analiticidade em ferromagnetos e gases de rede …marchett/lee-yang/ld_2000.pdfcontinuidade. o gr a...

ANALITICIDADE EM FERROMAGNETOS EGASES DE REDE

Domingos H. U. MarchettiUniversidade de Sao PauloInstituto de Fısica - IFUSP

Caixa Postal 66318, 05314-970

4/11/01

2

RESUMO A presente tese de Livre–Docencia tem como escopo inserir de forma maisaprofundada o Teorema do Cırculo no contexto da Teoria das Funcoes Analıticas de-senvolvidas no final do seculo passado e comeco deste por Laguerre, Hermite, Biehler,Phragmen, Lindelof, Polya, Nevanlinna e outros.Charles M. Newman e Elliott H. Lieb e Alan D. Sokal examinaram as condicoes ne-cessarias e suficientes para que uma classe de modelos de Ising generalizado satisfizessea “propriedade de Lee–Yang”. Os elementos desta classe possuem a propriedade que oszeros da funcao de particao, escrita na variavel h = ln z, distribuem–se sobre o eixo ima-ginario puro. Mostraremos que a subclasse P ∗n das funcoes inteiras de Hermite–Biehlerconfunde–se com as propriedades de Lee–Yang.As conclusoes a serem extraıdas podem ser resumidas pela seguinte frase: se µn denota amedida de equilıbrio de um ferromagneto (ou gas de rede) generalizado, com n graus deliberdade, entao a funcao caracterıstica Zn de µn e um elemento da subclasse P ∗n .A mais inovadora proposta desta tese esta relacionada com a abordagem do Teorema deLee–Yang por metodos aplicados as equacoes diferenciais.

Obeservacao: Tese de Livre Docencia submetida ao IFUSP em Maio de 2000

Indice

1 Introducao 5

2 Propriedades Gerais das Funcoes Inteiras 112.1 Alguns Fatos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Teorema da Fatorizacao de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Conexao entre Ordem, Tipo e Coeficientes de Taylor . . . . . . . . . . . 202.4 Distribuicao de Zeros do Produto Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Teorema de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Caracterizacao das Funcoes de Hermite–Biehler 373.1 Teorema de Hermite–Biehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Funcoes Uniformemente Aproximadas por H–Polinomios . . . . . . . . . 433.3 Transformacoes de Funcoes Inteiras com Zeros Reais . . . . . . . . . . . . 493.4 Majorantes e Subordinantes de Funcoes da Classe P ∗ . . . . . . . . . . . 563.5 A Classe HBn das Funcoes Inteiras de Hermite–Biehler . . . . . . . . . . 65

4 Teorema de Lee–Yang e suas Extensoes 734.1 Breve Excursao ao Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Teorema de Lee–Yang Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Funcao de Particao Majorante e Desigualdades de Correlacao . . . . . . . 854.4 Ferromagnetos Vetoriais com N Componentes . . . . . . . . . . . . . . . 904.5 Existencia e Unicidade da Equacao a Derivadas Parciais . . . . . . . . . 95

5 Conclusoes 107

Referencias 109

4 Indice

1Introducao

Em 1952, T. D. Lee e C. N. Yang reformularam, em dois artigos entitulados “StatisticalTheory of Equations of State and Phase Transitions” [LY1, LY2], a teoria de condensacaopara fluıdos. O primeiro, “Theory of Condensation”, mostra como o conhecimento dadistribuicao dos zeros da funcao de particao grande canonica permite descrever correta-mente a equacao de estado em ambas as fases, lıquida e gasosa, do fluıdo. No segundo,“Lattice Gas and Ising Model”, a teoria de condensacao e ilustrada por um gas de redeformalmente equivalente ao modelo de Ising ferromagnetico. Neste ultimo, os autoresdemonstraram com o rigor de um exımio matematico, que todos os zeros da funcao departicao Ξ na variavel z 1 localizam–se no cırculo unitario do plano complexo.

O parametro z quantifica a energia necessaria para introduzir uma partıcula ao sistemade volume V e portanto, somente o eixo real positivo do plano complexo tem sentidoFısico. A pressao pV e a densidade ρV do sistema estao relacionados com a funcao departicao pelas expressoes

β pV = V −1 ln ΞV

e

ρV =∂

∂h

(V −1 ln ΞV

)onde β = 1/KBT e o inverso da temperatura com KB = 1.3806568 × 10−23JK−1 aconstante de Boltzmann. No limite termodinamico, |V | → ∞, pV converge para umafuncao p contınua e monotonica crescente em z.2 Alem disso, se D ∈ C for uma regiaocontendo um segmento do eixo real positivo tal que ΞV (z) nao se anula para todo V

1z = eh, onde h e proporcional ao campo magnetico do modelo de Ising associado.2Independentemente da forma de V contanto que sua superfıcie nao cresca mais rapido que |V |3/2.

6 1. Introducao

finito, entao pV converge para uma funcao analıtica, regular em D, e

ρ = lim|V |→∞

∂

∂h

(V −1 ln ΞV

)=

∂

∂hlim|V |→∞

(V −1 ln ΞV

)= β

∂p

∂h(1.1)

e uma funcao monotona decrescente em z no intervalo do eixo real contido em D.Equacao (1.1) define a equacao de estado de uma isoterma.

Em [LY1], Lee–Yang descrevem um cenario no qual os zeros de ΞV invadem, quando|V | → ∞, o eixo real positivo em dois pontos z1 e z2, dividindo–o, desta forma, em tresintervalos disjuntos, I1, I2 e I3. Para cada intervalo Ij, existe uma vizinhanca Dj ∈ Cque o contem, tal que pV converge para uma funcao analıtica e regular em Dj, corres-pondendo a uma das fases puras do sistema: gasosa, lıquida ou solida. No eixo real, apressao p e contınua nos pontos z1 e z2, mas sua derivada possue em geral uma des-continuidade. O grafico de p como funcao de ρ (equacao de estado) nesta situacao, e,como de fato deveria ser, monotona crescente com dois intervalos constantes devido asdescontinuidades de ρ nos referidos pontos.

O impacto causado por Lee–Yang foi em grande parte devido a simplicidade e genera-lidade de sua teoria de condensacao. Porem o maior credito coube ao famoso Teorema doCırculo. O fato da funcao de particao ter seus zeros distribuıdos sobre o cırculo unitariocausou surpresa ate mesmo aos proprios autores[LY2]. O interesse pelo o estudo da dis-tribuicao dos zeros da funcao de particao em ferromagnetos, e generalizacoes destes,mantem–se atual (veja [BBDKK] e referencias neste) apesar da quantidade e variedadede trabalhos publicados sobre este tema.

A presente tese de Livre–Docencia tem como escopo inserir de forma mais aprofun-dada o Teorema do Cırculo no contexto da Teoria das Funcoes Analıticas desenvolvidasno final do seculo passado e comeco deste por Laguerre, Hermite, Biehler, Phragmen,Lindelof, Polya, Nevanlinna e outros.

Dois trabalhos motivaram a presente tese. Inicialmente Charles M. Newman [N] e pos-teriormente Elliott H. Lieb e Alan D. Sokal [LS], examinaram as condicoes necessarias esuficientes para que uma classe de modelos de Ising generalizado satisfizesse a “propri-edade de Lee–Yang”. Os elementos desta classe possuem a propriedade que os zeros dafuncao de particao, escrita na variavel h = ln z, distribuem–se sobre o eixo imaginariopuro.

A conclusao destes autores pode ser resumida como segue. Se a “medida a priori”νj(s) do spins s ∈ R3, para cada sıtio j, satisfaz a propriedade de Lee–Yang:

A. Para todo b ≥ 0, temos

∫ebs

2

d|νj(s)| <∞;

B.

Ej(h) =

∫ehs dνj(s) 6= 0 (1.2)

se <e h 6= 0;

3Para o modelo de Ising, ν(s) e a distribuicao de Bernoulli: ν(s) = 1/2 se s = ±1/2 e ν(s) = 0 de outra forma.

1. Introducao 7

e se J = [Jij]ni,j=1 e uma matriz n×n simetrica, com entradas nao negativas e diagonal

nula, entao a medida de Gibbs de n spins s = (s1, . . . , sn) acoplados,

µn(s) = exp

{β

2(s,J s)

} n∏j=1

dνj(sj) , (1.3)

com (z,w) =n∑j=1

zj wj, retem a propriedade de Lee–Yang em Rn:

A’. Para todo b ≥ 0, temos

∫eb(s,s) d|µn(s)| <∞;

B’.

Z(h) =

∫e(s,h)dµn(s) 6= 0 (1.4)

se <e hj 6= 0 para todo j.

Segundo este teorema, para que a funcao de particao Z(h, . . . , h) se anule e necessario que <e h = 0.4

O problema da localizacao dos zeros da funcao de particao e abordado de maneiramais natural se (1.4) for reescrita como

Z(h) = exp

{β

2

(∂

∂h,J

∂

∂h

)}Z0(h)

=∏i<j

ΓijZ0(h) (1.5)

onde Z0(h) =n∏j=1

Ej(hj) com Ej dado por (1.2) e Γij = exp {(βJij∂/∂hi ∂/∂hj}.

Assim, o problema se reduz a estudar uma classe de funcoes analıticas em Cn fechadapela aplicacao do operador Γij e cuja transformada de Laplace inversa tem a propriedadede Lee–Yang . Para garantir o sucesso desta abordagem devemos examinar as seguintesafirmacoes:

1. O operador diferencial parcial Γij e aplicavel as funcoes inteiras em Cn que naoexcedem o mınimo tipo de ordem 2 em cada uma de suas variaveis;

2. A aplicacao de Γij deixa invariante uma subclasse destas funcoes inteiras quesatisfaz a condicao B′.;

4Note que z = eh mapeia e o eixo imaginario no cırculo unitario. O Teorema de Lee–Yang classico e recuperado quandoZ(h, . . . , h) puder ser escrita como um polinomio em eh.

8 1. Introducao

3. Por ultimo, toda funcao inteira que nao excede a ordem 2 de mınimo tipo em cadauma de suas variaveis pode ser escrita como uma transformada de Laplace

f(h) =

∫e(s,h)dµn(s) (1.6)

de uma medida µn(s) em Rn para a qual a propriedade A′. e satisfeita.

Para o item 1., o seguinte resultado sobre operadores diferencias de ordem infinita porP. C. Sikkema [S], Teorema 7, sera util para nossa analise: seja y(z) uma funcao inteira

de mınimo tipo da ordem σ e seja F (z) =∑n≥0

an zn com an nao todos nulos e tais que∑

n≥0

an (n!)−1/σ zn define uma funcao inteira que nao excede o tipo normal de ordem 1.

Entao,

h(z) = F

(d

dz

)y(z) =

∞∑n=0

andny

dzn(z) (1.7)

e uma funcao inteira que nao excede o mınimo tipo da ordem σ.A abordagem feita para o item 2. nesta tese e inovadora. Faremos uso de resultados

sobre a classe de funcoes f(z) ∈ HB de Hermite–Biehler que nao possuem zeros nosemi–plano inferior, , e satisfazem a condicao |f(z)/f(z)| ≤ 1. Para aplicarmos estateoria ao problema dos zeros de Lee–Yang, teremos, entretanto, que fazer uma rotacaode π/2 para que o semi–plano =mz < 0 seja substituıdo por <e z < 05. Um papel desuma importancia nesta tese e representado pela subclasse P ∗ de HB consistindo dasfuncoes inteiras f que satisfazem as seguintes propriedades:

a. os zeros de f localizam–se no semi–plano superior, =mz ≥ 0;

b. f e o limite de uma sequencia {Pn}∞n=1 de polinomios satisfazendo a propriedadea., uniformemente convergente em compactos de C;

c. se y(z) e F (−z) pertencem a classe P ∗, entao h(z) dado por (1.7) pertence a P ∗.

Excetuando a questao levantada no item 3., todo o material necessario para a com-preencao dos resultados sera desenvolvido em grande detalhe nos dois capıtulos iniciaisdesta tese.

No Capıtulo 2 apresentaremos de forma pedagogica a conexao entre a distribuicaodos zeros, o crescimento do modulo maximo e o Teorema da fatorizacao de Hadamardpara funcoes inteiras em C. Embora haja excelentes textos sobre este assunto (veja porexemplo [B, K, H, L]) selecionamos aqui o material necessario para dar coerencia eunidade a tese.

5Mais precisamente, substituiremos h por 2iw na expressao (1.4), e escreveremos Z(w) em seu lugar.

1. Introducao 9

No Capıtulo 3 introduziremos a classe HB das funcoes inteiras de Hermite–Biehlere estudaremos os operadores que preservam a localizacao dos zeros para tais funcoes.Esta analise, nenos conhecida do publico em geral, generaliza o Teorema de Rolle sobrea preservacao dos zeros reais por diferenciacao.

A discussao que apresentaremos tem a vantagem adicional de obter desigualdadesmajorantes para as funcoes em HB. Estas desigualdades sao, em particular, preservadaspela operacao de diferenciacao: se ω(z) pertence a subclasse P ∗ e se as desigualdades

|f(z)| ≤ |ω(z)| e |f(z)| ≤ |ω(z)| (1.8)

forem satisfeitas para =mz ≤ 0, entao

|f (k)(z)| ≤ |ω(k)(z)| e |f (z)(z)| ≤ |ω(k)(z)|

e satisfeita para =mz ≤ 0 e k = 1, 2, . . . .Por intermedio dessa nocao estenderemos, ainda neste Capıtulo, todos os resultados

estabelecidos para funcoes inteiras em C para funcoes inteiras em Cn.No Capıtulo 4 veremos como a descricao das funcoes de Hermite–Biehler HBn em Cn

se encaixa na Teoria geral dos zeros de Lee–Yang. Inicialmente, faremos uma breve ex-cursao sobre as diversas versoes do Teorema de Lee–Yang e, em seguida, demonstrarmoso Teorema de Lee–Yang Generalizado com os resultados do Capıtulo 3. Discutiremostambem as extensoes deste Teorema para os modelos ferromagneticos com N compo-nentes de spin.

Ainda no Capıtulo 4, veremos que ha uma coincidencia entre as nocoes de majoranteem HBn e o metodo majorante utilizado para garantir a existencia e obter propriedadesde solucoes de equacoes diferenciais.

A relacao entre o problema dos zeros de Lee–Yang e as equacoes diferenciais emergeda observacao de que a funcao de particao (1.5) e a solucao do problema de valor inicial

∂U

∂t− 1

2

(∂

∂h,J

∂

∂h

)U = 0 (1.9)

em t = β, com condicao inicial U(0,h) = Z0(h). Consideramos a abordagem do Teoremade Lee–Yang por metodos aplicados as equacoes diferenciais a mais inovadora propostadesta tese.

Finalmente, no Capıtulo 5 apresentaremos nossas conclusoes.

10 1. Introducao

2Propriedades Gerais das Funcoes Inteiras

As funcoes inteiras compreendem a classe das funcoes analıticas regulares no planocomplexo inteiro, com excessao do ponto no infinito. Incluem nessa classe o conjunto detodos os polinomios de ordem n

Pn(z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a0 , (2.1)

an 6= 0, n ∈ N, bem como as funcoes transcedentais (ou nao polinomiais) ez, sin z, cos z,1/Γ(z) e etc..

Neste capıtulo faremos uma introducao detalhada das propriedades gerais dessa classede funcoes que sao mais relevantes para a descricao dos zeros de Lee–Yang.

Nas duas secoes a seguir, examinaremos como estender algumas propriedades dasfuncoes polinomiais para as funcoes transcendentais inteiras. Veremos que o Teoremafundamental da Algebra, com os devidos cuidados, tambem se aplica as funcoes trans-cendentais.

O Teorema da Fatorizacao de Weierstrass e o ponto de partida para se estabelecerrelacoes entre a distribuicao dos zeros de uma funcao inteira e suas propriedades. Exa-minaremos nas secoes subsequentes a relacao entre tipo e ordem de uma funcao inteiraf e os coeficientes aj de sua serie de potencia. Tambem examinaremos a coneccao entrea taxa de crescimento M(r) do modulo maximo da funcao f e a distribuicao de seuszeros. Concluiremos este capıtulo com o Teorema de Hadamard.

2.1 Alguns Fatos Basicos

Afim de distinguir as funcoes inteiras das demais funcoes analıticas, comecaremos comdescricao de alguns fatos basicos .

O princıpio da continuacao analıtica permite que uma funcao f seja estendida analiti-camente alem de seu domınio de definicao. f1 e dita ser a continuacao analıtica de uma

12 2. Propriedades Gerais das Funcoes Inteiras

funcao f2, ambas regulares em D1 e D2, respectivamente, se coincidirem em uma regiaoG = D1∩D2 6= ∅.1 De acordo com o Teorema da Identidade, f1 e f2 determinam–se, umaa outra, univocamente e nao pode haver outra funcao f1, regular em D1, que coincidacom f2 em G. Esta questao, de suma relevancia na teoria geral das funcoes analıticas,produz algumas poucas implicacoes as funcoes inteiras que, em particular, assumem umunico valor f(z) para cada z ∈ C.

Devida a propriedade de regularidade que a caracteriza, a serie de potencia de umafuncao inteira f(z), em torno de um ponto z0 arbitrario, converge para todo z do planocomplexo. Segue do Teorema da Indentidade que todas as possıveis representacoes de fsao identicas a serie

f(z) =∞∑j=0

ajzj , (2.2)

cuja expressao generaliza a funcao polinomial.Um polinomio tem um numero finito de coeficientes aj nao nulos. A serie (2.2), nesse

caso, e claramente convergente em todo plano. Uma funcao inteira transcendental possuiuma infinidade de coeficientes aj 6= 0 tais que

R−1 = lim supj→∞

|aj|1/j = 0 , (2.3)

onde R e o raio de convergencia de f .2 Como consequencia dos Teoremas da Identidadee de Taylor, segue

limj→∞

∣∣∣∣ 1

j!

djf

dzj(z0) (z − z0)j

∣∣∣∣1/j < 1 (2.4)

uniformemente em z0 e z no plano C. Faremos uso de variacoes e refinamentos desteresultado ao longo deste texto.

De acordo com oTeorema de Liouville, a unica funcao inteira f(z) limitada para todoz ∈ C e a funcao constante P0(z) = a0. Com excecao desta funcao, podemos sempreencontrar constantes positivas M e R0, arbitrariamente grandes, tais que |f(z)| > Mpara algum z com |z| > R0. Para isso, suponhamos o contrario, |f(z)| ≤ M . Segue daformula integral de Cauchy

|aj| =

∣∣∣∣ 1

2πi

∫|ζ|=ρ

f(ζ)

ζj+1dζ

∣∣∣∣≤ 1

ρjsup|ζ|=ρ|f(ζ)| ≤ M

ρj.

Se M e limitado, ρ pode ser escolhido tao grande quanto se queira de tal maneira queaj = 0 para todo j 6= 0.

1G pode ser um subconjunto proprio, uma curva ou ate mesmo um conjunto de pontos que tenha ao menos um pontode acumulacao

2O limite superior lim sup bn de uma sequencia {bn}n≥0 e o maior entre todos pontos de acumulacao desta. Analo-

ganmente, lim inf bn e o menor dos pontos de acumulacao. Se a sequencia for convergente, entao lim sup bn = lim inf bn =lim bn.

2.1 Alguns Fatos Basicos 13

As funcoes inteiras podem ser classificadas de acordo com o crescimento do seu modulomaximo, M(r) = M(r; f), definido por

M(r; f) = max0≤θ<2π

∣∣f (reiθ)∣∣ . (2.5)

Como consequencia dos Teorema do Maximo e de Liouville, M(r) e uma funcao mono-tona crescente tal que M →∞ quando r →∞.

O Teorema de Liouville nao exclui a possibilidade de haver setores aos quais fmantem–se limitada. De fato isto ocorre para as funcoes transcendentais (porem naopara as polinomiais) e tera um papel relevante nesta tese.

O Teorema fundamental da Algebra diz que qualquer polinomio (2.1) pode ser escritocomo

Pn(z) = an

n∏j=1

(z − αj) , (2.6)

onde α1, . . . , αn, sao as raızes ou zeros do polinomio Pn, contando suas multiplicidades.Conclui–se desta fatorizacao que,

(i) qualquer outro polinomio Qn, de mesma ordem e que possua os mesmos zeroscom a mesma multiplicidade, difere apenas por uma constante multiplicativa:Qn(z)/Pn(z) = c;

(ii) dado um conjunto qualquer de numeros complexos {α1, . . . , αn}, e sempre possivelescrever um polinomio Pn dado pela expressao (2.6) com an = 1. A funcao polino-mial mais geral que se anula nos mesmos valores para os quais Pn se anula, e daforma cPn.

O objetivo desta, e da secao a seguir, e extender os itens (i) e (ii) para as funcoesinteiras transcendentais.

Observemos que, se h(z) e uma funcao inteira, H(z) = eh(z) e uma funcao inteiraque nao se anula no plano complexo. Esta ultima afirmacao segue do fato que ez 6= 0 e|h(z)| <∞ se z ∈ C for finito. Segue tambem que H e regular em C pois, pela regra dacadeia, H ′ = H h′,3 H e diferenciavel em todo plano complexo.

Mais ainda,

Proposicao 2.1 H(z) = eh(z), com h(z) uma funcao inteira arbitraria, e a funcaointeira mais geral sem zeros em todo plano complexo.

Prova. Resta–nos mostrar que, se

H(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·

3Quando nao houver ambiguidade, denotaremos a derivada de uma funcao f(z) com respeito a z por f ′ =df

dz.


e uma funcao inteira sem zeros, existe uma funcao inteira

h(z) = b0 + b1z + b2z2 + · · ·

tal que H(z) = eh(z).Por hipotese, a0 = H(0) 6= 0. Podemos escolher b0 tal que a0 = eb0 . Alem disso, 1/H

existe e e regular em todo plano complexo, pela regra da cadeia. Como a classe dasfuncao inteiras e fechada pelas operacoes de derivacao, integracao e multiplicacao poruma funcao inteira,

H ′

H= c0 + c1z + c2z

2 + · · ·

e tambem uma funcao inteira e, portanto, pode ser integrada termo a termo:∫ z

0

H ′

Hdζ = c0z +

1

2c1z

2 +1

3c2z

3 + · · ·

= lnH − b0

= b1z + b2z2 + b3z

3 + · · · . (2.7)

onde na segunda igualdade usamos o Teorema Fundamental do Calculo. Suponha agoraque eh(z) = H1(z). Entao

H ′1H1

= c0 + c1z + c2z2 + · · · = H ′

H

e, consequentemente, (H1

H

)′=HH ′1 −H ′H1

H2= 0 ,

que implica em H1 = H em vista do fato que H(0) = H1(0) = eb0 .�

Proposicao 2.1 responde pela generalizacao do item (i). Seja {αj}∞j=1 o conjunto dezeros de uma funcao inteira G0(z). Entao a funcao inteira mais geral com zeros nestemesmo conjunto e com mesma multiplicidade e dada por

G(z) = eh(z)G0(z) (2.8)

onde h e funcao inteira arbitraria.A dificuldade em extender o item (ii) para uma funcao inteira transcedental G0 reside

no fato de que o produto infinito de fatores lineares associados as raızes de G0 pode, emgeral, nao convergir. Na secao seguinte desenvolveremos esta questao.

2.2 Teorema da Fatorizacao de Weierstrass

Iremos a seguir enunciar e demonstrar um Teorema devido a Weierstrass pelo qual po-demos associar a toda sequencia {αj} de numeros complexos sem pontos de acumulacao

2.2 Teorema da Fatorizacao de Weierstrass 15

finitos, uma funcao inteira G0(z) cujos zeros coincidem com αj e que admite ser repre-sentada como produto de fatores. Para isso, e necessario introduzir o fator primario deWeierstrass:

E(z; p) = (1− z) exp

{z +

1

2z2 + · · ·+ 1

pzp}

(2.9)

para p ≥ 1 e

E(z; 0) = 1− z .

Teorema 2.2 Seja {αj}∞j=0 uma sequencia de numeros complexos sem pontos de acu-mulacao finitos com α0 = 0 e αj 6= 0, j ≥ 1.4 Seja {mj}∞j=0 um conjunto de numerosinteiros com 0 ≤ mj <∞. Existe uma funcao inteira que possui zeros de multiplicidademj somente nos pontos z = αj, j = 0, 1, 2, . . . e que pode ser representada por

G0(z) = zm0

∞∏j=1

E

(z

αj; pj

)mj(2.10)

contanto que os numeros inteiros positivos {pj}nj=1 sejam escolhidos de forma que oproduto seja uniformemente convergente em compactos. Uma escolha sempre possıvel edada por

pj >ln j2mj

ln 2. (2.11)

Para demonstrar este teorema alguns lemas serao necessarios. Iniciaremos com a se-guinte estimativa do fator primario.

Lema 2.3 O fator primario de Weierstrass satisfaz

|E(z; p)− 1| ≤ |z|p+1 , (2.12)

para todo |z| ≤ 1.

Prova. Como E(z; p) e uma funcao inteira em z com E(0; p) = 1, a serie de potencia

E(z; p)− 1 =∞∑n=1

An zn , (2.13)

onde An = An(p), converge em todo plano complexo. Note que (2.12) e trivialmentesatisfeita se p = 0, pois A1(0) = 1 e Aj(0) = 0 com j > 1. Derivaremos a seguir algumaspropriedades de An para p ≥ 1.

4O ordenamento da sequencia e feito, usualmente, de forma a preservar a desigualdade |αj | ≤ |αj+1|.


Diferenciando (2.9) e comparando com a derivada de (2.13)

dE

dz= −zp exp

{z +

1

2z2 + · · ·+ 1

pzp}

= −zp∞∑k=0

1

k!

(z +

1

2z2 + · · ·+ 1

pzp)k

=∞∑n=1

nAn zn−1

concluımos que A1 = · · · = Ap = 0 e An < 0 para todo n ≥ p. Por outro lado, usando adefinicao (2.9), E(1; p) = 0 e devido a (2.13), obtemos

−∞∑n=1

An =∞∑n=1

|An+p | = 1 .

Por conseguinte, se |z| ≤ 1,

|E(z; p)− 1| ≤∞∑

n=p+1

|An | |z|n

≤ |z|p+1∞∑n=1

|An+p | |z|n

≤ |z|p+1∞∑n=1

|An+p | = |z|p+1 .

�As proximas estimativas e definicoes dizem respeito a Teoria de Produtos Infinitos.

Dado um conjunto {wj}∞j=1 de numeros complexos, vamos considerar produtos da forma

Π =∞∏j=1

(1 + wj) . (2.14)

Denotamos por Πn o produto dos n primeiros fatores e por

Πm,n =n∏

j=m

(1 + wj)

o produto dos fatores compreendidos entre o m–esimo e o n-esimo fator, de forma queΠn = Π1,n.

Definicao 2.4 O produto Π e dito ser convergente se, e somente se, existir n0 tal que(1 + wj) 6= 0 para todo j > n0 e se o limite

Un0 = limn→∞

Πn0+1,n

existir e for diferente de zero.


O cuidado com esta definicao se justifica para evitar que limn→∞Πn = 0 devido aocorrencia de um fator nulo no produto.

Pelo princıpio da convergencia de Cauchy, o produto infinito Π converge se, e somentese, dado ε > 0, existir N = N(ε) > n0 tal que

|Πm,m+p − 1| < ε

para todo m > N e p ≥ 1.

Definicao 2.5 O produto Π e dito ser absolutamente convergente se

∞∏n=1

(1 + |wn|)

for convergente.

Obviamente, Π e convergente se Π for absolutamente convergente, porem o contrarionem sempre e verdade. Daremos a seguir um criterio para a convergencia do valorabsoluto de um produto infinito.

Lema 2.6 O produto∞∏n=1

(1 + γn), com γn ≥ 0, e convergente se, e somente se,∞∑n=1

γn

convergir.

Prova. Usando a desigualdade 1 + γ ≤ eγ, valida para todo γ ≥ 0, temos

1 +

m+p∑n=m

γn ≤m+p∏n=m

(1 + γn) ≤ exp

{m+p∑n=m

γn

}.

O resto do argumento segue pelo princıpio da convergencia de Cauchy.�

Consequentemente,∞∏n=1

(1 + γn) converge absolutamente se, e somente se,∞∑n=1

γn con-

vergir absolutamente.Para uma sequencia {wn(z)}∞n=1 de funcoes analıticas definidas em um domınioD ⊂ C,

o produto infinito

Π(z) =∞∏j=1

(1 + wj(z)) , (2.15)

define uma funcao analıtica no conjunto D ⊂ D dos valores z para os quais Π(z)converge. O seguinte lema caracteriza a funcao limite.

Lema 2.7 Se {wn(z)}∞n=1 e uma sequencia de funcoes regulares em um domınio D e se∞∑n=1

|wn(z)| for uniformemente convergente em cada regiao compacta S ⊂ D, entao Π(z)


representa uma funcao regular em D. Alem disso, Π(z) se anula somente nos pontospara os quais algum fator 1 + wj(z) se anula. A ordem de cada zero e dada pela somados fatores que se anulam neste valor.

A demonstracao deste resultado segue por argumentos usuais sobre convergencia uni-forme de sequencias de funcoes analıticas e sera omitida nesta tese (veja, por exemplo,[K]).

Prova do Teorema 2.2. Em vista do Lema 2.7, basta mostrar que existe uma escolha de{pn}∞n=1 tal que a soma

Σ(z) =∞∑n=1

|wn(z)| , (2.16)

com

wn(z) = E

(z

αn; pn

)mn− 1 ,

converge uniformemente nos discos Dr = {z ∈ C : |z| ≤ r} de raio r arbitrario.Dado r fixo, seja N = N(r) suficientemente grande tal que∣∣∣∣ rαn

∣∣∣∣ < 1

2e mn

∣∣∣∣ rαn∣∣∣∣pn+1

<1

2(2.17)

para todo n > N . Tal escolha sempre existe pois αn → ∞, quando n → ∞, devido aofato que a sequencia {αn}∞n=1 nao acumula no plano finito e se encontra ordenada deacordo com a desigualdade |αj| ≤ |αj+1|.

Lemma 2.3, combinado com a desigualdade telescopica, resulta∣∣∣∣E ( z

αn; pn

)mn− 1

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣E ( z

αn; pn

)− 1

∣∣∣∣mn−1∑k=0

∣∣∣∣E ( z

αn; pn

) ∣∣∣∣k

≤∣∣∣∣ zαn

∣∣∣∣pn+1 mn−1∑k=0

(1 +

∣∣∣∣ zαn∣∣∣∣pn+1

)k

≤ mn

(1 +

∣∣∣∣ zαn∣∣∣∣pn+1

)mn ∣∣∣∣ zαn∣∣∣∣pn+1

≤ e1/2mn

∣∣∣∣ zαn∣∣∣∣pn+1

para todo z ∈ DR e n > N . Note que as condicoes (2.17) foram usadas no Lema 2.3 ena estimativa do somatorio.

Se pj satisfaz (2.11), entao pela condicao (2.17) temos

mn

∣∣∣∣ zαn∣∣∣∣pn+1

≤ mne−pn ln 2 <

1

n2,


que implica na convergencia uniforme da serie Σ(z) em DR, e completa a prova doTeorema 2.2.

�

Observacao 2.8 A representacao da funcao G0 e mais simples se a distribuicao dos

zeros {αn}∞n=1, contando multiplicidades, for tal que a serie∑n

|αn|−λ converge para

algum λ positivo. Neste caso, seja p o menor inteiro para o qual∑n

|αn|−p−1 converge.

Segue da demonstracao acima que a serie Σ(z) dada por (2.16) converge uniformemente

em compactos se pn = p ≤ λ para todo n ≥ 1. O produto infinito zm0

∞∏j=1

E

(z

αj; p

)e

uniformemente convergente e e denominado produto canonico de genero p.

Antes de examinarmos outras propriedades associadas a distribuicao dos zeros de umafuncao inteira, daremos alguns exemplos do Teorema da Fatorizacao.

Exemplo 2.9 A funcao sinπz se anula em z = αn = n, n ∈ Z e seus zeros sao simples.

Como a serie∑n

∣∣∣ zn

∣∣∣2 = |z|2∑n

n−2 converge uniformemente, podemos escolher pn = 1

para todo n. Entao o produto canonico

G0 = z∞∏n=1

E( zn

; 1)· E(− zn

; 1)

= z∞∏n=1

(1− z

n

)ez/n

(1 +

z

n

)e−z/n

= z∞∏n=1

(1− z2

n2

),

e em vista de (2.8),

sin πz = eh0(z)z∞∏n=1

(1− z2

n2

)(2.18)

para alguma funcao inteira h0 cuja determinacao depende de outras informacoes sobrea funcao. Derivando ambos os lados da equacao (2.18) e dividindo pela propria equacao,temos

π cot πz = h′0 +∑n∈Z

1

z − n. (2.19)

Derivando novamente , obtemos

π2

sin2 πz= −h′′0 +

∑n∈Z

1

(z − n)2 . (2.20)


Agora, h′′0 e uma funcao inteira, periodica de perıodo 1, devido a (2.20), e mantem–selimitada quando |z| → ∞.5 Pelo Teorema de Liouville, h′′0 = 0. Alem disso, h′0 = 0 pois(2.19) troca de sinal pela transformacao z → −z, resultado em eh0(z) = π uma vez que

limz→0

sin πz

z= π.

Exemplo 2.10 A reciproca da funcao Gama de Euler Γ−1(z) e uma funcao inteira comzeros simples nos inteiros negativos. Analogamente ao exemplo anterior,

Γ−1(z) = eh(z) z

∞∏n=1

(1 +

z

n

)e−z/n . (2.21)

Por outro lado, usando–se repetidamente a relacao funcional Γ(z+1) = zΓ(z) obtem–sea definicao de Gauss

Γ(z) = limn→∞

n!nz

z (z + 1) · · · (z + n)

resultando em

Γ−1(z) = limn→∞

e−z lnn zn∏j=1

(1 +

z

j

)

= limn→∞

ez(1+1/2+···+1/n−lnn) zn∏j=1

(1 +

z

j

)e−z/j (2.22)

= eγzz∞∏j=1

(1 +

z

j

)e−z/j

onde

γ = limn→∞

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

n− lnn

)= 0.5772156649 . . .

e a constante de Euler Mascheroni. Comparando (2.21) e (2.22), concluımos h(z) = γz.

2.3 Conexao entre Ordem, Tipo e Coeficientes de Taylor

Nesta e na proxima secao, examinaremos a relacao existente entre a distribuicao doszeros de uma funcao inteira f , o crescimento do maximo modulo M(r; f) e o compor-tamento dos coeficientes an da serie de potencia.

Se P e um polinomio de ordem n, entao

limn→∞

lnM(r;P )

ln r<∞ .

5Ve–se, ecrevendo z = x+ iy, que esta funcao nao cresce quando |x| → ∞ devido a periodicidade, e vai a zero quando|y| → ∞.

2.3 Conexao entre Ordem, Tipo e Coeficientes de Taylor 21

Em contraposicao, devido a infinidade de coeficientes nao nulos em (2.2), o crescimentode uma funcao transcendental f deve ser comparado com uma funcao que cresca maisrapido que qualquer potencia. Veremos nas definicoes e teoremas a seguir que e naturalcomparar o crescimento das funcoes f e eτr

ρcom 0 ≤ τ, ρ ≤ ∞.

Definicao 2.11 Uma funcao inteira f(z) e de ordem ρ se

lim supn→∞

ln lnM(r; f)

ln r= ρ . (2.23)

Uma funcao constante tem, por convencao, ordem 0.

Definicao 2.12 Uma funcao inteira f(z) de ordem positiva ρ (0 < ρ <∞) e do tipo τse

lim supn→∞

lnM(r; f)

rρ= τ . (2.24)

A funcao f e dita ser de mınimo tipo, tipo normal ou maximo tipo se τ = 0, 0 < τ <∞ou τ =∞, respectivamente.

De acordo com estas definicoes, f(z) e de ordem finita ρ se, e somente se

M(r; f) = O(erρ−ε)

e M(r; f) = o(erρ+ε)

para todo ε > 0.A funcao eaz

k, com a, k positivos, e do tipo a de ordem k. Ao passo que a funcao

exp (ez) e de ordem infinita. A funcao∞∏n=1

(1− qnz), com |q| ≤ 1, e de ordem 0 e as tres

seguintes funcoes

∞∏n=1

(1− z

n (lnn)2

), eaz , e

1

Γ(z)

sao de ordem finita do tipo 0, a e ∞, respectivamente.Existe uma ıntima relacao entre o crescimento de f(z) e o comportamento da sequencia{an}∞n=0 dos coeficientes de sua serie de potencia. Isto e devido ao fato que M(r; f) eessencialmente determinado pelo maximo termo da serie (2.2) com |z| = r. Para cadar > 0, existe um ındice ν = ν(r), denominado ındice central, tal que∣∣ckzk∣∣ ≤ |cνzν |sendo esta desigualdade estrita para k > ν. O ındice central e uma funcao monotonacrescente com ν(r)→∞, quando r →∞.

A dominancia do ν-esimo termo da serie pode ser apreciada no seguinte exemplo defuncao de ordem ρ do tipo 1:

Fρ(z) =∞∑n=1

(n

ρe

)−n/ρzn . (2.25)


Claramente Fρ e uma funcao inteira6 cujos termos da serie (2.25), calculados em z = r,podem ser escritos como exp {g(n, r)}, onde

g(u, r) = u ln r − u

ρln

u

ρe,

e uma funcao estritamente crescente para u < umax e estritamente decrescente paran > umax atingindo o valor maximo

g(umax, r) = rρ,

em umax = ρrρ.Note que g(umax, r), e consequentemente exp {g(umax, r)}, e uma funcao monotona

crescente em r. Note ainda que o ındice central ν(r) satisfaz umax−1 < ν(r) < umax +1.E um exercıcio estimulante, porem demasiado longo para incluı–lo em todos detalhes,

dominar inferior e superiormente Fρ(r) pela integral de Laplace

∫exp {g(u, r)} du.

Observe que, desenvolvendo g(u, r) em serie de potencia em torno de u = umax atesegunda ordem

g(u, r) = rρ − 1

2ρ2rρ(ρrρ − u)2 +O

(1

r2ρ

),

e substituindo na integral, obtemos a ordem dominante

Fρ(r) ∼ erρ

∫ ∞0

exp

{− 1

2ρ2rρ(ρrρ − u)2

}du

∼ erρ

∫ ∞−∞

exp

{− 1

2ρ2rρv2

}dv

= ρ√

2πrρ/2erρ

,

da formula assintotica

M (r;Fρ) = Fρ(r) = ρ√

2π rρ/2 erρ

(1 + o (1)) . (2.26)

Notamos ainda que o crescimento de Fρ(z) pode ser extraıdo a partir da taxa comque seus coeficientes convergem para 0. Procedendo de forma analoga, vamos comparara sequencia dos coeficientes {an} da serie de potencia de uma funcao f(z) inteira coma sequencia

{n−n/ρ

}. Mais que um exemplo, (2.25) tera um papel instrumental na de

monstracao dos seguintes resultados.

Teorema 2.13 A ordem ρ de uma funcao f(z) definida pela serie (2.2) e dada por

ρ = lim supn→∞

n lnn

ln (1/ |an|). (2.27)

6Veja (2.3) para definicao de raio de convergencia.

2.3 Conexao entre Ordem, Tipo e Coeficientes de Taylor 23

Prova. Iniciaremos mostrando que ρ ≤ σ, com σ denotando o lado direito de (2.27).Suponhamos que σ e finito. Entao, dado ε > 0, existe N = N(ε) tal que

n lnn

ln (1/ |an|)< σ + ε

para todo n > N . Escrito de outra maneira,

|an| < n−n/(σ+ε) , n > N ,

ou ainda,|an| < Cn−n/(σ+ε) (2.28)

para todo n ≥ 1, onde C = C(ε) e uma constante apropriada. Assim, pela definicao deM(r; f) e equacoes (2.2), (2.28) e (2.25),

M(r; f) ≤ |a0|+∞∑n=1

|an| rn

≤ |a0|+ C Fσε((σεe)

1/σr),

concluindo de (2.26) que ρ ≤ σε com σε = σ + ε. Como ε e arbitrario, temos ρ ≤ σ.Note que se f e da ordem ρ =∞, esta relacao implica em (2.27).

Para mostrar a desigualdade contraria, ρ ≥ σ, usaremos a formula integral de Cauchy

|an| ≤1

2πi

∫|z|=r

∣∣∣∣f(z)

zn+1

∣∣∣∣ |dz| ≤ M(r; f)

rn. (2.29)

Se ρ = 0, entao ρ ≥ σ pois o lado direito de (2.27) e nao negativo. Suponhamos que0 < ρ <∞. Dado ε > 0, pela definicao (2.23), existe C1 = C1(ε) tal que

M(r; f) ≤ C1 erρ+ε

para todo r ≥ 0 que, combinando com (2.29), implica

|an| ≤ C1 ehmin(n) ≤ C1 e

h(r,n) , (2.30)

ondehmin(n) = − n

ρεln

n

eρε(2.31)

e o mınimo da funcao h(r, n) = rρε − n ln r que e obtido calculando h no ponto rmin =(n

ρε

)1/ρε

. Substituindo (2.31) em (2.30), obtemos

|an| ≤ C1

(n

eρε

)−n/ρε.


Por conseguinte,

lim supn→∞

n lnn

ln (1/ |an|)≤ lim

n→∞

n lnn

ln (1/C1) + (n/ρε) ln (n/eρε)= ρε

e σ ≤ ρε = ρ+ ε, concluindo a prova do Teorema 2.13.�

Teorema 2.14 Se a ordem ρ de uma funcao f(z) e finita, entao o tipo de f e dado emtermos de seus coeficientes pela seguinte expressao

τ =1

eρlim supn→∞

n |an|ρ/n . (2.32)

Prova. A prova deste teorema segue de maneira analoga ao anterior. Suponhamos que olado direito de (2.32), que denotamos por λ, e finito. Entao, dado ε > 0, existe N = N(ε)tal que

n

eρ|an|ρ/n < λ+ ε

para todo n > N . Escrevemos esta relacao para todo n ≥ 1 como

|an| < C

(n

eρλε

)−n/ρescolhendo a constante C = C(ε) adequada. Assim, pelas equacoes (2.25) e (2.26),

M(r; f) ≤ |a0|+ C Fρ(λ1/ρε r),

concluindo que τ ≤ λε, com λε = λ+ ε.Para mostrar a desigualdade contraria, τ ≥ λ, usaremos novamente (2.29). Se τ = 0,

entao τ ≥ λ e satisfeita por definicao. Suponhamos que 0 < τ < ∞. Dado ε > 0, peladefinicao (2.24), existe C1 = C1(ε) tal que

M(r; f) ≤ C1 e(τ+ε)rρ

para todo r ≥ 0. Combinando este resultado com (2.29), temos

|an| ≤ C1 ekmin(n) ≤ C1 e

k(r,n) , (2.33)

ondekmin(n) = −n

ρln

n

eρτε(2.34)

e o mınimo da funcao k(r, n) = τεrρ − n ln r, atingido no ponto r = rmin =

(n

ρτε

)1/ρ

.

Substituindo (2.34) em (2.33), obtemos

|an| ≤ C1

(n

eρτε

)−n/ρ.

2.4 Distribuicao de Zeros do Produto Canonico 25

Segue desta expressao,

1

eρlim supn→∞

n |an|ρ/n ≤ τε limn→∞

Cρ/n1 = τε

e λ ≤ τε = τ + ε, concluindo a prova do Teorema 2.14.�

2.4 Distribuicao de Zeros do Produto Canonico

Para medir a densidade de um conjunto que nao possui pontos de acumulacao finitos,introduzimos a seguinte

Definicao 2.15 O expoente de convergencia σ de uma sequencia {αj}∞j=1 de numeroscomplexos, com αj 6= 0 e cujo unico ponto de acumulacao esta no infinito, e o maiorlimite inferior dos numeros λ para os quais a serie

∞∑n=1

1

|αj|λ(2.35)

converge.

Quanto mais rapido for o crescimento de |αj| tanto menor sera seu expoente σ. Noteque, se (2.35) convergir para todo λ > 0, entao o expoente σ = 0. Se, por outro lado,(2.35) divergir para todo λ > 0, entao σ =∞.

O somatorio (2.35) com λ = σ pode divergir ou convergir, como pode ser visto nos

exemplos, αj = j1/ρ e αj = (j ln j)1/ρ. Embora o expoente de convergencia para ambassequencias seja σ = ρ, o somatorio (2.35) com λ = σ diverge na primeira e converge nasegunda. As sequencias {ej} e {ln j} tem expoentes de convergencia 0 e ∞, respectiva-mente.

Antes de introduzir outras quantidades associadas a densidade de zeros, e oportunoestabelecer uma relacao entre o expoente de convergencia σ e o genero p do produtocanonico G0. Da Observacao 2.8 e Definicao 2.15, temos

p ≤ σ ≤ p+ 1 . (2.36)

Quando σ e um inteiro, σ = p se (2.35) divergir com λ = σ e σ = p+1 se (2.35) convergircom λ = σ.

Uma descricao mais precisa que o expoente σ para densidada da sequencia {αj}∞j=1 edada pela funcao

n(r; f) = # {j ∈ N+ : |αj| ≤ r}

que conta o numero de elementos da sequencia {αj}∞j=1de zeros da funcao f (contandomultiplicidades) no disco Dr = {z ∈ C : |z| ≤ r}. Aqui, #A denota a cardinalidade do


conjunto A. Note que n(r) = n(r; f) e uma funcao monotona crescente e constante porpedacos.

A funcao n(r) define uma medida em R+ formalmente dada por

dn(r) =∑

j:|αj |≤r

δ(r − |αj|) dr ,

onde δ e a distribuicao delta de Dirac7. Podemos desta forma introduzir, para todafuncao continua g, a integral de Stieltjes

I(r; g) =

∫ r

0

g(s) dn(s) =∑

j:|αj |≤r

g(|αj|) . (2.37)

Observe que a soma (2.35), que define o expoente de convergencia σ, pode ser escritacomo I(∞; g) com g(s) = s−λ.

Definicao 2.16 A funcao n(r) e dita ser da ordem ρ1 se

ρ1 = lim supr→∞

lnn(r)

ln r.

A densidade superior ∆ da sequencia {αj}∞j=1 e definida por

∆ = lim supr→∞

n(r)

rρ1. (2.38)

Caso este limite exista (veja nota de rodape 2.1), ∆ e denominada simplesmente densi-dade.

Para ilustrar o uso da funcao n(r), encerraremos esta secao com um resultado devidoa Borel.

Teorema 2.17 Se ρ e a ordem do produto canonico

Π(z) =∞∏j=1

E

(z

αj; p

), (2.39)

entao ρ ≤ σ, onde σ e o expoente de convergencia da sequencia {αj}∞j=1.

A demonstracao deste resultado requer a elaboracao de dois lemas.

Lema 2.18 A ordem ρ1 da contagem dos zeros n(r), coincide com o expoente de con-vergencia σ.

7A funcao n(r) e suas derivadas sao definidas no sentido de distribuicao, isto e, apos serem integradas com uma funcaoteste infinitamente suave com suporte compacto.


Prova. Em vista de (2.37), (2.35) converge se, e somente se, I(∞; s−λ) converge. Porintegracao por partes

I(r; s−λ) =

∫ r

0

1

sλdn(s) =

n(r)

rλ+ λ

∫ r

0

n(s)

sλ+1ds . (2.40)

Inicialmente, vamos assumir que (2.35) converge. Entao, os dois termos positivos no ladodireito de (2.40) convergem quando r →∞. Segue da convergencia da segunda integralque, dado ε > 0, existe r0 = r0(ε), tal que para todo r > r0,

ε >

∫ ∞r

n(s)

sλ+1ds ≥ n(r)

∫ ∞r

1

sλ+1ds =

n(r)

rλ,

pois n(r) e monotono crescente. Como ε e arbitrario, temos

limr→∞

n(r)

rλ= 0

implicando em ρ1 ≤ σ.Para desigualdade no sentido contrario, ρ1 ≥ σ, temos que

n(r) ≤ Crρ1+ε/2

para todo ε > 0 e C = C(ε) conveniente. Segue desta desigualdade que o lado direitode (2.40) com λ = ρ1 + ε e convergente e, portanto, o lado esquerdo tambem converge.Novamente, com ε e arbitrario, o Lema 2.18 fica provado.

�

Lema 2.19 O fator primario de Weierstrass E(z; p) satisfaz a estimativa

ln |E(z; p)| ≤ κ |z|p+1 (2.41)

para todo z ∈ C, onde κ = κ(p) ≤ 1, com κ(0) = 1 e sendo a desigualdade estrita parap > 1.

Observacao 2.20 Lema 2.19, na forma como enunciado, foi provado pelo presenteautor [M]. Trata–se da mais acurada estimativa global para o fator de Weierstrass.Uma estimativa para o fator primario, devido a Nevanlinna [N], obtem a constanteκ logarıtmicamente crescente em p, κ(p) = e (2 + ln p), e todos os textos em analisecomplexa que conheco repetem sua deducao. Experimentos numericos mostram que aestimativa obtida em [M] esta proxima da saturacao. Entretanto, quando |z| > 1 , econveniente substituir a estimativa (2.41) por uma com melhor comportamento em r,mesmo que κ se torne logaritmicamente crescente com p. Pela definicao (2.9) e usando


ln (1 + x) < x se x > 0, temos

ln |E(z; p)| < ln (1 + |z|) +

p∑k=1

|z|k

k

< |z|+ |z|pp∑

k=1

1

k

<

(1 +

p∑k=1

1

k

)|z|p

< κ′ |z|p , (2.42)

com κ′ = κ′(p) = (2 + ln p).

Prova. Como a prova do Lema 2.19 e extensa, apresentaremos apenas um esboco (veja[M] para maiores detalhes). Definimos

fκ(r, θ) =∣∣E (reiθ; p)∣∣ e−2κrp+1

(2.43)

=(1 + r2 − 2r cos θ

)exp

{2

(p∑

k=1

rk

jcos kθ − κrp+1

)}

para cada κ > 0 e p ≥ 2. Estimativa 2.41 segue se existir algum κ = κ(p) ≤ 1, tal que

fκ(r, θ) ≤ 1

e satisfeita para todo −π < θ ≤ π e r ≥ 0.Por inspeccao, temos

1. fκ(0, 0) = 1 ,

2. fκ(r, θ) ≥ 0 ,

3. fκ(r, θ) −→ 0, quando r →∞.

Alem disso, para todo −π < θ ≤ π,

r±(θ) = cos θ +1

2 (p+ 1)κcos pθ ±D

sao extremos nao–triviais de fκ(r, θ) se D ≥ 0, onde

D2 =

(cos θ − 1

2 (p+ 1)κcos pθ

)2

+1

2 (p+ 1)κcos(p− 1)θ − 1 .


A analise em [M] conclui que, excluindo (0, 0) e tomando κ tal que satisfaca as relacoesκ1 < κ < κ2 onde

κ1 =1

2(p+ 1)

(1 + cosec

(π

p+ 1

))e κ2 = 1− 1

p+ 1,

o ponto (r, θ) = (r+(0), 0), com

r+(0) = 1 +1

(p+ 1)κ,

e o unico maximo de f .O Lema 2.19 fica provado se existir κ tal que

fκ (r+(0), 0) ≤ 1 ,

que em vista de (2.43), e implicado pela relacao

p∑k=1

1

j

(1 +

1

(p+ 1)κ

)k≤ κ

(1 +

1

(p+ 1)κ

)p+1

+ lnκ (p+ 1) . (2.44)

Apos um pouco de massagem, e possıvel mostrar que existe

κ3 =p

p+ 1exp

− p− 1

4 (p+ 1)

[1 +

(1 + 2

(1 + cosec

(π

p+ 1

))−1)p]−1

satisfazendo κ1 < κ3 < κ2, tal que (2.44) e valida para κ = κ3. Como

κ(p) ≤ κ(∞) = exp

{−1

4 (1 + e2π)

}< 1

o resultado fica demonstrado. Os casos p = 0 e 1 podem ser obtidos diretamente, comκ(0) = 1 e κ(2) = 1/2.

�Prova do Teorem 2.17. Seja p o menor inteiro para o qual a serie

Σ =∞∑j=1

1

|αj|p+1 (2.45)

converge. Trataremos apenas o caso p > 0 uma vez que para p = 0 a prova segue demaneira analoga, porem mais simples. Pela desigualdade (2.36) e Lema 2.18, temos

p ≤ ρ1 ≤ p+ 1.

Suponha que ρ1 < λ < p+1. Entao pela Definicao 2.16, existe uma constante C = C(λ)tal que

n(r) ≤ Crλ, (2.46)


para todo r ≥ 0.Segue do Lema 2.19 e equacao (2.42), que o produto infinito (2.39) satisfaz, para todo

z ∈ C com |z| = r, a desigualdade

ln |Π(z)| =∞∑j=1

ln

∣∣∣∣E ( z

αj; p

)∣∣∣∣≤ κ′rp

∑j:|αj |≤r

1

|αj|p+ κ rp+1

∑j:|αj |>r

1

|αj|p+1

= κ′rp∫ r

0

n(s)

spds+ κ rp+1

∫ ∞r

n(s)

sp+1ds .

Usando (2.46) seguido de (2.40), temos

ln |Π(z)| ≤ (κ+ κ′)n(r) + pκ′rp∫ r

0

n(s)

sp+1ds+ (p+ 1)κ rp+1

∫ ∞r

n(s)

sp+2ds

≤ (κ+ κ′)n(r) +

(Cpκ′rp

∫ r

0

sλ−p−1ds+ (p+ 1)κ rp+1

∫ ∞r

1

sp+2−λds

)≤ C

(κ+ κ′ +

(p+ 1)κ

p+ 1− λ+

pκ′

λ− p

)rλ , (2.47)

implicando que a ordem de Π(z) nao excede λ e, portanto, nao excede ρ1 = σ (devidoao Lema 2.18). Lembre que λ e um numero arbitrario tal que ρ1 < λ < p+ 1.

Para ρ1 = p+ 1, Π e um produto canonico e a serie (2.45) converge por definicao, deforma que

limr→0

n (r)

rp+1= 0 e

∫ ∞0

n(s)

sp+2ds <∞ .

Em vista disso, usando o mesmo procedimento,

ln |Π(z)| =∞∑j=1

ln

∣∣∣∣E ( z

αj; p

)∣∣∣∣≤ (κ+ κ′)n(r) + C

(pκ′rp

∫ r

0

s−εds+ (p+ 1)κ rp+1

∫ ∞r

1

s1+εds

)≤ C

(κ+ κ′ +

(p+ 1)κ

ε+

pκ′

1− ε

)rp+1−ε,

implicando que Π e no maximo da ordem p+ 1 de mınimo tipo.�

2.5 Teorema de Hadamard 31

2.5 Teorema de Hadamard

Nesta secao apresentaremos a versao refinada do Teorema da fatorizacao de Weierstrassdevido a Hadamard. O refinamento, que se aplica somente as funcoes inteiras de ordemfinita, consiste no seguinte

Teorema 2.21 Uma funcao inteira f(z) de ordem ρ finita pode ser representada naforma

f(z) = eP (z)G0(z)

onde P e um polinomio de grau q ≤ ρ e

G0(z) = zm0

∞∏j=1

E

(z

αj; p

)(2.48)

e o produto canonico de f com {αj} suas raizes nao nulas, m0 a multiplicidade da raizz = 0 e p ≤ ρ. Se ρ nao for um inteiro, entao ρ e igual a ordem σ de G0 e q ≤ [ρ].8 Seρ for um inteiro, entao pelo menos uma das duas quantidades, q ou σ, e igual ρ.

Na secao anterior, vimos que o Teorema 2.17 estabelece que ρ1 = σ ≥ ρ′ onde ρ′ e aordem de G0 . Para demonstrar o Teorema 2.21 a desigualdade oposta σ ≤ ρ′ deve serestabelecida. Para isso precisamos de um resultado conhecido como Teorema de Jensen.

Alem disso, notamos que a ordem ρ de uma funcao f fornece apenas um limite superiorpara a densidade dos zeros de f . Um exemplo crıtico e a funcao eP (z) da ordem do grau dopolinomio P mas que nao se anula em parte alguma do plano complexo. Uma dificuldaderelacionada a esta questao e encontrar uma limitacao inferior para ln |Π(z)| na forma(2.47).

Teorema 2.22 Seja f(z) uma funcao inteira com f(0) 6= 0 e raizes {αj}. Entao,

1

2π

∫ 2π

0

ln∣∣f (reiθ)∣∣ dθ = ln |f (0)|+N(r; f) (2.49)

onde

N(r; f) =∑

j:|αj |≤r

ln |αj| =∫ r

0

n(s)ds

s.

Prova. O Teorema de Jensen e um caso especial do princıpio do argumento, que, porsua vez, e uma aplicacao do Teorema do resıduo.

Seja {αj}mj=1 o conjunto das raızes de f (contando multiplicidades) em Dr e suponhaque nao haja raızes na fronteira Γ de Dr. Entao, existe uma funcao F (z), que e regulare nao se anula em Dr, tal que

f(z) =m∏j=1

(z − αj)F (z) .

8Denotamos a parte inteira de um numero x ∈ R por [x].


Usando o Teorema do resıduo para a derivada logarıtmica de f

f ′(z)

f(z)=

m∑j=1

1

(z − αj)+F ′(z)

F (z),

encontramos para integral de contorno

1

2πi

∫Γ

f ′(z)

f(z)dz = n(r; f) . (2.50)

Note que, se C for um trajeto de z1 ate z2, entao∫C

f ′(z)

f(z)dz = ln f(z2)− ln f(z1)

= arg f(z2)− arg f(z1) ≡ ∆C arg f(z) . (2.51)

Portanto a integral (2.50) mede a variacao do argumento da funcao f ao longo docontorno fechado Γ.

Em geral, se g(z) for regular em Dr, entao

1

2πi

∫Γ

g(z)f ′(z)

f(z)dz =

∫ r

0

g(s) dn(s) . (2.52)

O Teorema de Jensen segue tomando g(z) = ln z com uma escolha apropriada de Γ.Nesse caso, note que, integrando por partes o lado direito da equacao (2.52), temos∫ r

0

ln s dn(s) = ln r n(r) +

∫ r

0

n(s)ds

s. (2.53)

Como ln z assume multiplos valores, o contorno do lado esquerdo de (2.52) deve sersubstituıdo por Γ′ = Γ+U onde U e um trajeto rente ao eixo real positivo de r− i0 ater+i0, contornando a origem. O logarıtmo e determinado de maneira tal que ln (−1) = iπ.Temos,

1

2πi

∫U

ln zf ′(z)

f(z)dz =

1

2πi

∫ r

0

lnxf ′(x)

f(x)dx− 1

2πi

∫ r

0

(lnx+ 2πi)f ′(x)

f(x)dx

=

∫ r

0

f ′(x)

f(x)dx = ln f(0)− ln f(r), (2.54)

e, integrando por partes,

1

2πi

∫Γ

ln zf ′(z)

f(z)dz =

1

2πi∆Γ (ln z ln f(z))− 1

2πi

∫Γ

ln f(z)dz

z

= ln f(r) +m (ln r + 2πi)− 1

2π

∫ 2π

0

ln f(reiθ) dθ (2.55)

Juntando as equacoes (2.53), (2.54) e (2.55), com n(r) = m, e tomando a parte real,obtem–se (2.49).

�


Teorema 2.23 A ordem do produto canonico G0(z) e dada pelo expoente de convergenciaσ da sequencia {αj}∞j=1.

Prova. Em vista do Teorema 2.17, basta mostrar que a ordem ρ′ do produto canonico(2.39), satisfaz a desiguladade ρ′ ≥ σ.

Tomando o supremo sobre θ do integrando em (2.49), obtemos a desigualdade

lnM(r; Π) ≥ ln |f(0)|+N(r; Π) , (2.56)

que por sua vez pode ser limitada usando o fato que Π(z) e de ordem ρ′.Como n(r) e monotono crescente, pela definicao de N(r) temos

N(r; Π) =

∫ r

0

n(s)ds

s

≥∫ r

r/e

n(s)ds

s

≥ n (r/e)

∫ r

r/e

ds

s= n (r/e) . (2.57)

Combinando (2.56) e (2.57) com a Definicao 2.16, e usando Lema 2.18, temos

σ = ρ1 = lim supr→∞

n(r/e)

ln r/e≤ lim sup

r→∞

ln lnM(r; Π)

ln r= ρ′ , (2.58)

de onde segue o resultado.�

A seguir obteremos uma estimativa inferior para ln |Π(z)| do mesmo tipo que a esti-mativa superior (2.47).

Teorema 2.24 Dado {αj}∞j=1 e um numero k > 0, considere a sequencia de discos

{Dj}∞j=1 centrados em αj e de raio α−kj :

Dj ={z ∈ C : |z − αj| ≤ α−kj

}.

Se Π(z) e o produto canonico de genero p cujos zeros sao dados pela sequencia {αj}∞j=1

de expoente σ, entao, para todo ε > 0, existe uma constante C = C(ε, p), tal que aestimativa inferior

ln |Π(z)| > −C |z|σ+ε (2.59)

e satisfeita para todo z ∈ C \⋃j Dj.

Prova. Precisamos de mais algumas estimativas para o fator primario de Weierstrass.Fixamos β = 2−1/(p+1). Lema 2.3 implica na desigualdade

ln |E(z; p)| > ln(1− |z|p+1) (2.60)


para |z| ≤ β < 1. Para |z| > β, tendo em vista que |z|j < βj−p |z|p, j ≤ p, e procedendode forma analoga a (2.42), temos

ln |E(z; p)| > ln |1− z| −p∑j=1

|z|j

j

> ln |1− z| − β−pp∑j=1

βj

j|z|p

> ln |1− z| − κ′′ |z|p , (2.61)

onde κ′′ = 2 (1 + ln p).O que segue e muito semelhante ao que fizemos na prova do Teorema 2.17:

ln |Π(z)| =∞∑j=1

ln

∣∣∣∣E ( z

αj; p

)∣∣∣∣>

∑j:|αj |<r/β

[ln

∣∣∣∣1− |z||αj|∣∣∣∣− κ′′( r

|αj|

)p]+

∑j:|αj |≥r/β

ln

(1−

(r

|αj|

)p+1)

=∑

j:|αj |<r/β

ln

∣∣∣∣1− |z||αj|∣∣∣∣− κ′′rp ∫ r/β

0

1

spdn(s) +

∫ ∞r/β

ln

(1−

(rs

)p+1)dn(s) ,

Integrando por partes as duas integral acima, e levando em conta que para s > r/β,temos

sp+1 − rp+1 > sp+1 − (βs)p+1 =sp+1

2,

devido a definicao de β, podemos estimar a equacao acima por

ln |Π(z)| >∑

j:|αj |<r/β

ln

∣∣∣∣1− |z||αj|∣∣∣∣−B(r/β) (2.62)

onde B(r) e o lado direito da primeira equacao em (2.47) com κ = 2 e κ′ substituıdopor 2κ′′. Na prova do Teorema 2.17, ficou estabelecido que, dado ε > 0,

B(r) ≤ C rσ+ε (2.63)

para todo r ≥ 0, contanto que a constante C = C(ε, p) seja escolhida convenientemente.Resta–nos, portanto, estimar o somatorio em (2.62) . Para z ∈ C \

⋃j Dj, temos

− ln

∣∣∣∣1− |z||αj|∣∣∣∣ = − ln ||αj| − |z||+ ln |αj|

≤ (k + 1) ln |αj| ,


de onde segue

−∑

j:|αj |<r/β

ln

∣∣∣∣1− |z||αj|∣∣∣∣ ≤ (k + 1)

∫ r/β

0

ln s dn(s)

= (k + 1) {n(r/β) ln r/β −N(r/β)} (2.64)

Como ambos termos n(r) e N(r) satisfazem uma estimativa da forma (2.63), Teorema2.24 segue das equacoes (2.62), (2.63) e (2.64).

�Prova do Teorema 2.21. Equacao (2.8) e a forma mais geral de uma funcao inteira G.Se f e uma funcao da ordem ρ, podemos escreve–la como

f(z) = eh(z) G0(z) ,

com G0 o produto canonico (2.48). Segue dos Teoremas 2.23 e 2.24 que G0 e da ordemdo expoente de convergencia σ dos zeros de f e satisfaz (2.59) para todo z ∈ C \

⋃j Dj.

Alem disso, temos σ ≤ ρ em vista do fato que a estimativa (2.58) pode ser aplicada comf no lugar de Π.

Para provar o Teorema 2.21, resta–nos mostrar que h(z) e um polinomio de ordemp ≤ ρ. Para isso vamos usar a estimativa inferior (2.59). Se no Teorema 2.24 k for talque a soma

Σ =∞∑j=1

1

|αj|k

dos raios das regioes excluıdas Dj e finita (basta tomar k > σ), entao existe umasequencia de numeros positivos {Rj}∞j=1 tal que lim

j→∞Rj =∞ para os quais a estimativa

(2.59) e valida para |z| = Rj. Consequentemente, dado ε > 0, podemos encontrarconstante C1 = C1(ε) e C2 = C2(ε) tais que

<e (h(z)) = ln |f(z)| − ln |Π(z)| −m0 ln |z|< C1 |z|ρ+ε + C2 |z|σ+ε

e satisfeita para todo z tal que |z| = Rj com j ≥ 1.Agora, por um resultado analogo ao Teorema de Liouville, se a parte real de h nao

cresce mais rapido que um polinomio para uma sequencia de pontos que acumula noinfinito, entao h e um polinomio de grau p ≤ max (ρ, σ) = ρ, concluindo a prova doTeorema 2.21.

�

Observacao 2.25 Segue do Teorema 2.21 que se ρ nao for inteiro, entao f e de mınimo,a ou maximo tipo conforme a densidade superior ∆ dos zeros de f assume, respectiva-mente, os valores 0, a ou ∞. Esta conclusao nao e valida se ρ for inteiro como podeser visto pelos Exemplos 2.9 e 2.10. Em ambos exemplos n(r) = O (r) implicando em ∆


finito. Entretanto, sin πz e da ordem 1 de tipo normal e Γ−1(z) e da ordem 1, contudo,pela conhecida formula de Stirling,

ln Γ−1(z) =

(z − 1

2

)ln z − z +

1

2ln 2π +O

(1

z

).

de maximo tipo.

3Caracterizacao das Funcoes de Hermite–Biehler

Se as raızes de um polinomio P sao reais, entao, pelo Teorema de Rolle, todas as raızes dopolinomio P ′ sao reais e se entrelacam com as raızes de P . O Teorema de Rolle tambemse aplica as funcoes inteiras reais1 f de ordem finita exceto que o entrelacamento entreas raızes de f e f ′ pode nao ocorrer no intervalo contendo a origem (veja Teorema 14.3.1em [H]).

O objetivo deste capıtulo e caracterizar uma classe de funcoes inteiras com zerosno semi–plano =mz ≥ 0 e cuja derivada pertence a esta mesma classe. Para isso in-troduziremos a classe de funcoes HB de Hermite–Biehler. As funcoes inteiras que saoaproximadas uniformemente por polinomios tem um papel importante nesta caracte-rizacao. Seguiremos aqui a teoria desenvolvida em parte por Laguerre e posteriormentecompletada por Lindwart e Polya.

Faremos uma descricao detalhada da subclasse P ∗ das funcoes de Hermite–Biehlerque sao obtidas como limite uniforme de polinomios com raızes no semi–plano superior.Veremos, em particular que as funcoes f ∈ P ∗ preservam as relacoes de majoracao esubordinacao.

Praticamente todos estes resultados obtidos serao, em seguida, estendidos para a classedas funcoes inteiras HBn de Hermite–Biehler de n variaveis. Descreveremos, em parti-cular, as condicoes necessaria e suficientes para que uma funcao inteira f(z) pertenca asubclasse P ∗n das funcoes de HBn que sao aproximadas uniformemente por polinomiosnas n variaveis z = (z1, . . . , zn) e cujas raızes se encontram no poli–semi–plano supe-rior =mzj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Estudaremos tambem a forma geral dos Γ∗–operadoresmultilineares que preservam a relacao de majoracao em P ∗n .

1Uma funcao inteira f e dita ser real se f(x) assumir valores reais para todo x ∈ R. A serie de potencia de uma funcaoreal e formada com coeficientes reais.

38 3. Caracterizacao das Funcoes de Hermite–Biehler

3.1 Teorema de Hermite–Biehler

Um polinomioW (z) = c0 + c1z + · · ·+ cnz

n

com coeficientes complexos cj = aj + ibj, pode sempre ser escrito na forma

W (z) = P (z) + iQ(z) (3.1)

onde P e Q sao polinomios reais com coeficientes aj e bj, j = 1, . . . , n, respectivamente.Para que W (z) nao tenha raızes no semi–plano inferior =mz ≤ 0, e necessario e

suficiente, segundo o Teorema de Hermite–Biehler, que as seguintes condicoes sejamsatisfeitas:

1. As raızes de P e Q sao todas reais, simples e entrelacadas.2

2. A relacaoQ′(x0)P (x0)−Q(x0)P ′(x0) > 0 (3.2)

seja satisfeita para algum numero x0 ∈ R.

Observe que, devido ao entrelacamento das raizes, se a relacao (3.2) for satisfeita emx0, entao e satisfeita em todo eixo real. Para isso, seja {αj}mj=1 e {βj}mj=1 as raızes dospolinomios P e Q, respectivamente, tais que

α1 < β1 < α2 < β2 < · · · < βm.

Como a diferenca entre os numeros x − αj e x − βj tem o mesmo sinal, βj − αj > 0,qualquer que seja j ∈ {1, . . . ,m} e x ∈ R, a diferenca das recıprocas destes numeros(x− αj)−1 − (x− βj)−1 e sempre negativa.3 Portanto,

P ′(x)

P (x)− Q′(x)

Q(x)=

m∑j=1

(1

(x− αj)− 1

(x− βj)

)< 0, (3.3)

implicando a desigualdade (3.2) para todo x ∈ R.Com a finalidade de estender o Teorema de Hermite–Biehler para as funcoes inteiras,

a seguinte classe de funcoes e relevante.

Definicao 3.1 Uma funcao inteira f(z) e dita ser da classe HB se nenhuma de suasraızes estiver no semi–plano inferior =mz ≤ 0, e se∣∣∣∣f(z)

f(z)

∣∣∣∣ < 1 (3.4)

2Dois polinomio tem raızes entrelacadas se entre duas raızes sucessivas de um polinomio existe apenas uma raiz do

outro.3b− a > 0⇔ b > a⇔ b−1 < a−1 ⇔ b−1 − a−1 < 0.

3.1 Teorema de Hermite–Biehler 39

para todo z tal que =mz > 0. Aqui f(z) e a funcao inteira obtida a partir da serie depotencia de f(z) pela substituicao dos coeficientes cn = an+ibn de f(z) por seu complexoconjugado cn = an − ibn.

De maneira analoga a (3.1), escrevemos

f(z) = A(z) + iB(z) ,

onde A e B sao funcoes reais inteiras com serie de potencia formada pelos coeficientes ane bn, respectivamente. Segue desta decomposicao que f(z) = A(z)− iB(z). Alem disso,se

h(z) =B(z)

A(z), (3.5)

entao a condicao necessaria e suficiente para que a funcao

w(z) =f(z)

f(z)=

1 + ih(z)

1− ih(z)

mapeie o semi–plano superior =mz > 0 no interior do cırculo unitario e que h mapeieo semi–plano superior =mz > 0 nele mesmo. Para isso, note que∣∣∣∣1 + ih

1− ih

∣∣∣∣2 =(1−=mh)2 + (<e h)2

(1 + =mh)2 + (<e h)2 < 1

se, e somente se =mh > 0.Consequentemente, para que uma funcao f = A + iB seja da classe HB, a condicao

necessaria e suficiente e que a funcao meromorfica (3.5) seja representada como noseguinte teorema.

Teorema 3.2 Uma funcao meromorfica h(z) mapeia o semi–plano superior =mz > 0nele mesmo se, e somente se, puder ser escrita na forma

h(z) = cz − α0

z − β0

∏j 6=0

(1− z

βj

)(1− z

αj

)−1

, (3.6)

onde c > 0 e αj < βj < αj+1, j ∈ Z, com β−1 < 0 < α1.

Prova. Vamos inicialmente mostrar que a condicao de entrelacamento de αj e βj implicana convergencia do produto infinito (3.6). De acordo com os Lemas 2.6 e 2.7, o produtoconverge uniformemente para uma funcao meromorfa se, e somente se, a serie

∑j 6=0

{(1− z

βj

)(1− z

αj

)−1

− 1

}=∑j 6=0

z

(1− z

αj

)−1(1

αj− 1

βj

)


convergir uniformemente em toda regiao fechada e limitada de C que nao contenha ospontos {αj}. Para isso, pelo teste de Weierstrass, basta mostrar que a serie numerica

s =∑j 6=0

(1

αj− 1

βj

)

e convergente. Seja ε1 = minj (αj+1 − αj), ε2 = minj (βj+1 − βj) e M = maxj (βj − αj).Se ε = min (ε1, ε2), temos |αjβj| ≥ ε2 |j|2 e

s =∑j 6=0

βj − αjαjβj

≤ 2M

ε2

∑j≥1

1

j2=π2M

3ε2,

concluindo a demonstracao da convergencia.Alem disso, para cada j fixo, o argumento

φj = arg

1− z

βj

1− z

αj

= arg (z − βj)− arg (z − αj)

e igual ao angulo subentendido pelo segmento [αj, βj] do eixo real que forma a base dotriangulo com vertice em z. Da condicao de entrelacamento segue

0 < arg h(z) =∞∑

j=−∞

φj < π ,

provando, desta forma, a condicao suficiente do teorema.Suponha agora que h(z) mapeie o semi–plano superior =mz > 0 nele mesmo. Entao

0 ≤ arg h(z) ≤ π ,

e pelo princıpio do argumento, a funcao h(z) nao tem polos ou zeros nesse semi–planopois, caso contrario, a variacao do argumento ∆C arg h(z) ao longo de um contornofechado C contendo um polo ou zero de h causaria um acrescimo de 2π (veja equacoes(2.50) e (2.51)). A funcao h(z) tambem nao tem polos ou zeros no semi–plano inferior=mz < 0, por simetria. Os polos e zeros de h(z) se encontram, portanto, no eixo real.

Para =mz < 0, temos

−π < arg h(z) < 0 ,

e a variacao do argumento ∆C arg h(z) ao longo de qualquer circuito fechado C , incluindosegmentos do eixo real, nao pode exceder 2π em valor absoluto. Como a contribuicaopara o argumento devido aos polos tem sinal contrario da contribuicao devido aos zeros,

∆C arg h(z) = 2π (n−m) ,

3.1 Teorema de Hermite–Biehler 41

com n e m o numero de zeros e de polos, respectivamente, segue que os zeros e os polosdevem estar entrelacados uns aos outros.

Considere agora o produto infinito

k(z) =z − α0

z − β0

∏j 6=0

(1− z

βj

)(1− z

αj

)−1

,

cujos zeros e polos coincidem com os de h(z). O produto infinito converge para umafuncao meromorfica que mapeia o semi–plano superior =mz > 0 nele mesmo. A funcao

χ(z) =h(z)

k(z)

e uma funcao inteira que nao se anula em nenhuma regiao do plano complexo e satisfaz

|argχ(z)| ≤ |arg h(z)|+ |arg k(z)| ≤ 2π .

Por conseguinte, a funcao u(z) = lnχ(z) mapeia o plano complexo na faixa contendoo eixo real |=mu| ≤ 2π e, pelo Teorema de Liouville, u e uma constante, concluindo aprova do Teorema 3.2.

�

Observacao 3.3 Segue do Teorema 3.2 e da argumentacao que o antecede, que se f ∈HB e se A e B forem representadas em termos de seus produtos canonicos

A(z) = a eP (z) (z − α0)∏j 6=0

E

(z

αj; p

)e

B(z) = b eQ(z) (z − β0)∏j 6=0

E

(z

βj; p

)com P (0) = Q(0) = 0, entao b/a = c > 0 e

Q(z)− P (z) +∑j 6=0

{z

βj+ · · ·+

(z

βj

)p− z

αj− · · · −

(z

αj

)p}= 0 .

A classe de funcoes HB, de acordo com a Definicao 3.1, exclui a possibilidade de terzeros no eixo real. A seguinte definicao permite essa possibilidade.

Definicao 3.4 Uma funcao inteira f(z) e dita ser da classe HB se nao tiver raızes nosemi–plano inferior aberto =mz < 0 e satisfaz a condicao∣∣∣∣f(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤ 1 , (3.7)

para =mz > 0


Note que a razao em (3.7) pode assumir valores na circunferencia de raio unitario.Note tambem que as raızes comuns a f(z) e f(z) sao reais. Entao, se Π(z) e o produtocanonico associado a estas raızes, f(z) = Π(z) g(z) e da classe HB se, e somente se,g(z) ∈ HB. Convem notar ainda que, se {fn} for uma sequencia de funcoes da classeHB que converge uniformemente para f em cada regiao compacta de C, entao f ∈ HB.

Antes de enunciaremos uma versao do Teorema de Hermite–Biehler para funcoesinteiras introduziremos a seguinte

Definicao 3.5 Duas funcoes reais inteiras A(z) e B(z) formam um par real de funcoesse

1. A e B nao tem zeros comuns;

2. os zeros de qualquer combinacao linear µA(z) + νB(z), com coeficientes µ e νreais, forem reais.

A(z) e B(z) formam um par real generalizado se somente a condicao 2. for satis-feita.

Teorema 3.6 Para que uma funcao f(z) = A(z) + iB(z) seja da classe HB (HB) enecessario e suficiente que A e B formem um par real (generalizado) e que a relacao

B′(x0)A(x0)−B(x0)A′(x0) > 0 (3.8)

seja satisfeita para algum x0 ∈ R.

Prova. Para provar o Theorema 3.6, basta notar que, se A e B formam um par real,h(z) = B(z)/A(z) nao assume valores reais se =mz 6= 04 e, em vista do fato que (3.8)implica h′(z) > 0, h(z) mapeia o semi–plano superior nele mesmo (veja equacao (3.3)).Assim w(z) = (1 + ih(z)) / (1− ih(z)) satisfaz (3.7) ou (3.4) dependendo se A e B naotenha ou tenha raızes reais comuns, respectivamente. Por conseguinte, f(z) ∈ HB (HB).

A condicao necessaria e provada revertendo os passos anteriores. Se f(z) ∈ HB (HB),entao f(z) e f(z) nao tem zeros complexos em comum e satisfaz a desigualdade (3.4)(ou (3.7)). Entao, as funcoes reais A(z) e B(z) tambem nao tem zeros complexos emcomum e a razao h(z) = B(z)/A(z) e uma funcao holomorfica no semi–plano superiorcom =mh(z) > 0 para =mz > 0. Assim, h(z) toma valores reais apenas no eixo reale os zeros da combinacao linear µA(z) + νB(z), com µ, ν ∈ R, sao reais, concluindo aprova do Teorema 3.6.

�

4Suponha o contrario, h(z0) = B(z0)/A(z0) = α, com α ∈ R e =mz0 6= 0. Entao αA(z0)−B(z0) = 0 e a hipotese de

A e B serem pares reais e violada.

3.2 Funcoes Uniformemente Aproximadas por H–Polinomios 43

3.2 Funcoes Uniformemente Aproximadas por H–Polinomios

Uma classe especial de funcoes inteiras pode ser obtida considerando o limite de sequenciasde polinomios, uniformemente convergente em todo domınio limitado e fechado de C, ecujas raızes pertencem a um determinado conjunto. Os primeiros estudos nesta direcaoforam desenvolvidos por Laguerre. Os trabalhos de Laguerre e Polya, caracterizaramcompletamente a classe de funcoes que sao aproximadas uniformemente por polinomioscom raızes reais. Posteriormente, Lindwart e Polya mostraram que a convergencia uni-forme de polinomios em algum disco DR implica na convergencia uniforme em qualquersubconjunto limitado do plano complexo.

Iniciaremos com o seguinte

Lema 3.7 O conjunto de polinomios

Pm(z) =nm∏j=1

(1− z

αj,m

)(3.9)

= 1 + c1,mz + · · ·+ cnm,mznm

satisfazendo as condicoesnm∑j=1

|αj,m|−ρ < M (3.10)

e |cj,m| < M para todo j ∈ {1, 2, . . . , p} com ρ− 1 ≤ p < ρ, forma uma famılia normalem C.5

Prova. Pelo Lemma 2.19 e equacao (2.42), o fator primario de Weierstrass satisfaz adesigualdade global

E(w; p) ≤ eκ|w|ρ

, (3.11)

com κ = κ(ρ), para algum ρ tal que p < ρ ≤ p+ 1. Segue das definicoes (2.9) e (3.9)

nm∏j=1

E

(z

αj,m; p

)= Pm(z)

nm∏j=1

exp

{z

αj,m+ · · ·+ 1

p

(z

αj,m

)p}= Pm(z) exp

{s1,mz + · · ·+ 1

psp,mz

p

}, (3.12)

onde

sk,m =nm∑j=1

α−kj,m (3.13)

5Uma famılia {fn} de funcoes regulares em um domınio D e dita ser normal em D se a cada sequencia de funcoesdesta famılia contiver uma subsequencia que converge uniformemente em cada regiao limitada e fechada de D.


e a k-esima soma de Newton. Aplicando a desigualdade (3.11) em (3.12), tendo em vista(3.10), resulta

Pm(z) exp

{s1,mz + · · ·+ 1

psp,mz

p

}≤ exp {κM | z|ρ} . (3.14)

Usando recursivamente as formulas de Newton

kck,m + ck−1,ms1,m + · · ·+ c1,msk−1,m + sk,m = 0 ,

k = 1, 2, . . . , nm, podemos expressar sk,m em termos dos coeficientes de Pm:

s1,m = −c1,m

s2,m = −2c2,m + c21,m

s3,m = −3c3,m + 3c1,mc2,m − c31,m

s4,m = −4c4,m + 4c1,mc3,m + 2c22,m − 4c2

1,mc2,m + c41,m ,

(3.15)

e assim por diante. Como cj,m e uniformemente limitado por M , existe constantes σj,j = 1, . . . , p, tais que

|sj,m| < σj .

Substituindo esta limitacao em (3.14), temos

|Pm(z)| ≤ exp

{σ1 |z|+ · · ·+

1

pσp |z|p + κM |z|ρ

},

implicando que {Pm} e um conjunto de polinomios limitados em cada regiao compactado plano, constituindo, por sua vez, uma famılia normal em C.

�

Observacao 3.8 Devido ao fato de {Pm(z)} ser uma famılia normal, a convergenciauniforme para f(z) em alguma vizinhanca da origem implica, por um Teorema de Sti-eltjes, na convergencia uniforme em cada domınio limitado. Se ρ em (3.10) nao for uminteiro, entao o genero p da funcao inteira limite f(z) nao excede a parte inteira [ρ] deρ. Se ρ for um inteiro, entao

f(z) = e−γzρ

Φ(z) (3.16)

onde γ e uma constante e Φ e uma funcao inteira cujo genero nao excede ρ− 1.

Teorema 3.9 Para que uma funcao inteira f(z) seja uniformemente aproximada, emcada domınio limitado, por polinomios cujas raızes se encontram no setor S(θ1, θ2) ={z ∈ C : θ1 ≤ arg z ≤ θ2}, com |θ2 − θ1| < π, e necessario e suficiente que f seja repre-sentada por

f(z) = czme−σz∞∏j=1

(1− z

αj

)(3.17)

onde {αj} sao os zeros de f em S(θ1, θ2), θ1 ≤ − arg σ ≤ θ2 e

∞∑j=1

1

|αj|<∞ .


Note que, devido a condicao |θ2 − θ1| < π, o Teorema 3.9 nao inclui o caso de maiorinteresse no qual as raızes dos aproximantes se encontram todas no eixo real. A inclusaodeste resultado no texto ocorre por razoes pedagogicas. O teorema pode ser colocadono contexto da classe HB das funcoes de Hermite–Biehler se o setor S(θ1, θ2) estiverinteiramente contido no semi–plano superior =mz > 0. Note que a representacao (3.17)e do tipo exponencial.6 A seguir, demonstraremos o Teorema 3.9 brevemente.

Prova. Sem perda de generalidade, vamos assumir que os polinomios aproximantes

Pm(z) = 1 + c1,mz + · · ·+ cnm,mznm ,

nao se anulam em uma vizinhanca da origem e que Pm(0) = 1. Vamos ainda assumirque θ1 = −π + δ1 e θ2 = π − δ1 para algum δ1 > 0.

Segue da hipotese de convergencia de Pm em algum disco DR, que limm→∞

ck,m = ck. Em

particular, para k = 1 temos |c1,m| < M , e em vista das formulas (3.15) e (3.13),

nm∑k=1

=m 1

αk,m≤

∣∣∣∣∣nm∑k=1

1

αk,m

∣∣∣∣∣ < M .

Usando a desigualdade |αj,m|−1 sin δ < =mα−1j,m, temos

nm∑k=1

1

|αk,m|<

M

sin δ.

Lema 3.7 e Observacao 3.8 implicam que a sequencia {Pm} converge uniformemente emcada regiao limitada e fechada do plano complexo para

f(z) = ce−σz∞∏j=1

(1− z

αj

),

com os zeros αj sendo limites das raızes de Pm e, por conseguinte, satisfazem −π+ δ1 ≤argαj ≤ π− δ1. Por uma argumento um pouco mais extenso, pode–se mostrar tambemque −π + δ1 < −σ < π − δ1, concluindo a prova do Teorema 3.9.

�Consideremos agora o caso mais delicado, |θ2 − θ1| ≤ π, porem mais importante.

Definicao 3.10 Um polinomio que tem o semi–plano inferior aberto =mz < 0 livre deraızes e denominado H–polinomio.

Note que, se as raızes {αj}nj=1 de um polinomio P (z) sao tais que =mαj ≥ 0, entao∣∣∣∣P (z)

P (z)

∣∣∣∣ =n∏j=1

∣∣∣∣z − αjz − αj

∣∣∣∣=

n∏j=1

{[<e (z − αj)]2 + [=m (z − αj)]2

[<e (z − αj)]2 + [=m (z + αj)]2

}1/2

≤ 1 , (3.18)

6Uma funcao inteira f(z) e do tipo exponencial se f nao exceder o tipo normal da ordem 1.


para =mz > 0. Assim, um H–polinomio P (z) pertence a classe HB.

Teorema 3.11 Se uma sequencia {Pm(z)} de H–polinomios converge uniformementeem alguma vizinhanca Dδ da origem para uma funcao f(z) nao nula, entao convergeuniformemente em cada domınio limitado de C. A funcao limite f pertence a classeHB, e pode ser representada por

f(z) = czme−γz2+βz

∞∏j=1

E

(z

αj; 1

), (3.19)

onde γ ≥ 0 e∞∑j=1

1

|αj|2<∞ .

Alem disso, se as raızes dos H–polinomios forem todas reais, entao os zeros de f(z)sao reais e =mβ = 0.

Prova. A sequencia de polinomios {Qm(z)} dada por

Qm(z) =Pm(z − ia)

Pm(−ia)

= 1 + c1,mz + · · ·+ cnm,mznm ,

com 0 < a < δ, converge uniformemente no disco Dδ−a. Consequentemente, os coefici-entes cj,m tendem a um limite quando m→∞ e existe 0 ≤M <∞ tal que |c1,m| < Mpara todo m ∈ N+.

Tomando a parte imaginaria da primeira equacao de (3.15) e considerando que asraızes de um H–polinomio localizam–se no semi–plano superior, temos

=mnm∑j=1

1

αj,m + ia= =m

nm∑j=1

αj,m − ia|αj,m|2 + a2

= −nm∑j=1

=mαj,m + a

|αj,m|2 + a2

= −=mc1,m ,

de onde se conclui

nm∑j=1

a

|αj,m|2 + a2≤

nm∑j=1

=mαj,m + a

|αj,m|2 + a2< M ,

implicando que a sequencia de polinomios {Qm(z)} satisfaz a condicao (3.10) do Lema3.7 com ρ = 2. Pelo Lema 3.7 e Observacao 3.8, esta sequencia converge uniformementeem cada regiao limitada e fechada do plano para a funcao f (z − ia) /f(−ia) que admiteser representada por (3.16) com ρ = 2. Logo, f(z) tem a forma (3.19).


Agora, f(z) ∈ HB pois e o limite uniforme de uma sequencia de H–polinomios, quepor sua vez, pertencem a classe HB. Resta, portanto, mostrar que γ ≥ 0.

Inicialmente, suponhamos que as raızes de Pm sao reais e, sem perda de generalidade,que f(z) nao se anule na origem (m = 0 em (3.19)). Usando a segunda equacao de(3.15), temos

s2,m =−P ′′m(0)Pm(0) + P ′2m(0)

P 2m(0)

=nm∑j=1

1

α2j,m

e, devido a (3.19),

s2 =−f ′′(0) f(0) + f ′2(0)

f 2(0)= 2γ +

∞∑j=1

1

α2j

. (3.20)

Como os coeficientes da serie de potencia de Pm tendem a um limite, para todo inteiropositivo N , temos

N∑j=1

1

α2j

= limm→∞

N∑j=1

1

α2j,m

≤ limm→∞

s2,m = s2 ,

que, comparando com (3.20), implica na desigualdade

∞∑j=1

1

α2j

≤ 2γ +∞∑j=1

1

α2j

satisfeita somente se γ ≥ 0.

Note que, no caso de raızes reais, β +∑j

α−1j = lim

m→∞

∑j

α−1j,m = s1 e real.

No caso em que nem todas as raızes de Pm sao reais, escrevemos

Pm(z) = Rm(z) + iSm(z) (3.21)

onde os polinomios reais Rm e Sm, convergem uniformemente em cada regiao limitada efechada do plano complexo para R e S, que por sua vez, devido ao Teorema de Hermite–Biehler 3.6 e da Obeservacao 3.3, possuem raızes reais entrelacadas, e podem tambemserem representados na forma (3.19). A conclusao do Teorema 3.11 segue de maneiraanaloga ao caso anterior.

�

Observacao 3.12 O conjunto dos H–polinomios (3.21) tais que |Pm(0)| ≥ c0,|P ′m(0)| ≤ c1 e |P ′′m(0)| ≤ c2, com c0, c1 e c2 constantes positivas quaisquer, formauma famılia normal. Note para isso que, uma entre as duas somas

nm∑j=1

1

ξ2j,m

=−R′′m(0)Rm(0) +R′2m(0)

R2m(0)


enm∑j=1

1

η2j,m

=−S ′′m(0)Sm(0) + S ′2m(0)

S2m(0)

e limitada por M = 2 (c21 + c0c2) /c2

0, onde αj,m = ξj,m + iηj,m. Entretanto, devido aoentrelacamento das raızes, ambas somas sao limitadas.

Definicao 3.13 Denominamos por P ∗, a subclasse de HB das funcoes inteiras f(z)que sao representadas na forma

f(z) = e−γz2

Φ(z)

com γ ≥ 0 e Φ(z) uma funcao inteira de genero nao excedendo 1.

O resultado a seguir caracteriza completamente as funcoes inteiras que sao limitesuniformes de H–polinomios, e desempenham um papel de grande importancia na gene-ralizacao do Teorema de Lee–Yang.

Teorema 3.14 Para que uma funcao inteira f(z) seja o limite de uma sequencia de H–polinomios {Pm(z)} uniformemente convergente, e necessario e suficiente que f pertencaa classe P ∗.

Prova. O Teorema 3.11 fornece a condicao necessaria. Para a demonstracao da condicaosuficiente vamos proceder da seguinte forma. Para cada ε > 0, R > 0 e f ∈ P ∗ veremosque e possivel escolher um H–polinomio Pn(z) tal que |f(z)− Pn(z)| ≤ ε para |z| ≤ Re todo n suficientemente grande.

Uma funcao inteira f(z) da classe P ∗, devido ao fato que (veja ref. [L], Teoremas 1 e2, cap. V )

∞∑j=1

1

|ηj|<∞ ,

admite ser representada por

f(z) = czme−γz2+(δ+iν)z

∞∏j=1

(1− z

αj

)ez/ξj ,

onde δ ∈ R, γ, ν ≥ 0 e αj = ξj + iηj. Segue desta representacao que, para |z| ≤ R,

fn(z) = czme−γz2+(δ+iν)z

n∏j=1

(1− z

αj

)ez/ξj ,

satisfaz |f(z)− fn(z)| < ε/2 escolhendo n suficientemente grande.Por outro lado, cada polinomio da forma

Pn(z) = czm(

1− γz2

kn

)kn (1 +

σnz

kn

)kn n∏j=1

(1− z

αj

),

3.3 Transformacoes de Funcoes Inteiras com Zeros Reais 49

e um H–polinomio e se kn for suficientemente grande, temos |f(z)− fn(z)| < ε/2. Seguedas duas desigualdades

|f(z)− Pn(z)| ≤ |f(z)− fn(z)|+ |fn(z)− Pn(z)| < ε ,

provando a afirmacao e concluindo a prova do Teorema 3.14�

Observacao 3.15 Em termos da decomposicao f(z) = R(z) + iS(z) o Teorema 3.14pode ser refraseado da seguinte forma: f ∈ P ∗ se, e somente se, f for da classe HB eR, S da classe P ∗.

3.3 Transformacoes de Funcoes Inteiras com Zeros Reais

O objetivo desta secao e introduzir as transformacoes Γ definidas sobre o conjuntodos H–polinomios. Para isso, estudaremos as sequencias de multiplicadores que as de-finem introduzidas por Laguerre, Polya, Schur e outros. As transformacoes de interessesao aquelas que levam H–polinomios em H–polinomios. Tomando–se o limite, estastransformcoes sao estendidas a operadores sobre a subclasse P ∗ das funcoes inteiras deHermite–Biehler.

Iniciaremos com alguns resultados preparatorios.

Lema 3.16 SejaPn(z) = c0 + c1z + · · ·+ cnz

n

um polinomio real com c0 6= 0. Se todas as raızes {αj}nj=1 de Pn forem reais e se paraalgum p, com 0 < p < n, tivermos cp = 0, entao

cp−1cp+1 < 0 . (3.22)

Prova. Da segunda equacao de (3.15), temos

c21 − 2c0c2 = c2

0

n∑j=1

1

α2j

,

que implica, devido a condicao c0 6= 0, em c21−2c0c2 > 0 e prova o Lema 3.16 com p = 1.

Usando o Teorema de Rolle, a (p− 1)–esima derivada de Pn

P (p−1)n (z) = (p− 1)! cp−1 + p! cpz +

(p+ 1)!

2cp+1z

2 + · · ·+ n!

(n− p+ 1)!cnz

n−p+1

e um polinomio cujas raızes {βj}n−p+1j=1 sao reais. Procedendo de maneira analoga, temos

p2 c2p − p (p+ 1) cp−1cp+1 = c2

p−1

n−p+1∑j=1

1

β2j

, (3.23)


de onde se conclui o lema para um p qualquer.Escrevendo a equacao (3.23) para todos valores de p verifica–se que, se dois coefici-

entes consecutivos forem nulos, todos os demais coeficientes subsequentes deverao serigualmente nulos. Disto segue a desigualdade estrita (3.22) e conclui a prova do Lema3.16.

�

Lema 3.17 SejaPn(z) = c0 + c1z + · · ·+ cnz

n

eQn(z) = a0 + a1z + · · ·+ anz

n

dois polinomios reais com c0, cn 6= 0 . Se todas as raızes {αj}nj=1 e {βj}nj=1de Pn e Qn,respectivamente, forem reais, entao todas a raızes do polinomio real

T (z) = Pn(D)Qn(z) = c0Qn(z) + c1Q(1)n (z) + · · ·+ cnQ

(n)n (z) ,

onde D = d/dz, sao reais. Alem disso, cada raız de T (z) com multiplicidade maior que1 e tambem uma raız multipla de Qn(z).

Prova. Notamos os seguintes fatos: (i) o operador diferencial Pn(D) pode ser escritocomo

Pn(D) = cn

n∏j=1

(D − αj) ;

(ii) para cada polinomio real Qn(z) e α > 0 (α < 0), a funcao e−αxQn(x) tende a zeroquando x → ∞ (x → −∞). Portanto, pelo Teorema de Rolle, o numero de raızes dopolinomio

Φn(z) = (D − α)Qn(z) = eαzD(e−αzQn(z)

),

de grau n, nao e inferior ao do polinomio Qn. Tal como Qn(z), a funcao real e−αzQn(z)tem n raızes reais e D (e−αzQn(z)) possui o mesmo numero de zeros reais devido ao fatorexponencial. Iterando n–vezes este argumento, concluimos que T (z) possui tambem nraızes reais.

Para concluir o teorema, basta mostrar que se ξ e uma raız multipla de Φn(z), entaoξ e tambem uma raız multipla de Qn(z). Expandindo Φn e Qn em serie de potencia de(z − ξ), temos

Qn(z) = d0 + d1(z − ξ) + · · ·+ dn(z − ξ)n

eΦn(z) = (d1 − αd0) + (2d2 − αd1) (z − ξ) + . . .− αdn(z − ξ)n .

Se ξ e uma raız dupla de Φn, temos d1 − αd0 = 0 e 2d2 − αd1 = 0. Multiplicando asegunda equacao por d0 e substituindo a primeira, obtemos

2d0d2 − d21 = 0


que, pelo Lema 3.16, nao pode ser satisfeita para d0 6= 0. Substituindo nas equacoesanteriores, resulta em d0 = d1 = d2 = 0, implicando que ξ e pelo menos uma raız duplade Qn. Lema 3.16 controla o caso de multiplicidade p sem maiores detalhes. Com isso,fica concluida a prova do Lema 3.17.

�Enunciaremos a seguir um resultado devido a Schur sobre composicao de polinomios.

Teorema 3.18 Seja

Qm(z) = a0 + a1z + · · ·+ amzm

e

Rn(z) = b0 + b1z + · · ·+ bnzn , (3.24)

dois polinomios reais com am, bn 6= 0 . Se todas as raızes de Rn forem reais e todas asraızes de Qm forem reais e de mesmo sinal, entao todas a raızes do polinomio real

P (z) = a0b0 + a1b1z + 2a2b2z2 + · · ·+ k!akbkz

k , (3.25)

onde k = min (n,m), sao reais. Se n ≤ m e a0b0 6= 0, entao todas as raızes sao, alemdisso, simples.

Prova. Trataremos apenas o caso com n ≤ m e a0b0 6= 0. Sem perda de generalidade,podemos assumir que bn > 0 e que todos os coeficientes aj > 0, j = 0, . . . ,m. Definimos,para um numero real x arbitrario, o polinomio

Fn(z) = a0Rn(z) + a1xR(1)n (z) + · · ·+ anx

nR(n)n (z) , (3.26)

que pode ser escrito como a seguinte serie de potencia

Fn(z) = P0(x) + P1(x)z + · · ·+ 1

n!Pn(x)zn, (3.27)

onde

Pj(x) = j!a0bj + (j + 1)!a1bj+1x+ · · ·+ n!an−jbnxn−j , (3.28)

j = 0, 1, . . . , n. Note que P0(z) = P (z) dado por (3.25).Aplicando o Lema 3.17 a (3.26), concluimos que, para cada x ∈ R, todas as raızes de

Fn sao reais. Alem disso, os polinomios P0 e P1 nao podem ter nenhuma raız coincidentepois, caso contrario, z = 0 seria uma raız dupla de (3.27) e, por conseguinte, em vistade (3.26) e Lema 3.17, uma raiz dupla de Rn (b0 = b1 = b2 = 0), contrariando nossahipotese de b0 6= 0.

Por um procedimento semelhante ao procedimento para obter (3.23), podemos aindaconcluir que cada par consecutivo Pj e Pj+1 nao pode se anular para um mesmo x realo que, em outras palavras, significa que as raızes de Pj e Pj+1 nao podem coincidir.Finalmente, como consequencia do Lema 3.16, se Pj(x) = 0 para algum x ∈ R e j =1, . . . n− 1, entao Pj−1(x) e Pj+1(x) tem sinais opostos (Pj−1(x)Pj+1(x) < 0).


Assim, a sequencia de polinomios {Pj(x)}nj=0 forma uma sequencia generalizada deSturm. Segue deste fato que o numero de zeros reais r de P0 satisfaz

r ≥ v(−∞)− v(∞) ,

onde v(x) denota o numero de mudancas de sinal da sequencia {Pj(x)}nj=0 para cadavalor x.

Se bn > 0 e aj > 0, j = 0, . . . ,m, temos que v(∞) = 0 e v(−∞) = n e todas as raizesdo polinomio P0(z) = P (z) sao reais. Para isso, note que o termo n!an−jbnx

n−j lidera aexpressao de Pj quando |x| → ∞. Logo, o sinal de Pj e determinado pelo sinal de xn−j.

O numero de mudancas de sinal v(x) da sequencia de Sturm varia de acordo coma multiplicidade de cada raız xk de P0(x) que for atravessada. Como P0 e P1 nao temraızes em comum, o numero de mudancas de sinal nao pode variar mais de uma unidade.Isto implica que cada raiz de P0 e simples, concluindo a prova do Teorema 3.18

�

Observacao 3.19 Seja Rn e Qm como no Teorema 3.18. Entao todas as raızes dopolinomio (extraindo–se os fatoriais de P )

P 1(z) = a0b0 + a1b1z + a2b2z2 + · · ·+ akbkz

k (3.29)

sao reais. Este resultado e obtido da seguinte maneira. As raızes do polinomio

Q1(z) = am + am−1z + · · ·+ a0zm

obtido de Qm pela substituicao de z por 1/z seguida pela multiplicacao de zm, sao reais.Compondo este polinomio com o binomio

(1 + z)m = 1 +

(m

1

)z +

(m

2

)z2 + · · ·+ zm ,

obtemos (veja expressao (3.25))

Q2(z) = am + am−1mz + am−2m(m− 1)z2 + · · ·+ a0m!zm , (3.30)

cujas raızes sao reais. Substituindo novamente z por 1/z e multiplicando por zm/m!obtemos o polinomio

Q3(z) = a0 + a1z +1

2a2z

2 · · ·+ 1

m!amz

m ,

que tem somente raızes reais. Finalmente, compondo este polinomio com Rn obtemos(3.29) que, dada as operacoes realizadas, possui todas as suas raızes reais.

As seguintes nocoes de sequencias de multiplicadores foram introduzidas por Polya eSchur.


Definicao 3.20 Dado uma sequencia de numeros reais {γn}∞n=0, seja Γ◦ a transformacaoque leva cada polinomio P (z) = c0 + c1z + · · ·+ cnz

n no polinomio de mesma ordem

Γ◦[P ](z) = γ0c0 + γ1c1z + · · ·+ γncnzn .

A sequencia {γn}∞n=0 e denominada uma sequencia de multiplicadores de primeiraespecie se a transformacao Γ◦ correspondente levar polinomios com raızes reais em po-linomios da mesma classe. E denominada uma sequencia de multiplicadores de se-gunda especie se a transformacao Γ◦ correspondente levar cada polinomio com raızespositivas em um polinomio com raızes reais.

Antes de serem introduzidas esta nocoes, Laguerre ja havia considerado sequencias demultiplicadores de primeira especie tais como

1,1

w,

1

w (w + 1), . . . ,

1

w · · · (w + n− 1), . . . ,

com w > 0 e1, q, q4, . . . , qn

2

, . . . ,

com |q| ≤ 1; e sequencias de multiplicadores de segunda especie tal como

cosλ, cos (λ+ ϑ) , cos (λ+ 2ϑ) , . . . , cos (λ+ nϑ) , . . . ,

com λ, ϑ ∈ R.Note que, se γn = n, n = 0, 1, . . . , temos Γ◦[P ](z) = zP ′(z). Assim, pelo Teorema de

Rolle, {n}∞n=0 e uma sequencias de multiplicadores de primeira especie.Enunciaremos a seguir uma serie de propriedades satisfeitas pelas sequencias de mul-

tiplicadores.

Proposicao 3.21 1. Se {γn}∞n=0 e uma sequencia de multiplicadores de primeira ousegunda especie, entao {γn+k}∞n=0, para todo inteiro k ≥ 1, e uma sequencia demultiplicadores de mesma especie.

2. Se algum elemento de uma sequencia de multiplicadores de primeira especie e nulo,entao todos os elementos subsequentes sao igualmente nulos.

3. Os elementos de uma sequencia de multiplicadores de primeira especie sao todosdo mesmo sinal ou de sinal alternado.

4. O operador Γ◦ correspondente a uma sequencia de multiplicadores de primeiraespecie nao negativa leva H–polinomios em H–polinomios.

Prova. Note para o item 1. que, se as raızes do polinomio P (z) forem reais as raızes dezkP (z) sao reais. Logo, as raızes de

z−kΓ◦[zkP ](z) = γkc0 + γk+1c1z + · · ·+ γk+ncnzn ,


tambem sao reais.Como todos os zeros de

Γ◦[(1 + z)n] = γ0 + γ1

(m

1

)z + γ2

(m

2

)z2 + · · ·+ γnz

m

sao reais, segue do Lema 3.16 que, se γn 6= 0 e γp = 0 para algum p tal que 0 < p < n,entao γp−1γp+1 < 0. Por outro lado, os zeros do polinomio

Γ◦[zp+1 − zp−1] =(γp+1z

2 − γp−1

)zp−1 (3.31)

devem ser reais, porem isto e incompatıvel com a condicao γp−1γp+1 < 0. Logo, γp+1 = 0e, de acordo com o Lema 3.16, todos os γj com j > p + 1 devem se anular tal comoenunciado no item 2.. Note ainda da equacao (3.31), que γp−1 e γp+1 devem ter o mesmosinal, provando item 3..

Uma sequencia de multiplicadores de primeira especie nao negativa e denominada Γ–sequencia e a correpondente transformacao Γ–operador. De acordo com o Teorema deHermite–Biehler (Teorema 3.6), P (z) = A(z) + iB(z) e um H–polinomio se, e somentese, os polinomios reais

A(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn

eB(z) = b0 + b1z + · · ·+ bnz

n

formarem um par real generalizado, e

a0b1 − a1b0 > 0 .

Um Γ–operador leva um par real generalizado em um par real generalizado

Γ[A](z) = γ0a0 + γ1a1z + · · ·+ γnanzn

eΓ[B](z) = γ0b0 + γ1b1z + · · ·+ γnbnz

n ,

onde γ0γ1 (a0b1 − a1b0) > 0. Para isso, observe que as raızes da combinacao linearµA(z) + νB(z) sao reais. Logo as raızes de Γ[µA + νB](z) sao reais qualquer que sejaµ, ν ∈ R. Segue deste fato que Γ[P ](z) e um H–polinomio, demonstrando a afirmacaodo item 4..

�Um Γ–operador pode ser aplicado a uma classe maior de funcoes. Veremos a seguir

que um Γ–operador e definido para toda funcao inteira da classe P ∗ e leva funcoes destaclasse nela mesma.

Seja f(z) o limite de uma sequencia uniformemente convergente de H–polinomios

fn(z) =n∑j=0

cj,n zn ,


n = 0, 1, . . .. Logo f ∈ P ∗. Aplicando um Γ–operador obtemos, de acordo com a Pro-posicao 3.21, uma sequencia de H–polinomios

Γ[fn](z) =n∑j=0

γjcj,n zn ,

que por sua vez, converge uniformemente em C para Γ[f ](z) ∈ P ∗. Note que, em vistada Observacao 3.12, {Γ[fn]} forma uma famılia normal.

Um exemplo importante de Γ–operador e definido a partir da seguinte Γ–sequencia

1, 1, 1− 1

n,

(1− 1

n

)(1− 2

n

), . . . ,

(1− 1

n

)· · ·(

1− n− 1

n

), 0, 0, . . . , (3.32)

n ∈ N+. Proposta por Jensen, esta sequencia e construıda compondo o polinomio(1 + z)n com o polinomio P (x) = c0 + c1z + · · · + cmz

m cujas raızes sao reais (veja(3.30)),

P 1(z) = c0 + c1nz + c2n(n− 1)z2 + · · ·+ ckn(n− 1) · · · (n− k + 1)zk ,

seguido pela substituicao de z por z/n

P 2(z) = c0 + c1z + c2

(1− 1

n

)z2 + · · ·+ ck

(1− 1

n

)· · ·(

1− k − 1

n

)zk ,

onde k = min (n,m). Note que as raizes de P 2(z) sao reais.E comum denotar a operacao Γ[f ] de Jensen por In[f ]. Note que In associa um po-

linomio de orden n a cada funcao inteira f com a propriedade

limn→∞

In[f ](z) = f(z) (3.33)

e uniformemente convergente. Assim, temos

Teorema 3.22 Para que uma funcao f(z) =∑k≥0

ckzk pertenca a classe P ∗, e necessa-

rio e suficiente que a sequencia {In[f ](z)}n≥0, formada inteiramente de H–polinomios,convirja uniformemente para f(z).

Concluiremos esta secao com um resultado devido a Polya e Schur.

Teorema 3.23 Para que uma sequencia numerica {γn}n≥0 seja uma Γ–sequencia, enecessario e suficiente que a serie

ϕ(z) =∞∑k=0

γkk!zk


convirja para uma funcao inteira que admite ser representada na forma

ϕ(z) = c eσz∞∏j=1

(1 + κjz) , (3.34)

com σ ≥ 0, κj > 0 e∑j≥1

κj <∞.

Prova. Seja {γn}n≥0, com γ0 6= 0, uma Γ–sequencia. Aplicando o Γ–operador correspon-dente em (1 + z)n seguido da substituicao de z por z/n, obtemos

Qn(z) =n∑j=0

γj

(n

j

)( zn

)j=

n∑j=0

γj

(1− 1

n

)· · ·(

1− j − 1

n

)zj ,

cujas raızes, devido a γj > 0, localizam–se no eixo real negativo. Sendo os tres primeiroscoeficientes limitados (devido a γ0 6= 0), a sequencia de polinomios {Qn(z)}n≥0 formauma famılia normal, que converge uniformemente para a funcao ϕ(z). Tendo seus zerosnegativos, a funcao de acordo com o Teorema 3.17, concluindo a necessidade da condicao.

Assumindo que ϕ(z) possa ser representada na forma (3.34), considere a sequencia depolinomios

Rn(z) =n∑k=0

γk,nk!

zk ,

cujas raızes sao reais negativas e que converge uniformemente para ϕ(z). Compondo Rn

com um polinomio arbitrario P (z) =m∑j=1

cjzj com raızes reais, obtemos o polinomio

Sk(z) =k∑j=0

cjγj,nzj ,

com k = min(n,m), cujas raızes sao reais devido ao Teorema 3.18. Tomando o limite,limn→∞

Sk(z) = Γ[P ](z) obtemos um polinomio cujas raızes sao tambem reais, concluindo

que {γn}n≥0 e uma Γ–sequencia e provando o Teorema 3.23.�

3.4 Majorantes e Subordinantes de Funcoes da Classe P ∗

Uma funcao ϕ e um majorante de uma funcao f se a seguinte desigualdade

|f(z)| ≤ |ϕ(z)| (3.35)

3.4 Majorantes e Subordinantes de Funcoes da Classe P ∗ 57

for satisfeita para um subconjunto de C. Nesta secao examinaremos a classe de funcoesϕ para as quais a desigualdade (3.35), satisfeita no semi–plano inferior =mz ≤ 0, epreservada pela substituicao de f e ϕ pelas respectivas derivadas

|f ′(z)| ≤ |ϕ′(z)| . (3.36)

Se ϕ(z) for da classe HB de Hermite–Biehler, entao a relacao (3.36) e satisfeita somentepara z ∈ R, restringindo a validade da desigualdade para derivadas de ordem superior.

Veremos que a subclasse P ∗ de HB e a mais ampla classe de majorantes, invariantepela multiplicacao por eτz, τ ∈ R, e que preserva a relacao por diferenciacao.

Iniciaremos com uma defincao.

Definicao 3.24 Uma funcao ϕ(z) e dita ser um HB–majorante de uma funcao inteiraf(z), se ϕ(z) ∈ HB e as seguintes desigualdades

|f(z)| ≤ |ϕ(z)| e |f(z)| ≤ |ϕ(z)| , (3.37)

forem satisfeitas para z ∈ =mz ≤ 0.Se uma funcao ϕ(z) satisfaz (3.37), pertence a uma subclasse T de HB que e inva

riante pela multiplicacao por uma constante, entao dizemos que ϕ(z) e um T –majorante.

Note que υ ϕ(z) e um T –majorante se ϕ(z) for um T –majorante e |υ| ≥ 1.

Teorema 3.25 Para que a funcao

ϕυ(z) = f(z)− υϕ(z)

pertenca a classe HB para todo υ ∈ C tal que |υ| ≥ 1, e necessario e suficiente que ϕ(z)seja um HB–majorante da funcao f(z).

Prova. Suponha que ϕυ(z) ∈ HB. Entao ϕ(z) = limυ→∞

υ−1ϕυ(z) tambem pertence a HB.

Alem disso, como ϕυ(z) nao tem zeros no semi–plano inferior =mz < 0, entao

ϕυ(z)

ϕ(z)=f(z)

ϕ(z)− υ 6= 0 ,

para =mz < 0 e |υ| ≥ 1, implica ∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1 , (3.38)

e a primeira desigualdade de (3.37). Para obter a segunda condicao de (3.37), temos porhipotese

|f(z)− υϕ(z) | ≤ |f(z)− υϕ(z) |para =mz ≤ 0 que, em vista de (3.38) e ϕ(z) ∈ HB, implica∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1 + 2 |υ| (3.39)


para =mz ≤ 0 e |υ| ≥ 1, devido a igualdade∣∣f(z)

∣∣ = |f(z)|.Equacoes (3.38) e (3.39) implicam

∣∣f(z)/ϕ(z)∣∣ ≤ 1 para todo z ∈ R e pelo Teorema

de Phragmen–Lindelof,7 ∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1

para =mz ≤ 0.Suponha agora que ϕ(z) e um HB–majorante de f(z). Entao, para todo υ com |υ| ≥ 1,

ϕυ(z) nao se anula no semi–plano inferior =mz < 0 e alem disso,∣∣∣∣ϕυ(z)

ϕυ(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f(z)− υϕ(z)

f(z)− υϕ(z)

∣∣∣∣=|f(z) /ϕ(z)− υϕ(z) /ϕ(z)|

|f(z) /ϕ(z)− υ|

≤ 1 + |υ|1− |υ|

.

Como esta razao e igual a 1 para z ∈ R, segue do Princıpio de Phragmen–Lindelofaplicado a funcao ϕυ(z)/ϕυ(z), ∣∣∣∣ϕυ(z)

ϕυ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1

para |υ| ≥ 1 e =mz ≤ 0, concluindo a prova do Teorema 3.25.�

Definicao 3.26 Uma subclasse T da classe HB de funcoes de Hermite–Biehler e ditaser admıssivel se para todo T –majorante ϕ de uma funcao inteira f , temos

ϕ+ f ∈ T .

Note que, devido ao Teorema 3.25, a classe HB e admissıvel. Mostraremos a seguirque a subclasse P ∗ e tambem admissıvel. Para isso precisamos de alguns resultadospreliminares.

Lema 3.27 Se ϕ(z) e uma funcao inteira tal que (eτzϕ(z))′ ∈ HB para todo τ ∈ R,entao ϕ(z) ∈ P ∗.

Prova. Escrevendo ϕ(z) = A(z) + iB(z), segue da hipotese do Lema 3.27 e do Teorema3.6

A′(z) + τA(z) e B′(z) + τB(z)

formam um par real generalizado. Assim, todas as raızes da funcao real A′(z)+τA(z) saoreais, e consequentemente (veja prova do Teorema 3.6), =m (A′(z)/A(z)) tem sinal bem

7Seja f uma funcao regular em uma regiao R tal que satisfaz |f(z)| ≤M na fronteira Γ de R. Se Γcontem o infinito ef(z) e limitada em R, entao pelo Teorema ou Princıpio de Phragmen–Lindelof |f(z)| ≤M em R.


definido para =mz > 0. O sinal e negativo pois =m (A′(z)/A(z)) < 0 no semi–cırculosuperior de cada polo no eixo real.

Pode–se mostrar a partir do Teorema 3.2, equacao (3.6), que a funcao meromorfa−A′(z)/A(z) em =mz > 0, que mapeia semi–plano superior nele mesmo, admite serrepresentada como

A′(z)

A(z)= −2γz + β +

∞∑j=1

(1

z − αj+

1

αj

), (3.40)

onde γ ≥ 0, β e αj reais com∑j

|αj|−2 <∞. Uma funcao A(z) satisfaz a equacao (3.40)

se, e somente se, puder ser representada por (3.19). Pela Definicao 3.13, concluimos queA ∈ P ∗ e, usando o mesmo argumento, B ∈ P ∗.

Agora, para todo µ, ν eτ reais, as raızes da funcao

µ

τ(A′(z) + τA(z)) +

ν

τ(B′(z) + τB(z))

sao reais. Tomando τ →∞, concluımos que A e B formam um para real generalizado,ϕ ∈ HB e, como consequencia da Observacao 3.15, ϕ ∈ P ∗.

�Daremos a seguir uma outra caracterizacao da classe das funcoes P ∗.

Lema 3.28 Para que uma funcao inteira ϕ pertenca a classe P ∗, e necessario e sufici-ente que

ϕ (z − iσ) ∈ HB (3.41)

para todo σ > 0.

Prova. Qualquer H–polinomio satisfaz (3.41) e esta propriedade e levada para as funcoesda classe P ∗ pelo procedimento de tomar limites de sequencias uniformemente conver-gentes de H–polinomios.

Para a condicao suficiente, faremos uso do fato que |ϕ (z − iσ)| e uma funcao mono-tonica crescente em σ. Note que, para todo =mα ≥ 0 e =mz < 0,

|z − α− iσ|2 = |z − α|2 + 2=m (α− z)σ + σ2 ≤ |z − α− iσ′|2

se σ ≤ σ′. Portanto |P (z − iσ)| e uma funcao crescente de σ se P for um H–polinomioe, por um processo limite, esta propriedade e estendida a cada funcao da classe P ∗.

Como consequencia,

|ϕ (z − iσ)| ≥ |ϕ (z)| ≥ |ϕ (z)| = |ϕ (z)|

e ϕ (z − iσ) e um HB–majorante de ϕ (z). Usando o Teorema 3.25, temos

ϕ (z − iσ)− ϕ (z)

iσ∈ HB ,


e tomando o limite σ → 0, segue que ϕ′ (z) ∈ HB . Se ϕ (z) satisfaz a condicao (3.41),entao eτzϕ (z) tambem satisfaz esta condicao com τ ∈ R. Segue pelos mesmos argumen-tos que (eτzϕ (z))′ ∈ HB e, devido ao Lema 3.27, ϕ (z) ∈ P ∗, concluindo a prova doTeorema 3.28.

�

Teorema 3.29 P ∗ e uma classe admissıvel.

Prova. Devemos mostrar que se ϕ (z) e um P ∗–majorante de uma funcao inteira f(z),entao ϕ (z) + f(z) ∈ P ∗. Note que, para todo σ ∈ R e =mz ≤ σ temos, por definicao

|ϕ (z − iσ)| ≥ |f(z − iσ)| . (3.42)

Usando a monotonicidade de |ϕ (z − iσ)| e a segunda desigualdade em (3.37), temos

|ϕ (z − iσ)| ≥ |ϕ (z + iσ)| ≥ |f(z − iσ)| (3.43)

para =mz ≤ −σ. Para mostrar que (3.43) e valida para −σ < =mz ≤ 0, novamentepela monotonicidade de |ϕ (z − iσ)|, temos

|ϕ (z − iσ)| = |ϕ (z − i(σ − 2=mz))|≥ |ϕ (z − iσ)|≥ |f(z − iσ)| (3.44)

onde na ultima linha usamos (3.42) para =mz ≤ σ.Combinando (3.42), (3.43) e (3.44) concluımos que ϕ (z − iσ) e um P ∗–majorante da

funcao f(z − iσ), ambas como funcao de z, para todo σ > 0. Pelo Teorema 3.25, istoimplica que ϕ (z − iσ) + f(z − iσ) ∈ HB e em vista do Lema 3.28 ϕ (z) + f(z) ∈ P ∗,concluindo a prova do Teorema 3.29.

�Se P (x) e um H–polinomio, entao segue da igualdade

P ′(z)

P (z)=

n∑j=1

1

z − αj

=n∑j=1

(<e (z − αj)|z − αj|2

− i=m (z − αj)|z − αj|2

), (3.45)

que =mP ′(z)/P (z) > 0 para =mz < 0. Note que =mαj ≥ 0. Assim, P ′(z) nao temraızes no semi–plano inferior =mz < 0 e portanto e um H–polinomio. Este propriedadepassa para a classe P ∗ de funcoes ϕ que sao limites uniforme de sequencias de H–polinomios. Em vista do Teorema 3.29 e Lema 3.27, P ∗ e a subclasse mais ampla deHB–majorantes, invariante pela multiplicacao por eτz, τ ∈ R , e pela operacao dediferenciacao.


Teorema 3.30 Se ϕ (z) e um P ∗–majorante de uma funcao inteira f(z) entao ϕ(k) (z)e um P ∗–majorante da funcao inteira f (k)(z), k = 1, 2, . . .. Alem disso, se ϕ (z) nao forum polinomio e se para algum k e z0, com =mz0 ≤ 0, a igualdade∣∣f (k)(z0)

∣∣ =∣∣ϕ(k)(z0)

∣∣ e∣∣f (k)(z0)

∣∣ =∣∣ϕ(k)(z0)

∣∣for satisfeita, entao existem numeros complexos c1 e c2 tais que

f(z) = c1ϕ (z) + c2ϕ (z)

com |c1|+ |c2| = 1.

Prova. Provaremos apenas a primeira parte do teorema neste texto. Para uma prova dasegunda parte, veja Teorema 6, Cap. IX de [L].

Pela observacao anterior, a operacao de diferenciacao mapeia a subclasse P ∗ nelamesma. Devido a linearidade, se ϕ (z) for um P ∗–majorante de f(z), segue de

(ϕ (z)− υf(z))′ = ϕ′ (z)− υf ′(z) ∈ P ∗ ,

com |υ| ≥ 1, e do Teorema 3.25 que ϕ′ (z) e um P ∗–majorante de f ′(z) e, consequente-mente, ϕ(k) (z) e um P ∗–majorante de f (k)(z) para cada k ∈ N+.

�

Observacao 3.31 Teorema 3.30 permanece valido se o operador de diferenciacao Dfor substituıdo por

(D + τI) f(z) = f ′(z) + τf(z) ,

com τ ∈ R. Note para isso, se ϕ (z) e um P ∗–majorante de f(z), entao eτzϕ (z) e umP ∗–majorante de eτzf(z) e, em vista do Teorema 3.30,

e−τzDeτzϕ (z) = (D + τI)ϕ(z)

e um P ∗–majorante de (D + τI) f(z).Pode–se estender esta propriedade para uma classe ainda maior de operadores. Se{Pn(z)} for um sequencia uniformemente convergente de H–polinomios e =mα < 0,entao e−αzPn ∈ P ∗ e

(D − αI)Pn(z) = eαzDe−αzPn (z) ,

n = 1, 2, . . ., forma uma sequencia uniformemente convergente de H–polinomios. Assim,Teorema 3.30 e valido se D for substituıdo por D−αI, com =mα < 0. Considere agora

uma funcao inteira F (z) =∑j≥0

ajzj, e defina F (D) pela expressao

F (D)f(z) =∞∑j=0

aj f(j)(z) (3.46)


para cada f tal que a serie convirja uniformemente. Se F (z) for um H–polinomio, entaoos operadores

F (D)f(z) =n∏j=1

(D − αj) f(z)

e F (−D) preservam a propriedade de majoracao. Um operador Γ que mapeia funcoesda classe P ∗ em funcoes da mesma classe preservando a relacao de majoracao e deno-minado Γ∗–operador. Note que, devido a Proposicao 3.21, cada Γ–operador associadosa sequencias de multiplicadores de primeira especie {γj}j≥0, γj > 0, e tambem um Γ∗–operador.

Com respeito a convergencia dos operadores diferenciais abordados nesta observacao,temos o seguinte

Teorema 3.32 Seja f(z) uma funcao inteira de tipo normal τ da ordem ρ > 0. SejaF (D) dado por (3.46) tal que

G(z) =∞∑n=0

ann!1/ρ

zn , (3.47)

define uma funcao inteira que nao excede o tipo normal γ < (ρτ)−1/ρ da ordem 1. Entaoh(z) = F (D)f(z) e uma funcao inteira. Alem disso,

1. se f(z) for do tipo exponencial entao h(z) e do tipo exponencial;

2. se ρ > 1 e G(z) nao exceder o mınimo tipo da ordem 1, entao h(z) e no maximodo mesmo tipo de f(z);

3. se ρ > 1 e G(z) for do tipo normal γ < (ρτ)−1/ρ da ordem 1, entao h(z) naoexcede o tipo normal

τ(1− (γρρτ)1/(ρ−1)

)1−ρ(3.48)

da ordem ρ.

Prova. Vamos apenas provar algumas afirmacoes deste teorema. A demonstracao dosdetalhes mais finos pode ser vista no texto de Sikkema [S], Teorema 7 do Cap. II.

Expressao (3.47) e uma condicao necessaria e suficiente para que F (D) seja um ope-rador aplicavel a uma funcao inteira de ordem finita ρ. Ela e suficiente pois de (2.32) eda defincao de G, temos

0 ≤ lim supn→∞

(n!1−1/ρ |an|

)1/n= γ < (ρτ)−1/ρ . (3.49)

Pelo Teorema 2.14 e Princıpio da Identidade,

lim supn→∞

(ne

)1/ρ∣∣∣∣f (n)(z)

n!

∣∣∣∣1/n = (ρτ)1/ρ (3.50)


para cada z ∈ C. Combinando (3.49) e (3.50) e usando a formula de Stirling

n! =√

2πn(ne

)n(1 +O

(1

n

)), (3.51)

temos

lim supn→∞

∣∣anf (n)(z)∣∣1/n < 1

e a serie (3.46) converge para todo z ∈ C. Alem disso, se f(z) =∑n≥0

bnzn, devido a estas

mesmas equacoes, para cada ε > 0, existe K = K(ε) tal que as desigualdades

|an| ≤ K(γ + ε)n

n!1−1/ρ(3.52)

e

|bn| ≤ K(τ1 + ε)n

n!1/ρ, (3.53)

com τ1 = (ρτ)1/ρ, sao satisfeitas para todo n ∈ N. Mostraremos a seguir que isto esuficiente para garantir que h(z) = F (D)f(z) e uma funcao inteira.

De (3.46), temos

h(z) =∞∑n=0

anf(n)(z)

=∞∑n=0

an

∞∑m=0

bmm(m− 1) · · · (m− n+ 1)zm−n

=∞∑n=0

an

∞∑k=0

bn+k(n+ k)!

k!zk

Assumindo que os somatorios desta serie possam ser trocados de ordem, temos

|h(z)| ≤∞∑k=0

|z|k

k!1/ρ

∞∑n=0

|anbn+k| (n+ k)! ,

que em vista de (3.52) e (3.53) e limitada superiormente pela seguinte serie dupla

H(r) = K2

∞∑k=0

(τ1 + ε)k rk

k!

∞∑n=0

cn(n+ k

k

)1−1/ρ

, (3.54)

onde c = (τ1 + ε) (γ + ε) < 1 se ε for escolhido suficientemente pequeno e r = |z|. Seguedo teste de Weierstrass que h(z) e uniformemente convergente em cada disco Dr se H(r)for convergente para cada r ≥ 0. Note que as somas em h podem ser trocadas de ordem


sob esta condicao. Note ainda que a hipotese sobre a convergencia de H implica em h(z)ser uma funcao inteira.

Substituindo a estimativa

∞∑n=0

cn(n+ k

k

)1−1/ρ

≤∞∑n=0

cn(n+ k

k

)=

1

(1− c)k+1

em (3.54), obtemos

H(r) ≤ K2

1− c

∞∑k=0

1

k!1/ρ

((τ1 + ε)

1− cr

)k=

K2

1− cFρ

((τ1 + ε)

ρ1/ρ (1− c)r

)(3.55)

onde Fρ(z) e a funcao analıtica definida em (2.25) de tipo 1 da ordem ρ.A equacao (3.55) e uma estimativa para o crescimento do modulo da funcao inteira

h(z). Portanto h nao pode exceder o tipo normal

(τ1 + ε)ρ

ρ (1− c)ρ= τ

(1− γ (τρ)1/ρ

)−ρ(1 +O(ε))

da ordem ρ. E possivel melhorar a estimativa do tipo da funcao h, e obter (3.48), sefizermos uso em (3.54) do seguinte limite (veja Lema 16, pag. 91 de [S])

limn→∞

(∞∑n=0

cn(n+ k

k

)1−1/ρ)ρ/n

=(1− cρ/(ρ−1)

)1−ρ.

Concluimos com isso a prova do Teorema 3.32.�

Em particular, temos

Teorema 3.33 Seja F (z) e ϕ(z) funcoes da classe P ∗ tais que

F (z) = eγ1z2

F1(z) e ϕ(z) = eγ2z2

ϕ1(z) , (3.56)

com F1 e ϕ1 funcoes inteiras de genero 1 e γ1γ2 < 1/4. Entao F (D) e aplicavel a ϕ(z)com h(z) = F (D)ϕ(z) uma funcao inteira da classe P ∗.

Prova. Sustituindo γ, τ e ρ no Teorema 3.32, item 3, por (2γ1)1/2, γ2 e 2, respectivamente,obtemos que, se γ1γ2 < 1/4, a funcao inteira h(z) nao excede o tipo normal γ2 (1− 4γ1γ2)da ordem 2.

Note que o tipo γ da funcao G e determinado pela dupla aplicacao do Teorema 2.14.De (3.56), dado ε > 0, existem constantes C1 = C1(ε) e C2 = C2(ε), tais que

C1

(n/2)!(γ1 − ε)n/2 ≤ |an| ≤

C2

(n/2)!(γ1 + ε)n/2

3.5 A Classe HBn das Funcoes Inteiras de Hermite–Biehler 65

para n par. Substituindo em (3.47), obtemos o valor de γ pela equacao (2.32),

γ =1

2lim supn→∞

n

e|an|2/n = (2γ1)1/2.

Para mostrar que h(z) ∈ P ∗, devemos aproximar F (z) por polinomios de Jensen

In[F ](z) = a0 + a1z + a2

(1− 1

n

)z2 + · · ·+ an

(1− 1

n

)· · ·(

1− n− 1

n

)zn .

Claramente In[F ]f ∈ P ∗, e devido ao fato que F (z) e aplicavel a f(z) ∈ P ∗, segue queIn[F ]f e uniformemente convergente em cada regiao compacta, concluindo a prova doTeorema 3.33.

�

Observacao 3.34 Note que a condicao γ1γ2 < 1/4 nao pode ser melhorada. EscolhendoF1(z) = ϕ1(z) = 1 em (3.56), temos, pela formula de Rodrigues,

h(z) = e−γ1D2

e−γ2z2

= e−γ2z2∞∑n=0

(−γ1γ2)n

n!H2n(z) ,

onde Hk(z) e o k–esimo polinomio de Hermite. Fazendo z = 0, e tendo em vista queH2n(0) = (−1)n(2n)!/n!, vemos que, devido a formula de Stirling (3.51),

h(0) =∞∑n=0

(2n)!

(n!)2 (γ1γ2)n

diverge se γ1γ2 ≥ 1/4.

3.5 A Classe HBn das Funcoes Inteiras de Hermite–Biehler

Nesta secao, praticamente todos os resultados obtidos nas secoes anteriores serao esten-didos para a classe das funcoes inteiras HBn de Hermite–Biehler em Cn.

Evitando aqui descrever as estruturas gerais das funcoes analıticas em Cn, procura-remos sempre explorar as propriedades das funcoes inteiras a n variaveis que podem serdescritas fixando todas menos uma delas. Com isso, todas as nocoes introduzidas nassecoes anteriores podem ser aproveitadas. Em particular, descreveremos as condicoesnecessarias e suficientes para que uma funcao inteira f(z) pertenca a subclasse P ∗n dasfuncoes de HBn que sao aproximadas uniformemente por polinomios nas n variaveisz = (z1, . . . , zn) e cujas raızes se encontram no poli–semi–plano superior =mzj ≥ 0,j = 1, . . . , n. Estudaremos tambem as desigualdade majorantes e a preservacao destaspor certas transformacoes.


Notacao. Um elemento z do n–espaco dos numeros complexos Cn e uma n–upla z =(z1, . . . , zn), onde zj ∈ C, j = 1, . . . , n. Os elementos dos n–espacos Nn, Rn e etc., saodenotados de maneira analoga. O produto interno de dois elementos de um n–espacoe dado por (w, z) = w1z1 + · · · + wnzn; =m z = (=mz1, . . . ,=mzn) indica o vetorcom componentes formada pela parte imaginaria das componentes de z, com analogadefinicao para <e z; por w > 0 (w ≥ 0), queremos dizer que wj > 0 (wj ≥ 0) paratodo j; analogamente, se J = [Jij]

ni,j=1 representa uma matriz com entradas Jij, entao

J ≥ 0 denota uma matriz com todas entradas Jij ≥ 0. Uma funcao inteira f(z) de nvariaveis z1, . . . , zn, pode ser representada pela serie de potencia

f(z) =∑k∈Nn

ck zk , (3.57)

onde, usando a notacao em multi–ındices,

zk = zk11 · · · zknn .

A serie (3.57) converge para cada z pertencente ao poli–disco

DR = {z ∈ Cn : |zj| ≤ Rj, j = 1, . . . , n} ,

cujos raios Rj’s podem ser escolhidos arbitrariamente grandes. Um polinomios de ordemN e dado por

PN(z) =∑

k:‖k‖=N

ck zk , (3.58)

onde ‖k‖ = k1 + · · ·+kn indica a soma das componentes do vetor k = (k1, . . . , kn) ∈ N.

O comprimento do vetor z e escrito simplesmente como |z| = (z21 + · · ·+ z2

n)1/2

(normaEuclideana) e denotamos por |z|1 = |z1|+ · · ·+ |zn| e por |z|∞ = supj |zj| a norma 1 enorma sup em Cn.

A seguinte definicao estende as Definicoes 3.4 e 3.24.

Definicao 3.35 Uma funcao inteira f(z) e dita ser da classe HBn se nao tiver zerosno poli–semi–plano aberto =m z < 0 e satisfizer, para =m z < 0,8 a condicao

|f(z)| ≥ |f(zc)| , (3.59)

para cada vetor zc do conjunto

Cpx(z) = {(z1, z2, . . . , zn) , . . . , (z1, z2, . . . , zn) , (z1, z2, . . . , zn)} ,

de n + 1 vetores, obtido por conjugacao complexa de uma componente ou de todas ascomponentes de z.

8Note que a desigualdade |f(z)| ≤∣∣∣f(z)

∣∣∣ para =mz > 0 na Definicao 3.4 e equivalente a desigualdade |f(z)| ≤ |f(z)|para =mz > 0. Para isso, lembre que f(z) e definida a partir da serie de potencia de f(z) substituindo os coeficientescn = an + ibn de f por seus complexos conjugados cn = an − ibn.


Uma funcao ϕ(z) e dita ser um HBn–majorante de uma funcao inteira f(z) seϕ(z) ∈ HBn e se forem satisfeitas as desigualdades

|ϕ(z)| ≥ |f(z)| e |ϕ(z)| ≥ |f(zc)| (3.60)

para todo =m z < 0 e zc ∈ Cpx(z).

Note que se ϕ(z) e um HBn–majorante de f(z), entao ϕ(z) e um HB–majorante def(z) em cada variavel zj se =mzk < 0 para k 6= j. A seguir estenderemos o Teorema3.25.

Teorema 3.36 Para que a funcao

ϕυ(z) = f(z)− υϕ(z)

pertenca a classe HBn com υ ∈ C tal que |υ| ≥ 1, e necessario e suficiente que ϕ(z)seja um HBn–majorante da funcao inteira f(z).

Prova. Suponha que ϕυ(z) ∈ HBn. Entao ϕ(z) = limυ→∞

υ−1ϕυ(z) tambem pertence a

HBn. Por definicao, se =mzk < 0 para todo k 6= j, entao ϕυ(z) e da classe HB navariavel zj. Segue do Teorema 3.25 que ϕ(z) e um HB–majorante de f(z) em cada umavariavel zj, j = 1, . . . , n:

|ϕ(z1, . . . , zn)| ≥ |f(z1, . . . , zn)| e |ϕ(z1, . . . , zj, . . . , zn)| ≥ |f(z1, . . . , zj, . . . , zn)| .(3.61)

Segue ainda da Definicao 3.35

|f(z)− υϕ(z)| ≥∣∣f(z)− υϕ(z)

∣∣ ,para =m z < 0, que implica que a funcao ψ(z) = f(z)/ϕ(z) e limitada (veja prova doTeorema 3.25) ∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1 + 2 |υ|

nesta regiao com |ψ(z)| ≤ 1 para z ∈ Rn, devido a primeira equacao de (3.61). Apli-cando o Princıpio de Phragmen–Lindelof para ψ(z) no semi–plano inferior =mzk ≤ 0sucessivamente para cada k, mantendo fixa as demais componentes, obtemos∣∣∣∣f(z)

ϕ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1 , (3.62)

para =m z ≤ 0. Segue de (3.61) e (3.62) que ϕ(z) e um HBn–majorante de f(z).


Suponha agora que ϕ(z) e um HBn–majorante de f(z). Entao, para todo υ, com|υ| ≥ 1, ϕυ(z) nao se anula no semi–plano inferior =m z < 0 e satisfaz a seguintedesigualdade ∣∣∣∣ϕυ(z)

ϕυ(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f(z)− υϕ(z)

f(z)− υϕ(z)

∣∣∣∣≤ |f(z) /ϕ(z)− υϕ(z) /ϕ(z)|

|f(z) /ϕ(z)− υ|

≤ |υ|+ 1

|υ| − 1

(lembre que ϕ(z) ∈ HBn). Alem disso, em vista do Teorema 3.25, ϕυ(z) ∈ HB em cadavariavel zj. Como consequencia, ϕυ(z)/ϕυ(z) e limitada por (|υ|+ 1) / (|υ| − 1) para=m z < 0 e por 1 para z ∈ Rn. Segue do Teorema de Phragmen–Lindelof aplicado aϕυ(z)/ϕυ(z) como funcao de zj, para cada j,∣∣∣∣ϕυ(z)

ϕυ(z)

∣∣∣∣ ≤ 1

para |υ| ≥ 1 e =m z < 0, concluindo a prova do Teorema 3.36.�

A consequencia imediata mais importante deste teorema e a seguinte. Seja T umasubclasse de HBn e Γ um operador que mapeia a subclasse T nela mesma. Se ϕ(z) eum T –majorante de f(z), entao Γϕ(z) e um T –majorante de Γf(z).

Introduziremos a seguir a subclasse P ∗n das funcoes de Hermite–Biehler HBn aproxi-madas uniformemente por polinomios que nao se anulam no poli–semi–plano =m z < 0.Os assim denominados, daqui em diante, por Hn–polinomios desempenham um papelimportante na elaboracao da Teoria dos zeros de Lee–Yang.

Se P (z) e um Hn–polinomio, entao P (z) ∈ HBn. E instrutivo verificar esta afirmacao.Claramente P (z) pertence a HB em cada uma de suas variaveis zj se para as demaiscomponentes com k 6= j, =mzk < 0. Isto segue de maneira analoga a (3.18). Alemdisso, a funcao χ(z) = P (z)/P (z), para =mzj < 0, tende para um valor finito quandoas demais componentes tende para infinito, |zk| → ∞, k 6= j. Logo χ(z) e limitada em=m z < 0 com |χ(z)| ≤ 1 para =mzj < 0, zk = xk ∈ R, k 6= j. Para isso, note que∣∣∣∣P (z)

P (z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣P (x1, . . . , zj, . . . , xn)

P (x1, . . . , zj, . . . , xn)

∣∣∣∣ ,P (z) e um H–polinomio na variavel zj e portanto e da classe HB. Aplicando o Teoremade Phragmen–Lindelof como na prova do Teorema 3.36 concluimos que |χ(z)| ≤ 1 para=m z ≤ 0 e, por conseguinte, P ∈ HBn.

O produto de n H–polinomios P (z1)P (z2) · · ·P (zn) e evidentemente um Hn–polino-mio. Suponha que k1, k2, . . . , kn sejam o grau mais alto de cada variavel no polinomio


(3.58). Entao, a funcao racional

PN(z)

(z1 − iδ)k1 · · · (zn − iδ)kn,

com δ ≥ 0, e limitada para todo z ∈ Rn. Escolhendo M maior ou igual a supz∈Rn|PN(z)|

e usando o Princıpio de Phragmen–Lindelof para cada semi–plano inferior =mzk ≤ 0,o polinomio M (z1 − iδ)k1 · · · (zn − iδ)kn e um HBn–majorante de PN(z) e, devido aoTeorema 3.36,

QN(z) = M (z1 − iδ)k1 · · · (zn − iδ)kn − PN(z)

e um Hn–polinomio. Este procedimento de obtencao de um Hn–polinomio a partir deum majorante de um polinomios qualquer pode ser estendido para funcoes inteiras daclasse HBn.

Uma ultima observacao. Como um Hn–polinomios e tambem um H–polinomio emcada variavel zj, aplicando exatamente o mesmo procedimento que foi empregado em(3.45), conclui–se que a derivada parcial

∂jP (z) =

∂P

∂zj(z)

de um Hn–polinomio e tambem um Hn–polinomio. Alem disso, a classe de funcoes quesao limites uniformes de uma sequencia de Hn–polinomios e invariante por diferenciacaoparcial.

Definicao 3.37 A funcao inteira f(z) e dita pertencer a subclasse P ∗n de HBn se f(z) ∈P ∗ em cada zj fixando as demais variaveis no semi–plano inferior =mzk < 0, k 6= j.

Observacao 3.38 Segue do Teorema 3.36 que se ϕ(z) e um P ∗n–majorante de f(z),entao

ϕ(z) + f(z) ∈ HBn .

Em particular, ϕ(z) e um P ∗–majorante de f(z) em cada variavel zj contanto que=mzk < 0, k 6= j, e consequentemente ϕ(z) + f(z) ∈ P ∗ em cada variavel. Das De-finicoes 3.37 e 3.26, concluımos que ϕ(z) + f(z) ∈ P ∗n e P ∗n e uma classe admissıvel.

A subclasse P ∗n tem as mesmas caracterısticas de P ∗. Pode–se mostrar, seguindo osmesmos passos do Lema 3.28, que a condicao necessaria e suficiente para ϕ(z) ∈ P ∗n e

ϕ(z + ih) ∈ HBn,

para todo h > 0.

O seguinte generaliza o Teorema da Representacao 3.11 para a classe P ∗n . Veja tambemDefinicao 3.13 e Teorema 3.14.


Teorema 3.39 Para que uma funcao f(z) a n variaveis pertenca a classe P ∗n , e neces-sario e suficiente que f seja representavel na forma

f(z) = e−(γ,z2)ϕ(z) , (3.63)

com γ = (γ1, . . . , γn) ≥ 0 e ϕ(z) uma funcao da classe HBn de genero 1 em cadavariavel zj, mantendo fixas as demais zk, k 6= j, no semi–plano inferior =mzk < 0.

Prova. A condicao suficiente segue da propria definicao da classe P ∗n .Para a prova da condicao necessaria, usando o fato que f(z) e da classe P ∗ em cada

variavel zj, com =mzk < 0 se k 6= j, segue da representacao de uma funcao da classeHB que ωj(z) = ∂jf(z)/f(z) mapeia o semi–plano inferior =mzj < 0 no semi–planosuperior =mzj > 0. Entao o conjunto {ωj(z)} visto como funcoes de zj, para cada=mzk < 0 se k 6= j, forma uma famılia normal que, por sua vez, admite a decomposicao

ωj(z) = −2γj (z) zj + νj (z) + A+∞∑j=1

(1

zj − αj+ <e 1

αj

)com γj (z) ≥ 0. Aqui, denotamos por z = (z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zn) a (n − 1) –uplade numeros complexos. Alem disso, os zeros de f(z) como funcao de zj, αj = αj (z),

satisfazem∑j

|αj|−2 <∞.

Como{z−1j ωj(z)

}e uma famılia normal de funcoes de zj, segue que

limzj→−i∞

z−1j ωj(z) = −2γj (z)

converge uniformemente em cada regiao compacta de =mzk < 0, k 6= j, para umafuncao nao–positiva e holomorfica no multi–semi–plano inferior. Segue disso que γj euma constante concluindo a prova do Teorema 3.39.

�Para finalizar esta secao, estenderemos o Teorema de Laguerre–Polya para funcoes a

n variaveis. Para isso, vamos introduzir a seguinte

Definicao 3.40 Um operador K e contınuo, se para cada sequencia {fk(z)}∞k=1 defuncoes inteiras, uniformemente convergente em compactos de C, {Kfk(z)}∞k=1 e umasequencia de funcoes inteiras convergente no mesmo sentido.

Teorema 3.41 Todo operador contınuo K sobre funcoes inteiras de uma variavel, levafuncoes da classe P ∗n em funcoes da mesma classe.

Prova. Inicialmente, notamos que Kf(z), atuando na variavel zj, e uma funcao inteiraem Cn se f ∈ P ∗n . Note para isso, que f(z1, . . . , zk, . . . , zn) e um P ∗–majorante def(z1, . . . , zk, . . . , zn) na variavel zj para todo k 6= j. Portanto

f(z1, . . . , zk, . . . , zn) + f(z1, . . . , zk, . . . , zn) ∈ P ∗,


por continuidade, Kf(z1, . . . , zk, . . . , zn)+Kf(z1, . . . , zk, . . . , zn) ∈ P ∗ e isto implica queKf(z) e uma funcao inteira de zj para zk ∈ C, k 6= j.

Segue da continuidade de K que

∂Kf

∂zk(z) = lim

|h|→0

Kf(z1, . . . , zk + h, . . . , zn)−Kf(z1, . . . , zk, . . . , zn)

h

= K

(lim|h|→0

f(z1, . . . , zk + h, . . . , zn)− f(z1, . . . , zk, . . . , zn)

h

)= K

∂f

∂zk(z)

implicando que Kf(z) e uma funcao inteira em cada variaveis. Como f(z) e um P ∗n–majorante de f(zc), segue da continuidade de K que Kf(z) e um P ∗n–majorante deKf(zc) para todo zc ∈ Cpx, concluindo a prova do Teorema 3.41.

�

Teorema 3.42 Para que uma funcao f(z) a n variaveis seja aproximada uniforme-mente por Hn–polinomios, e necessario e suficiente que f(z) seja da classe P ∗n e, con-sequentemente, seja representavel por (3.63).

Prova. Vimos que um Hn–polinomio P (z) ∈ HBn. Assim, se f(z) e o limite de umasequencia uniformente convergente de Hn–polinomios, entao f(z) ∈ HBn e, devido aoTeorema 3.14 e Definicao 3.37, f(z) ∈ P ∗n .

Suponha agora que

f(z) =∑k∈Nn

ck zk

seja uma funcao da classe P ∗n . Aplicando o operador de Jensen Im = Im1 · · · Imn , comcada Imj atuando sobre a variavel zj, obtemos uma sequencia {Imf(z)} de polinomios

Imf(z) =∑k∈Nn:m−k≥0

ck

(1− 1

m1

)· · ·(

1− k1 − 1

m1

)· · ·(

1− 1

mn

)· · ·(

1− kn − 1

mn

)zk

de ordem M = m1 + · · · + mn, que converge uniformemente em cada regiao limitadade Cn para f(z). Isto conclui a prova do Teorema 3.42 pois, em vista do Teorema 3.41,esta sequencia e formada por Hn–polinomios.

�

4Teorema de Lee–Yang e suas Extensoes

No Capıtulo 3 vimos que a classe das funcoes inteiras HBn de Hermite–Biehler desempe-nham um papel fundamental na caracterizacao das funcoes inteiras de n variaveis cujoszeros localizam–se no poli–semi–plano superior =m z ≥ 0. Examinamos, em particular,as condicoes necessaria e suficientes para que uma funcao inteira f(z) pertenca a sub-classe P ∗n das funcoes de HBn que sao aproximadas uniformemente por polinomios nasn variaveis z = (z1, . . . , zn) e cujas raızes se encontram em =m z ≥ 0.

No presente Capıtulo, examinaremos como que esta descricao se encaixa na Teoriageral dos zeros de Lee-Yang. Veremos que uma subclasse de funcoes de P ∗n com zeros noeixo real podem ser escritas como a transformadas de Fourier

∫ei(s,z)dµn(s) de medidas

finitas µn em Rn, com paridade definida e que satisfazem a “propriedade de Lee–Yang”.Iniciaremos com uma breve revisao sobre o Teorema de Lee–Yang desde o trabalho

original dos autores ate a formulacao geral do Teorema. Em seguida, usaremos os resul-tados do Capıtilo anterior para provar um Teorema devido a Newman e outras extensoesdeste Teorema.

4.1 Breve Excursao ao Problema

Teorema de Lee–Yang descreve a ditribuicao dos zeros da funcao de particao de ferro-magnetos e gases de rede. Sua importancia reside no fato que as regioes livres de zerossao regioes de analiticidade das funcoes energia livre, pressao, densidade e outras gran-dezas macroscopicas. E difıcil, se nao impossıvel, pensar o desenvolvimento da teoriadas transicoes de fase nas ultimas quatro decadas sem a analise realizada por Lee–Yangnos artigos [LY1, LY2].

Segundo a caracterizacao mais tradicional, uma transicao de fase manifesta–se poruma singularidade em alguma funcao termodinamica que, de outra forma, seria real

74 4. Teorema de Lee–Yang e suas Extensoes

analıtica. Assim, para que uma transicao de fase ocorra, os zeros da funcao de particao,segundo Lee–Yang, devem invadir o eixo real Fısico no limite termodinamico. A regiaoocupada pelos zeros no plano complexo delimita as fases dos sistemas em questao.

Enunciaremos o Teorema para um sistemas de n variaveis de spins {sj}nj=1, sj ∈{−1/2, 1/2}, acopladas aos pares por uma interacao Jij ferromagnetica (Jij ≥ 0). Amatriz de interacao formada pelos acoplamentos sera denotada por J = [Jij]

ni,j=1 .

Notamos que todas as caracterısticas Fısicas do sistema estao contidas em J . Porexemplo, se o sistema consiste de uma estrutura regular cristalina, os atomos magneticosque ocupam os sıtios deste reticulado sao indexados pelo conjunto {1, 2, . . . , n} com Jija interacao Fısica associada a cada par de atomos (Jij = 0 se o par ij nao interagir).As caracterısticas desta estrutura atomica podem ser obtidas pela resposta do sistemaa acao de um campo magnetico externo h = {hi}ni=1.

De acordo com a prescricao de Boltzmann e Gibbs, as propriedades termodinamicasde um sistema com um numero de graus de liberdade da ordem do numero de Avogadro(1023mol−1) sao descritas pela distribuicao de probabilidade

µn =1

Ze−βHn , (4.1)

onde β e o inverso da temperatura, Hn a Hamiltoniana do sistema e Z a normalizacao.Associa–se a cada grandeza Fısica medida em laboratorio a esperanca (media) com res-peito a distribuicao µn de uma funcao g associada a esta grandeza, a qual sera denotadapor 〈g〉 ou Eg.

O conjunto dos spins s = {sj}nj=1 sao, deste ponto de vista, variaveis aleatorias dis-tribuıdas de acordo com a medida de Gibbs (4.1) cuja Hamiltoniana e dada por

Hn(s; J ,h) = −n∑

i,j=1

Jij sisj −n∑i=1

hi si . (4.2)

Note que o sinal negativo na Hamiltoniana faz com que a energia, com hi = 0, sejamas baixa se os spins s estiverem alinhados uns com os outros. Note ainda que quantomenor e a energia, tanto maior e o valor da medida (4.1) associada a configuracao s.Por favorecer o alinhamento dos spins, a Hamiltoniana (4.2) e dita ser ferromagnetica.

A normalizacao Z = Z(J ,h) da distribuicao de probabilidade (4.1) para sistema despins e denominada funcao de particao

Z(J ,h) =∑s

e−βHn(s;J ,h) . (4.3)

A partir desta pode–se obter a energia livre tomando o logarıtmo

fn(J ,h) = − 1

βnlnZ(J ,h) . (4.4)

4.1 Breve Excursao ao Problema 75

Note que os coeficientes Ck da serie de Taylor de lnZ(J ,h) em torno de h = 0,sao os cumulantes de (4.1)1. Esta coneccao ja justificaria o estudo das propriedadesanalıticas de Z(J ,h). Entretanto, como enfatizado por Lee–Yang, pode–se ir ainda

alem. E possıvel calcular a magnetizacao media do sistema

mn(J ,h) =

⟨1

n

n∑j=1

sj

⟩,

e outras funcoes termodinamicas, a partir da distribuicao dos zeros da funcao de particao.Exceto para o modelo de Ising unidimensional com interacao entre vizinhos mais proximos,este tipo de informacao detalhada tem se mostrado inatingıvel. Porem, como veremos aseguir, a regiao de C onde os zeros de Z se localizam pode ser determinada com exatidao.

Substituido sj na equacao (3.54) por 1/2− sj ∈ {0, 1}, a Hamiltoniana resultante

H1n(s; J ,h) = −

n∑i,j=1

Jij (1/2− si) (1/2− sj)−n∑i=1

hi (1/2− si) (4.5)

descreve um gas de rede com interacao entre pares atrativa. Note que (4.2) difere de (4.5)

apenas pela substituicao de hj por h′j = −1

2

n∑i=1

(Jij + Jji) − hj e por uma constante

aditiva. Neste texto, faremos uso de ambas interpretacoes segundo a conveniencia. Opotencial quımico hj, usualmente denotado por µj, mede o custo energetico de ocuparo sıtio j por uma partıcula.

A funcao de particao (4.3) pode ser escrita como

Z = exp

{β

(1

4

n∑i,j=1

Jij +1

2

n∑i=1

hi

)}Qn(ω) , (4.6)

ondeQn(ω) =

∑A⊆{1,...,n}

cA,Ac ωA . (4.7)

e um polinomio de ordem n em ω = (ω1, . . . , ωn), linear em cada componente ωj = e−βhj .

A soma em (4.7) percorre todos subconjuntos A de {1, . . . , n}, ωA =∏j∈A

ωj e

cA,B =∏

i∈A,j∈B

ρij , (4.8)

1O segundo cumulante, por exemplo, e dado por

E (si − Esi) (sj − Esj) =1

2

∂2 lnZ

∂hi∂hj(J ,0) .


com Ac denotando o conjunto complementar de A com respeito a {1, . . . , n} e ρij =e−βJij/2.

Note que, devido a forma (4.8), Qn(ω) satisfaz a propriedade

Qn(ω) =

(n∏j=1

ωj

)Qn(1/ω) , (4.9)

se J for simetrica (Jij = Jji).Em 1952, T. D. Lee e C. N. Yang formularam o seguinte

Teorema 4.1 Seja ρ = [ρij]ni,j=1 uma matriz simetrica tal que |ρij| ≤ 1, i, j = 1, . . . , n.

Entao todas as raızes do polinomio

Pn(ω) = Qn(ω, . . . , ω)

estao sobre o cırculo unitario do plano complexo.

A demonstracao do Teorema de Lee–Yang segue imediatamente do seguinte

Lema 4.2 Para que ω, com |ωj| ≥ 1, j 6= k, seja uma raız do polinomio (4.7), isto eQn(ω) = 0, ωk deve necessariamente ser tal que |ωk| ≤ 1.2

Prova. A prova do Lema 4.2 por Lee–Yang foi em seguida clarificada por Asano[A] combase no princıpio da contracao de polinomios (veja tambem [R]).

Considere dois polinomios Q1r(ω1) e Q2

s(ω2) da forma (4.7) e suponha que o Lema4.2 seja satisfeito para ambos. Entao o produto Q1,2

r+s(ω1,ω2) = Q1r(ω1) · Q2

s(ω2) e umpolinomio da forma (4.7) satisfazendo o Lema 4.2.

Temos

Q1,2r+s(ω1,ω2) = (a+ bωk) (c+ dω′k)

= A+Bωk + Cω′k +Dωkω′k , (4.10)

onde ωk e ω′k sao respectivamente componentes de ω1 e ω2 e A, B, C e D sao polinomiosda forma (4.7) nas demais variaveis ω.

Por hipotese, tomando todas as componentes de ω tais que |ωj| ≥ 1, Q1,2r+s 6= 0 implica

em ∣∣∣ab

∣∣∣ > 1 e∣∣∣ cd

∣∣∣ > 1 . (4.11)

SejaQr+s−1(ω, ωk) = A+Dωk (4.12)

a contracao dos polinomios Q1r e Q2

s e verifiquemos que Qr+s−1 e da forma (4.7) e satisfazo Lema 4.2. De fato, Qr+s−1(ω, ωk) 6= 0 com ωj tal que |ωj| ≥ 1 para toda componentede ω implica, em vista de (4.10) e (4.11),∣∣∣∣AD

∣∣∣∣ =∣∣∣ab

∣∣∣ ∣∣∣ cd

∣∣∣ > 1 .

2Devido a propriedade (4.9), o Lema e valido se ω for substituıdo por 1/ω.


Portanto Qr+s−1(ω, ωk) = 0 somente se |ωk| = |A/D| ≤ 1.Lema 4.2 e provado construtivamente. Qualquer polinomio da forma (4.7) pode ser

obtido contraindo os polinomios de grau 2, Q2 (ωi, ωj) = 1 + ρijωi + ρjiωj +ωiωj, com ijvariando sobre todos os pares. Por contracao entendemos sempre a operacao entre doispolinomios definidas pelas equacoes (4.10) e (4.12). Note que, Q2 (ωi, ωj) = 0 estabeleceuma transformacao homografica involutiva (ρij = ρji = ρ)

ωj = −1 + ρωiρ+ ωi

cujos pontos fixos −ρ±i√

1− ρ2 se encontram no cırculo unitario se |ρ| ≤ 1. Escrevendoωi = reiϕ, temos

|ωj|2 =1 + ρ2r2 + 2ρr cosϕ

ρ2 + r2 + 2ρr cosϕ.

que e uma funcao monotona decrescente em r com |ωj|2 = 1 se r = |ωi| = 1. LogoQ2 (ωi, ωj) = 0 e |ωi| ≥ 1 implica |ωj| ≤ 1 e, portanto, satisfaz o Lema 4.2.

Para finalizar, ilustraremos o procedimento de contracao para n = 3. A contracao dospolinomios

Q2 (ω1, ω2) = 1 + ρ12ω1 + (ρ21 + ω1)ω2

eQ2 (ω′2, ω3) = 1 + ρ32ω3 + (ρ23 + ω3)ω′2

e dada por

Q (ω1, ω2, ω3) = (1 + ρ12ω1) (1 + ρ32ω3) + (ρ21 + ω1) (ρ23 + ω3)ω2

= (1 + ρ21ρ23ω2) + (ρ12 + ρ23ω2)ω1

+ {(ρ32 + ρ21ω2) + (ρ32ρ12 + ω2)ω1}ω3 .

Contraindo este polinomio com

Q2 (ω′1, ω′3) = 1 + ρ13ω

′1 + (ρ31 + ω′1)ω′3 ,

primeiramente na variavel ω3, seguida da contracao dos polinomios interiores na variavelω1, obtemos

Q3 (ω1, ω2, ω3) = (1 + ρ21ρ23ω2) + ρ13 (ρ12 + ρ23ω2)ω1

+ {ρ31 (ρ32 + ρ21ω2) + (ρ32ρ12 + ω2)ω1}ω3

que coincide com Q3 em (4.7). Omitiremos nesta tese a prova indutiva do caso geral.�

Observacao 4.3 A condicao |ρij| ≤ 1 e satisfeita se Jij ≥ 0. O Teorema 4.1 implicaque a energia livre f(J , h, . . . , h) e uma funcao analıtica do campo magnetico externoh. A funcao e regular em <e h 6= 0, passando esta propriedade no limite termodinamicon → ∞, caso este exista. Uma singularidade Fısica (transicao de fase) somente podeocorrer se h = 0.


Observacao 4.4 Afim de aplicar a analise desenvolvida nos Capıtulos anteriores, tomaremos zj = −iβhj/2 ou, equivalentemente,

ωj = e−2izj .

Em termos destas variaveis, as raızes do polinomio ficam sobre o eixo real. Note quewn(z) = Qn(e−2iz1 , . . . , e−2izn) e uma funcao inteira, periodica em cada variavel xj =<e zj. Note ainda que o Lemma 4.2 e equivalente a afirmacao de que a funcao wn(z)nao se anula no multi–semi–plano =m z > 0. A funcao wn(z) tambem nao se anula nomulti–semi–plano inferior =m z < 0, pela simetria (4.9) desta funcao. Logo os zeros dewn(z) se encontram sobre o eixo real. Como wn e uma funcao inteira do tipo exponencialem cada variavel zj, segue que wn(z) pertence a classe HB de Hermite–Biehler em zje, consequentemente, wn(z) e da classe P ∗n .

Com vistas em generalizar o Teorema 4.1 para uma classe mais ampla de modelosferromagneticos, e conveniente reescrever a funcao de particao Z, dada por (4.6), naforma

Wn(ζ) =∑

A⊆{1,...,n}

(cA,Ac

cA cAc

)1/2

ζA ζ−Ac

. (4.13)

onde ζ = (ζ1, . . . , ζn), ζj = eβhj/2 = eizj , com ζ−B =∏

j∈B ζ−1j , cA,B como em (4.8) e

cB = cB,B.Denotando por

ϑj = ζj∂

∂ζj=

1

i

∂

∂zj(4.14)

o operador de derivacao parcial em ζj seguido da multiplicacao por ζj, e usando a relacao

ϑjζαj = αζαj ,

com α ∈ R, temos

eKijϑiϑj ζi ζ−1j =

{1 +Kijϑiϑj + · · ·+ 1

n!Knijϑ

ni ϑ

nj + · · ·

}ζi ζ−1j

=

{1−Kij + · · ·+ (−1)n

n!Knij + · · ·

}ζi ζ−1j

= e−Kij ζi ζ−1j

e, analogamente,

ζ−1i ζ−1

j eKijϑiϑj ζi ζj = ζi ζjeKijϑiϑj ζ−1

i ζ−1j = eKij .


De onde segue

Wn(ζ) =∑

A⊆{1,...,n}

∏i,j∈{1,...,n}

exp

{β

4Jijϑiϑj

}ζA ζ−A

c

=∏

i,j∈{1,...,n}

exp

{β

4Jijϑiϑj

} ∑A⊆{1,...,n}

ζA ζ−Ac

= exp

{β

4(ϑ,Jϑ)

} n∏j=1

(ζj + ζ−1

j

)

com (ϑ,ϕ) =n∑j=1

ϑjϕj.

Finalmente, em termos das variaveis zj, a funcao de particao Z pode ser escrita como

Zβ(z) = exp

{−β

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)}Z0(z) , (4.15)

onde Z0 e o produto de funcoes caracterısticas da distribuicao de Bernoulli dν0(u) =[δ(u− 1) + δ(u+ 1)] du:3

Z0(z) =n∏j=1

∫eiuzjdν0(u) . (4.16)

No final dos anos 60 e comeco dos 70, apareceram as primeiras extensoes do Teoremade Lee-Yang. Ferromagnetos de spin semi–inteiro sj ∈ {−S/2, . . . , S/2− 1, S/2}, com S≤ 3, foram tratados por Suzuki [Su] e, com S arbitrario, por Griffiths [G]. Em seguida,Suzuki e Fisher [SF] estenderam o Teorema de maneira a incluir interacao de quatrocorpos, modelos com spin quantico de Heisenberg, modelos de gelo e ferroeletricos.Inicia–se, a partir de entao, o interesse em classificar os polinomios para os quais apropriedade enunciada no Lema 4.2 e satisfeita, denominada em [SF] Classe de Lee–Yang. Modelos de Heisenberg foram igualmente tratados por Asano [A], Ruelle [R],e muitos outros. E interessante notar que nenhum destes menciona a classificacao deHermite–Biehler apresentada no Capıtulo anterior.

Nesta tese, serao consideradas essencialmente dois tipos de extensoes. A primeirainclui os modelos de Ising generalizados definidos a partir de um conjunto P de medidasν em R tais que sua funcao caracterıstica

ϕν(z) =

∫eiuzdν(u) (4.17)

seja uma funcao inteira da classe P ∗. Note que a distribuicao de Bernoulli ν0, assimcomo a distribuicao “a priori” dos ferromagnetos com spin semi–inteiro, satisfaz este

3A “funcao” delta de Dirac δ(x) e definida como funcional linear δ que associa a cada funcao ϕ : R→R infinitamente

suave, de suporte compacto, o valor

∫δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).


requisito. Medidas absolutamente contınuas tais que∫ebu

2

d |ν(u)| <∞ ,

para todo b ≥ 0, estao tambem incluıdas neste conjunto. Daremos uma definicao maisprecisa de P na secao seguinte.

A segunda extensao desta tese, consiste em considerar ferromagnetos com spin s =(s1, . . . , sN

)com N componentes. Exemplos desta famılia incluem o rotor plano N = 2

e modelo de Heisenberg classico N = 3. A medida “a priori” de ambos e da forma

dν (u) = δ (|u| − 1) dNu ,

isto e, a medida uniforme sobre a esfera unitaria em RN . Vamos aqui considerar umafamılia de modelos N–vetoriais cuja funcao caracterıstica da medida “a priori” ν em RN

pertenca, apos uma mudanca de variaveis seguida de uma continuacao analıtica, a classeP ∗N . Note que na funcao de particao (4.15) para esta famılia J deve ser substituıdapelo produto de Kronecker J ⊗K de J por uma matriz N ×N , K, a ser especificadana Secao 4.4. Da mesma forma, o produto escalar e apropriadamente modificado4

(ϑ, (J ⊗K)ϑ) =n∑

i,j=1

Jij ϑi ·Kϑj

=n∑

i,j=1

N∑k,l=1

JijKklϑki ϑ

lj

onde ϑi =(ϑ1i , . . . , ϑ

Ni

)e ϑ = (ϑ1, . . . ,ϑn) denotam um vetor em CN e em Cn ⊗ CN ,

respectivamente.Para finalizar a lista das extensoes, serao consideradas tambem cadeias de Heisenberg

ja que estas podem ser representadas, usando a formula de Trotter (veja, por exemplo,[RS]), por um ferromagneto com spin semi–inteiro. A extensao do Teorema de Lee–Yangdesenvolvida nesta tese pode ainda ser aplicada a sistemas de spin quantico em geralse estes forem dominados por modelos N–vetoriais como e feito no Teorema devido aLieb[Li] (para uma aplicacao deste Teorema aos zeros de Lee–Yang, veja [DN]).

4.2 Teorema de Lee–Yang Generalizado

O Teorema de Lee–Yang foi estendido por Griffiths [G] para modelos com spin arbitrario.Em seguida, sob a influencia da Teoria Construtiva Quantica de Campos, Simon eGriffiths [SG] o estenderam para a distribuicao “a priori” de spin ν da forma e−ax

4+bx2+c,

4Denotamos o produto interno em RN por x · y =N∑i=1

xi yj .

4.2 Teorema de Lee–Yang Generalizado 81

com a > 0. Na decada de 70, metodos desenvolvidos em Mecanica Estatıstica eramaplicados a Teoria de Campos e o mesmo acontecendo na direcao reversa. O intercambioentre estas duas areas foi muito profıcuo para a Fısica–Matematica praticada naquelesanos.

E desta epoca a formulacao mais intrigante do Teorema de Lee–Yang. Segundo New-man [N], a condicao necessaria e suficiente para que o Teorema de Lee–Yang seja validopara a funcao de particao (4.15) com β > 0 e J ≥ 0, e que seja valido para funcao departicao (4.16) com β = 0 (ou J ≡ 0).

Na linguagem do Capıtulo 3, o conteudo do Teorema de Newman pode ser expresso

pela seguinte frase: exp

{−β

4(ϑ,Jϑ)

}e um Γ∗–operador em P ∗n (veja Observacao

3.31).As seguintes definicoes foram introduzidas por Newman.

Definicao 4.5 Dizemos que um conjunto L de medidas ν em R tem a Propriedade deLee–Yang se, para cada inteiro n, cada escolha de medidas ν1, . . . , νn em L , e para cadaescolha da matriz J ≥ 0, as seguintes condicoes sao satisfeitas:

1.

µn(u) = exp {(u,Ju)}n∏j=1

νj(uj) (4.18)

e uma medida totalmente finita;

2.

Zn(z) = exp {(ϑ,Jϑ)}n∏j=1

ϕνj(zj) 6= 0

se =m z < 0, onde ϕνj e a funcao caracterıstica de νj e ϑ = (ϑ1, . . . , ϑn), comϑj = −i (∂/∂zj) .

Uma unica medida ν tem a propriedade de Lee–Yang se ν pertencer ao conjunto Lque a tem.

A seguir, vamos reservar L para denotar o conjunto de todas as medidas com apropriedade de Lee–Yang.

Definicao 4.6 Denotamos por N o conjunto de medidas em R, com paridade definida(ν(−u) = ν(u) ou ν(−u) = −ν(u)) satisfazendo:

A. ∫ebu

2

d |ν(u)| <∞ , (4.19)

para todo b ≥ 0;

B. a funcao caracterıstica de ν, ϕν 6= 0 se =m z < 0.


Note que para aceitar medidas com paridade impar, a propriedade de Lee–Yang naorequer que ν seja positiva.

Observacao 4.7 A condicao (4.19) implica em que ϕν e uma funcao inteira real (ouimaginaria) de mınimo tipo da ordem 2. Note para isso,

|ϕν(z)| ≤∫e−u=mze−bu

2

ebu2

d |ν(u)|

≤ C

∫e−u=mze−bu

2

du

≤ C ′ e| z|2/4b , (4.20)

com 1/b podendo ser tomado tao pequeno quanto se queira.Devido a simetria de ν,

ϕν(z) = ϕν(−z) =

∫e−iuzdν(u) =

∫eiuzdν(−u) = ±ϕν(z) ,

e ϕν(z) 6= 0 para =m z < 0 se a condicao B. for satisfeita. Os zeros desta funcao estaosobre o eixo real e, pelo teorema da representacao,∣∣∣∣ϕν(z)

ϕν(z)

∣∣∣∣ = 1 .

Logo, ϕν(z) ∈ HB. Devido a definicao (3.13) e equacao (4.20), ϕν(z) e uma funcaointeira da subclasse P ∗ que nao excede o mınimo tipo da ordem 2.5

Em termos destas definicoes, o Teorema de Lee–Yang resume–se ao seguinte enunci-ado:

Teorema 4.8 a medida de Bernoulli ν0, tem a propriedade de Lee–Yang (ν0 ∈ L ).

Note que ν0 tambem pertence a famılia N . A generalizacao de Newman consiste em

Teorema 4.9 A famılia de medidas N tem a propriedade de Lee-Yang (N ⊂ L ).

Os itens A. e B. da Definicao 4.6 sao necessarios para que uma medida ν tenha apropriedade de Lee–Yang, bastando para isso tomar n = 1 na Definicao 4.5. Por conse-guinte, a demosntracao do Teorema de Newman se reduz a provar que estas condicoessao tambem suficientes. Newman [N] mostrou a suficiencia destas condicoes supondo aparidade da medida ν. Seu metodo consiste em usar aproximantes de tipo Ising para osmodelos de Ising generalizados.

Provaremos este teorema usando os resultados dos capıtulos anteriores. Para issovamos extender a definicao de N .

5Se na definicao de N a equacao (4.19) for valida para algum b > 0, ϕν(z) e uma funcao inteira do tipo normal daordem 2, pertencente a subclasse P ∗, pela Definicao (3.13).

4.2 Teorema de Lee–Yang Generalizado 83

Definicao 4.10 Dizemos que uma medida ν em R pertence a famılia P se sua funcaocaracterıstica ϕν(z) ∈ P ∗.

Note que N ⊂ P, de acordo com a Observacao 4.7. Desta forma, para provar oTeorema 4.9, basta mostrar que exp {(ϑ,Jϑ)} e um Γ–operador. Mais precisamente,

Teorema 4.11 Para cada inteiro n, cada escolha de funcoes inteiras ϕ1, . . . , ϕn daclasse P ∗, e para cada escolha da matriz J ≥ 0 tal que

‖DJ ‖ < 1

4, (4.21)

onde D = diag {τj} com τj o tipo da funcao ϕj, temos

Zn(z) = exp {(ϑ,Jϑ)}n∏j=1

ϕj(zj) ∈ P ∗n . (4.22)

Esta maneira de interpretar o Teorema de Newman na forma diferencial foi propostapor Lieb e Sokal em [LS]. Curiosamente, neste texto nao ha mencao da classe das funcoesinteiras de Hermite–Biehler, muito embora conste em sua lista de referencias o excelentelivro de Levin [L] que trata sobre este assunto. Por este motivo, sendo a Proposicao 2.1e 2.2, a qual se baseiam para generalizar o Teorema de Newman, mais rudimentar que aTeoria desenvolvida no Capıtulo 3, a versao do Teorema de Lee–Yang apresentada porestes autores e, nesta tese, generalizada ainda mais.

Prova do Teorema 4.11. A prova que daremos e baseada no Apendice A da referencia[LS] e usa inducao matematica. Sem perda de generalidade, consideremos J uma matrizcom diagonal nula (Jii = 0, ∀i)6. Vamos ainda assumir que ϕj seja de mınimo tipo daordem 2 (γ = 0 na Definicao 3.13 e expoente de convergencia do produto canonicoσ < 2). Tanto o Teorema de Newman como o Teorema de Lee–Yang classico admitemesta condicao que, posteriormente, sera removida.

Por hipotese, para n = 1, ϕ1(z) ∈ P ∗. Vamos agora assumir que a equacao (4.22) sejaverdadeira para n− 1. Entao, usando sucessivamente a identidade

ecd/dzg(z) = g(z + c) ,

temos

Zn(z1, . . . , zn) = exp

{2n−1∑i=1

Jinϑnϑi

}Zn−1(z1, . . . , zn−1)ϕn(zn)

= W n−1(iϑn)ϕn(zn) (4.23)

6O termo diagonal pode ser absorvido na medida ν:

e−J∂2/∂z2ϕν(z) = ϕν(z) ,

onde ν(x) = eJz2ν(x), devido a hipotese (4.19).


onde, para cada (z1, . . . , zn−1) ∈ Cn−1,

W n−1(z) = Zn−1(z1 −K1z, . . . , zn−1 −Kn−1z)

e uma funcao inteira de mınimo tipo da ordem 2 e Kj = 2Jjn. Note para isso que, devidoas Definicoes 3.13 e 3.37, Zn−1 (z1, . . . , zn−1) e uma funcao de genero 1 em cada variavel.

Logo, pelo Teorema 3.32, W n−1(iϑn) = W n−1(∂/∂zn) e um operador aplicavel eZn(z1, . . . , zn) e uma funcao inteira em zn que nao excede o mınimo tipo da ordem2.

Resta ainda mostrar que Zn(z1, . . . , zn) e da classe P ∗n que nao excede o mınimo tipoda ordem 2 em cada variavel.

Primeiramente, observemos que W n−1(−z) = Zn−1(z1+K1z, . . . , zn−1+Kn−1z) e umafuncao da classe P ∗ na variavel z para cada (z1, . . . , zn−1) ∈ Cn−1 tal que =mzj < 0 eKj ≥ 0, j = 1, . . . , n−1, . Note para isso que W n−1(−z) nao se anula em =mz < 0 pois=m (zj +Kjz) < 0 para j = 1, . . . , n − 1, sob estas condicoes, e Zn−1(ω) nao se anulapara =mω < 0, por hipotese. Note ainda∣∣∣∣W n−1(−z)

W n−1(−z)

∣∣∣∣ ≤ 1 ,

devido a monotonicidade em =mz da funcao |W n−1(−z)| (veja prova do Teorema 3.28):∣∣Zn−1(z1 +K1z, . . . , zn−1 +Kn−1z)∣∣ ≥ ∣∣Zn−1(z1 +K1z, . . . , zn−1 +Kn−1z)

∣∣ .Segue que W n−1(−z) ∈ HB e, por conseguinte, W n−1(−z) ∈ P ∗.

Convem enfatizar que estas propriedades sao validas somente se Kj = 2Jjn ≥ 0,j = 1, . . . , n− 1. Consequentemente, por inducao em n e por simetria, e essencial parademonstracao do teorema que J ≥ 0.

Como W n−1(−z) ∈ P ∗ segue da Observacao 3.31 que Zn = W n−1(∂/∂zn)ϕn(zn) ∈ P ∗se =mzj < 0, j 6= n. Alem disso, Zn(z) nao se anula em =m z < 0. Para demonstrarque Zn(z) e da classe P ∗n e, portanto, da classe P ∗ nas variaveis zi com i 6= n, bastausar o Teorema 3.41.

Isso conclui demonstracao do Teorema 4.11 no caso em que ϕj e uma funcao inteirada classe P ∗ que nao excede o mınimo tipo da ordem 2.

Para estender este resultado para funcoes ϕj ∈ P ∗ quaisquer, devemos aplicar umresultado analogo ao Teorema 3.33 nos lugares correspondentes. Se τj denota o tipoda funcao ϕj de ordem 2, entao o Teorema 4.11 e valido somente se J for tal queJ ≥ 0 e (4.21) for satisfeita. A demonstracao desta ultima relacao sera postergadapara a proxima secao.

�

Observacao 4.12

1. Na Secao 4.5 a seguir, provaremos o Teorema 4.11 de forma mais elegante usandoo fato que P ∗n e a mais ampla classe de majorantes que preserva a relacao por dife-renciacao parcial. Veremos que o majorante formado pelo modelo de campo medio

4.3 Funcao de Particao Majorante e Desigualdades de Correlacao 85

associado a cada Ising generalizado garante a existencia da solucao da equacaoa derivadas parciais correpondente. Este fato sera estendido para os modelos deIsing generalizados a N componentes.

2. A condicao (4.21) e o refinamento que generaliza o Teorema 3.2 e o Corolario 3.3de Lieb–Sokal [LS]. Os autores consideram a classe de funcoes inteiras A n

a+ quenao excedem o tipo a da ordem 2 em cada componente. Isso elimina toda possibi-lidade de distinguir o crescimento em cada variavel como fizemos ao considerar aclasse P ∗n .

Para estabelecer a relacao do Teorema 4.11 com os modelos de Ising generalizados,e estender o Teorema de Newman 4.9, resta mostrar que cada medida ν ∈ P satisfaz(4.19) para algum b > 0. Isto e, a condicao A. na Definicao 4.6 alem de suficiente enecessaria para que ν ∈P.

Resta ainda examinar se a relacao entre P e P ∗ estabelecida pela transformada deFourier e um–para–um. Ambas questoes permanecerao sem resposta na presente tese.Observamos que Lema 2.8 em [LS] responde parcialmente esta ultima questao (vejatambem [T]).

4.3 Funcao de Particao Majorante e Desigualdades de Correlacao

O Teorema de Newman, demonstrado na Secao 4.2 em sua forma mais geral, insereo Teorema de Lee–Yang em um contexto mais amplo. Nesta secao, o Teorema fortede Lee–Yang demonstrado por Newman [N] para modelos de Ising generalizados serarevisitado no contexto das funcoes inteiras da classe P ∗n . O Teorema forte de Lee–Yangpermite estender para o plano complexo algumas desigualdades de correlacao validaspara ferromagnetos.

Nesta secao ainda obteremos explicitamente um majorante para a funcao de particaodos modelos de Ising generalizados cuja transformada de Fourier e uma medida Gaus-siana. Este fato tem um papel importante na dominacao Gaussiana das mediadas deequilıbrio de ferromagnetos e gases de rede, tambem conhecida por desigualdades deCampo Medio.

O desenvolvimento a seguir insere a analise dos zeros da funcao de particao no contextodas equacoes diferencias parciais do tipo parabolico em R+ × Cn.

Seja ν1, . . . , νn um conjunto de medidas em L com funcao caracterıstica ϕj, j =1, . . . , n, e seja µnt a medida de equilıbrio (4.18) de um sistema de spin com matrix deacoplamento J substituıda por tJ /4 . Denote por

Zt(z) =

∫ei(z,s)dµnt (s)

sua funcao de particao (funcao caracterıstica de µnt ).De acordo com o Teorema de Newman 4.9,

Zt(z) 6= 0


para =m z < 0 e todo t ≥ 0. Da condicao que µnt e uma medida finita, segue

Zt(z) = exp

{− t

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)}Z0(z) (4.24)

onde Z0(z) =∏

j ϕj(zj) e a funcao de particao do sistema desacoplado.Teorema 4.11 estende este resultado para classe das funcoes inteiras de Hermite–

Biehler: Zt(z) dado por (4.24) pertence a classe P ∗n para todo t ≥ 0 se ϕj ∈ P ∗ for umafuncao inteira de mınimo tipo da ordem 2 para cada j.

Em outras palavras, o problema de valores inicial dado pela equacao a derivadasparciais

∂Zt∂t

+1

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)Zt = 0 (4.25)

possui uma solucao Zt em P ∗n para todo t ≥ 0 se a condicao inicial Z0(z) =∏

j ϕj(zj)satisfizer as condicoes anteriores.

Nosso objetivo agora sera obter um Majorante da funcao de particao Zt no caso emque cada ϕj ∈ P ∗ for representado por

ϕj(z) = e−γjz2

Φj(z)

com γj ≥ 0 e Φj(z) uma funcao inteira de genero 1. Lembre que, pela Definicao 3.13 eTeorema 3.14, esta e a condicao necessaria e suficiente para que ϕj(z) seja uma funcaointeira da classe P ∗.

Considere a sequencia de Gaussinas ψj(z) = e−σjz2

com σj > γj para cada j tal que

|ϕj(z)| ≤ |ψj(z)| e |ϕj(z)| ≤ |ψj(z)| , (4.26)

e seja G0(z) =∏

j ψj(zj).7 Claramente, G0(z) e um P ∗n–majorante de Z0 (veja Definicao

3.35).A solucao Gt(z) da equacao (4.25) sujeita a condicao inicial G0(z) pode ser obtida

por uma integracao Gaussiana. Note que ψj(z) e a funcao caracterıstica da medida de

probabilidade Gaussiana ρj(s) = (4πσj)−1/2 e−s

2/(4σj). Se D = diag {σ1, . . . , σn} denotaa matriz diagonal n× n com entradas σj, entao

Gt(z) = exp

{− t

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)}G0(z)

=

∫Rnei(z,s) e−(s,(D−1−tJ )s)/4

n∏j=1

dsj√4πσj

=1

det1/2 (I − tDJ )exp

{−(z,D (I − tDJ )−1 z

)}(4.27a)

7Equacao (4.26) e sempre satisfeita a menos de um fator constante que pode ser absorvido na definicao de Zn0 . Semperda de generalidade, vamos assumir esta constante igual a 1.


para todo t tal quet ‖DJ ‖ < 1. (4.28)

Se A for uma matriz real n × n e σ (A ) denotar o conjunto de seus autovalores(espectro de A ), a norma de A e dada por uma das seguintes definicoes equivalentes

‖A ‖ = supx∈Rn

‖A x‖‖x‖

= supx∈Rn

(x,A x)

(x,x)

= supλ∈σ(A )

|λ| . (4.29)

Note que, pelo Teorema de Gersgorin [LT], o espectro de uma matriz A = [aij] seencontra no interior da regiao formada pelos discos de Gersgorin

Dri(aii) = {z ∈ C : |z − aii| ≤ ri}

centrados em aii e com raio ri =∑j 6=i

|aij|:

σ (A ) ⊂⋃i

Dri(aii) .

Usando este resultado e a definicao (4.29),

t supiσi∑j

Jij < 1 , (4.30)

e uma condicao suficiente para que (4.28) seja satisfeita. Mais adiante identificaremost com o inverso da temperatura β do sistema de spin. Como veremos, equacao (4.30)determina uma estimativa de campo medio para a temperatura crıtica do sistema despin.

Teorema 4.13 A funcao inteira Gt(z) dada por (4.27a) e um P ∗n–majorante da funcaode particao Zt(z) para todo t satisfazendo (4.28):

|Gt(z)| ≥ |Zt(z))| e |Gt(z)| ≥ |Zt(zc)| (4.31)

para todo =m z < 0 e zc ∈ Cpx(z).

Prova. Como G0(z) e um P ∗n–majorante de Z0(z), basta provar que o operador

exp

{− t

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)}e um Γ∗–operador em P ∗n , isto e, preserva a relacao de ma-

joracao (4.31) por sua aplicacao.Vimos no Teorema 3.42 que a condicao necessaria e suficiente para que uma funcao

pertenca a P ∗n e que seja aproximada por Hn–polinomios. Isto e feito aplicando operador


de Jensen Im = Im1 · · · Imn para cada componente (veja prova do Teorema 3.42). Vimostambem que a classe P ∗n e a mais ampla classe de HBn–majorantes invariante pelamultiplicacao de exponenciais e(τ ,z) com τ ∈ Rn e por derivacao parcial. Esta afirmacaosegue da extensao que fizemos da classe HB para n componentes na Secao 3.5 e daObservacao 3.31. Segue ainda desta Observacao que um operador F (−d/dz) e um Γ∗–operador se F ∈ P ∗.

Retornando as equacoes (4.23) na prova do Teorema 4.11,W (∂/∂zn) preserva a relacao

de majoracao. Logo, por inducao em n, exp

{− t

4

(∂

∂z,J

∂

∂z

)}e um Γ∗–operador,

concluindo a prova do Teorema 4.13.�

Para enunciar o Teorema forte de Lee–Yang faremos uso do multi–ındice m ∈ Nn

denotando por (∂/∂z)m = (∂/∂z1)m1 · · · (∂/∂zn)mn o operador a derivadas parciais deordem ‖m‖ = m1 + · · ·+mn. Vamos ainda denotar por z = x+ iy um numero em Cn

com x,y ∈ Rn.

Teorema 4.14 Seja Zn(z) a funcao de particao de um sistema de spin generalizado(4.22). Entao (

∂

∂y

)m|Z(x− iy)|2 > 0 (4.32)

para cada m ∈ Nn, x ∈ Rn e y > 0.8

Prova. Teorema 4.14 sera provado para qualquer funcao Zn(z) ∈ P ∗n . Usaremos paraisso um procedimento devido Lieb–Sokal em [LS] que tornou o Teorema forte de Lee–Yang mais claro. Nossa prova, em contraposicao, baseia–se integralmente na Teoriadesenvolvida no Capıtulo 3 sobre as funcoes de Hermite–Biehler.

Se Zn(z) e uma funcao inteira da classe P ∗n , entao

R(z, z′) = Zn(z − iz′)Zn(z + iz′)

uma funcao inteira em C2n que nao se anula para =m z ≤ 0 e <e z′ > 0. Note paraisso que Zn(ω) 6= 0 se =mω < 0 e, devido ao fato que os zeros de Zn passarem para osemi–plano inferior9, Zn(ω) 6= 0 se =mω > 0.

Alem disso, devido a P ∗n ser invariante por derivacao parcial, (∂/∂ω)m Zn(ω) 6= 0 se=mω < 0 e, portanto, (

∂

∂z′

)mR(z, z′) 6= 0 , (4.33)

8O enunciado do presente teorema e analogo ao enunciado do Teorema 3.1 em Newman [N] e da Proposicao 2.10em Lieb–Sokal [LS]. Note que a funcao de particao nos referidos trabalhos e a transformada de Laplace da medida deequilıbrio µn ao passo que aqui Zn(z) e a transformada de Fourier de µn.

9Seja f(z) e uma funcao inteira e∑n

cn zn sua serie de potencia. Entao, pela Definicao 3.1, f(z) = f(z) denota a

funcao inteira cuja serie de potencia tem coeficientes cn. Segue deste fato que os zeros de f sao o complexo conjugadodos zeros de f . Note que, se α e tal que f(α) = 0, entao f(α) = f(α) = 0.


se =m z < 0 e <e z′ > 0. Como R(x,y) = |Z(x− iy)|2 para x, y ∈ Rn, fazendo z = xe z′ = y em (4.33) concluımos que (4.32) nao se anula para x ∈ Rn e y > 0. Resta aindadeterminar o sinal da expressao (4.32). Vamos provar o sinal positivo por inducao.

Claramente (4.32) e verdadeiro para m = 0 = (0, . . . , 0). Assumindo ser tambemverdadeiro para m = (m1,m2, . . . ,mn), com algum mj 6= 0, vamos provar que tambemo e para m′ = m + (1, 0, . . . , 0).10 Considere para cada x ∈ Rn e yj > 0, com j 6= 1, aseguinte funcao real

G(y1) =

(∂

∂y

)m|Zn(x− iy)|2

na variavel y1 e seja Gk(y1) = IkG(y1) a aproximacao polinomial de ordem k de G, ondeIk e o operador de Jensen definido pela sequencia Γ em (3.32). Escrevendo

Gk(y1) =k∑j=0

cj yj1 ,

com ck 6= 0, pela hipotese Gk(y1) > 0 se y1 > 0, temos ck > 0 tomando y1 →∞. Disso,e em vista de

G′k(y1) =k∑j=1

jcj yj−11 , (4.34)

concluımos, tomando y1 → ∞, que G′k(y1) > 0 para todo y1 > 0 pois esta quantidadenao pode se anular devido a (4.33).

Isto conclui o Teorema 4.14 uma vez que G′k(y1) converge, quando k → ∞, para

(∂/∂y)m′|Zn(x− iy)|2uniformemente em compactos devido a (3.33).

�

Observacao 4.15

1. Teorema 4.14 e tambem verdadeiro se as derivadas parciais com respeito a yj foremsubstituıdas por derivadas com respeito a xj, contanto que cada componentes mj

do multi–ındice m seja par. Caso contrario, substituindo y1 por x1 em (4.34) comk par, terıamos G′k(x1) = 0 para algum x1 ∈ R pois G′k(x1) > 0 ou < 0 de acordocom o limite x1 →∞ ou −∞. E isso contradiz a equacao (4.33).

2. Considere o seguinte caso especial de (4.32)

1

|Zn(z)|2∂

∂yj|Zn(z)|2 =

1

Zn(z)

∂Z

∂yj(z) +

1

Zn(z)

∂Z

∂yj(z)

= <e(

1

Zn(z)

∂Zn

∂yj(z)

)= <e 〈sj〉µn (z) > 0

10A escolha da primeira direcao para o acrescimo ao multi–ındice e irrelevante para a argumentacao a seguir.


para z = x+ iy com x ∈ Rn e y > 0, onde

〈f〉µn (z) =1

Zn(z)

∫f(s) ei(z,s)dµn(s)

denota a esperanca com respeito a medida do modelo de Ising generalizado µn(s).Esta desigualdade generaliza a tendencia de alinhamento de ferromagnetos devidoa presenca de um campo externo h = 2β−1y > 0 (veja Observacao 4.4) mesmoquando o fator complexo ei(x,s) e acrescentado a medida µn(s). Como lnZn(z) euma funcao analıtica em =m z < 0, segue

−<e 〈sj〉µn (x− iy) = −<e∂ lnZn

∂yj(x− iy)

= =m∂ lnZn

∂xj(x− iy)

=∂ argZn

∂xj(x− iy) < 0 .

Teorema 4.14 e util tambem para estender a desigualdade de correlacao devido aGriffiths [G1]. Combinando a desigualdade (4.32) com mk = 1 se k = i, j e mk = 0 deoutra forma,

1

|Zn(z)|2∂2

∂yi∂yj|Zn(z)|2 = <e

{1

Zn(z)

∂2Z

∂yi∂yj(z) +

1

Zn(z)

∂Z

∂yi(z)

1

Zn(z)

∂Z

∂yj(z)

}= <e

{〈si sj〉µn (z) + 〈si〉µn (z) 〈sj〉µn(z)

}> 0 ,

com a igualdade 〈sj〉µn(x) = −〈sj〉µn (x), valida para medidas de equilıbrio com pari-dade definida, µn(−s) = ±µn(s), no limite em que y → 0 temos

<e{〈si sj〉µn (x)− 〈si〉µn (x) 〈sj〉µn (x)

}≥ 0 .

Note que a desigualdade estrita somente e garantida para y > 0.

4.4 Ferromagnetos Vetoriais com N Componentes

Nesta secao estenderemos o Teorema de Lee–Yang generalizado para os modelos de Isingcom interacao ferromagnetica (J ≥ 0) e com spin s =

(s1, . . . , sN

)de N componentes.

O modelo de Ising (N = 1), o rotor plano (N = 2) e o modelo de Heisenberg classico(N = 3) sao conhecidos exemplos cuja medida “a priori” e dada pela distribuicao uni-forme sobre a esfera unitaria em RN .

A famılia de modelosN–vetoriais a ser considerada deve incluir aqueles cuja medida “apriori” ν em RN seja invariante por rotacoes (ν e uma funcao de |s|2 = (s1)2+· · ·+(sN)2)e tenha funcao caracterıstica pertencente a classe P ∗N . Veremos a seguir que estas duas

4.4 Ferromagnetos Vetoriais com N Componentes 91

condicoes sao incompatıveis se nao acompanhadas por uma transformacao de variaveisseguida de uma continuacao analıtica.

Para diferenciar o ındice de componente de spin do ındice que distingue os spinsentre si, denotamos um vetor em CN(ou RN e etc.) por ζ =

(ζ1, . . . , ζN

)e por γ · ζ =

γ1ζ1+. . .+γNζN o produto interno no espaco correpondente. Para simplificar a notacao,vamos algumas vezes denotar x = <e ζ e y = =m ζ para ζ ∈ CN .

Seja R uma matriz N ×N ortogonal de rotacao RT = R−1, com detR = 1. Entao afuncao caracterıstica

ϕν(ζ) =

∫ei s·ζ dν(s) ,

de uma medida ν invariante dν(Rs) = dν(s), e tal que

ϕν(ζ) =

∫ei s·ζ dν(Rs)

=

∫ei R

−1s·ζ dν(s)

=

∫ei s·Rζ dν(s) = ϕν(Rζ) ,

e depende, devido a este fato, apenas da variavel τ 2 = (ζ1)2 + · · ·+ (ζN)2.A dificuldade e que f(τ) = ϕν(ζ) como funcao da variavel τ ∈ C nao pode ser da

classe P ∗ se ϕν(ζ) for da classe P ∗N pois a condicao =m ζ < 0 nao determina o sinal de=mτ . Por exemplo, tomando =m ζ < 0 e <e ζ2 = · · · = <e ζN = 0 , obtemos =mτ > 0se 2x1y1 > (x1)2 −

{(y1)2 + · · ·+ (yN)2

}e =mτ < 0 se a desigualdada for invertida.

Note que ϕν(ζ) ∈ P ∗N implica, por definicao, que ϕν(ζ) pertence a classe P ∗ em cadavariavel ζj que, por sua vez, coincide com f(τ) se ζk = 0 para todo k 6= j. Isso mostraque e incompatıvel assumir que ϕν(ζ) seja da classe P ∗N ao mesmo tempo que ν(s) sejainvariante por rotacao.

Para remediar esta situacao, e conveniente considerar matrizes N×N unitarias, U † =U−1, de forma que U preserve o produto interno entre dois vetores γ, ζ ∈ CN ,

γ · ζ = γ · U−1Uζ = Uγ · Uζ .

Para entendermos melhor o problema geral, consideraremos inicialmente o casoN = 2.Seja

U =1√2

(1 i1 −i

)(4.35)

uma transformacao unitaria U † = U−1 e considere a transformacao de variavel z = Uζ,(z1

z2

)=

1√2

(1 i1 −i

)(ζ1

ζ2

)=

1√2

(ζ1 + iζ2

ζ1 − iζ2

).


Note que =m z < 0 (> 0) se, e somente se, =mζ1 < 0 (> 0) e |<e ζ2| < |=mζ1|. Isto e,se C− e C+ denotam os cones de luz11 para traz e para frente

C∓ ={

(x, y) ∈ R2 : |x| < ∓y},

entao as regioes formadas pelos tubos T∓ = {ζ ∈ C2 : (<e ζ2,=mζ1) ∈ C∓} sao mape-adas por U nos multi–semi–planos inferior (=m z < 0) e superior (=m z > 0).

Vamos entao assumir que a funcao caracterıstica

ϕν(z) =

∫eiw·z dν(U †w) (4.36)

seja da classe P ∗2 , onde a integracao e feita sobre a superfıcie {Ux : x ∈ R2} em C2. Noteque dν(U †w) = i dν(w) no caso em que ν(w) = g(|w|) = g(w ·w) dependa apenas de|w| e ν continua assumindo valores reais.

Como consequencia da mudanca de variavel, hipotese (4.36) e do Teorema 4.11 afuncao inteira

exp

{−(∂

∂ζ, K

∂

∂ζ

)}ϕν(ζ) = exp

{−(∂

∂z, UTKU

∂

∂z

)}ϕν(z) , (4.37)

pertence a classe P ∗2 para toda matriz K tal que

K = UKUT ≥ 0 (4.38)

e satisfaz (4.21).Cabe aqui alguns comentarios e observacoes.

Observacao 4.16

1. Concluımos da equacao (4.37) que o operador exp {− (∂/∂ζ, K∂/∂ζ)} leva asfuncoes inteiras ϕν(ζ) que nao se anulam no tubo T− em funcoes inteiras damesma especie contanto que K satisfaca (4.38).

2. Mantemos em (4.37) a notacao (·, ·) para indicar que o produto interno aqui naoconjuga o vetor. Isto explica porque foi tomado o transposto de UT em (4.38) masnao a conjugacao.

11Em unidades onde a velocidade c = 1.

4.4 Ferromagnetos Vetoriais com N Componentes 93

3. A equacao (4.37) se justifica, formalmente, pelas seguintes passagens. Definindof(s) = exp {(s,K s)}, temos

f

(1

i

∂

∂ζ

)ϕν(ζ) =

∫f(s) ei s·ζ dν(s)

=

∫f(s) ei Us·Uζ dν(s)

=

∫f(UTw) eiw·z dν(U †w)

= f

(1

iUT ∂

∂z

)ϕν(z) .

Note que na terceira linha usamos s = U † w = U †w = UTw pois, devido ao

produto interno ser complexo, w · z =∑i

wi zi, a correspondencia com −i∂/∂z e

feita atraves de w.

4. Calculando (4.38) para uma matriz real generica

K =

(K11 K12

K21 K22

)temos

K =

(K11 −K22 + i (K12 +K21) K11 +K22 − i (K12 −K21)K11 +K22 + i (K12 −K21) K11 −K22 − i (K12 +K21)

).

Assim, para que K ≥ 0 devemos ter K12 = K21 = 0 e

K11 ≥∣∣K22

∣∣ . (4.39)

Se permitirmos que K seja uma matriz complexa, entao K ≥ 0 implica em K11 eK22 reais, K12 e K21 imaginarios puros tais que as relacoes

K11 +K22 ≥∣∣K12 −K12

∣∣e

K11 −K22 ≥∣∣K12 +K12

∣∣ .sejam satisfeitas. Estas mesmas equacoes foram obtidas nas referencias [D], Teo-rema 4, e [LS], equacao 4.14, sem a introducao do produto interno complexo.

Tendo examinado que as condicoes sobre a medida “a priori” (4.36) e sobre os acopla-mentos de um spin com N = 2 componentes (4.38) remetem as condicoes do Teoremade Lee–Yang generalizado na Secao 4.2, passemos agora a examinar o caso com n spinsde N componentes.

Para que possamos aplicar a versao generalizada do Teorema de Lee–Yang, Teorema4.11, aos modelos N–vetoriais vamos adotar a seguinte extensao da Definicao 4.5:


Definicao 4.17 Um conjunto LN de medidas ν em RN tem a Propriedade de Lee–Yangse, para cada inteiro n, cada escolha de medidas ν1, . . . , νn em LN , existirem matrizesunitarias U1, . . . , Un da ordem N tais que, para cada escolha da matriz K = [Kij]

ni,j=1

com Kij matrizes N ×N satisfazendo

Kij = UiKijUTj ≥ 0 ,

as seguintes condicoes forem satisfeitas:

1.

µn(u) = exp {(u,K u)}n∏j=1

νj(uj) (4.40)

e uma medida em RnN totalmente finita;

2.

Zn(z) = exp

{−(∂

∂z, K

∂

∂z

)} n∏j=1

ϕνj(zj) 6= 0 (4.41)

se =m z < 0, onde z = (z1, . . . ,zn), com zj ∈ CN , K = [Kij]ni,j=1 e ϕνj e a

funcao caracterıstica de νj definida em (4.36).

Uma unica medida ν tem a propriedade de Lee–Yang se ν pertencer ao conjunto LN

que a tem.

A adaptacao do Teorema de Lee–Yang para os modelos N–vetoriais, com N = 2, 3 ecom medida “a priori” uniforme na esfera em RN (rotor plano e Heisenberg), foi realizadapor Dunlop em uma serie de trabalhos (veja [D]) baseados na versao generalizada doTeorema de Lee–Yang por Suzuki–Fisher [SF]. Estes resultados foram posteriormenteestendidos por Lieb–Sokal para N ≥ 2 e medida “a priori” ν(s) invariante por rotacao.Os resultados de Lieb–Sokal para N ≥ 3 sao validos sob a condicao que a interacao sejasuficientemente anisotropica. Para K diagonal esta condicao e dada por

K11 ≥N∑k=2

∣∣Kkk∣∣ ,

e embora coincida com (4.39) para N = 2 nao e a melhor possivel. A conjectura para acondicao ideal, segundo estes autores,

K11 ≥ sup2≤k≤N

∣∣Kkk∣∣ ,

foi de fato verificada anteriormente na referencia [D] para N = 3.Enunciaremos agora a classe de modelos N–vetoriais aos quais o Teorema de Lee–Yang

generalizado 4.11 pode ser aplicado.

4.5 Existencia e Unicidade da Equacao a Derivadas Parciais 95

Definicao 4.18 Dizemos que uma medida ν em RN pertence a famılia PN se existiruma matriz unitaria U tal que sua funcao caracterıstica ϕν(z), definida por (4.36), euma funcao inteira da classe P ∗N .

O seguinte estende o Teorema 4.9 para modelos N–vetoriais.

Teorema 4.19 A famılia de medidas PN tem a propriedade de Lee-Yang (PN ⊂ LN).

Como Zn0 (z) =

n∏j=1

ϕνj(zj) ∈ P ∗nN (K = 0 em (4.41)) e, portanto, Zn0 (z) 6= 0 se

=m z < 0, basta mostrar que exp{−(∂/∂z, K ∂/∂z

)}, com K ≥ 0, leva funcoes in-

teiras da classe P ∗nN em funcoes inteiras da mesma classe. Isso pode ser demonstrado porinducao em n como no Teorema 4.11. Omitiremos na presente tese esta demonstracao.

Retornando as medidas “a priori” ν em RN invariante por rotacoes, resta mostrar quee sempre possivel encontrar uma matrix unitaria U tal que (4.36) define uma funcaocaracterıstica ϕv(z) pertencente a P ∗N . Em seguida, deve–se examinar as condicoes sobre

a matriz diagonal K = diag{K1, . . . , KN

}para que K = UKUT ≥ 0. Devido a

dificuldade encontrada para dar uma resposta satisfatoria a estas questoes, tambem naoas incluiremos nesta tese.

4.5 Existencia e Unicidade da Equacao a Derivadas Parciais

O objetivo desta secao e garantir a existencia de uma unica solucao da equacao (4.25).Vamos inicialmente discutir brevemente as questoes sobre a existencia e unicidade dasolucao do problema de valor inicial pelo teorema abstrato de Ovsjannikov e pelo metodode Picard. Trataremos em seguida o problema de valor inicial (4.25) pelo metodo majo-rante mostrando que de fato a solucao majorante (4.27a) garante a existencia e unicidadedas solucoes para t satisfazendo (4.28) se Z0 for de tipo normal da ordem 2 ou para todot ≥ 0 se Z0 for de mınimo tipo da ordem 2 em cada componente. Verificaremos tambemse as propriedades sobre a distribuicao dos zeros da funcao de particao inicial sao pre-servadas pela equacao. Concluiremos com um esboco de uma possıvel prova alternativado Teorema de Lee–Yang generalizado.

Aqui e no que segue, e conveniente fazer a mudanca de variavel w = iz. Tendo emvista (4.25), Y (t,w) = Zt(−iw) satisfaz a equacao

∂Y

∂t− 1

4

(∂

∂w,J

∂

∂w

)Y = 0 , (4.42)

sujeita a condicao inicial Y (0,w) = Y0(w) =∏

j ϕj(−iwj).A equacao diferencial (4.42) e equivalente a equacao integral

Y (t,w) = Y0(w) +1

4

∫ t

0

(∂

∂w,J

∂

∂ w

)Y (τ,w) dτ , (4.43)


de forma que uma solucao de (4.43), contınua em t, portanto diferenciavel pelo TeoremaFundamental do Calculo, e tambem uma solucao do problema de valor inicial (4.42).

Para utilizarmos o metodo de Picard, vamos introduzir uma norma no espaco Jnσ dasfuncoes inteiras f(w) em Cn que nao excedem o tipo normal σj da ordem 2 em cadacomponente wj:

‖f‖σ = supw∈Cn

eσ(w) |f(w)| , (4.44)

onde

eσ(w) = exp

{−

n∑j=1

σj |wj|2}.

Note que lim|w|→∞

eσ(w) |f(w)| = 012 e ‖f‖σ < ∞ se f ∈ Jnσ′ com σ′j < σj para cada j.

Esta condicao sera denotada a seguir simplesmente por σ′ < σ.Equipado com a norma (4.44) o espaco Jnσ e completo. Uma sequencia {fj}∞j=1 de

funcoes inteiras em Jnσ converge para f na topologia induzida por (4.44) se, e somentese, eσ(w)fj(w) convergir para eσ(w)f(w) uniformemente em Cn.13 Para cada f ∈ Jnσ, aserie parcial de Taylor de f converge para f nesta topologia e o conjunto dos polinomiosem Cn e denso em Jnσ.

Alem disso, pela formula de Cauchy

∂f

∂wj(w) =

1

2πi

∮|ζ|=δ

f (w + ζej)

ζ2dζ , (4.45)

com (ej)k = δjk, verifica–se a seguinte desigualdade para o maximo modulo

M

(r;

∂f

∂wj

)≤ 1

δM(r + δej; f) . (4.46)

Diferenciacao parcial, translacoes e multiplicacao por polinomios sao alguns exemplosde mapeamento linear contınuo T : Jnσ −→ Jnσ′ definidos para todo σ′ > σ.

Note que, devido a (4.46) e pela definicao de maximo modulo,∥∥∥∥( ∂

∂w,J

∂

∂w

)f

∥∥∥∥σ′

= supreσ′(r)

n∑k,l=1

JklM

(r;

∂2f

∂wk∂wl

)

≤n∑

k,l=1

Jklδkδl

supreσ′(r)M(r + δk ek + δlel; f)

≤ (ρ,J ρ) ‖f‖σ , (4.47)

onde ρ e um vetor de componentes

ρj =1

δjsupr≥0

exp{σj (r + δj)

2 − σ′jr2}

=1

δjexp

{σjσ

′jδ

2j

σ′j − σj

}. (4.48)

12Veja discussao sobre ındice central na Secao 2.3.13Esta e as afirmacoes a seguir sao, a rigor, verdadeiras na topologia induzida pela famılia de normas ‖·‖e indexadas

pelas funcoes e(w) em (4.44) pertencentes a um conjunto K. Veja o texto [T] para maiores detalhes.


Escolhendo δj =√(

σ′j − σj) /

2σjσ′j na estimativa de Cauchy (4.46), obtemos

(ρ,J ρ) ≤ 2e ‖J ‖n∑j=1

σjσ′j

σ′j − σj(4.49)

que diverge como |σ′ − σ|−1 quando σ′ ↘ σ. Esta e exatamente a situacao na quala existencia de uma unica solucao do problema de Cauchy e garantida pelo Teoremade Ovsjannikov [O]. Vamos aqui seguir brevemente a excelente exposicao de FrancoisTreves [Tr] (veja tambem [Tr1]).

Dado σ0 e σ1, σ1 < σ0, introduzimos uma famılia a um parametro {Jns : 0 ≤ s < 1}de espacos de funcoes inteiras do tipo normal σs = sσ1+(1−s)σ0 da ordem 2, equipadoscom a norma ‖f‖s = ‖f‖σs dada por (4.44). Note que Jns ⊂ Jns′ se s′ < s, e a injecaonatural I : Jns −→ Jns′ tem norma menor ou igual a unidade:

‖If‖s′ = supw∈Cn

eσs′ (w) |f(w)|

≤∏j

supr≥0

exp{

(s′ − s)(σ0,j − σ1,j)r2}‖f‖s ≤ ‖f‖s

(observe que σs′ − σs = (s′ − s)(σ1 − σ0)).

Proposicao 4.20 Se

xk(t) =1

4

∫ t

0

(∂

∂w,J

∂

∂w

)xk−1(τ) dτ , (4.50)

k = 1, 2, . . ., e uma sequencia em Jns com x0(t) = Y0 ∈ Jn1 , entao a seguinte estimativa

‖xk(t)‖s ≤ K

(eCt

1− s

)k(4.51)

e valida para todo k ∈ N e s ∈ [0, 1), com K ≥ ‖Y0‖1 e C = C(s) = (ρ,J ρ) /4, onde

ρj =σs,j√

σ0,j − σ1,j

.

Prova. Inicialmente, observe que ‖xk(t)‖s < ∞ qualquer que seja s, pois o operadordiferencial em (4.50) e contınuo de Jns a Jns′ se s′ < s, nao importando quao proximoesteja s′ de s. Claramente, (4.51) e valida com k = 0. Assumindo que (4.51) seja validacom k = m− 1, entao, devido a (4.47),

‖xm(t)‖s ≤C

ε

∫ t

0

‖xm−1(τ)‖s+ε dτ

≤ KC

ε

(eC

1− s− ε

)m−1 ∫ t

0

τm−1 dτ

= KCt

mε

(eCt

1− s− ε

)m−1

. (4.52)


Escolhendo ε =1

m(1− s), a estimativa continua como

‖xm(t)‖s ≤ K

(eCt

1− s

)m1

e

(1

1− 1/m

)m−1

= K

(eCt

1− s

)m1

e

(1 +

1

m− 1

)m−1

≤ K

(eCt

1− s

)m.

Portanto (4.51) e satisfeita com k = m para todo s tal que

0 < 1− s− ε = 1− 1

m− s

(1− 1

m

)≤ 1

e, consequentemente, para todo s ∈ [0, 1). Com isso verificamos por inducao a estimativa(4.51), concluindo a prova da Proposicao 4.20.

�Segue da Proposicao 4.20 que, para cada s ∈ [0, 1), a sequencia de series parciais

Ym(t) =m∑k=0

xk(t) , m ∈ N,

converge uniformemente em cada intervalo fechado de |t| < (eC)−1 (1 − s) para umafuncao Y (t) ∈ Jns contınua em t que satisfaz (4.43). Note para isso que, somando (4.50)de 1 a m obtem–se

Ym(t) = Y0 +1

4

∫ t

0

(∂

∂w,J

∂

∂w

)Ym−1(τ) dτ

e resgatando a equacao (4.43) no limite quando m→∞.Por um procedimento analogo pode–se mostrar [Tr] que esta e a unica solucao conti-

nuamente diferenciavel em |t| < (eC)−1 (1− s) do problema de Cauchy (4.42).Para o metodo de Picard, seguiremos a modificacao do Teorema de Ovsjannikov por

Nirenberg [Ni].Seja Sa o espaco de funcoes Y (t) tais que, para cada s ∈ [0, 1) e |t− t0| < a(1 − s),

Y (t) ∈ Jns e contınua em t e

‖Y ‖ := sup|t−t0|<a(1−s),

s∈[0,1)

(a(1− s)− |t− t0|) ‖Y (t)‖s <∞ . (4.53)

Equipado com esta norma, Sa e um espaco metrico completo. 14

14O peso em (4.53) difere do peso na norma de Nirenberg por um fator |t− t0|, removendo,desta forma, a singularidadeem t = t0 . Na aplicacao que faremos a seguir, a depende da escala s.


Teorema 4.21 Para cada s ∈ [0, 1), a ≤ (8C)−1, t0 ∈ R+ e Y0 ∈ Jn1 , existe umintervalo aberto I = I(s) = {t : |t− t0| < a(1− s)} e uma unica funcao continuamentediferenciavel Y : I → Jns que e solucao do problema de valor inicial (4.42) com Y (t0) =Y0. Alem disso, Y satisfaz ‖Y (t)‖s ≤ 2 ‖Y0‖s para todo |t− t0| < a(1− s) e s ∈ [0, 1).

Prova. Seja Φ o operador definido sobre o espaco de funcoes Y (t) a valores em Jns , paracada s ∈ [0, 1), dada pelo lado direito da igualdade (4.43) (com o limite inferior naintegral substituıdo por t0):

Φ [Y ] (t) = Y0 +1

4

∫ t

t0

(∂

∂w,J

∂

∂w

)Y (τ) dτ . (4.54)

Mostraremos que e sempre possivel escolher a e Sa,K ⊂ Sa tal que Φ : Sa,K → Sa,K euma contracao estrita.

Se Y , W ∈ Sa, procedendo como na primeira linha de (4.52) com s + ε = s(τ) <1− (τ − t0)/a, temos

‖Φ [Y ] (t)− Φ [W ] (t)‖s ≤ C

∫ t

t0

1

s(τ)− s‖Y (τ)−W (τ)‖s(τ) dτ

≤ C0 ‖Y −W‖∫ t

t0

dτ

(a(1− s(τ))− τ + t0) (s(τ)− s),

onde C = C(s) e uma constante como em (4.51) e C0 = C(0). Note que C(s′) ≤ C(s)

se s ≤ s′. Escolhendo s(τ) =1

2

(1 + s− τ − t0

a

),15 continuamos

‖Φ [Y ] (t)− Φ [W ] (t)‖s ≤4C

a‖Y −W‖

∫ t−t0

0

dτ ′

(1− s− τ ′/a)2

= 4C ‖Y −W‖(

1

1− s− (t− t0)/a− 1

1− s

)=

4C

a‖Y −W‖ t− t0

(1− s− (t− t0)/a)(1− s)

≤ 4Ca ‖Y −W‖ 1

a(1− s)− t+ t0, (4.55)

onde a ultima linha segue da relacao t − t0 < a(1 − s). Concluımos de (4.53), (4.54) e(4.55) que Φ e uma contracao,

‖Φ [Y ]− Φ [W ]‖ ≤ 1

2‖Y −W‖

se a ≤ (8C)−1.

15Esta escolha maximiza o denominador do integrando, (a(1− s(τ))− τ ′) (s(τ) − s) ≥ (a(1− s′)− τ ′) (s′ − s) paraqualquer s′ < 1− τ ′/a


Para mostrar que Φ : Sa,K → Sa,K notamos, repetindo a estimativa acima,

‖Φ [Y ]− Y0‖ ≤1

2‖Y ‖ ≤ 1

2(‖Y − Y0‖+ ‖Y0‖) ≤ K

se Sa,K = {Y ∈ Sa : ‖Y − Y0‖ ≤ K} onde K ≥ ‖Y0‖. Logo, pelo Teorema do ponto fixode Banach, existe uma e somente uma funcao Y ∈ Sa,K tal que Y = Φ[Y ], satisfazendo,devido as ultimas desigualdades, ‖Y (t)‖s ≤ 2 ‖Y0‖s.

�O metodo de solucao de equacoes diferenciais pela variacao dos coeficientes foi posto

em base solida pelo calculo de limites de Cauchy. Por calculo de limites, denominado porPoincare de metodo majorante, entende–se o procedimento para determinar um limitesuperior da solucao de uma equacao diferencial por uma serie de potencia convergentecom coeficientes positivos.

Uma funcao g(w) =∑j∈Nn

Cj wj , convergente em um domımio D em Cn, e dita ser um

majorante da funcao f(w) =∑j∈Nn

cj wj em D se para cada j a desigualdade

|cj| ≤ Cj

for verificada. Denotamos a relacao majorante por f(w)E g(w).Note que, se fi(w)E gi(w) e ai ≥ 0, i = 1, . . . ,m, entao

a1f1(w) + · · ·+ amfm(w)E a1g1(w) + · · ·+ amgm(w) . (4.56)

Alem disso, a relacao e preservada por diferenciacao parcial

f(w)E g(w) =⇒ ∂f

∂wj(w)E

∂g

∂wj(w) , (4.57)

e integracao com respeito a t, ou a algum outro parametro,

f(t,w)E g(t,w) =⇒∫f(τ,w)dτ E

∫g(τ,w)dτ . (4.58)

A seguir o metodo majorante sera aplicado a equacao (4.42), com Y0 em Jnσ, paragarantir a existencia de uma solucao para t satisfazendo (4.28).

Teorema 4.22 Seja Y0 ∈ Jnσ, tal que

Y0(w) =n∏j=1

yj(wj)

com yj(w)Eexp {σjw2}. Entao o problema de valor inicial (4.42) tem uma unica solucaoY (t,w) em Jnσ(t) onde

σj(t) =(D−1−tJ

)−1

jj,


definida em[0, ‖DJ ‖−1) e majorada pela funcao de particao Gt(−iw) dada por (4.27a):

Y (t,w)E det −1/2 (I − tDJ ) exp{(w,D (I − tDJ )−1w

)}. (4.59)

Prova. Para demonstrar o Teorema 4.22 basta notar que, em vista das propriedades(4.56), (4.57) e (4.58), se Y EW entao

Φ[Y ]E Φ[W ] ,

com Φ o mapa definido por (4.54) com t0 = 0.Note ainda que W (t,w) = Gt(−iw) dado pelo lado direito de (4.59) e a unica solucao

da equacao de ponto fixo Φ[W ] = W tal que

W (0,w) =n∏j=1

exp{σjw

2j

}.

Observe que e fundamental para estas afirmacoes que J ≥ 0. Observe ainda, queconvergencia da serie de potencia de W (t,w) em Cn implica a convergencia da serie depotencia de Y (t,w) para uma funcao inteira que nao excede o tipo normal

σj(t) = σj(I + tDJ + t2 (DJ )2 + · · ·

)jj

= σj

(1 + t2σj

n∑k=1

J2jk σk + · · ·

)(4.60)

da ordem 2 em cada variavel wj (veja conexao entre os coeficientes da serie de potencia eo tipo e a ordem de funcoes na Secao 2.3, especialmente Teoremas 2.13 e 2.14). Para isso,note que o tipo σj da funcao majorante (4.59) com respeito a variavel wj e obtido pelaentrada jj da matriz D (I − tDJ )−1 cuja serie de Neuman, convergente se t ‖DJ ‖ <1, e dada por (4.60).

Isso conclui a prova do Teorema 4.22.�

Observacao 4.23 Note que o metodo majorante garante a existencia global de umaunica solucao Y (t) do problema de valor inicial (4.42) para t ≥ 0 se Y0 for de mınimotipo da ordem 2 em cada componente pois o domıno de definicao, 0 ≤ t < ‖ DJ ‖−1,se estende sobre a semi–reta quando σ ↘ 0.

Para uma prova alternativa do Teorema de Lee–Yang Generalizado, Teorema 4.9,resta ainda provar que cada solucao Y (t,w) de (4.25) sujeita a condicao inicial Y0(w) =∏

j ϕj(−iwj) com ϕj(z) ∈ P ∗, e tal que Y (t, iz) pertence a classe P ∗n . O resultado a serenunciado a seguir utiliza toda a teoria desenvolvida no Capıtulo 3 ao mesmo tempoque desfruta da linearidade da equacao (4.25).


Teorema 4.24 Seja Y0 ∈ Jnσ como no Teorema 4.22, Y (t,w) a unica solucao doproblema de valor inicial (4.42) e considere a solucao majorante W (t,w) = Gt(−iw)de Y (t,w) dada em (4.59) para todo t < ‖DJ ‖−1. Entao, a unica solucao X(t,w) =W (t,w) + Y (t,w) de (4.42) com condicao inicial

X(0,w) =n∏j=1

exp{σjw

2j

}+

n∏j=1

yj(wj) ,

e tal que X(t, iz) pertence a subclasse P ∗n de Hermite–Biehler para t < ‖DJ ‖−1 e,consequentemente,

X(t,w) 6= 0

para <ew > 0.

Prova. Teorema 4.24 e consequencia imediata do Teorema 3.36 e Observacao 3.38.�

Observacao 4.25 Do ponto de vista das grandezas Fısicas, a restricao sobre os valoresde t no Teorema 4.24 nao o enfraquece comparado ao Teorema 4.9 de Lee–Yang gene-ralizado. Note que podemos sempre fatorar uma constante Kn na funcao de particao demaneira tal que

yj(w)EK exp{σjw

2}

seja valido com σj arbitrariamente pequeno, se yj(w) for uma funcao inteira de mınimotipo da ordem 2, fazendo com que o Teorema 4.24 seja valido para qualquer t > 0.

O ponto fraco no Teorema 4.24 e que a condicao inicial nao e da forma produto. Aseguir, faremos um pequeno esboco de como abordar o problema de valor inicial (4.42)de tal forma que a condicao de Lee–Yang Y (t,w) 6= 0 para <ew > 0, seja mantidapara todo t ≥ 0.

Pelos Teoremas 3.11 e 3.14, uma funcao ϕ ∈ P ∗ pode ser representada por

ϕ(−iw) = c (−iw)m eγw2−iβw

∞∏j=1

(1 +

iw

αj

)e−iw/αj

com γ ≥ 0, =mβ,=mαj ≥ 0 e∑j

|αj|−2 < ∞. Sem perda de generalidade, vamos

supor que ϕ(0) = 1. Em vista do Teorema 3.22, ϕ e o limite uniforme da sequencia deH –polinomios

f (m)(w) = Im[ϕ](−iw)

=m∏j=1

(1 + κ−1

j,mw)

(4.61)


com <e κj,m ≥ 0, onde Im e o operador de Jensen. Portanto, cada fator em (4.61) satisfaz

<e (κj,m + w) > 0 , (4.62)

se <ew > 0.O correspondente analogo a um Hn–polinomio e dado pela seguinte

Definicao 4.26 Um polinomio

PN(w) =∑j∈Nn:m−j≥0

cj wj (4.63)

da ordem N = m1 + · · · + mn em Cn e dito ser um Rn–polinomio se PN(w) 6= 0 para<ew > 0.

O resultado a seguir tem como base a Proposicao 2.2 e Lema 2.3 de [LS] podendo,contudo, ser tambem derivado em termos dos Hn–polinomios.

Lema 4.27 Seja

R(v,w) =∑n,m

cn,m vnwm , (4.64)

um R2n–polinomio, multilinear com respeito a variavel v (isto e, cn,m 6= 0 somente se‖n‖ ≤ 1). Se Q(w) = R(∂/∂w, w) denota o polinomio obtido substituindo v por ∂/∂wem (4.64), entao Q(w) e um Rn–polinomio.

Prova. Inicialmente, se v denota o vetor formado pelas componentes vk do vetor vcom k 6= j, entao o R2n–polinomio (4.64) pode ser escrito, devido sua multilinearidade,como

R(v,w) = Q0(v,w) + vjQ1(v,w) , (4.65)

onde Q0(v,w) e Q1(v,w) sao dois R2n−1–polinomios nas variaveis complementares a vj.Note para isso que, tomando |vj| para infinito ou proximo de zero, com <ev, <ew > 0,concluımos que Q1(v,w) 6= 0 e Q0(v,w) 6= 0. Alem disso, devido a estas mesmascondicoes, R(v,w) 6= 0 se, e somente se,

<e Q0(v,w)

Q1(v,w)> 0 , (4.66)

para <e v, <ew > 0.Vamos agora mostrar, usando (4.66), que

T (v,w) = Q0(v,w) +∂

∂wjQ1(v,w)


e tambem um R2n−1–polinomio. O polinomio q(wj), dado por Q1(v,w) como funcaode wj mantendo fixos <ev > 0 e demais componentes de w, <ewk > 0, k 6= j, e umR–polinomio, podendo ser representado como em (4.61)

q(w) = c

mj∏i=1

(1 + κ−1

i w),

onde c e κj funcoes das demais componentes com <e κj ≥ 0. Disso segue

q′(w)

q(w)=

mj∑i=1

1

κi + w

e, em vista de (4.62), temos

<e∂Q1(v,w)/∂wjQ1(v,w)

> 0 (4.67)

se <e v, <ew > 0, concluindo

T (v,w) = Q1(v,w)

[Q0(v,w)

Q1(v,w)+∂Q1(v,w)/∂wj

Q1(v,w)

]6= 0

sob as mesmas condicoes. Com T (v,w) sendo um R2n−1–polinomio, podemos repetir oprocedimento a partir de (4.65) para uma outra variavel de v. Concluimos a prova doLema 4.27 depois de n repeticoes.

�

Observacao 4.28 Lema 4.27 e valido tambem se a condicao de multilinearidade forremovida. A prova porem requer maior elaboracao (veja Proposicao 2.2 em [LS]).

Afim de mostrarmos que o operador Φ, definido por (4.54) com a = 0 , preservaa classe dos Rn–polinomios, devemos aplicar o Lema 4.27 ao polinomio R(v,w) =(v,J v)Y (w) onde Y e um Rn–polinomios. Note que, se J for uma matriz nao nega-tiva com diagonal nula, entao (v,J v) e multilinear em cada componente de v.

Vamos considerar a condicao inicial

Y0,N(w) =n∏j=1

fj(wj) ,

dada pelo produto de R–polinomios em cada componente wk com fj = f(mj)j como em

(4.61)16 e, no lugar de Φ, consideremos o operador aproximante

Ψp [Y0,N ] =

{I +

t

4p

(∂

∂w,J

∂

∂w

)}pY0,N (4.68)

16Para simplificar a notacao, vamos eliminar a dependencia na ordem m da funcao f (m) e de seus respectivos zerosκj,m.


para p–esima iterada Φ(p) de Φ atuando sobre Y0,N :

Φ(p)[Y0,N ] = Φ ◦ · · · ◦ Φ︸︷︷︸p−vezes

[Y0,N ]

=

{I +

t

4

(∂

∂w,J

∂

∂w

)+ · · ·+ tp

4pp!

(∂

∂w,J

∂

∂w

)p}Y0,N . (4.69)

Note que, desenvolvendo o binomio de Newton, o j-esimo termo em (4.68) contem umfator 1 (1− 1/p) · · · (1− (j − 1)/p) multiplicando o termo correspondente em (4.69) quetende a 1 quando p→∞. Note ainda que o limite

limp→∞

Φ(p)[Y0,N ] = limp→∞

Ψp [Y0,N ] = exp

{t

4

(∂

∂w,J

∂

∂ w

)}Y0,N

converge para a solucao da equacao de ponto fixo Y = Φ[Y ]. Vamos usar que Φ (assimcomo Ψ) e um operador linear contınuo afim de tomar o limite em N (veja Definicao3.40)

limN→∞

Φ[YN ] = Φ[

limN→∞

YN

].

Aplicando cada termo do produto (4.68) sobre Y0,N , e usando Lema 4.27, concluımosque a solucao de (4.42) satisfaz Y (t,w) 6= 0 para <ew > 0 e todo t > 0 se

1 +t

4p(h,Jh) 6= 0 (4.70)

para <eh > 0, uniformemente em p, t e J ≥ 0. Esta questao algebrica ficara semresposta na presente tese.

5Conclusoes

Mostramos como a Teoria das Funcoes Analıticas, desenvolvidas no final do seculo pas-sado e inıcio deste por varios autores, se encaixa na descricao dos zeros de Lee–Yang.

As conclusoes a serem extraidas nesta tese, podem ser resumidas pela seguinte frase:se µn denota a medida de equilıbrio de um ferromagneto (ou gas de rede) generalizado,com n graus de liberdade, entao a funcao caracterıstica Zn de µn e um elemento dasubclasse P ∗n das funcoes inteiras de Hermite–Biehler.

Nos dois capıtulos iniciais apos a introducao, apresentamos de maneira pedagogicaos principais resultados sobre a Teoria das Funcoes Inteiras pertinentes ao Teoremado Cırculo. No Capıtulo 2 descrevemos a conexao entre a distribuicao dos zeros, ocrescimento do modulo maximo e o Teorema da fatorizacao de Hadamard para funcoesinteiras em C. No Capıtulo 3 introduzimos a classe HB das funcoes inteiras de Hermite–Biehler e descrevemos os operadores que preservam a localizacao dos zeros para taisfuncoes. Esta analise generaliza o Teorema de Rolle sobre a preservacao dos zeros reaispor diferenciacao.

A discussao apresentada teve a vantagem adicional de permitir obter desigualdadesmajorantes das funcoes em HB, preservadas pela operacao de diferenciacao. Por in-termedio dessa nocao estendemos para as funcoes inteiras em Cn todos os resultadosestabelecidos para funcoes inteiras em C .

Nestes dois capıtulos foram selecionados, dos livros textos e literatura especializadadisponıvel, um material necessario para dar coerencia e unidade as assercoes desta tese.Convem salientar que embora tenha sido desenvolvido previamente ao Teorema de Lee–Yang, este material foi compilado em livros textos aproximadamente no mesmo perıodo.

Na literatura consultada nao ha nenhuma mencao explıcita sobre a relacao existenteentre a distribuicao dos zeros da funcao de particao de ferromagnetos e a classe dasfuncoes de Hermite–Biehler. Como demonstrado nesta tese, a caracterizacao das funcoes

108 5. Conclusoes

da subclasse P ∗n de HBn se confunde com as assim denominadas propriedades de Lee–Yang.

No Capıtulo 4 fizemos uma breve excursao sobre as diversas versoes do Teoremade Lee–Yang e demonstramos o Teorema de Lee–Yang Generalizado com os resulta-dos do Capıtulo 3. Discutimos tambem as extensoes deste Teorema para os modelosferromagneticos com N componentes de spin.

A mais inovadora proposta desta tese esta relacionada com a abordagem, realizadaainda no Capıtulo 4, do Teorema de Lee–Yang por metodos aplicados as equacoes dife-renciais.

Apresentaremos a seguir os resultados obtidos nesta tese.

1. O Teorema de Newman foi generalizado para uma classe ainda maior de ferromag-netos (Teorema 4.11 e Observacao apos a demonstracao deste).

2. Obtivemos majorantes Gaussianos para a funcao de particao de modelos de Isinggeneralizados, interpretados como limites superior de campo medio. A desigual-dade (4.28) quando saturada, proporciona a melhor estimativa inferior de campomedio para o inverso da temperatura crıtica βc.

3. Demonstramos um Teorema de Lee–Yang Generalizado para sistemas de spin comN componentes (Teorema 4.19).

A presente tese de Livre–Docencia deixa algumas questoes previamente formuladassem respostas e sugere novas questoes.

1. Deixamos de estabelecer a relacao do Teorema 4.11 com os modelos de Ising ge-neralizados. Para isso, a condicao A. na Definicao 4.6 deve ser tambem necessariapara que ν ∈P.

2. Nao foi possıvel examinar as condicoes sobre a matriz K de acoplamentos paraque o Teorema de Lee–Yang (4.19) fosse aplicavel a sistemas de spin com N com-ponentes.

3. Restou demonstrar a equacao algebrica (4.70) para uma prova alternativa do Te-orema de Newman via equacoes diferenciais.

Finalmente, devo acrescentar que ha um grande potencial a ser explorado pela aborda-gem via equacoes difenciais parciais no que diz respeito as propriedades de analiticidadede sistemas de spin que nao satisfazem a condicao J ≥ 0.

Referencias

[A] T. Asano, Theorems on the partition functions of the Heisenberg ferromag-nets, J. Phys. Soc. (Japan) 29, 350-359 (1970).

[B] R. P. Boas Jr., Entire functions, Academic Press, New York (1954).

[BBDKK] M. Biskup, C. Borgs, J. T. Chayes, L. J. Kleinwaks e R. Kotecky, A ge-neral theory of Lee–Yang zeros in models with first–order phase transitions,Preprint, arXiv:math-ph/004003.

[D] Francois Dunlop, Analyticity of the pressure for Heisenberg and plane rotatormodels, Commun. Math. Phys. 69, 81-88 (1979).

[DN] Francois Dunlop e Charles M. Newman, Multicomponent field theories andclassical rotators, Commun. Math. Phys. 44, 223-235 (1975).

[G] R. B. Griffiths, Rigorous results for Ising ferromagnets of arbitrary spin, J.Math. Phys 10, 1559-1565 (1969)

[G1] R. B. Griffiths, Correlations in Ising ferromagnets II, external magnetic fi-elds”, J. Math. Phys 8, 484-489 (1967).

[H] Einar Hille, Analytic function theory, Vol. 1 e 2, Chelsea Publishing Co., NewYork, 2a. edicao (1982 e 1987)

[K] Konrad Knopp, Theory of functions, Part I e II, Dover, New York (1945 e1947).

[L] B. Ja. Levin, Distribution of zeros of entire functions, American Mathema-tical Society, Providence (1964).

110 Referencias

[Li] E. H. Lieb, The classical limit of quantum spin system, Commun. math. Phys.31, 327-340 (1973).

[LS] Elliot H. Lieb e Alan D. Sokal, A general Lee–Yang theorem for one–component and multicomponent ferromagnets, Commun. Math. Phys. 80,153-179 (1981)

[LT] Peter Lancaster e Miron Tismenetsky, Theory of matrices, with applications,Academic Press, 2a. edicao (1985).

[LY1] C. N. Yang e T. D. Lee, Statistical theory of equations of state and phasetransitions. I theory of condensation, Phys. Rev. 87, 404-409 (1952).

[LY2] T. D. Lee e C. N. Yang, Statistical theory of equations of state and phasetransitions. II Lattice gas and Ising model, Phys. Rev. 87, 410-419 (1952).

[M] Domingos H. U. Marchetti, An alternative to Plemelj–Smithies formulas oninfinite determinants, Journ. Funct. Anal. 117, 360-376 (1993).

[N] Charles M. Newman, Zeros of the partition functions for generalized Isingsystems, Commun. P. Appl. Math. XXVII, 143-159 (1974).

[Ni] L. Nirenberg, An abstract form of nonlinear Cauchy–Kowalewski theorem, J.Differential Geometry 6, 561-576 (1972).

[O] L. V. Ovsjannikov, Singular operators in Banach scales, Dokl. Akad. Nauk.SSSR 163, 819-822 (1965).

[R] D. Ruelle, Quelques resultats rigoureux recents en mecanique statistique, Se-minario ministrado na Ecole Polytechnique e redigido por B. Souillard (1972).

[RS] Michael Reed e Barry Simon, Methods of modern mathematical physics, I:Functional analysis, versao revisada e aumentada, Academic Press (1980).

[S] P. C. Sikkema, Differential operators and differential equations of infiniteorder with constant coefficients, Groningen (1953).

[SG] B. Simon e R. B. Griffiths, The (φ4)2 field theory as a classical Ising model,Commun. Math. Phys. 33, 145-164 (1973).

[SF] Masuo Suzuki e Michael E. Fisher, Zeros of the partition function for theHeisenberg ferroelectric, and general Ising models, Journ. Math. Phys. 12,235-246 (1971).

[Su] Masuo Suzuki, Theorems on the Ising model with general spin and phasetransition, Journ. Math. Phys. 8, 2064-2068 (1968).

Referencias 111

[T] B. A. Taylor, Some locally convex spaces of entire functions in “Entire func-tions and related parts of analysis”, Korevaar ed., American MathematicalSociety, Providence (1968).

[Tr] Francois Treves, Ovsjannikov theorem and hyperdifferential operators, Notasde Matematica 46, IMPA (1968).

[Tr1] Francois Treves, Basic linear differential equations, Academic Press (1975).

analiticidade em ferromagnetos e gases de rede …marchett/lee-yang/ld_2000.pdfcontinuidade. o gr a...

Documents