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Análisis de Sistemas Lineales
Controlabilidad y Observabilidad
E. Interiano 2
Contenido
Controlabilidad de estado Transformación a forma canónica (regular)
controlable, FCC Observabilidad de estado Transformación a forma canónica (regular)
observable, FCO Ejemplos y ejercicios
E. Interiano 3
Controlabilidad
La controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario en un tiempo finito.
El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polos
Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces es posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados (o las raíces de la ecuación característica)
E. Interiano 4
Controlabilidad de estado
Partimos del sistema MIMO Para que este sistema sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz de controlabilidad M de n x nr tenga rango n
)()()()()(
ttttt
DuCxyBuAxx+=
+=
]B A B A AB[BM 1-n2 ⋅⋅⋅=
E. Interiano 5
Si M no es cuadrada (MIMO), se puede formar la matriz MM’, que es de n x n; entonces si MM’ es no singular M tiene rango n.
El par [A, B] es completamente controlable si A y B están en la Forma Canónica Controlable o FCC, o son transformables a la Forma Canónica Controlable
Pruebas para la controlabilidad de estado
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Si los valores propios de A son diferentes y A está en la Forma Canónica Diagonal el par [A, B] es completamente controlable si todos los elementos de B no son cero
Si A está en la Forma Canónica de Jordan, el par [A, B] es completamente controlable si al menos uno, de los elementos en los renglones de B que corresponden al último renglón de cada bloque de Jordan, es diferente de cero
Pruebas para la controlabilidad de estado (2)
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Ejemplo 1: Controlabilidad
Sea el sistema SISO descrito por: La matriz de controlabilidad (nxn) es
Que es singular y por lo tanto el sistema es NO controlable.
−=
1- 0 1 2
A
=
01
B
[ ]
==
0 02- 1
ABBM
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Forma canónica controlable (SISO)
udxcy
ux
aaaa
x
T
nn
⋅+⋅=
⋅
+⋅
−−−−
=
−− 10
00
1000
0100100
0010
1210
Las matrices o vectores C y D no siguen ningún patrón en particular
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Estructura del modelo FCC (SISO)
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Transformación a FCC
Sea T la matriz de transformación, con M la matriz de controlabilidad
donde las ai son los coeficientes característicos
MWT =
••
••
••
••••••
•••
•••
••••••
=
−
−
00
00
01
1
011
1
32
121
n
n
a
aaaaa
W
011
1 aaa nn
n ++++=− −− λλλλ AI
]B A B A AB[BM 1-n2 ⋅⋅⋅=
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Transformación a FCC
Se define como un nuevo vector de estado
Si el sistema tiene estado completo controlable, la matriz T tiene inversa.
Utilizando la matriz T se puede transformar el sistema a la forma canónica controlable:
x̂xTx ˆ=
DuxCTyBuTxATTx 11
+=+= −−
ˆˆ̂
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Ejercicio 1
Encuentre si el sistema es controlable y transfórmelo a la forma canónica controlable o FCC
u⋅
+⋅
−−
=12
541110
xx
[ ] x⋅= 31y
Solución al ejercicio 1
Prueba de controlabilidad
Como M es nxn, y su determinante no es cero, entonces el par (A,B) es controlable
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[ ]
−−
==3192
ABBM
Solución al ejercicio 1
Conversión a FCC
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( )
=
−−
=
=
=
−+=
−−
−
++=−
=
1221
0115
3192
0115
011
6554
11100
0det
det
1
2
012
T
W
AIMWT
a
aa
λλλ
λ
λλλ
Solución al ejercicio 1
Conversión a FCC
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[ ] [ ]571221
31~
10
12
3/13/23/23/1~
5610
1221
541110
3/13/23/23/1~
:
~~
~~~~
=
⋅===
=
−
−===
−
=
−−
−
−==
+=
+=
−−
−
TcCTC
bTBTB
ATTA
DuxCy
uBxAx
11
1
T
ónVerificaci
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Observabilidad: definición
Partimos del sistema se dice que el estado x(t0) es observable si
dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf ≥ t0 tal que, el conocimiento de: u(t) para t0 ≤ t < tf las matrices A, B, C y D la salida y(t) para t0 ≤ t < tf
sea suficiente para determinar x(t0).
)()()()()(
ttttt
DuCxyBuAxx+=
+=
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Observabilidad: definición
Si cada estado del sistema es observable para un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.
Para que el sistema descrito sea completamente observable, es necesario y suficiente que S, la matriz de observabilidad de np x n, tenga un rango n.
=
−1n
2
CA...
CACAC
S
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Pruebas para la observabilidad Si el sistema tiene solo una salida, C es una
matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable si S es no singular
Para un sistema SISO, el par [A,C] es completamente observable si A y C están en la forma canónica observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una transformación de similitud.
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Pruebas para la observabilidad (2) Si A está en la forma canónica diagonal
(FCD) el par [A,C] es completamente observable si todos los elementos en las columnas de C son diferentes de cero.
Si A está en la forma canónica de Jordan (FCJ), el par [A,C] es completamente observable si al menos uno, de los elementos en las columnas de C que corresponden a la primera columna de cada bloque de Jordan, es diferente de cero.
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Los elementos de las matrices y no
están restringidos a ninguna forma
La forma canónica observable
−
−−−
=
−1
2
1
0
1..00......
0..100..010..00
ˆ
na
aaa
A
[ ]10..00ˆ =C
B̂ D̂
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Estructura del modelo FCO
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Ejemplo 2: Sistema con cancelación de polos Sea la función de
transferencia:
Se descompone en la forma FCC, por lo que es controlable.
Pero, cuya matriz de observabilidad, S, es singular y por ello el par [A,C] no es observable
)2)(1(1
)()(
+++
=ss
ssUsY
[ ]1110
3210
=
=
−−
=
C
B
A
−−
=
=
2211
CAC
S
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Ejemplo 2: continuación
El sistema en forma FCC se transforma a la forma FCO
Debido a que la FCO se puede realizar, el par [A, C] es observable; pero, M es singular y se pierde la controlabilidad
[ ]1011
3120
=
=
−−
=
C
B
A
[ ]x
xx
1110
3210
=
+
−−
=
y
u
[ ]
−−
==2121
ABBM
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Transformación a FCO
Sea Q la matriz de transformación, con S la matriz de observabilidad
Y con
1WSQ −= )(
••
••
••
••••••
•••
•••
••••••
=
−
−
00
00
01
1
011
1
32
121
n
n
a
aaaaa
W
=
−1n
2
CA...
CACAC
S
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Transformación a FCO
Se define como un nuevo vector de estado
Si el sistema es observable, la matriz Q tiene inversa.
Utilizando la matriz Q se puede transformar el sistema a la forma canónica observable:
x̂xQx ˆ=
DuxCQyBuQxAQQx 11
+=+= −−
~~~
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Ejercicio 2
Encuentre si el sistema es observable y transfórmelo a la forma canónica observable o FCO
u⋅
+⋅
−−
=12
541110
xx
[ ] x⋅= 31y
Solución al ejercicio 2
Prueba de observabilidad
Como S es nxn, y su determinante no es cero, entonces el par (A,C) es observable
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−
=
=
262231
CAC
S
Solución al ejercicio 2
Conversión a FCO
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( )
−=
−
=
=
=
−+=
−−
−
++=−
=
−
−
314117
262231
0115
0115
011
6554
11100
0det
det)(
1
1
2
012
1
Q
W
AIWSQ
a
aa
λλλ
λ
λλλ
Solución al ejercicio 2
Conversión a FCO
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[ ] [ ]1092/1792/192/4192/3
31~
57
12
314117~
5160
92/1792/192/4192/3
541110
314117~
:
~~
~~~~
=
−⋅===
=
−===
−
=
−
−−
−==
+=
+=
−−
−
QcCQC
bQBQB
AQQA
DuxCy
uBxAx
11
1
T
ónVerificaci
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Ejercicio 3
1. Encuentre si el sistema continuo mostrado es controlable y observable.
2. Transforme si es posible el sistema anterior a la forma canónica controlable, FCC, a la forma canónica observable, FCO y a la forma canónica diagonal, FCD.
)(11
)(12-04-
)( tutxtx ⋅
+⋅
=
[ ] )(11)( txty ⋅=
Aplicación de la controlabilidad: Realimentación de estado Tenemos un sistema descrito por
Hacemos la señal u como Sustituyendo obtenemos
E. Interiano 33
BuAxx +=
Kx−=u
)()( txBKAx −=
Realimentación de estado
Puede observarse que el nuevo sistema posee una nueva matriz Que posee nuevos valores propios µ1, µ2, …µn
E. Interiano 34
)(~ BKAA −=
0))(det( =−− BKAIλ
Ejemplo 3: Ubicación de polos
Considere el sistema continuo en FCC, lo cual significa que es controlable, tiene los valores propios siguientes: Problema: se desea colocar arbitrariamente los valores propios o polos de lazo cerrado en µ1 = -2 y µ2 = -3. Es decir:
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[ ]x
xx
0110
0110
=
+
=
y
u11
2
1
+=−=
λλ
( ) ( )( )( )( ) 6532
~det2
21
++=++=
−−=−
λλλλ
µλµλλ AI
Ejemplo 3: Solución por sustitución directa de K Por sustitución directa de K = [k1, k2] en el polinomio característico deseado
Comparando polinomios obtenemos K:
K = [ 7 5 ] E. Interiano 36
( ) [ ]
( ) ( ) ( )11
1
10
0110
00
122
21
21
−++=+−−
=
×
−
−
=−−
kkkk
kk
λλλ
λ
λλ
λ BKAI
( )165 1222 −++=++ kk λλλλ
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Referencias
[1] Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.