linear equation

ระบบสมการเชงิเสน้

LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS

พชีคณติเชงิเสน้ (Linear Algebra) เป็นหลกัการ

พืน้ฐานสําหรับการวเิคราะหท์างวทิยาศาสตรแ์ละ

วธิกีารคํานวณเชงิตวัเลข

พชีคณติเชงิเสน้จะถกูนํามาใชใ้นการแกร้ะบบสมการ

เชงิเสน้ (Linear Equation)

ลกัษณะระบบสมการเชงิเสน้เป็นดงันี ้

a1,1 x1 + a1,2 x2 + … + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + a2,2 x2 + … + a2,n xn = b2 an,1 x1 + an,2 x2 + …+ an,n xn = bn

เมือ่ a1,1 ,…, an,n คอืสปส.หนา้ตวัแปร x1 ,…, xn

x1 ,…, xn คอืตวัแปรทีไ่มท่ราบคา่ที่

ตอ้งการหาคําตอบ

b1 ,…, bn คอืคา่คงที ่ ทีไ่มอ่ยูใ่นรปูของตวั

แปรซึง่จะอยูอ่กีดา้นของสมการ

ระเบยีบวธิเีพือ่ใชใ้นการแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ ไดแ้ก ่

1) กฎของคราเมอร ์(Cramer’s rule)

2) ระเบยีบวธิกีารกําจัดแบบเกาส ์(Gauss elimination

method)

3) ระเบยีบวธิขีองเกาส-์ชอรด์อง (Gauss-Jordan

method)

4) ระเบยีบวธิกีารทําเมตรกิซผ์กผัน (matrix inversion

method)

5) ระเบยีบวธิกีารแยกแบบแอล-ย ู(LU decomposition

method)

6) ระเบยีบวธิกีารทําซํ้าแบบเกาส-์ไซเดล (Gauss-Seidel

iteration method)

ฯลฯ

การจดัระบบสมการใหอ้ยูใ่นรปูเมตรกิซ ์

การแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ จะตอ้งเริม่ตน้จากการ

จัดระบบสมการใหอ้ยูใ่นรปูผลคณูเมตรกิซเ์สยีกอ่น ซึง่

การจัดระบบสมการเชงิเสน้ทีป่ระกอบดว้ยสมการยอ่ย

หลายสมการ สามารถเขยีนใหอ้ยูใ่นรปูผลคณูเมตรกิซ์

ไดด้งันี ้

[A] n x n {X} n x 1 = {B} n x 1

เมือ่ n แทนจํานวนสมการทัง้หมด

[A] เป็นเมตรกิซจั์ตรัุสขนาด n x n ประกอบดว้ย

สมาชกิทีเ่ป็นสปส.หนา้ตวัแปร xn คอื a1,1

,…, an,n

{X} เป็นเมตรกิซ ์1 หลัก (เวกเตอร)์ ประกอบดว้ย

สมาชกิทีเ่ป็นตวัแปร คอื x1 ,…, xN

{B} เป็นเมตรกิซ ์1 หลัก (เวกเตอร)์ ประกอบ

ดว้ยสมาชกิทีเ่ป็นคา่คงทีท่ีอ่ยูท่างดา้นขวามอื

ของสมการ คอื b1 ,…, bn

1) กฎของคราเมอร ์(Cramer’s rule)

เป็นวธิกีารทีใ่ชส้ําหรับแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ขนาด

เล็ก โดยใชห้ลกัการของการคํานวณคา่ดเีทอรม์แินนท ์

ของเมตรกิซ ์ซึง่คา่ xi สามารถหาไดจ้ากสตูร

AdetAdetx i

i

เมือ่ det[A] คอื คา่ดเีทอรม์แินนทข์องเมตรกิซ ์A

det[A]i คอื คา่ดเีทอรม์แินนทข์องเมตรกิซ ์A

ทีไ่ดเ้ปลีย่นคา่สมาชกิในหลัก i

ดว้ยคา่ในเวคเตอร ์B

ตวัอยา่ง จงแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ตอ่ไปนี ้

1xx4xx2

21

21

วธิทํีา

ขัน้ที ่1 : จัดระบบสมการใหอ้ยูใ่นรปูผลคณูเมตรกิซ ์

BXA

1

4xx

1112

2

1

ขัน้ที ่2 : หาคา่ x1 จากสมการ

AdetAdetx 1

1

31*11*21112

detAdet

31*11*41114

detAdet 1

133x1

ขัน้ที ่3 : หาคา่ x2 จากสมการ

AdetAdetx 2

2

64*11*21142

detAdet 2

236x2

ขัน้ที ่4 : ตรวจคําตอบโดยการแทนคา่ x1=1, x2=2

ลงในระบบสมการเชงิเสน้

121

4212

เมือ่แทนคา่ลงในสมการเชงิเสน้ทําใหส้มการเป็น

จรงิ แสดงวา่คา่ทีคํ่านวณไดถ้กูตอ้ง ดงันัน้คําตอบของ

สมการคอื x1=1 และ x2=2

ขอ้เสยี

การแกร้ะบบสมการเชงิเสน้โดยใชก้ฎของคราเมอร์

นัน้จะตอ้งใชเ้วลาในแกส้มการมากกวา่วธิอีืน่ เนื่องจาก

จํานวนครั้งของการคํานวณตัวเลข (คูณ/หาร) มี

คา่ประมาณ (n-1)*(n+1)! ครัง้ เมือ่จํานวนของสมการ

มากขึน้จงึทําใหเ้วลาในการคํานวณเพิม่ขึน้เป็นทวคีูณ

ดว้ย

ดังนั้นจึงจําเป็นตอ้งใชว้ิธีการอื่นในการแกร้ะบบ

สมการเชงิเสน้ เพือ่ทําใหเ้วลาในการคํานวณลดลง วธิี

ที่จะกล่าวต่อไปนี้คือ วิธีการกําจัดตัวแปรแบบเกาส ์

(Gauss elimination) ซึง่จะทําใหก้ารคํานวณตัวเลข

ลดลงเหลอืเพยีง nnn 23 ครัง้เทา่นัน้

การแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ดว้ย MATLAB

จากสมการ }{}]{[ BXA

ดงันัน้ ][}{

}{AB

X …..(1)

จากคณุสมบตัขิองเมตรกิซพ์บวา่

][][][ 1 IAA

และ ][]][[ CCI

ดงันัน้นํา 1][ A คณูตลอดสมการ

}{][}{]][[ 11 BAXAA

}{][}]{[ 1 BAXI

}{][}{ 1 BAX …..(2)

MATLAB จัดเตรยีมวธิแีกร้ะบบสมการไว ้2 คําสัง่คอื

>> x = A\b

>> x = inv(A) * b

2) ระเบยีบวธิกีารกําจดัแบบเกาส ์

Gauss Elimination Method

ใชห้ลกัการของการกําจัดตวัแปรออกทลีะตวัในทกุ ๆ

สมการ จนกระทัง่สมการสดุทา้ยเหลอืตวัแปรเพยีงตวั

เดยีว หลังจากนัน้ใชก้ารแทนคา่ตัวแปรจากสมการ

ทา้ยสดุยอ้นกลบัมายังสมการแรก จงึไดคํ้าตอบของ

ระบบสมการเชงิเสน้ครบทกุคําตอบ

วธิกีารของ Gauss elimination ประกอบดว้ย 2

ขัน้ตอนคอื

การกําจัดไปขา้งหนา้ (Forward elimination)

การแทนคา่ยอ้นกลับ (Back substitution)

คําตอบของสมการทีไ่ดอ้าจจะไมถ่กูตอ้ง ถา้ระบบ

สมการเชงิเสน้นัน้อยูใ่นกรณีของ Ill-Condition (จะ

กลา่วในหัวขอ้ถัดไป)

Step 1 : Forward elimination

จากระบบสมการเชงิเสน้ซึง่ประกอบไปดว้ย n สมการ n

ตวัแปร สามารถเขยีนใหอ้ยูใ่นรปูแบบตอ่ไปนี ้

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

เมือ่ n,na คอื สปส.หนา้ตัวแปร nx

ซึง่จะเรยีกแทนสมาชกิแตล่ะตวัวา่ j,ia

เมือ่ i แทนลําดบัของสมการ (แถว)

และ j แทนลําดบัของตวัแปร (หลกั)

การกําจัดตัวแปรไปขา้งหนา้จะเริม่ตน้จากการตดัตวั

แปรออกทลีะตวัโดยเริม่จาก 1x ซึง่จะไดผ้ลดงันี ้

nnnnn

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

,22,

2,222,2

1,122,111,1

ในการตดัตัวแปร 1x นัน้จําเป็นตอ้งใชส้มการที ่1 เป็น

สมการอา้งองิในการคํานวณรว่มกบัสมการอืน่ ๆ และ

จะเป็นเพยีงสมการเดยีวเทา่นัน้ทีจ่ะคงคา่ของตวัแปร

1x ไว ้

การตัดตัวแปร ใชห้ลกัการของการทําใหค้า่สปส.หนา้

ตวัแปร 1x เป็น 0 หรอืหาไดจ้ากสตูร

ji

jiji aa

aaa ,1

1,1

1,,,

จากนัน้ทําการตดัตวัแปรไปเรือ่ย ๆ จนสดุทา้ยจะได ้

ระบบสมการเชงิเสน้ทีม่ลีักษณะดงันี ้

11,

2,222,2

1,122,111,1

nnn

nnn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

เมือ่ 1,nnna คอื คา่สปส.ทีไ่ดผ้า่นกระบวนการตดัตัวแปร

มาแลว้ n-1 ครัง้ 1nnb คอื คา่คงทีท่ีไ่ดผ้า่นกระบวนการตดัตวัแปร

มาแลว้ n-1 ครัง้

Step 2 : Back substitution

จากสมการสดุทา้ยสามารถนํามาหาคา่ nx ไดจ้าก

1,

1

nnn

nn

n a

bx

จากนัน้นําคา่ nx ทีไ่ดแ้ทนลงในสมการที ่n-1 เพือ่หา

คา่ 1nx

2

1,1

2,1

21

1

21

2,11

21,1

nnn

nn

nnn

nn

nnn

nnnn

nnn

a

xabx

bxaxa

ซึง่สดุทา้ยจะไดท้กุคา่ของ nx และเป็นคําตอบของ

ระบบสมการเชงิเสน้

ตวัอยา่งเชน่ ตอ้งการหาคําตอบของระบบสมการเชงิ

เสน้ทีป่ระกอบดว้ยสมการยอ่ย 4 สมการ สามารถเขยีน

เป็นลําดบัขัน้ไดด้งันี ้

จากระบบสมการเชงิเสน้

)4(

)3(

)2(

)1(

444,433,422,411,4

344,333,322,311,3

244,233,222,211,2

144,133,122,111,1

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

ขัน้ที ่1 : ทําการกําจัดตวัแปร 1x ออกจากสมการที ่(2),

(3) และ (4) จะทําใหไ้ดส้มการเชงิเสน้ทีม่ลีักษณะดงันี ้

)4(

)3(

)2(

)1(

444,433,422,4

344,333,322,3

244,233,222,2

144,133,122,111,1

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

ขัน้ที ่2 : ทําการกําจัดตวัแปร 2x ออกจากสมการที ่(3)

และ (4) จะทําใหไ้ดส้มการเชงิเสน้ทีม่ลีกัษณะดงันี ้

)4(

)3(

)2(

)1(

444,433,4

344,333,3

244,233,222,2

144,133,122,111,1

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

ขัน้ที ่3 : ทําการกําจัดตวัแปร 3x ออกจากสมการที ่(4)

จะทําใหไ้ดส้มการเชงิเสน้ทีม่ลีกัษณะดงันี ้

)4(

)3(

)2(

)1(

444,4

344,333,3

244,233,222,2

144,133,122,111,1

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

ขัน้ที ่4 : จากขัน้ที ่3 จะเห็นไดว้า่ในสมการที ่(4) เหลอื

ตวัแปรเพยีงตวัเดยีวคอื 4x จงึสามารถหาคา่ 4x ได ้

โดยการยา้ยขา้งสมการจะไดว้า่

4,4

44 a

bx

ขัน้ที ่5 : เมือ่ไดค้า่ 4x แลว้ ใหนํ้าไปแทนคา่ในสมการ

ที ่(3) จะทําใหไ้ดค้า่ของ 3x เพิม่

ขัน้ที ่6 : นําคา่ 43 x,x กลบัไปแทนในสมการที ่ (2)

เพือ่หาคา่ 2x

ขัน้ที ่7 : สดุทา้ยนําคา่ 432 x,x,x กลบัไปแทนใน

สมการที ่(1) เพือ่หาคา่ 1x ซึง่จะไดคํ้าตอบของสมการ

ครบทกุตวั

ในการคํานวณเพือ่หาคําตอบของสมการมกัจะไมน่ยิม

นําตัวแปรไปเขยีนในสมการดว้ย เนือ่งจากจะทําใหร้ปู

สมการดยูาก ดงันัน้จงึนําเฉพาะคา่สปส.หนา้ตวัแปรและ

คา่คงทีม่าใช ้ โดยนํามาเขยีนเรยีงใหมใ่นลักษณะของ

เมตรกิซด์งันีค้อื

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

,3,2,1,

2,23,22,21,2

1,13,12,11,1

และเมือ่คํานวณตามวธิ ี Gauss elimination ลกัษณะ

ของเมตรกิซท์ีไ่ดจ้ะเป็นดงันี ้

11,

24,23,22,2

1,13,12,11,1

0000

00

0

nn

nnn

n

ba

baaa

baaaa

ตวัอยา่ง จงแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ตอ่ไปนี ้

0x3xx312x2x3x

1x3xx2

321

321

321


ขัน้ที ่1 : นําคา่ ส.ป.ส. และคา่คงทีม่าเขยีนในรปู

เมตรกิซ ์

3

2

1

R0313R12231R1312

ขัน้ที ่2 : ทําใหค้า่ ส.ป.ส. หนา้ตัวแปร 1x ในสมการ

32 R,R ใหเ้ป็น 0

23RR

2310

2333

2311

2323

21

RR21

11221

3221

1321

21

R1312

13

12

1

3

2

1

R23

23

210

R223

21

270

R1312

ขัน้ที ่3 : ทําใหค้า่ ส.ป.ส. หนา้ตัวแปร 2x ในสมการ

3R เป็น 0

21

72RR

21

72

223

23

21

72

21

23

21

72

27

210

R223

21

270

R1312

23

2

1

3

2

1

R722

71100

R223

21

270

R1312

ขัน้ที ่4 : หาคา่ตวัแปร 3x จากสมการ 3R

2x722x

711

3

3

ขัน้ที ่5 : แทนคา่ 3x ในสมการ 2R

3x223x

21x

27

2

32

ขัน้ที ่6 : แทนคา่ 32 x,x ในสมการ 1R

1x1x3xx2

1

321

Pivoting with Gauss Elimination

การแกส้มการดว้ยวธิ ีGauss Elimination จะไมส่ามารถ

ใชไ้ดใ้นกรณีทีส่มัประสทิธิใ์นแนวทแยงหลกัมคีา่เป็น

ศนูย ์เพราะจะทําใหเ้กดิปัญหาจากการหารดว้ยศนูย ์

การเลอืกตวัหลกั (Pivoting) จะถกูนํามาใชใ้นการ

สลบัลําดบัของสมการ เพือ่แกปั้ญหาจากการหารดว้ย

ศนูย ์

การเลอืกตวัหลกันัน้ จะเลอืกสมการทีม่คีา่สมัประสทิธิ์

มากทีส่ดุในหลกันัน้ จากสมการทีเ่หลอืทัง้หมดขึน้มา

ใชแ้ทนสมการปัจจบุนั

การเลอืกตวัหลกัจะทําใหค้า่สมัประสทิธิใ์นแนวทแยง

หลักมคีา่มากกวา่คา่ทีอ่ยูใ่นแถวถัดไป

การเปลีย่นลําดบัของสมการไมทํ่าใหเ้กดิการ

เปลีย่นแปลงใด ๆ ตอ่คําตอบของสมการ แตจ่ะมผีลดี

ก็คอืจะทําใหก้ารคํานวณมคีวามถกูตอ้งแมน่ยําและ

รวดเร็วมากขึน้

ตวัอยา่ง 2 จงแกร้ะบบสมการเชงิเสน้ตอ่ไปนี ้

400x4x4400x2x4x400x4x2

21

321

32


ขัน้ที ่1 : นํามาเขยีนใหมใ่หอ้ยูใ่นรปูเมตรกิซ ์

3

2

1

R400044R400241R400420

ขัน้ที ่2 : ใชว้ธิ ี Pivoting เพือ่เลอืกตวัหลกั โดยสลับ

สมการ 31 RR เนือ่งจาก 1,1a มคีา่เป็น

ศนูย ์และ 1,3a มคีา่มากทีส่ดุในหลักแรก

3

2

1

R400420R400241R400044

ขัน้ที ่3 : ทําการกําจัดตวัแปร 1x ในสมการ 2R ตาม

วธิ ีForward elimination

โดย

4RRR 1

22

3

2

1

R400420R500230R400044

ขัน้ที ่4 : ทําการกําจัดตวัแปร 2x ในสมการ 3R

โดย 233 R32RR

3

2

1

R3

22003800

R500230R400044

ขัน้ที ่5 : ทําการแทนคา่ยอ้นกลับเพือ่หาคําตอบของ

สมการ

450x350x275x

32200x

38

1

2

3

3

ILL-Conditioned Problem

คอืปัญหาจากการทีร่ะบบสมการนัน้อยูใ่นภาวะทีไ่ม่

เหมาะสม และเมือ่นํามาเขยีนในรปูเมตรกิซจ์งึทําให ้

เกดิเมตรกิซท์ีอ่ยูใ่นภาวะไมเ่หมาะสมดว้ย

ลกัษณะของปัญหาคอื การทีส่มัประสทิธิห์นา้ตวัแปร

นัน้มกีารเปลีย่นแปลงไปเพยีงเล็กนอ้ย แตทํ่าใหค้า่

ผลลพัธท์ีไ่ดเ้กดิการเปลีย่นแปลงไปมาก

ปัญหานีเ้ป็นผลมาจากการเกดิ Round-off errors

ของเครือ่งคอมพวิเตอรน่ั์นเอง

ตวัอยา่ง จากระบบสมการเชงิเสน้ตอ่ไปนี ้

00555.2y98755.0x12032.001045.2y98775.0x12065.0

คําตอบทีไ่ดค้อื 23942.0y7403.14x

ถา้ระบบสมการมเีปลีย่นแปลงคา่คงทีใ่นสมการที ่1 เป็น

00555.2y98755.0x12032.0*01145.2y98775.0x12065.0

คําตอบทีไ่ดค้อื 15928.0y9756.17x

“ซึง่คําตอบของสมการมกีารเปลีย่นแปลงไปอยา่งมาก”

ปญัหาทีอ่าจเกดิขึน้จากระเบยีบวธิกีารกาํจดัแบบเกาส์

1. ปัญหาจากการหารดว้ยศนูย ์

หากคา่ สปส. ในแนวทแยงหลักมคีา่เทา่กบัศนูย ์

เมือ่ทําการกําจัดไปขา้งหนา้ จะเกดิการหารดว้ยศนูย์

ขึน้ จงึจําเป็นตอ้งป้องกนัปัญหานีเ้มือ่ทําการ

โปรแกรมคอมพวิเตอร ์

ตวัอยา่ง ระบบสมการทีทํ่าใหเ้กดิปัญหา

2 4 400 (a)

4 2 400 (b)

4 4 400 (c)

จากระบบสมการจะเห็นวา่ในสมการ (a) คา่ สปส.

ของ มคีา่เป็น 0 ดงันัน้ เมือ่ทําการกําจัดตวัแปรไป

ขา้งหนา้โดยใชส้มการ (a) ดําเนนิการจะเกดิปัญหา

การหารดว้ยศนูยเ์กดิขึน้

2. ปัญหาความผดิพลาดจากการปัดเศษ

เนือ่งจากเครือ่งคอมพวิเตอรแ์ตล่ะเครือ่งจะมีความสามารถในการเก็บตวัเลขนัยสําคญัทีไ่มเ่ทา่กนั และวธิกีารกําจัดแบบเกาสจ์ะทําการคณูหารตวัเลขตลอดเวลา ดงันัน้ ความผดิพลาดทีเ่กดิจากการปัดเศษสามารถแพรก่ระจายออกไปได ้ซึง่อาจกอ่ใหเ้กดิความผดิพลาดตอ่เนือ่งสูผ่ลลพัธท์ีคํ่านวณได ้

ตวัอยา่ง การแกร้ะบบสมการตอ่ไปนี ้

2.000112 1.4142141.414214 1.000102

0.5214710.232279

กรณีที ่1 หากแกส้มการดว้ยโปรแกรมคอมพวิเตอร ์บนเครือ่งคอมพวิเตอรส์ว่นบคุคลทั่วไป ผลลพัธท์ีไ่ดค้อื

613.0448 , 866.6558

กรณีที ่2 แกส้มการดว้ยเครือ่งคดิเลขทีส่ามารถเก็บเลขนัยสําคญัไดเ้พยีง 6 ตวั ดงันัน้ ระบบสมการตอ้งเปลีย่นเป็น

2.00011 1.414211.41421 1.00010

0.5214710.232279

พบวา่ผลลพัธท์ีคํ่านวณไดค้อื 577.008 , 815.691

เกดิความผดิพลาดไปจากผลลพัธท์ีแ่ทจ้รงิเกอืบ 6%

สาเหต ุเพราะเมทรกิซท์างดา้นซา้ยเป็นเมทรกิซท์ีอ่ยูใ่นภาวะ

ไมเ่หมาะสม (ill-conditioned matrix) น่ันเอง

3. ปัญหาจากระบบสมการในภาวะไมเ่หมาะสม

(ILL-Conditioned Problem)

ลกัษณะของปัญหา คอื การทีค่า่สมัประสทิธิห์นา้ตัวแปรของระบบสมการนัน้ มกีารเปลีย่นแปลงคา่ไปเพยีงเล็กนอ้ย แตทํ่าใหค้า่ผลลัพธท์ีคํ่านวณไดเ้กดิการเปลีย่นแปลงไปมาก

ปัญหานีเ้ป็นผลมาจากการเกดิ Round-off errors ของเครือ่งคอมพวิเตอรน่ั์นเอง

หากระบบสมการนัน้อยูใ่นภาวะไมเ่หมาะสมแลว้ เมือ่นํามาเขยีนในรปูเมตรกิซจ์งึทําใหเ้กดิเมตรกิซท์ี่อยูใ่นภาวะไมเ่หมาะสมดว้ย

ตวัอยา่ง จากระบบสมการตอ่ไปนี ้

00555.298755.012032.0

01045.298775.012065.0

21

21

xx

xx

คําตอบคอื 23942.07403.14 21 xx

ถา้ระบบสมการมเีปลีย่นแปลงคา่ สปส. ในสมการที ่1 เป็น

00555.298755.012032.0

*01145.298775.012065.0

21

21

xx

xx

คําตอบคอื 15928.09756.17 21 xx

“ซึง่คําตอบของสมการมกีารเปลีย่นแปลงไปอยา่งมาก”

* การตรวจสอบภาวะไมเ่หมาะสมของเมทรกิซ ์

โดยการคํานวณหาคา่ดเีทอรม์แินนท ์(determinant) ของ

เมทรกิซนั์น้ เชน่

0.12065 0.987750.12032 0.98755

det 0.12065 0.98755 0.12032 0.98775

0.000301

จะเห็นไดว้า่คา่ดเีทอรม์แินนทม์คีา่นอ้ยมาก หรอืมคีา่ใกลเ้คยีง

ศนูย ์และเมือ่เปรยีบเทยีบกบัคา่ สปส. ในระบบสมการแลว้จะมี

คา่นอ้ยกวา่มาก

สรปุ ลกัษณะของเมทรกิซท์ีอ่ยูใ่นภาวะไมเ่หมาะสม

ก) ผลลพัธเ์ปลีย่นไปมาก เมือ่เปลีย่นคา่ สปส. เพยีงเล็กนอ้ย

ข) สปส. ในแนวทแยงมมุหลกัมกัมคีา่นอ้ยเมือ่เทยีบกบั สปส.

รอบขา้ง

ค) คา่ดเีทอรม์แินนทข์องเมทรกิซม์คีา่นอ้ย หรอืหากหาคา่

. จะตา่งไปจาก 1 มาก

ง) หากคํานวณคา่ จะตา่งไปจาก มากเชน่กนั

การปรบัปรงุระเบยีบวธิกีารกาํจดัแบบเกาส ์

1. การเลอืกตวัหลกั (pivoting)

การแกส้มการดว้ยวธิกีารกําจัดแบบเกาส ์จะไมส่ามารถ

ใชไ้ดใ้นกรณีทีส่มัประสทิธิใ์นแนวทแยงหลกัมคีา่เป็น

ศนูย ์เพราะจะทําใหเ้กดิปัญหาจากการหารดว้ยศนูย ์

การเลอืกตวัหลกั (Pivoting) จะถกูนํามาใชใ้นการ

สลับลําดบัของสมการ เพือ่แกปั้ญหาจากการหารดว้ย

ศนูย ์

การเลอืกตวัหลกันัน้ จะเลอืกสมการทีม่คีา่

สมัประสทิธิม์ากทีส่ดุในหลกันัน้ จากสมการทีเ่หลอื

ทัง้หมดขึน้มาใชแ้ทนสมการปัจจบุัน

การเลอืกตวัหลกัจะทําใหค้า่สมัประสทิธิใ์นแนวทแยง

หลักมคีา่มากกวา่คา่ทีอ่ยูใ่นแถวถัดไป

การเปลีย่นลําดบัของสมการไมทํ่าใหเ้กดิการ

เปลีย่นแปลงใด ๆ ตอ่คําตอบของสมการ แตจ่ะมผีลดี

ก็คอื จะทําใหก้ารคํานวณมคีวามถกูตอ้งแมน่ยําและ

รวดเร็วมากขึน้

ตวัอยา่ง จงแกร้ะบบสมการตอ่ไปนี ้

400x4x4400x2x4x400x4x2

21

321

32


ขัน้ที ่1 : นํามาเขยีนใหมใ่หอ้ยูใ่นรปูเมตรกิซ ์

3

2

1

R400044R400241R400420

ขัน้ที ่2 : ใชว้ธิ ี Pivoting เพือ่เลอืกตวัหลกั โดยสลับ

สมการ 31 RR เนือ่งจาก 1,1a มคีา่เป็นศนูย ์และ 1,3a

มคีา่มากทีส่ดุในหลกัแรก

3

2

1

R400420R400241R400044

ขัน้ที ่3 : ทําการกําจัดตวัแปร 1x ในสมการ 2R ตามวธิ ี

Forward elimination

โดย

4RRR 1

22

3

2

1

R400420R500230R400044

ขัน้ที ่4 : ทําการกําจัดตวัแปร 2x ในสมการ 3R

โดย 233 R32RR

3

2

1

R3

22003800

R500230R400044

ขัน้ที ่5 : ทําการแทนคา่ยอ้นกลับเพือ่หาคําตอบของ

สมการ

450x350x275x

32200x

38

1

2

3

3

2. การจัดสเกล (scaling)

คอื การหารตลอดสมการดว้ย สปส. ทีม่คีา่สงูสดุของ

สมการนัน้ เพือ่ใหค้า่ สปส. ในระบบสมการมคีา่มา

แตกตา่งกนัมาก

ในกรณีทีค่า่ สปส. ไมแ่ตกตา่งกนัมาก อาจละเลยการ

จัดสเกลได ้


2 100,0001 1

1

2

100,0002

ขัน้ที ่1 : ทําการหารสมการที ่1 ดว้ย 100,000 ตลอดสมการ

0.00002 11 1

1

2

12

ขัน้ที ่2 : สลบัสมการที ่1 กบั 2

1 10.00002 1

1

2

21

ขัน้ที ่3 : ทําการกําจัดไปขา้งหนา้

1 10 0.99998

1

2

20.99996

ขัน้ที ่4 : แทนคา่ยอ้นกลับ ผลลพัธท์ีไ่ดค้อื

00.12 x , 00.11 x

3. ระบบสามแถวทแยง (tridiagonal system)

คอื การนําระเบยีบวธิกีารกําจัดแบบเกาสไ์ปแกร้ะบบ

สมการทีล่กัษณะพเิศษบางชนดิไดอ้ยา่งมปีระสทิธภิาพ

เชน่ ระบบสมการ

โดยเมทรกิซ ์ มลีักษณะพเิศษ คอื มคีา่ในแนว

ทแยงสามแถวตลอดแกนกลางไมเ่ป็นศนูย ์สว่นคา่

บรเิวณอืน่ ๆ เป็นศนูยท์ัง้หมด ดงันี ้

00⋮0

0⋮0

0

⋮0

00

⋮0

⋯⋯…

⋱,

0000⋮,

วธิกีารแกส้มการ คอื ทําการกําจัดแบบเกาสไ์ปขา้งหนา้

โดยพยายามทําใหค้า่ สปส. ในแนวทแยงใตแ้นวทแยง

หลักมคีา่เป็น 0 แลว้จงึแทนคา่ยอ้นกลับไปตาม

กระบวนการเดมิ ซึง่ผลจากการทําจะสงัเกตไุดว้า่คา่ใน

แนวทแยงซึง่อยูเ่หนอืแนวทแยงหลกัจะไมม่กีาร

เปลีย่นแปลง


4 4 01 4 20 2 4

400400400

ขัน้ที ่1 : ทําการกําจัดไปขา้งหนา้ เพือ่ใหค้า่ -1 ในสมการที ่ 2

เป็น 0 จะได ้

4 4 00 3 20 2 4

400500400

ขัน้ที ่ 2 : ทําการกําจัดไปขา้งหนา้ เพือ่ใหค้า่ -2 ในสมการที ่ 3

เป็น 0 จะได ้

4 4 00 3 20 0 8

4005002,200

ขัน้ที ่3 : แทนคา่ยอ้นกลบั ผลลพัธท์ีไ่ดค้อื

275, 350, 450

3) ระเบยีบวธิขีองเกาส-์ชอรด์อง

Gauss-Jordan Method

เป็นระเบยีบวธิทีีข่ยายเพิม่เตมิตอ่มาจากการกําจัด

แบบเกาส ์(Gauss Elimination)

วธิกีารของ Gauss-Jordan ประกอบดว้ย 3 ขัน้ตอน

คอื

การกําจัดไปขา้งหนา้ (Forward elimination)

การกําจัดยอ้นกลบั (Backward elimination)

การทําใหค้า่สปส.ในแนวทะแยงหลักมคีา่เป็น 1

ผลลัพธท์ีไ่ดจ้ากขัน้ตอนสดุทา้ย คอื คําตอบของ

สมการทัง้หมด

ลกัษณะของระบบสมการในขัน้ตอนสดุทา้ยเป็นดงันี ้

nn

n

n

b

b

b

10000

00

0010

0001

2

1

ขัน้ตอนการแกส้มการเชงิเสน้โดยระเบยีบวธิ ีGauss-

Jordan สรปุไดด้งันี ้

ขัน้ที ่1 : จัดรปูแบบใหมใ่หอ้ยูใ่นรปูเมตรกิซ ์

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

,3,2,1,

2,23,22,21,2

1,13,12,11,1

ขัน้ที ่2 : กําจัดตวัแปรโดยใช ้Forward Elimination

11,

2,23,22,2

1,13,12,11,1

000

0

nn

nnn

n

n

ba

baaa

baaaa

ขัน้ที ่3 : ทําการหารคา่ nna , ของสมการที ่(n) ใหเ้ป็น 1

1,

1

2,23,22,2

1,13,12,11,1

1000

0

nnn

nn

n

n

a

b

baaa

baaaa

ขัน้ที ่4 : กําจัดตวัแปร nx ในสมการที ่ (1),…,(n-1)

โดยวธิ ีBackward Elimination

nnb

baa

baaa

1000

00

0

23,22,2

13,12,11,1

ขัน้ที ่5 : ทําเชน่เดยีวกบัขัน้ที ่3 เพยีงแตเ่ปลีย่นเป็นคา่

1,1 nna ของสมการที ่(n-1)

ขัน้ที ่6 : ทําเชน่เดยีวกบัขัน้ที ่ 4 แตเ่ปลีย่นการกําจัด

ตวัแปรเป็น 1nx ในสมการที ่(1),…,(n-2)

ทําขัน้ที ่5-6 เชน่นี ้ซํ้าไปเรือ่ย ๆ จนกระท่ังสดุทา้ยเหลอื

ตวัแปรเพยีงตวัเดยีวในแตล่ะสมการ และสปส.หนา้ตัว

แปรของทกุ ๆ สมการจะตอ้งเป็น 1 เทา่นัน้ จงึจะจบ

ขัน้ตอนของ Gauss-Jordan Elimination ซึง่เมือ่ทําครบ

ทกุตําแหน่งจะได ้

nn

n

n

b

b

b

10000

00

0010

0001

2

1

และคําตอบของสมการก็คอื

nnn

n

n

bx

bx

bx

22

11

4) ระเบยีบวธิกีารทาํเมตรกิซผ์กผนั

Inversion of a Matrix

การหาเมตรกิซผ์กผัน (Matrix Inverse) ชว่ยในการ

ตรวจสอบวา่ระบบสมการทีต่อ้งการหาคําตอบนัน้อยูใ่น

สภาวะ Ill-Conditioned หรอืไม ่

การตรวจสอบจะสงัเกตจากการนําเมตรกิซผ์กผันที่

คํานวณได ้คณูกลับเขา้ไปกบัเมตรกิซเ์ดมิแลว้ดวูา่

ผลลพัธท์ีไ่ดม้คีา่ใกลเ้คยีงกบัเมตรกิซเ์อกลกัษณ์

หรอืไม ่ถา้มคีวามแตกตา่งกนัมากแสดงวา่ระบบ

สมการนัน้อยูใ่นสภาวะ Ill-Conditioned น่ันเอง

การหาเมตรกิซผ์กผัน สามารถทําไดโ้ดยใชว้ธิขีอง

Gauss-Jordan Elimination และใชร้ว่มกบั

ความสมัพันธข์องเมตรกิซท์ีว่า่

nxn1

nxnnxn IAA

เมือ่ nxnA คอื เมตรกิซจั์ตรัุสขนาด n x n

1nxnA คอื เมตรกิซผ์กผันของ A ขนาด n x n

nxnI คอื เมตรกิซเ์อกลกัษณ์ขนาด n x n

พจิารณาจากสมการตอ่ไปนี ้

1nx1nxnxn YXA (1)

เมือ่ใชว้ธิ ีGauss-Jordan Elimination จะได ้

1nx1nxnxn YXI (2)

หรอื 1nx1nx YX

เนือ่งจากคณุสมบัตขิองเมตรกิซเ์อกลักษณ์คอื คณู

กบัเมตรกิซใ์ดจะไดเ้มตรกิซนั์น้

เมือ่พจิารณาจากสมการ (1) และ (2) จะเห็นไดว้า่

เมตรกิซ ์ nxnA เปลีย่นเป็นเมตรกิซ ์ nxnI แสดงวา่ตอ้งมี

เมตรกิซใ์ด ๆ เขา้มาคณูจงึทําใหเ้มตรกิซ ์ nxnA

เปลีย่นแปลงคา่ไป

สมมตใิหเ้มตรกิซท์ีเ่ขา้มาคณูในสมการ (1) คอื

เมตรกิซ ์ nxnG ดงันัน้สามารถเขยีนสมการ (2) ใหมไ่ดว้า่

1nxnxn1nxnxnnxn YGXAG (3)

เมือ่สมการ (2) และ (3) มคีา่เทา่กนัจงึสรปุไดว้า่

nxnnxnnxn IAG (4)

หรอื 1nxnnxn AG (5)

จากสมการ (4) และ (5) จะเห็นไดว้า่ ทางดา้น

ซา้ยมอืของสมการเมตรกิซ ์ nxnA จะถกูเปลีย่นเป็น

เมตรกิซ ์ nxnI สว่นดา้นขวามอืของสมการจะเปลีย่นจาก

เมตรกิซ ์ nxnI เป็น 1nxnA แทน ซึง่เรานํามาประยกุตใ์ช ้

ในการหาเมตรกิซผ์กผันไดด้งันี ้

เริม่จากนําเมตรกิซท์ีต่อ้งการหามาเขยีนใหมใ่หเ้ป็น

100aaa

010aaa001aaa

n,n2,n1,n

n,22,21,2

n,12,11,1

จากนัน้ใชว้ธิ ี Gauss-Jordan เพือ่ใหเ้มตรกิซ ์ nxnA

กลายเป็นเมตรกิซ ์ nxnI

n,n2,n1,n

n,22,21,2

n,12,11,1

aaa100

aaa010aaa001

ผลทีไ่ดค้อืทางดา้นขวาจะกลายเป็นเมตรกิซ์ 1nxnA แทน

5) ระเบยีบวธิกีารแยกแบบแอลย ู

LU Decomposition method

เป็นระเบยีบวธิกีารทีทํ่าการจัดรปูระบบสมการใหม้คีา่

สปส. ในแถบลา่งซา้ยของเมทรกิซเ์ป็นศนูย ์เพือ่ให ้

หาผลลัพธไ์ดโ้ดยงา่ย

วธิกีารแยก LU (แบบ Doolittle)

เป็นการแบง่เมตรกิซ ์ ออกเป็น 2 เมตรกิซค์ณู

กนั ซึง่มลีกัษณะดงันี ้

เชน่ เมตรกิซ ์ มขีนาด 3x3 สามารถเขยีนอยา่ง

ละเอยีดไดด้งันี ้

33

2322

131211

3231

21

333231

232221

131211

00

0

1

01

001

u

uu

uuu

ll

l

aaa

aaa

aaa

(Lower triangular matrix) เป็นเมทรกิซท์ีม่คีา่ สปส. ตลอดแถบบนขวาเป็นศนูย ์ (Upper triangular matrix) เป็นเมทรกิซท์ีม่คีา่ สปส. ตลอดแถบลา่งซา้ยเป็นศนูย ์

หลกัการ

จากระบบสมการเขยีนในรปูเมทรกิซไ์ดว้า่

BXA

เมือ่แยก ULA จงึเขยีนใหมไ่ดเ้ป็น

BXUL

กําหนดให ้ YXU จะไดว้า่

BYL

เนือ่งจาก L เป็น Lower triangular matrix การหา

Y จงึทําไดจ้ากการแทนคา่แบบไปขา้งหนา้

ในกรณีของเมตรกิซข์นาด 3x3 จะเป็นดงันี ้

3

2

1

3

2

1

3231

21

1

01

001

b

b

b

y

y

y

ll

l

ดงันัน้คา่ y ใด ๆ หาไดจ้าก

23213133

12122

11

ylylby

ylby

by

จากนัน้จงึหาคา่ X ดว้ยการแทนคา่ยอ้นกลบัจาก

สมการ

YXU

3

2

1

3

2

1

33

2322

131211

00

0

y

y

y

x

x

x

u

uu

uuu

ดงันัน้คา่ x ใด ๆ หาไดจ้าก

11

21231331

22

32322

33

33

uxuxuy

x

uxuy

x

uy

x

การหาคา่ในเมทรกิซ ์ L และ U

33

2322

131211

3231

21

333231

232221

131211

00

0

1

01

001

u

uu

uuu

ll

l

aaa

aaa

aaa

เริม่จากการหาคา่ในเมตรกิซ ์ U ในแถวที ่1 จะได ้

jj au 11 เมือ่ j=1 to n

จากนัน้สลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์ L หลักที ่1 จะได ้

11

11 u

al ii เมือ่ i=2 to n

กลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์ U แถวที ่2 ตอ่

jjj ulau 12122 เมือ่ j=2 to n

สลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์ L หลักที ่2 จะได ้

22

12122 u

ulal iii

เมือ่ i=3 to n

สว่นคา่ในเมตรกิซ ์ U แถวที ่m หาไดด้งันี ้

1

1

m

kkjmkmjmj ulau เมือ่ j=m to n

สว่นคา่ในเมตรกิซ ์ L หลักที ่m หาไดด้งันี ้

mm

m

kkmikim

im u

ulal

1

1 เมือ่ i=m+1 to n

ลกัษณะการแยกระบบสมการออกเป็น LU นี ้นยิมใช ้

กนัมากในกรณีที ่คา่คงทีท่างดา้นขวาของสมการมกีาร

เปลีย่นแปลง แตค่า่คงทีใ่นเมตรกิซ ์[A] ยังคงเดมิ

เมือ่ทําการหาคําตอบของสมการใหมอ่กีครัง้จงึงา่ยที่

ใชก้ารแทนคา่ไปขา้งหนา้และยอ้ยกลบัเทา่นัน้ ไม่

จําเป็นตอ้งมาแยกเมตรกิซ ์[A] ออกเป็นเมตรกิซ ์[L]

และ [U] อกี

คําสัง่สําหรับการแยกเมทรกิซแ์บบแอลย ู

คําสัง่ lu

มโีครงสรา้งดงันี ้

[L,U] = lu(A)

โดย L แทนตัวแปรทีใ่ชเ้กบ็คา่ในเมทรกิซ ์[L]

U แทนตัวแปรทีใ่ชเ้กบ็คา่ในเมทรกิซ ์[U]

A แทนตัวแปรทีใ่ชเ้กบ็เมทรกิซส์ปส. [A] ที ่

ตอ้งการแยกออกเป็นเมทรกิซย์อ่ย

4) ระเบยีบวธิกีารทาํเมตรกิซผ์กผนั

Inversion of a Matrix

การหาเมตรกิซผ์กผัน (Matrix Inverse) ชว่ยในการ

ตรวจสอบวา่ระบบสมการทีต่อ้งการหาคําตอบนัน้อยู่

ในสภาวะ Ill-Conditioned หรอืไม ่

การตรวจสอบจะสงัเกตจากการนําเมตรกิซผ์กผันที่

คํานวณได ้คณูกลบัเขา้ไปกบัเมตรกิซเ์ดมิแลว้ดวูา่

ผลลพัธท์ีไ่ดม้คีา่ใกลเ้คยีงกบัเมตรกิซเ์อกลกัษณ์

หรอืไม ่ถา้มคีวามแตกตา่งกนัมากแสดงวา่ระบบ

สมการนัน้อยูใ่นสภาวะ Ill-Conditioned น่ันเอง

การหาเมตรกิซผ์กผัน สามารถทําไดโ้ดยใชว้ธิขีอง

Gauss-Jordan Elimination และใชร้ว่มกบั

ความสมัพันธข์องเมตรกิซท์ีว่า่

[ ] [ ] [ ]nxn1

nxnnxn IAA =−

เมือ่ [ ]nxnA คอื เมตรกิซจั์ตรัุสขนาด n x n

[ ] 1nxnA − คอื เมตรกิซผ์กผันของ [ ]A ขนาด n x n

[ ]nxnI คอื เมตรกิซเ์อกลกัษณ์ขนาด n x n

พจิารณาจากสมการตอ่ไปนี ้

[ ] { } { } 1nx1nxnxn YXA = (1)

เมือ่ใชว้ธิ ีGauss-Jordan Elimination จะได ้

[ ] { } { } 1nx1nxnxn YXI = (2)

หรอื { } { } 1nx1nx YX =

เนือ่งจากคณุสมบตัขิองเมตรกิซเ์อกลกัษณ์คอื คณู

กบัเมตรกิซใ์ดจะไดเ้มตรกิซนั์น้

เมือ่พจิารณาจากสมการ (1) และ (2) จะเห็นไดว้า่

เมตรกิซ ์[ ]nxnA เปลีย่นเป็นเมตรกิซ ์ [ ]nxnI แสดงวา่ตอ้ง

มเีมตรกิซใ์ด ๆ เขา้มาคณูจงึทําใหเ้มตรกิซ ์[ ]nxnA

เปลีย่นแปลงคา่ไป

สมมตใิหเ้มตรกิซท์ีเ่ขา้มาคณูในสมการ (1) คอื

เมตรกิซ ์[ ]nxnG ดงันัน้สามารถเขยีนสมการ (2) ใหมไ่ด ้

วา่

[ ] [ ] { } [ ] { } 1nxnxn1nxnxnnxn YGXAG = (3)

เมือ่สมการ (2) และ (3) มคีา่เทา่กนัจงึสรปุไดว้า่

[ ] [ ] [ ]nxnnxnnxn IAG = (4)

หรอื [ ] [ ] 1nxnnxn AG −= (5)

จากสมการ (4) และ (5) จะเห็นไดว้า่ ทางดา้น

ซา้ยมอืของสมการเมตรกิซ ์[ ]nxnA จะถกูเปลีย่นเป็น

เมตรกิซ ์[ ]nxnI สว่นดา้นขวามอืของสมการจะเปลีย่น

จากเมตรกิซ ์[ ]nxnI เป็น [ ] 1nxnA − แทน ซึง่เรานํามา

ประยกุตใ์ชใ้นการหาเมตรกิซผ์กผันไดด้งันี ้

เริม่จากนําเมตรกิซท์ีต่อ้งการหามาเขยีนใหมใ่หเ้ป็น

100aaa

010aaa001aaa

n,n2,n1,n

n,22,21,2

n,12,11,1

จากนัน้ใชว้ธิ ี Gauss-Jordan เพือ่ใหเ้มตรกิซ ์ [ ]nxnA

กลายเป็นเมตรกิซ ์[ ]nxnI

n,n2,n1,n

n,22,21,2

n,12,11,1

aaa100

aaa010aaa001

ผลทีไ่ดค้อืทางดา้นขวาจะกลายเป็นเมตรกิซ[์ ] 1nxnA − แทน

5) ระเบยีบวธิกีารแยกแบบแอลย ู

LU Decomposition method

วธิกีารแยกแบบ LU จะทําการแบง่เมตรกิซ ์ [ ]nxnA

ออกเป็น 2 เมตรกิซค์ณูกนั ซึง่มลีกัษณะดงันี ้

[ ] [ ] [ ]nxnnxnnxn ULA =

ตวัอยา่งเชน่ เมตรกิซ ์ [A] มขีนาด 3x3 สามารถเขยีน

อยา่งละเอยีดไดด้งันี ้

=

3,3

3,22,2

3,12,11,1

2,31,3

1,2

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

u00uu0uuu

1ll01l001

aaaaaaaaa

การหาคา่ในเมตรกิซ ์[L] และ [U] สามารถทําไดโ้ดย

เริม่จากการหาคา่ในเมตรกิซ ์[U] แถวที ่1 จะได ้

j,1j,1 au = เมือ่ j=1 to n

จากนัน้สลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์[L] หลกัที ่1 จะได ้

1,1

1,i1,i u

al = เมือ่ i=2 to n

กลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์[U] แถวที ่2 ตอ่

j,11,2j,2j,2 ulau −= เมือ่ j=2 to n

สลบัมาหาคา่ในเมตรกิซ ์[L] หลกัที ่2 จะได ้

2,2

2,11,i2,i2,i u

ulal

−= เมือ่ i=3 to n

สว่นคา่ในเมตรกิซ ์[U] แถวที ่m หาไดด้งันี ้

∑−=−

=

1m

1kj,kk,mj,mj,m ulau เมือ่ j=m to n

สว่นคา่ในเมตรกิซ ์[L] หลกัที ่m หาไดด้งันี ้

m,m

1m

1km,kk,im,i

m,i u

ulal

∑−=

−

= เมือ่ i=m+1 to n

จากระบบสมการเชงิเสน้เขยีนในรปูเมตรกิซไ์ดว้า่

[ ]{ } { }YXA =

เมือ่ [ ] [ ][ ]ULA = จงึเขยีนใหมไ่ดเ้ป็น

[ ][ ]{ } { }YXUL =

กําหนดให ้[ ]{ } { }ZXU = จะไดว้า่

[ ]{ } { }YZL =

ในกรณีของเมตรกิซข์นาด 3x3 จะไดว้า่

=

3

2

1

3

2

1

2,31,3

1,2

yyy

zzz

1ll01l001

เราสามารถหาคา่ z ใด ๆ ไดจ้ากการแทนคา่แบบไป

ขา้งหนา้คอื

22,311,333

11,222

11

zlzlyz

zlyzyz

−−=

−=

=

และจาก [ ]{ } { }ZXU = จะไดว้า่

=

3

2

1

3

2

1

3,3

3,22,2

3,12,11,1

zzz

xxx

u00uu0uuu

ดงันัน้คา่ x ใด ๆ หาไดจ้ากการแทนคา่แบบไปยอ้นกลบั

1,1

22,133,131

2,2

33,222

3,3

33

uxuxuz

x

uxuz

x

uzx

−−=

−=

=

ลกัษณะการแยกระบบสมการออกเป็น LU นี ้นยิมใชก้นั

มากในกรณีทีค่า่คงทีท่างดา้นขวาของสมการมกีาร

เปลีย่นแปลงไป ในขณะทีค่า่คงทีใ่นเมตรกิซ ์[A] นัน้ไม่

มกีารเปลีย่นแปลง เมือ่ทําการหาคําตอบของสมการ

ใหมอ่กีครัง้จงึงา่ยทีใ่ชก้ารแทนคา่ไปขา้งหนา้และยอ้ย

กลบัเทา่นัน้ ไมจํ่าเป็นตอ้งมาแยกเมตรกิซ ์[A] ออกเป็น

เมตรกิซ ์[L] และ [U] อกี

linear equation

Documents