TEMA 5ANÁLISIS DIMENSIONAL

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones tienen que ser homogéneas,

dimensionalmente hablando.

El análisis dimensional tiene aplicaciones en

Detección de errores de cálculo

Resolución de problemas cuya solución directa

conlleva dificultades matemáticas.

Creación y estudio de modelos reducidos

Consideraciones sobre la influencia de posibles

cambios en los modelos, tanto reales como

imaginarios

CONCEPTOS BÁSICOS

OBSERVABLES: Entes que se pueden

caracterizar por algún efecto visible.

OBSERVABLES COMPARABLES: Dos

observables, A y B se dicen que son

comparables si se puede definir entre

ellos esta relación.𝐴

𝐵= 𝑛

CONCEPTOS BÁSICOS

CRITERIO DE IGUALDAD: A es igual a B si:𝐴

𝐵= 𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1

CRITERIO DE SUMA: Sean tres observables

A11, A2 y A3 comparables con otro

observable A0 mediante las relaciones:𝐴1𝐴0

= 𝑛1,𝐴2𝐴0

= 𝑛2,𝐴3𝐴0

= 𝑛3

CONCEPTOS BÁSICOS Diremos que

𝐴1 + 𝐴2 = 𝐴3 ⇔ 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛3 MAGNITUD: Conjunto de todos los

observables que son comparables entre sí.

CANTIDAD: Cada uno de los elementos

del conjunto que define una magnitud.

UNIDAD(UA): Es una cantidad, A0 =UA,

elegida arbitrariamente al formar las

razones respecto de esta cantidad.

CONCEPTOS BÁSICOS𝐴1𝑈𝐴

= 𝐴1,𝐴2𝑈𝐴

= 𝐴2…

La relación entre las medidas es

inversamente proporcional al cociente de

las unidades. Supongamos dos unidades UA

y UA’. Al medir la misma cantidad A del

observable obtendremos:𝐴

𝑈𝐴= 𝐴 𝑦

𝐴

𝑈𝐴′= A′ ⇒ 𝐴 = 𝐴𝑈𝐴 = 𝐴′𝑈𝐴′ ⇒

𝐴

𝐴′=

𝑈𝐴𝑈𝐴′

Tal y como se quería demostrar a esta

relación se le llama razones de cambio

CONCEPTOS BÁSICOS

Las magnitudes pueden clasificarse en dos grandes grupos:

MAGNITUDES PRIMARIAS O SIMPLES: Se definen sin necesidad de acudir a ninguna fórmula que las compare con otras (tiempo, fuerza, masa…)

MAGNITUDES SECUNDARIAS: Se definen a través de fórmulas que las ligan a otras magnitudes (aceleración, densidad…)

LAS CONSTANTES EN LA FÍSICA CONSTANTE SUPERFLUA: Puede ser obviada

mediante la aplicación de un sistema de unidades.

SISTEMA COHERENTE DE UNIDADES: Es aquel que elimina las constantes superfluas del conjunto

En el caso de las constantes no superfluas podemos distinguir dos tipos:

CONSTANTES PARTICULARES: Dependen de la naturaleza de los cuerpos que intervienen en el fenómeno, y, por tanto, son ineludibles.

CONSTANTES NATURALES: No dependen de la naturaleza de los cuerpos en cuestión.

LAS CONSTANTES EN LA FÍSICA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:

𝐺 = 6,673 · 10−11𝑁𝑚2

𝐾𝑔2

Aparece en la LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2

CONSTANTE DE BOLTZMAN

𝑘 = 1,381 · 10−23𝐽

𝐾

LAS CONSTANTES EN LA FÍSICA

LA VELOCIDAD DE LA LUZ

𝑐 = 2,998 · 108𝑚

𝑠 Aparece en la ecuación de la energía

𝐸 = 𝑚𝑐2

LA CONSTANTE DE PLANCK

ℎ = 6,626 · 10−34𝐽𝑠

Está relacionada con la cuantificación de la

energía

∆𝜀 = ℎ𝑓

LAS CONSTANTES EN LA FÍSICA

EL NÚMERO DE AVOGADRO:

𝑁𝐴 = 6,022 · 1023𝑚𝑜𝑙−1

Relacionado con el número de moléculas

𝑁 = 𝑛𝑁𝐴

CONSTANTE DIELÉCTRICA DEL VACÍO:

𝜀0 = 8,854 · 10−12𝐹

𝑚 Aparece en la ley de Coulomb

𝐹 =1

4𝜋𝜀0

𝑞1𝑞1𝑟2

CONCEPTO DE DIMENSIÓN Consideramos una teoría física cuya totalidad

total, t, de ecuaciones fundamentales es de la siguiente forma:

𝑡 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑥1𝛼11𝑥2

𝛼12 …𝑥𝑛𝛼1𝑛 = 1

𝑥1𝛼21𝑥2

𝛼22 …𝑥𝑛𝛼2𝑛 = 1

𝑥1𝛼𝑡1𝑥1

𝛼𝑡2 …𝑥𝑛𝛼𝑡𝑛 = 1

donde se ha elegido un sistema coherente de unidades {Ui}={U1,U2,…Un}, puede escribirse de forma compacta:

ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… , 𝑡

CONCEPTO DE DIMENSIÓN

Vamos a expresar en la ecuación anterior las

unidades de las cantidades que intervienen en

las ecuaciones de manera explícita:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖 ൞

𝑥𝑖 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎𝑥𝑖 = 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎

𝑥𝑖 = 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥𝑖

Quedando la ecuación anterior:

ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖 𝑥𝑖

𝛼𝑗𝑖 =ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖 ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖

CONCEPTO DE DIMENSIÓN

Debiéndose de cumplir la ecuación anterior

para las medidas asociadas a las cantidades:

ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… , 𝑡

Y para las dimensiones

ෑ

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝛼𝑗𝑖 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… , 𝑡

CONCEPTO DE DIMENSIÓN

Tomando logaritmos neperianos en la ecuación

anterior:

𝑖=1

𝑛

𝛼𝑗𝑖 ln 𝑥𝑖 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… , 𝑡

que representa un sistema de ecuaciones con t

ecuaciones y n incógnitas (ln[xi]), donde la matriz de coeficientes αji es también la matriz de los

exponentes.

CONCEPTO DE DIMENSIÓN Vamos a suponer, como suele ser habitual en las

teorías físicas, que el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones, esto es n >t. Si h es el rango de esta matriz, el número de incógnitas arbitrarias será n - h = m .

Tomando como arbitrarias las m primeras incógnitas asociadas a las unidades [x1], [x2], …, [xm], al conjunto de magnitudes B={x1, x2,…, xm }, asociadas a las m unidades que hemos tomado como independientes, se le denomina base de la teoría física y al número m de sus elementos se le llama multiplicidad de la base, mientras que a cada magnitud de la base se la llama magnitud fundamental.

CONCEPTO DE DIMENSIÓN A partir de la ecuación de las dimensiones, el

resto de unidades puede ser expresado en

una función:

𝑥𝑖 =ෑ

𝑗=1

𝑚

𝑥𝑗𝜀𝑖𝑗

A este formato se le denomina fórmula

dimensional de la magnitud física xi, y al

conjunto de coeficientes {eij} (j =1,…,m) se les

llama dimensiones de la magnitud xi en la

base B.

HOMOGENEIDAD DE LAS

ECUACIONES FÍSICAS Las leyes físicas deben de ser invariantes respecto del

sistema de unidades elegido. Esta invariancia implica que la

función que defina una ley física debe ser homogénea tanto dimensionalmente como matemáticamente hablando.

Diremos que una ley física es dimensionalmente homogénea si

todos sus términos (sumandos) tienen la misma dimensión. Esto

asegura su invariancia respecto del sistema de unidades.

Si los términos de la ecuación A + B = C tienen todos la misma dimensión y cambiamos el sistema de unidades de modo

que se duplique la medida de A, obteniéndose A´=2A, como

todos los términos responden a la misma ecuación de

dimensiones, también se habrán duplicado B y C, pasando a

ser B ´=2B y C ´=2C, de modo que la ley se seguirá cumpliendo,

HOMOGENEIDAD DE LAS

ECUACIONES FÍSICAS La homogeneidad dimensional implica que los

argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. deben ser adimensionales.

Una función f (x1 , x2,…, xn )=0 es homogénea, matemáticamente hablando, si f (λ1x1 , λ2x2,…, λn xn ) = 0

Sea f (x1 , x2,…, xn )=0 la ecuación representativa de una ley física en la que intervienen las medidas x1, x2, …, xn de sendas magnitudes en un sistema coherente de unidades. Al utilizar otro sistema de unidades cuyas razones de cambio sean

𝜆𝑖 =𝑥𝑖𝑥′𝑖

𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛

HOMOGENEIDAD DE LAS

ECUACIONES FÍSICAS

La ecuación f (x1 , x2,…, xn )=0 se transforma en

𝑓 (𝜆1𝑥′1 , 𝜆2𝑥′2, … , 𝜆𝑛 𝑥′𝑛 ) = 0

Pero, al representar f (x1 , x2,…, xn )=0una ley física universal, debe ser invariante frente a cambios de sistemas de unidades y cumplirse

f (x′1 , x′2,…, x′n )=0

Resultando evidente, de las ecuaciones, que f es una función homogénea matemáticamente hablando.

TEOREMA DE PI

Toda ecuación, f (x1 , x2,…, xn )=0 , que

sea una ley representativa de un

fenómeno física, puede expresarse como

𝑓 (𝜋1 , 𝜋2, … , 𝜋𝑛 ) = 0

donde los πi son los monomios

independientes de dimensión nula o

monomios π , que pueden formarse con

las magnitudes consideradas en la ley

física.

TEOREMA DE PI

El número de estos monomios es m =n-h,

donde h es el rango de la matriz formada

con los exponentes dimensionales de las

magnitudes, en relación a una base

dada.

PRINCIPIO DE SIMILITUD El principio de similitud no es más que una generalización

del carácter de homogeneidad dimensional de las ecuaciones de la Física. Dice así: “Las leyes de la Física son invariantes ante cambios de las medidas de un fenómeno físico en un mismo sistema de unidades, ya sean estos cambios reales o imaginarios”.

La utilidad práctica más evidente de este principio radica en el estudio de las propiedades físicas de una maqueta realizada a escala reducida, para después aplicar los resultados al objeto real. Esta práctica es de gran importancia en la construcción de aviones, navíos y obras hidráulicas. Además de esta práctica resulta interesante hacer disquisiciones sobre cambios imaginarios o reales en las medidas. Por ejemplo, si tenemos dos péndulos, uno de longitud doble que el otro, ¿qué relación existe entre sus periodos?