fig.if.usp.brfig.if.usp.br/~marchett/fismat2/fm5-2.pdf · f isica ma tem atica i i notas de aula...

F�ISICA MATEM�ATICA IINotas de Aula { 1o. Semestre de 1999

Domingos H. U. Mar hettiDepto. F��si a GeralSala 328Ramal 6797e-mail mar hett�ime.usp.br

iiPref�a ioSobre o ProgramaO urso de F��si a{Matem�ati a tem por objetivo introduzir ferramentas (teoremas,rela� ~oes e f�ormulas matem�ati as) para tratar os fenômenos da F��si a Moderna que porsua vez s~ao des ritos por um onjunto de equa� ~oes.O presente urso �e uma introdu� ~ao �as equa� ~oes diferen iais. Devido a extens~ao doassunto a ser tratado, far{se{�a uma es olha dos t�opi os a serem enfatizados. O ursoesta dividido em quatro partes:1. Sistemas Dinâmi os2. O Problema de Sturm Liouville3. Equa� ~oes a Derivadas Par iais4. Fun� ~oes Espe iaisonde ser~ao abordados alguns m�etodos de solu� ~ao das equa� ~oes diferen iais desen-volvidos por Fourier, Green, Frobenious e outros. Pro urar{se{�a tamb�em dar umapequena apresenta� ~ao de m�etodos qualitativos da teoria geom�etri a.Agrade imentosAgrade� o a todos estudantes que ursaram F��si a{Matem�ati a II no 2o. semestre de1996 e 1o. semestre de 1997 pela dedi a� ~ao, persitên ia e entusiasmo demonstrados aolongo do urso, sem os quais me faltaria est��mulo para es rever estas notas. Aos moni-tores Maria Elisa Borelli e Roberto da Silva, minha gratid~ao pela dedi a� ~ao e assistên ia.Gra� as a este ambiente humano e �as instala� ~oes desta universidade, o onte�udo deste urso pode ser apresentado de forma mais agrad�avel e a ess��vel a maioria dos parti i-pantes.Universiade de S~ao Paulo D. H. U. mar hetti.

Conte�udo1 Sistemas Dinâmi os 11.1 No� ~oes B�asi as de Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Espa� os e Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Subespa� os, Bases e Dimens~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Auto{valores e Auto{vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Sistema de Equa� ~oes Diferen iais Ordin�arias . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.1 Equa� ~ao Linear Homogênea om Coe� ientes Constantes . . . . . 281.2.2 Cadeias Harmôni as e a Equa� ~ao das Ondas . . . . . . . . . . . . 381.2.3 Equa� ~ao Linear N~ao{Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3 Distribui� ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.1 Problema de Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 O problema de Sturm{Liouville 592.1 O Problema de Auto{Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.1 Equa� ~ao Diferen ial Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.2 Equa� ~ao Diferen ial Auto{Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.3 A Equa� ~ao de Auto{Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2 Base em Espa� os Vetoriais de Dimens~ao In�nita . . . . . . . . . . . . . . 712.2.1 Sistema Ortonormal de Fun� ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.2 Desigualdade de Bessel, Aproxima� ~ao em M�edia e Completeza . . 732.2.3 M�etodo de Ortonormaliza� ~ao de Gram{S hmidt . . . . . . . . . . 762.3 Fun� ~ao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.1 Equa� ~ao de Sturm{Liouville N~ao{Homogênea . . . . . . . . . . . 822.3.2 O M�etodo Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3.3 Existên ia de Auto{valores e Teorema da Expans~ao . . . . . . . . 923 Equa� ~oes a Derivadas Par iais 973.1 Introdu� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.1 Classi� a� ~ao de Equa� ~oes Diferen iais Par iais . . . . . . . . . . . 993.1.2 Condi� ~oes de Contorno Apropriadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2 Separa� ~ao de Vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.1 O Problema de Valores Ini ial e de Fronteira . . . . . . . . . . . . 1053.3 Fun� ~ao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110iii

iv CONTE�UDO3.3.1 Equa� ~ao de Helmholtz N~ao{Homogênea no C��r ulo . . . . . . . . 1103.3.2 Fun� ~ao de Green para Condi� ~ao Ini ial . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4 Apli a� ~oes em Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.4.1 Equa� ~ao de Helmholtz em Coordenadas Esf�eri as . . . . . . . . . 1193.4.2 Solu� ~ao da Equa� ~ao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4.3 Equa� ~ao das Ondas Eletro{Magn�eti as . . . . . . . . . . . . . . . 1254 Fun� ~oes Espe iais 1294.1 M�etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.1 Pontos Ordin�arios e Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.2 Existên ia e Uni idade de Solu� ~oes na Vizinhan� a de Pontos Or-din�arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.1.3 Pontos Regulares para a Equa� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.1.4 Singularidades no In�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2 Singularidades Irregulares e Con uên ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.1 Equa� ~oes Hipergeom�etri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.2 Equa� ~oes Diferen iais om Três Singularidades . . . . . . . . . . . 1484.2.3 Fun� ~oes Hipergeom�etri as Con uentes . . . . . . . . . . . . . . . 1514.3 Propriedades e Apli a� ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3.1 Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Cap��tulo 1Sistemas Dinâmi os

Neste ap��tulo introdut�orio, trataremos sistemas de equa� ~oes diferen iais lineares omosistemas dinâmi os. A resolu� ~ao destes sistemas requer no� ~oes de algebra linear que osauxiliam no seu desa oplamento. Enfatizaremos mais o aspe to instrumental da teoriaa�m de introduzir os on eitos b�asi os de sistemas de ordem �nita e estendê{los parasistemas om n�umero de graus de liberdade in�nito.1.1 No� ~oes B�asi as de Algebra Linear1.1.1 Espa� os e Operadores LinearesCome� aremos enun iando uma s�erie de propriedades satisfeitas por vetores em Rn .Seja x;y; z; : : : vetores e �; �; : : : n�umeros reais. Ent~ao,x+ y = y + xx+ (y + z) = (x+ y) + z (1.1.1)x+ 0 = xx+(�x) = 0e (��)x = � (�x)� (x+ y) = �x+ �y (1.1.2)(�+ �)x = �x+ �x1 � x = x1

2 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSUm vetor x 2 Rn = R � � � � � R �e representado por suas omponentes artesianasx = (x1; : : : ; xn) ou por uma matriz olunax = 0B� x1...xn 1CA :Em ambos asos a adi� ~ao de dois vetores x; y orresponde ao vetor ujas omponentes�e a soma das omponentes x+ y = (x1 + y1; : : : ; xn + yn) ;o produto de um es alar � por um vetor x �e o vetor de omponentes dadas pelo produtode � por ada omponente de x �x = (�x1; : : : ; �xn) :O omprimento de um vetor (norma Eu lideana)jxj := �x21 + � � �+ x2n�1=2�e a distan ia entre a origem e a extremidade do vetor. Por onseguinte,jx� yj = �(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2�1=2 orresponde a distan ia entre a extremidade do vetor x e a extremidade do vetor y. Anorma introduz a no� ~ao de vizinhan� a: dois vetores est~ao \pr�oximos" se as extremidadesdestes est~ao \pr�oximas".De�ni� ~ao 1.1.1 Um espa� o linear E (ou espa� o vetorial) sobre n�umeros reais (ou omplexos), �e um onjunto de elementos fe hado pela opera� ~ao de soma e produto porum es alar: x + y; �x 2 E se x; y 2 E e � 2 R (� 2 C ), satisfazendo as propriedades(1.1.1) e (1.1.2).Exemplo 1.1.2 O espa� o de Hilbert H = R1 de sequên ias in�nitas de n�umerosreais x = (x1; : : : ; xj; : : :) tais que a normakxk := 1Xj=1 x2j!1=2�e �nita.

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 3Exemplo 1.1.3 O espa� o de Hilbert H das fun� ~oesf : [��; �℄ 7�! Rtais que a norma kfk := �Z �� jf(x)j2 dx�1=2�e �nita.De�ne-se a adi� ~ao de duas fun� ~oes f , g 2 H(f + g) (x) = f(x) + g(x)e produto por um es alar (�f) (x) = � f(x)ponto a ponto, para todo x 2 [��; �℄.Existe uma orrespondên ia entre os espa� os de Hilbert nos exemplos 1.1.2 e 1.1.3a ima dado pela identidade de Parseval1� Z �� jf(x)j2 dx = 12x20 + 1Xj=1 �x2j + y2j�onde x0 e xj; yj; j = 1; 2; : : :, s~ao os oe� ientes de Fourier da fun� ~ao f :xj = 1� Z �� f(x) os jx dx(in luindo j = 0) e yj = 1� Z �� f(x) sin jx dx :Portanto x0 ; kxk ; kyk <1() kfk <1 :Por outro lado, para ada duas sequên ias x; y 2 H no exemplo 1.1.2, e x0 2 R,existe uma fun� ~ao periodi a f 2 H do exemplo 1.1.3 dada pela s�erie de Fourierf(x) = 12x0 + 1Xj=1 (xj os jx + yj sin jx)onde o sentido de onvergên ia da s�erie �e dado pela onvergên ia em norma: se SNdenota a s�erie trun ada no N{�esimo termo, ent~ao kf � SNk ! 0 quando N !1.

4 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSDe�ni� ~ao 1.1.4 Uma transforma� ~ao linear T �e uma mapeamentoT : E 7�! E 0que leva um vetor x 2 E em um vetor Tx 2 E 0, tal queT (x + y) = Tx+ Ty (1.1.3)T (�x) = �Tx :A ada mapeamento linear T : Rn 7�! Rm podemos asso iar uma matriz m� nTx = 0B� t11 � � � t1n... . . .tm1 tmn 1CA0B� x1...xn 1CA = 0B� t11x1 + � � �+ t1nxn...tm1x1 + � � �+ tmnxn 1CAe vi e{versa, ada matrix T orresponde a um mapeamento linear. Usualmente umamatrix �e representada pelo seus elementos T = [tij℄.Exemplo 1.1.5 A transforma� ~ao T que leva ada vetor x = (x1; x2; : : : ; xn) em Rn novetor Tx = (x2; : : : ; xn; x1) tamb�em em Rn pode ser representada pela matriz \deslo a-mento para frente" T = 0BBBBB� 0 1 0 � � � 00 0 1 � � � 0... ... ... . . . ...0 0 0 � � � 11 0 0 � � � 01CCCCCANo aso em que E = E 0, a transforma� ~ao linear T �e hamada de operador linear.Usaremos a nota� ~ao L(Rn) para o onjunto de todos os operadores lineares em Rn eL(H) para o onjunto de todos os operadores lineares no espa� o de Hilbert H.Exemplo 1.1.6 Operadores diferen iais Dk no espa� o de fun� ~oes H que s~ao k{vezesdiferen iaveis: �Dkf� (x) = dkfdxk (x) ; k = 1; 2; : : :Equa� ~oes diferen iais ordin�arias s~ao obtidas por ombina� ~oes lineares destes. Se P umpolinômio de order k: P (x) = xk + a1xk�1 + � � �+ ak,P (D) f = g (1.1.4)�e a equa� ~ao diferen ial de ordem k om D o operador diferen ial e g uma fun� ~ao dada.

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 5Exemplo 1.1.7 Operadores integrais no espa� o de Hilbert H de fun� ~oes:(Cf) (x) = Z �� os(x� y) f(y) dy � ( os �f) (x)�e o operador onvolu� ~ao pela fun� ~ao osseno.Exemplo 1.1.8 Operadores de diferen� a �nita r no espa� o de Hilbert H de sequ^en ias:(rx)j = xj � xj�1 :�E onveniente introduzir tamb�em o operador de diferen� a �nita adjunto r�:(r�x)j = xj � xj+1 :O operador de segunda diferen� a �nita de Lapla e �� := r�r = rr� �e portanto(��x)j = 2xj � xj+1 � xj�1 :Se T; S 2 L(Rn), o mapeamento omposto TS : Rn 7�! Rn perten e tamb�em aL(Rn). A matrix C = [ ij℄ orrespondente ao produto C = TS, tem elementos dematrix ij = nXk=1 tik skj (1.1.5)onde T = [tij℄ e S = [sij℄ s~ao as representa� ~oes matri iais dos operadores.Exer �� io 1.1.9 Veri�que (1.1.5) apli ando o operador omposto TS a um vetor x.Se D = T + S, a matrix D = [dij℄ tem elemento de matrixdij = tij + sij ;se E = �T , ent~ao eij = � tij :O operador identidade I = [Æij℄ em L(Rn) �e a matrix om os elementos diagonaisiguais a 1 e zero de outra forma:Æij = 8<: 1 se i = j ;0 se i 6= j :

6 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSO vetor nulo 0 tem elementos identi amente nulos.Veri� a{se que o onjunto de elementos L(Rn) satisfaz as propriedades (1.1.1) e(1.1.2) e portanto formam um espa� o vetorial.Al�em disso, as seguintes propriedades s~ao satisfeitas por operadores em L(Rn):P (QR) = (PQ)R�(PQ) = (�P )Q = P (�Q) (1.1.6)P (Q+R) = PQ+ PR(Q+R)P = QP +RP om P;Q;R 2 L(Rn) e � 2 R (somente em situa� ~oes muito parti ulares a propriedade omutativa PQ = QP �e satisfeita). Espa� os lineares munidos da opera� ~ao de omposi� ~aoe satisfazendo as propriedades (1.1.6), formam uma algebra.De�ni� ~ao 1.1.10 Um operador T �e invers��vel se existir um operador S tal que TS =ST = I. S �e hamado o operador inverso de T , denotado por T�1.O operador T , ou sua representa� ~ao matri ial, �e singular se T n~ao for invers��vel.1.1.2 Subespa� os, Bases e Dimens~aoSeja E um espa� o linear. Um onjunto n~ao vazio F � E �e hamado subespa� o se F forfe hado pelas opera� ~oes de adi� ~ao e multipli a� ~ao por um es alar.Se F ont�em somente o vetor nulo 0, F �e hamado subespa� o trivial. Se F 6= E , F�e um subespa� o pr�oprio. Se F1 e F2 s~ao subespa� os e F1 � F2, F1 �e um subespa� o deF2.Como subespa� os satisfazem as propriedades (1.1.1) e (1.1.2), o mapeamenento linearT : F1 7�! F2 faz sentido e todas as propriedades de operadores lineares em espa� oslineares podem ser estendidas para operadores em subespa� os.Dois subespa� os importantes s~ao determinados por transforma� ~oes lineares:N (T ) = fx 2 F1 : Tx = 0g � T�1(0)�e o n�u leo da transforma� ~ao T , eI(T ) = fy 2 F2 : Tx = y para algum x 2 F1g :�e o onjunto imagem de T .

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 7De�ni� ~ao 1.1.11 Um onjunto S = fx1; : : : ;xkg de vetores de F gera o subespa� o F ,se ada vetor x 2 F puder ser es rito omo uma ombina� ~ao linear destes:x = �1x1 + � � �+ �kxkpara alguma es olha de es alares �1; : : : ; �k.Os vetores do onjunto S s~ao linearmente independentes se a equa� ~ao�1x1 + � � �+ �kxk = 0for satisfeita somente para �1 = � � � = �k = 0.Se os vetores de S forem linearmente independentes, ent~ao S forma uma base deF .De�ni� ~ao 1.1.12 A dimens~ao de um subespa� o linear F �e a ardinalidade do maior onjunto S de vetores linearmente independentes. Se o maior onjunto S tiver k ele-mentos, denotamos dimF = k.Exemplo 1.1.13 O onjunto f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1); (1; 1; 0); (0; 1; 1)g gera o espa� ovetorial R3 por�em n~ao forma uma base para este espa� o pois seus vetores n~ao s~ao linear-mente independentes (note (1; 1; 0) = (1; 0; 0)+ (0; 1; 0)). No entanto, os três primeirosvetores formam uma base.Exemplo 1.1.14 A ole� ~ao dos monômios f1; x; x2; : : : ; xng forma um onjunto de \ve-tores" linearmente independentes perten entes ao espa� o C ([a; b℄) das fun� ~oes ont��nuasde�nidas no intervalo [a; b℄. Um polinômio Pn(x) de ordem n, �e uma ombina� ~ao lineara0 + a1x+ a2x2 + � � �+ anxndestes monômios. Embora n~ao tenha dimens~ao �nita, o onjunto de todos monômiosforma uma base para as fun� ~oes ontinuas no sentido que todo \vetor" f 2 C ([a; b℄) podeser aproximado, uniformemente, por polinômios (Teorema da aproxima� ~ao de Weier-strass): dado " > 0, existe n0 = n0(") <1 tal quejf(x)� Pn(x)j < "para todo n � n0 e x 2 [a; b℄.Proposi� ~ao 1.1.15 Seja E = Rn . Qualquer onjunto de vetores S1 = fx1; : : : ;xn+1g�e linearmente dependente. Por outro lado, qualquer onjunto S2 = fx1; : : : ;xn�1g devetores linearmente independentes n~ao gera E. Logo, a dimens~ao do espa� o dim E = n.

8 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSProva. S = fx1; : : : ;xn+1g �e linearmente dependente se existirem �1; : : : ; �n+1 2 R,n~ao todos nulos, tais que �1x1 + � � � + �n+1xn+1 = 0. Es revendo esta equa� ~ao em omponentes, om xj = (xj;1; : : : ; xj;n), obtemos o seguinte sistema de equa� ~oes lineares�1x1;1 + � � �+ �n+1xn+1;1 = 0... ... ...�1x1;n + � � �+ �n+1xn+1;n = 0 (1.1.7)Seja X = [x1 � � � xn+1℄ a matrix n � (n + 1) que tem o vetor xj na j{�esima oluna, eseja � a matrix oluna (n+ 1)� 1 om omponentes �j. Ent~ao, (1.1.7) pode ser es rita omo X� = 0 : (1.1.8)A Proposi� ~ao 1.1.15 segue de um resultado mais geral.Teorema 1.1.16 Seja A uma matrix k � k. A equa� ~aoAx = 0tem uma solu� ~ao n~ao trivial (x 6= 0) se e somente se A for singular.A ondi� ~ao detA = 0 �e ne ess�aria e su� iente para que uma matrix A seja singular.De�nindo a matrix (n + 1) � (n+ 1), eX = [ex1 � � � exn+1℄ que tem a j{�esima oluna ovetor exj ujas omponentes exj;i = 8<: xj;i se i = 1; : : : ; n0 se i = n+ 1 ;a equa� ~ao (1.1.8) �e equivalente a eX� = 0. Como det eX = 0, existe � n~ao trivial quesatisfaz esta �ultima equa� ~ao, provando a Proposi� ~ao 1.1.15.A primeira asser� ~ao da Proposi� ~ao 1.1.15 �e equivalente a a�rma� ~ao: dimRn � n. Adesigualdade no sentido oposto segue de forma an�aloga: dimRn � n. Logo, Rn �e umespa� o linear de dimens~ao n. 2A seguir enun iaremos uma s�erie de resultados importantes sem demonstra� ~oes. De erta maneira, estes estendem a Proposi� ~ao 1.1.15 para espa� os vetoriais quaisquer.Teorema 1.1.17 Seja E um espa� o linear de dimens~ao n. Ent~ao

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 91. Toda base de E tem extamente n elementos.2. Todo onjunto S de vetores em E, linearmente independentes, tem no m�aximo nelementos.De�ni� ~ao 1.1.18 O mapeamento linear T : E 7�! E 0 �e um isomor�smo, se existirum transforma� ~ao linear S : E 0 7�! E tal queSTx = x ; TSy = ypara todo x 2 E e y 2 E 0. Neste aso dizemos que os espa� os lineares s~ao isomorfos.Teorema 1.1.19 Dois espa� os vetoriais lineares s~ao isomorfos, se e somente se tiverema mesma dimens~ao. Em parti ular, todo o espa� o de dimens~ao n �e isomorfo a Rn .Exer �� io 1.1.20 Represente a matrizA = 0� 1 1 22 1 31 0 1 1Asegundo a base S = f(1; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1)g � ff1; f2; f3g. Primeiramente veri�que-mos que S forma uma base: x = �1f1 + �2f2 + �3f3= M � (1.1.9)onde o vetor � = (�1; �2; �3) deve ser en ontrado eM = [f1 f2 f3℄ = 0� 1 0 11 1 00 1 1 1A�e a matriz formada pelos vetores de S em suas olunas. Nesta formula� ~ao, S �e um onjunto de vetores L. I. que gera R3 se existir uma �uni a solu� ~ao � para ada x. Isto,por sua vez, segue se M for n~ao singular pois� =M�1x :Cal ulando o determinante detM = �� 1 0 11 1 00 1 1 �� = 2

10 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSveri� amos que M e invers��vel uja inversa �e dada porM�1 = 120� 1 1 �1�1 1 11 �1 1 1Aprovando ser S uma base.Representemos, a seguir, A na base S. Para tal, devemos representar os vetoresv1 = Af1v2 = Af2 (1.1.10)v3 = Af3nesta base: existem portanto onstantes [bi;j℄3i;j=1 tais quevj = Afj = 3Xi=1 bi;j fi : (1.1.11)De�nindo V = [v1 v2 v3℄ a matriz que tem omo olunas os vetores vj, a equa� ~ao(1.1.10) pode ser es rita omo V = [Af1Af2 Af3℄ = AM :Como V , em vista de (1.1.11), tamb�em pode ser es rita omo V =MB onde B = [bi;j℄, on luimos B =M�1AM (1.1.12)representa a matriz A na base S. Temos queB = 120� 1 1 �1�1 1 11 �1 1 1A0� 1 1 22 1 31 0 1 1A0� 1 0 11 1 00 1 1 1A = 0� 2 3 31 1 20 0 0 1A(note que detA = 0). Transforma� ~oes da forma (1.1.12) s~ao hamadas de trans-form� ~oes de similaridade.Proposi� ~ao 1.1.21 Seja T : E 7�! E 0 um mapeamento linear. Ent~aodim I (T ) + dimN (T ) = dim E :Em parti ular, se dim E = dim E 0, as seguintes a�rma� ~oes s~ao equivalentes:1. N (T ) = f0g

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 112. I(T ) = E 03. T �e um isomor�smo.De�ni� ~ao 1.1.22 O produto interno (x;y) de dois vetores x;y 2 E, �e um mapea-mento E � E 7�! R (ou C ) satisfazendo as seguintes propriedades:(x;x) � 0(x;y) = (y;x) (1.1.13)(�x+ �y; z) = � (x; z) + � (y; z) om a igualdade na primeira rela� ~ao satisfeita somente se x = 0.Se E for um espa� o vetorial sobre os n�umeros omplexos, a segunda propriedade �esubstitu��da por (x;y) = (y;x)onde z signi� a a onjuga� ~ao omplexa de z 2 C .Um espa� o vetorial E munido de um produto interno �e denominado espa� o Eu- lideano (se dim E <1) ou espa� o de Hilbert ou unit�ario (se dim E =1).Exemplo 1.1.23 O produto interno do espa� o de Hilbert H de fun� ~oes em [��; �℄ �e(f; g) := Z �� f(x) g(x) dxExemplo 1.1.24 Seja � : I 7�! R+ uma fun� ~ao positiva no intervalo I � R. H �e oespa� o das fun� ~oes om suporte em I e produto es alar om peso �:(f; g)� = ZI f(x) g(x) �(x) dx :Todo espa� o linear E om produto interno �e um espa� o normado uja norma dex 2 E �e de�nida por kxk :=p(x;x) : (1.1.14)Para veri� ar que k � k �e de fato uma norma, usaremos a seguinte desigualdade.

12 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSProposi� ~ao 1.1.25 (Desigualdade de S hwarz)j(x;y)j � kxk kyk : (1.1.15)Prova. Usando a de�ni� ~ao (1.1.14) e as propriedades (1.1.13), temos0 � (�x+ �y; �x+ �y)= �2 kxk2 + 2�� j(x;y)j+ �2 kyk2que de�ne uma inequa� ~ao para � satisfeita para qualquer valor real somente se odes riminante � = 4�2 �j(x;y)j2 � kxk2 kyk2�for negativo. De onde (1.1.15) segue. 2Uma norma deve satisfazer a desigualdade triangular:kx+ yk � kxk+ kyk (1.1.16)para todo x;y 2 E . Da de�ni� ~ao (1.1.14) e pela desigualdade de S hwarz,kx + yk2 � kxk2 + 2 j (x;y)j+ kyk2� kxk2 + 2 kxk kyk+ kyk2= (kxk+ kyk)2 : 2De�ni� ~ao 1.1.26 Dois vetores x;y 2 E s~ao ortogonais entre si, se o produto interno(x;y) = 0.O produto interno de�ne um ^angulo entre dois vetores x e y: os � = (x;y)kxk kykTeorema 1.1.27 Qualquer onjunto de vetores mutuamente ortogonais s~ao linearmenteindependentes.Prova. Seja x1; : : : ;xn uma ole� ~ao de vetores mutuamente ortogonais:(xi;xj) = 0

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 13se i 6= j, e onsidere a equa� ~ao �1x1 + � � �+ �nxn = 0 : (1.1.17)Tomando o produto es alar de (1.1.17) om um vetor xj e usando a ortogonalidade�1 (x1;xj) + � � �+ �n (xn;xj) = �j kxjk2 = 0que impli a, por (1.1.13), �j = 0 para todo j = 1; : : : ; n. 2Teorema 1.1.28 Todo espa� o linear E om produto interno de dimens~ao n tem umabase ortogonal normalizada (ortonormal) fejgnj=1.Prova. (M�etodo de Gram{S hmidt) Seja x1; : : : ;xn uma ole� ~ao de vetores linearmenteindependentes e es olha e1 = x1kx1k :De�na y2 = x2 � �e1 om � tal que (e1;y2) = 0: � = (e1;x2). Es olhae2 = y2ky2k :Assuma, em seguida, que foram obtidos k vetores e1; : : : ; ek, k < n, normalizados emutuamente ortogonais, e seja Wk o subespa� o gerado por estes. De�nayk+1 = (1� P )xk+1onde P : E 7�! Wk �e o projetor no subespa� o Wk:Px := (e1;x) e1 + � � �+ (ek;x) ek : (1.1.18)Novamente, es olha ek+1 = yk+1kyk+1ke note que ek+1 �e normalizadokek+1k2 = (ek+1; ek+1) = kyk+1k�2 (yk+1;yk+1) = 1e ortogonal a Wk: (ej; ek+1) = 0 ; j = 1; : : : ; k : (1.1.19)O teorema � a portanto provado por indu� ~ao. 2

14 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSExer �� io 1.1.29 Veri�que as rela� ~oes (1.1.19).Exer �� io 1.1.30 Um projetor P �e um operador idempotente: P 2 = P . Veri�que estapropriedade para P em (1.1.18).Exemplo 1.1.31 Considere a ole� ~ao de fun� ~oes em [��; �℄ , S = ffj; gjgkj=1, dadapor fj(x) = 1p� os jx ; gj = 1p� sin jxe seja Wk o subespa� o gerado por esta. S �e um onjunto de fun� ~oes normalizadas emutuamente ortogonal om respeito ao produto es alar em (1.1.23):(fl; fm) = 1� Z �� os lx osmxdx= 12� Z �� f os (l +m) x + os (l �m) x g dx = Ælme analogamente, (gl; gm) = Ælm e (fl; gm) = 0 para todo l; m = 1; : : : ; k.O projetor P no subespa� o Wk �e dado porPf (x) = kXj=1 f(fj; f) fj(x) + (gj; f) gj(x)g= kXj=1 1� Z �� ( os jy os jx + sin jy sin jx) f(y) dy= kXj=1 1� Z �� os j (x� y) f(y) dy(note que P �e a soma de operadores integrais dados pela onvolu� ~ao pela fun� ~ao os jx).Exemplo 1.1.32 (Polinômios de T heby he�) Considere a base dos monômiosf1; x; x2; : : : ; xng que, segundo vimos, gera o espa� o C ([�1; 1℄) das fun� ~oes ont��nuasde�nidas no intervalo [�1; 1℄, munido do produto interno om peso �(x) = 1=p1� x2:(f; g)� = Z 1�1 f(x) g(x) dxp1� x2 :Usando o m�etodo de Gram{S hmidt, tomamos o polinômio de ordem 0, T0 = 1 ujanormaliza� ~ao kT0k2 = Z 1�1 dxp1� x2 = Z �0 d� = �

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 15e de�nimos e0(x) = T0(x)= kT0k = 1=p�. Tomamos o pr�oximo polinômioT1(x) = x� (x; e0) e0(x)= x� 1� Z 1�1 x dxp1� x2 = xonde a integral se anula devido a anti{simetria da fun� ~ao x, e de�nimos e1(x) =T1(x)= kT1k onde kT1k2 = Z 1�1 x2 dxp1� x2= Z �0 os2 � d�= Z �0 12 ( os 2� + 1) d� = �2Tomamos a seguirT2(x) = 2 �x2 � �x2; e0� e0(x)� �x2; e1� e1(x)� (1.1.20)= 2x2 � 2� Z 1�1 x2 dxp1� x2 � 4� Z 1�1 x3 dxp1� x2= 2x2 � 1 om a �ultima integral se anulando devido a anti{simetria de x3, uja normaliza� ~aokT2k2 = Z 1�1 �2x2 � 1�2 dxp1� x2= Z �0 �2 os2 � � 1�2 d�= Z �0 os2 2� d�= Z �0 12 ( os 4� + 1) d� = �2O pro edimento ontinua, de�nindo e2(x) = T2(x)= kT2k = p2� (2x2 � 1) e tomando opr�oximo polinômio T3(x) de forma an�aloga a (1.1.20). Os polinômios de T heby he�s~ao por onven� ~ao normalizados de forma tal que Tl(1) = 1 para todo l 2 N.1.1.3 Auto{valores e Auto{vetoresDe�ni� ~ao 1.1.33 Seja T um operador linear em um espa� o vetorial E. Um vetor x 2 En~ao nulo �e um auto{vetor se a equa� ~aoTx = �x (1.1.21)

16 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSfor satisfeita para um n�umero � hamado auto{valor ou valor pr�oprio asso iado a x.A ondi� ~ao ne essaria para que o auto{valor � exista �e que o n�u leo do operadorT � �I seja n~ao trivial: N (T � �I) 6= f0g. Isto �e, dimN (T � �I) � 1.Pelo Teorema 1.1.16, a equa� ~ao (T � �I)x = 0admite solu� ~ao n~ao trivial (x 6= 0) se e somente se det (T � �I) = 0.No aso em que E = Rn , os auto{valores s~ao portanto determinados pelas raizes dopolinômio ara teristi o T (�) = det (T � �I)= �n + a1�n�1 + � � �+ an= nYj=1 (�� j) om f�jgnj=1 �e o onjunto das raizes do polinômio T ( ontando multipli idade); detC�e o determinante da matriz C = [ ij℄ dado pordetC =X� (�1)j�j 1�1 2�2 � � � n�nsendo a soma sobre as permuta� ~oes � = (�1; : : : �n) de f1; : : : ; ng om j�j representandoo sinal da permuta� ~ao. Finalmente, a segunda linha �e a expans~ao do determinante omaj dado pela soma dos termos propor ionais a �j.Mostre 1.1.34 que os auto{vetores fx1; : : : ;xsg asso iados aos auto{valores distintosf�1; : : : ; �sg s~ao linearmente independentes.Temos x = �1x1 + � � �+ �sxs = 0 (1.1.22)impli a em �1 = � � � = �s = 0 se forem L. I.. Apli ando o operadorT (i) = (T � �1) � � � (T � �i�1) (T � �i+1) � � � (T � �s)= Qsj=1 (T � �j)(T � �i)nos dois lados de (1.1.22), obtemosT (i)x = (�i � �1) � � � (�i � �i�1) (�i � �i+1) � � � (�i � �s)�ixi = 0impli ando ne essariamente em �i = 0 devido a hip�otese de f�1; : : : ; �sg serem distintos.O resultado segue fazendo i = 1; : : : ; s. 2

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 17De�ni� ~ao 1.1.35 Uma matriz A �e simples se a multipli idade de ada auto{valor� de A for igual a dimens~ao de N (A� �I). Em outras palavras, A �e simples se amutipli idade alg�ebri a for igual a multipli idade geom�etri a.Exemplo 1.1.36 Seja A = � 0 10 0 � ujo auto{valor � = 0 tem multipli idade alg�ebri a da = 2. Como o n�u leo N (A��I) =N (A) = f(0; 0); (0; 1)g tem dimens~ao dimN (A) = 1 = dg 6= da, a matriz A n~ao �esimples.Se T 2 L (Rn) for simples, �e sempre possivel en ontrar uma base S = fxjgnj=1 talque T tenha a forma diagonal D = diag f�1; : : : ; �ng:D = 0B� �1 � � � 0... . . . ...0 � � � �n 1CA :Como uma mudan� a de base �e implementada por uma transforma� ~ao de similaridade,faremos uma revis~ao breve sobre as propriedades destas transforma� ~oes.Seja M (Rn) � L (Rn) o onjunto dos isomor�smos (todos os operadores O n~aosingulares). Se M 2 M (Rn) for uma matriz n � n, ent~ao M �e invers��vel e de�ne umatransforma� ~ao de similaridade B =M�1AM (1.1.23)que satisfaz as seguintes propriedades:1. detB = detM�1AM = det M�1 detA detM = (detM)�1 detA detM = detA;2. TrB = TrM�1AM = TrAMM�1 = TrA (devido a propriedade �� li a do tra� o);3. B�1 = (M�1AM)�1 =M�1A�1 (M�1)�1 =M�1A�1M ;4. Bk =M�1AMM�1AM � � �M�1AM =M�1AkM para todo k 2 N . Logo, se P (�)for um polinômio ent~ao P (B) =M�1P (A)M :Como onsequên ia de 1:, o polinômios ara ter��sti o de matrizes similares oin idem B(�) = det (B � �I) = det �M�1AM � �M�1M� = det (A� �I) = A(�)

18 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSassim omo os seus auto{valores. Note que a transforma� ~ao (1.1.23) n~ao �e uni amenteimplementada: se N for uma matrix da ordem de A e tal que [N;A℄ = NA� AN = 0,ent~ao B = (NM)�1ANM =M�1AM .O onjunto MT de todas as matrizes similares a TMT = �S =M�1TM :M 2 M (Rn)forma uma lasse de equivalên ia no sentido que possuem o mesmo espe tro �(T ) =f�1; : : : �ng: Txj = �jxj ; j = 1; : : : ; n : (1.1.24)De�nindo yj =M�1xj e multipli ando por M�1 a equa� ~ao a ima, obtemosSyj =M�1TMyj =M�1Txj = �jM�1xj = �jyjque �e a equa� ~ao de auto{valores para a matriz S om auto{valores f�1; : : : �ng e auto{vetores fy1; : : :yng.Veri�quemos a seguir que a transforma� ~ao de similaridade que diagonaliza a ma-triz T = [ti;j℄ �e realizada pela matrix X = [x1 � � � xn℄ que tem o auto{vetor xj =(xj;1; : : : xj;n) na j{�esima oluna.A equa� ~ao de auto{valores (1.1.24) pode ser es rita na forma matri ial[Tx1 � � � Txn℄ = [�1x1 � � � �nxn℄0B� t11 � � � t1n... . . . ...tn1 � � � tnn 1CA0B� x1;1 � � � xn;1... . . . ...x1;n � � � xn;n 1CA = 0B� x1;1 � � � xn;1... . . . ...x1;n � � � xn;n 1CA0B� �1 � � � 0... . . . ...0 � � � �n 1CAou, na forma mais ompa ta TX = XD : (1.1.25)Supondo que f�1; : : : �ng sejam distintos, S = fx1; : : : ;xsg forma um onjunto devetores linearmente independentes e a matrix X �e invers��vel (X 2 M (Rn)), obtendo de(1.1.25) T = XDX�1 ; D = X�1TX : (1.1.26)Exemplo 1.1.37 Seja A uma matriz em R3 dada porA = 0� 1 0 01 2 01 0 �1 1A :

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 19Seus auto{valores s~ao as ra��zes do polin^omio ara ter��sti o: A(�) = �� 1� � 0 01 2� � 01 0 �1� � �� = (1� �) (2� �) (�1� �) :Os auto{valores de A s~ao: �1 = 1; �2 = 2 e �3 = �1.O auto{vetor orrespondente a �1 = 1 �e a solu� ~ao x1 = (x1;1; x1;2; x1;3) n~ao identi- amente nula da equa� ~ao0� 1� �1 0 01 2� �1 01 0 �1� �1 1A0� x1;1x1;2x1;3 1A = 0� 000 1Aque �e equivalente ao sistema de equa� ~oesx1;1 + x1;2 = 0x1;1 � 2 x1;3 = 0e uja solu� ~ao �e x1;2 = �x1;1x1;3 = 12 x1;1 om x1;1 arbitr�ario. Fixando x1;1 = 2 resulta em x1 = (2;�2; 1).O auto{vetor x2 orrespondente a �2 = 2 �e a solu� ~ao da equa� ~ao0� �1 0 01 0 01 0 �3 1A0� x2;1x2;2x2;3 1A = 0� 000 1Aequivalente ao sistema linear x2;1 = 0x2;1 � 3 x1;3 = 0 om x2;2 arbitr�ario. Podemos ent~ao es olher x2 = (0; 1; 0).O auto{vetor x3 orrespondente a �3 = �1 �e a solu� ~ao da equa� ~ao0� 2 0 01 3 01 0 0 1A0� x3;1x3;2x3;3 1A = 0� 000 1A uja solu� ~ao �e x3;1 = x3;2 = 0 e x3;3 qualquer. Es olhemos x3 = (0; 0; 1).A matriz de auto{vetores X = 0� 2 0 0�2 1 01 0 1 1A

20 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSque �e um isomor�smo pois detX = 2 6= 0, de�ne a transforma� ~ao de similaridade quediagonaliza a matriz A pela rela� ~ao (1.1.26) om D = diag f1; 2;�1g. A�m de veri� ara rela� ~ao neste exemplo, pre isamos al ular a inversa de X usando, por exemplo, aformula X�1 = 1detX adjX (1.1.27)onde adjX �e a matriz adjunta de X: adjX = ( ofX)T .A matriz dos ofatores, ofX, �e obtida da seguinte forma. Se B = [bij℄ �e uma matrizn� n o ofator Bij asso iado a entrada bij �e dado pelo determinante da matriz B oma i{�esima linha e a j{�esima oluna removida:

Bij = (�1)i+j ��b11 � � � b1 j�1 b1 j+1 � � � b1n... . . . ... ... . . . ...bi�1 1 � � � bi�1 j�1 bi�1 j+1 � � � bi�1nbi+11 � � � bi+1 j�1 bi+1 j+1 � � � bi+1n... . . . ... ... . . . ...bn 1 � � � bn j�1 bn j+1 � � � bnn�� :A matriz dos ofatores �e portanto ofB = [Bij℄. Por esta formula obtemosX�1 = 120� 1 0 02 2 0�1 0 2 1Ae veri� amos queX�1AX = 12 0� 2 0 0�2 1 01 0 1 1A0� 1 0 01 2 01 0 �1 1A0� 1 0 02 2 0�1 0 2 1A= 0� 1 0 00 2 00 0 �1 1A :Exemplo 1.1.38 Seja T o operador linear que asso ia a ada vetor x = (x1; x2; x3) ovetor x0 = Tx = (2x1; x1; x2 + x3) : (1.1.28)Em omponentes, (1.1.28) �e equivalente ao sistemax01 = 2x1x02 = x1x03 = x2 + x3

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 21que �e implementado pela matriz A = 0� 2 0 01 0 00 1 1 1A ujos auto{valores e orrespondentes auto{vetores s~ao, respe tivamente, �1 = 2; �2 = 0;�3 = 1 e v1 = 0� 211 1A; v2 = 0� 01�1 1A; v3 = 0� 001 1A. A matriz de similaridade quediagonaliza A �e: X = 0� 2 0 01 1 01 �1 1 1Ae sua inversa �e dada por X�1 = adjXdetX = 120� 1 0 0�1 2 0�2 2 2 1A :Note que as matrizes A, X e X�1 possuem a forma triangular inferior. O onjunto detodas as matrizes triangulares (superiores ou inferiores de mesma ordem) formam uma�algebra que �e fe hada pelas opera� ~oes de soma, produto es alar e matri ial, e inversa.Os auto{valores de uma matriz triangular s~ao os elementos de sua diagonal.Seja E um espa� o vetorial om produto interno (um espa� o unit�ario), e T um oper-ador sobre E .De�ni� ~ao 1.1.39 O operador T � �e o operador adjunto a T se a equa� ~ao(x; Ty) = (T �x;y)for satisfeita para todo x;y 2 E.Denomina-se auto{adjunto (ou hermiteano) o operador que �e igual ao seu ad-junto: T = T �:A representa� ~ao matri ial A = [aij℄ de um operador T 2 L(Rn) auto{adjunto �edenominada sim�etri a. Os elementos de uma matriz sim�etri a A satisfazemaij = aji :

22 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSUma matriz A 2 L(Rn) �e ortogonal seAT A = AAT = ISeja E um espa� o vetorial sobre os n�umeros omplexos e S um operador em L(C n). SeB = [bij℄ for a representa� ~ao matri ial de S, a matriz hermiteana onjugada a B �e o omplexo onjugado da transposta de B:By = (BT ) = �B�TA matriz B �e hermiteana se B = By. A matriz B �e dita unit�aria seBBy = ByB = IOperadores hermiteanos tem propriedades espe iais.Teorema 1.1.40 Os auto{valores de um operador hermiteano s~ao reais e os auto{vetores orrespondentes �a auto{valores distintos s~ao ortogonais.Prova. Seja T um operador auto{adjunto T = T � e onsidere as equa� ~oesTx1 = �1x1 e Tx2 = �2x2 :Temos (x1; Tx2) = (x1; T �x2)de onde segue 0 = (x1; Tx2)� (x1; T �x2)= (x1; Tx2)� (Tx1;x2)= (x1; Tx2)� (x2; Tx1)= ��2 � ��1� (x1;x2)Se x1 = x2 ent~ao (x1;x2) = kx1k2 6= 0, �2 = �1 e �1 � ��1 = 0. Por outro lado, se�1 6= �2 ent~ao os auto{vetores asso iados s~ao ortogonais (x2;x1) = 0 2De�ni� ~ao 1.1.41 Uma matriz A �e uma matriz normal se o onjunto de seus auto{vetores S = fx1; : : : ;xng formarem uma base ortogonal de Rn .Teorema 1.1.42 Toda matriz normal �e uma matriz simples.

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 23Prova. Se os auto{valores forem simples �e imediato. Se � tiver multipli idade alg�ebri am ent~ao tamb�em existem asso iados a �, m auto{vetores ortogonais que formam umabase para N (A� �I). 2Se A for uma matriz normal e S = fx1; : : : ;xng for a base ortonormal formada pelosauto{vetores normalizados de A ent~ao a matriz dos auto{vetores X = [x1 � � �xn℄ �e umamatriz ortogonal X�1 = XT (ou unit�aria X�1 = Xy no aso do espa� o ser omplexo).Veri�que ! Portanto, A �e diagonalizavel pela transforma� ~ao de similaridadeD = XyAX (1.1.29) om D = diag f�1; : : : ; �ng.Chamamos de transforma� ~ao unit�aria as transforma� ~oes de similaridade realizadaspor matrizes unit�arias. Dado uma matriz A, o onjunto de todas as matrizes da formaB = U yAUpara alguma matriz unit�aria U , forma uma lasse de equivalên ia.Teorema 1.1.43 Uma matriz A �e normal se e somente se for unitariamente equivalentea matriz diagonal D de seus auto{valores.Nem toda matriz A 2 L (Rn) (ou L (C n)) �e unitariamente equivalente a algumamatriz diagonal D. O m�aximo que podemos a�rmar �e o seguinte.Teorema 1.1.44 (Shur{Toeplitz) Toda matriz em L(C n) �e unitariamente equiva-lente a uma matriz triangular superior.Segue deste resultado:Teorema 1.1.45 A �e uma matriz normal se e somente seAAy = AyA (1.1.30)Prova. (=)) Se A for normal segue do Teorema 1.1.43 que A �e unitariamente equiva-lente a uma matriz diagonal: A = XyDX , por onseguinteAAy = XyDXXyDX = XyDDX = XyDDX = �XyDX�yXyDX = AyA

24 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSO lado reverso ((=), pelo Teorema 1.1.44, existe uma transforma� ~ao unit�aria Utal que B = U yAU �e triangular superior. Se A satisfaz (1.1.30) ent~ao veri� a{se queBBy = ByB. Esta equa� ~ao ombinada om o fato de B ser triangular superior impli aque B �e diagonal e portanto uma matriz normal. 2Note que qualquer matriz hermiteana ou unit�aria satisfaz a rela� ~ao (1.1.30). Conse-quentemente,Corol�ario 1.1.46 Toda matriz hermitiana (ou unit�aria) pode ser diagonalizavel poruma transforma� ao unit�aria dada por (1.1.29).O espe tro �(A) = f�1; : : : �ng de uma matriz hermiteana A �e real ( omo j�a foi visto)pois Ay = �XyDX�y = XyDX = XyDX = Aisto �e D = D. O espe tro �(U) de uma matriz unit�aria U se en ontra no ��r ulo unit�ariofz 2 C : jzj = 1g. Isto segue pois, se Ux = �x om kxk2 = (x;x) = 1, ent~aoj(Ux; Ux)j = j�j2 (x;x) = j�j2 = 1(note que U yU = I).Proposi� ~ao 1.1.47 Uma matriz P 2 L (Rn) �e um projetor se P for idempotenteP 2 = P:Se P for idempotente, ent~ao1. (I � P ) �e idempotente;2. N (P ) = I (I � P );3. N (I � P ) = I (P ) .Veri� amos anteriormente que um projetor P satisfaz a propriedade de idempotên iaquando introduzido no m�etodo de Gram{S hmidt. Item 1 : resulta de(I � P ) (I � P ) = I � 2P + P 2 = I � 2P + P = I � P :As demais propriedades tamb�em seguem de forma imediata e d~ao origem ao seguinteTeorema 1.1.48 Toda matriz idempotente P �e uma matriz simples.

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 25Como P �e simples, P pode ser diagonalizavel. Antes de pro eder nesta dire� ~ao, dare-mos uma representa� ao matri ial para o operador de proje� ~ao (1.1.18). �E importantenotar que o operador P de proje� ~ao pode n~ao ser ortogonal: P �e um projetor ortogonalse e somente se P 2 = P e P y = P .Seja fe1; : : : ; eng uma base ortonormal de Rn e seja P o projetor no subespa� o Mkgerado pelos k primeiros vetores. Segundo a de�ni� ~ao (1.1.18), temosPx = (e1;x)e1 + � � �+ (ek;x)ek= e1(e1;x) + � � �+ ek(ek;x)= E1x+ � � �+ Ekx (1.1.31)onde, para todo l = 1; : : : ; k,El = el (el)T = 0B� el;1...el;n 1CA� el;1 � � � el;n � (1.1.32)�e a matriz obtida pela multipli a� ~ao da matriz n� 1 oluna el pela matriz 1� n linha(el)T . Para ver isso, basta apenas rees rever o produto es alar em (1.1.31) omo umproduto matri ial (el;x) = (el)T x = � el;1 � � � el;n �0B� x1...xn 1CA :De (1.1.32) o projetor (1.1.31) �e representado pela matriz P = [pi;j℄ ompi;j = e1;ie1;j + � � �+ ek;iek;j :O mais importante resultado desta subse� ~ao resulta da es olha de uma base ortonor-mal fx1; : : : ;xng de Rn formada pelos auto{vetores de uma matriz simples A.Teorema 1.1.49 (Teorema Espe tral) Seja A2L (Rn)uma matriz simples sim�etri a om auto{valores �1;: : :; �n e auto{vetores asso iados x1; : : : ;xn mutuamente ortogonaise normalizados. Se p for um polinômio, ent~aop (A) = nXj=1 p(�j)Ejonde Ej = xj (xj)T�e o projetor no subespa� o gerado por xj:Ej = 0B� xj;1...xj;n 1CA� xj;1 � � � xj;n � = 0B� x2j;1 � � � xj;1 xj;n... . . . ...xj;n xj;1 � � � x2j;n 1CA :

26 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSProva. Uma matriz sim�etri a A, e portanto normal, �e diagonalizavel pela matrizunit�aria dos auto{vetores X = [x1 � � � xn℄: D = X�1AX onde D = diag f�1; : : : ; �ng.Da mesma forma temos A = XDX�1, que por ser uma transforma� ~ao de similaridade,resulta Ak = �XDX�1� � � � �XDX�1� = XDkX�1para todo k 2 N om Dk = diag ��k1; : : : ; �kn.Se p(�) = a0 + a1�+ � � �+ an�n, usando linearidadep (A) = a0 + a1A+ � � �+ anAn= a0 + a1XDX�1 + � � �+ anXDnX�1= X (a0 + a1D + � � �+ anDn)X�1= X p (D) X�1 om p(D) = diag fp (�1) ; : : : ; p (�n)g. Como A �e uma matriz sim�etri a, �e portantonormal, a matriz dos auto{vetores X �e ortogonal: XT = X�1. O teorema segue destaexpress~ao. 2Pelo teorema espe tral, segue tamb�em que os auto-valores de um projetor P no sube-spa� oMk gerado pelos vetores fx1; : : : ;xkg da base a ima, s~ao � = 1 de multipli idadek e � = 0 de multipli idade n� k. Note que P = XDX�1 omD = diagf k�vezesz }| {1; : : : ; 1; (n�k)�vezesz }| {0; : : : ; 0 g :Exer �� io 1.1.50 Considere uma adeia linear �� li a om N �atomos (isto �e, om oN{�esimo �atomo adja ente ao primeiro). Cada �atomo pode estar em algum dos trêsestados A; B ou C, ex eto que um �atomo no estado A n~ao pode ser adja ente a um�atomo no estado C. Mostre que a densidade de entropias = limN!1 lnWNNonde WN �e o n�umero total de on�gura� ~oes permitidas, �e ln �1 +p2�. Qual �e o valorde s se o v��n ulo que pro��be o apare imento de pares AC ou CA em uma on�gura� ~aofor removido?Indi a� ~ao: De�na o vetor v(j) = �v(j)A ; v(j)B ; v(j)C � onde v(j)k �e o n�umero de on-�gura� ~oes permitidas em uma adeia de j �atomos om o j {�esimo �atomo no estadok = A;B ou C. Se M = 0� 1 1 01 1 10 1 1 1A ;

1.1. NOC� ~OES B�ASICAS DE ALGEBRA LINEAR 27ent~ao a seguinte rela� ~ao de re orre ia �e v�alida: v(j+1) =Mv(j). De onde segue queWN = TrMNonde TrK =Xj Kjj �e a soma dos elementos diagonais da matriz K.

O problema de auto{valores pode tamb�em ser interpretado omo um problema varia- ional. Seja T um operador auto{adjunto em um espa� o vetorial E unit�ario de dimens~aon. Pro uramos um extremo da forma quadr�ati a (x; Tx) sujeita a ondi� ~ao que x sejaum vetor de norma 1. Pelo m�etodo do multipli ador de Lagrange, isto �e obtido pelavaria� ~ao do fun ional G(x) = (x; Tx)� � (x;x)dado por:ÆzG(x) = lim"!0 G (x+ "z)�G (x)"= lim"!0 (x+ "z; T (x+ "z))� � (x+ "z;x+ "z)� (x; Tx)� � (x;x)"= 2<e (z; (T � �I)x) : (1.1.33)O vetor x� �e um extremo do fun ional G se ÆzG(x�) = 0 para toda dire� ~ao z 2E . Aequa� ~ao (1.1.33) se anula se e somente se � for um auto{valor de T . Se � for auto{valorsimples, ent~ao o auto{vetor asso iado x �e o �uni o extremo de G. Se � for um auto{valorm�ultiplo, ent~ao qualquer vetor x no n�u leo N (T � �I) �e um extremo.O vetor x� �e um m��nimo do fun ional G se a segunda varia� ~ao for positiva:Æz0ÆzG(x�) = 2<e (z0 (T � �I) z) > 0 :Em outras palavras, x� �e um m��nimo de G se T � �I for uma matriz positiva de�nida.Para isso, a ondi� ~ao ne ess�aria e suÆ iente �e que � seja o menor entre todos auto{valores e que seja simples.O vetor x� �e um m�aximo do fun ional G se a segunda varia� ~ao for negativa. Neste aso, x� �e o auto{vetor asso iado ao maior auto{valor � (�uni o se � for simples).A forma quadr�ati a �e um exemplo de um fun ional sobre E . Um fun ional F �e umaapli a� ~ao que asso ia a ada vetor x 2 E um n�umero F (x) 2 R (ou C ). Um fun ionalL �e linear se L(�x + �y) = �L(x) + �L(y)(ÆzG �e um exemplo) para o qual temos o seguinte resultado.

28 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSTeorema 1.1.51 (Teorema de Riesz) Seja L : E �! R (ou C ) um fun ional linearem um espa� o vetorial om produto interno. Ent~ao, existe um �uni o vetor l 2 E tal queL(x) = (l;x) :Este teorema tem uma interpreta� ~ao geom�etri a: os fun ionais lineares L sobre umespa� o E unit�ario, formam um espa� o vetorial normal ao hyperplano L(x) = 0. O onjunto E� dos fun ionais lineares sobre E forma um espa� o dual ao espa� o E .Usando a transforma� ao de similaridade X,(x; Tx) = �X�1x; DX�1x� = (y; Dy) = nXj=1 �j y2jde onde segue que os extremos de (x; Tx) est~ao rela ionados om o problema de auto{valores de T . O m�aximo de G �e atingido se � for o maior auto{valor de T :maxx:(x;x)=1 (x; Tx) = maxy:(y;y)=1 nXj=1 �j y2j = maxj �j(note que (y;y) = (X�1x; X�1x) = (x;x) pois X �e uma matriz ortogonal ou unit�aria);o m��nimo de G �e atingido se � for o menor auto{valor de T :minx:(x;x)=1 (x; Tx) = miny:(y;y)=1 nXj=1 �j y2j = minj �j :Os demais auto{valores s~ao obtidos restringindo o subespa� o sobre o qual G �e umextremo atrav�es da rela� ~ao de ortogonalidade.A base fyjgnj=1 �e onhe ida omo base dos eixos prin ipais de F , pois determina oseixos prin ipais de um elips�oide dado pela equa� ~ao (x; Tx) = 1.1.2 Sistema de Equa� ~oes Diferen iais Ordin�arias1.2.1 Equa� ~ao Linear Homog^enea om Coe� ientes ConstantesO seguinte problema de valores ini iais ser�a resolvido atrav�es dos resultados obtidos nase� ~ao anterior.Teorema 1.2.1 Seja A 2 L(Rn) uma matriz simples. Ent~ao, para todo x0 2 Rn , aequa� ~ao diferen ial linear dxdt = Ax (1.2.1) om ondi� ~ao ini ial x(0) = x0, tem uma �uni a solu� ~ao.

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 29Prova. Seja �1; : : : ; �n e x1; : : : ;xn os auto{valores e respe tivos auto{vetores de A.Como A �e simples, fx1; : : : ;xng pode ser es olhida omo sendo uma base ortonornal naqual A tem a forma diagonal: D = X�1AXonde X = [x1 � � �xn℄ �e a matriz dos auto{vetores e D = diag f�1; : : : ; �ng.Se x = Xy for uma solu� ~ao da equa� ~ao (1.2.1), ent~aodydt = dX�1Xydt = X�1dxdt = X�1Ax =X�1AXy = Dy : (1.2.2)(note que a matriz X n~ao depende da vari�avel t).Em termos de y o sistema de equa� ~oes (1.2.1) se desa opla:dyjdt = �j yj ; j = 1; : : : ; ne o vetor solu� ~ao y deste sistema �e �uni o para ada ondi� ~ao ini ial y(0) = X�1x0:yj = yj(0) et�j :Expli itamente, a solu� ~ao de (1.2.1) �e dada porx(t) = X y(t) = 0B� x1;1 � � � xn;1... . . . ...x1;n � � � xn;n 1CA0B� y1(0) et�1...yn(0) et�n 1CA : (1.2.3)que es rita em termos de suas omponentes resultaxj(t) = xj;1 y1(0) et�1 + � � �+ xj;n yn(0) et�n :Note que esta solu� ~ao �e �uni a pois X �e um isomor�smo e y(t) �e a �uni a solu� ~ao de(1.2.2). 2Exemplo 1.2.2 Considere a equa� ~ao (1.2.1) om A omo no Exemplo 1.1.37A = 0� 1 0 01 2 01 0 �1 1Ae ondi� ~ao ini ial x0 = (1; 1; 1). Usando as express~oes derivadas no Exemplo 1.1.37, a ondi� ~ao ini ial para o sistema desa oplado �ey(0) = X�1x0 = 120� 1 0 02 2 0�1 0 2 1A0� 111 1A = 0� 1=221=2 1A

30 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSque ao ser substitu��da na solu� ~ao (1.2.3) juntamente om seus auto{valores �1 = 1,�2 = 2 e �3 = �1, resultax(t) = X y(t) = 0� 2 0 0�2 1 01 0 1 1A0� (1=2) et2 e2t(1=2) e�t 1A = 0� et�et + 2 e2t(1=2) (et + e�t) 1AA solu� ~ao da equa� ~ao (1.2.1) tamb�em pode ser es rita em uma forma mais onve-niente a qual faremos uso frequentemente. De (1.2.3), temosx(t) = X y(t)= X etD y0= X etDX�1x0onde etD �e a matriz diagonal diag�et�1 ; : : : ; et�n. Denotando por et A a matriz resultanteda transforma� ~ao de similaridade et A = X et DX�1obtemos a seguinte f�ormula para a solu� ~ao de (1.2.1)x(t) = exp (t A) x0 (1.2.4)Veremos a seguir que o uso da nota� ~ao da \matriz exponen ial" �e onsistente omas propriedades da fun� ~ao exponen ial tal qual a onhe emos. A saberDe�ni� ~ao 1.2.3 A exponen ial de um operador T 2 L(Rn) �e a matriz obtida pela s�erieformal de matrizes exp T = I + T + 12T 2 + 16T 3 + � � � (1.2.5)Para que expT seja um objeto bem de�nido, a s�erie de potên ias (1.2.5) pre isa ser onvergente. Isto requer a introdu� ~ao de uma norma no espa� o vetorial L(Rn) a�mde que seja possivel avaliar a proximidade entre duas matrizes. Note que, se T = tD as�erie de potên ia etD = I + tD + 12t2D2 + � � ��e uma matriz diagonal [et�jÆij℄ ujos elementos n~ao nulos formam uma s�erie de Tayloret�j = 1 + t�j + 12t2�2j + � � �

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 31Como a s�erie de Taylor �e onvergente para todo �j 2 R, a s�erie de potên ias de etD podeser aproximada pela s�erie trun ada na ordem n ujo erroetD � (I + tD + 12t2D2 + � � �+ 1n!tnDn)tende a 0 quando n!1.A seguir daremos algumas propriedades da s�erie formal (1.2.5).1. Seja M 2 M(Rn) uma matriz inversivel e T 2 L(Rn). Ent~aoexp �M�1TM� =M�1 exp (T ) M2. Se T; S 2 L(Rn) omutam entre si ([T; S℄ = TS � ST = 0 ), ent~aoexp(T + S) = expT expS3. SejaM 2 M(Rn), M =M(t), uma matriz invers��vel ujos elementos mij = mij(t)s~ao fun� ~oes suaves da variavel t. Ent~aoddtM�1 = �M�1 _MM�1onde _M = dM=dt �e a matrix ujos elementos _mij s~ao derivadas temporais doselementos mij.Item 1: segue das propriedades da transforma� ~ao de similaridade. Para o item 2:,note que (T + S)2 = T 2 + 2TS + S2 �e satisfeita se e somente se [T; S℄ = 0. O item 3: �e onsequên ia da seguinte rela� ~ao0 = ddtMM�1 = _MM�1 +M ddtM�1Retornemos agora ao problema de valor ini ial (1.2.1) na forma matri ial:_T = AT e T(0) = I (1.2.6)Como T �e diferen i�avel e A �e onstante no tempo, AT �e diferen i�avel ed2Tdt2 = ddtAT = A _T = A2T

32 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSSegue por indu� ~ao que T �e in�nitamente diferen i�aveldnTdtn = ddtAdn�1Tdtn�1 = AnT om dnTdtn (0) = An. Portanto a s�erie de Taylor em t = 0T (t) = I + tA+ 12t2A2 + : : : (1.2.7)�e uma solu� ~ao formal da equa� ~ao (1.2.6).A solu� ~ao T do problema de valor ini ial (1.2.6) �e denominada Matriz Prin ipal.Denominamos Matriz Fundamental a matriz S que satisfaz apenas a primeira dasequa� ~oes (1.2.6). Estas matrizes satisfazem as seguintes propriedades:a. Dado que S �e uma matriz fundamental, S 0 �e uma matrizes fundamental se e somentese existir uma matriz onstante n~ao singular C (detC 6= 0) tal que S 0 = SC; 1b. Se S for uma matriz fundamental, ent~ao matriz prin ipal �e dada porT (t) = S(t)S�1(0) ; . Se T (t; t0) �e a matriz prin ipal solu� ~ao do problema de valor ini ial (1.2.6) om otempo ini ial t = 0 substituido por t0 (T (t) = T (t; 0)), ent~ao �e v�alida a propriedadede semi{grupo T (t; t0) = T (t; s)T (s; t0) om t0 � s � t.d. x(t) = T (t; t0)x0�e a solu� ~ao da equa� ~ao (1.2.1) om x(t0) = x0.Exer �� io 1.2.4 Demonstre as propriedades a.{d..Indi a� ~ao: Para a. use a propriedade 3: e a equa� ~ao (1.2.6) a�m de veri� ar queS 0 S�1 �e uma matriz onstante.1Note que a ordem do produto �e relevante: S0 = CS nem sempre �e uma matriz fundamental

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 33Para mostrar que a solu� ~ao (1.2.7) onverge uniformemente, e portanto repre-senta a solu� ~ao do problema de valor ini ial, introduzimos a seguinte norma no espa� ovetorial L(Rn) kAk := supx:kxk=1 kAxk (1.2.8)onde kxk2 = x21 + � � �+ x2n. Por ser uma norma, a desigualdade triangularkA+Bk � kAk+ kBk (1.2.9)�e satisfeita (Veri�que!). Al�em disso, segue da de�ni� ~ao (1.2.8) quekABk � kAk kBk (1.2.10)Em vista de (1.2.9) e (1.2.10), dado " > 0, existe N = N(") tal que Amm! + � � �+ Am+p(m+ p)! � kAmkm! + � � �+ kAm+pk(m+ p)!� kAkmm! + � � �+ kAkm+p(m+ p)!� kAkmm! �1 + kAk+ � � �+ kAkpp! �� kAkmm! ekAk < "para todo m; p > N e a s�erie de potên ias (1.2.7) �e uma s�erie de Cau hy, portanto onvergente.A solu� ~ao na forma (1.2.4) �e de fato mais geral que a express~ao (1.2.3) pois �e v�alidamesmo quando a matriz A em (1.2.1) n~ao �e diagonalizavel. A seguir daremos umexemplo simples, mas ilustrativos do aso geral, do �al ulo de expA quando A n~ao�e diagonalizavel.Exemplo 1.2.5 Considere a equa� ~ao (1.2.1) omA = � 1 �11 3 �e ondi� ~ao ini ial x0 = (1; 1). O polinômio ara ter��sti o (�) = det (A� �I) = (1 ��)(3 � �) + 1 = (�� 2)2 tem uma raiz dupla � = 2. Por�em asso iado ao auto{valor� = 2 tem-se apenas o auto{vetor x = (1;�1) e portanto dimN (A� �I) �e menor quea multipli idade de �. Embora A n~ao possa ser diagonalizada, podemos de omporA = � 2 00 2 �+ � �1 �11 1 � � S +N om N satisfazendo as seguintes propriedades:

34 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOS1. N �e uma matriz nilpotente de ordem 2:N2 = � �1 �11 1 �� 1 �11 1 � = � 0 00 0 � ;2. N omuta om S: NS = SN .De onde se on lue, em vista de (1.2.4) e destas propriedades, que a solu� ~ao de(1.2.1) �e x(t) = exp (tA)x0 = exp (t (S +N))x0 = exp (tS) (I + tN)x0e portantox(t) = e2t�� 1 00 1 � + t� �1 �11 1 �� 11 � = e2t� 1� 2t1 + 2t � :

Exer �� io 1.2.6 Resolva o problema de valor ini ial _x = Ax para as seguintes es olhasde A e ondi� ~ao ini ial x(0) = x0:1. A = � 0 31 �2 � e x0 = (3; 0)2. A = 0� 2 0 00 �1 00 2 �3 1A e x0 = (0;�1; 1)3. A = 0� 0 �1 01 0 0�1 0 2 1A e x0 = (1;�1; 2)4. A = � 2 �11 2 � e x0 = (1; 1)5. A = � 2 �10 2 � e x0 = (1; 1)6. A = � 0 �11 0 � e x0 = (1; 1)Nos items 4,5 e 6 al ule a solu� ~ao na forma x(t) = exp ftAgx0.

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 35Equa� ~oes de ordem superior, omo (1.1.4) om g � 0 no Exemplo 1.1.6, podem seres ritas na forma (1.2.1). Dado n fun� ~oes ont��nuas a valores reais a1; : : : an, onsiderea equa� ~ao P (D)f = f (n) + a1f (n�1) + � � �+ an�1f 0 + anf = 0 (1.2.11)onde f (k) = Dkf denota a k{�esima derivada de f . De�nindo novas variaveis x1 :=f; x2 := f 0; : : : ; xn := f (n�1) esta equa� ~ao �e equivalente ao sistemax01 = x2 ;x02 = x3 ;...x0n = �an x1 � � � � � a1 xn : (1.2.12)que por sua vez, denotando x =(x1; : : : ; xn) um vetor em Rn , pode ser es rito na formamatri ial x0 = Ax (1.2.13)onde A = 0BBBBB� 0 1 0 � � � 00 0 1 � � � 0... ... ... . . . ...0 0 0 � � � 1�an �an�1 �an�2 � � � �a11CCCCCA :Note que o polinômio ara ter��sti o A(�) = det (A� �I) �e igual ao polinômio P (�) eportanto as ra��zes de P oin idem om os auto{valores de A.Exer �� io 1.2.7 Mostre que A(�) = P (�).Se x0 = �f(0); f 0(0); : : : ; f (n�1)(0)� for a ondi� ~ao ini ial para o problema de valorini ial (1.2.13) om A uma matriz onstante em t, a solu� ~ao de (1.2.11) �e �uni a e�e dada pela primeira omponente x1(t) = f(t) do vetor solu� ~ao x(t) = (x1(t); : : : ;xn(t)) = exp (tA)x0.Considere agora n solu� ~oes linearmente independentes x1;x2; : : : ;xn de (1.2.13) eseja S = [x1 x2 � � � xn℄ uma solu� ~ao fundamental dada porS = 0BBB� f1 f2 � � � fnf 01 f 02 � � � f 0n... ... . . . ...f (n�1)1 f (n�1)2 � � � f (n�1)n

1CCCA : (1.2.14)

36 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSO determinante da matriz fundamentaldetS(t) = W (f1; : : : ; fn; t) (1.2.15)�e denominado Wronskiano de P (D)f = 0 om respeito a f1; f2; : : : ; fn o qual denota-mos agumas vezes por W (f1; : : : ; fn) ou simplesmente por W (t).Devido ao fato que TrA = �a1, temos pela f�ormula de Abel{Liouville (1.2.20)W (f1; : : : ; fn; t) =W (f1; : : : ; fn; t0) exp�� Z tt0 a1(s) ds� ;de onde se on lui o seguinte:Teorema 1.2.8 A ondi� ~ao ne ess�aria e su� iente para que n solu� ~oes f1; : : : ; fn deP (D)f = 0 seja linearmente independente �eW (f1; : : : ; fn; t) 6= 0para algum instante t perten ente ao intervalo I de de�ni� ~ao das solu� ~oes.Exemplo 1.2.9 Considere a trajet�oria de um os ilador harmôni o des rita pelo prob-lema de valor ini ial a seguir: ��x +!2x = 0 (1.2.16) om x(0) = x0 e �x (0) = y0. Equa� ~ao (1.2.16) pode ser es rita na forma matri ial�x= Ax om x = �x; �x� e A = � 0 1�a2 �a1 � = � 0 1�!2 0 �Os auto{valores e orrespondentes auto{vetores s~ao:�1 = i! ; u1 = (1; i!)�2 = �i! u2 = (1;�i!)A solu� ~ao de (1.2.16) �e portantox(t) = X etDX�1x0= 12i! � 1 1i! �i! �� ei!t 00 e�i!t �� i! 1i! �1 �� x0y0 �= � os!t (1=!) sin!t�! sin!t os!t �� x0y0 � :e x(t) = x0 os!t+ y0! sin!t :

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 37Podemos interpretar a equa� ~ao (1.2.1) geometri amente. Para isso, onsidere aequa� ~ao dxdt = f(t;x) (1.2.17)onde f : � [a; b℄ � Rn �! Rn �e uma fun� ~ao ont��nua na primeira vari�avel e suavena segunda. Note que se f for linear om dependên ia expli ita do tempo, (1.2.17) �eequivalente a (1.2.1) om A = A(t). Uma solu� ~ao de (1.2.17) �e uma fun� ~ao diferen i�avelx(t) em [a; b℄ tal que (t;x(t)) 2 . A fun� ~ao f forma um ampo vetorial que asso iaa ada vetor (t;x) 2 o vetor (1; f(t;x)) tangente �a trajetoria (t;x(t)).Exer �� io 1.2.10 (Existên ia e Uni idade) Considere a equa� ~ao diferen ialdydt = A(t)y ; y 2 Rn ; (1.2.18) om A(t) = [aij(t)℄ uma matriz n � n ujos elementos s~ao fun� ~oes de t tais quejaij(t)j < 1 no intervalo [0; t0℄. Mostre que a matriz solu� ~ao Y (t) = [y1 y2 � � �yn℄, om yj satisfazendo (1.2.18), �e n~ao singular se o onjunto fy0;jg de ondi� ~oes ini iaisyj(0) = y0;j for linearmente independente.Indi a� ~ao: Siga as seguintes etapas.1. Mostre que o tra� o TrA = Pnj=1Ajj e o determinante detA de uma matriz A 2L(Rn) s~ao invariantes pela transforma� ~ao de similaridade.2. Assumindo que Y �e uma matriz diagonalizavel, demonstre a identidadedetY = exp fTr lnYg :3. Mostre que d detYdt = detY Tr�Y�1dYdt � (1.2.19)4. Usando a equa� ~ao matri ial dY=dt = A(t)Y om ondi� ~ao ini ial Y (0) = Y0 =[y0;1 � � �y0;n℄ e (1.2.19), mostre quedetY (t) = detY0 exp�Z t0 TrA(s) ds� (1.2.20)e on lua que detY (t) 6= 0 para t 2 [0; t0℄ se detY0 6= 0.

38 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOS1.2.2 Cadeias Harmôni as e a Equa� ~ao das OndasSeja ��y1 = �Ky1 �K (y1 � y2)��y2 = �Ky2 �K (y2 � y1) (1.2.21)as equa� ~oes de Newton de um sistema de duas part�� ulas de massa unit�aria a opladasentre si e om um ponto �xo por um poten ial harmôni o de onstante el�asti a K = 1.Desejamos determinar as ordenadas yj(t), j = 1; 2, que des revem o desvio de adapart�� ula om rela� ~ao ao seu ponto de equil��brio no instante t dado que ini ialmentey1(0) = 2, y2(0) = 0 e �y1 (0) = 0, �y2 (0) = 0.Equa� ~ao (1.2.21) pode ser rees rita na forma matri ial��y= Ayonde y = (y1; y2) �e um vetor em R2 eA = � �2 11 �2 � ;sujeita as ondi� ~oes ini iais y(0) = (2; 0) e �y (0) = (0; 0).A partir da equa� ~ao de auto{valores1p2 � �2 11 �2 �� 1a � = �p2 � 1a �obtemos a2 = 1 e � = a� 2que nos leva a D = diag f�1;�3g eX = X�1 = 1p2 � 1 11 �1 � :Es revendo z = X�1y, otemos duas equa� ~oes de segunda ordem desa opladas��z= Dz om odi� ~oes ini iais z(0) = �p2;p2� e �z (0) = (0; 0), uja solu� ~ao �e dada porz(t) = p2� os t osp3t �

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 39resultando y(t) = Xz(t) = � os t+ osp3t os t� osp3t � :Nesta subse� ~ao extenderemos a solu� ~ao da adeia harmôni a a ima de 2 para n� 1,n > 3, part�� ulas. Lembrando que as part�� ulas têm massa iner ial unit�aria e est~aoa opladas ao pares om suas extremidades a opladas a dois pontos �xos, veremos aseguir que esta solu� ~ao rees alada apropriadamente onverge, no limite n!1, para asolu� ~ao de uma orda vibrante que tem suas extremidades �xadas.Nosso objetivo �e ilustrar o surgimento de uma equa� ~ao �a derivadas par iais, equa� ~aodas ondas, a partir de uma sistema de equa� ~oes diferen iais ordin�arias, no aso uma adeia de os iladores harmôni os a oplados. O ponto a ser enfatizado �e que a solu� ~oes deequa� ~oes a derivadas par iais perten em a um espa� o vetorial de dimens~ao in�nita.Considere um onjunto de n � 1 part�� ulas puntuais om massa iner ial unit�ariao upando os s��tios de uma rede unidimensional de espa� amento a = �=n. Para serespe �� o, seja � = n�n; : : : ; (n� 1) �no = nj �n : j = 1; : : : ; n� 1oo onjunto das posi� ~oes de repouso destas part�� ulas. Cada part�� ula pode mover-se apenas transversalmente �a dire� ~ao da adeia e denotamos por yj = yj(t), j =1; : : : ; n�1, o deslo amento da j{�esima part�� ula om respeito sua posi� ~ao de equil��brioj�=n 2 � no instante t. Vamos tamb�em es olher uma ondi� ~ao de fronteira que orresponde a �xar duas part�� ulas adi ionais na posi� ~ao de repouso 0 e �:y0 = yn = 0 : (1.2.22)Estando estas part�� ulas a opladas aos pares por um poten ial harmôni o de inten-sidade K, as equa� ~oes de Newton que as des revem orrespondem ao seguinte sistema��yj= �K (yj � yj�1)�K (yj � yj+1) (1.2.23) om j = 1; : : : ; n�1 e ondi� ~oes de fronteira (1.2.22) ( ompare om as equa� ~oes (1.2.21)).Aqui temos duas alternativas para rees rever (1.2.23). Como anteriormente, deno-tamos y = (y1; : : : ; yn�1) um vetor em Rn�1 e ey = (y0;y1; : : : ; yn) o vetor extendido omas part�� ulas adi ionais. As equa� ~oes (1.2.23) podem ser es ritas na forma operatoriald2ydt2 �K�y = 0 (1.2.24)onde �� = r�r = rr� �e o operador de segunda diferen� a �nita de Lapla e de�nidono Exemplo 1.1.8: (��y)j = 2yj � yj+1 � yj�1 (1.2.25)

40 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOS om ondi� ~oes de fronteira (1.2.22).As equa� ~oes (1.2.23) tamb�em podem ser es ritas na forma matri iald2ydt2 +K Ay = 0 (1.2.26) om A = 0BBBBB� 2 �1 0 � � � 0�1 2 �1 � � � 00 �1 2 � � � 0... ... ... . . . ...0 0 0 � � � 21CCCCCA (1.2.27)n~ao sendo aqui ne ess�ario espe i� ar as ondi� ~oes (1.2.22) pois A j�a as ont�em.Nota 1.2.11 As equa� ~oes (1.2.23) podem ser derivadas a partir da Hamiltoniana H =T + V onde V = K2 n�1Xi=0 (yi � yi+1)2 + V0�e a energia poten ial om V0 uma onstante, eT = 12 n�1Xj=1 p2j�e a energia in�eti a total, a soma das energias in�eti as de ada part�� ula, om pj = pj(t)o momento da part�� ula que se en ontra em j�=n no instante t. A Hamiltoniana �euma forma quadr�ati a do vetor (extendido) posi� ~ao y = (y1; : : : ; yn�1) das part�� ulas edo vetor momento p = (p1; : : : ; pn�1) que s~ao onsiderados, neste formalismo, omovariaveis independentes. Denotando por(x; z) = 1n n�1Xj=1 xj zj (1.2.28)o produto interno no espa� o vetorial, a HamiltonianaH(y;p) = n2 (p;p) + Kn2 (ry;ry) + V0= n2 (p;p) + Kn2 (y;��y) + V0gera a evolu� ~ao temporal atrav�es das equa� ~oes de Hamilton{Ja obidpjdt = ��H�yj = �K (��y)jdyjdt = �H�pj = pj :

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 41Substituindo a primeira equa� ~ao na derivada da segunda, obtemos a equa� ~ao de movi-mento de Newton em � om ondi� ~oes de fronteira (1.2.22).Nosso objetivo �e resolver a equa� ~ao (1.2.24) ou (1.2.26) sujeita, por simpli idade, �asseguintes ondi� ~oes ini iais para o vetor posi� ~ao y e vetor velo idade _y:y(0) = y0 e _y(0) = 0 : (1.2.29)Utilizaremos o pro edimento adotado para n = 3 no exemplo anterior que onsiste emdesa oplar o sistema por interm�edio da matriz dos auto{vetores X. Para o problema emquest~ao, veremos que os auto{valores e auto{vetores podem ser expli itamente obtidospara todo n.Note que o operador �� e auto{adjunto: (u;��v) = (��u;v) e portanto, peloTeorema 1.1.40, a equa� ~ao ��u = �u (1.2.30)possui n � 1 auto{valores �1; : : : ; �n�1 reais e respe tivos auto{vetores u1; : : : ;un�1,mutuamente ortogonais.Veri� aremos a seguir que as auto{fun� ~oes uk = (uk;1; : : : ; uk;n�1) ; k = 1; : : : ; n� 1,de �� que satisfazem as ondi� ~oes de fronteira (1.2.22) tem omponentesuk;j = p2 sin k�jn (1.2.31)onde a onstante �e es olhida tal que kukk2 = (uk;uk) = 1:2n n�1Xj=1 sin2 k�jn = 2n n�1Xj=0 sin2 k�jn = 1n n�1Xj=0 �1� os k2�jn � = 1pois a soma dos ossenos se anula.Usando a de�ni� ~ao (1.2.25) e a rela� ~aosin� (j � 1) = sin�j os�� sin� os�jtemos (��uk)j = p2�2 sin k�jn � sin k�(j + 1)n � sin k�(j � 1)n �= �2� 2 os k�n�p2 sin k�jn= �2� 2 os k�n� uk;j

42 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSde onde se on lui que uk = (uk;1; : : : ; uk;n�1) satisfaz (1.2.30) om�k = 2 (1� os ka)onde a = �=n. 2Exer �� io 1.2.12 Veri�que que ei�j e e�i�j, om � = �(�) apropriado, s~ao duassolu� ~oes linearmente independentes da equa� ~ao (1.2.30) e, em seguida, determine osauto{valores e auto{vetores impondo as ondi� ~oes de fronteira (1.2.22) �a solu� ~ao geral,demonstrando desta maneira ��uk = 2 (1� os ka) uk (1.2.32)Exer �� io 1.2.13 Cal ule os auto{valores/vetores da matriz A dada por (1.2.27), emR3 (n = 5) e R5 (n = 7). Compare seu resultado om (1.2.32) e (1.2.31).Seja y = Xz, onde X = (1=pn) [u1 � � �un�1℄ e seja = diag f!1; : : : ; !n�1g a matrizdiagonal om elementos !k = pK �k. Ent~ao, a equa� ~ao (1.2.26) resulta emd2zdt2 + 2z = 0 om ondi� ~oes ini iais dadas porz0 = X�1y0= �1=pn�0B� �u1�...�un�1� 1CA0B� y0;1...y0;n�1 1CA= pn0B� (u1;y0)...(un�1;y0) 1CAe �z0= 0(lembre-se que X �e uma matriz ortogonal: X�1 = XT devido a ortonormalidade dosauto{vetores om respeito ao produto interno (1.2.28)).O problema de valor ini ial a ima possui uma �uni a solu� ~ao z(t) = (z1(t); : : : ; zn�1(t)) ujas omponentes zk(t) = z0;k os!kt ; k = 1; : : : ; n� 1 :

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 43A solu� ~ao da equa� ~ao (1.2.24) �e portantoy(t) = 1pn 0� j ju1 � � � un�1j j 1A0B� z1(t)...zn�1(t) 1CA= n�1Xk=1 os!kt (uk;y0) uk= n�1Xk=1 os!kt Eky0onde Ek �e o projetor ortogonal no subespa� o gerado pelo vetor uk. Em omponentes,yj(t) = p2 n�1Xk=1 (uk;y0) sin kja os!kt= 1p2 n�1Xk=1 (uk;y0) fsin (kja� !kt) + sin (kja+ !kt)g

O Limite do Continuo. A seguir faremos om que o n�umero de graus de liberdade n� 1deste sistema, tenda a in�nito. Tomando n ! 1, o espa� amento entre as part�� ulasa = �=n ! 0, o espa� o � dos pontos de equil��brio do sistema torna{se denso nointervalo [0; �℄ da reta real e o produto interno (1.2.28) torna-se o produtohf; gi = 1� Z �0 f(x) g(x) dx (1.2.33)entre duas fun� ~oes f e g em [0; �℄.A�m de tornar pre isa esta no� ~ao, vamos introduzir uma isometria in entre espa� ovetorial Rn�1 e o espa� o L20(0; �) das fun� ~oes degraus f de quadrado integravel em (0; �)tais que f(0) = f(�) = 0: in : Rn�1 �! L20(0; �)(in u) (x) = 8<: u[x=a℄ se x 2 (0; �)0 se x = 0; � (1.2.34)onde [z℄ 2 Z �e a parte inteira do n�umero z 2 R. O termo isometria �e devido a seguintepropriedade: se f = in u, ent~ao a norma de f oin ide om a norma de ukfk2 = hf; fi = hin u; in ui = hin u; in ui = �u; iynin u� = (u;u) = kuk2

44 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOS om o operador adjunto iyn : L20(0; �) �! Rn�1 dado por�iynf�j = n Z (j+1)aja f(x) dx (1.2.35)Exer �� io 1.2.14 Mostre que iyn �e o operador adjunto a in veri� ando a rela� ~aohf; in ui = �iynf;u�para todo vetor u 2 Rn�1 e fun� ~ao f 2 L20(0; �). Em seguida, mostre que iynin �e a matrizidentidade.Indi a� ~ao: Use as de�ni� ~oes (1.2.34), (1.2.35), (1.2.28) e (1.2.33).Mostraremos a seguir que K in (��)iynf onverge, es olhendo K = K(n) onvenien-temente, para o Lapla eano ��2�2f�x2 em (0; �) om ondi� ~oes de Diri hlet na fronteira.Segue de (1.2.25)K � (��)iynf�j =K ��iynf�j � �iynf�j�1 � �iynf�j+1 + �iynf�j� :Tomando K = n2, temosn2 �in (��)iynf� (x) = �n �iynf�[x=a℄ � �iynf�[x=a℄�1�=n � �iynf�[x=a℄+1 � �iynf�[x=a℄�=n != �n�f ([nx℄=n)� f ([nx℄=n� a)a�f ([nx℄=n + a)� f ([nx℄=n)a �+O� 1n�= �2a �f (x)� f (x� a)a � f (x + a)� f (x)a � +O� 1n�= ��2�2f�x2 (x) +O� 1n�Note que os auto{valores, �k = 2 (1� os ka) = 4 sin2 ka=2 onvergem, se multipli- ados por n2: 4n2 sin2 k �2n �! �2k2 ;quando n ! 1, para os auto{valores de ��2�2=�x2, om k = 1; 2; : : :. Os respe tivosauto{vetores (inuk) (x) = p2 sin k[x=a℄a onvergem para os modos normais de vibra� ~aouk(x) = p2 sin kx de uma orda ujos extremos s~ao �xos em 0 e �.

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 45A equa� ~ao diferen ial ordinaria (1.2.24) no limite n ! 1 torna{se a equa� ~ao dasondas �2f�t2 � v2�2f�x2 = 0no dom��nio t � 0; 0 � x � �, om � = �, ondi� ~oes de fronteira f(t; 0) = f(t; �) = 0 e ondi� ~oes ini iais f(0; x) = f0(x) = limn!1 (inu0) (x) = limn!1 (u0)[nx=�℄e f 0(0; x) = 0.Este problema de valores ini ial e de fronteira (PVIF) pode ser resolvido pelom�etodo de Fourier de separa� ~ao de variaveis, uja solu� ~ao �e dada porf(t; x) =r12 1Xk=1 huk; f0i fsin (k (x� vt)) + sin (k (x + vt))g :1.2.3 Equa� ~ao Linear N~ao{HomogêneaConsideremos agora o problema de valor ini ial em Rn para a equa� ~ao n~ao homogêneadxdt = Ax+ f (1.2.36) om x(0) = x0, A uma matriz n � n onstante em t e f : R+ �! Rn uma fun� ~ao ont��nua.Proposi� ~ao 1.2.15 A solu� ~ao da equa� ~ao (1.2.36) �e dada pela f�ormula de varia� ~ao das onstantes x(t) = xh(t) + xp(t) (1.2.37)onde xh(t) = exp ftAgx0�e a solu� ~ao da equa� ~ao homogênea ((1.2.36) om f = 0) e xp �e a solu� ~ao parti ularxp(t) = Z t0 e(t�s)Af(s) ds : (1.2.38)Prova. Veri� a-se que (1.2.38) satisfaz (1.2.36) usando o teorema fundamental do �al ulo: dxpdt (t) = ddt Z t0 e(t�s)Af(s) ds= e(t�s)A f(s)��s=t + Z t0 Ae(t�s)Af(s) ds= f(t) + Axp(t)

46 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSde onde segue dxdt = d (xh + xp)dt = Axh + f + Axp = Ax + fComo f e etAs~ao ont��nuas temos que xp(0) = 0 ex(0) = xh(0) = x0 :Resta{nos mostrar que a solu� ~ao do problema de valor ini ial (1.2.36) �e �uni a. Vamosassumir que x1 e x2 sejam duas solu� ~oes distintas do problema (1.2.36). Ent~ao y = x2�x1 satisfaz a equa� ~ao dydt = Ax2 + f� (Ax1 + f) = Ay om y(0) = x2(0) � x1(0) = 0. Pelo Teorema 1.2.1, a �uni a solu� ~ao �e y(t) = 0 ontradizendo a hip�otese de x1 e x2 serem distintas. 2A solu� ~ao (1.2.38) pode ser deduzida. Ini ialmente seja A uma matriz diagonal-izavel. Neste aso o sistema de equa� ~oes (1.2.36) pode ser desa oplado, as equa� ~oesresolvidas individualmente e rea opladas novamente. Sendo este pro edimento enpre-gado frequentemente nas se ~oes anteriores, abreviaremos seus passos.Se X = [x1 � � �xn℄ �e a matriz de auto{vetores, D = diag f�1; : : : ; �ng, z = X�1x eg =X�1f , ent~ao (1.2.36) reduz{se a forma diagonaldzdt = Dz+ g (1.2.39)que pode ser resolvida pela transformada de Lapla e (veja se� ~ao 4-3, pg. 107 de \Math-emati al Methods of Physi s", Mathews e Walker):L [z℄ (s) := Z 10 e�st z(t) dt : (1.2.40)Note que esta transforma� ~ao satisfaz a propriedade de linearidade L[�w+�z℄ = �L[w℄+�L[z℄.Apli ando (1.2.40) em (1.2.39), obtemos para ada omponente a equa� ~ao alg�ebri asL [zj℄ = �j L [zj℄ + L [gj℄ (1.2.41) uja solu� ~ao L [zj℄ = 1s� �j L [gj℄

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 47leva �a solu� ~ao de (1.2.39) tomando{se a transformada de Lapla e inversa:zj = L�1 � 1s� �jL [gj℄� :Para se efetuar esta opera� ~ao, de�nimos o produto de onvolu� ~ao entre duasfun� ~oes v; w : R+ �! R: (v � w) (t) := Z t0 v(t� s)w(s) dse enun iemos o seguinteTeorema 1.2.16 (Teorema da onvolu� ~ao) Se V = L[v℄ e W = L[w℄ forem astransformadas de Lapla e das fun� ~oes v; w : R+ �! R, ent~aoL[v � w℄(s) = V (s)W (s) :Con lu��mos do teorema da onvolu� ~ao,zj(t) = L�1 � 1s� �jL [gj℄� (t) = �L�1 � 1s� �j � � gj� (t) = Z t0 e(t�s)�j gj(s) ds :(1.2.42)Na dedu� ~ao deste resultado �zemos uso das seguintes igualdades:1. A transformada de Lapla e de fun� ~ao exponen ial:L �e�j t� (s) = Z 10 e�st e�j tdt = 1s� �j (1.2.43)se s > �j;2. Segue da integra� ~ao por partes e da ondi� ~ao ini ial z(0) = 0,L �dzjdt � (s) = Z 10 e�st dzjdt (t) dt = sL [zj℄ (s)� zj(0) = sL [zj℄ (s) :�E um simples exer �� io mostrar que x(t) = Xz(t), onde z(t) �e o vetor om ompo-nentes (1.2.42), �e a solu � ~ao parti ular xp(t) dada por (1.2.38):x(t) = Z t0 Xe(t�s)D g(s) ds= Z t0 Xe(t�s)DX�1f(s) ds= Z t0 e(t�s)A f(s) ds :

48 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOS2A solu� ~ao xp(t) pode ser deduzida mesmo quando A n~ao for diagonalizavel. Nasubse� ~oes anteriores vimos que a exponen ial de uma matriz se omportava de maneiraanaloga a fun� ~ao exponen ial usual. Veremos a seguir que (1.2.43) pode ser extendidapara matrizes L �etA� (s) = Z 10 e�st etAdt = 1sI � Ase s > � = max� �(A).Apli ando a matriz sI � A �a L �etA� e usando integra� ~ao por partes,(sI � A) Z 10 e�st etAdt = Z 10 s e�st etAdt� Z 10 e�st detAdt dt= � e�st etA��1t=0 = Iprovando a a�rma� ~ao. A dedu� ~ao da solu� ~ao xp para matrizes n~ao diagonalizaveis segueos mesmos passos da dedu� ~ao anterior substituindo �j pela matriz A.Exer �� io 1.2.17 Demonstre a f�ormula de varia� ~ao das onstantes usando transfor-mada de Lapla e diretamente na equa� ~ao matri ial (1.2.36).

Extendendo o dom��nio de f para toda reta tomando f(t) = 0 se t < 0, a solu� ~aoparti ular (1.2.38) pode ser es rita omoxp(t) = Z 1�1G(t� s) f(s) ds (1.2.44)onde G(t) = �(t) exp ft Ag om�(t) = 8<: 1 se t � 0 ;0 se t < 0 ;�e denominada matriz de Green ou matriz resposta.A matriz G(t) �e a resposta do sistema linear (1.2.36) por uma perturba� ~ao instan-tanea Æ em t = 0 om as seguintes ara ter��sti as:1. Æ(t) = 0 para todo t 6= 0,

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 492. Z 1�1 Æ(t) dt = 1.A fun� ~ao degrau �(t) e a fun� ~ao delta de Dira Æ, s~ao fun� ~oes no sentido generalizado, onhe idas omo distribui� ~oes. Na pr�oxima se� ~ao daremos a de�ni� ~ao pre isa destasfun� ~oes generalizadas que, na realidade s~ao fun ionais lineares. Antes disso, derivaremosa equa� ~ao para a matriz de Green G . Usaremos a seguinte de�ni� ~ao da fun� ~ao deltade Dira :De�ni� ~ao 1.2.18 Æ �e o fun ional linearÆ(') = Z 1�1 Æ(t)'(t) dt = '(0)que asso ia a ada fun� ~ao ont��nua ' o n�umero real '(0).Pela regra de Leibnitz, a derivada de G om respeito a t �edGdt (t) = �(t)AetA + �0(t) etA : (1.2.45)Note que �0(t) = 0 para todo t 6= 0. Seja '(t) uma fun� ~ao ont��nua e diferen iavel.Integrando (1.2.45), obtemosZ 1�1 '(t) ddtG(t) dt = Z 1�1 '(t) AG(t) dt+ Z 1�1 '(t)�0(t) etA dt (1.2.46)= Z 1�1 '(t) AG(t) dt+ '(0)I:Para o segundo termo desta igualdade observe que, para todo " > 0,Z 1�1(t) �0(t) dt = Z "�"(t) �0(t) dt= (t) �(t)j"�" � Z "�" 0(t) �(t) dt= (") � Z "0 0(t) dt = '(0)pois (t) = '(t) etA �e ont��nua e diferen iavel em t.Como ' �e arbitr�ario, (1.2.46) e a de�ni� ~ao 1.2.18 impli am emdGdt = AG+ I Æ(t) :

50 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSExemplo 1.2.19 A equa� ~ao n~ao{homogênea de segunda ordemd2ydt2 + !2y = f(t) ; t � 0 (1.2.47)pode ser posta na forma _x = Ax + f se x = (x1; x2) for o vetor om omponentesx1 = x1(t) = y(t), x2 = x2(t) = _y(t); A for a seguinte matriz 2� 2A = � 0 1�!2 0 � ;e f = f(t) = (0; f(t)) (veja (1.2.11) e equa� ~oes que a seguem). Uma solu� ~ao parti ular �edada por (1.2.44) onde a matriz de Green G(t) = �(t)etA pode ser al ulada resolvendoo problema de auto{valores de A: A = XDX�1onde D = diag f�1; �2g e X = [v1 v2℄ �e a matriz dos auto{vetores de A. Veri� a{se que�1 = i!, �2 = �i! e v1 = (1; i!), v2 = (1;�i!) (veja Exer �� io 1.2.9),X = � 1 1i! �i! � e X�1 = 12i! � i! 1i! �1 � :e portanto, exp ftAg = X exp ftDgX�1= � os!t (1=!) sin!t�! sin!t os!t � :Uma solu� ~ao parti ular de (1.2.47) �e dada pela primeira omponente x1(t) do vetorx(t) = Z t0 exp f(t� s)Ag f(s) ds:y(t) = Z t0 sin! (t� s)! f(s) ds : (1.2.48)Exemplo 1.2.20 (M�etodo Alternativo) Uma solu� ~ao parti ular de (1.2.47) podeser obtida da seguinte forma. A fun� ~ao de Green satisfazd2Gdt2 + !2G = Æ(t) ; t � 0 (1.2.49)(note que aqui G �e de fato uma fun� ~ao), que �e equivalente a equa� ~ao homogênead2Gdt2 + !2G = 0 ; t > 0

1.2. SISTEMA DE EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS 51 om as seguintes ondi� ~oes ini iaisG(0) = 0 ; limt&0 dGdt (t) = 1:Para ver isto, onsidere a integral de (1.2.49) no intervalo [�"; t℄ para algum " > 0:Z t�" d2Gds2 (s) ds+ !2 Z t�"G(s) ds = Z t�" Æ(s) dsdGdt (t) + !2 Z t�"G(s) ds = 1 (1.2.50)pois G(t) = 0 para t < 0. Integrando uma vez mais (1.2.50), obtemosG(t) + !2 Z t�" Z s�"G(s0) ds0 ds = t� " : (1.2.51)As ondi� ~oes ini iais seguem de (1.2.51) e (1.2.50) tomando t e " para zero.A solu� ~ao da equa� ~ao homog^enea ompat��vel om estas ondi� ~oes ini iais �eG(t) = �(t) sin!t! :Novamente a solu� ~ao (1.2.48) �e obtida tomando a onvolu� ~ao de G om f : y(t) =(G � f) (t).Exemplo 1.2.21 (Equa� ~ao de Helmholtz) Considere agora a equa� ~ao para solu� ~aoesta ion�aria de uma orda vibranted2ydx2 + k2y = f(x) ; 0 � x � � ; (1.2.52)k =2 Z e sujeita a ondi� ~ao y(0) = y(�) = 0. Uma solu� ~ao parti ular �e da formay(x) = Z �0 G(x; x0) f(x0) dx (1.2.53)onde a fun� ~ao de Green G(x; x0) satisfaz a equa ~ao G00 + k2G = Æ(x� x0). Utilizando om�etodo do exemplo anterior, a fun� ~ao de Green satisfaz o seguinte onjunto de equa� ~oesd2Gdx2 + k2G = 0 ; 0 � x < x0 ; (1.2.54) om G(0; x0) = 0; d2Gdx2 + k2G = 0 ; x0 < x � � ; (1.2.55)

52 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOS om G(�; x0) = 0; G(x; x0) �e ont��nua em x = x0 elimx&x0 dGdx (x; x0)� limx%x0 dGdx (x; x0) = 1 :A solu� ~ao de (1.2.54) e (1.2.55) �eG(x; x0) = 8<: (x0) sin kx se 0 � x < x0d(x0) sin k (x� �) se x0 < x � � :onde e d s~ao fun� ~oes independentes de x determinadas pelas demais ondi� ~oes: sin kx0 = d sin k (x0 � �)e k (d os k (x0 � �)� os kx0) = 1 :Portanto, = sin k (x0 � �)k sin k� ; d = sin kx0k sin k�e G(x; x0) = 8>>><>>>: sin k (x0 � �) sin kxk sin k� se 0 � x < x0sin kx0 sin k (x� �)k sin k� se x0 < x � � : (1.2.56)A fun� ~ao de Green (1.2.56) pode ainda ser es rita omoG(x; x0) = os k (x + x0 � �)2k sin k� � os k (jx� x0j � �)2k sin k�= GR(x; x0) +GS(x; x0) (1.2.57)onde GR(x; x0) = 12k sin k (x + x0)� ot k�k sin kx sin kx0�e a parte regular da fun� ~ao de Green eGS(x; x0) = �sin k jx� x0j2ksua parte singular. Note que esta �ultima depende apenas da variavel diferen� a emm�odulo: GS(x; x0) = GS(x� x0) = GS(jx� x0j).Exer �� io 1.2.22 Demonstre (1.2.57) e veri�que que (1.2.53) satisfaz a equa� ~ao difer-en ial (1.2.52) juntamente om sua ondi� ~ao de fronteira.

1.3. DISTRIBUIC� ~OES 531.3 Distribui� ~oesVimos na Se� ~ao 1.1 a de�ni� ~ao e alguns resultados para fun ionais lineares em espa� osvetoriais isomorfos a Rn . Aqui estenderemos esta no� ~ao para o espa� o vetorial D dasfun� ~oes suaves de suporte ompa to.De�ni� ~ao 1.3.23 O espa� o vetorial das fun� ~oes testes D �e formado pelo onjuntodas fun� ~oes ' : R �! R tais que1. dn'dxn (x0) existe para todo n 2 N e x0 2 R,2. ' se anula fora de um intervalo �nito I, denominado suporte de '.Um fun ional linear T em D asso ia a ada fun� ~ao ' um n�umero real T (') tal quea rela� ~ao T (�1 '1 + �2 '2) = �1 T ('1) + �2 T ('2)�e satisfeita para todo �1; �2 2 R e '1; '2 2 D.De�ni� ~ao 1.3.24 Um mapeamento T �e uma distribui� ~ao se este for um fun ionallinear ontinuo sobre D.A no� ~ao de ontinuidade para um fun ional linear �e a seguinte: T �e ont��nuo seT ('n) �! 0 ;quando n ! 1, para toda sequ^en ia de fun� ~oes testes f'ngn2N tais que 'n e todas assuas derivadas tendem uniformemente para a fun� ~ao nula quando n!1.Como vimos, o teorema de Riesz garante que para todo fun ional linear L em Rnexiste um �uni o vetor l 2 Rn tal que L �e dado pelo produto internoL(x) = (l;x) :Um resultado an�alogo em teoria das distribui� ~oes permite representar um fun ionallinear T em D por uma fun� ~ao f atrav�es da integralT (') = Z 1�1 f(x)'(x) dx : (1.3.58)A integral (1.3.58) de�ne o dual D0 ao espa� o das fun� ~oes testes D. D0 �e o espa� o detodos fun ionais lineares ont��nuos T em D que s~ao aqui identi� ados pelas \fun� ~oes" f

54 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOS's. Assim, tanto as fun� ~oes propriamente ditas omo as \fun� ~oes" singulares (delta deDira Æ ou derivadas desta), perten em a D0.Vimos que Æ �e o fun ional que asso ia a ada ' 2 D o valor '(0). Denotamos porÆx a fun� ~ao delta transladada de x 2 R:Æx(') = Z 1�1 Æ(x� y)'(y) dy = '(x) :Æx �e portanto o fun ional que asso ia a ada ' 2 D o valor '(x).Deste ponto de vista, a fun� ~ao degrau �, �e o fun ional linear que atribui a ada' 2 D o n�umero �(') = Z 1�1 �(y)'(y) dy = Z 10 '(y) dy :A derivada de uma distribui� ~ao tamb�em �e uma distribui� ~ao. Para exempli� ar estaa�rma� ~ao, veri�quemos que a rela� ~ao �0 = Æ (1.3.59)�e v�alida em distribui� ~ao. Integrando por partes�0(') = � Z 1�1 �(y)'0(y) dy= � Z 10 '0(y) dy (1.3.60)= � '(y)j10 = '(0) : 2Em (1.3.60) usamos a propriedade 2. da de�ni� ~ao das fun� ~oes em D. �E omumdenotar a rela� ~ao a ima na forma puntual: �0(x) = Æ(x), lembrando sempre que nestaexpress~ao estamos identi� ando o fun ional pela \fun� ~ao" que o de�ne.A rela� ~ao (1.3.59) sugere a seguinte de�ni� ~ao:De�ni� ~ao 1.3.25 A derivada T 0 de uma distribui� ~ao �e de�nida pela equa� ~aoT 0(') = �T ('0)v�alida para todo ' 2 D.

1.3. DISTRIBUIC� ~OES 55Exemplo 1.3.26 A distribui� ~ao m�odulo de x �e o fun ional linearjxj (') = Z 1�1 jyj '(y) dy= Z 10 y '(y) dy + Z 0�1 y '(y) dy= Z 10 y '(y) dy � Z 10 y '(�y) dye a derivada de jxj �e a fun� ~ao sinalxjxj = 8<: 1 se x > 0�1 se x < 0 :Usando integra� ~ao por partes e a de�ni� ~ao de derivada:jxj0 (') = � jxj ('0)= � Z 10 y '0(y) dy + Z 10 y '0(�y) dy= Z 10 '(y) dy + Z 10 '(�y) dy= Z 1�1 yjyj '(y) dyde onde se on lui que, embora a derivada da fun� ~ao jxj em x = 0 n~ao esteja de�nida, omo distribui� ~ao jxj0 �e a \fun� ~ao" sinal�(x) := xjxj = �(x)� �(�x):1.3.1 Problema de Cau hyConsideremos o problema de valor ini ial dado pela equa� ~ao das ondas�2u�t2 � �2�2u�x2 = 0 ; t > 0; �1 < x <1 ; (1.3.61)sujeita as ondi� ~oes ini iaisu(0; x) = 0 e �u�t (0; x) = (x) : (1.3.62)Este problema onhe ido omo problema de Cau hy, tem solu� ~ao geralu(t; x) = f(x� �t) + g(x+ �t) (1.3.63)

56 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DIN^AMICOSonde f e g s~ao fun� ~oes determinadas pelas equa� ~oes (1.3.62):u(0; x) = f(x) + g(x) = 0�u�t (0; x) = � (f 0(x) + g0(x)) = (x) (1.3.64)Resolvendo (1.3.64), obtemosf(x) = �g(x) e g(x) = 12� Z x�1 (y) dy ;que resulta na formula de D'Alembertu(t; x) = � 12� Z x��t�1 (y) dy + 12� Z x+�t�1 (y) dy= 12� Z x+�tx��t (y) dy (1.3.65)= Z 1�1 K(t; x� y) (y) dy � (K(t; � ) � ) (x)onde K �e a fun� ~ao de green do problemaK(t; x) = 12��(�t+ x) �(�t� x) = 8><>: 12� se jxj � �t0 se jxj > �t : (1.3.66)Como distribui� ~ao, K satisfaz a equa� ~ao das ondas (1.3.61) sujeita as ondi� ~oesini iais K(0; x) = 0 e �K�t (0; x) = Æ(x) : (1.3.67)Note que a segunda equa� ~ao de (1.3.69) �e n~ao{homog^enea. Veri� amos (1.3.67) derivan-do (1.3.66): �K�t (t; x) = 12 [Æ(�t+ x) �(�t� x) + �(�t+ x) Æ(�t� x)℄ (1.3.68)= 12 [Æ(�t+ x) + Æ(�t� x)℄e tomando t = 0.

1.3. DISTRIBUIC� ~OES 57Se as ondi� ~oes ini iais �a (1.3.61) foremu(0; x) = '(x) e �u�t (0; x) = 0 ; (1.3.69)de (1.3.63) segue a seguinte formula de D' Alembertu(t; x) = 12 ('(x� �t) + '(x+ �t))resultando, pela equa� ~ao (1.3.68), emu(t; x) = 12 Z 1�1 �K�t (t; x� y)'(y) dy � ��K�t (t; � ) � '� (x) : (1.3.70)As equa� ~oes (1.3.65) e (1.3.70) expressam o seguinte fato:Proposi� ~ao 1.3.27 (Regra de Stokes) A fun� ~ao resposta do problema de Cau hy(1.3.61) sujeito �a ondi� ~ao ini ial n~ao{homogênea nas posi� ~oes, �e a derivada tempo-ral da fun� ~ao resposta do problema de Cau hy (1.3.61) sujeito �a ondi� ~ao ini ial n~ao{homogênea nas velo idades.Como �ultima apli a� ~ao, onsidere a equa� ~ao das ondas n~ao{homogênea:�2u�t2 � �2�2u�x2 = f(t; x) ; t > 0; �1 < x <1 (1.3.71)sujeita �as ondi� ~oes ini iais u(0; x) = �u�t (0; x) = 0 :O m�etodo da fun� ~ao de Green estabele e omo solu� ~ao deste problema a seguinte on-volu� ~ao (no tempo e espa� o)u(t; x) = (K � f) (t; x) = Z 1�1 Z 1�1K(t� �; x� y) f(�; y) dx d� : (1.3.72)Denotando por � o operador D' Alembertiano:� = �2�t2 � �2 �2�x2 ;temos que �K(t; x) = 4�2 Æ(�t+ x) Æ(�t� x) : (1.3.73)

58 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINÂMICOSFazendo a mudan� a de variaveis� = �t+ x � = �t� x�0 = �� + y �0 = �� ye usando d�0 d�0 = �(�0; �0)� (�; y) d� dy = 2� d� dyobtem-se de (1.3.72) e (1.3.73) a equa� ~ao das ondas n~ao{homogênia�u(t; x) = Z 1�1 Z 1�1 Æ(� � �0) Æ(� � �0) f ((�0 + �0)=(2�); (�0 � �0)=2) dx d�= f ((� + �)=(2�); (� � �)=2) = f(t; x) :

Cap��tulo 2O problema de Sturm{Liouville

O problema de valor ini ial para sistemas de equa� ~oes diferen iais ordin�arias onsisteem determinar o estado do sistema no instante t dado o estado no instante t = t0.Neste tipo de problema apenas um ponto da reta real ont�em a informa� ~ao ne essariapara determinar univo amenete a solu� ~ao. Neste ap��tulo trataremos prin ipalmentede equa� ~oes diferen iais ordin�arias de segunda ordem sujeita a ondi� ~oes de fronteiraenvolvendo dois pontos distintos, tipi amente da forma� ddx �p(x)dudx� + q(x)u� ��(x)u = f(x) ; a < x < b (2.0.1)sujeita as ondi� ~oes de fronteira homogêneas�u(a) + �dudx(a) = 0 u(b) + Ædudx(b) = 0 : (2.0.2)Aqui, p(x) �e uma fun� ~ao diferen iavel e q(x), �(x) e f(x) s~ao fun� ~oes ont��nuas (p, q e� s~ao positivas) de�nidas no dom��nio a � x � b e �, �, e Æ s~ao onstantes.Denominamos de problema de Sturm{Liouville o onjunto de equa� ~oes (2.0.1) e(2.0.2).No Cap��tulo 3 veremos que este tipo de problema surge omo resultado da apli a� ~aodo m�etodo de separa� ~ao de variaveis �a equa� ~oes a derivadas par iais.Exemplo 2.0.28 Considere a ondu� ~ao de alor em uma barra n~ao{homogênea de ondutividade t�ermi a K(x), densidade � e alor espe �� o C onstantes. A barratem omprimento unit�ario e se en ontra isolada om suas extremidades mantidas �a59

60 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEtemperatura T = 0. Seja u(t; x) a temperatura no instante t do ponto x da barra. Ent~aou satisfaz a o seguinte onjunto de equa� ~oes�u�t � ��x ��(x)�u�x� = 0para todo t > 0 e 0 < x < 1, onde � depende de K, � e C, omu(t; 0) = u(t; 1) = 0e temperatura ini ial u(0; x) = f(x) dada.Es revendo u(t; x) = T (t)X(x), a parte espa ial deste problema �e reduzida aoseguinte problema de Sturm{Liouville� (�X 0)0 � �X = 0onde � �e uma onstante de separa� ~ao de variavel, omX(0) = X(1) = 0:2.1 O Problema de Auto{ValoresNas subse� ~oes a seguir mostraremos que o problema de Sturm{Liouville homogêneo(f = 0) �e um problema de auto{valores para operadores diferen iais auto{adjuntos.2.1.1 Equa� ~ao Diferen ial AdjuntaConsidere um sistema de equa� ~oes lineares de primeira ordemd�dx = A� (2.1.3)onde �(x) = (�1(x); : : : �n(x)) 2 Rn e A = A(x) uma matriz n � n ujas entradas s~aofun� ~oes de�nidas no dom��nio [a; b℄.De�ni� ~ao 2.1.29 O sistema de equa� ~oes diferen iais em Rnddx = B (2.1.4)�e adjunto ao sistema (2.1.3) se a matriz B = B(x) for igual a menos a matriz trans-posta de A (B = �AT ).

2.1. O PROBLEMA DE AUTO{VALORES 61Note que, se � e forem solu� ~oes de (2.1.3) e (2.1.4), respe tivamente, ent~ao oproduto interno (;�) = nXi=1 i(x)�i(x) de ambas �e independente de x:ddx (;�) = �ddx ;��+ �; d�dx�= (B;�) + (; A�) (2.1.5)= (B;�) + �AT;�� = 0 :Considere as matrizes fundamentais Y = [�1 � � ��n℄ e Z = [1 � � �n℄ formadas pelos onjuntos linearmente independente f�jgnj=1 e fjgnj=1, de solu� ~oes de (2.1.3) e (2.1.4),respe tivamente. Claramente, Y e Z s~ao matrizes invers��veis e satisfazem as equa� ~oesdYdx = AY (2.1.6)e dZdx = �ATZ : (2.1.7)Note ainda que (Y �1)T satisfaz a equa� ~ao (2.1.7), em vista do fatoddxY �1 = �Y �1dYdx Y �1 = �Y �1A :Proposi� ~ao 2.1.30 Se Y �e uma matriz fundamental de (2.1.3), ent~ao Z �e uma matrixfundamental da equa� ~ao adjunta (2.1.4) se e somente se Z for tal queZTY = C (2.1.8)para alguma matriz C onstante om detC 6= 0.Prova. Se Z for uma matriz fundamental de (2.1.4) ent~ao ZTY �e uma matriz omelementos (i;�j): ZTY = 0B� (1;�1) � � � (1;�n)... . . . ...(n;�1) � � � (n;�n) 1CA : (2.1.9)A proposi� ~ao �e onsequ^en ia dos seguintes fatos:1. De (2.1.8), segue ddxZTY = 0

62 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEque impli a, em vista de (2.1.9), ddx (i;�j) = 0para todo i; j 2 f1; : : : ; ng que por sua vez impli a a proposi� ~ao devido a (2.1.5).2. Como (Y �1)T �e uma matriz fundamental de (2.1.4), segue que Z = (Y �1)T CT �etamb�em uma matrix fundamental do mesmo sistema (note que detCT = detC 6=0) impli ando em (2.1.8). 2De�ni� ~ao 2.1.31 Um sistema de equa� ~oes (2.1.3) �e denominado auto{adjunto seeste for igual ao sistema de equa� ~oes adjunto, isto �e, A = �AT .2.1.2 Equa� ~ao Diferen ial Auto{AdjuntaIremos a partir daqui nos restringir a sistemas de equa� ~oes em R2 . Mas espe i� amente,�aqueles sistemas que d~ao origem a equa� ~oes diferen iais ordin�arias de segunda ordem.Considere o sistema de equa� ~oes (2.1.3) omA = � 0 1�a2 �a1 �uma matriz tal que a1 = a1(x) �e uma fun� ~ao diferen i�avel e a2 = a2(x) uma fun� ~ao ont��nua em [a; b℄. Se �(x) = (y(x); y0(x)), o sistema �e equivalente a equa� ~aoy00 + a1(x)y0 + a2(x) = 0 (2.1.10)(re orde as equa� ~oes que seguem a partir de (1.1.4)).Denominamos equa� ~ao adjunta �a (2.1.10) a equa� ~ao obtida a partir do sistemaadjunto (2.1.4) om B = �AT = � 0 a2�1 a1 �dado por 01 = a2 2 02 = � 1 + a1 2 :Substituindo a primeira destas equa� ~oes na derivada da segunda e es revendo r = 2,temos r00 � (a1 r)0 + a2 r = 0 : (2.1.11)

2.1. O PROBLEMA DE AUTO{VALORES 63A�m de tratar as equa� ~oes de 2a. ordem em sua forma mais geral, �e onvenienteintroduzir uma nova fun� ~ao A0(x) 6= 0 para todo x 2 [a; b℄, e de�nir Ai(x) = ai(x)A0(x),i = 1; 2.Multipli ando a equa� ~ao (2.1.10) por A0, temosA0(x) y00 + A1(x) y0 + A2(x) y = 0 (2.1.12) uja equa� ~ao adjunta �e obtida a partir da substitui� ~ao A0(x)w(x) = r(x) em (2.1.11):(A0(x)w)00 � (A1(x)w)0 + A2(x)w = 0 : (2.1.13)As equa� ~oes (2.1.12) e (2.1.13) de�nem operadores diferen iais lineares L e seu ad-junto Ly dados por L := A0D2 + A1D + A2 (2.1.14)e Ly := D2A0 �DA1 + A2 ; (2.1.15)respe tivamente, que atuam sobre o espa� o vetorial C2 [a; b℄ (ou simplesmente C2) defun� ~oes u : [a; b℄ 7�! R duas vezes diferen iaveis, om produto interno(u; v) = Z ba u(x) v(x) dx :Estamos denotando por D o operador diferen ial:Du = dudx = u0e por Ai, o operador de multipli a� ~ao pela fun� ~ao Ai(x):(Aiu) (x) = Ai(x) u(x)(Note que a ordem destes operadores em (2.1.14) e (2.1.15) �e relevante pois D e Ai n~ao omutam).De�ni� ~ao 2.1.32 O operador diferen ial de 2a. ordem L �e dito ser formalmenteauto{adjunto se L = Ly.Observa� ~ao 2.1.33 A de�ni� ~ao �e formal pois um operador T linear sobre um espa� ovetorial E �e dito ser auto{adjunto se a rela� ~ao (x; Ty) = (Tx;y) for v�alida para todox;y 2 E. Veremos a seguir que a rela� ~ao (u; Lv) = (Lu; v) n~ao �e satisfeita para todou; v 2 C2 [a; b℄ (mesmo se L = Ly) mas �e satisfeita para o subespa� o das fun� ~oes u 2C2 [a; b℄ que se veri� am as ondi� ~oes de fronteira (2.0.2).

64 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEO resultado a seguir �e onhe ido omo identidade de Lagrange.Proposi� ~ao 2.1.34 (u; L v)� �Lyu; v� = F (b)� F (a) (2.1.16)onde F (x) = u(x)A0(x) v0(x)� (A0(x) u(x))0 v(x) + u(x)A1(x) v(x)Prova. Expli itamente,(u; L v) = Z ba u(x) [A0v00 + A1v0 + A2v℄ (x) dx= Z ba �(uA0v0)0 � (uA0)0 v0 + (uA1v)0 � (uA1)0 v + uA2v� (x) dx= Z ba �(uA0v0)� (uA0)0 v + uA1v�0 (x) dx+ Z ba �(uA0)00 � (uA1)0 + uA2� (x) v(x) dx= Z ba F 0(x) dx+ �Lyu; v� :A proposi� ~ao segue do Teorema Fundamental do C�al ulo. 2

Teorema 2.1.35 Um operador diferen ial L dado por (2.1.14) �e formalmente auto{adjunto se e somente se existir fun� ~oes p = p(x) e q = q(x), p diferen iavel, tais queL = �D (pD) + q (2.1.17)Prova. Mostremos que Lu = Lyu �e v�alida para todo u 2 C2:A0u00 + A1u0 + A2u = (A0u)00 � (A1u)0 + A2uimpli a A1u0 = A000u+ 2A00u0 � (A1u)0ou, de forma equivalente, 2 (A1 � A00) u0 = (A000 � A01)u

2.1. O PROBLEMA DE AUTO{VALORES 65que �e satisfeita somente se A1 = A00 pois u e u0 n~ao podem se anular simultaneamentepara algum x 2 [a; b℄. Obtemos (2.1.17) tomando A0(x) = p(x), A1(x) = p0(x) eA2(x) = q(x).No outro sentido, se Lu = � (pu0)0 + qu = �pu00 � p0u0 + quent~ao segue de (2.1.15)Lyu = � (pu)00 + (p0u)0 + qu = � (pu0)0 + qu : 2Observa� ~ao 2.1.36 O sinal negativo em (2.1.17) �e introduzido apenas por omodidade.A seguir, sem perda de generalidade, vamos assumir que p(x) e q(x) s~ao fun� ~oes positivasno dom��nio (a; b).Enun iaremos em seguida um resultado om o qual o problema de Sturm{Liouvillese torna um problema de auto{valores para operadores diferen iais auto{adjuntos.Lema 2.1.37 (Lema de Green) Seja u; v 2 C2(a; b) duas fun� ~oes satisfazendo as ondi� ~oes de fronteira (2.0.2) do problema de Sturm{Liouville. Ent~ao(u; L v)� �Ly u; v� = 0para todo operador L formalmente auto{adjunto (2.1.17).Prova. Devido a identidade de Lagrange, Proposi� ~ao 2.1.34, basta apenas mostrar queF (a) = F (b) = 0. Para L auto{adjunto, temosF (x) = �u(x) p(x) v0(x) + v(x) (p(x) u(x))0 � u(x) p0(x) v(x) (2.1.18)= �p(x) (u(x) v0(x)� v(x) u0(x)) :Se � ou � e Æ ou forem nulas, ent~ao o resultado segue de (2.1.18). Se ambas onstantes� e � forem diferentes de zero, ent~aoF (x) = �p(x) [u(x) (v0(x) + (�=�) v(x))� v(x) (u0(x) + (�=�)u(x))℄ ;que impli a, usando (2.0.2), F (a) = 0. Para a outra extremidade, se Æ e foremdiferentes de zero, basta adi ionar e subtrair de F (x) o termo ( =Æ) u(x) v(x). Noteque, se p(a) = p(b) = 0, ent~ao (2.1.18) se anula em x = a e b independentemente das ondi� ~oes de fronteira. 2

66 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLE2.1.3 A Equa� ~ao de Auto{ValoresDaremos a seguir uma s�erie de exemplos de equa� ~oes auto{adjuntas que apare em omfrequ^en ia em diversos problemas de F��si a.Exemplo 2.1.38 Equa� ~ao de Helmholtz:u00 + k2u = 0 ;de�nida no intervalo I = (a; b);Exemplo 2.1.39 Equa� ~ao de Legendre:�1� x2� u00 � 2xu0 + `(`+ 1)u = 0 ;de�nida em I = (�1; 1);Exemplo 2.1.40 Asso iada de Legendre:�1� x2�u00 � 2xu0 � m21� x2u+ `(`+ 1)u = 0 ;�1 < x < 1;Exemplo 2.1.41 Equa� ~ao de Bessel:xu00 + u0 � n2x u+ �x u = 0 ;de�nida em I = (0;1);Exemplo 2.1.42 Equa� ~ao de Laguerre:xu00 + (1� x) u0 + �u = 0 ;em I = (0;1);Exemplo 2.1.43 Equa� ~ao de Hermite:u00 � 2xu0 + 2�u = 0 ;no dom��nio I = (�1;1).

2.1. O PROBLEMA DE AUTO{VALORES 67Estas equa� ~oes podem ser es ritas omo um problema de auto{valores:Lu = �� u ; a < x < b ; (2.1.19)onde L = �D (pD) + q e � : [a; b℄! R+ �e a fun� ~ao peso.Na tabela a seguir as fun� ~oes p, q e � e o auto{valor �, ser~ao expli itadas para adaexemplo. Exemplos p(x) q(x) �(x) �2.1.38 1 0 1 k22.1.39 1� x2 0 1 ` (`+ 1)2.1.40 1� x2 m21� x2 1 ` (`+ 1)2.1.41 x n2x x �2.1.42 x e�x 0 e�x �2.1.43 e�x2 0 e�x2 2�

De�ni� ~ao 2.1.44 S~ao hamados auto{valores do problema de Sturm{Liouville osn�umeros �1; �2; : : : para os quais existem solu� ~oes n~ao{triviais u1; u2; : : :, denominadasauto{fun� ~oes, da equa� ~ao (2.1.19) omL = �D (p(x)D) + q(x)sujeita �as ondi� ~oes de fronteira Uu = 0 (2.1.20)onde U = (U1; U2) om U1u := �uj(a) + �u0j(a)U2u := uj(b) + Æu0j(b) : (2.1.21)O problema de auto{valores ser�a abordado nas se� ~oes subsequentes, por dois m�etodosdistintos. O m�etodo de Frobenius des reve as solu� ~oes do problema em s�eries depot^en ias. J�a o m�etodo de Rayleigh{Ritz, este problema �e abordado via o �al ulovaria ional.Para on luir esta se� ~ao, des reveremos algumas propriedades gerais do problema deauto{valores em quest~ao. Em parti ular, o resultado a seguir estabele e uma importante onex~ao entre os autovalores �j, j = 1; 2; : : :, e os zeros das solu� ~oes uj do problema.

68 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLETeorema 2.1.45 Seja p(x); q(x) e �(x) fun� ~oes ontinuas positivas om p(x) diferen- iavel. Existem um n�umero in�nito de auto{valores �1; �2; : : : tais que�1 < �1 < �2 < : : :e limj!1�j =1, para os quais o problema de Sturm{Liouville tem solu� ~ao n~ao{trivial.Al�em disso, se nj denota o n�umero de zeros da auto{fun� ~ao uj asso iada ao auto{valor �j, ent~ao a seguinte rela� ~ao �e satisfeita para todo j 2 N+ :nj+1 � nj = 1 :Para entender melhor o onte�udo do teorema e o desenvolvimento de sua prova,revisitaremos nosso t��pi o exemplo.Exemplo 2.1.46 A equa� ~ao para a solu� ~ao esta ion�aria da orda vibrante om extrem-idades �xas em 0 e �, �e um problema da forma (2.1.19) (veja tamb�em Exemplo 2.1.38) om L = �D2 em I = (0; �) e � = 1=�. As auto{fun� ~oes do problemauk(x) = p2 sin kx ; k = 1; 2; : : :satisfazem as ondi� ~oes de fronteira uk(0) = uk(�) = 0 (� = Æ = 0 em (2.1.20)). Osauto valores �k = k2, k 2 N+ , satisfazem a rela� ~ao1 = �1 < �2 < � � �Note que o espe tro f�jg1j=1, deste problema �e limitado inferiormente. Note ainda queu1 n~ao se anula em nenhum ponto do intervalo aberto I = (0; �), u2 tem um �uni o zeroem I, u3 tem 2 zeros, e assim por diante.Prova. Primeiramente, reduziremos a equa� ~ao auto{adjunta de segunda ordem em umsistema de equa� ~oes de primeira ordem:dzdx = Az (2.1.22)onde z = (z1; z2) om z1 = z1(x) = u(x) e z2 = z2(x) = �p(x)u0(x) eA = 0� 0 �1p�� q 0 1A :Es revendo z em ordenadas polares:z1(x) = r(x) os�(x)z2(x) = r(x) sin�(x) (2.1.23)

2.1. O PROBLEMA DE AUTO{VALORES 69o sistema (2.1.22) pode ser es rito omor0r os�� 0 sin� = �1p sin�r0r sin�+ �0 os � = (�� q) os� :Resolvendo para r0 e �0, obtemos o seguinte sistema n~ao{linear:d�dx = 1p(x) sin2 �+ (��(x)� q(x)) os2 �1r drdx = �� 1p(x) � ��(x) + q(x)� sin � os� : (2.1.24)

A primeira equa� ~ao em (2.1.24) somente depende da variavel angular � enquantoque a segunda depende de � e de r. Para a demonstra� ~ao deste teorema basta analisarapenas a primeira. O nosso interesse �e des rever os zeros da solu� ~ao u(x) da equa� ~aode auto{valores (2.1.19). Pela equa� ~ao (2.1.23), u(x) se anula nos pontos x tais que�(x) = (2n� 1)�2 ; n 2 Z : (2.1.25)A exist^en ia de solu� ~oes n~ao triviais do problema de Sturm{Liouville segue dosseguintes fatos:1. d�dx > 0 para todo � > �0 para algum n�umero �nito �0;2. � �e uma fun� ~ao ont��nua e monotona res ente em �.Pode-se enfraque er a ondi� ~ao 1: mas aqui nos restringiremos aos asos onde 0 �q(x) � m < 1. Esta ondi� ~ao impli a que �(x) �e uma fun� ~ao monotona res ente emx para � > �0.Para o item 2: basta mostrar que #(x) := ��0 � ��, onde ��0 e �� s~ao solu� ~oes daequa� ~ao (2.1.24) om �0 > �, �e uma fun� ~ao positiva para a < x � b se #(a) � 0. De(2.1.24), temos d#dx = f # + honde h = h(��) = (�0 � �) � os2 �� 0

70 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEand f = f(��0; ��) = �1p � q + �0�� (sin ��0 + sin��)�sin ��0 � sin��0 � �� De�nindo F (x) = Z bx f(y) dy, podemos rees rever a desigualdade #0�f# � 0 omo umaderivada total �eF#�0 = eF (#0 � f#) � 0de onde se on lui a a�rma� ~ao integrando no intervalo [a; b℄ e usando o Teorema Fun-damental do C�al ulo.Da primeira equa� ~ao em (2.1.24), segue tamb�em que a in lina� ~ao �e limitada superi-ormente d�dx < M + �Ronde M = maxx2(a;b) 1p(x) e R = maxx2(a;b) �(x). Esta equa� ~ao de�ne uma reta�(x) = + (M + �R) xonde �e es olhida tal que �(a) = �(a), que limita superiormente a solu� ~ao �(x) de(2.1.24). Isto impli a que, se z1; z2; : : : ; zn 2 (a; b) for um onjunto maximal de valorestais que �(zj) 2 (2Z� 1)�=2, o onjunto de zeros, x1; x2; : : : ; xm, da solu� ~ao u doproblema de auto{valores om � �xo, �e tal que m � n.A solu� ~ao do problema deve satisfazer as ondi� ~oes de fronteira�z1(a)� �p(a)z2(a) = z1(b)� Æp(b)z2(b) = 0que em ordenadas polares podem ser es ritas omosin(�(a)� �1) = sin(�(b)� �2) = 0 (2.1.26)onde tan�1 = p(a)�� e tan�2 = p(b) Æ :Podemos ent~ao sempre en ontrar uma solu� ~ao para a primeira equa� ~ao em (2.1.24)variando � e a onstante de integra� ~ao de forma tal que as ondi� ~oes de fronteira (2.1.26)sejam satisfeitas: �(a) = �1 ; �(b) = �2 + k�para algum k 2 Z. Da monotono idade de � omo fun� ~ao de �, podemos fazer om quen~ao haja nenhum zero de u no intervalo I = (a; b), isto �e, n~ao exista nehum valor dex 2 I tal que �(x) satisfa� a (2.1.25); haja um �uni o zero x1; dois zeros x1 e x2, e assimpor diante. 2

2.2. BASE EM ESPAC�OS VETORIAIS DE DIMENS~AO INFINITA 712.2 Base em Espa� os Vetoriais de Dimens~ao In�nitaNesta se� ~ao extenderemos as no� ~oes de subespa� os vetoriais e base desenvolvidas naSe� ~ao 1.1 para espa� os vetoriais de fun� ~oes.Todo vetor x 2 Rn pode ser univo amente representado por uma ombina� ~aolinear de vetores S = fxjgnj=1 linearmente independentes. Dizemos que S forma umabase de Rn . A base S �e ortogonal se os elementos xj, j = 1; : : : ; n, forem auto{vetoresde uma matriz A normal (se A for hermiteana, por exemplo).Embora seja analogo ao aso Rn , a representa� ~ao de uma fun� ~ao pela ombina� ~aolinear �e mais deli ada. Se C(a; b) denota o espa� o de fun� ~oes ont��nuas em [a; b℄,S = f1; x; x2; : : :g forma uma base, i.e., toda fun� ~ao f 2 C(a; b) pode ser es rita omouma ombina� ~ao linear de elementos de S (Teorema da aproxima� ~ao de Weierstrass) noseguinte sentido: f �e aproximada uniformemente por polin^omios.A seguir abordaremos a seguintes quest~oes. Seja U = fuj(x)g1j=1 o onjunto dasauto{fun� ~oes 1 do problema de Sturm{Liouville (2.0.1). O onjunto U forma uma base(ortogonal)? Se a�rmativo, qual �e o espa� o gerado por U?Considere a representa� ~ao de uma fun� ~ao f(x) pela s�erieS(x) = 1Xj=1 j uj(x) : (2.2.1)Como o n�umero de elementos de U �e in�nito, as quest~oes levantadas podem ser olo adasda seguinte forma:1. A sequ^en ia de s�eries par iais fSn(x)gn2N+ , ondeSn(x) = nXj=1 j uj(x) ;�e onvergente? Isto �e, limn!1Sn = S existe em que sentido?2. Caso S exista, a fun� ~ao que S representa �e �uni a?3. Qual �e o subespa� o gerados pelas ombin� ~oes lineares (2.2.1)?Observe que as mesmas quest~oes s~ao levantadas no problema das s�eries deFourier. O Teorema a seguir responde par ialmente estas quest~oes no aso de U serformado pelas auto{fun� ~oes do Exemplo (2.1.46).1O onjunto dos ��ndi es das auto{fun� ~oes ser�a es olhida de a ordo om o problema. Em alguns asos, N+ ser�a substituido por N ou mesmo Z.

72 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLETeorema 2.2.1 (Teorema de Fourier) Seja f : [0; �℄ 7�! R uma fun� ~ao se ional-mente diferen iavel (f e f 0 se ionalmente ontinua) om f(0) = f(�) = 0. Ent~ao,a s�erie (2.2.1) om uj(x) = p2=� sin jx e j = p2=� Z �0 f(x) sin jx dx, onverge em ada ponto x para 12 (f(x+ 0) + f(x� 0))onde f(x� 0) = lim"&0 f(x� ").Al�em disso, se f 0 for integravel e absolutamente integravel, (2.2.1) onverge uni-formemente em todo intervalo fe hado que n~ao ontenha pontos de des ontinuidadede f .(Veja por exemplo Djairo G. de Figueredo, \An�alise de Fourier e Equa� ~oes Diferen- iais Par iais", Cap��tulo 3).2.2.1 Sistema Ortonormal de Fun� ~oesO seguinte resultado �e analogo ao Teorema (1.1.40) para operadores sim�etri os em Rne de�ne um sistema ortonormal de fun� ~oes em (a; b).Teorema 2.2.2 Os auto valores f�jg de um operador L auto{adjunto em um problemade Sturm{Liouville s~ao reais e as auto{fun� ~oes orrespondentes fujg s~ao mutuamenteortogonais om respeito ao produto interno2(ui; uj)� := Z ba ui(x) uj(x) �(x) dx = Æi;j :Prova. Seja �l e �k dois auto{valores do problema de Sturm{Liouville e seja ul e uksuas respe tivas auto{fun� ~oes. Em vista de (2.1.44) e do lema de Green (Lema 2.1.37),temos 0 = (uk; L ul)� �Lyuk; ul� = ��l � �k� Z ba uk(x) ul(x) �(x) dx= ��l � �k� (uk; ul)� :Portanto, ou k = l e �l = �l, ou k 6= l e (uk; ul)� = 0. 22Se u e v s~ao fun� ~oes a valores omplexo, temos que (u; v)� = (v; u)�.

2.2. BASE EM ESPAC�OS VETORIAIS DE DIMENS~AO INFINITA 73Exer �� io 2.2.3 Seja pn(x); n 2 N, uma fam��lia de polinômios ortogonais om respeitoao produto interno om peso �(x) = e�x:(pn; pm)� := Z 10 pn(x) pm(x) e�x dx = Æn;m :Es reva uma equa� ~ao diferen ial de segunda ordem para estes polinômios.2.2.2 Desigualdade de Bessel, Aproxima� ~ao em M�edia e Com-pletezaCome� aremos om a seguinteDe�ni� ~ao 2.2.4 Dado f : [a; b℄ 7�! R, denominamos os n�umeros j := (uj; f)� ; j = 1; 2; : : : ; omponentes da fun� ~ao f om respeito ao sistema ortonormal fujg1j=1 ou oe�- ientes da expans~ao (2.2.1) de f .A seguir enun iaremos uma importante propriedade satisfeita por estes oe� ientes onhe ida por desigualdade de Bessel.Proposi� ~ao 2.2.5 Seja f jg1j=1 as ompontes de f om respeito a um sistema ortonor-mal fujg1j=1. Ent~ao, nXj=1 2j � kfk2� := (f; f)� (2.2.2)�e v�alida para todo n 2 N+ .Prova. f � nXj=1 j uj(x) 2� = Z ba f � nXj=1 j uj(x)!2 �(x) dx � 0impli a em kfk2� � 2 nXj=1 j (f; uj)� + nXj=1 2j = kfk2� � nXj=1 2j � 0que, por sua vez, impli a a desigualdade. 2

74 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEObserva� ~ao 2.2.6 Como a rela� ~ao a ima �e uniforme em n, podemos passar o limitede n!1 e on luir 1Xj=1 2j � kfk2� : (2.2.3)Se f perten er ao espa� o de fun� ~oes L2 (a; b; �) de quadrado integravel om pêso �, ent~aoa seq�uên ia das somas par iais do quadrado dos oe� ientes de f , onverge.Para apre iar o onte�udo desta proposi� ~ao, onsideremos o seguinte problema varia- ional. Para uma dada seq�uen ia � = f jg de n�umeros, seja Sn = Sn(x; �) a expans~aoSn(x; �) = nXj=1 j uj(x) : (2.2.4)Diferentes expans~oes s~ao obtidas variando � e a quest~ao �e qual destas melhor aproximauma fun� ~ao f : [a; b℄ 7�! R?Para medir qu~ao boa �e uma aproxima� ~ao, introduzimos o fun ional erro m�edioquadr�ati o: En(�) := Z ba (f(x)� Sn(x; �))2 �(x) dx = kf � Snk2� :Devemos en ontrar os oe� ientes � tais que o erro En atinge o seu menor valor,uniformemente em n. Este m�etodo de aproxima� ~ao �e onhe ido omo m�etodo dosm��nimos quadrados ou aproxima� ~ao em m�edia.Minimizando o fun ional En om respeito a �, temos�En� k (�) = Z ba (Sn(x; �)� f(x)) 2 nXj=1 � j� k uj(x)! �(x) dx= 2 �(Sn; uk)� � (f; uk)�� (2.2.5)= 2 � k � (f; uk)��onde na �ultima linha usamos (2.2.4) e a ortogonalidade do sistema fujg. �� = f �j g �eum m��nimo de En se para todo k 2 N+ , �En=� k = 0 e a matriz Hessiana H = [hij℄ dofun ional erro En de�nida por hij := �2En� i� jfor positiva de�nida.Como H = 2I, em vista de (2.2.5), os oe� ientes �k = (f; uk)� = k (2.2.6)minimizam o erro quadr�ati o m�edio demostrando o seguinte resultado:

2.2. BASE EM ESPAC�OS VETORIAIS DE DIMENS~AO INFINITA 75Proposi� ~ao 2.2.7 A expans~ao (2.2.1) em s�erie das auto{fun ~oes om oe� ientes(2.2.6) �e a melhor aproxima� ~ao da fun� ~ao f em m�edia.Na Se� ao 2.3 demonstraremos a seguinte extens~ao do Teorema 2.2.1 de Fourier paraum sistema qualquer U = fujg1j=1 de auto{fun� ~oes do problema de Sturm{Liouville(2.0.1) para o aso de fun� ~oes suaves.Teorema 2.2.8 Seja f 2 C2 (a; b) uma fun� ~ao satisfazendo as ondi� oes de fronteiraUf = 0 (veja (2.1.20)). Ent~ao a s�erieSn(x) = nXj=1 (f; uj)� uj(x) onverge para fun� ~ao f , quando n!1, uniformemente no intervalo I = [a; b℄.Uma no� ~ao importante que surge neste ontexto �e a seguinte:De�ni� ~ao 2.2.9 Um sistema ortonormal de fun� ~oes fujg1j=1, �e dito ompleto se todafun� ~ao f se ionalmente ont��nua em [a; b℄ satisfazendo Uf = 0 puder ser aproximadaem m�edia, om pre is~ao arbitr�aria, es olhendo n su� ientemente grande.Note que para um sistema ortonormal ompleto, o erro quadrati o m�edio En =kf � Snk2 onverge para zero e a desigualdade de Bessel (2.2.3) se torna uma igualdade:kf � Sk2 = kfk2� � 2 1Xj=1 j (f; uj)� + 1Xj=1 2j = 0e portanto 1Xj=1 2j = kfk2� : (2.2.7)Note que a rela� ~ao (2.2.7) �e satisfeita para fun� ~oes f 2 C2 (a; b) devido ao o Teorema2.2.8. A rela� ~ao (2.2.7) �e onhe ida omo rela� ~ao de ompleteza.A ondi� ~ao su� iente para que fujg seja ompleto, �e que (2.2.7) seja satisfeita paratoda fun� ~ao ont��nua (veja Courant{Hilbert \Methods of Mathemati al Physi s",vol. 1, Cap��lulo II) .Observa� ~ao 2.2.10 Um sistema ortonormal ompleto impli a onvergên ia em m�edialimn!1 f � nXj=1 j uj 2 = 0 (2.2.8)

76 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEpor�em n~ao impli a ne essariamente que a fun� ~ao f possa ser representada pela s�erief = 1Xj=1 j uj :Para tro ar de ordem o limite om a integral da norma em (2.2.8) �e ne ess�ario on-vergên ia uniforme da s�erie.O Teorema da expans~ao e a rela� ~ao de ompleteza pode ser extendida para fun� oesde quadrado integravel L2 (a; b; �).Teorema 2.2.11 Seja f 2 L2 (a; b; �) uma fun� ~ao satisfazendo as ondi� oes de fronteiraUf = 0. Ent~ao a s�erie Sn(x) = nXj=1 (f; uj)� uj(x) onverge em m�edia para fun� ~ao f , quando n!1 . Al�em disso, a igualdade de Bessel(2.2.7) �e satisfeita.A prova deste teorema segue do Teorema da aproxima� ~ao de Weierstrass 2.2.13abaixo e da desigualdade de Bessel e ser�a omitida nestas notas.Para ompletar a dis uss~ao sobre as quest~oes levantadas na introdu� ~ao desta se� ~aoa respeito da s�erie (2.2.1) temos o seguinteTeorema 2.2.12 Toda fun� ~ao se ionalmente ont��nua �e univo amente determinadapelos oe� ientes j = (f; uj)�, j 2 N, da expans~ao om respeito a um dado sistemaortonormal ompleto U = fujgj2N.2.2.3 M�etodo de Ortonormaliza� ~ao de Gram{S hmidtO mais elementar exemplo de onjunto ompleto de fun� ~oes �e dado pelo onjunto dosmonômios M = �1; x; x2; x3; : : : :O resultado a seguir �e devido a Weierstrass.Teorema 2.2.13 Qualquer fun� ~ao ont��nua no intervalo a � x � b �nito, pode seraproximada uniformemente neste intervalo por polinômios.

2.2. BASE EM ESPAC�OS VETORIAIS DE DIMENS~AO INFINITA 77Considere, omo ilustra� ~ao, o intervalo I = f�1 � x � 1g. Conv�em enfatizar queembora o onjunto dos monômios M n~ao forma um sistema ortonormal om respeitoao produto interno (u; v)1 := Z 1�1 u(y) v(y) dy ; (2.2.9)M �e linearmente independente e, devido ao Teorema de Weierstrass, forma uma basepara as fun� ~oes ont��nuas. Mais pre isamente, dado uma fun� ~ao ont��nua, �e possivelen ontar uma s�erie de potên ias fn = nXj=0 dn xn tal quesupx2I jf(x)� fn(x)j �! 0quando n ! 1. Note que a onvergên ia uniforme em I impli a que fn onverge emm�edia para f .Para medir a independên ia de um onjunto de fun� ~oes v1; : : : ; vn , o seguinte deter-minante de Gram tem um papel importante:�(v1; : : : ; vn) := det0B� (v1; v1)� � � � (v1; vn)�... . . . ...(vn; v1)� � � � (vn; vn)� 1CAProposi� ~ao 2.2.14 (Crit�erio de Gram) Um onjunto v1; : : : ; vn de fun� ~oes s~ao lin-earmente dependentes se e somente se �(v1; : : : ; vn) = 0.A seguir, daremos um outro exemplo do pro edimento de ortonormaliza� ~a o Gram{S hmidt (veja Teorema 1.1.28) para en ontrar, a partir do onjunto dos monômiosfxjgj2N, um sistema ortonormal de fun� ~oes om respeito ao produto interno (2.2.9).Exemplo 2.2.15 Os quatro primeiros polinômios ortonormais, e0; e1; e2 e e3 de umsistema ortonormal om respeito ao produto interno (2.2.9), podem ser obtidos omosegue. De�nimos e0 = 1k1k1 = 1p(1; 1)1 = 1p2 ;e tomamos v1 = x� (e0; x)1 e0 = x :Em seguida, normalizamos v1,e1 = v1kv1k1 = �Z 1�1 y2 dy��1=2 x =r32 x ;

78 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEe tomamos v2 = x2 � �e1; x2�1 e1 � �e0; x2�1 e0 om e2 = v2= kv2k1. Como (e1; x2) = 0, por paridade, (e0; x2) = p2=3 e kv2k21 =(x2; x2)1 � (e0; x2)21 = 8=45, obtemose2 =r52 �32 x2 � 12� :Aqui, �zemos uso da seguinte rela� ~ao(xn; xm)1 = Z 1�1 yn+m dy = 8><>: 0 se n+m for impar;2n +m+ 1 se n+m for par:Novamente, tomamosv3 = x3 � (e2; x3)1 e2 � (e1; x3)1 e1 � (e0; x3)1 e0= x3 � (e1; x3)1 e1e normalizamos e3 = v3= kv3k1. Sendo (e1; x3) = p6=5 e kv3k21 = (x3; x3)1 � (e1; x3)21 =8= (7� 52), resulta e3 =r72 �52 x3 � 32 x� :Os demais polinômios ortonormais derivados por este m�etodo s~ao da formaen =rn+ 12 Pnonde Pn(x) = 12n n! dndxn �x2 � 1�n ; n 2 N ; (2.2.10)s~ao onhe idos omo polinômios de Legendre. Oportunamente, os polinômios de Leg-endre ser~ao obtidos via solu� ~ao da equa� ~ao de Legendre (Exemplo 2.1.39) pelo m�etodode Frobenius. A rela� ~ao (2.2.10), onhe ida omo f�ormula Rodrigues, bem omo outrasrela� ~oes, ser~ao tamb�em dis utidas.Exer �� io 2.2.16 Demonstre a rela� ~ao de ortogonalidade dos polinômios de Legendre(Pn; Pm)1 = Z 1�1 Pn(x)Pm(x) dx = 22n+ 1 Æn;m :Indi a� ~ao: Use a f�ormula de Rodrigues (2.2.10) e integra� ~ao por partes.

2.2. BASE EM ESPAC�OS VETORIAIS DE DIMENS~AO INFINITA 79Exer �� io 2.2.17 Utilize o m�etodo de Gram{S hmidt para en ontrar, a partir dosmonômios f1; x; x2; : : :g, os quatro primeiros polinômios ortonormais e0; e1; e2 e e3, om respeito ao produto interno(u; v)2 := Z 1�1 u(x) v(x) 1p1� x2 dxno dom��nio �1 � x � 1.Os polinômios ortonormais onstru��dos no Exer �� io 2.2.17 s~ao alguns exemplos dos hamados polinômios de T heby he�:T0 = 1 ; Tn = 12n�1 os (n ar os x) ; n = 1; 2; : : : : (2.2.11)Entre todos os polinômios de grau n da formapn(x) = xn + a1 xn�1 + � � �+ anos polinômios de T heby he� s~ao tais quemaxx2[�1;1℄ jTn(x)j = 12n�1 � maxx2[�1;1℄ jpn(x)j ;isto �e, Tn tem seu m�aximo valor, em valor absoluto, mais pr�oximo do eixo de oordenadasque qualquer outro polinômio da mesma ordem (a igualdade �e somente v�alida se pn =Tn).Exer �� io 2.2.18 Prove que Tn de�nido por (2.2.11) �e um polinômio de grau n e ver-i�que que o oe� iente do termo de maior grau �e 1.Exer �� io 2.2.19 Demonstre a rela� ~ao de ortogonalidade(Tn; Tm)2 = Z 1�1 Tn(x)Tm(x) dxp1� x2 = 0para qualquer n; m 2 N tal que n 6= m.Exer �� io 2.2.20 Cal ule os três primeiros polinômios de Laguerre e0; e1 e e2, usandoo m�etodo de Gram{S hmidt para os monômios om o produto interno om peso �(x) =e�x (u; v)� := Z 10 u (x) v(x) e�x dx :

80 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLE2.3 Fun� ~ao de GreenVimos na Se� ~ao 1.2 que a fun� ~ao de Green �e o n�u leo de um operador integral queresolve uma equa� ~ao diferen ial n~ao{homogênea (veja equa� ~ao (1.2.44)). Trataremosnesta se� ~ao a equa� ~ao (2.0.1) om ondi� ~oes de fronteira (2.0.2) do problema de Sturm{Liouville n~ao{homogêneo sob este mesmo ponto de vista.O problema de Sturm{Liouville (2.0.1) pode ser formulado omo uma equa� ~ao n~ao{homogênea alg�ebri a (L� ��)u = f (2.3.1)onde L = �D(pD) + q �e um operador diferen ial auto{adjunto que atua sobre o espa� ode fun� ~oes tais que a ondi� ao de fronteira Uu = 0 �e satisfeita (veja (2.1.20)).�E onveniente examinar ini ialmente o problema similar de algebra linear em Rn .Dada uma matriz sim�etri a A 2 L(Rn), um vetor v 2Rn e um n�umero � 2 R, oproblema �e determinar a solu� ~ao u da equa� ~ao(A� �I)u = v: (2.3.2)A resposta a este problema depende das seguintes alternativas:1. Se � n~ao for um auto{valor de A, isto �eN (A� �I) = f0g; ent~ao A��I �e invers��vele u = (A� �I)�1 v : (2.3.3)2. Se � for um auto{valor de A, e v for ortogonal ao n�u leo N (A� �I) gerado pelosauto{vetores x1; : : : ;xs, asso iados �a � (isto �e, (v;xj) = 0, j = 1; : : : ; s), ent~ao amatriz A��I �e invers��vel no subespa� o ortogonalN (A� �I)?. Sob esta ondi� ~ao,a solu� ~ao de (2.3.2) ainda �e dada por (2.3.3).Assim o problema se reduz ao �alulo da matriz inversa (A� �I)�1. H�a varias f�omulasa disposi� ~ao. Faremos aqui uso de uma extens~ao do Teorema Espe tral 1.1.49 para esteprop�osito.Proposi� ~ao 2.3.1 Seja �1; : : : ; �n os auto-valores de uma matriz sim�etri a A ex1; : : : ;xn os auto{vetores (normalizados) orrespondentes. Se � 6= �j, j = 1; : : : ; n,ent~ao 1A� �I = nXj=1 1�j � �Ej (2.3.4)onde Ej = xj (xj)T�e o projetor ortogonal na dire� ~ao do autovetor xj.

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 81Prova. (formal) Se X = [x1 � � �xn℄ �e a matriz dos auto{valores e D = diag f�1; : : : ; �nga matriz diagonal, temos formalmente a s�erie de Neumann(A� �I)�1 = �1� �I � A��1= �1� �I + A� + A2�2 + � � ��= �1� X �I + D� + D2�2 + � � ��X�1= X (D � �I)�1X�1de onde segue a proposi� ~ao. 2Observa� ~ao 2.3.2 Note que a norma da matriz (2.3.4) (A� �I)�1 � nXj=1 j�j � �j�1 kEjk = nXj=1 j�j � �j�1�e �nita se � n~ao for um auto{valor e isto garante, em onjunto om a prova formal, quea s�erie (2.3.4) de fato representa a matriz. A fun� ~ao R(�) = (A� �I)�1 �e denominadamatriz resolvente da matriz A.De a ordo om a Proposi� ~ao 2.3.1, a solu� ~ao de (2.3.2) pode ser es rita omou = nXj=1 1�j � �Ejv= nXj=1 (xj;v)�j � � xj (2.3.5)onde (u;v) = nXi=1 ui vi.

82 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLE2.3.1 Equa� ~ao de Sturm{Liouville N~ao{Homog^eneaUma f�ormula an�aloga a (2.3.5) pode ser derivada para a solu� ~ao do problema de Sturm{Liouville (2.3.1).Seja fuj(x)g1j=1 um sistema ompleto de fun� ~oes ortonornal om respeito ao produtointerno (u; v)� om peso �. Considere que este sistema seja dado pela solu� ~ao do prob-lema de auto{valores de um operador auto{adjunto L = �D (pD) + q de�nido sobre oespa� o de fun� ~oes sujeito as ondi� ~oes de fronteira (2.0.2). Suponha ainda que o termon~ao{homog^eneo da equa� ~ao (2.3.1) satisfa� a as mesmas ondi� ~oes de fronteira Uf = 0.Como � �e uma fun� ~ao estritamente positiva no dom��nio I = (a; b), �e onvenientedividir (2.3.1) por � e onsiderar a equa� ~ao(M � � )u = g ;onde M := ��1L e g := ��1f . Note que M = L e g = f , se � = 1.Considere ainda que g possa ser representado pela s�erieg(x) = 1Xj=1 dj uj(x) (2.3.6)(a s�erie seja onvergente em m�edia) omdj = (g; uj)� = (f; uj) ;j 2 N+ , os oe� ientes de g neste sistema.Supondo que � n~ao oin ida om nenhum dos auto{valores f�jg1j=1 de L e admitindoque a f�ormula (2.3.5) possa ser extendida quando a dimens~ao do espa� o �e in�nita, temosu(x) = �(M � �)�1 g� (x)= 1Xj=1 (uj; f)�j � � uj(x) (2.3.7)Veri� a� ~ao. Vamos admitir que u 2 C2 (a; b) seja duas vezes diferen i�avel representadapor uma s�erie uniformemente onvergenteu(x) = 1Xj=1 j uj(x) : (2.3.8)

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 83Ent~ao (M � �)u = 1Xj=1 j ��1L� �� uj= 1Xj=1 j (�j � �) uj (2.3.9)que ao ser equa ionada om (2.3.6) resulta em j (�j � �) = dj = (uj; f)impli ando (2.3.7) ap�os a substitui� ~ao de j = (uj; f) = (�j � �) em (2.3.8). 2Observa� ~ao 2.3.3 A existên ia da solu� ~ao de (2.3.1) depende da onvergên ia uni-forme da s�erie (2.3.7) em C2 (a; b). A solu� ~ao de (2.3.1) �e bem de�nida mesmo no asoem que � �e um auto{valor, digamos �k, se g for ortogonal �a auto{fun� ~ao asso iadauk. Note para isso que o oe� iente (g; uk)� = (f; uk) = 0 se anula exatamente onde odenominador se anula. Neste aso a solu� ~aou(x) = Xj2N+:j 6=k (uj; f)�j � � uj(x)est�a de�nida no omplemento ortogonal a uk.Como (f; uj) = Z ba f(x0) uj(x0) dx0;a equa� ~ao (2.3.7) pode ser posta na formau(x) = Z ba G(x; x0) f(x0) dx0 (2.3.10)onde G(x; x0) = 1Xj=1 uj(x) uj(x0)�j � � (2.3.11)�e uma outra maneira de es rever a fun� ~ao de Green. Mais adiante veremos que de fatoexiste uma �uni a solu� ~ao da equa� ~ao n~ao{homogênea e portanto as diferentes formasda fun� ~ao de Green do problema de Sturm{Liouville s~ao diferentes representa� ~oes damesma fun� ~ao.

84 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEExemplo 2.3.4 Considere a equa� ~ao esta ion�aria n~ao{homogênea da orda vibranteque pode ser es rita omo ��D2 � ��u = fse o operador L = �D2 estiver de�nido sobre fun� ~oes u : [0; �℄ �! R que satisfazem a ondi� ~ao de extremidades �xas: u(0) = u(�) = 0. As auto{fun� ~oes do problema s~aouj(x) =r2� sin jx ; j = 1; 2; : : :e os autovalores asso iados s~ao �j = j2. A fun� ~ao de Green �e portanto dada porG(x; x0) = 2� 1Xj=1 sin jx sin jx0j2 � � :Comparando om a fun� ~ao de Green deste mesmo problema obtida pelo m�etodo alterna-tivo no Exemplo 1.2.21, obtemossin kx sin k (x0 � �)k sin k� = 2� 1Xj=1 sin jx sin jx0j2 � k2para x < x0e k =2 N.A fun� ~ao de Green G(x; x0) satisfaz a equa� ~ao homogênea para todos os valores dex 2 [a; b℄ ex eto para x = x0. De (2.3.1) e (2.3.10), obtemosg(x) = (M � �)u(x)= Z ba (M � �)G(x; x0) f(x0) dx0= 1�(x) Z ba (L� � �)G(x; x0) g(x0) �(x0) dx0de onde se on lui que G, omo distribui� ~ao, satisfaz a equa� ~ao(L� � �)G(x; x0) = Æ(x� x0) ; x; x0 2 (a; b)sujeita �as ondi� ~oes de fronteira UG = 0, isto �e,�G(a; x0) + �G(a; x0) = ÆG(b; x0) + G(b; x0) = 0 (2.3.12)Exer �� io 2.3.5 veja exer �� ios no texto de Du� & Naylor, \Di�erential Equations ofApplied Mathemati s" (1965), p�aginas 269,270 e da p�agina 275 �a 277.Exer �� io 2.3.6 veja exer �� ios no texto do Courant & Hilbert, \Methods of Mathe-mati al Physi s", J. Wiley (1989), da p�agina 371 �a 376 do volume 1.

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 852.3.2 O M�etodo DiretoIni iaremos om a seguinteDe�ni� ~ao 2.3.7 A fun� ~ao de Green G de um operador diferen ial auto{adjunto L�� ,�e de�nida pelas seguintes propriedades:1. Para ada valor de x0 2 (a; b), G(x; x0) �e uma fun� ~ao ont��nua de x, satisfazendoas ondi� ~oes de fronteira (2.3.12);2. Ex eto no ponto x = x0, G(x; x0) omo fun� ~ao de x, tem a primeira e a segundaderivada ont��nuas. No ponto x = x0limx#x0 dGdx (x; x0)� limx"x0 dGdx (x; x0) = �1p(x0)3. G(x; x0) satisfaz a equa� ~ao diferen ial homogênea (L� � �)G(x; x0) = 0 em x 6= x0.Teorema 2.3.8 Seja f : [a; b℄ 7�! R uma fun� ~ao se ionalmente ont��nua satisfazendo(2.0.2). Ent~ao, u(x) = Z ba G(x; x0) f(x0) dx0 om G dado pela De�ni� ~ao 2.3.7 �e umasolu� ~ao do problema de Sturm{Liouville n~ao{homogêneo (2.3.1). Reversamente, se ufor a solu� ~ao de (2.3.1), ent~ao u pode ser representada pela integral (2.3.10) om Gdado pela De�ni� ~ao 2.3.7.Prova. (Primeira a�rmativa) Em vista da De�ni� ~ao 2.3.7,u0(x) = Z ba G0(x; x0) f(x0) dx0u00(x) = Z xa G00(x; x0) f(x0) dx0 +G0(x; x� 0) f(x)+ Z bx G00(x; x0) f(x0) dx0 �G0(x; x + 0) f(x)= Z ba G00(x; x0) f(x0) dx0 +G0(x+ 0; x) f(x)�G0(x� 0; x) f(x)= Z ba G00(x; x0) f(x0) dx0 � f(x)p(x) ;

86 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEe portanto(L� � �)u(x) = Z ba [�pG00 � p0G0 + (q � ��)G℄ (x; x0) f(x0) dx0 + f(x)= Z xa (L� � �)G(x; x0) f(x0) dx0+ Z bx (L� � �)G(x; x0) f(x0) dx0 + f(x)= f(x):�E um simples exer �� io provar o sentido reverso do teorema. 2Segue imediatamente do Lema de Green 2.1.37 a seguinte propriedade de re ipro- idade: G(x; x0) = G(x0; x) : (2.3.13)Note para isto que (u; (L� � �) v) = ((L� � �)u; v) para duas solu� ~oes do problemau; v representadas pela integral (2.3.10).Exer �� io 2.3.9 Demonstre (2.3.13).Deduziremos a seguir uma formula para a fun� ~ao de Green a partir da De�ni� ~ao2.3.7. Seja u1 uma solu� ~ao das equa� ~oes homogêneas:(L� � �)u1 = 0�u1(a) + � u01(a) = 0 (2.3.14)Como L �e um operador de segunda ordem, 1 u1 �e a solu� ~ao mais geral deste problema.Seja u2 uma solu� ~ao das equa� ~oes homogêneas:(L� � �)u2 = 0Æ u2(b) + u02(b) = 0Novamente, 2 u2 �e a solu� ~ao mais geral do problema.H�a somente dois possiveis asos a onsiderar: as duas fam��lias de solu� ~oes, f 1 u1g ef 2 u2g, ou s~ao distintas, ou idênti as.Trataremos ini ialmente f 1 u1g e f 2 u2g fam��lias distintas. Neste aso, u1 e u2s~ao linearmente independentes. Isto �e, se onsiderarmos os vetores y = (u1;�p u01) e

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 87z = (u2;�p u02), e de�nirmos a matriz W = [y z℄ que tem estes vetores omo olunas, asfun� ~oes u1 e u2 s~ao linearmente independentes sedetW (x) = �p(x) (u1(x) u02(x)� u2(x) u01(x)) 6= 0Exer �� io 2.3.10 Prove que detW (x) = Cpara uma onstante C independente de x.Portanto u1 �e uma fun� ~ao linearmente independente a u2 se n~ao houver em [a; b℄nenhum ponto de tang^en ia entre as fun� ~oes das respe tivas fam��lias.Se u1 e u2 forem linearmente independentes, es revemos a fun� ~ao de Green na formaG(x; x0) = 8<: 1(x0) u1(x) se a � x < x0 2(x0) u2(x) se x0 < x � bonde 1 e 2 s~ao determinados impondo a ontinuidade de G e des ontinuidade naderivada G0 em x = x0: 1 u1 � 2 u2 = 0 1 p u01 � 2 p u02 = 1Este sistema �e equivalente �a equa� ~ao W = donde = (� 1; 2) e d = (0; 1). Usando a formula de Cramers, obtemos 1 = �1detW det� 0 u21 �pu02 � = u2detWe 2 = 1detW det� u1 0�pu01 1 � = u1detW :Portanto G(x; x0) = 8>>><>>>: u1(x) u2(x0)detW se a � x < x0u1(x0) u2(x)detW se x0 < x � b (2.3.15)

Observa� ~ao 2.3.11 Note que esta formula �e expli itamente re ��pro a (n�u leo sim�e-tri o): G(x; x0) = G(x0; x).

88 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEExer �� io 2.3.12 Determine a fun� ~ao de Green dos seguintes problemas de valores defronteira:1. �d2fdx2 = 0 ; 0 � x � 1 om f(0) = f 0(1) = 0.2. �xd2fdx2 � dfdx = 0 ; 0 � x � 1 om limx&0 jf(x) j <1 e f(1) = 0.3. � ddx ��1� x2� dfdx� = 0 ; 0 � x � 1 om f(0) = f 0(1) = 0.4. �d2fdx2 � k2f = 0 ; 0 � x � ` om f(0) = f(`) = 0.Consideremos o aso em que u1 e u2 s~ao linearmente dependentes (u2 = u1). Neste aso ada elemento de uma fam��lia perten e a outra fam��lia. Isto quer dizer que adauma delas satisfaz as ondi� ~oes de fronteira nas duas extremidades:�u1(a) + �u1(a) = Æu1(b) + u1(b) = 0 :Devido a (2.3.14), on lu��mos que, se a fun� ~ao u1 n~ao for identi amente nula, u1 ne es-sariamente �e uma auto{fun� ~ao do problema de Sturm{Liouville asso iada �a �.Neste aso, a fun� ~ao de Green n~ao pode ser de�nida pela f�ormula (2.3.15) e a solu� ~aoda equa� ~ao n~ao-homog^enea (2.3.1) tem solu� ~ao se e somente se f for ortogonal a u1 omrespeito ao produto interno om peso � = 1: (f; u1) = 0.A�m de que esta solu� ~ao u possa ser representada pela integral (2.3.10), o item 3.da De�ni� ~ao 2.3.7 �e substituido por

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 89De�ni� ~ao 2.3.13 3'. Ex eto no ponto x = x0, a fun� ~ao de green satisfaz a equa� ~ao(M � �)G(x; x0) = �u1(x) u1(x0)Para entender esta ondi� ~ao, onsideremos a fun� ~ao de Green (2.3.11) ortogonal �aauto{fun� ~ao u1: Z ba G(x; x0) u1(x) dx = 0. Em termos de sua expans~a o em s�erie, esta ondi� ~ao impli a (aqui vamos onsiderar u1 a auto{fun� ~ao de ordem mais baixa, emborapossa ser es olhida arbitrariamente)G(x; x0) = 1Xj=2 uj(x) uj(x0)�j � �1 :Portanto (M � �1)G(x; x0) = 1Xj=2 (��1L� �1) uj(x) uj(x0)�j � �1= 1Xj=2 uj(x) uj(x0)= �u1(x) u1(x0)em vista da rela� ~ao de ompleteza do sistema de fun� ~oes fujg:1Xj=1 uj(x) uj(x0) = Æ(x� x0) (2.3.16)Exer �� io 2.3.14 Como distribui� ~ao, deduza a rela� ~ao de ompleteza (2.3.16).De�ni� ~ao 2.3.7 om o item 30. no lugar de 3. determina a fun� ~ao de Green general-izada a menos de uma onstante, que �e �xada pela ondi� ~ao de ortogonalidadeZ ba G(x; x0) u1(x) dx = 0 :Exer �� io 2.3.15 Determine a fun� ~ao de Green, na forma em s�erie e pelo m�etododireto, do seguinte problema de valor de fronteira�d2udx2 = f(x) ; a < x < b om

90 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLE1. a = 0, b = 1 e u(0) = u0(1) = 0;2. a = �1, b = 1 e u(�1) = u(1) = 0;3. a = 0, b = 1, u(0) = �u(1) e u0(0) = �u0(1).Exer �� io 2.3.16 Determine a fun� ~ao de Green do seguinte problema Lu = f nodom��nio �1 < x < 1, om L = �D �(1� x2)D�+ n21� x2 ;n 2 N, sujeita as ondi� ~oes de fronteira u(�1) <1 e u(1) <1.Indi a� ~ao:1. Veri�que que as fun� ~oesu1(x) = �1 + x1� x�n=2 e u2(x) = �1� x1 + x�n=2satisfazem a equa� ~ao homog^enea e s~ao linearmente independentes se n 6= 0. Con-strua a fun� ~ao de Green a partir destas.2. Para n = 0, veri�que queu1(x) = �12 ln (1� x) e u2(x) = �12 ln (1 + x)satisfaz a equa� ~ao L(D)u = �1=2 e onstrua a fun� ~ao de Green no sentido gen-eralizado.Exer �� io 2.3.17 Determine a fun� ~ao de Green no sentido generalizado para equa� ~ao�d2udx2 = f ; �1 < x < 1 om ondi� ~oes de fronteira peri�odi as: u(�1) = u(1) e u0(�1) = u0(1).Resposta ao Exer �� io 2.3.17: A fun� ~ao u0(x) = 1=p2 �e uma auto{fun� ~ao do op-erador �d2=dx2 (sobre fun� ~oes peri�odi as em [�1; 1℄) om auto{valor �0 = 0 (Note quea norma de u0, ku0k2 = Z 1�1 u20(x) dx = 1). Pelo m�etodo direto da fun� ~ao de Greengeneralizada devemos pro urar solu� ~oes u1 e u2 da equa� ~ao n~ao homog^enia�d2udx2 = �12

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 91de�nidas nos dom��nios �1 < x < x0 e x0 < x < 1, respe tivamente:u1(x) = x24 + ax+ bu2(x) = x24 + x+ d : (2.3.17)Em seguida, devemos impor as ondi� ~oes de fronteirau1(�1) = u2(1) e u01(�1) = u02(1) : (2.3.18)Sustituindo (2.3.17) em (2.3.18), resultaa = b� d+ 12 = b� d� 12 (2.3.19)e devido �a ondi� ~ao de ontinuidade em x = x0:u1(x0) = u2(x0) ;obtemos a = x0 + 12 e = x0 � 12 : (2.3.20)Para determinar as onstantes b e d, devemos impor ortogonalidade de G e u0:Z x0�1 u1(x) u0(x) dx+ Z 1x0 u2(x) u0(x) dx = 0 (2.3.21)Sustituindo (2.3.17) em (2.3.21), resulta0 = a� 2 (x0)2 + (b� d) x0 + 16 � a� 2 + b + d= �(x0)22 + 16 � a� 2 + b + de portanto d+ b = (x0)22 + 13 :Como, em vista de (2.3.19) e (2.3.20), d� b = x0

92 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEobtemos b = (x0)22 + 3x0 + 16d = (x0)22 � 3x0 � 16A fun� ~ao de Green G(x; x0) = 8<: u1(x) se �1 < x < x0u2(x) se x0 < x < 1toma portanto a seguinte forma �nalG(x; x0) = �12 jx� x0j+ 14 (x� x0)2 + 16 :2.3.3 Existên ia de Auto{valores e Teorema da Expans~aoNesta subse� ~ao estudaremos om mais detalhes a existên ia de auto{valores do problemade Sturm{Liouville homogêneo (L� ��) u = 0 ;de�nido no dom��nio D(L) das fun� ~oes u 2 C2(a; b) tais que Uu = 0, e provaremos oTeorema 2.2.8 sobre a expans~ao de uma fun� ~ao f 2 C2(a; b) em auto{fun� ~oes desteproblema.Nas subse� ~oes anteriores a fun� ~ao de Green G(x; x0) foi vista omo o n�u leo integralde um operador linear G = G(�), de�nido sobre fun� ~oes a valores reais, ont��nuas em(a; b), G : C(a; b) �! D(L);dado por Gu(x) = Z ba G(x; x0) u(x0) dx0 ;e que satisfaz as seguintes propriedades.1. u = Gf �e, pela de�ni� ~ao 2.3.7, uma fun� ~ao em C2(a; b) e satisfaz as ondi� ~oes defronteira Uu = 0.2. G �e um operador auto{adjunto (f;Gg) = (Gf; g) ; (2.3.22)

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 93para qualquer f; g 2 C(a; b) (basta substituir u = Gf e v = Gg no Teorema 2.1.37de Green). Consequentemente, o n�u leo integralG(x; x0) = G(x0; x)�e sim�etri o (ou re ��pro o) e a forma quadr�ati a (f;Gf) �e real.3. G �e a inversa do operador L� ��:(L� ��)Gf = f ; G (L� ��)u = u : (2.3.23)s~ao v�alidas para todo f 2 C(a; b) e u 2 C2(a; b) satisfazendo as ondi� ~oes defronteira (2.0.2).Por simpli idade, trataremos o aso � = 1 tomando � = 0 (� 6= 0 orresponde a umdeslo amento do esp�e tro).No espa� o C(a; b), introduzimos a norma Eu ledeanakfk = (f; f) = Z ba f 2(x) dxque induz uma norma para o operador GkGk = supf2C(a;b):kfk=1 kGfk :Como G �e um operador limitado, segue queLema 2.3.18 A norma do operador G pode ser obtida porkGk = supf2C(a;b):kfk=1 j(f;Gf)j : (2.3.24)Enun iaremos a seguir um resultado t�e ni o que n~ao ser�a demonstrado nestas notas.O onjunto F = fu = Gf : f 2 C (a; b) ; kfk = 1gformado pelas fun� ~oes limitadas kGfk < 1, forma uma fam��lia equi ont��nua. Isto �e,dado " > 0, existe Æ = Æ(") (independentemente da fam��lia F), tal queju(x)� u(x0)j < "�e v�alido para todo x; x0 2 (a; b) tal que jx� x0j < Æ e todo u 2 F . Como onsequên ia(Lema de As oli), para toda sequên ia fungn2N+ em F existe uma subsequên ia que �euniformemente onvergente.

94 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLETeorema 2.3.19 kGk ou �kGk �e um auto{valor de G.Prova. Suponha que (2.3.24) valha sem o modulo (a prova om o sinal negativo �esimilar). Ent~ao existe uma sequên ia ffngn2N+ , om kfnk = 1, tal que(fn;Gfn) �! kGk :Pelo Lema de As oli, existe uma subsequên ia fun = Gfng uniformemente onvergentepara uma fun� ~ao ont��nua '0 e portantokGfn � '0k �! 0 : (2.3.25)Mostraremos que '0 �e uma auto{fun� ~ao de G asso iada ao auto{valor �0 = kGk.Como kGfnk2 � �20, temoskGfn � �0fnk2 = kGfnk2 + �20 kfnk2 � 2�0 (fn;Gfn)� 2�0 (�0 � (fn;Gfn)) �! 0 ;e portantokG'0 � �0'0k2 = kG'0 � G(Gfn)k2 + kG(Gfn)� �0Gfnk2 + k�0Gfn � �0'0k2tamb�em tende a 0 quando n ! 1. Este fato ombinado om (2.3.25) demonstra queG'0 = �0'0. 2Podemos usar um pro edimento analogo a Gram{S hmidt para obter su essivamenteos auto valores e auto{fun� ~oes de G. Normalizando '0, �0 = '0= k'0k e de�nindo ooperador integral G1 ujo n�u leo �e dado porG1(x; x0) = G(x; x0)� �0�0(x)�0(x0) ;podemos apli ar o Teorema 2.3.19 e on luir a existên ia do auto{valor �1 = kG1k (ou�kG1k) e da auto{fun� ~ao '1 asso iada.Iterando o pro edimento, o n�u leo integral do operador Gn+1 �e de�nido porGn+1(x; x0) = Gn(x; x0)� �n�n(x)�n(x0) ; (2.3.26) om �n = kGnk e �n o auto{valor e a auto{fun� ~ao normalizada asso iada. Note que a ontinuidade do pro edimento requer que o autovalor j�nj > 0. Se para todo N > 0,�N > 0, ent~ao ne essariamente temos limN!1 �N = 0. Neste aso, f�ngn2N+ forma um onjunto ortonormal ( om respeito ao produto interno usual) de fun� ~oes.

2.3. FUNC� ~AO DE GREEN 95Al�em disso, lembrando que �zemos � = 0 em (2.3.23), as auto{fun� ~oes de G s~aotamb�em auto{fun� ~oes de L LG�n = �nL�n = �npor (2.3.23), ujo auto{valor asso iado �e �n = 1=�n.Provaremos a seguir o Teorema 2.2.8.Usando a desigualdade de Bessel para a equa� ~ao�k�k(x) = G�k(x) = Z ba G(x; x0)�k(x0) dx0 ;temos nXk=1 �2k j�k(x)j2 � Z ba jG(x; x0)j2 dx0para todo n 2 N+ e x 2 (a; b). Integrando os dois lados desta equa� ~ao em x, e usandoo fato que jG(x; x0)j � <1, temos1Xk=1 �2k = Z ba dx nXk=1 �2k j�k(x)j2 � Z ba dx Z ba dx0 jG(x; x0)j2 � 2 (b� a)2de onde segue que �n �! 0 quando n!1.Iterando (2.3.26), o n�u leo integral de Gn+1 pode ser es rito omoGn+1(x; x0) = G(x; x0)� nXk=1 �k�k(x)�k(x0) :Portanto, Gn+1f(x) = Gf(x)� nXk=1 �k(f; �k)�k(x)para todo f 2 C (a; b) ; e devido ao fato de kGn+1k = j�n+1j, Gf � nXk=1 �k(f; �k)�k � j�n+1j kfk :Como �n �! 0, o somat�orio Sn = Pnk=1 �k(f; �k)�k onverge em m�edia para Gf ,quando n!1.Al�em disso, mostraremos a seguir que a seq�u^en ia Sn : (a; b) �! R, n 2 N+ , defun� ~oes ont��nuas onverge uniformemente. Portanto limn!1 Sn �e uma fun� ~ao ont��nuaem (a; b) e omo Gf 2 C2(a; b), temosGf = 1Xk=1 �k(f; �k)�k : (2.3.27)

96 CAP�ITULO 2. O PROBLEMA DE STURM{LIOUVILLEGf onverge uniformemente pois, devido a desigualdade de S hwarz,�� qXk=p �k(f; �k)�k(x)�� = ��G qXk=p(f; �k)�k(x)�� Z ba dx0G(x; x0) qXk=p(f; �k)�k(x0)�� Z ba dx0 jG(x; x0)j2�1=28<:Z ba dx0 �� qXk=p(f; �k)�k(x0)��29=;1=2

� (b� a)1=2( qXk=p j(f; �k)j2)1=2tende a 0, quando p; q !1, pela desigualdade de Bessel. Consequentemente, dado umafun� ~ao u 2 C2(a; b) satisfazendo Uu = 0, temos f = Lu e devido a (2.3.23), (2.3.22) e(2.3.27)u = Gf = 1Xk=1 �k(f; �k)�k = 1Xk=1(f;G�k)�k = 1Xk=1(Gf; �k)�k = 1Xk=1(u; �k)�k : 2

Cap��tulo 3Equa� ~oes a Derivadas Par iais

3.1 Introdu� ~aoS~ao três as equa� ~oes a derivadas par iais lineares l�assi as (estudadas a partir do s�e uloXVIII):Exemplo 3.1.1 1. Equa� ~ao da orda vibrante1v2 �2u�t2 � �2u�x2 = f ;onde v �e a velo idade da onda: v = T=� om T a tens~ao e � a densidade da orda2. Equa� ~ao da ondu� ~ao do alor em uma barra1� �u�t � �2u�x2 = f ;onde � �e a difusibilidade t�ermi a dada por � = K= (C�) om K a ondutividadet�ermi a, C o alor espe �� o e � a densidade da barra.3. Equa� ~ao de Lapla e para o poten ial eletrost�ati o�r2u := ��2u�x2 � �2u�y2 � �2u�z2 = f : (3.1.1)As equa� ~oes dos Exemplos 1 e 2 podem ser extendidas para o espa� o R2 , ou R3 ,substituindo o operador diferen ial de segunda ordem �2=�x2 pelo lapla eano (3.1.1) nadimens~ao orrespondente.Nosso s�e ulo a res enta, om o advento da me âni a quânti a, outra equa� ~ao difer-en ial linear importante: 97

98 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISExemplo 3.1.2 4. Equa� ~ao de S hr�odinger�i~�u�t � ~22mr2u+ V u = 0 ;onde ~ �e a onstante de Plan k, m a massa da part�� ula e V = V (x) o poten iala qual esta �e submetida no ponto x 2 R3 .A des ri� ~ao de um problema F��si o requer al�em das equa� ~oes introduzidas, equa� ~oesque ara terizam a situa� ~ao destes problemas. Por exemplo, para que a equa� ~ao do alor,Exemplo 2, determine univo amente a temperatura de uma barra u(t; x) no instantet > 0 e na posi� ~ao x 2 (a; b) do seu interior, �e ne ess�ario pres rever Condi� ~oes deContorno na regi~ao R := f(t; x) 2 R2 : t > 0; a < x < bg. Estas ompreendem:Condi� ~ao Ini ial u (0; x) = f(x) des reve a temperatura em ada ponto x 2 [a; b℄ dabarra no instante t = 0;Condi� ~oes de Fronteira H�a v�arios tipos que podem ser onsideradas:N~ao{Homogêneas. As extremidades da barra podem ser mantidas �a temperaturas �xasu(t; a) = T1 e u(t; b) = T2 ;ou ainda podem ser submetidas �a temperaturas que variam om o tempo substi-tuindo T1 e T2 por fun� ~oes h1(t) e h2(t), respe tivamente.Homogêneas.1. Se as extremidades estiverem isoladas, o uxo de alor atrav�es destas �e nulo�u�x(t; a) = 0 e �u�x(t; b) = 0 ;2. Se extremidades forem mantidas �a mesma temperatura T0, de�nimos v(t; x) =u(t; x) � T0, que satisfaz a equa� ~ao do alor (Exemplo 2) om ondi� ~oes defronteira v(t; a) = v(t; b) = 0 ;3. Pode{se ainda adotar ondi� ~oes mistas, omo por exemplou(t; a) = 0 e �u�x(t; b) = 0 :

3.1. INTRODUC� ~AO 993.1.1 Classi� a� ~ao de Equa� ~oes Diferen iais Par iaisCada uma das equa� ~oes nos Exemplos 1{3 a ima, perten e a uma lasse distinta. Porsimpli idade, na dis uss~ao a seguir vamos onsiderar equa� ~oes diferen ias par iais desegunda ordem em R2 .O operador diferen ial de segunda ordem mais geral �e da formaL = a �2�x2 + 2b �2�x�y + �2�y2 + 2f ��x + 2g ��y + h (3.1.2)onde os oe� ientes a; b; : : :, embora podendo ser fun� ~oes das variaveis x e y, ser~ao onsiderados onstantes por simpli idade.Considere a seguinte transforma� ~ao a�m de variaveis:� = x + �1 y� = x + �2 y ; om �1 6= �2. Em vista de��x = ��x �� + ��x �� = �� + ��y = ��y �� + ��y �� = �1 �� + �2 �� ;o operador (3.1.2) pode ser es rito omoL = a� �� + ��2 + 2b� �� + ��1 �� + �2 ��+ ��1 �� + �2 ��2 + � � �= A �2��2 + 2B �2�� + C �2��2 + � � � ;onde A = a+ 2b�1 + �21B = a+ b (�1 + �2) + �1�2C = a+ 2b�2 + �22e os pontilhados indi ando a presen� a de termos de ordem inferior.

100 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISEs olhendo �1 e �2 onvenientemente, podemos anular duas onstantes entre A; Be C. Por exemplo, se �1 e �2 forem as ra��zes do polinômio a + 2b�+ �2:�1 = �b +pb2 � a �2 = �b�pb2 � a (3.1.3)ent~ao A = C = 0 e B = �2 �b2 � a � : (3.1.4)Portanto, na ausên ia de termos de ordem 0 e 1 e sob a hip�otese que �1 e �2 sejamdados por (3.1.3), a equa� ~aoLu = a�2u�x2 + 2b �2u�x�y + �2u�y2 = 0se reduz a �2u�� = 0 ; (3.1.5) uja solu� ~ao geral �e da formau(x; y) = f(�) + g(�) = f(x+ �1y) + g(x+ �2y) ; (3.1.6) om f e g fun� ~oes a serem determinadas pelas ondi� ~oes de ontorno.Exer �� io 3.1.3 Veri�que que (3.1.5) �e solu� ~ao de (3.1.6).H�a três possibilidades a serem onsideradas:1. Hiperb�oli o ( b2 � a > 0). Neste aso as ra��zes �1; �2 s~ao reais e distintas. Pelamudan� a de variavel s = (� + �) =2t = (� � �) = (2v) ;(3.1.5) torna-se a equa� ~ao homogênea da orda vibrante1v2 �2u�t2 � �2u�x2 = 0 :

3.1. INTRODUC� ~AO 1012. El��pti o ( b2 � a < 0). As ra��zes �1; �2 s~ao onjugadas omplexa uma da outra e� = x + �2y = x+ �1y = �. Neste aso, a equa� ~ao (3.1.5) � a�2u�� = 0 : (3.1.7)Es revendo � = s + it onde s = <e � e t = =m�, (3.1.7) torna-se a equa� ~ao deLapla e �2u�t2 + �2u�x2 = 0 :3. Parab�oli o ( b2 � a = 0). Neste aso as ra��zes �1; �2 s~ao degeneradas e � n~ao�e independente de �. Considere ent~ao � = �(x; y) uma variavel independente(�2 = 0, por exemplo), ent~ao segue de (3.1.3) e (3.1.4) que A = B = 0 e C 6= 0 ea equa� ~ao (3.1.5) �e substituida por �2u��2 = 0 (3.1.8) uja solu� ~ao geral �eu(x; y) = f(�) + �g(�) = f1 (x� (b= )y) + y g1 (x� (b= )y)O t��pi o exemplo de uma equa� ~ao parab�oli a �e a equa� ~ao do alor (Exemplo 2.)que �e de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espa� o.3.1.2 Condi� ~oes de Contorno ApropriadasExistem tr^es tipos de ondi� ~oes de ontorno. Por simpli idade, onsideremos equa� ~oesem R2 ujas oordenadas artesianas x e y eventualmente ser~ao interpretadas omotempo e espa� o.Seja C um urva em R2 parametrizada pelo seu omprimento de ar o:s 7�! z(s) = (x(s); y(s)) om x0(s)2 + y0(s)2 = 1 1. Denotamos por n = n (x; y) a normal �a urva C no ponto(x; y). Os tipos de ondi� ~oes de ontorno s~ao determinados omo segue.Diri hlet. Espe i� a{se o valor da fun� ~ao u = u(x; y) em ada ponto (x; y) do ontornoC.1Note que o omprimento in�nitesimal de ar o, dado por jz(s+ ds)� z(s)j ' jz0(s)j ds , �e igual ads se z(s) for uma parametriza� ~ao pelo omprimento de ar o.

102 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISNeumann. Espe i� a{se a omponente normal do gradiente n � ru = n1�u=�x +n2�u=�y em ada ponto (x; y) do ontorno C.Cau hy. u e N � ru s~ao espe i� adas em ada ponto (x; y) do ontorno C.A quest~ao que se apresenta �e a seguinte:Qual entre estas ondi� ~oes (se devemos es olher apenas uma) �e a mais apropriadapara determinar (univo amente) a solu� ~ao de uma equa� ~ao a derivadas par iais?Para uma equa� ~ao diferen ial ordin�aria de segunda ordem u00 + au0 + bu = 0, aespe i� a� ~ao de u(x0) e u0(x0) em algum ponto x0 2 R2 determina a solu� ~ao u em tododom��nio. Veremos que para determinar a solu� ~ao de equa� ~oes a derivadas par iais adatipo de equa� ~ao demanda um tipo erto de ondi� ~oes de ontorno. Um breve sum�arioda resposta �e dado a seguir:1. Equa� ~oes Hiperb�oli as requer ondi� ~oes de ontorno de Cau hy sobre ontornos Cabertos.2. Equa� ~oes El��pti as requer ondi� ~oes de ontorno do tipo Diri hlet ou Neumannsobre ontornos C fe hados.3. Equa� ~oes Parab�oli as requer ondi� ~oes de ontorno do tipo Diri hlet ou Neumannsobre ontornos C abertos.Suponhamos que sejam dados os valores de u e n � ru ao longo do ontorno C.Lembrando que C �e parametrizado pelo omprimento de ar o (isto �e, x0(s)2 + y0(s)2 =1), e que n = n(s) = (�y0(s); x0(s)) �e o vetor unit�ario normal a C no ponto z(s) =(x(s); y(s)), ent~ao o sistemaN(s) := (n � ru) (z(s)) = �y0 �u�x + x0 �u�y (s) := duds (z(s)) = x0 �u�x + y0 �u�y�e su� iente para determinar as primeiras derivadas de u. Para tal, note que a matrizA = � �y0 x0x0 y0 ��e invers��vel (detA = � (x02 + y02) = �1) e A�1 = A. Portanto�u�x = �y0N(s) + x0 (s)�u�y = x0N(s) + y0 (s) :

3.1. INTRODUC� ~AO 103Para determinar as segundas derivadas ao longo do ontorno, usamos as equa� ~oes�(s; x) := dds �u�x(z(s)) = x0 �2u�x2 + y0 �2u�y�x�(s; y) := dds �u�y (z(s)) = y0 �2u�y2 + x0 �2u�x�ymais a �2u�x2 + 2b �2u�y�x + �2u�y2 = F �x; y; u; �u�x; �u�y� :Este sistema de equa� ~oes n~ao{homog^eneas tem solu� ~ao para as derivadas segundas se amatriz M = 0� a 2b x0 y0 00 x0 y0 1Afor n~ao singular (detM 6= 0).Con luimos que os valores de u e n � ru ao longo do ontorno C s~ao insu� ientespara determinar as segundas derivadas ao longo de C, se a seguinte equa� ~aoa �dyds�2 � 2bdxds dyds + �dxds�2 = 0 (3.1.9)for satisfeita para a parametriza� ~ao s 7�! (x(s); y(s)) de C segundo seu omprimentode ar o.A equa� ~ao (3.1.9) determina duas dire� ~oes em ada ponto (x; y) 2 R2 dadas pelassolu� ~oes de a � 2bdxdy + �dxdy�2 = �dxdy � �1��dxdy � �2� = 0 ; (3.1.10)denominadas dire� ~oes ara ter��sti as de uma equa� ~ao a derivadas par iais. Note queestas dire� ~oes, dx=dy = �1; �2, s~ao reais somente no aso de equa� ~oes parab�oli as ouhiperb�oli as.Denominamos ara ter��sti a a urva uja tangente em ada ponto (x; y) 2 �euma dire� ~ao ara ter��sti a. Assim, uma ondi� ~ao de ontorno �e apropriada para umadada equa� ~ao, se o ontorno C em nenhum ponto tangen ia uma de suas ara ter��sti as.Exemplo 3.1.4 Considere a seguinte equa� ~ao parab�oli a�2u�x2 = 0 ; 0 < x < 1 ; �1 < y <1 ; (3.1.11)

104 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAIS om ondi� ~oes de ontorno de Diri hletu(0; y) = y2 e u(1; y) = 1 ;para todo �1 < y <1.O ontorno C = C1 [ C2 �e aberto dado pelas retas paralelas C1 = fx = 0; y 2 Rg eC2 = fx = 1; y 2 Rg parametrizadas por z1(s) = (0; s) e z2(s) = (1; s), respe tivamente.Note que jz1j = jz2j = 1.A equa� ~ao das ara ter��sti as (dy=ds)2 = 0 gera uma fam��lia de retas y = onstortogonais �a C.A solu� ~ao geral de (3.1.11) �e dada poru(x; y) = x f(y) + g(y) ;onde f e g s~ao obtidas pelas ondi� ~oes de ontornou(0; y) = g(y) = y2u(1; y) = f(y) + g(y) = 1 :Portanto u(x; y) = x �1� y2�+ y2 :Exemplo 3.1.5 Considere a equa� ~ao da orda vibrante�2u�x2 � 1v2 �2u�t2 = 0 : (3.1.12)As retas no plano t� x om in lina� ~ao �vx� vt = � ; � 2 Rx+ vt = �; � 2 R ;s~ao solu� ~oes de (3.1.10) om y = t, a = 1; b = 0 e = �1=v2:�dxdt�2 = v2 ;e de�nem a fam��lia de urvas ara ter��sti as para esta equa� ~ao.Seja C a reta t = 0 e onsidere a ondi� ~ao de Cau hyujC = u(0; x) � (x) e 1v (n � ru)jC = 1v �u�x(0; x) � N(x) :

3.2. SEPARAC� ~AO DE VARI �AVEIS 105A solu� ~ao geral de (3.1.12) �e u(t; x) = f(�) + g(�) om f e g dadas pela f�ormula de D'Alembert f(x) = 12 � (x)� Z xN(x0) dx0�g(x) = 12 � (x) + Z xN(x0) dx0� :Exer �� io 3.1.6 Deduza a f�ormula de D' Alembert.3.2 Separa� ~ao de Vari�aveis3.2.1 O Problema de Valores Ini ial e de FronteiraComo ilustra� ~ao do m�etodo de separa� ~ao de vari�aveis, trataremos o problema de auto{valores de uma membrana vibrante. O problema �e des rito pela equa� ~ao homogênea1�2 �2u�t2 � �2u�x2 � �2u�y2 = 0 (3.2.1)de�nida no dom��nioR = f(t; x; y) 2 R3 : t > 0; (x; y) 2 �g onde � �e uma regi~ao limitadado plano. u = u (t; x; y) des reve o quanto a membrana se afasta de sua posi� ~ao deequil��brio u = 0 no instante t e posi� ~ao (x; y).Vamos onsiderar a ondi� ~ao de Diri hlet na fronteira � de �:u (t;�) = 0 (3.2.2) orrespondendo a manter �xa as extremidades da membrana na posi� ~ao de equil��brio.O m�etodo de separa� ~ao de vari�aveis onsiste em pro urar solu� ~oes da formau (t; x; y) = T (t) v(x; y) :Substituindo esta solu� ~ao em (3.2.1) e dividindo em seguida por u, obtem-se�1v r2v = �1�2T T 00 = � (3.2.3)onde r2 = �2=�x2 + �2=�y2 �e o Lapla eano em R2 . A onstante de separa� ~ao pode seres rita omo � = k2, k 2 R, pois �r2 �e um operador positivo.Como o seu pr�oprio nome indi a, o m�etodo separa a equa� ~ao (3.2.1) em duas equa� ~oes�r2v = k2 v�T 00 = k2 �2 T (3.2.4)

106 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISsendo a segunda uma equa� ~ao ordin�aria.As solu� ~oes de (3.2.1) s~ao portanto dadas poru (t; x; y) = (a sin k�t+ b os k�t) v(x; y) (3.2.5)onde v satisfaz a equa� ~ao de auto{valores (� = k2)�r2v = �v ;sujeita �a ondi� ~ao de fronteira v (�) = 0: (3.2.6)Nos dois exemplos a seguir veremos que este problema de valor de fronteira admiteuma sequên ia enumeravel in�nita de auto{valores �1; �2; : : : positivos, e auto{fun� ~oesasso iadas v1; v2; : : :, mutuamente ortogonais om respeito ao produto interno:(vi; vj) := Z Z� vi (x; y) vj (x; y) dx dy : (3.2.7)A ortogonalidade das auto{fun� ~oes segue de maneira an�aloga ao problema de Sturm{Liouville, omo onsequên ia da f�ormula de Green (veja Du� & Naylor, \Di�erentialEquations of Applied Mathemati s", pg. 201). Da primeira equa� ~ao de (3.2.4),(�i � �j) Z Z� vi (x; y) vj (x; y) dx dy = � Z Z� �r2vi vj � vir2vj � dx dy= � Z� (rvi vj � virvj ) ds+ Z Z� (rvirvj �rvirvj ) dx dy= � Z� (rvi vj � virvj ) dsse anula para i 6= j, devido �a ondi� ~ao de fronteira (3.2.6).O onjunto das auto{fun� ~oes fvj (x; y)g (normalizado kvik2 = (vi; vi) = 1) forma umsistema ortonormal ompleto. Es revendo �j = k2j , a solu� ~ao das equa� ~oes homogêneas(3.2.1) e (3.2.2), em vista de (3.2.5) e do prin ��piode superposi� ~ao, �e dada pela ombina� ~ao linearu (t; x; y) = 1Xj=1 (a j os kj�t+ bj sin kj�t) vj (x; y) (3.2.8)onde as onstantes aj; bj; j 2 N+ , s~ao os oe� ientes da expans~ao em s�erie das ondi� ~oesini iais u(0; x; y) = f(x; y) e �u�t (0; x; y) = g(x; y) ; (3.2.9)

3.2. SEPARAC� ~AO DE VARI �AVEIS 107nas auto{fun� ~oes fvj (x; y)g dados pelas f�ormulasaj = (vj; f) (3.2.10)= Z Z� f (x; y) vj (x; y) dx dye bj = 1�kj (vj; g) (3.2.11)= 1�kj Z Z� g (x; y) vj (x; y) dx dy :Exer �� io 3.2.1 Use as rela� ~oes de ortogonalidade (3.2.7) para deduzir as f�ormulas(3.2.10).Note que a express~ao (3.2.8) pode ser es rita em termos dos operadores de proje� ~aoEj na dire� ~ao da autofun� ~ao vj omou (t; x; y) = 1Xj=1 � os kj�tE jf + 1�kj sin kj�tE jg�(veja subse� ~ao 1.2.2 sobre adeias harmôni as). O onjunto das auto{fun� ~oes fvjg de-s reve osmodos normais e a grandezas !j = kj�, j 2 N+ , s~ao as frequên ias normaisde vibra� ~a o da membrana.Exemplo 3.2.2 A membrana quadrada. Considere a equa� ~ao (3.2.1) no dom��nio� = f0 < x < �; 0 < y < �g. Pela dis uss~ao geral, a solu� ~ao do problema se reduz aoseguinte problema de auto{valores��2v�x2 � �2v�y2 = �v (3.2.12)em � sujeita �a ondi� ~ao de fronteira v (�) = 0, isto �e,v(0; y) = v(�; y) = v(x; 0) = v(x; �) = 0para todo 0 � x � � e 0 � y � �.Usando o m�etodo de separa� ~ao de vari�aveis, es revemos v (x; y) = X(x)Y (y). Sub-stituindo esta forma na equa� ~ao (3.2.12) e dividindo por X Y , resulta nas equa� ~oes�X 00 = �X�Y 00 = �Y

108 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAIS om � + � = � e ondi� ~oes de fronteiraX(0) = X(�) = Y (0) = Y (�) = 0 :As auto{fun� ~oes deste problema s~ao dadas porvn;m(x; y) = 2� sin nx sinmy ; n; m 2 N+ ujos auto{valores orrespondentes s~ao�n;m = n2 +m2 :O desvio da membrana om rela� ~ao a sua posi� ~ao de equil��brio no instante t, dadoque no instante t = 0 temos as equa� ~oes (3.2.9), �e dado poru (t; x; y) = 2� 1Xn=1 1Xm=1�a n;m ospn2 +m2�t+ bn;m sinpn2 +m2�t� sinnx sinmyonde an;m = 2� Z �0 Z �0 f (x; y) sin nx sinmy dx dye bn;m = 2��pn2 +m2 Z �0 Z �0 g (x; y) sin nx sinmy dx dy :Exemplo 3.2.3 Membrana Cir ular. Consideremos o problema de auto{valoresdado pela equa� ~ao de Helmholtz (3.2.12) em um dom��nio ir ular� = �(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 1sujeita �a ondi� ~ao de fronteira v (�) = 0, onde � = fx2 + y2 = 1g �e a ir unferên ia deraio unit�ario.Uma parti ular solu� ~ao de (3.2.12) �e dada pela onda plana esta ion�ariav(x; y) = eiky (3.2.13) om dire� ~ao de propaga� ~ao y (a es olha desta dire� ~a o �e arbitr�aria). Em oordenadaspolares: x = r os � ; y = r sin � ;(3.2.13) � a v(r; �) = eikr sin � (3.2.14)que �e uma solu� ~ao da equa� ~ao (3.2.12) em oordenadas polares�2v�r2 + 1r �v�r + 1r2 �2v��2 + k2v = 0

3.2. SEPARAC� ~AO DE VARI �AVEIS 109Exer �� io 3.2.4 Veri�que que (3.2.14) satisfaz esta equa� ~ao.Exemplo 3.2.5 Como v = v(r; �) �e uma fun� ~ao peri�odi a de per��odo 2�, podemoses rever esta fun� ~ao em s�erie de Fourierv(r; �) = 1Xn=�1 n(r) ein�onde os oe� ientes n; n 2 Z, s~ao dados pela f�ormula inversa n(r) = 12� Z �� v(r; �) e�in� d� (3.2.15)e satisfazem a equa� ~ao de Bessel (veja Exemplo 2.1.41) 00 + 1r 0 + �k2 � n2r2� = 0 (3.2.16) om ondi� ~ao de fronteira (0) <1 e (1) = 0.A solu� ~ao desta equa� ~ao, onhe ida omo fun� ~ao de Bessel de primeira esp�e ie deordem n, �e obtida pela substitui� ~ao de (3.2.14) em (3.2.15): n(r) = 12� Z �� eikr sin ��in� d� (3.2.17) omumente denotada por Jn(kr) ((3.2.17) �e uma de suas formas integrais).Pode{se mostrar que Jn tamb�em pode ser es rita na forma de s�erieJn(x) = 1Xm=0 (�1)mm! (m + n)! �x2�n+2m (3.2.18)(esta express~ao bem omo as propriedades a seguir ser~ao dis utidas mais adiante). Al�emdisso, para ada n2N, Jn(x) se anula em um n�umero in�nito de valoresxn;m ; m = 1; 2; : : :denominados zeros da fun� ~ao de Bessel.Portanto, as auto{fun� ~oes (ou modos normais de vibra� ~ao) do problema de auto{valores (3.2.12) para membrana ir ular s~aovn;m(r; �) = 1Nn;mJn(xn;mr) ein� ; n 2 Z; m 2 N+ ;

110 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAIS om Nn;m = �1=2J 0n(xn;m) a normaliza� ~ao. Note que vn;m satisfaz as ondi� ~ao de fron-teira vn;m(0; �) < 1 (pois a soma (3.2.18) �e onvergente em x = 0) e vn;m(1; �) = 0(pois ada xn;m �e um zero de Jn(x)).Os auto{valores orrespondentes s~ao�n;m = x2n;m :Note ainda que, em vista da dis uss~ao geral (veja eq. (3.2.7)) vn;m s~ao ortonormais omrespeito ao produto interno(vn;m; vn0;m0) : = Z 10 r dr Z �� d� vn;m(r; �) vn0;m0(r; �)= 2�N2n;m Z 10 r dr Jn(xn;mr) Jn0(xn0;m0r) 12� Z �� d� ei(n�n0)�= Æn;n0Æm;m0 :O desvio da membrana u = u(t; r; �) om rela� ~ao a sua posi� ~ao de equil��brio u = 0no instante t, dado que no instante t = 0 temosu(0; r; �) = f(r; �) e �u�t (0; r; �) = g(r; �) ;�e dado poru (t; x; y) = 1Xn=�1 1Xm=1 1Nn;m (a n;m os xn;m�t+ bn;m sin xn;m�t) Jn(xn;mr) ein�onde an;m = 1Nn;m Z 10 r dr Z �� d� f (r; �) Jn(xn;mr) e�in�e bn;m = 1�Nn;mxn;m Z 10 Z �� g (r; �) Jn(xn;mr) e�in� r dr d�:3.3 Fun� ~ao de Green3.3.1 Equa� ~ao de Helmholtz N~ao{Homog^enea no C��r uloPara resolver a equa� ~ao de Helmholtz n~ao{homog^enea no ��r ulo, �e ne ess�ario determinaruma solu� ~ao Yn da equa� ~ao de Bessel linearmente independente a Jn. Veremos que estaquest~ao requer uma an�alise um pou o extensa.

3.3. FUNC� ~AO DE GREEN 111Embora (3.2.17) foi deduzida para n inteiro, esta mesma express~ao �e tamb�em solu� ~aoda equa� ~ao de Bessel (3.2.16) se n for substituido por um n�umero real �. Neste aso, aequa� ~ao (3.2.18) ainda �e valida se a fun� ~ao (m + n)! for substitu��da pela sua ontinua� ~aoanal��ti a �(m + n+ 1), onde �(z) = Z 10 e�t tz�1 dt ; (3.3.1)z 2 C , <e z > 0, �e a fun� ~ao Gama de Euler.Exer �� io 3.3.1 Veri�que que a fun� ~ao Gama satisfaz a seguinte rela� ~ao fun ional�(z + 1) = z �(z) (3.3.2)para todo z 2 C tal que <e z > 0. Mostre que �(1) = 1 e deduza, a partir de (3.3.2),�(n+ 1) = n! ; n 2 N :Exer �� io 3.3.2 Use (3.2.18) e (3.3.1) para demonstrarJ�n(x) = (�1)n Jn(x) (3.3.3)para n 2 N.A seguinte proposi� ~ao nos d�a uma resposta in ompleta �a nossa quest~ao.Proposi� ~ao 3.3.3 As fun� ~oes J�(x) e J��(x) dadas pela s�erie (3.2.18) om (m+ n)!substituido por �(m + n + 1), s~ao duas solu� ~oes linearmente independentes da equa� ~aode Bessel xu00 + u0 + �x� �2x � u = 0 (3.3.4)se e somente se � =2 Z.Prova. Vimos que detW = C onde W �e a matrizW = � J� J��xJ 0� �xJ 0�v � ; (3.3.5)e C �e uma onstante independente de x (lembre que isto �e v�alido para qualquer problemade Sturm{Liouville). Para isto, basta veri� ar, usando a equa� ~ao (3.3.4), que a derivada om respeito a x de detW = x �J 0�(x) J��(x)� J�(x) J 0��(x)�

112 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISse anula.Para obter o valor da onstante C, onsideramos a fun� ~ao (3.2.18 ) e sua derivadano limite em que x! 0:J��(x) = 1�(1� �) �x2�� 1 +O �x2��e J 0��(x) = ��2�(1� �) �x2��1 �1 +O �x2��onde f(x) = O(g(x)) signi� a que limx!0 f(x)=g(x) onverge para uma onstante n~aonula. Note que, limx!0 J��(x) =1 se � > 0 e � =2 N .Portanto, desprezando termos de ordem superior em x,detW = � x2�(1 + �) �(1� �) ��x2�� x2��1 + �x2��1 �x2��= 2��(1 + �) �(1� �) : (3.3.6)Note ainda que os termos que foram desprezados se anulam quando x ! 0 e omodetW = C �e independente de x (3.3.6) �e de fato o valor da onstante C.Falta apenas provar que C �e n~ao nula para � =2 Z. Isto segue do seguinte exer �� io.Exer �� io 3.3.4 Mostre que a seguinte rela� ~ao�(1 + z) �(1� z) = z �sin � z�e satisfeita para z =2 Z.Indi a� ~ao: Usando as seguintes mudan� as de variaveis: t = u2 e s = v2 e, emseguida, u = r os � e v = r sin �, mostre que�(x) �(y) = Z 10 e�t tx�1 dt Z 10 e�s sy�1 ds= �(x+ y)B (x; y) (3.3.7)onde B(x; y) = 2 Z 2�0 os2x�1 � sin2y�1 � d��e a fun� ~ao Beta. Continuando, use a transforma� ~ao de variavel os2 � = p= (1 + p) paramostrar que B(x; y) = Z 10 px�1(1 + p)x+y dp

3.3. FUNC� ~AO DE GREEN 113e, pelo teorema de Cau hy e integral de res��duo, veri�que queB(x; 1� x) = �sin �x (3.3.8)se x =2 Z. Combinando as rela� ~oes (3.3.2), (3.3.7)e (3.3.8), omplete sua prova.De (3.3.6) e Exer �� io 3.3.4, temosdetW = 2 sin �� : 2A segunda solu� ~ao Y� da equa� ~ao (3.3.4), linearmente independente a J� para todo� 2 R, �e dada seguinte seguinte ombina� ~ao linear:Y�(x) := os �� J�(x)� J��(x)sin �� :Em vista de (3.3.3), tanto o numerador omo o denomimador se anula quando � tendea um n�umero inteiro n. Usando l'Hopital, temosYn(x) = limv!n os �� J�(x)� J��(x)sin ��= limv!n �� sin �� J�(x) + os �� (�J�=��) (x)� (�J��=��) (x)� os ��= 1� � �J�(x)�� =n � (�1)n �J��(x)�� =n� :Deixamos omo exer �� io a veri� a� ~ao da a�rma� ~ao que J� e Y� s~ao linearmenteindependentes:Exer �� io 3.3.5 Mostre que detW = � 2��e v�alido para todo � 2 R (in lusive inteiros) se W for a matriz (3.3.5) om J�� substi-tuida por Y�.Considere agora a equa� ~ao de Helmholtz n~ao{homogênea�r2v � k2v = f

114 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISno dom��nio limitado � � R2 , om ondi� ~oes de fronteira v(�) = 0. Desejamos en ontraruma distribui� ~ao G tal que a solu� ~ao deste problema seja dada pela integralv(x; y) = Z� dx dyG(x; y; x0; y0) f(x0; y0) : (3.3.9)Isto �e, G �e a fun� ~ao de Green deste problema e omo tal satisfaz a equa� ~ao�r2G� k2G = Æ(x� x0) Æ(y � y0) :Seja � o ��r ulo unit�ario fx2 + y2 < 1g. Em ordenadas polares a integral (3.3.9) �ees rita omo2 v(r; �) = Z 10 r 0dr0 Z �� d� G(r; �; r0; �0) f(r0; �0)e satisfaz a equa� ~ao��2G�r2 + 1r �G�r + 1r2 �2G��2 �� k2G = 1r Æ(r � r0) Æ(� � �0) : (3.3.10)A seguir resolveremos a equa� ~ao (3.3.10) por um m�etodo misto: parte usando om�etodo em s�erie e parte pelo m�etodo direto.Como G = G(r; �; r0; �0) �e uma fun� ~ao peri�odi a de per��odo 2� nas vari�aveis � e�0es revemosG(r; �; r0; �0) = G(r; r0; � � �0) = 12� 1Xn=�1Gn(r; r0) ein(��0) (3.3.11)(o fator (2�)�1 a frente �e es olhido por onveniên ia), onde os oe� ientes Gn, n 2 N,desta expans~ao s~ao dados pela f�ormula de Fourier inversaGn(r; r0) = Z ��G(r; r0; �) e�in� d� :Note que o termo n~ao{homogêneo em � e �0 depende apenas de sua diferen� a. Estefato n~ao pode ser utilizado para vari�avel radial pois a ondi� ~ao de fronteira destroi ainvarian� a transla ional do termo n~ao{homogêneo orrespondente.Substituindo (3.3.11) em (3.3.10), e usando a rela� ~ao de ompleteza do sistemaortonormal �un(�) = ein�=p2�n2Z:1Xn=�1un(�0) un(�) = 12� 1Xn=�1 exp fin (� � �0)g = Æ (� � �0)2A solu� ~ao v(x; y) em oordenadas polares �e dada por v(x(r; �); y(r; �)). Em outras palavras, asvari�aveis x e y da solu� ~ao v devem ser substitu��das por r os � e r sin �, respe tivamente. A rigor, porse tratar de uma fun� ~ao diferente, dever��amos denotar esta solu� ~ao por uma outra letra, w(r; �) porexemplo. Por um abuso de linguagem, manteremos a nota� ~ao v(r; �) tamb�em para esta fun� ~ao.

3.3. FUNC� ~AO DE GREEN 115obtemos para ada n 2 N a seguinte equa� ~ao diferen ial ordin�aria�rG00n �G0n + �n2r � k2r�Gn = Æ(r � r0) :Segundo o pro edimento usual, devemos en ontrar duas solu� ~oes linearmente inde-pendente U1 e U2, que s~ao solu� ~oes das equa� ~oes de Bessel homog^eneas:�rU 001 � U 01 + �n2r � k2r�U1 = 0 ; 0 � r < r0 (3.3.12) om U1(0) <1, e�rU 002 � U 02 + �n2r � k2r�U2 = 0 ; r0 < r � 1 (3.3.13) om U2(1) = 0.A fun� ~ao de Green Gn �e dada porGn(r; r0) = 8>>>><>>>>: U1(r)U2(r0)detfW se 0 � r < r0U1(r0)U2(r)detfW se r0 < r � 1 (3.3.14)onde detfW = det� U1 U2�rU 01 �rU 02 � = r (U 01U2 � U1U 02)�e uma fun� ~ao onstante em r por se tratar de um problema de Sturm{Liouville.Temos U1(r) = Jn(kr)e U2(r) = Jn(kr)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr) :satisfazem (3.3.12) e (3.3.13) om U1(0) < 1 e U2(1) = 0, respe tivamente. Al�emdisso, se k n~ao oin idir om algum dos zeros xn;m da fun� ~ao de Bessel Jn(x), usando oresultado do Exer �� io 3.3.5, temosdetfW = kr [J 0n(kr) (Jn(kr)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr))�Jn(kr) (J 0n(kr)Yn(k)� Jn(k)Y 0n(kr))℄= �kr [J 0n(kr)Yn(kr)� Jn(kr)Y 0n(kr)℄Jn(k)= 2Jn(k)� :

116 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISSubstituindo estas quantidades em (3.3.14) obtemosGn(r; r0) = 8>>>><>>>>: � Jn(kr)2Jn(k) (Jn(kr0)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr0)) se 0 � r < r0� Jn(kr0)2Jn(k) (Jn(kr)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr)) se r0 < r � 1resultando, em vista de (3.3.11),G(r; �; r0; �0) = 1Xn=�1 Jn(kr)4Jn(k) (Jn(kr0)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr0)) ein(��0)se 0 � r � r0 eG(r; �; r0; �0) = 1Xn=�1 Jn(kr0)4Jn(k) (Jn(kr)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr)) ein(��0)se r0 < r � 1.A fun� ~ao de Green G tamb�em pode ser obtida na forma de s�erie usando os auto{valores k2n;m, e auto{fun� ~oes vn;m(r; �) = (1=Nn;m) Jn(kn;mr) ein�, n 2 Z; m 2 N+ , deter-minados no Exemplo 3.2.3 da membrana ir ular:G(r; �; r0; �0) = 1Xn=�1 1Xm=1 vn;m(r0; �0) vn;m(r; �)k2n;m � k2= 1Xn=�1 1Xm=1 1� J 0n(kn;m)2 Jn(kn;mr0) Jn(kn;mr)k2n;m � k2 ein(��0) :Comparando as express~oes hegamos a seguinte identidadeJn(kr)4Jn(k) (Jn(kr0)Yn(k)� Jn(k)Yn(kr0)) = 1Xm=1 1� J 0(kn;m)2 Jn(kn;mr0) Jn(kn;mr)k2n;m � k2v�alida para 0 � r � r0 � 1, que �e uma realiza� ~ao das s�eries de Fourier{Bessel.3.3.2 Fun� ~ao de Green para Condi� ~ao Ini ialConsidere agora a equa� ~ao do alor homog^enea1� �u�t �r2u = 0 (3.3.15)

3.3. FUNC� ~AO DE GREEN 117no dom��nio ft > 0; (x; y) 2 �g sujeita �as ondi� ~oes ini iaisu(0; x; y) = '(x; y)e de fronteira u(t;�) = 0 onde � �e a borda da regi~ao limitada �.Seja � o ��r ulo unit�ario. Podemos ent~ao es rever a solu� ~ao do problema omouma s�erie nas auto{fun� ~oes vn;m(r; �) = (1=Nn;m) Jn(kn;mr) ein�, n 2 Z; m 2 N+ , damembrana ir ular: u(t; r; �) = 1Xn=�1 1Xm=1 n;m(t) vn;m(r; �) : (3.3.16)No aso de � ser um dom��no limitado qualquer, devemos substituir vn;m pelas auto{fun� ~oes apropriadas da equa� ~ao de Helmholtz �r2v = k2v om v(�) = 0.Para t = 0, u(0; r; �) = 1Xn=�1 1Xm=1 n;m(0) vn;m(r; �) = '(r; �)e portanto n;m(0) = (vn;m; ') (3.3.17)= 1�1=2J 0n(kn;m) Z 10 r dr Jn(kn;mr) Z �� d� '(r; �) e�in�Substituindo (3.3.16) em (3.3.15), obtemos um sistema de equa� ~oes de primeiraordem desa oplados: 1� 0n;m + k2n;m n;m = 0 ; n 2 Z ; m 2 N+ ; uja solu� ~ao �e n;m(t) = n;m(0) e��k2n;mt (3.3.18)para t � 0 e n;m(t) = 0 para t < 0, om n;m(0) dado por (3.3.17).De (3.3.16), (3.3.18) e (3.3.17) on lu��mosu(t; r; �) = 1Xn=�1 1Xm=1 n;m(0) e��k2n;mt vn;m(r; �)= Z 10 r0 dr0 Z �� d�0 G(t; r; �; r0; �0)'(r0; �0) (3.3.19)

118 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISonde G(t; r; �; r0; �0) = 1Xn=�1 1Xm=1 e��k2n;mt vn;m(r0; �0) vn;m(r; �) (3.3.20)= 1Xn=�1 1Xm=1 1�J 0n(kn;m)2 e��k2n;mtJn(kn;mr0) Jn(kn;mr) ein(��0)se t � 0 e G(t; r; �; r0; �0) = 0 se t < 0.Podemos es rever a fun� ~ao de Green G omoG(t; r; �; r0; �0) = �(t) eG(t; r; �; r0; �0)onde �(t) �e a fun� ~ao degrau e eG �e dada por (3.3.20) para todo t 2 R. Usando o fatoque, em distribui� ~ao, �0(t) = Æ(t), obtemos a seguinte equa� ~ao para a fun� ~ao de GreenG: �1� ��t �r2�G(t; r; �; r0; �0) = 1�Æ(t) eG(t; r; �; r0; �0) + 1Xn=�1 1Xm=1 vn;m(r0; �0)��1� ��t �r2� e��k2n;mt vn;m(r; �)= 1�Æ(t) eG(t; r; �; r0; �0)= 1�Æ(t) 1Xn=�1 1Xm=1 vn;m(r0; �0) vn;m(r; �)= 1�Æ(t) Æ(r � r0) Æ(� � �0)rem vista da rela� ~ao de ompleteza das auto{fun� ~oes vn;m.3.4 Apli a� ~oes em EletromagnetismoAs ondas eletro{magn�eti as na Eletrodim^ami a Cl�assi a s~ao des ritas pela equa� ~ao1 2 �2u�t2 �r2u = f ; t > 0 ; x 2 R3 (3.4.1)onde �e a velo idade da luz no v�a uo (a equa� ~ao �e de fato vetorial mas podemos pensaru omo uma das omponentes transversais do ampo el�etri o E ou magn�eti o B). As

3.4. APLICAC� ~OES EM ELETROMAGNETISMO 119fontes f = f(t; x) dos ampos eletro{magn�eti os s~ao distribui� ~oes de argas el�etri as noespa� o R3 que variam om o tempo.Quando o termo de fonte f �e nulo, vimos que as solu� ~oes s~ao da formau(t; x) = (a os k t+ b sin k t) v(x)onde v satisfaz a equa� ~ao de Helmholtz�r2v + k2v = 0 (3.4.2)de ondas esta ion�arias.Quando k = 0, esta equa� ~ao �e hamada equa� ~ao de Lapla e satisfeita pelo po-ten ial eletrost�ati o � (� mant^em om o ampo eletrost�ati o a rela� ~ao E = �r�). Aequa� ~ao de Lapla e n~ao homog^enea �r2� = � (3.4.3)�e hamada equa� ~ao de Poisson onde � �e uma distribui� ~ao est�ati a de argas el�etri asem R3 .Des reveremos nesta se� ~ao solu� ~oes das equa� ~oes (3.4.1), (3.4.2) e (3.4.3) em algumassitua� ~oes F��si as.3.4.1 Equa� ~ao de Helmholtz em Coordenadas Esf�eri asUm ponto x = (x1; x2; x3) 2 R3 pode ser representado pelas oordenadas esf�eri as(r; �; ') assim de�nidas x1 = r sin � os'x2 = r sin � sin'x3 = r os � ; (3.4.4)onde 0 � r <1, 0 � � � � e �� ' � �.Para es rever a equa� ~ao de Helmholtz ou qualquer uma das equa� ~oes itadas a imaem oordenadas esf�eri as, �e onveniente introduzir as seguintes quantidades. Sejah� := � �x1�� x2�� x3�� o vetor oluna ujas entradas s~ao derivadas par iais de (3.4.4) om respeito a � = r ; �ou ' e denote por h� a sua norma jh� j :=ph� � h� . Expli itamente,hr = (sin � os'; sin � sin'; os �)h� = (r os � os'; r os � sin'; �r sin �)h' = (�r sin � sin'; r sin � os'; 0)

120 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISe h2r = sin2 � os2 '+ sin2 � sin2 '+ os2 � = 1 ;h2� = r2 � os2 � os2 '+ os2 � sin2 '+ sin2 �� = r2h2' = r2 �sin2 � sin2 '+ sin2 � os2 '� = r2 sin2 � :Exer �� io 3.4.1 Veri�que que hr, h� e h' s~ao vetores mutuamente ortogonais.Seja H a matriz uja a transposta HT = [hr h� h'℄, �e formada pelos vetores h� ,� = r; � e ', em suas olunas. Devido a propriedade de ortogonalidade, temos quedetH = hr h� h' (3.4.5)e H�1 = �hrh2r h�h2� h'h2' �que tamb�em pode ser es rita omoH�1 = 1hr h� h' [(arhr) (a�h�) (a'h')℄ (3.4.6)onde ar = h� h'hr , a� = hr h'h� e a' = hr h�h' .Exer �� io 3.4.2 Demonstre (3.4.5) e (3.4.6).Com estas de�ni� ~oes, podemos es rever a seguinte equa� ~ao0� � /�r� /�� /�' 1A = H0� � /�x1� /�x2� /�x3 1Aque, em vista de (3.4.5) e (3.4.6), levam ao vetor oluna gradiente0� � /�x1� /�x2� /�x3 1A = �hrh2r h�h2� h'h2' �0� � /�r� /�� /�' 1A (3.4.7)e ao vetor linha gradiente r := � �=�x1 �=�x2 �=�x3 �r = 1hr h� h' 24[(arhr) (a�h�) (a'h')℄0� � /�r� /�� /�' 1A35T

3.4. APLICAC� ~OES EM ELETROMAGNETISMO 121resultando emr = 1hr h� h' � �=�r �=�� =�' � [(arhr) (a�h�) (a'h')℄T (3.4.8)De (3.4.8) e (3.4.7), o operador lapla eano, dado porr2 = � � /�x1 � /�x2 � /�x3 �0� � /�x1� /�x2� /�x3 1Aem oordenadas esf�eri as � ar2 = 1hr h� h' � �=�r �=�� =�' �0� ar 0 00 a� 00 0 a' 1A0� � /�r� /�� /�' 1A (3.4.9)ou, equivalentemente,r2 = 1hrh�h' � ��r �h�h'hr ��r� + �� hrh'h� �� + ��' �hrh�h' ��'��Exer �� io 3.4.3 Demonstre (3.4.9).

Expli itamente, a equa� ~ao de Helmholtz em oordenadas esf�eri as �e1r2 ��r �r2�v�r� + 1r2 sin � �� sin ��v��+ 1r2 sin2 � � �2v�'2� + k2v = 0 (3.4.10)A es olha do sistema de oordenadas depende das ondi� ~oes de fronteira do problema.A equa� ~ao (3.4.10) �e apropriada para des rever a radia� ~ao eletro{magn�eti a em regi~oessu� ientemente distantes das fontes (aproxima� ~ao puntual da fonte) e outros problemasenvolvendo simetria radial.A solu� ~ao de (3.4.10) pode ser obtida pelo m�etodo de separa� ~ao de vari�aveis: es- revemos v(r; �; ') = R(r)�(�) �(') (3.4.11)Ao substituir (3.4.11) na equa� ~ao, dividindo por R��, obtem-se1r2R �r2R0�0 + 1r2 sin �� (sin ��0)0 + 1r2 sin2 ��00 + k2v = 0 : (3.4.12)

122 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISA separa� ~ao das equa� ~oes �e on lu��da introduzindo duas onstantes, m e l, tais que�00 +m2� = 0 ; (3.4.13)� 1r2 �r2R0�0 + � l (l + 1)r2 � k2�R = 0 (3.4.14)e � 1sin � (sin ��0)0 + � m2sin2 � � l (l + 1)�� = 0 : (3.4.15)Veri� a-se que estas equa� ~oes s~ao ompat��veis om (3.4.12) por simples substitui� ~ao:� l (l + 1)r2 � k2� + 1r2 � m2sin2 � � l (l + 1)� + m2r2 sin2 � + k2 = 0 :

Dis utiremos a seguir a solu� ~ao de ada uma das equa� ~oes a ima. Como ' �e umavariavel angular, a fun� ~ao � �e peri�odi a de per��odo 2� satisfazendo as ondi� ~oes defronteira �(��) = �(�) e �0(��) = �0(�) :Portanto as solu� ~oes da equa� ~ao (3.4.13) s~ao�m(') = eim' om m variando sobre os inteiros (m 2 Z).Para obter as solu� ~oes da equa� ~ao (3.4.14), es revemos R = W=pr. Diferen iandotemos que R0 = [W 0 �W= (2r)℄ =pr resultando em1r2 �r2R0�0 = 1pr �W 00 + W 0r + W4r2� :Substituindo na equa� ~ao (3.4.14), obtemos a equa� ~ao de Bessel�W 00 � W 0r + (l + 1=2)2r2 � k2!W = 0que tem omo solu� ~ao o par de fun� ~oes linearmente independentes Jl+1=2(kr) e Yl+1=2(kr).As solu� ~oes da equa� ~ao (3.4.14 ) s~ao da formaRl(r) = A jl(kr) +B nj(kr)onde jl(x) =r �2xJl+1=2(x) e nl(x) =r �2xYl+1=2(x)

3.4. APLICAC� ~OES EM ELETROMAGNETISMO 123s~ao denominadas fun� ~oes de Bessel esf�eri as.Se �a equa� ~ao de Helmholtz forem impostas ondi� ~oes de fronteira, os valores de kdevem ser sele inados de forma que a fun� ~ao Rl se ajuste a estas ondi� ~oes ( omo no aso da membrana ir ular). Neste aso teremos uma ole� ~ao de auto{valores kl;n eauto{fun� ~oes orrespondentes Rl;n, n = 1; 2; : : :.Fazendo a mudan� a de vari�avel x = os �, a equa� ~ao (3.4.15) torna-se� ddx �(1� x2)d�dx�+ � m21� x2 � l (l � 1)�� = 0 ; �1 � x � 1 :Re onhe emos ser esta (veja Exemplo 2.1.40) a equa� ~ao Asso iada de Legendre, ujasolu� ~oes Pml (x) e Qml (x), l 2 N , ser~ao dis utidas no ap��tulo a seguir.A solu� ~ao geral da equa� ~ao de Helmholtz tem portanto a seguinte formav(r; �; ') = 1Xl=0 (A ljl(kr) +Bl nj(kr)) 1Xm=�1 (al;mPml ( os �) + bl;mQml ( os �)) eim' :3.4.2 Solu� ~ao da Equa� ~ao de PoissonConsideremos agora a equa� ~ao de Poisson (3.4.3) om odi� ~oes de fronteira em R3 taisque �(x) �! 0quando jxj ! 1.Pelo m�etodo da fun� ~ao de Green, a solu� ~ao desta equa� ~ao �e dada por�(x) = Z d3x0G(x;x0) �(x0) ; om a fun� ~ao de Green G satisfazendo a equa� ~ao�r2G(x;x0) = Æ(x� x0) : (3.4.16)Aqui, Æ(y) �e a fun� ~ao delta de Dira tridimensional Æ(y) = Æ(y1) Æ(y2) Æ(y3).Note que G �e o poten ial em x devido a uma arga puntual unit�aria em x0. Assim,G(x;x0) �(x0) �e o poten ial em x devido a uma arga puntual de valor �(x0) em x0 e � �esua integral sobre o espa� o todo.

124 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISFaremos uso do m�etodo direto para resolver (3.4.16). Como a fronteira se en ontrano in�nito, n~ao h�a nenhuma dire� ~ao previlegiada e G depende apenas de jx� x0j:G(x;x0) = G(jx� x0j) :Para x 6= x0, temos �r2G(r) = 0 (3.4.17)onde r = jx� x0j > 0.Em oordenadas esf�eri as (3.4.17) � a1r2 �r2G0�0 = 0 (3.4.18) uja solu� ~ao Geral �e da forma G(r) = A+B 1ronde A = 0 devido a ondi� ~ao de fronteira G(1) = 0.Exer �� io 3.4.4 Mostre que u1(r) = rl e u2(r) = 1=r(l+1) s~ao duas solu� ~oes linearmenteindependentes da equa� ~ao � 1r2 �r2 u0�0 + l(l + 1)r2 = 0 :((3.4.18) �e aso om l = 0).Para determinar a onstante B, integramos (3.4.16) sobre uma esfera R = R(x0)de raio R entrada em x0. Se �R = fx 2 R3 : jx� x0j = Rg denota a superf�� ie de R,temos � ZR r2G (x;x0) d3x = ZR Æ (x� x0) d3x = 1e, pelo Teorema de Gauss, o lado esquerdo desta equa� ~ao �e� ZR r � rG (jx� x0j) d3x = � Z�R �G�r (jx� x0j) d3x = BR2 � 4�R2 :Con lu��mos que G(x� x0) = 14� 1jx� x0je �(x) = 14� Z d3x0 �(x0)jx� x0j :

3.4. APLICAC� ~OES EM ELETROMAGNETISMO 1253.4.3 Equa� ~ao das Ondas Eletro{Magn�eti asUsaremos o m�etodo das transformadas de Fourier para determinar a solu� ~ao fundamen-tal (ou fun� ~ao de Green) G da equa� ~ao das ondas eletro{magn�eti as (3.4.1).Introduzimos a transformada de Fourier U = F [u℄ da solu� ~ao u:U(w;k) := Z dtp2� Z d3x(2�)3=2 u(t;x) ei(k�x�wt)onde k � x = k1x1 + k2x2 + k3x3, e sua inversa u = F�1 [U ℄:u(t;x) := Z dwp2� Z d3k(2�)3=2 U(w;k) e�i(k�x�wt) :As seguintes propriedades ser~ao usadas para este pro edimento.Propriedades. 1. Se Z dt Z d3x ju(t;x)j <1 ;ent~ao F�1F [u℄ = u.2. F ��nu�xnj � = (�ikj)nF [u℄ om j = 1; 2 e 3.3. F ��nu�tn � = (iw)nF [u℄ :4. Seja (h � f) (t;x) := Z dtp2� Z d3x(2�)3=2 h(t� t0;x� x0) f(t0;x0)o produto de onvolu� ~ao de g om f . Ent~aoF [h � f ℄ = F [h℄ F [f ℄ : (3.4.19)Exer �� io 3.4.5 Veri�que as propriedades 2; 3 e 4.

126 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISApli ando a transformada de Fourier em ambos os lados de (3.4.1), obtem-se��w2 2 + k2�U(w;k) = F (w;k)onde F = F [f ℄ e k2 = k � k. PortantoU(w;k) = 2k2 2 � w2F (w;k) � H(w;k)F (w;k)e pelo Teorema da Convolu� ~ao (3.4.19) e propriedade 1,u(t;x) = F�1 [HF ℄ (t;x)= Z dt0 Z d3x0G(t� t0;x� x0) f(t0;x0) (3.4.20)onde G(�; z) = 1(2�)2F�1 [H℄ (�; z) = Z dw2� Z d3k(2�)3 2k2 2 � w2 e�i(k�z�w�) (3.4.21)�e a fun� ~ao de Green do problema.Para al ular a integral (3.4.21), usaremos integra� ~ao por res��duos. Tomando o vetorz omo a dire� ~ao do ter eiro eixo de um sistema de oordenadas, temos k = jkj = pk � ke k � z = kr os �, onde r = jzj e 0 � � � �. Ent~ao (3.4.21) pode ser es rita omoG(�; z) = Z 1�1 dw2� eiw� Z 10 k2dk(2�)2 2k2 2 � w2 Z �0 sin � d� e�ikr os � :Substituindo y = � os � na �ultima integral e usandoZ 1�1 dy eikry = 1ikr �eikr � e�ikr�resulta (devido a paridade do integrando em k)G(�; z) = 2ir Z 1�1 dw2� eiw� Z 1�1 k dk(2�)2 eikrk2 2 � w2 (3.4.22)= 2ir 1(2�)3 Z 1�1 k dk eikr Z 1�1 dw eiw�k2 2 � w2�E onveniente substituir a �ultima integral em (3.4.22) sobre as frequ^en ias w 2 Rpela seguinte integral de ontorno na variavel � 2 C , om w = <e �:IC(k) := ZC d� ei��k2 2 � �2 = ZC d� ei�t(k + �) (k � �) (3.4.23)

3.4. APLICAC� ~OES EM ELETROMAGNETISMO 127onde C �e um ontorno fe hado que, por deforma� ~oes, faremos aproximar da reta real. OTeorema de Cau hy nos permite empregar este pro edimento se a deform� ~ao do ontornon~ao ruzar nenhum polo do integrando.O problema da integral original �e que os p�olos do integrando�� = �k est~ao justamento sobre o o ontorno de integra� ~ao (a reta real). Isto faz om que aintegral de partida seja mal de�nida. Nos asos em que os p�olos do integrando seen ontram no aminho de integra� ~ao n~ao h�a uma �uni a maneira de dar algum sentido�a integral e devemos nos pautar por argumentos F��si os a�m de de idir pela maneira orreta.O ontorno �e es olhido de maneira tal que seja v�alida o prin ��pio de ausalidade:G(�;x) = 0 para � < 0. Em outras palavras, a fun� ~ao resposta G deve se anular eminstantes anteriores �a perturba� ~ao. Note que, para � < 0,ei�� = e�i�j� j �! 0quando =m� ! �1. Es olhemos, portanto, o ontorno C = LR + SR, onde LR �e osegmento de reta [�R � i"; R� i"℄ imediatamente abaixo da reta real e SR �e uma semi{ ��r ulo de raio R fe hando LR por baixo se � < 0 e por ima se � � 0. Tomamos R!1ap�os ter al ulado a integral (3.4.23) por res��duo.Con lu��mos que a �ultima integral em (3.4.22) �e dada porlimR!1 IC(k) = 8><>: �i k �ei k� � ei k�� se � � 00 se � < 0resultando em G(�; z) = 8�2r Z 1�1 dk �eik(r+ �) � eik(r� �)�= 4�r (Æ (r + �)� Æ (r � �))se � � 0 e G(�;x) = 0 se � < 0. Note que Æ (r + �) = 0 se r; � > 0. Substituindo Gem (3.4.20) e usando Æ (r � �) = Æ (r= � �) = , obtemosu(t;x) = �14� Z d3x0 Z t�1 dt0 Æ(jx� x0j = � t+ t0)jx� x0j f(t0;x0) (3.4.24)= �14� Z d3x0 1jx� x0j f(t� jx� x0j = ;x0) :

128 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES A DERIVADAS PARCIAISExpress~ao (3.4.24) �e onhe ida omo o poten ial retardado pois o termo de fonteno integrando �e al ulado no tempo t�(x� x0) = , onde (x� x0) = �e o tempo ne ess�ariopara que um sinal per orra, om velo idade , a distan ia entre o ponto x0 da fonte e xdo obsevador.

Cap��tulo 4Fun� ~oes Espe iais

As equa� ~oes de Sturm{Liouville (isto �e, equa� ~oes lineares de segunda ordem auto{adjuntas) surgem naturalmente nas apli a� ~oes de F��si a{Matem�ati a que vimos no ap��tulo anterior. O m�etodo de separa� ~ao de variaveis em oordenadas apropriadas�as ondi� ~oes de fronteira, gera uma ole� ~ao de equa� ~oes auto{adjuntas ujas solu� ~oess~ao omumente denominadas fun� ~oes espe iais.Entre as fun� ~oes espe iais itadas temos a fun� ~ao de Legendre, asso iada de Legen-dre, as fun� ~oes de Bessel, os polinômios de Hermite, de Laguerre e et .. Todas estasfun� ~oes s~ao asos parti ulares das fun� ~oes hipergeom�etri as, mais propriamente, dasfun� ~oes on uentes hipergeom�etri as.O objetivo deste ap��tulo �e lassi� ar estas fun� ~oes de a ordo om o grau e n�umerode singularidades de sua equa� ~ao diferen ial e apresentar algumas de suas propriedades.Para este �m, o m�etodo de resolu� ~ao de equa� ~oes por s�eries de potên ias, onhe ido porm�etodo de Frobenius, ter�a um papel entral.4.1 M�etodo de Frobenius4.1.1 Pontos Ordin�arios e Pontos SingularesIni iaremos nossa dis uss~ao om um exemplo ilustrativo. Considere a equa� ~ao diferen ialde Legendre, �1� x2� u00 � 2xu+ l(l + 1)u = 0 ; (4.1.1)de�nida no dom��nio �1 � x � 1. Nosso objetivo �e en ontrar uma solu� ~ao desta equa� ~aona forma de s�erie de potên ia em torno de um ponto \ordin�ario" da equa� ~ao. Veremosa seguir que, ex eto os pontos extremos, os demais pontos do dom��nio s~ao ordin�arios.129

130 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISIlustraremos o m�etodo pro urando solu� ~oes de (4.1.1) na forma de uma expans~aoem torno de x = 0: u(x) = 1Xn=0 n xn = 0 + 1 x + 2 x2 + � � � : (4.1.2)Substituindo (4.1.2) em (4.1.1), obtemos(1� x2) (2 2 + 6 3x + 12 4x2 + 20 5x3 + � � �)�2x ( 1 + 2 2x+ 3 3x2 + � � �)+l(l + 1) ( 0 + 1x + 2x2 + � � �) = 0 :Rearranjando os termos, temos(2 2 + l(l + 1) 0) + (6 3 � (2� l(l + 1)) 1) x+(12 4 � (6� l(l + 1)) 2) x2+(20 5 � (12� l(l + 1)) 3)x3 + � � � = 0 :Como os monômios fxng1n=0 formam um onjunto de fun� ~oes linearmente independente,os oe� ientes desta expans~ao devem ser identi amente nulos. Segue que 2 = l(l + 1)2 0 3 = 2� l(l + 1)6 1 4 = 6� l(l + 1)12 2 = l (l + 1) (6� l(l + 1))24 0 5 = 12� l(l + 1)20 3 = (2� l(l + 1)) (12� l(l + 1))120 1... ... ...Note que, por este pro edimento, podemos gerar todos os oe� ientes desta s�erie apartir dos dois primeiros 0 e 1, que devem ser �xados pelas ondi� ~oes de fronteira ououtras ondi� ~oes tais omo normaliza� ~ao, paridade, et ..A seguir daremos a forma geral dos oe� ientes. Substituindo novamente (4.1.2) em(4.1.1), obtemos�1� x2� 1Xn=2 n(n� 1) n xn�2 � 2x 1Xn=1 n n xn�1 + l (l + 1) 1Xn=0 n xn = 0

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 131que impli a em(n + 2) (n+ 1) n+2 � 2n n + (l (l + 1)� n (n� 1)) n = 0para todo n � 0. Portanto n+2 = n (n+ 1)� l (l + 1)(n+ 2) (n + 1) n= �(n+ l + 1) (l � n)(n+ 2) (n + 1) n : (4.1.3)A equa� ~ao (4.1.3) de�ne uma rela� ~ao de re orrên ia envolvendo dois oe� ientespares su essivos ou impares su essivos. Note que, se l for um n�umero inteiro par (impar)positivo, ent~ao a s�erie de oe� ientes pares (impares) ser�a trun ada no l {�esimo termopois, devido a (4.1.3), l+2 e todos os su essivos oe� ientes se anulam. Pela mesmaraz~ao, se l for um n�umero inteiro par (impar) negativo, ent~ao a s�erie de oe� ientesimpares (pares) ser�a trun ada no (�l � 1){�esimo termo.Iterando (4.1.3), obtem-se para n � l, l 2 2N , n = � (n+ l � 1) (l � n+ 2)n (n� 1) � (n+ l � 3) (l � n + 4)(n� 2) (n� 3) � � � � (l + 1) l2 � 1 0= (�1)n=2n! [(n + l � 1) (n+ l � 3) � � � (l + 1)℄ [l (l � 2) � � � (l � n+ 2)℄ 0(4.1.4)se n for par. O aso l; n impares �e semelhante e deixamos omo exer �� io.Os termos entre ol hetes podem ser es rito omo(n+ l � 1) (n+ l � 3) � � � (l + 1) = (n+ l) (n+ l � 1) � � � (l + 1)(n+ l) (n+ l � 2) � � � (l + 2)= (n + l) (n + l � 1) � � � (l � 1)2n=2 [(n+ l) =2℄ [(n+ l � 2) =2℄ � � � [l=2� 1℄= (n+ l)! (l=2)!2n=2 [(n+ l) =2℄! l! (4.1.5)e l (l � 2) � � � (l � n+ 2) = 2n=2 [l=2℄ [(l � 2) =2℄ � � � [(l � n) =2 + 1℄= 2n=2 [l=2℄![(l � n) =2℄! (4.1.6)De (4.1.4), (4.1.5) e (4.1.6), on luimos n = 12l (�1)(n�l)=2 (l + n)!n! [(l + n) =2℄! [(l � n) =2℄! (4.1.7)

132 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAIS om 0 es olhido omo 0 = (�1)l=2 l!2l [(l=2)!℄2 : (4.1.8)Exer �� io 4.1.1 Mostre que se 1 �e dado por 1 = (�1)l=2 (l + 1)!2l [(l � 1)=2℄! [(l + 1)=2℄! ; (4.1.9)ent~ao n om n impar tem a mesma express~ao (4.1.7).Substituindo (4.1.7) em (4.1.2), a solu� ~ao da equa� ~ao de Legendre om l par, 0 omoem (4.1.8) e 1 = 0, �e dada poru(x) = 12l l=2Xm=0 (�1)m�l=2 (l + 2m)!(2m)! [l=2 +m℄! [l=2�m℄! x2m= 12l l=2Xr=0 (�1)r [2 (l � r)℄!r! [l � 2r℄! [l � r℄! xl�2r (4.1.10)(fa� a r = l=2�m para obter a segunda linha). Esta express~ao, onhe ida omo polinômiode Legendre, �e tamb�em solu� ~ao para l impar, 1 dado por (4.1.9) e 0 = 0 se o limitesuperior da soma for substitu��do por l=2� 1.Mais adiante iremos des rever algumas propriedades desta solu� ~ao. O ponto impor-tante a notar aqui �e que esta �e uma solu� ~ao regular da equa� ~ao de Legendre em todosos pontos do dom��nio �1 � x � 1.Dis utiremos a seguir o raio de onvergên ia R da s�erie (4.1.2) a partir da rela� ~ao(4.1.3). Antes disso te eremos alguns oment�arios sobre onvergên ia de s�eries em geral.Seja fangn2N uma sequên ia de n�umeros reais. Dizemos que a s�erie Xn2N an onvergepara S se a sequên ia de somas par iais fSNg1N=0 dada porSN = NXn=0 an ; onvergir para S = limN!1SN .

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 133Proposi� ~ao 4.1.2 Uma s�erie Xn2N an �e absolutamente onvergente se a sequên iadas raz~oes entre termos su essivos onvergir em m�odulo:limn!1 ��an+1an �� ! Æpara algum Æ < 1 . A s�erie diverge se Æ > 1.Esta ondi� ~ao segue do rit�erio de ompara� ~ao de uma dada s�erie om a s�eriegeom�etri aXn2N Æn = 1= (1� Æ).Se Æ = 1, a quest~ao sobre a onvergên ia da s�erie pelo rit�erio a ima � a in on lusiva.Neste aso temos a seguinte alternativa:Proposi� ~ao 4.1.3 Se ��an+1an �� 1� �nquando n!1, ent~ao a s�erieXn2N an �e absolutamente onvergente se � > 1 e divergentese � < 1.Esta ondi� ~ao mais forte segue da ompara� ~ao da s�erie om a integral inde�nidaZ x y�� dy = x1��:Note que a integral pode ser aproximada pela soma de Riemann dos retangulos delargura unit�aria e altura y�� om y variando sobre os inteiros. A raz~ao entre doistermos su essivos desta s�erie �e dada por(n+ 1)��n�� = �1 + 1n�� 1� �nquando n!1.Se ainda tivermos � = 1, tem-se ainda o seguinte rit�erio devido a ompara� ~ao das�erie om a integral inde�nidaZ x 1y (ln y)� dy = 11� � (ln x)1��

134 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISProposi� ~ao 4.1.4 Se ��an+1an �� 1� 1n � �n lnnquando n ! 1, ent~ao Xn2N an �e absolutamente onvergente se � > 1 e divergente se� < 1.Retornando �a s�erie (4.1.2), seja an = 2n x2. Ent~ao, de (4.1.3),��an+1an �� = (2n+ l + 1) (2n� l)(2n+ 2) (2n+ 1) x2= �1 + l + 12n ��1� l2n��1 + 1n��1 + 12n� x2= �1� 1n +O� 1n2�� x2quando n!1.Assim, segundo os rit�erio de onvergên ia enun iado a ima, a s�erie (4.1.2) �e onver-gente se jxj < 1 e divergente se jxj = 1 (a divergên ia desta s�erie �e, de fato, logar��tmi a,u(x) � ln (1� x2) quando x! �1 ).A seguinte de�ni� ~ao �e devido a Hadamard.De�ni� ~ao 4.1.5 O raio de onvergên ia de uma s�erie S = Xn2N bnxn, de�nido omo omaior n�umero positivo R tal que S �e onvergente para todo x que satisfaz jxj < R (edivergente se jxj > R), �e dado pelo inverso do limite superior da sequên ia njbnj1=no,R�1 = limsupn!1 jbnj1=n(isto �e, se o limite n~ao for �uni o, tomamos o maior entre os limites desta sequên ia).O pontos x = �1 s~ao pontos \singulares" da equa� ~ao de Legendre. A de�ni� ~aopre isa destes pontos ser�a dada a seguir.Iremos onsiderar equa� ~oes diferen iais lineares de segunda ordem da formad2udz2 + P (z) dudz +Q(z) u = 0 (4.1.11)

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 135de�nida em um dom��nio D � C limitado, om P (z) e Q(z) fun� ~oes anal��ti as em Dex eto em um n�umero �nito de polos (fun� ~oes merom�or� as).De�ni� ~ao 4.1.6 Um ponto z0 2 D �e um ponto singular da equa� ~ao (4.1.11) se estefor uma singularidade de P e/ou Q ; z0 2 D �e um ponto ordin�ario se P (z0) e Q(z0)forem regular.Observa� ~ao 4.1.7 Note que, se z0 for um ponto ordin�ario, ent~ao existe uma vizinhan� aVz0 = fz 2 C : jz � z0j < r0g de z0 tal que todos os pontos z 2 Vz0 s~ao ordin�arios.As equa� ~oes de Sturm{Liouville (2.1.19) podem ser es ritas na forma (4.1.11) setomarmos P (z) = p0(z)p(z) e Q(z) = ��(z)� q(z)p(z) :Assim, os pontos singulares para estas equa� ~oes s~ao zeros da fun� ~ao p(z) e/ou polos deq(z). Na equa� ~ao de Legendre, z = �1 s~ao polos simples deP (z) = �2z(1� z2) :Na equa� ~ao Asso iada de Legendre, z = �1 s~ao tamb�em polos duplos deQ(z) = l (l + 1) (1� z2)�m2(1� z2)2 :4.1.2 Exist^en ia e Uni idade de Solu� ~oes na Vizinhan� a dePontos Ordin�ariosSeja z0 um ponto ordin�ario de (4.1.11) e z 2 Vz0 um ponto na vizinhan� a de z0. De�naa fun� ~ao v(z) pela equa� ~aou(z) = v (z) exp��12 Z zz0 P (�) d�� (4.1.12)onde u(z) �e uma solu� ~ao da equa� ~ao (4.1.11). Por simpli idade, tomamos a integralsobre o seguimento de reta em C de z0 �a z.Diferen iando (4.1.12) om respeito a z, obtemosu0 = �v0 � 12Pv� exp��12 Z zz0 P (�) d�� (4.1.13)

136 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISe u00 = �v00 � 12P 0v � Pv0 + 14P 2v� exp��12 Z zz0 P (�) d�� (4.1.14)Substituindo (4.1.13) e (4.1.14) em (4.1.11), obtemos a seguinte equa� ~ao para v:d2vdz2 + J(z)v = 0 (4.1.15)onde J(z) = Q(z)� 12 dPdz (z)� 14P (z)2�e uma fun� ~ao anal��ti a de z em Vz0 pois P (z) e Q(z) o s~ao por hip�otese.Como (4.1.15) �e da forma (4.1.11), on lu��mos que z 2 Vz0 �e tamb�em um pontoordin�ario desta equa� ~ao. A equa� ~ao (4.1.15) �e mais apropriada para a deriva� ~ao doresultado a seguir.Dado a0 e a1 onstantes arbitr�arias, onsidere a sequ^en ia fvng de fun� ~oes anal��ti asv0(z) = a0 + a1 (z � z0)v1(z) = Z zz0 (� � z) J(�) v0(�) d�... ... ...vn(z) = Z zz0 (� � z) J(�) vn�1(�) d�... ... ... (4.1.16)

Teorema 4.1.8 A s�erie de fun� ~oesv(z) = 1Xn=0 vn(z) (4.1.17) onverge para uma fun� ~ao anal��ti a de z em Vz0. Al�em disso, v(z) �e a �uni a solu� ~ao de(4.1.15) om v(z0) = a0 e dv=dz(z0) = a1.Prova. Como J �e regular em Vz0 , temosjJ(z)j �Mnesta vizinhan� a para algum M <1. Seja � a onstante tal quejv0(z)j = ja0 + a1 (z � z0)j � � (4.1.18)

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 137para todo z 2 Vz0 .Estabele eremos por indu� ~ao a seguinte limita� ~ao superior para os elementos da s�erie(4.1.17): jvn(z)j � �Mnn! jz � z0j2n : (4.1.19)Ini ialmente, note que (4.1.18) satisfaz (4.1.19) om n = 0. Assumindo que (4.1.19)�e v�alida para n = k, ent~aojvk+1(z)j � Z zz0 j� � zj jJ(�)j jvk(�)j j d�j� �Mk+1k! jz � z0j Z zz0 j� � z0j2k j d�j= �Mk+1k! jz � z0j Z jz�z0j0 t2k dt= �Mk+1k! jz � z0j jz � z0j2k+12k + 1� �Mk+1(k + 1)! jz � z0j2(k+1) on luindo a indu� ~ao.A limita� ~ao (4.1.19) impli a que a s�erie �e uniformemente limitada:jv(z)j � 1Xn=0 jvn(z)j � � exp�M jz � z0j2 < � exp�M r20 ; (4.1.20)Alem disso, (4.1.19) impli a que a sequ^en ia de s�eries par iais,VN (z) = NXn=0 vn(z) ; N = 0; 1; : : : ;�e uma sequ^en ia de Cau hy de fun� ~oes anal��ti as em Vz0 uniformemente onvergente:jVN(z)� VM(z)j � NXn=M+1 jvn(z)j < NXn=M+1 (M r20)nn! < "para qualquer " > 0 seM;N > N0 om N0 = N0(") su� ientemente grande. Isto impli aque limN!1VN (z) = v(z) existe e �e um fun� ~oes anal��ti as em Vz0 , on luindo a prova daprimeira parte do teorema.

138 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISPara veri� ar que v satisfaz a equa� ~ao (4.1.15), observamos que (4.1.17) satisfaz aseguinte equa� ~ao integralv(z) = v0(z) + Z zz0 (� � z) J(�) v(�) d� (4.1.21)pois, em vista de (4.1.16),1Xn=1 vn(z) = v0(z) + 1Xn=1 vn(z) = v0(z) + Z zz0 (� � z) J(�) 1Xn=1 vn�1(�) d� :Aqui usamos que v �e uma s�erie uniformemente onvergente, devido a (4.1.20), parainverter a ordem da soma om a integral.Diferen iando (4.1.21) om respeito a z, obtemosdvdz (z) = [(� � z) J(�) v(�)℄�=z � Z zz0 J(�) v(�) d�= � Z zz0 J(�) v(�) d�e d2vd2z (z) = �J(z) v(z) :A prova da uni idade de v �e onven ional e ser�a omitida. 2Observa� ~ao 4.1.9 Segue do Teorema 4.1.8 que (4.1.12), om v dada por (4.1.17), �euma fun� ~ao anal��ti a em Vz0 e a �uni a solu� ~ao de (4.1.11) om u(z0) = a0 e dudz (z0) = a1.4.1.3 Pontos Regulares para a Equa� ~aoDe�ni� ~ao 4.1.10 Se z0 2 D for um ponto singular de (4.1.11) e(z � z0)P (z) e (z � z0)2Q(z)forem fun� ~oes anal�iti as de z em z = z0, ent~ao z0 �e um ponto regular para a equa� ~ao(4.1.11). N~ao satisfazendo estas ondi� ~oes, z0 �e dito irregular para (4.1.11).As solu� ~oes �si amente a eit�aveis de (4.1.11) devem ser regulares em todo dom��nioD de de�ni� ~ao do problema. Vimos que z = �1 s~ao pontos singulares da equa� ~ao de

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 139Legendre por�em regulares segundo a de�ni� ~ao. Vimos tamb�em que, se l �e um inteiro,fazendo uma das onstante 0 ou 1 igual a zero dependendo de l, obtinhamos umasolu� ~ao (o polinômio de Legendre) regular em todo plano omplexo.Para determinar a solu� ~ao de equa� ~oes n~ao homogêneas �e ne ess�ario tamb�em disporde uma solu� ~ao linearmente independente �a solu� ~ao regular. Des reveremos a seguir umpro edimento para obter as solu� ~oes de (4.1.11) em s�erie de potên ias na vizinhan� a deum ponto z0 singular{regular. Veremos que por este pro edimento �e sempre possivelobter duas solu� ~oes linearmente independentes, sendo uma regular.Seja z0 um ponto regular para (4.1.11). Ent~ao, multipli ando (4.1.11) por (z � z0)2,temos (z � z0)2 d2ud2z + (z � z0)2 P (z)dudz + (z � z0)2Q(z) u = 0(z � z0)2 d2ud2z + (z � z0) eP (z � z0)dudz + eQ(z � z0) u = 0onde eP e eQ s~ao fun� ~oes anal�iti as de ! = z�z0 em ! = 0. Es revendo y(!) = y(z�z0) =u(z), obtemos !2 d2yd2! + ! eP (!) dyd! + eQ(!) y = 0 (4.1.22)que �e, segundo Frobenius, a forma normal da equa� ~ao (4.1.11).O pro edimento de Frobenius onsiste em pro urar solu� ~oes da formay(!) = !� 1Xn=0 n !n (4.1.23) om � 2 R e 0 6= 0. Novamente ilustraremos o m�etodo por um exemplo.Exemplo 4.1.11 z = 0 �e um ponto regular para a equa� ~ao de Bessel, pois �e um polosimples de P (z) = 1=z e um polo duplo de Q(z) = (z2 �m2) =z2. Assim, a equa� ~ao(4.1.22) om eP (!) = 1 e eQ(!) = !2 �m2torna-se !2y00 + !y0 + �!2 �m2� = 0 : (4.1.24)Substituindo (4.1.23) em (4.1.24), obtemos!� ( 1Xn=0 (� + n)2 n !n + �!2 �m2� 1Xn=0 n !n) = 0

140 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISimpli ando que os oe� ientes desta expans~ao devem{se anular ordem a ordem.A equa� ~ao para n = 0 �e hamada equa� ~ao indi ial:��2 �m2� 0 = 0 :Como por hip�otese 0 6= 0, temos ne essariamente � = � jmj (vamos daqui em dianteadotar a onven� ~ao de que m �e uma onstante positiva evitando arregar a nota� ~ao).Para n = 1, temos �(� + 1)2 �m2� 1 = 0 :Ex eto no aso em que � = �m = �1=2, esta equa� ~ao impli a em 1 = 0 (adotaremosesta solu� ~ao no que segue).Para n � 2, temos �(� + n)2 �m2� n + n�2 = 0impli ando na seguinte rela� ~ao de re orren ia n = �1(� +m + n) (� �m + n) n�2= �1(2m + n)n n�2 (4.1.25)pela equa� ~ao indi ial.Para obter a solu� ~ao regular da equa� ~ao de Bessel faremos m 2 N. Iterando (4.1.25),temos n = �1(2m+ n)n �1(2m+ n� 2) (n� 2) � � � �1(2m+ 2) 2 0= (�1)n=2 m!2n (m+ n=2)! (n=2)! 0 (4.1.26)para n par e n = 0 para n impar. Sustituindo (4.1.26) na solu� ~ao (4.1.23) om 0 =1= (2mm!), obtemos a express~ao da fun� ~ao de Bessel de�nida no Exemplo 3.2.3:y(!) = 1Xk=0 (�1)k(m + k)! (k)! �!2�m+2k : (4.1.27)Vimos no ap��tulo anterior que as solu� ~oes J� e J�� dadas por (4.1.27) om (m+ k)!substitu��do por � (m+ k + 1) e m = ��, formam um par de fun� ~oes linearmente in-dependentes se e somente se � for um n�umero real n~ao inteiro. Isto �e o que o orre

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 141tipi amente nas solu� ~oes da forma (4.1.23) se ! = 0 for um ponto singular{regular para(4.1.22) (ou z = z0 para a equa� ~ao (4.1.11)). A raz~ao para isto �e o seguinte fato.Se z0 for um ponto regular para a equa� ~ao (4.1.11), ent~ao eP e eQ possuem s�erie deTaylor em torno de ! = 0:eP (!) = eP (0) + eP 0(0)! + 12 eP 00(0)!2 + � � �eQ(!) = eQ(0) + eQ0(0)! + 12 eQ00(0)!2 + � � � :A equa� ~ao indi ial (o oe� iente do termo x� da equa� ~ao) tem a forma� (� � 1) + eP (0)� + eQ(0) = 0(� � �1) (� � �2) = 0 :onde �1, �2 2 C s~ao as ra��zes deste polinômio de grau 2, denominadas ��ndi es do pontoz = z0.Podemos ent~ao obter duas solu� ~oes independentes formando duas s�eries (4.1.23) om� = �1 e � = �2, om a ondi� ~ao que �1 � �2 =2 Z.Note que, se z0 for um ponto irregular para (4.1.11), ent~ao a equa� ~ao indi ial ser�ano m�aximo de primeira ordem e n~ao poderemos formar duas s�eries de potên ia. Esta �eportanto a diferen� a fundamental entre pontos regulares e irregulares para as equa� ~oes onsideradas.Quando �1 � �2 2 Z (�1 � �2 = 2m 2 Z no exemplo a ima) estas duas solu� ~oestornam-se linearmente dependentes. Des reveremos a seguir uma maneira de se obter asolu� ~ao linearmente independente �a (4.1.27) para m 2 N .Seja y(!; �) a fun� ~ao dada pela s�erie de potên ias om oe� ientes n, n 2 N , obtidosre ursivamente pela primeira express~ao em (4.1.25) om m e � independentes e 1 = 0.Denotando por L = �D (!2D) + (m2 � !2) o operador diferen ial de Bessel, temosLy (!; �) = (m� �) (m+ �) !� :Portanto, y (!; �) satisfaz a equa� ~ao de Bessel somente se a equa� ~ao indi ial for satisfeita(� = �m).Note que, se ey(!; �) = (m + �) y(!; �), ent~ao ey(!;�m) tamb�em satisfaz a equa� ~aode Bessel Ley (!;�m) = �(m� �) (m + �)2 !��=�m = 0 :

142 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISAl�em disso, denotando por e n os oe� ientes de ey:ey(!; �) = !� 1Xk=0 e 2k !2k ; (4.1.28)temos que1. lim�!�me n = 0 (4.1.29)se n < 2m,2. lim�!�me 2m = lim�!�m � (m+ �)(� +m+ 2m) (� �m + 2m) 2m�2= �12m �1(2m� 2) (�2) � � � �12 (�2m + 2) 0 (4.1.30)= �122m�1m! (m� 1)! 0 :e3. lim�!�me n = �1n (n� 2m) lim�!�me n�2 (4.1.31)se n > 2m.Portanto, fazendo 2k = n� 2m,ey (!;�m) = � 02m�1 (m� 1)! 1Xk=0 (�1)k(m + k)! k! �!2�m+2k= � 02m m! ey(!;m) = � 20 ey(!;m)veri� ando a dependên ia linear da solu� ~ao om � = �m, m 2 N .A solu� ~ao linearmente independente �a ey (!; �) v�alida para � = �m 2 R (in lusiveinteiros), �e dada por �ey (!; �) =��. Note que �ey (!; �) =�� satisfaz a equa� ~ao de Besselquando � = �m:L �y�� (!; �)��=�m = ��Ly (!; �)��=�m = �� (m� �) (m+ �)2 !� ��=�m = 0

4.1. M�ETODO DE FROBENIUS 143Al�em disso, em vista de (4.1.28) e (4.1.25),�ey�� (!; �) = ln! ey (!; �) + !� 1Xk=0 �e 2k�� !2k (4.1.32)onde �e 2k�� = (1� kXl=1 2 (� + 2l) (� +m)(� +m+ 2l) (� �m + 2l)) 2k :Note que [�e 2k=��℄�=�m �e �nito para todo k 2 N pois, para k � m (quando diverge 2kj�=�m) temos que��e 2k�� =�m = (1� kXl=1 2 (� + 2l) (� +m)(� +m+ 2l) (� �m + 2l)) 2k ��=�m= (m�1Xl=1 (2l �m)2l (m� l) � 12m + kXl=m+1 (2l �m)2l (m� l)) e 2kj�=�m : om e 2kj�=�m satisfazendo (4.1.29){(4.1.31).Note ainda que a segunda solu� ~ao da equa� ~ao de Bessel n~ao �e regular na vizinhan� ade ! = 0 mesmo para m 2 Z (devido a singularidade logar��tmi a de (4.1.32), ! = 0 �eum ponto de rami� a� ~ao). Quando � = �m =2 Z as duas solu� ~oes tamb�em tem ! = 0um ponto de rami� a� ~ao devido ao fator !� que multipli a a s�erie de potên ias.4.1.4 Singularidades no In�nitoTemos onsiderado a equa� ~ao (4.1.11) de�nida em um dom��nio D � C ompa to omP (z) e Q(z) fun� ~oes anal��ti a em D ex eto em um n�umero �nito de polos neste dom��nio.Trataremos agora o aso quando as singularidades se en ontram no in�nito.Fazendo a mudan� a de variavel z = 1=t e tendo em onta quedudz = �t2dudt e d2ud2z = t4d2udt2 + 2t3dudt ;a equa� ~ao (4.1.11) � a, na sua forma normalt2d2udt2 + t�2� P (1=t)t � dudt + Q(1=t)t2 u = 0t2d2udt2 + t bP (t)dudt + bQ(t)u = 0 (4.1.33)Isto nos leva a seguinte extens~ao da de�ni� ~ao de pontos ordin�arios e pontos regulares:

144 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISDe�ni� ~ao 4.1.12 Suponhamos que o dom��nio D de interesse ontenha a reta real toda.Ent~ao z =1 �e um ponto ordin�ario da equa� ~ao (4.1.11) se t = 0 for um ponto ordin�arioda equa� ~ao (4.1.33). Da mesma forma, z = 1 �e um ponto singular{regular para aequa� ~ao (4.1.11) se t = 0 for um ponto singular{regular para a equa� ~ao (4.1.33).A ondi� ~ao sobre bP e bQ para que t = 0 seja um ponto regular �e quebP (t) = 2� P (1=t)t e bQ(t) = Q(1=t)t2sejam fun� ~oes anal��ti as de t em t = 0.Exemplo 4.1.13 A equa� ~ao de Hermiteu00 � 2zu0 + �u = 0 (4.1.34)sob a mudan� a de variavel z = 1=t, reduz-se �a equa� ~aot2d2udt2 + 2t�1 + 1t2� dudt + �t2u = 0 :O ponto t = 0 �e um ponto irregular para esta equa� ~ao pois bP (t) = 2 + 2=t2 n~ao �eanal��ti a neste ponto. �E de se esperar que o omportamento da solu� ~ao de (4.1.34) ems�erie de potên ias em torno de z = 0 seja bastante singular para valores de z tendendoa in�nito. Entretanto, para ertos valores de � esta s�erie �e bem omportada em todoplano omplexo.Exer �� io 4.1.14 Utilize o m�etodo de Frobenius para determinar as solu� ~oes em s�eriede potên ias em torno do ponto x = 0 das seguintes equa� ~oes:1. u00 + !2u = 0 ; x 2 Ronde ! �e um n�umero real. Mostre que sua solu� ~ao pode ser es rita na formau(x) = A os!x+B sin!x om A e B onstantes arbitr�arias.2. (Equa� ~ao de Airy) u00 + xu = 0 ; x 2 R3. �1� x2�u00 � xu0 = 2 ; x > 0Mostre que a fun� ~ao u(x) = (ar sin x)2 �e solu� ~ao desta equa� ~ao om ondi� ~oesini iais u(0) = u0(0) = 0 e veri�que que a solu� ~ao obtida pelo m�etodo de Frobenius�e a sua s�erie de Taylor (esta s�erie j�a era onhe ida do matem�ati o japonês KowaSeki (1642{1708)).

4.2. SINGULARIDADES IRREGULARES E CONFLUÊNCIA 1454. (Equa� ~ao de Hermite) u00 � 2xu0 + �u = 0 ; x 2 R :Para quais valores de � esta s�erie �e um polinômio?5. (Equa� ~ao de T heby he�)�1� x2�u00 � xu0 + �2u = 0 ; x 2 R :Qual �e o intervalo de onvergên ia da s�erie obtida? Para quais valores de � a s�erie�e um polinômio?Observa� ~ao: Note que x = 0 �e um ponto ordin�ario para todas as equa� ~oes a ima.4.2 Singularidades Irregulares e Con uên iaNa vizinhan� a de um ponto z0 irregular, vimos que a equa� ~ao (4.1.11) na sua formanormal (4.1.22) n~ao pode ter duas solu� ~oes daforma (4.1.23) pois a equa� ~ao indi ial �e nom�aximo de primeira ordem. Este fato laramente distingue pontos singulares{regularesde pontos irregulares.O orre frequentemente que equa� ~oes om pontos singulares{irregulares podem serobtidas de equa� ~oes que possuem apenas ponto singulares{regulares fazendo om queduas ou mais de suas singularidades se tornem uma �uni a. Tal pro esso limite �e de-nominado on uên ia e a equa� ~ao resultante �e denominada forma on uente daequa� ~ao.Des reveremos a seguir algumas on uên ias das equa� ~oes hipergeom�etri as.4.2.1 Equa� ~oes Hipergeom�etri asEqua� ~oes hipergeom�etri as s~ao equa� ~oes diferen iais lineares da seguinte formaz (1� z) u00 + ( � (a + b+ 1) z) u0 � ab u = 0 (4.2.1)onde a, b e s~ao onstantes arbitr�arias.A equa� ~ao (4.2.1) tem três singularides em z = 0; 1 e 1. Examinaremos a seguir anatureza destas singularidades bem omo os seus expoentes ou��ndi es (ra��zes da equa� ~aoindi ial asso iada a ada uma das singularidades).

146 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISA singularidades z = 0 e 1 s~ao regulares pois (4.2.1) pode ser es rita na forma(4.1.11) om P (z) = � (a+ b + 1) zz (1� z) e Q(z) = �abz (1� z)(note que z = 0 e 1 s~ao polos de primeira ordem de P e Q).Os expoentes de z = 0 s~ao as ra��zes da equa� ~ao indi ial� (� � 1) + eP (0) � + eQ(0) = 0� (� � (1� )) = 0 (4.2.2)onde usamos eP (0) = z P (z)jz=0 = e eQ(0) = z2Q(z)jz=0 = 0. Portanto�1 = 0 e �2 = 1� :Os expoentes de z = 1 s~ao obtidos pelas ra��zes da equa� ~ao (4.2.2) om eP (0) =(z � 1)P (z)jz=1 = � + a + b+ 1 e eQ(0) = (z � 1)2Q(z)��z=1 = 0:�1 = 0 e �2 = � a� b :Para a singularidade em z =1, es revemos (4.2.1) na format2 u00 + t bP (t) u0 + bQ(t) u = 0 om bP (t) = 2� P (1=t)t= (2� ) t+ a + b� 1t� 1e bQ(t) = Q (1=t)t2= �abt� 1 :Como bP (t) e bQ(t) s~ao fun� ~oes anal��ti as de t em t = 0, segue que z = 1 �e umasingularidade regular para a equa� ~ao (4.2.1).Os ��ndi es da singularidade em z =1 s~ao as ra��zes da equa� ~ao indi ial� (� � 1) + bP (0) � + bQ(0) = 0�2 � (a + b) � + ab = 0

4.2. SINGULARIDADES IRREGULARES E CONFLUÊNCIA 147onde bP (0) = 1� a� b e bQ(0) = ab:�1 = a e �2 = b :Toda esta informa� ~ao sobre os pontos regulares e seus orrepondentes ��ndi es podeser ondensada na seguinte nota� ~aou(z) = P 8<: 0 1 10 0 a z1� � a� b b 9=; (4.2.3)onde usamos a equa� ~ao P de RiemannP 8<: � � ��1 �1 1 z�2 �2 2 9=; (4.2.4)para representar a solu� ~ao geral de uma equa� ~ao diferen ial om três pontos singulares{regulares em z = �, � e � om respe tivos ��ndi es �i, �i e i, i = 1; 2.O m�etodo de Frobenius pode ser utilizado para obter o omportamento da solu� ~aogeral na vizinhan� a de ada singularidade. A seguir utilizaremos este m�etodo para obtera solu� ~ao regular de (4.2.1 ) na vizinhan� a de z = 0 na formau(z) = z� 1Xn=1 n zn (4.2.5) om 0 6= 0 e ��ndi e � = �1 = 0.Substituindo a (4.2.5) na equa� ~ao e igualando a zero os oe� ientes de ada potên ia,obtemosn [(n� 1) + ℄ n � [(n� 1) (n� 2) + (n� 1) (a+ b + 1) + ab℄ n�1 = 0 (4.2.6)que impli a na seguinte rela� ~ao de re orrên ia n = [a+ (n� 1)℄ [a+ (n� 1)℄n [ + (n� 1)℄ n�1 (4.2.7)Exer �� io 4.2.1 Derive (4.2.6) e (4.2.7).

148 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISA fun� ~ao hipergeom�etri a 2F1(z) = 2F1(a; b; ; z) �e obtida iterando (4.2.7) om 0 = 1: 2F1(z) = 1 + ab z + 12 a (a+ 1) b (b + 1) ( + 1) z2+ 13! a (a+ 1) (a+ 2) b (b + 1) (b+ 2) ( + 1) ( + 2) z3 + � � �= �( )�(a) �(b) 1Xn=0 1n! �(a+ n) �(b + n)�( + n) zn : (4.2.8)

4.2.2 Equa� ~oes Diferen iais om Três SingularidadesO prop�osito desta subse� ~ao �e mostrar que a solu� ~ao geral (4.2.4) de uma equa� ~ao omtrês singularidades �, � e � �nitas, pode ser es rita em termos da solu� ~ao geral (4.2.3)da equa� ~ao hipergeom�etri a.A seguir enun iaremos duas propriedade da equa� ~ao P de Riemann. A primeirapropriedade rela iona solu� ~oes om ��ndi es que diferem por uma transla� ~ao�z � �z � ��Æ �z � �z � �� P 8<: � � ��1 �1 1 z�2 �2 2 9=; = P 8<: � � ��1 + �� Æ �1 � � 1 + Æ z�2 + �� Æ �2 � � 2 + Æ 9=; ;(4.2.9)a segunda rela iona solu� ~oes que diferem por uma transforma� ~ao de vari�aveisP 8<: � � ��1 �1 1 z�2 �2 2 9=; = P 8<: �0 �0 � 0�1 �1 1 z0�2 �2 2 9=; (4.2.10)onde z0 = z0(z; �; �; �) �e a transforma� ~ao homogr�a� a que leva os pontos �, � e �nos pontos �0, �0 e � 0, respe tivamente.Veri� a{se as propriedades (4.2.9) e (4.2.10) fazendo mudan� as de vari�aveis apropri-adas na equa� ~ao uja solu� ~ao �e representada por (4.2.4).Exer �� io 4.2.2 Veri�que as propriedades 1 e 2.Proposi� ~ao 4.2.3 Toda equa� ~ao diferen ial de segunda ordem om três pontos singu-lares { regulares z0 = �, � e � (z0 6= 1) pode ser reduzida, por transforma� ~oes devari�aveis, �a uma equa� ~ao hipergeom�etri a.

4.2. SINGULARIDADES IRREGULARES E CONFLU^ENCIA 149Prova. Uma equa� ~ao diferen ial de segunda ordem om tr^es pontos singulares{regularesem z0 = �, � e �, uja solu� ~ao geral �e denotada por (4.2.4), pode ser es rita na forma(4.1.11) om P (z) = 1� �1 � �2z � � + 1� �1 � �2z � � + 1� 1 � 2z � � (4.2.11)e Q(z) = �(� � �) (� � �) (� � �)(z � �) (z � �) (z � �) � �1�2(z � �) (� � �)+ �1�2(z � �) (� � �) + �1�2(z � �) (� � �)� (4.2.12)Note para isso que a equa� ~ao indi ial em z = �, por exemplo,0 = � (� � 1) + � [(z � �)P (z)℄z=� + �(z � �)2Q(z)�z=�= � (� � 1) + � (1� �1 � �2) + �1�2= �2 � (�1 + �2) � + �1�2tem ra��zes � = �1, �2.Podemos mudar os expoentes desta equa� ~ao, sem mudar a posi� ~ao e ordem dassingularidades, usando a propriedade 1 da equa� ~ao P de Riemann.Es olhendo � e Æ tais que �1 + �� Æ = 0�1 � � = 0isto �e, � = �1 e Æ = �1 + �1, e de�nido as onstantesa = Æ + 1 = �1 + �1 + 1b = Æ + 2 = �1 + �1 + 2 (4.2.13)resulta em�z � �z � ��1+�1 �z � �z � ��1 P 8<: � � ��1 �1 1 z�2 �2 2 9=; = P 8<: � � �0 0 a z�2 � �1 �2 � �1 b 9=; :A prova da proposi� ~ao �e on lu��da em duas etapas: Primeiramente, as singularidadesem z = �, � e � s~ao levadas para os pontos z = 0, 1 e1 pela transforma� ~ao homogr�a� a(veja propriedade (4.2.10))w = w (�; �; �; z) = (z � �) (� � �)(z � �) (� � �) :

150 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISEm seguida, mostraremos que a equa� ~ao para :�2 � �1 = 1� (4.2.14)impli a na seguinte equa� ~ao �2 � �1 = � a� b (4.2.15)se nenhuma das singularidades z = �, � e � estiverem no in�nito.Combinando (4.2.13), (4.2.14) e (4.2.15) obtemos�1 + �2 + �1 + �2 + 1 + 2 = 1 : (4.2.16)Assim, a proposi� ~ao � a demonstrada se (4.2.16) for a ondi� ~ao ne ess�aria e su� ientepara que a equa� ~ao (4.1.11) om (4.2.11) e (4.2.12) n~ao tenha singularidades no in�nito.Lembrando que z = 1 �e um ponto ordin�ario da equa� ~ao (4.1.11) se t = 0 for umponto ordin�ario da equa� ~ao (4.1.33), notamos que, em vista de (4.2.11) e (4.2.12),bP (0)t = 2t � P (1=t)t2= 2t � 1t �1� �1 � �21� t� + 1� �1 � �21� t� + 1� 1 � 21� t� �= 1t (�1 + �2 + �1 + �2 + 1 + 2 � 1) + 2 (� + � + �) +O (t)e bQ(0)t2 = Q(0)t4= � (� � �) (� � �) (� � �)(1� t�) (1� t�) (1� t�) � �1�2(1� t�) (� � �)+ �1�2(1� t�) (� � �) + 1 2(1� t�) (� � �)�= �� 1�2(� � �) (� � �) � �1�2(� � �) (� � �) + 1 2(� � �) (� � �)�+O (t)s~ao fun� ~oes anal��ti as de t na vizinhan� a de t = 0 se e somente se (4.2.16) for satisfeita.Con lu��mos queu(z) = �z � �z � ��1+�1 �z � �z � ��1 P 8<: 0 1 10 0 a w1� � a� b b 9=; om a; b; e w es olhidadas omo a ima, �e a solu� ~ao geral de (4.1.11) om (4.2.11) e(4.2.12). 2

4.2. SINGULARIDADES IRREGULARES E CONFLUÊNCIA 1514.2.3 Fun� ~oes Hipergeom�etri as Con uentesObtemos a equa� ~ao hipergeom�etri a on uente fazendo a seguinte transforma� ~ao ho-mogr�a� a w = w(z) = bz (4.2.17)na equa� ~ao (4.2.1) levando em seguida b!1. Note que (4.2.17) move a singularidadeem z = 1 para w = b. Assim, quando b tende para 1, sobrepomos a singularidades emz = 1 om z =1.Substituindo (4.2.17) em (4.2.1) dividindo em seguida por b, obtemosw �1� wb � u00 + � � (a+ b + 1) wb � u0 + a u = 0tornando{se, no limite em que b!1,wu00 + ( � w)u0 + a u = 0 : (4.2.18)Equa� ~ao (4.2.18) om a = �� e = k + 1 �e a equa� ~ao asso iada de Laguerre deordem � (Exemplo 2.1.43 quando k = 0). Veremos na se� ~ao seguinte que (4.2.18) temum papel importante na solu� ~ao do �atomo de Hidrogêneo.Os pontos w = 0 e1 s~ao, respe tivamente, pontos regular e irregular para a equa� ~ao(4.2.18). Vê{se que z =1 �e irregular fazendo a mudan� a de variavel w = 1=t:t2y00 + t�2� + 1t� y0 + at y = 0onde y(t) = u(1=t) (note que t = 0 �e um polo simples de bP = 2� + 1=t e bQ = a=t).Para obter as solu� ~oes de (4.2.18) �e onveniente utilizar a equa� ~ao P de Riemann.Primeiramente, iremos obter a segunda solu� ~ao da equa� ~ao hipergeom�etri a.Pode{se mostrar, de maneira analoga �a (4.2.10) na subse� ~ao anterior, quez1� P 8<: 0 1 10 0 a z1� � a� b b 9=; = P 8<: 0 1 1 � 1 0 a + 1� z0 � a� b b + 1� 9=; :Consequentemente, a segunda solu� ~ao da equa� ~ao (4.2.1) �eu(z) = z1� 2F1(1 + a� ; 1 + b� ; 2� ; z) om 2F1 dado por (4.2.8) onde �zemos uso da seguinte igualdadeP 8<: 0 1 1 � 1 0 a+ 1� z0 � a� b b+ 1� 9=; = P 8<: 0 1 10 0 a + 1� z � 1 � a� b b + 1� 9=;

152 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISque por sua vez �e egual a P 8<: 0 1 10 0 a0 z1� 0 0 � a0 � b0 b0 9=; om a0 = 1 + a� b0 = 1 + b� 0 = 2� :Tomando o limite de on uên ia, obtemos duas solu� ~oes independentes da equa� ~ao(4.2.18) u1(w) = 1F1(a; ;w) e u2(w) = 1F1(1 + a� ; 2� ;w)onde 1F1(a; ;w) = �( )�(a) 1Xn=0 1n! �(a + n)�( + n) wn (4.2.19)�e a fun� ~ao hipergeom�etri a on uente ou fun� ~ao de Kummer. Para (4.2.19),note que �(b + n)bn �(b) = b + n� 1b b + n� 2b � � � bb �! 1quando b!1.Alguns asos parti ulares da fun� ~ao hipergeom�etri a on uente s~ao:Exemplo 4.2.4 Fun� ~ao exponen ialew = 1F1(a; a;w)para todo a (veja s�erie de potên ia (4.2.19)).Exemplo 4.2.5 Fun� ~ao ErroErfw = Z 1w e�t2 dt = 2wp� 1F1(1=2; 3=2;�w2) ;Exemplo 4.2.6 Fun� ~ao de BesselJn(w) = 1n! �w2 �n eiw 1F1(n+ 1=2; 2n+ 1;�2iw) :

4.3. PROPRIEDADES E APLICAC� ~OES 153Quando a �e um inteiro negativo, a fun� ~ao hipergeom�etri a on uente torna{se umpolinômio. Neste aso temos os seguintes exemplos:Exemplo 4.2.7 Polinômio de LaguerreLk�(w) = (k + �)!n!�! 1F1(��; k + 1;w) om �; k 2 N.Exemplo 4.2.8 Polinômio de HermiteHn(w) = 2n� �(�1=2)� (�n=2) w 1F1((1� n) =2; 3=2;w2) + �(1=2)� ((1� n) =2) 1F1(�n=2; 1=2;w2)� om n 2 N.4.3 Propriedades e Apli a� ~oesNesta se� ~ao des reveremos algumas propriedades e apli a� ~oes das fun� ~oes espe iais.4.3.1 Polinômios de LegendreA seguinte f�ormula �e importante para deriva� ~ao das propriedades dos polinômios deLegendre a serem utilizadas no de orrer desta subse� ~ao:Proposi� ~ao 4.3.1 (F�ormula de Rodrigues) O polinômio de Legendre Pl de ordeml, l 2 N, dado pela express~ao (4.1.10) pode ser es rito na formaPl(x) = 12l l! dldxl �x2 � 1�l : (4.3.1)Prova. A f�ormula de Rodrigues �e onsequên ia da seguinte identidade(2l � 2r)!(l � 2r)! xl�2r = (2l � 2r) (2l � 2r � 1) � � � (l � 2r + 1) xl�2r (4.3.2)= dldxl x2l�2r

154 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISSubstituindo (4.3.2) em (4.1.10), obtemosPl(x) = 12l [l=2℄Xr=0 (�1)rr! (l � r)! dldxl x2l�2r= 12l l! lXr=0 l!r! (l � r)! (�1)r dldxlx2(l�r)= 12l l! dldxl lXr=0 l!r! (l � r)! (�1)r x2(l�r)onde usamos na segunda linha dldxlx2(l�r) = 0 se r = � l2� + 1; � l2� + 2; : : : ; l, om [z℄denotando a parte inteira do n�umero z 2 R. Note que � l2� �e l2 se l for par e l � 12 se lfor impar.A proposi� ~ao segue do binômio de Newton(a+ b)l = lXr=0 l!r! [l � r℄! arb2(l�r) om a = �1 e b = x2. 2Proposi� ~ao 4.3.2 1. Pl(1) = 1 e Pl(�1) = (�1)l ;2. Pl(�x) = (�1)l Pl(x) ;3. jPl(x)j � 14. Pl(x) = 2F1 (n + 1;�n; 1; (1� x) =2)5. fPlgl2N forma um sistema ompleto de fun� ~oes em [�1; 1℄, ortogonais om respeitoao produto interno om peso �(x) = 1:(Pl; Pn) := Z 1�1 Pl(x)Pn(x) dx = 22l + 1 Æl;n : (4.3.3)Prova. A propriedade 1. �e onsequên ias da seguinte identidade (f�ormula de Leibnitz):dldxl �x2 � 1�l = dldxl n(x� 1)l (x+ 1)l o = lXn=0 � ln� dn (x� 1)ldxn dl�n (x+ 1)ldxl�n

4.3. PROPRIEDADES E APLICAC� ~OES 155Quando x = 1 (x = �1), somente o termo om n = l (n = 0) sobrevive nesta soma,resultando em Pl(�1) = 12l l! l! (�2)l = (�1)l :A propriedade 2. �e imediata. A propriedade de ortogonalidade e ompleteza em 5. seguedos resultados gerais desenvolvidos no Cap��tulo 2 enquanto que (4.3.3) pode ser obtidopor integra� ~ao por partes usando a f�ormula de Rodrigues. Deixamos a veri� a� ~ao dasdemais propriedades omo exer �� io. 2Exer �� io 4.3.3 Veri�que as propriedades 3. e 4. e a rela� ~ao (4.3.3).Para fa ilitar a manipula� ~ao om os polinômios de Legendre �e onveniente introduzira fun� ~ao geratriz destes polinômios:F (x; t) = 1Xl=0 Pl(x) tl : (4.3.4)O polinômio de Legendre Pl �e ent~ao o l{�esimo oe� iente de Taylor da fun� ~ao F emt = 0: Pl(x) = 1l! �lF�tl (x; 0) = 12�i IC F (x; �)� l+1 d� (4.3.5)onde, pela f�ormula de Cau hy, a integral �e sobre um ir uito C em torno da origem.Proposi� ~ao 4.3.4 Para todo jtj ; jxj < 1,F (x; t) = 1p1� 2xt+ t2 :Prova. Evo ando novamente a f�ormula integral de Cau hy 1 e a f�ormula de Rodrigues(4.3.1), temos Pl(x) = 12�i IC � �2 � 12 (� � x)�l d�� x (4.3.6)= 12�i IC0 (z + x)2 � 12z !l dzz1Seja f uma fun� ~ao anal��ti a em um dom��nio D � C e z 2 D. Ent~ao1n! dnfdzn (z) = 12�i IC f(�)(� � z)n+1 d�onde C �e um ontorno em torno de z ontido em D.

156 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAIS om z = ��x e C 0 um ontorno em torno da origem. Esta �e a representa� ~ao integralde S hl�a i dos polinômios de Legendre.Comparando (4.3.5) e (4.3.6) obtemos as seguintes equa� ~oes:� = 2z(z + x)2 � 1e dzd� = F (x; �) z� (4.3.7)Resolvendo a primeira equa� ~ao para z que pode ser es rita omoz2 + 2�x� 1�� z + x2 � 1 = 0 ;temos z = �x + 1� �1� ��2 � 2�x+ 1�1=2� uja derivada om respeito a � �e dada pordzd� = �1�2 �1� ��2 � 2�x+ 1�1=2�+ � (� � x)� (�2 � 2�x+ 1)1=2= � (�2 � 2�x+ 1)1=2 � (�x� 1)�2 (�2 � 2�x+ 1)1=2 (4.3.8)= �1(�2 � 2�x+ 1)1=2 z�que por sua vez, em vista de (4.3.7), on lui a prova da proposi� ~ao. Conven iona{setomar o sinal positivo em (4.3.8). 2Observa� ~ao 4.3.5 1. A s�erie (4.3.4) �e absolutamente onvergente em vista da pro-priedade 3. da Proposi� ~ao 4.3.2.2. Para valores de jtj > 1, podemos ainda usar a fun� ~ao geratriz poisF (x; t) = 1t 1p1� 2x=t+ 1=t2 = 1t F (x; 1=t)e o lado direito desta igualdade pode ser expandida em polinômios de Legendre:F (x; t) = 1t 1Xl=0 Pl(x) 1tl(note para isso que j1=tj < 1).

4.3. PROPRIEDADES E APLICAC� ~OES 157A fun� ~ao geratriz F ( os �; a=r) tem a interpreta� ~ao f��si a do poten ial eletrost�ati o�(x), no ponto x = (r; �; ') 2 R3 em oordenadas esf�eri as, devido a uma arga q devalor 4�"r (" �e a permissibilidade el�etri a do meio) lo alizada no ponto a = (a; 0; 0) oma < r: �(x) = q4�" 1jx� aj= q4�" r 1q1� 2 (a=r) os � + (a=r)2= q4�" a 1Xl=0 Pl( os �) �ar�l+1 :Analogamente, para a > r, F ( os �; r=a) �e poten ial eletrost�ati o �(x) no pontox = (r; �; ') 2 R3 devido a uma arga q de valor 4�"a lo alizada no ponto a = (a; 0; 0):�(x) = q4�" 1jx� aj= q4�"a 1q1� 2 (r=a) os � + (r=a)2= q4�" a 1Xl=0 Pl( os �) �ra�l :Passemos agora �as apli a� ~oes.Exemplo 4.3.6 Cal ule o poten ial eletrost�ati o � no interior de uma esf�era neutra deraio a dado que o poten ial na esfera f(�) n~ao dependa do ângulo '.O poten ial � satisfaz a equa� ~ao de Lapla er2� = 0 (4.3.9)no dom��nio f(r; �; ') 2 R3 : r < ag e ondi� ~ao de fronteira de Diri hlet n~ao homogênia�(a; �; ') = f(�) : (4.3.10)Devido a simetria om respeito ao ângulo ' em (4.3.10), podemos onsiderar o prob-lema em apenas duas variaveis r e �. Pelo m�etodo de separa� ~ao de vari�aveis, es revemos� = �(r; �; ') = R(r)�(�) e substituimos na equa� ~ao (4.3.9), dividindo em seguida por�, resulta 1r2R �r2R0�0 + 1r2 sin �� (sin ��0)0 = 0

158 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISque �e equivalente ao par de equa� ~oes(r2R0)0 � l (l + 1) R = 01sin � (sin ��0)0 + l (l + 1)� = 0 om l uma onstante a ser determinada. A primeira destas equa� ~oes �e a equa� ~ao deBessel esf�eri a om k = 0, e a segunda, ap�os a mudan� a de variavel x = os �, �e aequa� ~ao de Legendre.Pelo Exer �� io 3.4.4, a solu� ~ao geral da equa� ~ao radial �eR(r) = A �ra�l +B �ar�l+1 (4.3.11)e a solu� ~ao regular da equa� ~ao para � �e dada por�(�) = Pl ( os �) om l = 0; 1; 2; : : :.Note que a exigên ia f��si a de regularidade sele iona os valores admiss��veis de l.Al�em disso, omo l �e positivo, e desejamos que a solu� ~ao (4.3.11) tamb�em seja regular,temos B = 0. Portanto a solu� ~ao do problema �e dado pela s�erie�(r; �; ') = 1Xl=0 Al � ra�l Pl ( os �)onde Al s~ao onstantes tais que1Xl=0 Al Pl ( os �) = f (�) :De�nindo g(x) = f(ar os x) e usando a rela� ~ao de ortonormalidade (4.3.3), temosAl = 2l + 12 Z 1�1 g(x)Pl(x) dx : (4.3.12)Observa� ~ao 4.3.7 O poten ial no exterior � da esf�era pode ser al ulado de maneiraan�aloga. Neste aso, devemos tomar B = 0 em (4.3.11) para termos R(r) regular noin�nito. A solu� ~ao �e dada por�(r; �; ') = 1Xl=0 Bl �ar�l+1 Pl ( os �) om Bl dado pela integral (4.3.12).

4.3. PROPRIEDADES E APLICAC� ~OES 159Considere a fun� ~ao f no exemplo a ima dada porf(�) = 8<: V se 0 � � < �=2�V se �=2 � � < � ; (4.3.13)isto �e, � = V na semi{esfera superior e � = �V na semi{esfera inferior. Ent~ao, os oe� ientes Al, l 2 N , s~aoAl = (2l + 1)V2 Z 1�1 (�(x)� �(�x))Pl(x) dx = 8<: 0 se lforparV Il se lforimparonde �(x) �e a fun� ~ao degrau e Il = (2l + 1) Z 10 Pl(x) dx : (4.3.14)Para al ular Il, pre isamos das seguintes identidades:Proposi� ~ao 4.3.8 1. Para l = 1; 2; : : :,(2l + 1) Pl = P 0l+1 � P 0l�12. Pn(0) = 8>><>>: 0 se nforimpar(�1)n=2 n!2n [(n=2)!℄2 se nforpar (4.3.15)Prova do item 1.. Diferen iando a fun� ~ao geratriz F om respeito a x:�F�x (x; t) = t(1� 2xt� t2)3=2 = t F (x; t)3 ;e diferen iando F om respeito a t:�F�t (x; t) = x� t(1� 2xt� t2)3=2 = (x� t) F (x; t)3 :Temos portanto a seguinte equa� ~ao2t�F�t + F + �t� 1t� �F�x = �2t (x� t) + t2 � 1�F 3 + F = 0

160 CAP�ITULO 4. FUNC� ~OES ESPECIAISque atrav�es da expans~ao em polin^omios de Legendre, impli a em(2l + 1)Pl + P 0l�1 � P 0l+1 = 0 : 2Prova do item 2.. Expandimos a fun� ~ao F (0; t) em s�erie de Taylor em torno de t = 0:F (0; t) = F (0; 0) + F 0(0; 0)t+ � � �+ 1n!F (n)(0; 0) tn + � � � (4.3.16)onde F (n)(0; 0) = dnFdtn (0; 0) = � dndtn 1p1 + t2�t=0Pela f�ormula de deriva� ~ao omposta,F (n)(0; 0) = n!(n=2)! � dn=2dsn=2 (1 + s)�1=2 �s=0= n!(n=2)! ��12 ��32 � � � ��n + 12 � (4.3.17)= (�1)n=2 (n!)22n [(n=2)!℄2se n for par e zero de outra forma. De (4.3.4), (4.3.16) e (4.3.17) obtemos1Xn=0 Pn(0) tn = 1Xk=0 (�1)k 2k!22k (k!)2 t2kimpli ando em (4.3.15). 2Usando a Proposi� ~ao 4.3.8, o teorema fundamental do �al ulo e o item 1. daProposi� ~ao 4.3.2, o �al ulo da integral (4.3.14) resultaIl = Z 10 ddx (Pl+1(x)� Pl�1(x)) dx= Pl�1(0)� Pl+1(0)= (�1)(l�1)=2 (l � 1)!2l�1 [((l � 1) =2)!℄2 � (�1)(l+1)=2 (l + 1)!2l+1 [((l + 1) =2)!℄2= (�1)(l�1)=2 (l � 1)!2l�1 [((l � 1) =2)!℄2 �1 + ll + 1�= (�1)(l�1)=2 (2l + 1) (l � 1)!2l [((l � 1) =2)!℄ [((l + 1) =2)!℄ :

4.3. PROPRIEDADES E APLICAC� ~OES 161para l par e zero de outra forma.O poten ial eletrost�ati o no Exemplo 4.3.6 om f dado por (4.3.13) �e portanto�(r; �; ') = V 1Xk=1 (�1)k�1 (4k � 1)22k�1 (k � 1) �2k � 2k � �ra�2k�1 P2k�1 ( os �) :Exemplo 4.3.9 Determine o poten ial eletrost�ati o � produzido por um anel ondutorde raio a e arga total q nos pontos x 2 R3 om jxj > a.O poten ial � = �(r; �; ') satisfaz a equa� ~ao de Lapla er2� = 0no dom��nio f(r; �; ') 2 R3 : r > ag. O sistema de oordenadas �e es olhido de maneiratal que o anel se en ontre no plano f(r; �; ') : � = �g om entro na origem. Como as argas devem distribuir uniformemente no anel (o anel �e um ondutor), o poten ial � �eindependente do ^angulo '. A solu� ~ao da equa� ~ao de Lapla e �e portanto da forma�(r; �; ') = 1Xl=0 Bl �ar�l+1 Pl ( os �) : (4.3.18)Note que em (4.3.18) usamos a ondi� ~ao de fronteira limr!1 �(r; �; ') = 0 para sele- ionar uma das duas solu� ~oes linearmente independentes da equa� ~ao radial.Para determinar as onstantes Bl's, usaremos omo ondi� ~ao de fronteira o poten ial� no eixo perpendi ular ao plano do anel. O valor do poten ial nestas ondi� ~oes podeser al ulado fa ilmente. Se � for a densidade linear de arga no anel e dl o elementode omprimento, ent~ao d� (r; 0; 0) = � dl4�" r 1q1 + (a=r)2 :Integrando sobre o anel e usando a fun� ~ao geratriz, temos� (r; 0; 0) = q4�" rF (0; a=r) = q4�" a 1Xl=0 Pl(0) �ar�l+1 :Comparando esta express~ao om (4.3.18) em � = 0 e lembrando que Pl(1) = 1, obtemosBl = q4�" aPl(0) om Pl(0) dado pela Proposi� ~ao 4.3.8.

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