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7/25/2019 ANALISIS MATRICIAL PARRILLA.pdf

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ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA UNCP - FIC

AREA DE ESTRUCTURAS 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

ANALISIS MATRICIAL DE

ESTRUCTURAS TIPO PARRILLA

POR:COLQUEHUANCA CONDORI, Mirtha

GORA FLORES, DeivyPOMA ANCCASI, Edison

AREA DE ESTRUCTURAS

Ing. SANTANA TAPIA, RonaldAsesor

HUANCAYOPER

2011


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A Dios por hacer posible laedicin de este texto.

Al docente del rea deestructuras por su apoyo enel desarrollo del presentetexto

Este manual est dedicado atodos los interesados en

complementar susconocimientos.


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INTRODUCCIN

El anlisis estructural tiene como fin primordial el obtener las magnitudes primordiales

de las fuerzas internas y los desplazamientos de una estructura, la cual debe transmitir las

fuerzas de un punto del espacio a otro, resistiendo su aplicacin sin perder su estabilidad, siendo

esta una caracterstica importante de una estructura reticular.

Con la llegada de las computadoras se ha hecho necesario plantear mtodos matriciales,

con este fin se cre uno de los mtodos ms completos, el mtodo de las rigideces o de los

desplazamientos. En el presente informe se desarrolla la teora y algunos ejercicios resueltos

acerca de matriz de rigidez de elementos tipo parrilla, ilustrando su significado y aplicacin en

la forma ms sencilla


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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TIPO PARRILLA

Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actan perpendicularmente a su

plano. Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepiso

con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas

sometidas a la accin del viento. Los nudos se suponen rgidos y en consecuencia las acciones

principales sobre sus miembros son torsin, flexin y corte.

Matriz de rigidez de un elemento prismtico sometido a torsin y su aplicacin al anlisis

de parrillas:

Cuando se tiene un elemento prismtico sometido a torsin como en la figura que se muestra a

continuacin, se sabe que el giro producido por ella est dado por:

(1)

Donde:

= Giro relativo entre los dos extremos, en radianes

Mx= Momento torsor aplicado

L= Longitud del elemento

J= constante torsional

G= Modulo cortante

Fig a. Elemento prismtico sometido a torsin


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Si la seccin es circular, maciza o hueca, la constante torsional es el momento polar de inercia.

Para secciones rectangulares, en cambio, dicha constante se puede calcular con las formulas

siguientes:

.. (2)

.. (3)

Donde:

b y t son las dimensiones transversales del elemento y b mayor o igual a t.

Fig. (b) Representacin esquemtica de un elemento sometido a torsin

Si ahora se aplica la ecuacin general: al mismo elemento, referido al sistema de

ejes de la figura b y con los momentos y giros presentados esquemticamente por vectores de

doble flecha, se obtiene:

.. (4)

De la ecuacin (1) se puede despejar el momento torsor:

. (5)

Se demuestra fcilmente que en este caso dicha matriz vale:

.. (6)

De manera que la ecuacin general queda as:


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.. (7)

Si existieran cargas intermedias que producen torsin, es necesario aadir el vectorcorrespondiente de fuerzas de empotramiento y aplicar la ecuacin:

.. (8)

Convirtindose en:

.. (9)

Las ecuaciones (7) y (9) son tiles en el anlisis de parrillas.

ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO

Se llama emparrillado plano a una estructura formada por vigas contenidas en un plano (el plano

XY) pero que est sometida a fuerzas que actan en la direccin Z. Adems de estas fuerzas,tambin puede haber momentos aplicados en las direcciones X e Y. Por lo tanto el elemento que

forma los emparrillados es el mismo elemento estructural que forma un prtico plano, pero

variando las cargas, que ahora son las complementarias de las que actan sobre el prtico (que

son fuerzas segn X, Y y momentos segn Z).

El sistema de ejes local de una barra de emparrillado tiene el eje X Ldirigido segn la direccin

de la barra, desde el nudo I al J, y el eje YL perpendicular a ella y contenido en el plano XGYG,

de tal forma que los ejes ZL y ZG son coincidentes en la figura. Al igual que en los prticos

planos, una vez definidos los nudos I y J queda perfectamente definido el sistema de ejes localal elemento, con el criterio anterior.


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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PARRILLA

Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actan perpendicularmente a su

plano. Ejemplo de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepisos

con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes, en culatas de bodegas y fabricas

sometidas a la accin del viento. Los nudos se suponen rgidos y en consecuencia las acciones

principales sobre los miembros son torsin, flexin y corte.

En la deduccin de la matriz de rigidez de sus miembros se utilizara el principio de

superposicin. En la siguiente figura se muestra una parrilla tpica:

a) Esquema de una parrilla tpica

b) Fuerzas que actan sobre un elemento orientado en la direccin del eje X

c) Desplazamientos originados por el sistema de fuerzas mencionados en el eje X

Como podemos notar en este sistema las fuerzas axiales se despreciaran ya que los elementos estn

empotrados en ambos extremos y en cambio ahora tomaremos otro elemento de mucha mayor

importancia para este tipo de estructuras que es el momento torsor debido a ciertas cargas.

Veamos un diagrama de dicho elemento.

(a)

(b)

(c)


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GRAFICO DE GRADOS DE LIBERTAD:

Donde:

Desplazamientos:

14 Direccin x giro

25 Direccin z desplazamiento v

36 Direccin y giro

Fuerzas:

14 Momento torsor

25 Cortante N

36 Momento

En dicha figura el sistema de ejes globales se ha rotado 90, en tal forma que la parrilla quedacontenida en el plano horizontal X-Y y las cargas quedan actuando verticalmente en la direccin

del eje Z. Esto permite el empleo de las matrices de transformacin deducidas antes, como se

ver ms adelante.

Deasarrollaremos la matriz general para las estructuras tipo parrillas la cual la aremos en los dos

sentidos fundamentales en que van las estructuras (x & y).

Dicha ecuacin resulta entonces as:

Si se realiza un anlisis estatico lineal es suficiente considerar las fuerzas externas aplicadas

iguales a las fuerzas de reaccin elsticas de la estructura .Entonces:


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Donde:

: Vector de fuerzas externas de la estructura.

: Matriz de rigidez de la estructura.

: Vector de desplazamiento de la estructura.

.. (10)

MATRIZ DE COORDENADA LOCALES

1. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Direccin Del Eje X

La matriz de rigidez se obtiene por el mtodo de los desplazamientos unitarios, resolviendo los

seis problemas siguientes:


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a) ESTADO 1:

Se impone un valor unitario al giro de torsin del elemento. Los resultados se indican

en las siguientes figuras, siendo G el mdulo de elasticidad en cortadura yJ la constante

de rigidez a la torsin de la seccin recta de la viga, de tal forma que el producto GJ sea

la rigidez a torsin. Para secciones Circulares,J es el momento de inercia polar de la

seccin, y para otros tipos de seccin se debe aplicar la teora de la torsin

correspondiente.

Demostracin:

pero

entonces

por lo tanto:

Ahora como solo hay torsin se entiende que las dems fuerzas aplicadas sonigual a cero ya que no generan ningn tipo de cambio en la estructura.

Entonces la primera columna ser:


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b) ESTADO 2: =1

Se impone un valor unitario al giro, como se muestra en la figura, en la que se

representa el elemento en su plano X y Z. Este problema corresponde al elemento de

viga plana en dos dimensiones.

Demostracin:

pero ya que no hay giro en el sentido x, en otras palabras no haytorsin en ese eje.

entonces

por lo tanto:

Ahora de la ecuacin de Maney

Convencin de signos: Todo efecto horario positivo

Donde:

Aplicando Maney:

Entonces:


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Ahora:

Donde:

Entonces:

Por superposicin de fuerzas:

Adems

Por lo tanto la segunda columna quedara:


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c) ESTADO 3: vzi=1

Se impone un desplazamiento unitario a viz. Este problema corresponde al elemento de

viga plana en dos dimensiones.

Como podemos ver no se presenta giro en la direccin x por lo sern cero cono en la

columna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna nmero 3 sern cero.

Ahora aplicando Maney:

Para i ser:

donde

Para j ser:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j ser:

Por equilibrio de fuerzas:

-


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Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

d) ESTADO 4:

Pero

Entonces

Por lo tanto:

Entonces la matriz resultante de la columna numero 4 sera:


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e) ESTADO 5:

pero ya que no hay giro en el sentido x

entonces

por lo tanto:

Ahora por Maney:

Donde:

Entonces:

por lo tanto:


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Donde:

Entonces:

por lo tanto

Por superposicin de fuerzas:

Adems

Por lo tanto la segunda columna quedara:


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f) ESTADO 6 : vjz=1

Como podemos ver no se presenta giro en la direccin x por lo sern cero cono en lacolumna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna nmero 3 sern cero.

Ahora aplicando Maney:

pero

Para j ser:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j ser:

Como salen negativos entonces en nuesrta convencin de signos

saldrn positivos por lo tanto:

Por equilibrio de fuerzas:


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Y sera:

Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

Ahora los momentos en sentido horario resultan positivos, contrario a lo que se tenia para

elementos de prticos. En cuanto al segundo caso, o sea la parte de torsin, la ecuacin bsica esla (9). Ampliando ahora las ecuaciones (9) y (10) para poderlas sumar, teniendo en cuenta en

ambos casos los momentos de empotramiento que reemplazan las cargas intermedias, se obtiene

la ecuacin definitiva del elemento de parilla, referida a coordenadas locales, que se muestra a

continuacin. Es obvia que dicha ecuacin es tambin valida en el sistema de coordenadas

generales para aquellos elementos orientados en la direccin del eje X.

.(11)


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2. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Direccin Del Eje Y:

Un caso frecuente es el de parrilla con miembros dispuestos perpendicularmente entre s;

ejemplo de ello son el sistema conocido como reticular celulado, algunas superestructuras de

puentes y cierto tipo de cimentaciones. Para un elemento orientado en la direccin del eje "y", el

significado fsico de la matriz de rigidez y las figuras mostradas a continuacin conducen a la

ecuacin de matriz de rigidez orientado al eje "y".

La demostracin de las ecuaciones se realizaran como en el desarrollo de la matriz de rigidez

orientada en el eje x por esta razn solo se pasaran a nombrarlas ya que el clculo se dejaracomo ejercicio para el alumno.

a) ESTADO 1 :


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b) ESTADO 2:

c) ESTADO 3 : viz=1

d) ESTADO 4 : xj=1


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e) ESTADO 5 : yj=1

f) ESTADO 6: vjz=1


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Superponiendo todas las columnas obtenemos la matriz de rigidez con direccin en Y:

(12)

Esta es la ecuacin bsica de un elemento de parrilla orientado en la direccin del eje y

del sistema de coordenadas locales.

MATRIZ DE COORDENADA GENERALES

Se representa el caso general de un elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de

la misma:

Comparando la figura visto en plano con la figura de un prtico girado arbitrariamente, se ve

que gracias a la rotacin de ejes los dos casos son completamente anlogas y, por consiguiente,

la matriz de transformacin resulta definida as:


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Hallando la matriz de transformacin:

En el extremo i del elemento estructural los vectores a rotar son los correspondientes a los

grados de libertad 1 y 2 es decir x y y.

De la grafica:

: Vectores sistema Coordenada Local

: Vectores sistema Coordenada Global

De (1) y (2):


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Expresamos matricialmente:

Ahora aplicando el tercer grado de libertad:

Resultara una matriz

Para simplificar las formulas vamos a tomar como:

Y la matriz de transformacin seria:

Y la matriz transpuesta seria:

Por consiguiente la matriz quedar como sigue:

La rotacin del sistema de ejes generales tubo por objeto lograr esta concordancia para

beneficiarse de ella, en especial al resolver los problemas mediante computadora, pero

naturalmente, podran haberse dejado los mismos ejes y haber localizado la parrilla en los

planos XY, XZ o YZ, segn prefiriera el calculista.


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Recordando que la matriz de rigidez, referida a coordenadas generales se puede obtener

mediante el triple producto:

Y reemplazando en esta frmula las matrices definidas por las ecuaciones se llega a la siguiente

ecuacin general aplicada al elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de esta,

con esta ecuacin es posible resolver toda clase de ecuaciones planas; la utilizacin se explicara

con los siguientes ejercicios.

Con la ecuacin de matriz de rigidez orientado en la direccin "x" y con la matriz de rigidezorientado en la direccin "y", es posible analizar todo tipo de parrillas ortogonales presentados

en estructuras de este tipo.


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Una vez demostrado todas las formulas presentes en el anlisis matricial de estructuras tipo

parrillas vamos a desarrollar un ejercicio de aplicacin de cada uno de los casos tanto en eje

local como el eje general usando las formulas demostradas en este texto.

EJERCICIOS DE APLICACIN

EJEMPLO 1: Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuacin:

Ambos elementos tienen una seccin de 300mm x 400mm (b x h), el modulo de elasticidad vale

19KN/mm2y la relacin de Poisson 0.20.

SOLUCIN:

Se numeran los nudos y se orientan los elementos de la siguiente manera:

Calculando las propiedades:


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Las propiedades auxiliares resultan as:

ELEMENTO L GJ/L 2EI/L 4EI/L 6EI/L2 12EI/L3

1_2 2.4 6410 25330 50670 31670 26390

1_3 3 5130 20270 40530 20270 13510

Las fuerzas de empotramiento son:

Al reemplazar en la ecuacin (11), aplicable al elemento 1 -2 se obtiene:

Para el elemento 1 -3, se utiliza la ecuacin (12):

Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre, resulta:


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Resolviendo el sistema:

Las fuerzas internas se calculan reemplazando estos valores en ecuaciones individuales:

Verificando el equilibrio:


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DFC (KN)

DMF (KN.m)

TORSION (KN.m)


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ELSTICA

EJEMPLO 2: DE LA MATRIZ EN CUALQUIER DIRECCION

Analice completamente la estructura de la figura, ambos elementos tienen una seccin DE

300x350mm. E=19KN/mm2, G=7.5KN/mm2

SOLUCIN:

Se enumeran los nudos y se escoge la orientacin de los elementos:


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Calculando las propiedades:

Para el elemento 1-2:


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Fuerzas de empotramiento:

La transformacin a coordenadas generales se puede hacer utilizando la ecuacin (13), o

directamente por trigonometra:

Las fuerzas en Z, por ser normales al plano, no sufren ningun cambio:

Quedando:


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Ensamblando los trminos correspondientes al nudo libre:

Resolviendo el sistema se obtienen los desplazamientos desconocidos:

Para hallar las fuerzas internas y las reacciones se reemplazan estos valores en las ecuaciones

individuales. Al hacerlo se obtiene:

Para convertir estos valores a coordenadas locales se emplea la ecuacin (13):

Para el elemento 31:


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Verificando el equilibrio:


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CONCLUSIONES

Al observar que tipo de estructura se va analizar, el analista puede ver cuales son los

esfuerzos predominantes en la estructura, con lo que se puede definir la cantidad de

desplazamientos o grados de libertad que existen y con ello saber de antemano cuantas

filas y columnas tendr la matriz de rigidez fundamental en el mtodo de rigidez.

El mtodo de rigidez bsico no se adapta para el anlisis de estructuras de gran

envergadura para elaborarlo a mano, tanto en teora como en aplicacin; sin embargo el

mtodo directo de las rigideces es posible formularlo en trminos de algoritmos

sencillos, aplicables a la gran variedad de estructuras, requirindose para el mismo la

disponibilidad de una computadora.

Se concluye que una de las ventajas que presenta el planteamiento matricial, es quecualquier nmero de cargas se pueden considerar fcilmente, una vez calculada la

matriz de rigidez.

Con la llegada de las computadoras, el mtodo de la rigidez se adapta mucho mejor que

cualquier otro mtodo de anlisis al uso de la computadora, de ah que sea el mtodo

mas usado en la actualidad.


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ANEXOS


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EJEMPLO APLICATIVO EN MATHCAD

MANUAL DE USO DEL MATHCAD 141. PROCEOS DE INSTALACION:

Insertar archivo del software: MATHCAD 14 ABRIR ARCHIVO:

Ir a archivo Setupy hacer clip para iniciar la instalacin.Abrir el crack y ver las instrucciones de instancian, despus para copiar elnumero de serial y contine la instalacin.

Una vez elegido donde instalar y terminado el proceso. Copiar los archivos delcrack en la carpeta donde eligi instalar (archivos del programa) e copiar losarchivos detallados en el crack.comoseve en la pantalla.


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2. EJEMPLO N13. INICIO DEL PROGRAMA:

Se activa un nuevo formato para inicio del ejemplo:

Se procede a guardar el ejercicio en la carpeta deseada


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Poner el cursor en la hoja y editar directo el nombre del ejemplo.


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Dar el formato respectivo con editor de texto que est en la pantalla como se veen la figura.

Se introduce los datos escribiendo la variable y evalundola utilizando elcomando evaluation, y de esta manera damos a conocer todas nuestras

variables y sus respectivos valores

Se procede a realizar los clculos previos como son el valor de la constante torsional, lacual la evaluamos con la opcin de definition


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Es se realizara el ingreso de cada factor que interviene en la resolucin del ejercicio A continuacin realizar los clculos de los valores de momentos de empotramiento

Para esto definimos cada momento por ejemplo Mfy=0, esto lo realizamos utilizando en

la barra de herramienta el comando evaluation, y se escoge segn la funcin deseada yasea igualdad o definicin.

El mismo procedimiento ser realizado en cada elemento. A continuacin procedemos los valores de la matriz de rigidez , vector de fuerza y

vector de desplazamiento de cada elemento


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Ingresamos el vector de fuerzas, para esto vamos a la barra de herramientas yseleccionamos wiew se desplegara una ventana seleccionamos toolbar y finalmentemath

Al realizar estas operaciones aparecer la ventana del math que contiene la funcin dela matriz, seleccionamos esta y nos mostrara cuantas columnas y filas deseamos ennuestro caso para el vector de fuerzas es un matriz de 6x1


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Procedemos a ingresar los valores de la matriz de rigidez para lo cual a esta ladenominamos k esta estar definida con :, par luego introducir la funcin de la matriz

de 6x6

Para obtener el resultado evaluamos a la variable de la matriz de rigidez con la igualdad,al realizar esto nos muestra el valor de esta.


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El mismos procedimiento se realizara para el elemento 1-3 Para obtener la ecuacin que nos dar los valores de los giros y desplazamiento ser

necesario ensamblar respecto al nudo libre, para esto definimos cada elemento de laecuacin y as obtener este valor.


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Primero ingresamos la matriz de fuerza utilizando los comandos ya mencionados, luegoensamblamos las matrices de rigidez de cada elemento para esto sumamos respecto alnudo 1

Obtenidos los valores procedemos a reemplazarla en cada ecuacin de loselementos y de esta manera obtener el vector de fuerzas de la estructura


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4. EJEMPLO N25. INICIO DEL PROGRAMA:

Se activa un nuevo formato para inicio del ejemplo:

Se procede a guardar el ejercicio en la carpeta deseada


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Poner el cursor en la hoja y editar directo el nombre del ejemplo.

Dar el formato respectivo con editor de texto que est en la pantalla como se veen la figura.

Se introduce los datos escribiendo la variable y evalundola utilizando el

comando evaluation, y de esta manera damos a conocer todas nuestrasvariables y sus respectivos valores


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Se procede a realizar los clculos previos como son el valor de la constante torsional, lacual la evaluamos con la opcin de definition al igual que el primer ejemplo

Es se realizara el ingreso de cada factor que interviene en la resolucin del ejercicio A continuacin realizar los clculos de los valores de momentos de empotramiento,

para este caso lo evaluaremos en la parrilla arbitrariamente orientada

Para esto definimos cada momento por ejemplo Mfy=0, esto lo realizamos utilizando enla barra de herramienta el comando evaluation, y se escoge segn la funcin deseada ya

sea igualdad o definicin.


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El mismo procedimiento ser realizado en cada elemento. A continuacin procedemos los valores de la matriz de rigidez , vector de fuerza y

vector de desplazamiento de cada elemento

Ingresamos el vector de fuerzas, para esto vamos a la barra de herramientas yseleccionamos wiew se desplegara una ventana seleccionamos toolbar y finalmente

math

Al realizar estas operaciones aparecer la ventana del math que contiene la funcin dela matriz, seleccionamos esta y nos mostrara cuantas columnas y filas deseamos ennuestro caso para el vector de fuerzas es un matriz de 6x1


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Procedemos a ingresar los valores de la matriz de rigidez para lo cual a esta ladenominamos k esta estar definida con :, par luego introducir la funcin de la matriz

de 6x6


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Para obtener el resultado evaluamos a la variable de la matriz de rigidez con la igualdad,al realizar esto nos muestra el valor de esta.


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El mismos procedimiento se realizara para el elemento 1-3 Para obtener la ecuacin que nos dar los valores de los giros y desplazamiento ser

necesario ensamblar respecto al nudo libre, para esto definimos cada elemento de laecuacin y as obtener este valor.

Primero ingresamos la matriz de fuerza utilizando los comandos ya mencionados, luego

ensamblamos las matrices de rigidez de cada elemento para esto sumamos respecto alnudo 1

Obtenidos los valores procedemos a reemplazarla en cada ecuacin de loselementos y de esta manera obtener el vector de fuerzas de la estructura


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Para transformarla en coordenadas locales utilizamos la matriz detransformacin.

Y as obtendremos los valores del vector de fuerzas para cada elmento


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SOLUCION MANUAL MATHCAD SAP2000

14.76 14.76 14.84

16.31 16.3 16.25

-34.63 -34.61 -34.47

-14.76 -14.76 -14.84

126.85 126.78 126.49

84.63 84.61 84.47

-14.76 -14.76 -14.84

-16.31 -16.3 16.31

-5.37 -5.39 -5.53

-91.31 -91.4 -91.74

16.31 16.3 16.25

65.37 65.39 65.53

SOLUCION MANUAL MATHCAD SAP2000

24.22 24.3 24.29

47.62 47.74 47.74

1.97 2.06 2.06

-24.33 -24.3 24.29

191.76 191.94 191.96

98.03 97.94 97.94

-23.57 -23.62 23.62

-200.02 -200.17 -200.16

121.97 122.06 122.06

23.57 23.62 23.62

-47.95 -48.08 48.08

-1.97 -2.06 -2.06

CUADRO COMPARATIVO EJEMPLO N1

CUADRO COMPARATIVO EJEMPLO N2


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BIBLIOGRAFIA

AUTOR: JAIRO URIBE ESCAMILLA

LIBRO: "ANALISIS DE ESTRUCTURAS"

SEGUNDA EDICION

AUTOR: VICTOR CAROLHERNANDEZ MONZON

LIBRO: "GUIA DE ESTUDIO DEL CURSO ANALISIS ESTRUCTURAL II"

AUTOR: JUAN TOMS CELIGETALIBRO: " ANALISIS ESTRUCTURAL"

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