analyse et controle de l’ˆ equation korteweg-de´ vries sur 0 l · 2017. 5. 9. · analyse et...

Analyse et controle de l’equation Korteweg-deVries sur [0,L]

par

Ivonne Rivastravail en collaboration avec

B-Y Zhang, E. Cerpa, E. Kramer, M. Usman, Ch. Jia

UPMC

Ivonne Rivas ( UPMC ) Analyse et Controle de KdV 1 / 21

Outline

1 Motivations

2 Controlabite de l’equation KdV

3 Caractere bien pose

4 Questions ouvertes


Probleme au bord non homogene pour KdV sur [0,L]ut + ux + uxxx + uux = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+

u(x ,0) = φ(x),u(0, t) = h1(t), ux(L, t) = h2(t), uxx(L, t) = h3(t).

Ce modele a ete propose par Colin et Ghidaglia en 2001,

U(0,t)=h (t)

U (L,t)=h (t)

U (L,t)=h (t)

x

xx

2

3 1


Nous voulons etudierControlabilite exacte

ut + ux + uxxx + uux = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+


(1)

Le systeme de controle de l’equation (1) est dit ExactementControlable dans L2(0,L) si: soit T > 0, y0 ∈ L2(0,L) et yT ∈ L2(0,L) ilexiste des controles

(h1,h2,h3) ∈ H13 (0,T )× L2(0,T )× H− 1

3 (0,T )

tels que l’unique solution y ∈ C(0,T ;L2(0,L)) satisfait

y(0, x) = y0(x), et y(T , x) = yT (x).


Existence de la SolutionCaractere bien pose



(2)

Le probleme au bord non homogene (2) est bien pose dans Hs(0,L).Soit pour s ∈ R,

φ ∈ Hs(0,L)

(h1,h2,h3) ∈ Hs+1

3 (0,T )× Hs3 (0,T )× H

s−13 (0,T )

Alors, il existe une unique solution

u ∈ C(0,T ;Hs(0,L)) ∩ L2(0,T ;Hs+1(0,L))

De plus,(φ,h1,h2,h3)→ u

est continue dans les espaces correspondants.Ivonne Rivas ( UPMC ) Analyse et Controle de KdV 5 / 21

Etat de l’artCaractere bien pose



Colin, Ghidaglia 2001Existence locale d’une solution dans H1(0,L) pour

φ ∈ H1(0,L), h1 ∈ C1[0,T ], h2 ∈ C1[0,T ] et h3 ∈ C1[0,T ]

Existence globale de la solution dans H1(0,L) pour des petitesamplitudes des valeurs initiales et valeurs limitesExistence locale d’une solution dans L2(0,L) pourh1 = h2 = h3 = 0.


Des resultats sur le caractere bien poseCaractere bien pose pour s ≥ 0



I.R.,B.-Y. Zhang, M. Usman 2011

? Globalement bien pose dans Hs(0,L) pour s ≥ 0 et des donneesavec petites amplitudes.

? Decroissance exponentielle de la solution, si les donnees frontiereont une decroissance exponentielle aussi.


Des resultats sur le caractere bien poseCaractere bien pose pour s > −3/4



I.R., B.-Y. Zhang, E. Kramer 2011

? Localement bien pose dans Hs(0,L) pour s > −34 ,

φ ∈ Hs(0,L),

h1 ∈ Hs+1

3 (0,T ), h2 ∈ Hs3 (0,T ) et h3 ∈ H

s−13 (0,T ).


Des resultats sur le caractere bien poseCaractere bien pose pour s > −1



(3)

Theorem I.R., Ch. Jia, B.-Y. Zhang 2013Soit −1 < s ≤ 0 et r > 0. Il existe un T > 0 et 0 < b < 1/2 tels que pour toutφ ∈ Hs(0,L),

h1 ∈ Hs+1

3 (0,T ), h2 ∈ Hs3 (0,T ) et h3 ∈ H

s−13 (0,T ),

satisfaisant‖φ‖Hs(0,L) + ‖h1‖H

s+13 (0,T )

+ ‖h2‖Hs3 (0,T )

+ ‖h3‖H

s−13 (0,T )

≤ r

il existe une unique solution u de (3) telle que ‖u‖X b,Ts,1/2

<∞.


Caractere bien pose

qq

LWP

-1 -3/4 0 3

Tartar’s Interpolation Theorem

Compatibility Conditions

Bourgain Spaces

?

Sobolev Spaces

Using KdV-Burgers Equation


Etat de l’artControlabilite a gauche

{ut + ux + uxxx + uux = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+

u(0, t) = h1(t), ux(L, t) = 0, uxx(L, t) = 0.(4)

Guerrero et GuilleronPour tout L > 0 et u(x ,0) ∈ L2(0,L), il existe T > 0 eth1 ∈ L2(0,T ) tels que la solution de (4)

u ∈ C(0,T ;L2(0,L) ∩ L2(0,T ;H1(0,L))

satisfaitu(x ,T ) = 0


Des resultats sur la controlabiliteControlabilite a droite


u(0, t) = 0, ux(L, t) = h2(t), uxx(L, t) = 0.(5)

Le systeme (5) est localement exactement controlable sur l’intervalle[0,L] pour L /∈ F

F = {L ∈ R+ : L2 = −(a2 + ab + b2) pour a,b ∈ C et ea

a2 = eb

b2 = e−(a+b)

(a+b)2 }


Idee de demonstration de la controlabilite a droite

Etudier l’observabilite du systeme adjointϕt + ϕx + ϕxxx = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+

ϕ(0, t) = 0, ϕx(0, t) = 0, ϕxx(L, t) + ϕ(L, t) = 0.ϕ(x ,T ) = ϕT (x)

En utilisant des multiplicateurs, on obtient

‖ϕT‖2L2(0,L) ≤

1T‖S(.)ϕT‖L2((0,T ),(0,L)) + ‖ϕx(L, .)‖2

L2(0,T ) + ‖ϕ(L, .)‖2L2(0,T )

On veut montrer:

Inegalite d’observabilitePour tous T > 0 et L /∈ F . Il existe C = C(L,T ) tel que pour toutϕ(.,T ) ∈ L2(0,L)

‖ϕ(.,T )‖2L2(0,L) ≤ C‖ϕx(L, .)‖2L2(0,T )


Controlabilite a droiteCaractere bien pose du systeme adjoint

ϕt + ϕx + ϕxxx = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+

ϕ(L, t) = 0, ϕx(L, t) = 0, ϕxx(0, t) + ϕ(0, t) = 0.ϕ(x ,T ) = ϕT (x)

Nous considerons le systemeϕt + ϕx + ϕxxx = 0, x ∈ (0,L), t ∈ R+

ϕxx(0, t) = k1, ϕ(L, t) = k2, ϕx(L, t) = k3

ϕ(x ,T ) = ϕT (x)(6)

Pour tout ϕ0 ∈ L2(0,L) le systeme (6) admet une solution unique

ϕ ∈ C(0,T ;L2(0,L)) ∩ L2(0,T ;H1(0,L))


Regularites CacheesCaractere bien pose du systeme adjoint

Theoreme [I.R., B.Y. Zhang, E. Cerpa]

Pour tout ϕ0 ∈ L2(0,L), la solution de (??)

ϕ ∈ C(0,T ;L2(0,L)) ∩ L2(0,T ;H1(0,L))

satisfaitsup

0<x<L‖∂ j

xϕ(x , .)‖H

1−j3 (0,T )

≤ Cj‖ϕ0‖L2(0,L)

pour j = 0,1,2.


Des resultats sur la controlabiliteControlabilite a droite


u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0, uxx(L, t) = h3(t).(7)

Le systeme (7) est localement exactement controlable sur l’intervalle[0,L] pour L /∈ N ou

N = {L ∈ R∗ : L2 = −(a2+ab+b2),a,b ∈ C et aea = beb = −(a+b)e−(a+b)}


Des resultats sur la controlabiliteDeux Controles


u(0, t) = 0, ux(L, t) = h2(t), uxx(L, t) = h3(t).(8)

[I.R., B.Y. Zhang, E. Cerpa]Le systeme (8) est localement exactement controlable sur l’intervalle[0,L] pour tous L > 0.




u(0, t) = h1(t), ux(L, t) = 0, uxx(L, t) = h3(t).(9)





u(0, t) = h1(t), ux(L, t) = h2(t), uxx(L, t) = 0.(10)



Questions ouvertes



Le systeme est-il globalement bien pose?Y a-t-il des sous-espaces ou le systeme est localementcontrolable pour les ”mauvais” L?Y a-t-il controlabilite globale?


Merci pour votre attention


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