ANALISIS DINAMICO (Análisis modal espectral)

Procedimiento de cálculo:

1. Calculo de la matriz de masa:

Para un edificio de corte la matriz de masa estará definida por la siguiente matriz:

MNxN=[m1 0 … … 0 00 m2 0 … ⋮ ⋮⋮ 0 ⋱ 0 ¿ ¿

⋮ ¿0¿mii¿¿ ⋮ ¿ ⋮ ¿0¿⋱¿0¿⋮ ¿0¿mNxN¿]Donde:

m1 ,m2 ,…,mii ,…,mNxN ; son las masas de cada nivel de la estructura.

N: número de niveles

Las masas de cada nivel, es la masa total concentrada de cada nivel, se obtiene mediante el metrado de cargas de la estructura.

2. Calculo de la matriz de rigidez

Para un edificio de corte la matriz de rigidez estará definida por la siguiente matriz:

K NxN=[k1+k2 −k2 0 ⋯ 0−k2 k 2+k3 −k3 0 ⋮0 −k3 k 3+k4 −k 4 0⋮ 0 −k4 ⋱ −kN0 ⋮ 0 −k N kN

]Ejemplos:

Edificio de 2 niveles:

La matriz de rigidez será de orden 2 x 2

K2 x2=[k1+k2 −k2−k2 k2 ]

k3=0;

Edificio de 3 niveles:

La matriz de rigidez será de orden 3 x 3

m1

m2

mNxN

Figura 1: Representación dinámica de la estructura

k1

k 2

k3

1er nivel

1er nivel

Nivel “N”

K NxN=[k1+k2 −k2 0−k2 k2+k3 −k30 −k3 k3 ]

Donde:

k1 , k2 ,…,kN ; Es la rigidez total de las columnas de cada nivel (ver figura Nº1).

Por ejemplo:

k1 : Suma de todas las rigideces de las columnas del 1er nivel.

k 2: Suma de todas las rigideces de las columnas del 2do nivel.

k3 : Suma de todas las rigideces de las columnas del 3er nivel.

kN ; Suma de todas las rigideces de las columnas del enésimo nivel.

3. Calcular las frecuencias naturales de vibración wn

Para calcular las frecuencias utilizaremos la siguiente ecuación:

|K−M .wn2|=0⋯(1)

Donde:

K y M ; son la matriz de rigidez y de masa respectivamente.

Para resolver esta ecuación es preferible hacer un cambio de variable.

Hacemos: wn2=γ

Entonces la ecuación (1) se trasforma en:

|K−M .γ|=0⋯ (2)

Operando (2) obtendremos la siguiente ecuación característica:

an γn+an−1 γ

n−1+an−2 γn−2+…+a1γ+a0=0⋯(3)

Resolviendo (3) obtendremos las raíces de la ecuación característica.

Además debemos tener en cuenta que:

γ1<γ 2<…<γn

Son conocidos como valores propios (γi ¿

Las frecuencias naturales de vibración serán:

wn1=√γ 1wn2=√γ 2

⋮=⋮

wn=√γ nY los periodos de vibración:

T i=2πw i

El mayor de los periodos de vibración será el “periodo fundamental de vibración”. Es el periodo que más daño causa a la estructura.

4. Calculo de modos de vibración φ i

Los modos de vibración (o conocido también como vectores propios), se determinan usando la ecuación (2), reemplazando en esta la matriz de masa, la matriz de rigidez y los valores propios calculados anteriormente.

Para cada γi , existirá un φ i donde:

φ i=[φ1φ2⋮φ i]

Un modo de vibración por cada nivel de la estructura.

Ahora bien, resolviendo la ecuación (2), para cada γi obtendremos un sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

|K−M .γ|=0⋯ (2)

Para un w i, operando obtendremos:

[ (k1+k 2)−m1wi2 −k2 0 0

−k2 (k 2+k3 )−m2wi2 −k 3 0

0 −k3 ⋱ −kN0 0 −k N kN−mnwn

2] x [φ1φ2⋮φi ]=[00⋮0]Obtendríamos un sistema de ecuaciones con “n” incógnitas

a11φ1+a12φ2+a13φ3+…+a1 jφ1 j=0

a21φ21+a22φ22+a23φ23+…+a2 jφ2 j=0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a i1φ1+a i2φ2+ai 3φ3+…+aij φij=0

Es imposible obtener los valores absolutos de los desplazamientos φ i a menos que se conozca uno de ellos con certeza. Asumimos un valor para cada uno de estos desplazamientos y encontramos las demás respuestas en función de lo asumido por lo tanto solo es posible conocer la relación que existe entre los desplazamientos relativos de los pisos para cada periodo de vibración.

5. Calculo de factores de participación modal

F P I=δ i=φi

T . M .bφi

T . M .φ i

;b=[1⋮⋮1]…(3)

Donde:

φ iT=¿ Transpuesta de matriz de modos

M=¿ Matriz masa

b=¿ Vector unitario columna ( nº de filas igual al nº de niveles)

φ i=¿ Matriz de modos

δ i=¿Fuerza de participación modal

6. Calculo de la aceleración espectral (Ad i ¿

Con cada periodo de vibración hallado, se ingresa al espectro de diseño y se obtiene la aceleración espectral Ad i

El espectro de diseño a usamos en el Perú se encuentra definido en la norma E-030 sismoresistente 2016 del reglamento nacional de edificaciones.

Ad i=Sa=Z .U .C(t) . S

Rg…(4)

Donde:

Z=factor de zona.

U=Factor de edificación, uso o categoría de edificación.

C(t)= Factor de amplificación sísmica.

S= factor del suelo.

R= Coeficiente Básico de Reducción de fuerzas sísmicas.

g= aceleración de la gravedad.

Explicación

Factor de zona (Z)

El territorio nacional, debido al peligro sísmico, se considera dividido en cuatro zonas, como se muestra en la figura 2. Está basado en la distribución espacial de la sismicidad observada, las características generales de los movimientos sísmicos y la atenuación de estos con la distancia epicentral, asi como en la información neotectonica (colocar cita APA, E-030 SISMORESISTENTE).

Figura 2: Zonas sísmicas

A cada zona se asigna un factor Z según se indica en la Tabla N° 1 de la E-030.

Este factor se interpreta como la aceleración máxima horizontal en suelo rígido con una probabilidad de 10 % de ser excedida en 50 años. El factor Z se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad. (colocar cita APA, E-030 SISMORESISTENTE)

Factor de edificación o categoría de edificación (U)

Cada estructura debe ser clasificada de acuerdo con las categorías indicadas en la Tabla N° 5 de la norma E-030.

El factor de uso, edificación o importancia (U), definido en la Tabla N° 5 se usará según la clasificación que se haga. Para edificios con aislamiento sísmico en la base se podrá considerar U =1.

Las categorias en la norma E-060 son:

Edificaciones esenciales (U=1.5). Edificaciones importantes (U=1.3). Edificaciones Comunes (U=1.0). Edificaciones temporales (a criterio del proyectista).

Para más detalles revisar la norma E-060, diseño sismorsistente del reglamento nacional de edificaciones.

Coeficiente Básico de Reducción de fuerzas sísmicas (R)

Los sistemas estructurales se clasificarán según los materiales usados y el sistema de estructuración sismorresistente en cada dirección de análisis, tal como se indica en la Tabla N° 7 de la norma E-030. Cuando en la dirección de análisis, la edificación presente más de un sistema estructural, se tomará el menor coeficiente R0 que corresponda (colocar cita APA, E-030 SISMORESISTENTE).

Factor de amplificación sísmica (C)

De acuerdo a las características de sitio, se define el factor de amplificación sísmica (C) por las siguientes expresiones:

“T” es el periodo fundamental de vibración.

T p y T L , son los parámetros de sitio, cuyos valores se define con el factor de suelo S.

Factor del suelo (S)

Deberá considerarse el tipo de perfil que mejor describa las condiciones locales, utilizándose los correspondientes valores del factor de amplificación del suelo S y de los períodos T P y TL dados en las Tablas Nº 3 y Nº 4 de la norma E-030.

Ahora bien, teniendo determinado los valores de “Z”, “U”, “S”,”R”, “S” debido a que el factor de amplificación sísmica depende del periodo de vibración la gráfica del espectro de aceleración seria la figura 3.

Ad i=Sa=Z .U .C(t) . S

Rg…(4)

C (t )={2.5 ; siT <T p

2.5(T p

T n); si T p≤T ≤T L

2.5(T p. T L

T2 ); si T>T L

…(5)

Figura 3: Función de factor de amplificación sísmica del edificio

7. Calculo de las fuerzas laterales con cada modo de vibración