrica cambia el diseo de sus juguetes y que ese cambio requiere la
adicin de una cuarta operacin. La capacidad diaria de la nueva operacin es de 500 minutos y
los tiempos por unidad para los 3 productos en esta operacin son 3, 1 y 1 minutos
respectivamente. Afectara esta restriccin a la solucin ptima?
3X1 + 1X2 + 1X3 500 (Minutos de Operacin 4)
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 0 20
S4 3 1 1 0 0 0 1 500
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350
-
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16
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 0 20
S4 7/4 0 0 -1/2 -1/4 0 1 170
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350
La solucin ptima continua siendo la misma: x1=0, x2=100, x3=230 para un Z=1350
Por lo tanto esta nueva restriccin no afectara la solucin ptima.
n) Si los tiempos por unidad en la cuarta operacin son 3, 3 y 1 minutos respectivamente. Cul
ser la solucin optima?
3X1 + 3X2 + 1X3 500 (Minutos de Operacin 4)
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 0 20
S4 3 3 1 0 0 0 1 500
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 0 20
S4 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30
Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b
X2 1/2 1 0 0 -1/6 0 1/3 90
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230
S3 -1 0 0 0 2/3 1 -4/3 60
S1 -3/2 0 0 1 -1/6 0 -2/3 20
Zj-Cj 11/2 0 0 0 13/6 0 2/3 1330
La solucin ptima cambia siendo: x1=0, x2=90, x3=230 para un Z=1330
Por lo tanto esta nueva restriccin si afectara la solucin ptima decrementandola en 20 $us.
o) Supongamos que la fbrica tiene una nueva poltica de determinacin de precios para
satisfacer o igualar la competencia. Las utilidades por unidad bajo la nueva poltica son de 4, 3
-
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17
y 4 $us por los trenes, camiones y automviles de juguete respectivamente. Cunto ser su
utilidad neta?
MAX Z = 4X1 + 3X2 + 4X3
452345004452342100412-2
21023
412141
043
004
001
103
011
112
0210
04121
043CaBC jj1
VB
1220420
460
430
04523
420
460
430
112
0210
04121
043bBC 1VB
X1 X2 X3 S1 S2 S3 b
X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 2 0 0 -2 1 1 20
Zj-Cj 5/4 0 0 3/2 5/4 0 1220
Por lo tanto su utilidad neta Z=1330 es menor y no le conviene realizar estos cambios.
p) Cul ser el rendimiento mnimo por unidad que deber mantener la fabrica en la produccin
de trenes para que su fabricacin sea rentable?
q) Qu capacidades debern mantenerse para que no existan holguras en las operaciones?
SOLUCION WIN QSB
-
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18
EJEMPLOS TRANSPORTE
EXTREMO NOROCCIDENTAL
E1)
1 2 3
1 0 0 0
50 5 6 2
2 0 0 0
80 7 4 8
35 50 45 130=130
(1,1) X11 = MIN (a1, b1) = MIN (50, 35) = 35
(1,2) X12 = MIN (a1, b2) = MIN (50, 15) = 15
(2,2) X22 = MIN (a2, b2) = MIN (80, 35) = 35
(2,3) X23 = MIN (a2, b3) = MIN (45, 45) = 45
1 2 3
1 35 15 0 5015
0 5 6 2
2 0 35 45 8045
0 7 4 8
350 5035
0 450 130=130
Z = (5*35) + (6*15) + (4*35) + (8*45)
Z = 765
VOGUEL
E2)
1 2 3
1 0 0 0
50 5 6 2
2 0 0 0
80 7 4 8
35 50 45 130=130
1 1 2 3 Multas
1 0 0 45
50-45=5 3 5 6 2
2 0 0 0
80 3 7 4 8
35 50 45-45=0 130=130
Multas 2 2 6mayor
2 1 2 Multas
1 0 0
5 1 5 6
2 0 50
80-50=30 3mayor 7 4
35 50-50=0 85=85
Multas 2 2
3 1 Multas
1 0
5 5 5
2 30
30-30=0 7mayor 7
35-30=5 35=35
Multas 2
4 1
1 5
5 5
5 5=5
1 2 3
1 5 0 45
50 5 6 2
2 30 50 0
80 7 4 8
35 50 45 130=130
Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)
Z = 525
-
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19
E3)
Solucin inicial de Noroccidental.
1 2 3
1 35 15 0
50 5 6 2
2 0 35 45
80 7 4 8
35 50 45
Para todas las VB 0cvu ijji
U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5
U1 + V2 6 = 0 U2 = -2 V2 = 6
U2 + V2 4 = 0 V3 = 10
U2 + V3 8 = 0
Para todas las VNB ijjiijij cvucz MIN
Z13C13= U1 + V3 C13 = (0+10) 2 = 8
Z21C21= U2 + V1 C21 = (-2+5) 7 = 4
Como tenemos valores positivos en VNB escogemos el
ms positivo para que entre a la base. (C13)
Circuito:
1 2 3
1 35 15
50 5 6 2
2 0 35+ 45
80 7 4 8
35 50 45
= MIN {VB ()} = {15, 45} = 15
1 2 3
1 35 0 15
50 5 6 2
2 0 50 30
80 7 4 8
35 50 45
Para todas las VB 0cvu ijji
U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5
U1 + V3 2 = 0 U2 = 6 V2 = -2
U2 + V2 4 = 0 V3 = 2
U2 + V3 8 = 0
Para todas las VNB ijjiijij cvucz MIN
Z12C12= U1 + V2 C12 = (0-2) 6 = -8
Z21C21= U2 + V1 C21 = (6+5) 7 = 4
Como tenemos valores positivos en VNB escogemos el
ms positivo para que entre a la base. (C21)
Circuito:
1 2 3
1 35 0 15+
50 5 6 2
2 50 30
80 7 4 8
35 50 45
= MIN {VB ()} = {30, 35} = 30
1 2 3
1 5 0 45
50 5 6 2
2 30 50 0
80 7 4 8
35 50 45
Para todas las VB 0cvu ijji
U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5
U1 + V3 2 = 0 U2 = 2 V2 = 2
U2 + V1 7 = 0 V3 = 2
U2 + V2 4 = 0
Para todas las VNB ijjiijij cvucz MIN
Z12C12= U1 + V2 C12 = (0+2) 6 = -8
Z23C23= U2 + V3 C23 = (2+2) 8 = -4
Como todas las VNB son negativas el tablero es
ptimo y factible.
Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)
Z = 525 [u.m.]
Ejemplo:
Solucin inicial de Voguel.
1 2 3
1 5 0 45
50 5 6 2
2 30 50 0
80 7 4 8
35 50 45 130=130
Para todas las VB 0cvu ijji
U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5
U1 + V3 2 = 0 U2 = 2 V2 = 2
U2 + V1 7 = 0 V3 = 2
U2 + V2 4 = 0
Para todas las VNB ijjiijij cvucz MIN
Z12C12= U1 + V2 C12 = (0+2) 6 = -8
Z23C23= U2 + V3 C23 = (2+2) 8 = -4
Como todas las VNB son negativas el tablero es
ptimo y factible.
Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)
Z = 525 [u.m.]