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Investigacin Operativa I SIS-2209 ______________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________ Aux. Fernando Cortez Hino

1

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El tablero ptimo es:

Xi X1 x2 Xn ai ei si b

VB B-1aj B-1 B-1b

Zj-Cj CBB-1 aj - Cj CBB-1 CBB-1b

a) Cambios Discretos en el Vector C

jj1

B CaBC bBC 1B

Intervalo de confianza:

Funcin MAX 0)CaB(C jj1

B

Funcin MIN 0)CaB(C jj1

B

b) Cambios Discretos en b

bBC 1B bB 1

Intervalo de confianza sea la funcin MAX o MIN:

0b)(B 1

Si 0b)(B 1 La solucin es SBNF, aplicamos dual simplex c) Cambios Discretos en A

Primero se debe comprobar que VNBai se realiza el cambio caso contrario NO.

ii1

B CaBC i

1aB

d) Adicin de Nuevas Actividades Xj Se necesita como datos el coeficiente para la Funcin Objetivo y el vector de consumo de recursos

de la nueva variable.

jj1

B CaBC j

1aB

e) Adicin de Nuevas Restricciones Ri Al aadir una nueva restriccin primero estandarizar, luego aadir una nueva fila y columna

para posteriormente llevar los datos de la restriccin al tablero ptimo. Por ultimo siempre

verificar que el conjunto de VB sean vectores unitarios en forma de columna.

PROGRAMACION PARAMETRICA

a) Cambios Continuos en el Vector C

VNB)(jaB jj1

B

MIN 0)aB(

MAX 0)aB(*

jj1

B

jj1

B

La solucin es ptima para: *0

BBB )X(CZ* Sol Gral.

a) Cambios Continuos en el Vector b

K1B 0)(B* K

1

La solucin es ptima para: *0

K1

B BCZ* Sol Gral.



2

PROGRAMACION PARAMETRICA

La programacin Parametrica sirve para determinar intervalos de confianza.

CAMBIOS CONTINUOS EN EL VECTOR C Programa Lineal

MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.

X1 + 2X2 + X3 40

3X1 + 2X3 60

X1 + 4X2 30 X1, X2, X3 0


X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 5

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 30

S3 2 0 0 -2 1 1 10

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 160

Solucin: Z=160; X1= 0; X2=5; X3=10

E1) Aplicar 526 y hallar cuando se mantiene optimo la solucin. MAX Z = (3-6 )X1+(2-2 )X2+(5+5 )X3

Calculando el denominador de la formula:

006SSXVNB

052SXXVB

211j

332B

001

103

011

a j Son las VNB de las restricciones.

211 SSX

jj1

B

3114

006318006

101

103

011

112

0210

04121

052aB

Corresponde a VNB solo se tomara en cuenta los negativos (-1)

11

1min*

La solucin es ptima para: 10

Si 0)aB( jj1

B entonces *

Expresin General:

140160)305(5)52(20S)X5(5)X2(2)X(CZ* 332BBB



3

CAMBIOS CONTINUOS EN EL VECTOR b Programa Lineal

MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.

X1 + 2X2 + X3 40 -

3X1 + 2X3 60 +2

X1 + 4X2 30 7 X1, X2, X3 0


X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 5

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 30

S3 2 0 0 -2 1 1 10

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 160

Solucin: Z=160; X1= 0; X2=5; X3=10

E2) Cambio continuo

7

2

1

K

10

30

5

bBX 1BK

7

1

1

7

2

1

112

0210

04121

B K1 Solo tomamos en cuenta los negativos (-1 -7)

1.437

10

7

10

1

5Min0/B

B

)(XMin* k

1

k1

BK

Sol ptima: 1.430

Si 0)(B k1 entonces *

Expresin General:

5140618040

730

260

40

112

0210

04121

052)(bBCZ* 1B



4

EJEMPLOS ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Ejemplo de un taller de estatuillas.

X1 = cantidad producida de figuras geomtricas

X2 = cantidad producida de figuras religiosas

X3 = cantidad producida de formas libres

X4 = cantidad producida de figuras romnticas

MAX Z = 280X1 + 40X2 + 500X3 + 510X4 s.a.

30X1 + 5X2 + 45X3 + 60X4 300 (Hrs de Trabajo de Corte)

20X1 + 8X2 + 60X3 + 30X4 180 (Hrs de Trabajo de Cincelado)

20X2 +120X4 300 (Hrs de Trabajo de Pulido)

X1, X2, X3, X4 0

Su tablero ptimo es el siguiente:

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b

X1 1 11/10 15/2 0 1/2 -1/10 1/5 0 6

S3 0 76 360 0 20 -8 12 1 60

X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2

Zj-Cj 0 30 70 0 -100 6 5 0 2700

a) Determine un rango de la capacidad de corte para que la solucin existente siga siendo ptima.

0

300

180

0101151

1128

051101

bBX 1B

010

180

15

024608

05

180

10

270

307.5

360

El rango de capacidad de corte para que la solucin siga siendo ptima es: 307.5270

b) El mercado requiere la produccin de figuras polticas. La produccin presenta las

caractersticas:

Corte 15 Hrs.

Cincelado 10 Hrs.

Pulido 20 Hrs.

Aportacin/unidad 240 dlares.

Debe la empresa mantener su actual gama de productos o le convendra ampliarla a las figuras

polticas?

Se tiene una adicin de variable x5 con C5 = 240;

20

10

15

a5



5

0

20

21

20

10

15

0101151

1128

051101

aBa 51

5

01002401402400

20

21

280,0,510CaBCCZ 551

VB55

Modificando el tablero:

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b

X1 1 11/10 15/2 0 1/2 -1/10 1/5 0 6

S3 0 76 360 0 20 -8 12 1 60

X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2

Zj-Cj 0 30 70 0 -100 6 5 0 2700

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b

X1 1 -4/5 -3/2 0 0 1/10 -1/10 -1/40 9/2

X5 0 19/5 18 0 1 -2/5 3/5 1/20 3

X4 0 -7/15 -3 1 0 1/15 -1/10 0 2

Zj-Cj 0 410 1870 0 0 -34 65 5 3000

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 b

X1 1 -1/10 3 -3/2 0 0 1/20 -1/40 3/2

X5 0 1 0 6 1 0 0 1/20 15

S1 0 -7 -45 15 0 1 -3/2 0 30

Zj-Cj 0 172 340 510 0 0 14 5 4020

Tablero optimo con solucin: x1=3/2, x2=0, x3=0, x4=0, x5=15 para un Z1=4020

Por lo tanto a la Empresa le convendra ampliar su actual gama de productos con figuras

polticas ya que Z1>Z.

c) La empresa puede adquirir de un proveedor externo 5 horas de capacidad de corte y otras 5 de

capacidad de cincelado por un coste total de 75 dlares Le conviene realizar esta adquisicin?

300

185

305

b)(b

300

180

300

b

0

611

80

213

300

185

305

0101151

1128

051101

b)(bBX 1B

2755611

80

213

280,0,510XCZ BVB



6

Actualizando el tablero optimo:

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 B

X1 1 11/10 15/2 0 -1/10 1/5 0 13/2

S3 0 76 360 0 -8 12 1 80

X4 0 -7/15 -3 1 1/15 -1/10 0 11/6

Zj-Cj 0 30 70 0 6 5 0 2755

Como XB 0 la solucin ptima es: x1=13/2, x2=0, x3=0, x4=11/6 para un Z=2755

Adquiriendo del proveedor mas Hrs. de capacidad con un coste de 75 $.

Z = 2755 75 = 2680 $. Por lo tanto no le conviene hacer la adquisicin de estas horas ya

que su ganancia reduce.

d) En cuanto debera incrementarse la aportacin de las formas libres para que su produccin

resultara rentable?

X3 = formas libre

570C0C570C0

60

45

6,5,0

C

0

60

45

0101151

1128

051101

280,0,510CaBCCZ

333

3331

VB33

La aportacin debe incrementarse en 570 $ de las formas libres, para que su produccin sea

rentable.

e) Indique un rango de la aportacin de las figuras geomtricas en el que la solucin existente

siga siendo ptima. Qu actividades entran en la base dentro de las cotas de dicho rango?

X1 = figuras geomtricas

040,500,0,051-C5

1 34,C

10

1- 1530,-C

2

15 238,-C

10

11

40,500,0,0

1011513-57

128-36076

511012151011

,0,510C

40,500,0,0

00020

10608

01455

0101151

1128

051101

,0,510CCaBCCZ

1111

1

1jj1

VB11

051-C5

1 034C

10

1- 02030-C

2

15 0278-C

10

111111

255C 340C 3

812C

11

2780C 1111



7

El rango de la aportacin de las figuras es: 340C270.67 1

Adems ninguna actividad entra en el rango.

f) Indique un rango de la aportacin de las figuras religiosas en el que la solucin siga siendo

ptima. Qu actividades entran en la base dentro de las cotas de dicho rango?

X2 = figuras religiosas

70C0C70C20

8

5

6,5,0

C

20

8

5

0101151

1128

051101

280,0,510CaBCCZ

222

2221

VB22

El rango de aportacin de las figuras religiosas es: 70C2

Las actividades que entran dentro del rango solo es: x1.

g) Suponga que la aportacin vara parametricamente de acuerdo a lo siguiente:

MAX Z = (280+5 )x1+(40-3 )x2+(500+6 )x3+(510+ )x4

Encontrar un valor para el cual la solucin base no cambia y determinar la expresin general

de esta solucin.

C = (280 40 500 510); = (5 -3 6 1) = (a1 a2 a3 a4)

N)(jaB jj1

B para todo j que no esta en la base j=2, 3, 5, 6

3,6,0,000020

10608

01455

,0109,3013

3,6,0,0

00020

10608

01455

0101151

1128

051101

(5,0,1)

6532KK a,a,a,a109,3013,257,302413,6,0,0109,3013,269,30151CZ

El nico candidato para calcular * es a5:

13.8513

180

3013

6

aB

)C(Z*

551

B

55

La solucin es ptima para: 13.850

Los valores de x1, x2, x3, x4 del tablero optimo no cambian solo cambian el valor de Z.

BBB )X(CZ* para

41 )X(5100)X5(280Z*

)2(510)65(280Z*

322700Z* Expresin General para 13.850



8

h) Suponga que la disponibilidad de horas de trabajo vara parametricamente de la siguiente

manera:

Corte: (300 + 10 ) Horas

Cincelado: (180 + 5 ) Horas

Pulido: (300-5 ) Horas

Encontrar un valor de para el cual la solucin base no cambia y determinar la expresin

general de esta solucin.

300

180

300

b

5

5

10

0/BB

XMin* k

1

k1

BK

0

61

25

0

5

5

10

0101151

1128

051101

B k1

2.45

12

25

60*

La solucin es ptima para: 2.40

)(bBCXCZ* 1BBB

2057380601800

5300

5180

10300

0416

5300

5180

10300

0101151

1128

051101

2659180Z* Expresin General para 2.40



9

PRACTICA RESUELTA

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Paralelo B

Una fbrica ensambla 3 tipos de juguetes: trenes, camiones y automviles, utilizando 3

operaciones. Los lmites diarios sobre los tiempos disponibles para las 3 operaciones son de 430,

460 y 420 minutos respectivamente y las utilidades por cada tren, camin y automvil son de

3, 2 y 5 $us, respectivamente. Los tiempos de ensamble por tren en las 3 operaciones son de 1, 3

y 1 minutos respectivamente. Los tiempos correspondientes por camin y por automvil son (2, 0,

4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo de 0 indica que la operacin no se utiliza).

a) Formular los problemas primal y dual y encontrar sus soluciones.

X1 = cantidad producida de trenes

X2 = cantidad producida de camiones

X3 = cantidad producida de automviles

MAX Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 s.a.

1X1 + 2X2 + 1X3 430 (Minutos de Operacin 1)



X1, X2, X3 0

MIN W = 430Y1 + 460Y2 + 420Y3 s.a.

1Y1 + 3Y2 + 1Y3 3

2Y1 + 0Y2 + 4Y3 2

1Y1 + 2Y2 + 0Y3 5

Y1, Y2, Y3 0

Su tablero ptimo es el siguiente:

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

S1 1 2 1 1 0 0 430

S2 3 0 2 0 1 0 460

S3 1 4 0 0 0 1 420

Zj-Cj -3 -2 -5 0 0 0 0

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

S1 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 1 4 0 0 0 1 420

Zj-Cj 9/2 -2 0 0 5/2 0 1150

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1350

Primal Z = 1350; X1 = 0; X2 = 100; X3 = 230

Dual W = 1350; Y1 = 1; Y2 = 2; Y3 = 0



10

b) Resolviendo el problema, encontrara que en lo ptimo no se fabricaran trenes. Sin embargo la

competencia obliga a la fbrica a producir trenes. Cmo se podra lograr esto para una situacin

de optimalidad?

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1350

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 0 1 0 1/4 -1/8 1/8 205/2

X3 0 0 1 3/2 -1/4 -3/4 215

X1 1 0 0 -1 1/2 1/2 10

Zj-Cj 0 0 0 5 0 -4/2 1310

c) Supongamos que para los trenes de juguete el empleo por unidad de la operacin 2 puede

reducirse a 1 minuto, con este cambio. Es posible que la fabricacin de trenes de una solucin

optima?

052SXXVBC 332B

1

1

1

a1 x1 es VNB

Solucin:

0

21

41

1

1

1

112

0210

04121

aB 11

03330

21

41

0523

1

1

1

112

0210

04121

052CaBC 111

B


X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100

X3 1/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 0 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 0 0 0 1 2 0 1350

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X1 1 4 0 2 -1 0 400

X3 0 -2 1 -1 1 0 30

S3 0 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 0 0 0 1 2 0 1350



11

Si es posible que se fabriquen trenes con ese cambio: Z = 1350; X1 = 400; X2 = 0; X3 = 30

d) Supongamos que se esta estudiando la posibilidad de introducir un cuarto juguete: camiones

de bomberos. El ensamble no utiliza la operacin 1 y sus tiempos de ensamble en las operaciones

2 y 3 son: 1 y 3 minutos respectivamente. La utilidad por unidad es de 4 $us. Aconsejara a la

fbrica a que introdujera este nuevo producto?

X4 = cantidad producida de camiones de bomberos

Se tiene una adicin de variable x4 con C4 = 4;

3

1

0

a5

4

21

41

3

1

0

112

0210

04121

aBa 41

4

024244

21

41

0524

3

1

0

112

0210

04121

052CaBCCZ 441

VB44

Modificando el tablero:

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 -1/4 1/2 -1/4 0 100

X3 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 4 -2 1 1 20

Zj-Cj 4 0 0 -2 1 2 0 1350

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 b

X2 -1/8 1 0 0 3/8 -3/16 1/16 405/4

X3 5/4 0 1 0 1/4 3/8 -1/8 455/2

X4 1/2 0 0 1 -1/2 1/4 5

Zj-Cj 5 0 0 0 0 5/2 1/2 1360

Tablero optimo con solucin: x1=0, x2=405/4, x3=455/2, x4=5 para un Z1=1360

Por lo tanto a la Empresa le convendra ampliar su actual gama de productos con camiones de

bomberos que Z1>Z.

e) Supongamos que la fbrica decide ampliar sus capacidades de ensamble en 40%. En cuanto

incrementara su utilidad?

Capacidad 1 incrementada en 40% 430 * 0.4 = 172





12

588

644

602

b)(b

168

184

172

b;

420

460

430

b

28

322

140

588

644

602

112

0210

04121

b)(bBX 1B 189028

322

140

052XCZ BVB


X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 140

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 322

S3 2 0 0 -2 1 1 28

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1890

La solucin ptima es: x1=0, x2=140, x3=322 para un Z=1890

Por lo tanto su utilidad se incrementara en 1890 1350 = 540 $us

f) Para mejorar su utilidad la fbrica propone otra alternativa a la anterior. Cambiar la holgura

de la operacin 3 a la capacidad de la operacin 1. Cul de las 2 utilidades es mayor?

La holgura de la operacin 3 es S3 = 20

Restamos ese valor de la capacidad 3 y le adicionamos a la capacidad 1

400

460

450

b)(b

420

460

430

b

40-

230

110

400

460

450

112

0210

04121

b)(bBX 1B 137040-

230

110

052XCZ BVB


X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 110

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 -40

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1370

Min {|1/-2|} = {S1}

X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 1/4 1 0 0 0 1/4 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S1 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 20

Zj-Cj 5 0 0 0 5/2 1/2 1350



13


Por lo tanto la primera utilidad es mayor a la segunda utilidad 1890 > 1350

g) Para el caso anterior Seria mas ventajoso asignarle el exceso de capacidad de la operacin 3 a

la operacin 2, en vez de la 1?

La holgura de la operacin 3 es S3 = 20

Restamos ese valor de la capacidad 3 y le adicionamos a la capacidad 2

400

480

430

b)(b

420

460

430

b

20

240

95

400

480

430

112

0210

04121

b)(bBX 1B 139020

240

95

052XCZ BVB


X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 95

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 240

S3 2 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1390


Por lo tanto la primera utilidad sigue siendo mayor a la segunda utilidad 1890 > 1390

h) Cul seria el rango de factibilidad de las capacidades de operacin para que la solucin base

se mantenga optima? (Calcule los rangos independientemente para cada capacidad)

0

420

460

112

0210

04121

bBX 1B

08802-

0230

01152

1

440

230

El rango de factibilidad para la capacidad 1 es: 440230

0

420

430

112

0210

04121

bBX 1B

0440

02

1

02154

1

440

860


0

460

430

112

0210

04121

bBX 1B

0400

0230

0100

400




14

i) Determine el cambio del valor por minuto en las capacidades de las operaciones 2 y 3.

(FALTA)

Cambio continuo

7

2

1

K

10

30

5

bBX 1BK

7

1

1

7

2

1

112

0210

04121

B K1 Solo tomamos en cuenta los negativos (-1 -7)

1.437

10

7

10

1

5Min0/B

B

)(XMin* k

1

k1

BK

Sol ptima: 1.430

Expresin General:

5140618040

730

260

40

112

0210

04121

052)(bBCZ* 1B

j) Supongamos que cualquier tiempo adicional para la operacin 1, mas all de su capacidad

actual de 430 minutos por da, debe hacerse sobre una base de horas extra a 50 $us/hra. El costo

por hora incluye tanto la mano de obra como la operacin de la maquina. Es econmicamente

ventajoso utilizar las horas extra con la operacin 1?

Capacidad 1 incrementada en 60 minutos 430 + 60 = 490

420

460

490

b)(b

420

460

430

b

100-

230

130

420

460

490

112

0210

04121

b)(bBX 1B 1410100-

230

130

052XCZ BVB


X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 130

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 -100

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1410

Min {|1/-2|} = {S1}

X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 1/4 1 0 0 0 1/4 105

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S1 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 50

Zj-Cj 5 0 0 0 5/2 1/2 1360



15

La solucin ptima es: x1=0, x2=105, x3=230 para un Z = 1360 50 = 1310

Por lo tanto no es econmicamente ventajoso utilizar las horas extra con la operacin 1 porque la

utilidad neta menos el costo de la hora adicional de la operacin 1 es menor a la utilidad anterior.

k) Supongamos que el operador de la operacin 2 ha aceptado trabajar 2 horas de tiempo extra al

da, a 45 $us la hora. Adems el costo de la operacin misma es de 10 Sus/hra. Cul es el efecto

neto de esta actividad sobre la utilidad diaria?

Capacidad 2 incrementada en 120 minutos 460 + 120 = 580

420

580

430

b)(b

420

460

430

b

140

290

70

420

580

430

112

0210

04121

b)(bBX 1B 1590

140

290

70

052XCZ BVB


X1 X2 X3 S1 S2 S3 B

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 70

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 290

S3 2 0 0 -2 1 1 140

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1590

Costo 55 $/hora y dos horas son 110 $us

La solucin ptima es: x1=0, x2=70, x3=290 para un Z = 1590 110 = 1480

Por lo tanto por cada da de trabajo extra del operador 2 la empresa ganara (1480 - 1350)=130 $

l) Vale la pena utilizar las horas extra con la operacin 3? Porque?

No vale la pena porque tenemos una holgura de 20 minutos para la operacin 3

m) Supongamos que la fbrica cambia el diseo de sus juguetes y que ese cambio requiere la

adicin de una cuarta operacin. La capacidad diaria de la nueva operacin es de 500 minutos y

los tiempos por unidad para los 3 productos en esta operacin son 3, 1 y 1 minutos

respectivamente. Afectara esta restriccin a la solucin ptima?


X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 0 20

S4 3 1 1 0 0 0 1 500

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350



16

X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 0 20

S4 7/4 0 0 -1/2 -1/4 0 1 170

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350

La solucin ptima continua siendo la misma: x1=0, x2=100, x3=230 para un Z=1350

Por lo tanto esta nueva restriccin no afectara la solucin ptima.

n) Si los tiempos por unidad en la cuarta operacin son 3, 3 y 1 minutos respectivamente. Cul

ser la solucin optima?


X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 0 20

S4 3 3 1 0 0 0 1 500

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350

X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 0 20

S4 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 0 1350

X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b

X2 1/2 1 0 0 -1/6 0 1/3 90

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230

S3 -1 0 0 0 2/3 1 -4/3 60

S1 -3/2 0 0 1 -1/6 0 -2/3 20

Zj-Cj 11/2 0 0 0 13/6 0 2/3 1330

La solucin ptima cambia siendo: x1=0, x2=90, x3=230 para un Z=1330

Por lo tanto esta nueva restriccin si afectara la solucin ptima decrementandola en 20 $us.

o) Supongamos que la fbrica tiene una nueva poltica de determinacin de precios para

satisfacer o igualar la competencia. Las utilidades por unidad bajo la nueva poltica son de 4, 3



17

y 4 $us por los trenes, camiones y automviles de juguete respectivamente. Cunto ser su

utilidad neta?

MAX Z = 4X1 + 3X2 + 4X3

452345004452342100412-2

21023

412141

043

004

001

103

011

112

0210

04121

043CaBC jj1

VB

1220420

460

430

04523

420

460

430

112

0210

04121

043bBC 1VB

X1 X2 X3 S1 S2 S3 b

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100

X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

S3 2 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 5/4 0 0 3/2 5/4 0 1220

Por lo tanto su utilidad neta Z=1330 es menor y no le conviene realizar estos cambios.

p) Cul ser el rendimiento mnimo por unidad que deber mantener la fabrica en la produccin

de trenes para que su fabricacin sea rentable?

q) Qu capacidades debern mantenerse para que no existan holguras en las operaciones?

SOLUCION WIN QSB



18

EJEMPLOS TRANSPORTE

EXTREMO NOROCCIDENTAL

E1)

1 2 3

1 0 0 0

50 5 6 2

2 0 0 0

80 7 4 8

35 50 45 130=130

(1,1) X11 = MIN (a1, b1) = MIN (50, 35) = 35

(1,2) X12 = MIN (a1, b2) = MIN (50, 15) = 15

(2,2) X22 = MIN (a2, b2) = MIN (80, 35) = 35

(2,3) X23 = MIN (a2, b3) = MIN (45, 45) = 45

1 2 3

1 35 15 0 5015

0 5 6 2

2 0 35 45 8045

0 7 4 8

350 5035

0 450 130=130

Z = (5*35) + (6*15) + (4*35) + (8*45)

Z = 765

VOGUEL

E2)

1 2 3

1 0 0 0

50 5 6 2

2 0 0 0

80 7 4 8

35 50 45 130=130

1 1 2 3 Multas

1 0 0 45

50-45=5 3 5 6 2

2 0 0 0

80 3 7 4 8

35 50 45-45=0 130=130

Multas 2 2 6mayor

2 1 2 Multas

1 0 0

5 1 5 6

2 0 50

80-50=30 3mayor 7 4

35 50-50=0 85=85

Multas 2 2

3 1 Multas

1 0

5 5 5

2 30

30-30=0 7mayor 7

35-30=5 35=35

Multas 2

4 1

1 5

5 5

5 5=5

1 2 3

1 5 0 45

50 5 6 2

2 30 50 0

80 7 4 8

35 50 45 130=130

Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)

Z = 525



19

E3)

Solucin inicial de Noroccidental.

1 2 3

1 35 15 0

50 5 6 2

2 0 35 45

80 7 4 8

35 50 45

Para todas las VB 0cvu ijji

U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5

U1 + V2 6 = 0 U2 = -2 V2 = 6

U2 + V2 4 = 0 V3 = 10

U2 + V3 8 = 0

Para todas las VNB ijjiijij cvucz MIN

Z13C13= U1 + V3 C13 = (0+10) 2 = 8

Z21C21= U2 + V1 C21 = (-2+5) 7 = 4

Como tenemos valores positivos en VNB escogemos el

ms positivo para que entre a la base. (C13)

Circuito:

1 2 3

1 35 15

50 5 6 2

2 0 35+ 45

80 7 4 8

35 50 45

= MIN {VB ()} = {15, 45} = 15

1 2 3

1 35 0 15

50 5 6 2

2 0 50 30

80 7 4 8

35 50 45


U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5

U1 + V3 2 = 0 U2 = 6 V2 = -2

U2 + V2 4 = 0 V3 = 2

U2 + V3 8 = 0


Z12C12= U1 + V2 C12 = (0-2) 6 = -8

Z21C21= U2 + V1 C21 = (6+5) 7 = 4

Como tenemos valores positivos en VNB escogemos el

ms positivo para que entre a la base. (C21)

Circuito:

1 2 3

1 35 0 15+

50 5 6 2

2 50 30

80 7 4 8

35 50 45

= MIN {VB ()} = {30, 35} = 30

1 2 3

1 5 0 45

50 5 6 2

2 30 50 0

80 7 4 8

35 50 45


U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5

U1 + V3 2 = 0 U2 = 2 V2 = 2

U2 + V1 7 = 0 V3 = 2

U2 + V2 4 = 0


Z12C12= U1 + V2 C12 = (0+2) 6 = -8

Z23C23= U2 + V3 C23 = (2+2) 8 = -4

Como todas las VNB son negativas el tablero es

ptimo y factible.

Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)

Z = 525 [u.m.]

Ejemplo:

Solucin inicial de Voguel.

1 2 3

1 5 0 45

50 5 6 2

2 30 50 0

80 7 4 8

35 50 45 130=130


U1 + V1 5 = 0 U1 = 0 V1 = 5

U1 + V3 2 = 0 U2 = 2 V2 = 2

U2 + V1 7 = 0 V3 = 2

U2 + V2 4 = 0


Z12C12= U1 + V2 C12 = (0+2) 6 = -8

Z23C23= U2 + V3 C23 = (2+2) 8 = -4

Como todas las VNB son negativas el tablero es

ptimo y factible.

Z = (5*5) + (2*45) + (7*30) + (4*50)

Z = 525 [u.m.]

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