analyse mathématique - enssea · le second chapitre explique les techniques et les méthodes...

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ET DE LA

TECHNOLOGIE

École nationale supérieure de statistique et de l’économie appliquéesDépartement tronc commun

Polycopié du cours

Analyse mathématique

Destiné aux étudiants de 2ème année classes préparatoires

aux grandes écoles de commerce et de gestion

Auteur :Dr.ESSERHANE Wassila

Année universitaire : 2018/2019

AVANT PROPOS

Ce polycopié est conçu selon le programme officiel du module d’analyse mathéma-tique 3 et d’analyse mathématiques 4 destinés principalement pour les étudiants desclasses préparatoires aux grandes écoles des sciences économiques, commerciales et lessciences de gestion.

Prenant en considération, que le module d’analyse mathématique est un outil majeurpour des modules enseignés en deuxième année 1ier cycle, tels le calcul des probabilités etla microéconomie, j’ai donné beaucoup d’importance aux techniques qu’à la théorie, sanspour autant négliger les notions de bases tels les définitions, propriétés et théorèmesfondamentaux, en renforçant à chaque fois l’explication, par des exemples illustratifs etméthodes pratiques.

Ce polycopier comprend cinq chapitres, le premier concerne les intégrales impropresqui sont une notion générale ou complémentaire de l’intégrale définie vue en 1iere année,le second chapitre explique les techniques et les méthodes d’étude des séries numé-riques réelles. Les chapitres trois et quatre, traitent toutes les notions élémentaires surles fonctions à deux variables, tels le calcul de limites, la continuité, le calcul diffé-rentiel et le calcul intégral. Le chapitre cinq comportes les méthodes de résolution deséquations différentielles ordinaires, tout particulièrement les équations différentielleslinéaires d’ordre un et deux.

Très prochainement, un recueil d’exercices sur les notions de bases de ces chapitres.

i

TABLE DES MATIÈRES

1 Intégrales impropres 11.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Propriétés des intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Procédé de calcul des intégrales impropres : . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Critères de convergence des intégrales impropres : . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Critères de convergence pour les fonctions positives : . . . . . . . . 81.2.2 Exemples de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Critères de convergence pour les fonctions de signe quelconque . . 14

1.3 Application des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Fonction Gamma et la fonction Béta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Séries numériques 192.1 Généralités sur les séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Définition et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Condition nécessaire et suffisante de convergence d’une série . . . 232.1.4 Séries particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Critère d’équivalence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Séries de Riemann et la règle nαun : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Critères de Cauchy et de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.5 Critère de Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.6 Intégrales impropres et séries numériques : . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Séries absolument convergentes et séries alternées . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ii

TABLE DES MATIÈRES

2.3.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3 Critère d’Abel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Fonctions à deux variables 433.1 Généralités sur les fonctions à plusieurs Variables . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1 Domaine de définition, image et graphe d’une fonction réelles àplusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2 Les courbes de niveau ou lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Fonctions vectorielles à plusieurs variables : . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Topologie de Rn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.1 Norme et distance sur Rn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.2 Partie ouverte et partie fermée de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Limite et continuité des fonctions à plusieurs variables . . . . . . . . . . . 563.4 Suite dans Rn et limité d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Limite en un point X0 ∈ Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2 Limite d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.3 Continuité en un point X0 ∈ Rn et continuité sur un ouvert U ⊂ Rn 64

3.5 Dérivées partielles et différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 Dérivées partielles d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.3 Différentiabilité et différentielle total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Formule de Taylor pour les fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . 773.7 Calcul d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.7.2 Calcul d’extremum locals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.7.3 Recherche d’extrema globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.8 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.9 Fonctions homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.10 Application économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.10.1 Fonction d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.10.2 Fonction de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Calcul intégrale double 964.1 Notion d’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1.1 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2 Calcul intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.1 Calcul intégrale sur un rectangle [a, b]× [c, d] . . . . . . . . . . . . . 984.2.2 Calcul intégrale sur un domaine régulier : . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.3 Calcul Intégrale sur un domaine quelconque . . . . . . . . . . . . . . 101

iii

TABLE DES MATIÈRES

4.3 Calcul intégrale par changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.1 Changement de variables cartésienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.2 Utilisation des coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Équations différentielles ordinaires 1075.1 Équations différentielles ordinaires d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1.1 Équations différentielles ordinaires à variables séparables . . . . . . 1085.1.2 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.1.3 Équations différentielles ordinaires linéaires d’ordre un . . . . . . . 1095.1.4 EDO de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.5 EDO de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2 EDO linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

iv

CHAPITRE 1

INTÉGRALES IMPROPRES

Introduction

On a vu en première année, qu’étant donnée une fonction f continue sur un inter-valle fermé borné [a, b] avec −∞ < a < b < +∞, il existait une fonction F dite primitivede f telle que :

F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b] et∫ba

f(t)dt = F(b) − F(a).

ce qui représente l’aire délimité par le graphe de la fonction f sur [a, b]

y=f(x)

x

y

•a

•f(a)

•b

•f(b)

F 1.1 – Interprétation géométrique de l’intégrale∫baf(x)dx

Dans ce chapitre, on s’intéresse au calcul de l’intégrale d’une fonction définie surdes intervalles non fermés (c.à.d des intervalles de la forme ]a, b[, [a, b[, ]a, b] où a,et b sont des réels tels que −∞ < a < b < +∞) comme par exemple pour la fonctiont 7→ 1√

tqui est définie sur l’intervalle ]0, 1] ; ainsi que, pour une fonction définie sur

des intervalles non bornés ( i.e. des intervalles de la forme : [a,+∞[, ] −∞, a] oumême ] −∞,+∞[). Ces intégrales sont appelées intégrales impropres ou intégralesgénéralisées.

1

Chapitre 1. Intégrales impropres

1.1 Définitions et propriétés

Tout au long de ce chapitre, I désignera un intervalle de R sous l’une des formessuivantes :

]a, b], [a, b[, ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞.Définition 1.1.1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que la fonction f est locale-ment intégrable sur I si :

∀α ∈ I, ∀β ∈ I,∫βα

f(t)dt est bien définie.

Exemples 1.1.1.

À Pour tout −∞ ≤ a < b ≤ +∞ les fonctions continues sur l’intervalle [a, b[ (resp.]a, b[ et ]a, b]) sont continues sur tout intervalle [α,β] ⊂ [a, b[ (respectivement [α,β] ⊂]a, b[ et [α,β] ⊂]a, b] ) et par conséquent f est localement intégrable sur [a, b[ (resp.]a, b[ et ]a, b]).

Á La fonction f : t ∈ [1,+∞[ 7→ 1test localement intégrable sur [1,+∞[.

Â La fonction f : t ∈ R+ 7→ e−t est localement intégrable sur [0,+∞[.

Définition 1.1.2

¶ Soit f une fonction localement intégrable sur [a, b[ avec −∞ < a < b ≤ +∞.On dit que f est intégrable sur [a, b[ ou que l’intégrale de f sur [a, b[

converge si :

limx→b∫ xa

f(t)dt existe et elle est finie, et on écrit∫ba

f(t)dt = limx→b∫ xa

f(t)dt.

· Soit f une fonction localement intégrable sur ]a, b] avec −∞ ≤ a < b < +∞.On dit que f est intégrable sur ]a, b] ou que l’intégrale de f sur ]a, b]

converge si :

limx→a∫bx

f(t)dt existe et elle est finie, et on écrit∫ba

f(t)dt = limx→a∫bx

f(t)dt.

¸ Soit f une fonction localement intégrable sur ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤+∞. On dit que f est intégrable sur ]a, b[ ou que l’intégrale de f sur]a, b[ converge si les deux intégrales impropres

∫caf(t)dt et

∫bcf(t)dt sont

2


convergentes et dans ce cas, on a :∫ba

f(t)dt =

∫ ca

f(t)dt+

∫bc

f(t)dt.

Remarque 1.

• L’intégrale généralisée, est considéré comme limite d’une intégrale définie.

y = 1x

x

y

•a

•b

x = r

• r

r → 0 y = 1x

x

y

•a

•R

x = R

R → +∞

F 1.2 – Interprétation géométrique de l’intégrale généralisée∫b0

1xdx et

∫+∞a

1xdx

• Dans la troisième définition ci-dessus, l’intégrale∫baf(t)dt s’il existe est indépen-

dant du choix de la constante c. En effet, soient c, c ′ ∈]a, b[ tels que : c ′ > c (lecas c ′ < c se traite de la même manière), la fonction f étant localement intégrablesur ]a, b[ alors

∫c ′cf(t)dt est bien définie et par la relation de Chasles on a :∫ x

c

f(t)dt =

∫ c ′c

f(t)dt+

∫ xc ′f(t)dt.

d’oùlimx→b∫ xc

f(t)dt =

∫ c ′c

f(t)dt+ limx→b∫ xc ′f(t)dt.

ainsi limx→b∫xcf(t)dt existe et elle est finie si et seulement si lim

x→b∫xc ′f(t)dt existe et

elle est finie. De la même manière on montre que : limx→a∫cxf(t)dt existe et elle est

finie si et seulement si limx→a∫c ′xf(t)dt existe et elle est finie.

Exemples 1.1.2.

À La fonction f : t 7→ e−t est intégrable sur [0,+∞[. En effet on a par définition :∫+∞0

e−t dt = limR→+∞

∫R0e−t dt = lim

R→+∞(− e−t

∣∣R0

)= lim

R→+∞(1− e−R

)= 1 < +∞

d’où on dit que la fonction t 7→ e−t est intégrable sur et on écrit :∫+∞0 e−t dt = 1.

3


Á La fonction f : t 7→ 1√1−t est intégrable sur [0, 1[∫ 1

0

dt√1− t

= limx→1

∫ x0

dt√1− t

= limx→1

(−2√

(1− t)∣∣∣x0

)= lim

x→1

(2− 2

√1− x

)= 2 < +∞

Â La fonction f : t 7→ 1tn’est pas intégrable sur [−1,+1], car étant définie sur

[−1, 1] − {0} elle présente un singularité en t0 = 0, donc pour connaître la naturede cette intégrale on étudie les deux intégrales :

∫10+

dttet∫0−−1

dttet qui par définition

sont divergente :∫0−−1

dt

t= lim

r→0−

∫ r−1

dt

t= lim

r→0−

(ln |t||

r−1)

= limr→0−

(ln |r|− ln |− 1|) = limr→0−

(ln |r|) = −∞d’où t 7→ 1

tn’est pas intégrable sur [−1,0]

Ã La fonction f : t 7→ sin t n’est pas intégrable sur [0,+∞[. En effet : La fonctiont 7→ sin(t) est continue sur [0,+∞[ donc localement intégrable sur [0,+∞[. D’où :∫+∞

0sin(t)dt = lim

R→+∞∫R0sin(t)dt

= limR→+∞

(− cos(t)|R0

)= lim

R→+∞(1− cos(R)|R0

)= qui n’existe pas car : lim

R→+∞ cos(R) = @

Remarque 2.

¶ Il est inexacte d’écrire∫+∞−∞ f(t)dt = lim

R→+∞∫R−Rf(t)dt car si tel était le cas, l’intégrale

généralisée d’une fonction f impaire continue sur R serai convergente puisque

∀R > 0∫R−R

f(t)dt = 0⇒ ∫+∞−∞ f(t)dt = 0.

Or si on prend l’exemple suivant :

Exemple 1.1.1. La fonction f(t) = sin t est une fonction continue impaire surR mais les intégrales impropres

∫+∞0 f(t)dt,

∫0−∞ f(t)dt sont divergentes donc∫+∞

−∞ sin tdt diverge.

· Avant de calculer l’intégrale d’une fonction sur un intervalle donné il faut s’assurerque la fonction considérée est intégrable sur ledit intervalle.

Exemple 1.1.2. La fonction f(t) = 1tn’est pas définie sur [−1, 1] en entier elle

présente une singularité en x = 0

4


¸ Soit f une fonction définie sur l’intervalle ]a, b[ privé d’un nombre finis de valeursnotées {ck, k = 1, · · · , n} avec c0 = a < c1 < · · · < cn < cn+1 = b, et tels que fsoit continue sur ]ck, ck+1[ pour tout k = 0, · · ·n. On dit que f admet une intégralegénéralisée sur ]a, b[ si ∀k = 0, · · ·n les intégrales

∫ck+1ck

f(t)dt sont convergentes,et on écrit dans ce cas : ∫b

a

f(t)dt =

n∑k=0

∫ ck+1

ck

f(t)dt.

1.1.1 Condition nécessaire de convergence

Proposition 1.1

Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[ (resp. sur ]−∞, a]). Si f admetune limite non nulle en +∞(resp. −∞) alors l’intégrale

∫+∞af(t)dt (resp.

∫a−∞ f(t)dt )

diverge.

Exemple 1.1.3. L’intégrale∫+∞0 cos tdt n’est pas convergente car lim

t→+∞ cos t = @ 6= 0

La proposition 1.1 indique que si f est une fonction localement intégrable sur [a,+∞[

admettant une limite en +∞ alors pour que l’intégrale généralisée∫+∞af(t)dt converge,

il est nécessaire que limt→+∞ f(t) = 0. La condition n’est bien entendu pas suffisante comme

le prouve l’exemple suivant :

Exemple 1.1.4. L’intégrale∫+∞1

dttdiverge bien que lim

t→+∞ 1t= 0.

Attention, cette condition nécessaire de convergence n’est valable qu’au voisinagede ∞.

1.1.2 Propriétés des intégrales impropres

Soient a, b deux réels tels que −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f, g deux fonctions définieset localement intégrables (en particulier continues) sur ]a, b](resp. sur [a,b[), λ, µ ∈ R.

Linéarité : Si les intégrales généralisées∫baf(t)dt et

∫bag(t)dt convergent alors :∫b

a

(λf(t) + µg(t))dt

converge et on a ∫ba

(λf(t) + µg(t))dt = λ

∫ba

f(t)dt+ µ

∫ba

g(t)dt

5


Positivité : Si f(t) ≤ g(t) ∀t ∈ I et les intégrales généralisées∫baf(t)dt et

∫bag(t)dt

convergent alors : ∫ba

f(t)dt ≤∫ba

g(t)dt.

Relation de Chasles : Pour tout c ∈ I, les intégrales généralisées :∫baf(t)dt et

∫caf(t)dt

(resp.∫baf(t)dt et

∫bcf(t)dt ) sont de même nature, et on a dans le cas de conver-

gence : ∫ba

f(t)dt =

∫ ca

f(t)dt+

∫bc

f(t)dt.

1.1.3 Procédé de calcul des intégrales impropres :

Les propriétés fondamentales de calcul intégrale (changement de variables, intégra-tion par partie) s’étendent au cas des intégrales impropres, Comme sera énoncé dansles deux propositions suivantes :Proposition 1.2 (Changement de variables)

Soient ((a, α), (b, β)) ∈ (R ∪ {−∞})2×(R ∪ {+∞})2, ϕ une fonction bijective de ]a, b[

dans ]α,β[ et de classe C1(]a, b[). f une fonction continue sur ]α,β[.

L’intégrale généralisée∫βαf(t)dt converge si et seulement si

∫baf (ϕ(x))ϕ ′(x)dx

est convergente et dans ce cas on a :∫βα

f(t)dt =

∫ba

f (ϕ(x))ϕ ′(x)dx.

Exemples 1.1.3.

À Par le changement de variable u =√t− 1 l’intégrale

∫21

dt√t− 1

est de même nature

que∫10 2du, qui est convergente et on a :

∫ 21

dt√t− 1

=

∫ 102du = 2u|10 = 2.

Á Par le changement de variable u =√t− 1 l’intégrale généralisée

∫21

tdt√t−1 est de

même nature que l’intégrale∫10(2+2u2)du, qui est l’intégrale d’une fonction conti-

nue sur un bornée donc convergente, et par conséquent on a :∫ 21

tdt√t− 1

=

∫ 10(2+ 2u2)du = 2u+

23u3∣∣∣∣10=

83

6


Â Par le changement de variable u = t4 + 1 l’intégrale∫+∞0

t3dtt4+1 est de même nature

que l’intégrale∫+∞1

duu, qui est divergente car :

limR→+∞

∫R1

du

u= +∞

donc∫+∞0

t3dtt4+1 diverge.

Ã Par le changement de variable u =√et−1 l’intégrale

∫+∞ln 2

dt√et −1 est de même nature

que l’intégrale∫+∞1

2du1+u2 , qui est convergente, en effet :∫+∞

ln 2

dt√et−1

=

∫+∞1

2du1+ u2 = lim

R→+∞(2 arctan(t)|R0

)= π

Ä Par le changement de variable u = 1 + t2, l’intégrale∫+∞0

tdt3√

(1+t2)2est de même

nature que l’intégrale∫+∞1

d

2 3√u2

qui est divergente car :

12

∫+∞1

du

2 3√u2

= limR→+∞

(32

3√u

∣∣∣∣R1

)= +∞.

Proposition 1.3 (Intégration par partie)

Soient (a, b) ∈ (R ∪ {−∞}) × (R ∪ {+∞}), f, g deux fonctions de classe C1(]a, b[)

telles que :limt→a+ f(t)g(t) et lim

t→b− f(t)g(t) existent.

Alors, les deux intégrales impropres∫baf ′(t)g(t)dt et

∫baf(t)g ′(t)dt sont de même

nature et on a dans le cas de convergence :∫ba

f ′(t)g(t)dt =

(limt→b− f(t)g(t) − lim

t→a+ f(t)g(t))−

∫ba

f(t)g ′(t)dt.

Exemple 1.1.5.

À∫10 t ln(t)dt est de même nature que l’intégrale

∫10(1/2)tdt, qui est convergente et

on a :∫ 10t ln(t)dt =

[limt→1

((1/2)t2 ln(t)) − limt→0

((1/2)t2 ln(t))]−

∫ 10(1/2)tdt = 1

4.

Á∫10 ln(t)dt est de même nature que

∫10 1dt qui est convergente et on a :∫ 1

0ln(t)dt =

[limt→1t ln t− lim

t→0+t ln(t)

]−

∫ 10dt = 1

Â∫+∞0 t e−2t dt est de même nature que

∫+∞0 (−1/2) e−2t dt, et on a :∫+∞

0t e−2t dt =

[limt→+∞(

−12) e−2t− lim

t→0(−12)t e−2t

]+

12

∫+∞0

e−2t dt =14.

7


1.2 Critères de convergence des intégrales impropres :

Il arrive parfois qu’on ne puisse pas calculer la primitive d’une fonction avec lestechniques habituelles comme c’est le cas de

∫e−t2 dt et par conséquent on ne peut pas

utiliser la définition pour connaître la nature de l’intégrale généralisée. Dans ces cas ona recours à des critères qui nous permettent d’en déduire la nature sans calcul.

On commencera par citer les critères concernant les fonctions à valeurs positives,puis celles qui change de signe. Bien entendu, les critères de convergence pour lesfonctions positives sont aussi valables pour les fonctions négatives, il suffit juste de lesappliquer à −f.

1.2.1 Critères de convergence pour les fonctions positives :

Le théorème suivant donne le principe de base de tous les critères de convergence.Dans tous ce qui suit on considérera des fonctions positives continues sur [a, b[

avec −∞ < a < b ≤ +∞ ( respectivement sur ]a, b] avec −∞ ≤ a < b < +∞.)Théorème 1.4 (Principe de comparaison)

Soient f et g deux fonctions localement intégrables sur [a, b[, telles que :

0 ≤ f(t) ≤ g(t) ∀t ∈ [a, b[ (respectivement. ∀t ∈]a, b]).

• Si∫bag(t)dt converge alors

∫baf(t)dt converge ;

• Si∫baf(t)dt diverge alors

∫bag(t)dt diverge

Exemples 1.2.1.

À L’intégrale∫+∞1 e−t2 dt est convergente car :

• Comme t− t2 = t(1− t) ≤ 0 ∀t ≥ 1 et t 7→ et est croissante sur [1,+∞[ alors :

e−t2 ≤ e−t pout tout t ≥ 1

• l’intégrale∫+∞1 e−t dt est convergente car :∫+∞

1e−t dt = lim

R→+∞(− e−t

∣∣R1

)= e−1 <∞

Á∫ π

20

1sin(t)dt est divergente car :

• En utilisant le théorème des accroissement finis vu en 1ère année, on montrefacilement que :

∀t ∈]0, π2] 0 < sin t ≤ t⇒ 1

sin t≥ 1t> 0;

8


• L’intégrale∫π/20

dttest divergente

Â∫+∞1

sin2 t

t2est convergente car :

• Comme | sin t| ≤ 1 pour tout t ∈ R alors

∀t ≥ 1 0 ≤ sin2t

t2≤ 1t2;

• L’intégrale∫+∞1

dt


∫+∞1

dt

t2= lim

R→+∞(−1t

∣∣∣∣R1

)= 1.

Proposition 1.5 (Critère d’équivalence)

Soient f et g deux fonctions localement intégrables (en particulier continues) sur[a, b[ (respectivement sur ]a, b] ) à valeurs positives et telles que :

limt→b

f(t)

g(t)= l (respectivement lim

t→af(t)

g(t)= l)

¶ Si l 6= 0 alors∫baf(t)dt et

∫bag(t)dt sont de même nature.

· Si l = 0 et∫bag(t)dt est convergente alors,

∫baf(t)dt est convergente.

Remarque 3.

¶ Si f et g sont équivalentes au voisinage de b (c.à.d. limt→b f(t)g(t)

= 1) alors ,d’après la

Proposition1.5, les∫baf(t)dt et

∫bag(t)dt sont de même nature.

· En prenant la contraposé de la 2ème assertion de la Proposition1.5 on obtient :

• Si l = 0, alors la divergence de∫baf(t)dt implique la divergence de

∫bag(t)dt;

• Si l = +∞, alors la divergence de∫bag(t)dt implique la divergence de

∫baf(t)dt.

Exemple 1.2.1.

À∫+∞1

dt

1+ t2est de même nature que

∫+∞1

dt

t2car :

• Comme la limite : limt→+∞ t2

1+t2 = 1⇒ 11+t2 ∼

+∞ 1t2;

• Et l’intégrale∫+∞1

dt


∫+∞1

dt

t2= lim

R→+∞(−1t

∣∣∣∣R1

)= 1

9


Par le critère d’équivalence (Proposition1.5, on en déduit que l’intégrale∫+∞1

dt

1+ t2dt

est convergente.

Á∫+∞1

ln(t)1+ t2

est convergente car :

limt→+∞ t3/2

ln(t)1+ t2

= 0;

et comme ∫+∞1

dt√t3

= limR→+∞

(−2√t

∣∣∣∣R1

)= 2 <∞.

alors par le critère d’équivalence∫+∞1

ln(t)1+ t2

converge.

Â∫+∞1

1tsin( 1t

)dt est de même nature que

∫+∞1

dt

t2car :

• La fonction t 7→ 1tsin( 1t

)est continue positive sur [1,+∞[ car ;

t ≥ 1⇒ 0 < 1t≤ 1 < π

2⇒ sin

(1t

)> 0

• En calculant le développement limité à l’ordre 2 de la fonction t 7→ 1tsin( 1t

)au voisinage de « +∞ »on a :

1tsin(1t

)=

1t2

+ o

(1t2

)⇒ 1tsin(1t

)∼+∞

1t2

• Et l’intégrale∫+∞1

dt


∫+∞1

dt

t2= lim

R→+∞(−1t

∣∣∣∣R1

)= 1 < +∞

Ã∫ 1

20

1t(ln(t))2dt est divergente car :

• La fonction t 7→ 1t(ln(t))2 est continue positive sur ]0, 12 ] ;

• En calculant la limite :

limt→0+

1t(ln(t))2

1t3

= limt→0+

t

ln(t)

2

= +∞• Et l’intégrale

∫ 120dtt3

est divergente car :

∫ 12

0

dt

t3= lim

r→0+

(−12t2

∣∣∣∣ 12r

)= +∞

10


1.2.2 Exemples de références

Les exemples qui suivent sont très importants car il permettent, par comparaison,d’établir des règles de convergence pour les intégrales généralisées. Dans cette sectionα et β désignent deux réels.Proposition 1.6 (Intégrales généralisées de Riemann)

Une intégrale de Riemann est une intégrale qui s’écrit sous la forme :∫a0

dt

tαou

∫+∞a

dt

tα.

avec a > 0 et α ∈ R.

¶ ∫ 10

dt

tαconverge si α < 1

diverge si α ≥ 1.

· ∫+∞1

dt

tαconverge si α > 1

diverge si α ≤ 1.

Preuve :

1. Pour L’intégrale∫a0dttα

on a :∫a0

dt

tα= lim

r→0+

∫ar

dt

tα

et comme :

∫ 1r

dt

tα=

ln(t)|1r si α = 1

11−α

(1

tα−1

∣∣1r

)si α 6= 1

=

ln(a) − ln(r) si α = 1

11−α

( 1aα−1 −

1rα−1

)si α 6= 1

d’où au passage à la limite on obtient :

∫ 10

dt

tα=

+∞ si α ≥ 1

11−α .

1aα−1 si α < 1

d’où∫10dttα

converge si et seulement si α < 1.

11


2. Pour L’intégrale∫+∞1

dttα

on a :

∫+∞a

dt

tα= lim

R→+∞∫Ra

dt

tαet∫Ra

dt

tα=

ln(R) − ln(a) si α = 1

11−α

( 1Rα−1 −

1aα−1

)si α 6= 1

d’où au passage à la limite on obtient :

∫+∞a

dt

tα= lim

R→+∞∫Ra

dt

tα=

+∞ si α ≤ 1;

−11−α si α > 1.

d’où∫+∞a

dttα

converge si et seulement si α > 1.

Proposition 1.7 (Intégrales généralisées de Bertrand)

Une Intégrale de Bertrand est une intégrale de la forme :

∫+∞a

dt

tβ (ln(t))αavec a > 1 ou

∫a0

dt

tβ |ln(t)|αavec a < 1.

¶ Pour a ∈]1,+∞[ fixé, l’intégrale généralisée :

∫+∞a

dt

tβ (ln(t))αconverge si et seulement si

β > 1 et α ∈ R

ou

β = 1 et α > 1

· Pour a ∈]0, 1[ fixé, l’intégrale généralisée :

∫a0

dt

tβ |ln(t)|αconverge si et seulement si

β < 1 et α ∈ R

ou

β = 1 et α > 1

Preuve :

L’intégrale généralisée∫+∞a

dttβ(ln(t))α : On considère Trois cas de figures β = 1, β < 1

et β > 1.

12


Pour β = 1. En utilisant le changement de variable u = ln(t) et en vertu de laproposition 1.2, on en déduit que l’intégrale

∫+∞a

dttβ(ln(t))α et

∫+∞ln(a)

duuα

sont demême nature. L’intégrale

∫+∞ln(a)

duuα

est une intégrale généralisée de Riemann quiconverge si et seulement si α > 1, donc

∫+∞a

dttβ(ln(t))α converge si et seulement

si α > 1.

Pour β > 1. On a :

limt→+∞

tβ+12

tβ(ln t)α= 0

et∫+∞a

dt

tβ+12

est une intégrale de Riemann qui converge (car β+12 > 1) alors

d’après le critère d’équivalence ( Proposition 1.5),∫+∞a

dttβ(ln t)α converge pour

tout β > 1 et α ∈ R.

Pour β < 1. On a :

limt→+∞

tβ+12

tβ(ln t)α= +∞

et∫+∞a

dt

tβ+12

est une intégrale de Riemann qui diverge (car β+12 < 1) alors


dttβ(ln t)α diverge pour

tout β < 1 et α ∈ R.

L’intégrale généralisée∫a0

dttβ|ln(t)|α : On considère trois cas de figures β = 1, β < 1 et

β > 1.

Pour β = 1. En utilisant le changement de variable u = − ln(t) et en vertu de laproposition 1.2, on en déduit que l’intégrale

∫a0

dttβ(ln(t))α et

∫+∞− ln(a)

duuα

sont demême nature. L’intégrale

∫+∞− ln(a)

duuα

est une intégrale généralisée de Riemannqui converge si et seulement si α > 1, donc

∫a0

dttβ|ln(t)|α converge si et seulement

si α > 1.

Pour β > 1. On a :

limt→0

tβ+12

tβ(ln t)α= +∞

et∫+∞a

dt

tβ+12

est une intégrale de Riemann qui diverge (car β+12 > 1) alors


dttβ|ln t|α diverge pour tout

β > 1 et α ∈ R.

Pour β < 1. On a :

limt→0

tβ+12

tβ(ln t)α= 0

et∫a0

dt

tβ+12

est une intégrale de Riemann convergente (car β+12 < 1) alors d’après

le critère d’équivalence ( Proposition 1.5),∫a0

dttβ|ln t|α converge pour tout β < 1

et α ∈ R.

13


1.2.3 Critères de convergence pour les fonctions de signe quel-conque

Critère de Convergence absolue

Définition 1.2.1

Si f est une fonction localement intégrable sur [a, b[ (respectivement sur ]a, b], ]a, b[ ).On dit que

∫baf(t)dt est absolument convergente sur [a, b](respectivement sur

]a, b], ]a, b[ ) si l’intégrale généralisée∫ba|f(t)|dt converge.

Proposition 1.8

Toute intégrale généralisée absolument convergente est convergente.

Exemples 1.2.2.

À∫+∞1

sin t1+t2dt converge car elle converge absolument, en effet∣∣∣∣ sin t1+ t2

∣∣∣∣ ≤ 1t2

car | sin t| ≤ 1 et 1+ t2 ≥ t2 ∀t ≥ 1

Comme l’intégrale de Riemann∫+∞1

11+t2dt est convergente (car α = 2 > 1) alors,

par le critère de comparaison, l’intégrale∫+∞1

sin tt2dt est absolument convergente et

en vertu du critère de convergence absolue (Proposition 1.8) l’intégrale∫+∞1

sin t1+t2dt

converge.

Á L’intégrale∫10

sin( 1t)√t

est absolument convergente et par conséquent convergente ; Eneffet : ∣∣∣∣sin(1

t

)∣∣∣∣ ≤ 1 ∀t ∈]0, 1[;

donc :

∣∣∣∣∣sin( 1t

)√t

∣∣∣∣∣ ≤ 1√t∀t ∈]0, 1[;

L’intégrale∫10

1√tdt est une intégrale de Riemann convergente alors

∫10

∣∣∣∣ sin( 1t)√t

∣∣∣∣dtest convergente.

Â L’intégrale∫+∞π2

sin ttdt n’est pas absolument convergente car comme |sin(t)| ≤ 1

pour tout t ≥ π2 alors : ∣∣∣∣sin tt

∣∣∣∣ ≥ sin2 t

t=

1− cos(2t)2t

.

14


car En utilisant la Proposition1.3 on a :

On pose :

u(t) = 1

t

v ′(t) = 1−cos(2t)2

⇒u(t) = 1

t

v(t) = 2t−sin(2t)4

u(π/2)v(π/2) = 1/2 <∞ et limt→+∞u(t)v(t) = 1/2.

alors l’intégrale∫+∞π2

1−cos(2t)2t est de même nature que l’intégrale

∫+∞π2

2t−sin(2t)4t2 qui est

une intégrale divergente car∫+∞π/2

dttdiverge.

Critère d’Abel

Proposition 1.9

Soient f, g deux fonctions localement intégrables sur [a,+∞[ avec a ∈ R. Si les deuxconditions suivantes sont satisfaites :

i) f positive, décroissante sur [a,+∞[ et limt→+∞ f(t) = 0;

ii) Il existe M > 0 tel que :

∀x ∈ [a,+∞[,

∣∣∣∣∫ xa

g(t)dt

∣∣∣∣ ≤MAlors, l’intégrale généralisée

∫+∞af(t)g(t)dt converge.

Exemple 1.2.2.

À∫+∞1

sin t√tdt converge d’après le critère d’Abel, pour cela il suffit de prendre f(t) = 1√

t

qui est une fonction localement intégrable positive décroissante sur [1,+∞[ etg(t) = sin t qui vérifie pour tout x ∈ [1,+∞[ :∣∣∣∣∫ x

1sin tdt

∣∣∣∣ ≤ 2.

Á∫+∞1

sin t√t3dt converge d’après le critère d’Abel, pour cela il suffit de prendre f(t) = 1√

t3

qui est une fonction localement intégrable positive décroissante sur [1,+∞[ etg(t) = sin t qui vérifie pour tout x ∈ [1,+∞[ :∣∣∣∣∫ x

1sin tdt

∣∣∣∣ ≤ 2

Â∫+∞1

cos t sin3 tt3

dt converge d’après le critère d’Abel, pour cela il suffit de prendref(t) = 1

t3qui est une fonction localement intégrable positive décroissante sur

[1,+∞[ et g(t) = cos t sin3 t qui vérifie pour tout x ∈ [1,+∞[ :∣∣∣∣∫ x1cos t sin3 tdt

∣∣∣∣ ≤ 12

15


1.3 Application des intégrales généralisées

1.3.1 Fonction Gamma et la fonction Béta

La fonction Gamma Γ

Théorème 1.10 (Fonction Gamma Γ)

On appelle fonction Gamma notée Γ l’application :

Γ : ]0,+∞[→ R (1.1)

x 7→ Γ(x) =

∫+∞0

tx−1 e−t dt

De plus, elle vérifie les propriétés suivantes :

¶ Γ(x+ 1) = xΓ(x) en particulier Γ(2) = 1.Γ(1) =∫+∞0 e−t dt = 1;

· ∀x > 0, Γ(x+ n+ 1) = x(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n)Γ(x);

¸ ∀n > 0, Γ(n+ 1) = n!;

¹ Γ(1/2) =√π;

Preuve :

La fonction Γ est bien définie pour cela il suffit de montrer que les intégrales géné-ralisées

∫10 tx−1 e−t dt et

∫+∞1 tx−1 e−t dt sont convergente :

L’intégrale∫10 tx−1 e−t dt est converge pour tout x > 0, du moment que d’une

part tx−1 e−t ∼0tx−1 ce qui implique que

∫10 tx−1 e−t dt et

∫10 tx−1dt sont de même

nature , d’autre part∫10 tx−1dt est une intégrale de Riemann qui converge si

et seulement si 1− x < 1 ce qui est la même chose que x > 0.

L’intégrale∫+∞1 tx−1 e−t dt converge pour tout x > 0 du moment que d’une part

limt→+∞ t2tx−1 = 0 pour tout x > 0, et

∫+∞1

dtt2

est une intégrale de Riemann

convergente (car 2>1) ce qui implique que∫+∞1 tx−1 e−t dt pour tout x > 0.

Pour tout x > 0, Γ(x+ 1) = xΓ(x) : Soit x > 0 et intégrant par partie l’intégrale Γ(x +

16


1) :

Γ(x+ 1) =∫+∞0

tx e−t dt

On pose :

u(t) = tx

v ′(t) = e−t⇒u ′(t) = xtx−1

v(t) = − e−t

Γ(x+ 1) = −tx e−t∣∣+∞0 +

∫+∞0

xtx−1 e−t dt

= xΓ(x) car : limt→+∞ tx e−t = lim

t→0tx e−t = 0 ∀x > 0.

en vertu de cette propriété on a :

Γ(2) = Γ(1+ 1) = Γ(1) =∫+∞0

e−t dt = − e−t∣∣+∞0 = 1

Pour tout n ≥ 0, x > 0 Γ(x+ n+ 1) = x(x+ 1) · · · (x+ n)Γ(x) : On le démontre par ré-currence à n, soit x > 0 fixe

• Pour n = 0 et en vertu de la propriété 1 de la fonction Gamma on a Γ(x+1) =xΓ(x).

• On suppose que l’hypothèse est vraie jusqu’à l’ordre n et on la démontre pour(n+ 1) :

Γ(x+ (n+ 1) + 1) = Γ((x+ n+ 1) + 1) = (x+ n+ 1)Γ(x+ n+ 1)

= (x+ n+ 1)(x+ n) · · · (x+ 1)xΓ(x).

Pour tout n > 0, Γ(n+ 1) = n! : En le démontre par récurrence :

• Pour n = 1 et en vertu de la propriété 1 de la fonction Gamma on a Γ(1+ 1) =1Γ(1) = 1.

• On suppose que l’hypothèse est vraie jusqu’à l’ordre n et on la démontre pour(n+ 1) :

Γ((n+ 1) + 1) = (n+ 1)Γ(n+ 1) = (n+ 1)n! = (n+ 1)!.

Γ(1/2) =√π : On pose u =

√t et donc u = t2, du = 2tdt.

Γ(1/2) =∫+∞0

√t e−t dt = 2

∫+∞0

e−u2 du = 2√π

2=√π.

17


La fonction Béta β

Théorème 1.11 (Fonction Béta β)

Soient p, q ∈ R∗+

β(p, q) =

∫ 10up−1(1− u)q−1du (1.2)

De plus elle vérifie les propriétés suivantes :

¶ ∀p, q ∈ R∗+, β(p, q) = β(q, p);

· ∀p, q ∈ R∗+, β(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

;

¸ ∀p, q ∈ R∗+, β(p, q) =∫

up−1

(1+u)p+qdu;

¹ ∀p /∈ Z, β(p, 1− p) = Γ(p)Γ(1− p) =π

sin(πx);

Preuve :

La fonction β est bien définie : pour cela, il suffit que la fonction u 7→ up−1(1− u)q−1

soit intégrable sur [0, 1] pour tout p, q > 0.

Au voisinage de « 0 » :

up−1(1− u)q−1 ∼0up−1

et ∫ 12

0up−1du =

∫ 12

0

du

u1−p converge si et s.si p > 0

d’où∫ 1

20 u

p−1(1− u)q−1du converge si et seulement si p > 0

Au voisinage de 1 : par le changement de variable x = 1−u l’intégrale∫1

12up−1(1−

u)q−1du est de même nature que∫ 1

20 x

q−1(1− x)p−1dx qui converge si et seule-ment si q > 0 d’après le premier cas.

β(p, q) = β(q, p) : en effet par le changement de variable x = 1− u on a :

β(p, q) =

∫ 112

up−1(1− u)q−1du =

∫ 12

0xq−1(1− x)p−1dx = β(q, p).

β(p, q) =

18

CHAPITRE 2

SÉRIES NUMÉRIQUES

La théorie des séries a pour but de donner si possible un sens à la somme d’uneinfinité de nombres. Nous abordons dans ce chapitre la notion de convergence et dedivergence d’une série infinie en donnant des règles et des critères permettant d’établirla convergence et la divergence pour différent type de séries.

Pour des raisons de simplicité, on considérera dans ce chapitre uniquement les sériesnumériques réelles.

2.1 Généralités sur les séries numériques

2.1.1 Définition et propriétés :

Soit (un)n une suite de nombres réels, et considérons la suite (Sn)n définie par :

Pour tout n ∈ N : Sn = u0 + u1 + · · ·+ un =

k=n∑k=0

uk.

S0 = u0;

S1 = u0 + u1;

...

Sn = u0 + u1 + · · ·+ un.

Définition 2.1.1

¶ On appelle série de terme général (un)n, qu’on note∑un, le couple (un, Sn)

· Pour chaque n ∈ N, Sn est dite somme partielle d’ordre n de la série

19

Chapitre 2. Séries numériques

∑un.

¸ On dit que la série∑un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n

converge. Dans le cas contraire, on dira que la série∑un diverge.

¹ La somme S ou+∞∑n=0un d’une série convergente est la limite de la suite des

sommes partielles

S =

+∞∑n=0

un = limn→+∞Sn

Exemples 2.1.1.

À Si un = 1, pour n ≥ 0, la série∑un diverge car :

Sn = u0 + · · ·+ un = 1+ · · ·+ 1︸︷︷︸(n+1) fois

= n+ 1⇒ limn→+∞Sn = +∞

d’où la suite (Sn)n diverge.

Á La suite un = (−1)n pour n ≥ 1, la série∑un diverge également, puisque :

Sn = (−1)1 + · · ·+ (−1)n︸︷︷︸n termes

=

(−1) si n est impair

0 si n est pair⇒S2n+1 = (−1) ∀n ≥ 0

S2n = 0 ∀n ≥ 1

Donc la suite (Sn)n diverge car limn→+∞S2n = 0 6= lim

n→+∞S2n+1 = −1.

Â Si un = (1/2)n pour n ≥ 0, la série∑un converge car :

Sn = 1+ 12+

14+ · · ·+ 1

2n︸︷︷︸(n+1) termes

=

(12

)0(1− ( 12)

n+1

1− 12

)

= 2(1− (

12)n+1

)⇒ limn→+∞Sn = 2

et on a+∞∑n=0

12n = 2.

Ã La série ∑n≥1

1n2 + n

(2.1)

20


est convergente car :

Sn =

k=n∑k=1

1k(k+ 1)

=

k=n∑k=1

(1k−

1k+ 1

)

=

(1−

��12

)+

(��12−��13

)+ · · ·+

(��1

n− 1−��1n

)+

+

(��1n−

1n+ 1

).

= 1− 1n+ 1

d’où limn→+∞Sn = 1

par conséquent la série∑ 1

k(k+1) converge et on a+∞∑n=1

1n(n+1) = 1.

Ä La série dite série harmonique ∑ 1n

(2.2)

est divergente car sinon la suite des sommes partielles Sn convergerai vers unelimite l, de même pour sa sous suite S2n = 1

2 +14 + · · · + 1

2n . Or, le passage à lalimite dans l’inégalité suivante donne :

S2n − Sn =1

n+ 1+

1n+ 2

+ · · ·+ 12n︸︷︷︸

n termes

≥ n(

12n

)=

12⇒ 0 = lim

n→+∞ (S2n − Sn) ≥12

d’où la contradiction.

Nous allons maintenant examiner deux propriétés générales sur les séries :

Propriétés 1.

¶ Si les séries de terme général (un) et (vn) sont convergentes alors la série de termegénéral (λun + νvn) (avec λ, ν des constantes réelles) converge et on a :

+∞∑n=0

(λun + νvn) = λ

+∞∑n=0

un + ν

+∞∑n=0

un.

· Si l’une des séries de terme général (un) ou (vn) diverge alors la série de termegénéral (λun + νvn) (avec λ, ν des constantes réelles) diverge.

¸ On ne change pas la nature d’une série∑un en modifiant (enlever ou ajouter) un

ensemble fini de termes de la suite un.

Exemples 2.1.2.

À∑n≥1

( 4n2+n

− 62n)est une série convergente car c’est une combinaison de deux séries

convergentes∑n≥1

1n2+n

et∑n≥1

12n , de plus on a :

+∞∑n=1

( 4n2+n

− 62n)= −2.

21


Á∑ ( 1

2n − 1n

)diverge car c’est la somme de deux séries dont l’une

∑ 1nest divergente.

ATTENTION !Pour la somme de deux séries divergentes, il n y a pas de résultat général.

Exemple 2.1.1. La série∑ 5n+3n

2n =∑ (5

2

)n+∑ (3

2

)n est une somme de deux sériedivergentes et elle est divergente car : si on calcule les termes de la suites dessommes partielles Sn on aura :

Sn =

n∑k=0

5k + 3n

2k=

n∑k=0

5k

2k+

n∑k=0

3k

2k

=−23

(1−

(52

)n+1)

− 2

(1−

(32

)n+1)

=−83

+23

(52

)n+1

+ 2(32

)n+1n→+∞−−−−→ +∞

Tandis que la série∑ 1

n(n+1) s’écrit comme la somme des deux séries∑ 1

net∑

−1n+1

qui sont divergentes (voir la série (2.2), page21)bien que la série∑ 1

n(n+1) soit conver-gente (voir la série (2.1)page 20).

Reste d’une série convergente

Définition 2.1.2

Le reste d’ordre n d’une série convergente∑n

un noté Rn est définie par :

Rn =

+∞∑k=n+1

uk.

Si S et Sn désignent respectivement la somme et la somme partielle d’ordre n de lasérie

∑un alors :

Rn = S− Sn.

Proposition 2.1

La suite des restes (Rn)n d’une série convergente tends vers 0

Preuve :En effet d’après la définition précédente Rn = S − Sn, et comme la série converge alorslimn→+∞Sn = S d’où lim

n→+∞Rn = S− limn→+∞Sn = 0

22


2.1.2 Condition nécessaire de convergence

Proposition 2.2

Si la série de terme général un est convergente alors limn→+∞un = 0

Preuve :On pose pour n ≥ 1 : Sn =

n∑k=0uk alors un = Sn − Sn−1. Comme la série

∑un converge

alors limn→+∞Sn converge et on a lim

n→+∞Sn = limn→+∞Sn−1 = S existe et elle est finie, par suite

limn→+∞un = lim

n→+∞Sn − limn→+∞Sn−1 = S− S = 0.

Remarque 4. La Proposition 2.2 est utile pour montrer qu’une série diverge, car si leterme général ne tends pas vers 0 alors cette série diverge.

Exemples 2.1.3.

1. La série∑ (3

2

)n diverge car limn→+∞

(32

)n= +∞ 6= 0;

2. La série∑

sin(n) diverge car limn→+∞ sin(n) = @;

3. La série∑ (3n+2

2n+1

)diverge car lim

n→+∞(3n+22n+1

)= 3

2 6= 0.

ATTENTION !La réciproque de la Proposition 2.2 est fausse, comme le montre l’exemple suivant :

Exemple 2.1.2. La série∑

ln(n+2n+1

)est divergente bien que la lim ln

(n+2n+1

)= 0. En

effet :

ln(n+ 2n+ 1

)= ln(n+ 2) − ln(n+ 1)⇒ Sn =

k=n∑k=0

[ln(k+ 2k+ 1

)]

Sn =

k=n∑k=0

[ln(k+ 2) − ln(k+ 1)]

= (��ln(2) − ln(1)) + (��

�ln(3) −��ln(2)) +��· · ·+

+ (��ln(n+ 1) −��

�ln(n)) + (ln(n+ 2) −��ln(n+ 1))

= − ln(1) + ln(n+ 2) n→+∞−−−−→ +∞2.1.3 Condition nécessaire et suffisante de convergence d’une sé-

rie

Le résultat suivant permet de déterminer la nature d’une série sans en connaître sasomme

23


Théorème 2.3 (Condition de Cauchy de convergence)

Une série numérique∑un converge si et seulement si elle satisfait au critère de

Cauchy :

∀ε > 0, ∃n0 ≥ 0, ∀n ∈ N, ∀p ∈ N∗, n ≥ n0 ⇒∣∣∣∣∣k=n+p∑k=n+1

uk

∣∣∣∣∣ < ε (2.3)

ou que la suite des sommes partielle (Sn)n est de Cauchy

∀ε > 0, ∃n0 ≥ 0, ∀n ∈ N, ∀p ∈ N∗, n ≥ n0 ⇒ |Sn+p − Sn| =

∣∣∣∣∣k=n+p∑k=n+1

uk

∣∣∣∣∣ < ε (2.4)

Preuve :Par définition une série

∑un converge si et seulement si la suite des sommes partielles

(Sn)n converge et d’après le théorème de Cauchy vu en 1ère année la suite (Sn)n convergesi et seulement si elle est de Cauchy, c.à.d la suite (Sn)n vérifie :

∀ε > 0, ∃n0 ≥ 0, ∀n ∈ N, ∀p ∈ N∗, n ≥ n0 ⇒ |Sn+p − Sn| < ε

ce qui donne par définition de (Sn)n :

∀ε > 0, ∃n0 ≥ 0, ∀n ∈ N, ∀p ∈ N∗, n ≥ n0 ⇒∣∣∣∣∣k=n+p∑k=n+1

uk

∣∣∣∣∣ < εExemples 2.1.4.

À La série∑ 1

nn’est pas de Cauchy car pour ε = 1/2 et pour tout n ∈ N on a :

S2n − Sn =

2n∑k=1

1k−

n∑k=1

1k=

2n∑k=n+1

1k≥ n

2n=

12.

Á La série∑ 1

n2 est de Cauchy car Pour ε > 0 et n ∈ N, p ∈ N∗ on a :

|Sn+p − Sn| =

∣∣∣∣∣n+p∑k=1

1k2

−

n∑k=1

1k2

∣∣∣∣∣ =n+p∑k=n+1

1k2≤ p+ 1

(n+ 1)2.

d’où pour que :

|Sn+p − Sn| < ε

il suffit quep+ 1

(n+ 1)2< ε⇒ (n+ 1)2 > p√

ε>

1ε

d’où il suffit de prendre n0 =[

1√ε− 1].

24


2.1.4 Séries particulières

Nous étudierons dans cette section les séries dont les sommes partielles ont uneexpression particulièrement simple.

Séries géométriques

Définition 2.1.3

On appelle série géométrique de raison q ∈ R∗, toute série de la forme∑n

λqn où λ ∈ R∗

Exemples 2.1.5.

À La série∑n

2(−3)n est une série géométrique de raison (−1/3);

Á La série∑n

(45

)n est une série géométrique de raison 4/5.

Proposition 2.4

¶ Les sommes partielles de la série géométrique∑n

λqn, sont égales à :

Sn =

n∑k=0

λqk =

λ(

1−qn+1

1−q

)si q 6= 1,

λ(n+ 1) si q = 1.

· Une série géométrique de raison q ∈ R∗ converge si et seulement si |q| < 1.

¸ Pour |q| < 1, on a

S =

+∞∑0

λqn =λ

1− q

Rn =

+∞∑n+1

λqn =λqn+1

1− q

25


Preuve :Soit

∑n

λqn une série géométrique alors :

Sn =

n∑k=0

λqk = λ

n∑k=0

qk =

λ(

1−(q)n+1

1−q

)si q 6= 1,

λ(n+ 1) si q = 1.

Pour q = 1

Sn = λ

n∑k=0

1 = λ(n+ 1)⇒ limn→+∞Sn = λ.∞

d’où la série∑n

λqn diverge pour q = 1.

Pour q = −1 on a :

Sn = λ

k=n∑k=0

(−1)k = λ

(−1)0 + (−1)1 + · · ·+ (−1)n−1 + (−1)n︸︷︷︸(n+1)termes

=

λ n pair

0 n impair

D’où la suite (Sn) est divergente car on peut extraire deux sous suites S2n quiconverge vers λ et une autre sous suite (S2n+1) qui tend vers 0 avec λ 6= 0.

Pour q > 0

Sn = λ

(1− qn+1

1− q

)

⇒ limn→+∞Sn =

λ

1−q si 0 < q < 1

λ.∞ si q > 1

Pour q < 0 on pose p = −q > 0

Sn = λ

(1− (−1)n+1pn+1

1− q

)

⇒ limn→+∞Sn =

λ

1−q si 0 < −q = p < 1

Pas de limite si − q = p > 1

ce qui revient à dire que la série converge si et seulement si −1 < q < 0.

Exemples 2.1.6.

26


À La série∑n≥0

17

(32

)n est une série géométrique de raison 32 > 1 alors c’est une série

divergente.

Á La série∑n≥0

(−15

)n est une série géométrique de raison∣∣−15

∣∣ < 1 alors c’est une sérieconvergente.

Séries à effet télescopique

Ce sont les séries dont le terme général s’écrit sous la forme

un = an+1 − an ou un = an − an+1

avec (an)n ⊂ R est une suite de nombres réels.Les sommes partielles valent :

Sn =

k=n∑k=0

uk =

k=n∑k=0

(ak+1 − ak) = an+1 − a0

ou

Sn =

k=n∑k=0

uk =

k=n∑k=0

(ak − ak+1) = a0 − an+1

Exemples 2.1.7.


1(n+1)(n+2) est une série à effet télescopique car pour tout n ∈ N on a

1(n+ 1)(n+ 2)

=1

n+ 1−

1n+ 2

donc

Sn =

n∑k=0

1(k+ 1)(k+ 2)

= 1− 1n+ 2

n→+∞−→ 1

d’où la série

∑ 1(n+ 1)(n+ 2)

converge et on a :+∞∑n=0

1(n+ 1)(n+ 2)

= 1


ln(1− 1

n2

)est une série à effet télescopique car pour tout n ∈ N on a

ln(1− 1

n2

)= ln

(n2 − 1n2

)= ln

[(n− 1n

)(n+ 1n

)]ln(1− 1

n2

)= ln

(n− 1n

)− ln

(n

n+ 1

)

27


donc

Sn =

n∑k=2

ln(1− 1

n2

)=

n∑k=2

[ln(k− 1k

)− ln

(k

k+ 1

)]⇒ Sn = ln( 1

2) − ln

(n

n+ 1

)= ln( 1

2) + ln

(1+ 1

n

)n→+∞−→ ln

(12

)d’où la série ∑

ln(1− 1

n2

)converge et on a :

+∞∑n=0

ln(1− 1

n2

)= − ln(2) ≈ −0.6931

2.2 Séries à termes positifs

Soit∑un une série à termes positifs ou nuls, c’est à dire pour tout n ≥ 0 on a

un ≥ 0.

La suite des sommes partielles Sn =k=n∑k=0uk de la série

∑un est croissante car

Sn+1 − Sn = un+1 ≥ 0, ainsi en appliquant le théorème de convergence des suites mono-tones (vu en 1ière année) on obtient le résultat de convergence pour les séries à termespositifs :Proposition 2.5

Soit la série∑un à termes positifs.

¶ La série à terme positifs∑un converge si et seulement si, la suite des sommes

partielles (Sn) est majorée et on a :

+∞∑n=0

un = limn→+∞Sn = sup

n≥0Sn.

· La série∑un diverge si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn)

est non majoré et on a : limn→+∞Sn = +∞.

Preuve :

¶ On sait que la convergence d’une série∑un est équivalente à la convergence de la

suite (Sn)n, on a vu que dans le cas des séries à termes positifs la suite des sommespartielles (Sn)n est croissante, donc, si de plus (Sn)n est majorée alors d’après unrésultat vu en 1ère année, la suite (Sn) converge et sa limite lim

n→+∞Sn = supn≥0

Sn.

28


· La suite (Sn)n étant croissante non majorée alors limn→+∞Sn = +∞

Remarque 5. Si les termes un d’une série sont négatifs, ou même si cela est vraique pour n assez grand, alors vous pourrez appliquer à la série

∑(−un) les méthodes

décrites dans cette section. En fin de compte, les séries que nous avons en vue sontcelles dont les termes sont de signe constant pour n assez grand.

2.2.1 Théorèmes de comparaison

Pour étudier les séries à termes positifs on utilise principalement le théorème sui-vant :Théorème 2.6

Soient∑un et

∑vn deux séries à termes positifs. On suppose qu’il existe un rang

n0 tel que :∀n ≥ n0 : un ≤ vn

• Si la série∑vn converge, alors la série

∑un converge

• Si la séries∑un diverge, alors la série

∑vn diverge

Preuve :Soient

∑un et

∑vn deux séries à termes positifs.

Comme on ne change pas la nature d’une série en supprimant ces premiers termes,il suffit de démontrer ces énoncés lorsque

∀n ≥ 0 : 0 ≤ un ≤ vn

Notons respectivement par : (Un)n et (Vn)n, les suites des sommes partielles des séries∑un et

∑vn

• Si on suppose que la série∑vn converge alors ceci équivaut à dire que la suite

des sommes partielles (Vn = v0 + v1 + · · · + vn)n est convergente, et si c’est le casla suite (Vn)n est bornée par un certain réel M > 0.

Vn = v0 + · · ·+ vn ≤M ∀n ≥ 0

mais comme pour tout n, un ≤ vn alors on en déduit que

Un = u0 + · · ·+ un ≤ v0 + · · ·+ vn ≤M ∀n ≥ 0

En fin, la suite des sommes partielles (Un)n étant croissante majorée, elle estconvergente.

29


• Réciproquement, on suppose, par l’absurde, que∑un diverge et que

∑vn converge

alors la suite des sommes partielles (Un)n n’est pas majorée tandis que (Vn)n estmajoré par un certain M > 0, or par l’inégalité un ≤ vn on a

(Un ≤ Vn ∀n ≥ 0) =⇒ (Un ≤ Vn ≤M ∀n ≥ 0) .

ce qui est contradictoire

Exemples 2.2.1.

À La série∑ 1

3n+1 est convergente car en utilisant le critère de comparaison (Tho-rème 2.6) et l’inégalité suivante :

∀n ≥ 0, 3n + 1 ≥ 3n > 0⇒ 13n + 1

≤ 13n.

où∑ ( 1

3

)n est une série géométrique de raison 13 < 1, donc elle converge.

Á La série∑ 1n2 est convergente car pour tout n ≥ 2 on a 0 ≤

1n2 ≤

1n(n− 1)

et la

série∑ 1n(n− 1)

est une série télescopique convergente.

Â La série∑ 1

n!est convergente car en utilisant le critère de comparaison et l’inéga-

lité suivante :

∀n ≥ 1 : n! ≥ 2n−1 ⇒ 0 < 1n!≤ 1

2n−1 ∀n ≥ 1.

où∑ 1

2n−1 est une série géométrique de raison (1/2) < 1, donc elle convergente.

Ã La série∑nn diverge car en utilisant le critère de comparaison l’inégalité sui-

vante :nn ≥ 2n ∀n ≥ 3.

la série∑

2n est une série géométrique de raison 2 divergente (car 2 > 1).

Ä La série∑ 1√

nest divergente car ∀n ≥ 1 on a

1√n≥

1n> 0 et la série

harmonique∑ 1

nest divergente.

2.2.2 Critère d’équivalence :

Il n’est pas toujours facile ou même possible de comparer directement deux séries.Ainsi, on peut s’attendre que la série

∑ 12n−5 converge parce qu’elle ressemble beaucoup

à la série géométrique convergente∑ 1

2n . Or pour n ≥ 3 on a : 0 ≤ 12n <

12n−5 , ce qui

signifie qu’on ne peut pas utiliser le Théorème 2.6. Dans de tels cas le critère suivantest très utile :

30


Théorème 2.7 (Critère d’équivalence)

Soient∑un et

∑vn deux séries à termes positifs . On pose :

l = limn→+∞

un

vn

• Si l ∈ R∗ alors les deux séries∑un et

∑vn sont de même nature.

• Si l = 0 et la série∑vn converge alors la série

∑un converge,

• Si l = +∞ et la série∑vn diverge alors la série

∑un diverge,

Exemples 2.2.2.

À La série∑ 1

2n−5 est convergente car :

limn→+∞

12n−5

12n

= limn→+∞

2n

2n − 5= 1 6= 0

cette limite étant finie non nulle alors d’après le Théorème 2.7 les séries∑ 1

2n−5

et∑ 1

2n sont de même nature. La série∑ 1

2n est une série géométrique de raison(1/2) < 1 convergente, donc la série

∑ 12n−5 est convergente.

Á la série∑ 1n2 est de même nature que la série

∑ 1n(n+ 1)

car

limn→+∞

1n2

1n(n+1)

= limn→+∞

n(n+ 1)n2 = 1

et la série∑ 1n(n+ 1)

est une série à effet télescopique convergente.

Â La série∑

n(n+2)2n est convergente car :

limn→+∞

(n

(n+2)2n

)12n

= 1 6= 0

alors les séries∑

n(n+2)2n et

∑ 12n sont de même nature, et comme

∑ 12n est une

série géométrique de raison 1/2 < 1 alors la série∑ 1

2n converge et par suite∑n

(n+2)2n est convergente.

Ã La série∑n≥1

ln(n)n3 est convergente car

limn→+∞

ln(n)n3

1n2

= limn→+∞

ln(n)n

= 0.

et la série∑ 1n2 est convergente.

31


Ä La série∑n≥2

13√n√

ln(n)est divergente car

limn→+∞

13√n√

ln(n)1n

= limn→+∞

3√n2√

ln(n)= +∞

et comme la série∑ 1

3√n2

diverge alors∑n≥2

13√n√

ln(n)diverge.

2.2.3 Séries de Riemann et la règle nαun :

Définition 2.2.1

On appelle série de Riemann toute série de la forme :∑ 1

nα, α ∈ R

Exemple 2.2.1. Les séries dont terme général est : 1n0.6 ,

1n3 ,

1n√

5 · · ·n7√2 sont des séries

de Riemann ce qui n’est pas le cas des séries dont le terme général est : 1nn, n

√n · · · .

Proposition 2.8

Considérons la série de Riemann∑ 1

nαavec α ∈ R, alors on a :

• Si α > 1, la série de Riemann∑ 1

nαconverge ;

• Si α ≤ 1, la série de Riemann∑ 1

nαdiverge.

Preuve :

¶ Pour α = 1 : La série∑ 1

nest divergente car : pour tout n > 0 on

limn→+∞

ln(1+ 1

n

)1n

= 1⇒ ln(1+ 1

n

)∼+∞

1n;

d’où la série∑

ln(1+ 1

n

)et∑ 1

nsont de même nature. Soit Sn la suite des sommes

partielles associé à la série∑

ln(1+ 1

n

).

Sn =

k=n∑k=1

ln(1+ 1

k

)=

k=n∑k=1

ln(1+ kk

)=

k=n∑k=1

(ln(1+ k) − ln(k))

Sn = ln(n+ 1)⇒ limn→+∞Sn = +∞

d’où série∑

ln(1+ 1

n

)diverge et par suite la série de Riemann

∑ 1ndiverge.

32


· Pour α < 1 : En utilisant le critère de comparaison (Théorème 2.7) et l’inégalité :

∀n > 0, ∀α < 1 :1n≤

1nα.

la série∑ 1

ndiverge alors la série

∑ 1nα

diverge.

¸ Pour α > 1, pour montrer que la série de Riemann∑ 1

nαconverge on procède

comme suit :

• Pour n > 0 et par le Théorème des accroissements finis appliqué à la fonctionx 7→ −1

xβavec β = α− 1 > 0 sur l’intervalle [n,n+ 1] on a :

1βnβ

−1

β(n+ 1)β≥ 1

(n+ 1)α∀n > 0;

• La série∑( 1

βnβ− 1

β(n+1)β

)est une série à effet télescopique qui converge :

Sn =

k=n∑k=1

1β

(1kβ

−1

(k+ 1)β

)=

1β

(11β

−1

(n+ 1)β

)n→+∞−−−−→ 1

β.

D’où, par le Théorème 2.7 la série∑ 1

(n+1)α converge, et comme on ne change pasla nature d’une série si on lui ajoute un nombre finie de termes alors la série∑n≥1

1nα

converge.

Exemples 2.2.3.

À Les séries de Riemann dont le terme général est : 1n0.6 , n

7√2 sont divergentes car0.6 < 1, (− 7

√2) < 0 < 1;

Á les séries de Reimann dont le terme général est 1n3 ,

1n√

5 sont convergentes car3 > 1,

√5 > 1.

Proposition 2.9 (La règle nαun.)

Soit∑un une série à termes positifs. On pose

l = limn→+∞ n

αun

¶ Si l ∈ R∗ alors les deux série∑un et

∑ 1nα

sont de même nature

· Si l = 0 et α > 1 alors la série∑un converge.

¸ Si l = +∞ et α = 1 alors la série∑un diverge.

33


Exemples 2.2.4.

À La série∑

n4n3−5 de même nature que la série de Riemann

∑ 1n2 car :

limn→+∞

(n

4n3−5

)1n2

= limn→+∞

n3

4n3 − 5=

146= 0

Et comme la série de Riemann∑ 1

n2 est convergente (α = 2 > 1) alors la série∑n

4n3−5 est convergente.

Á La série∑ 1√

n(n+1)est de même nature que la série de Riemann

∑ 1ncar :

limn→+∞

(1√

n(n+1)

)1n

= limn→+∞

n√n(n+ 1)

= 1 6= 0

Et comme la série de Riemann∑ 1

nest divergente (α = 1) alors la série

∑ 1√n(n+1)

est divergente.

Â La série∑(

e3n2 −1

)est de même nature que la série

∑ 1n2 car :

limn→+∞n2un = lim

n→+∞n2(e

3n2 −1

)= lim

n→+∞n2(1+ 3

n2 + o

(1n2

)− 1)

= 3 6= 0

et comme∑ 1

n2 converge alors∑(

e3n2 −1

)converge.

Ã La série∑ 1√

n ln(n) est divergente car :

limn→+∞nun = lim

n→+∞n√

n ln(n)= lim

n→+∞√n

ln(n)= +∞

Ä La série∑ 1√

n3√

ln(n)est convergent car :

limn→+∞n5/4un = lim

n→+∞n5/4 1√n3√

ln(n)= lim

n→+∞1

n32−

54√

ln(n)

= limn→+∞

1n

14√

ln(n)= 0

d’ou comme 5/4 > 1 alors la série∑ 1√

n3√

ln(n)converge.

Å La règle nαun n’est pas concluante pour la série∑ 1

n ln(n) car : pour α > 0

limn→+∞nαun = lim

n→+∞nα1

n ln(n)= lim

n→+∞nα−1

ln(n)

=

0 si α ≤ 1

+∞ si α > 1

donc on ne peut ni choisir α > 1 de sorte à avoir limn→+∞nαun = 0, ni choisir α = 1

de sorte à avoir limn→+∞nαun = +∞

34


2.2.4 Critères de Cauchy et de D’Alembert

Théorème 2.10 (Critère de Cauchy)

Soit∑un une série à termes positifs, telle que : lim

n→+∞ n√un = l, alors :

• Si l < 1, la série∑un est convergente ;

• Si l ≥ 1, la série∑un est divergente ;

• Si l = 1 on ne peut rien dire.

Exemples 2.2.5.

À La série∑

nn

2n2est convergente car d’après le critère de Cauchy :

limn→+∞ n

√nn

2n2 = limn→+∞

n

2n= 0 < 1.

Á la série∑ 1

(lnn)n est convergente car d’après le critère de Cauchy :

l = limn→+∞ n

√un = lim n

√1

(lnn)n= lim 1

lnn= 0 < 1.

Â La série∑ ( 2n+1

3n+5

)n est convergente car par le critère de Cauchy on a :

l = limn→+∞ n

√(2n+ 13n+ 5

)n= lim

n→+∞2n+ 13n+ 5

=23< 1

Ã La série∑ (5n+3

2n−1

)n est divergente car par le critère de Cauchy on a :

l = limn→+∞ n

√(5n+ 32n− 1

)n= lim

n→+∞5n+ 32n− 1

=52> 1

Ä Si on essaye de déterminer la nature de la série∑ (5n+3

5n−1

)n en utilisant le critèrede Cauchy on aura :

l = limn→+∞ n

√(5n+ 35n− 1

)n= lim

n→+∞5n+ 35n− 1

= 1

d’où le critère de Cauchy dans ce cas n’est pas concluant.

35


Théorème 2.11 (Critère de D’Alembert)

Soit∑un une série à termes positifs, telle que : lim

n→+∞ un+1un

= l, alors :

• Si l < 1, la série∑un est convergente ;

• Si l ≥ 1, la série∑un est divergente ;

• Si l = 1, on ne peut rien dire.

Exemples 2.2.6.

À La série∑ 2n

n!pour n ≥ 1 est convergente car d’après le critère de D’Alembert :

l = limn→+∞

un+1

un= lim

n→+∞2n+1

(n+1)!2nn!

= limn→+∞

n!2n+1

(n+ 1)!2n= 0 < 1.

Á La série nn

n!diverge car d’après le critère de D’Alembert on a :

l = limn→+∞

un+1

un= lim

n→+∞(n+1)n+1

(n+1)!nn

n!

= limn→+∞

n!(n+ 1)n+1

(n+ 1)!nn= lim

(1+ 1

n

)n= e > 1.

Â Si on essaye de déterminer la nature de la série∑ 1

2n−5 en utilisant le critère deD’Alembert on aura :

l = limn→+∞

un+1

un= lim

n→+∞1

2n−31

2n−5= lim

n→+∞2n− 52n− 3

= 1.

Le critère de D’Alembert n’est pas concluant.

2.2.5 Critère de Raabe-Duhamel

Proposition 2.12

Soit∑un une série à termes positifs. On pose qu’il existe α ∈ R tel que :

un+1

un= 1− α

n+ o

(1n

)ou lim

n→+∞n(1− un+1

un

)= α.

¶ Si α > 1, alors la série∑un converge

· Si α < 1, alors la série∑un diverge

¸ Si α = 1 , on ne peut rien dire

36


Exemples 2.2.7.

À Le critère de D’Alembert n’est pas concluant pour la série de terme général un = 1C2n

car :

limn→+∞

un+1

un= lim

n→+∞C2n

C2n+1

= limn→+∞

n− 1n+ 1

= 1.

Mais en applicant le critère de Raabe-Duhamel on a :

un+1

un=

1− 1n

1+ 1n

= 1− 2n+ o

(1n

).

d’où la série∑ 1

C2nconverge car α = 2 > 1.

Á La série∑n!(ne

)n est divergente car : si on pose un = n!(ne

)nun+1

un=

1e

(n+ 1n

)n= e−1 exp

(n ln

(1+ 1

n

))= e−1 exp

(n

(1n−

12n2 + o

(1

2n2

)))= e−1 exp

(1− 1

2n+ o

(1n

))= exp

(−

12n

+ o

(1n

))= 1− 1

2n+ o

(1n

)

d’où la série∑n!(ne

)n diverge car α = 12 < 1.

2.2.6 Intégrales impropres et séries numériques :

Théorème 2.13 (Comparaison Séries-Intégrale)

Soit f : [0,+∞[→ R une fonction positive localement intégrable décroissante. La

série∑n≥0

f(n) est de même nature que l’intégrale+∞∫0f(t)dt.

Exemple 2.2.2.


1n lnn est de même nature que l’intégrale généralisée

+∞∫1

dtt ln t


1n lnn ln(lnn) est de même nature que l’intégrale généralisée

+∞∫1

dtt ln t(ln(ln(t)))

37


2.3 Séries absolument convergentes et séries alternées

2.3.1 Séries absolument convergentes

Les critères rencontrés dans la section précédente s’appliquent uniquement pour lesséries à termes de sign constant, pour les séries dont le terme général change de signececi n’est pas possible, pour cela le critère de convergence absolue permet un passagequi nous autorise à les utiliser comme on le verra dans cette section.Définition 2.3.1

Un série∑un de terme général (un) est absolument convergente si la série∑

|un| de termes général (|un|) est convergente.

Exemples 2.3.1.

À Pour les séries à termes positifs, les notions de convergence et de convergenceabsolue sont les mêmes.

Á La série de terme générale∑ (−1)n

n2 est absolument convergente car on a∣∣∣ (−1)nn2

∣∣∣ = 1n2

et la série∑ 1

n2 est une série de Riemann avec α = 2 > 1 donc convergente.

Â la série∑ sinn

2n est une série absolument convergente car 0 ≤∣∣ sinn

2n∣∣ ≤ 1

2n , ainsila série

∑ ∣∣ sinn2n∣∣ est une série à termes positifs dominée par la série géométrique∑ 1

2n de raison 12 < 1 donc elle converge.

Ã La série∑ (−1)n

nn’est pas absolument convergente car

∣∣∣ (−1)nn

∣∣∣ = 1net la série

∑ 1n

est une série de Riemann divergente.

Théorème 2.14 (Critère de convergence absolue)

Une série∑un absolument convergente est convergente

Exemples 2.3.2.

À D’après ce qu’on a vu dans les Exemples 2.3.1, les séries∑ (−1)n

n2 ,∑ sinn

2n sontabsolument convergentes donc elle sont convergente en vertu du critère de laconvergence absolue.

Á La série∑ (−1)n

nn’est pas absolument convergente donc on ne peut rien dire de la

convergence de la série.

38


2.3.2 Séries alternées

Définition 2.3.2

Une série∑un est dite alternées si son terme général est de la forme :

un = (−1)n|un| ou un = (−1)n+1|un|

En général, le simple fait que limn→+∞un = 0 ne suffit pas pour établir la convergence de

la série∑un. Mais il se trouve que pour les série alternées ceci est possible si la valeur

absolue de ces termes décroît. Cette propriété est énoncée dans le théorème suivant :Théorème 2.15 (Critère de Leibniz)

Si an > 0, alors une série alternée∑

(−1)nan ou∑

(−1)n+1an converge si les deuxconditions suivantes sont remplies :

• limn→+∞an = 0,

• (an)n∈N est une suite strictement décroissante.

Exemples 2.3.3.

À La série∑ (−1)n

n, appelée série harmonique alternée, converge car, si on pose

an = 1non a

• (an) est décroissante 1n+1 <

1n

• limn→+∞an = 0.

Á La série∑k≥0

(−1)n+1kk2+1 est convergente d’après le critère de Leibniz

Remarque 6.

• Il faut s’avoir que les séries alternées sont des cas particulier des séries à termesde signe quelconque, donc le critère de convergence absolue s’applique aussi pources séries alternées.

• On a vu que si une série est absolument convergente, elles est forcément conver-gente, par conséquent l’étude d’une série de signe quelconque se ramène par lecritère de convergence absolue à l’étude d’une série à termes positifs pour laquelleles critères de comparaison, de D’Alembert et de Cauchy sont applicables.

39


Exemple 2.3.1. La série∑ (−1)n+1n2

en converge car en utilisant le critère de conver-gence absolue et celui de D’Alembert on aura pour |un| =

∣∣∣ (−1)n+1n2

en

∣∣∣ = n2

en > 0

limn→+∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1)2 enn2 en+1 =

1e< 1.

2.3.3 Critère d’Abel :

Théorème 2.16

Soit la série∑un telle que un = an.bn pour tout entier n ≥ 0. On suppose que :

¶ Les an sont réels strictement positifs,et la suite (an)n est décroissante et tendvers 0

· Les bn sont réels, et il existe une constante M > 0 telle que :

∀n ≥ 0 :

∣∣∣∣∣n∑k=0

bk

∣∣∣∣∣ ≤MAlors la série

∑un converge.

Exemples 2.3.4.

¶ La série∑

n≥0(−1)n√1+n est convergente d’après le critère d’Abel.

On pose pour n ≥ 0, an = 1√1+n et bn = (−1)n

• La suite (an) est décroissante et tend vers 0.

• Pour n ≥ 0 on a :

∣∣(−1)0 + (−1)2 + · · ·+ (−1)n∣∣ =0 n impair

1 n pair⇒ ∣∣∣∣∣

n∑k=0

bk

∣∣∣∣∣ ≤ 1.

· Soit an une suite à termes positifs, décroissante et tendant vers 0. Alors pour toutθ 6= 2kπ, les séries ∑

an cos (nθ) ,∑

an sin (nθ) .

40


sont convergente. En effet :

cos(nθ) = eniθ+ e−niθ2

= <(einθ)

sin(nθ) = eniθ− e−niθ2i

= =(einθ)

n∑k=0

eikθ = 1− ei(n+1)θ

1− eiθ =

(e(n+1)iθ2

eiθ2

)(e−

(n+1)iθ2 − e

i(n+1)θ2

e− iθ2 − e iθ2

)

= eniθ−2i sin

((n+1)θ

2

)−2i sin

(iθ2

) = eniθ

sin(

(n+1)θ2

)sin(iθ2

)

d’où∣∣∣∣∣n∑k=0

coskθ

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣cos

(nθ

2

)sin(

(n+1)θ2

)sin(θ2

)∣∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣ 1sin(θ2

)∣∣∣∣∣et :∣∣∣∣∣

n∑k=0

coskθ

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣sin

(nθ

2

)sin(

(n+1)θ2

)sin(θ2

)∣∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣ 1sin(θ2

)∣∣∣∣∣

41


Plan

d’étud

ed’un

esérie

Enrésu

méno

usav

onsce

plan

d’étud

ed’un

esérie:

Lasérie∑ u n

Est-ce

que

limn→+∞

un=

0?

∑ u ndiverge

A-t-onun≥

0∀n

?

Critère

deco

mpa

raison

;

Critère

d’équiva

lenc

e;

Règle

deD’Alembert;

Règle

deCau

chy;

Larèglenαun.

un=

(−1)nanav

ecan≥

0

unsign

equ

elco

nque

Étud

ede

lasérie∑ |u

n|

Critère

deLe

ibniz

andé

croîtvers

0

∑ u nCV

Non

Oui

Oui

Non

Oui

Non

Oubien

Oui

Non

F

2.1–Diagram

mereprésen

tant

leplan

d’étud

ed’un

esérie∑ u n

42

CHAPITRE 3

FONCTIONS À DEUX VARIABLES

Motivations et exemples

La notion de fonction à une ou à plusieurs variables est à la base de la plupartdes modèles mathématiques utilisés dans les sciences en général et en particulier lessciences de gestions.

Exemples 3.0.5.

Application linéaire : Les applications linéaires vus en algèbre sont un cas particulierdes fonctions à plusieurs variables, pour n ∈ N∗ :

f : Rn −→ R

(x1, · · · , xn) 7→ f((x1, · · · , xn))

vérifiant ∀(x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ Rn et ∀λ ∈ R :

f((x1, · · · , xn) + λ(y1, · · · , yn)) = f((x1, · · · , xn)) + λf((y1, · · · , yn)).

La fonction coût : Si une entreprise produit x articles au coût de 10 (en unité moné-taire) par article, alors le coût total serai :

C(x) = 10x.

Le coût est une fonction de la variable indépendante « nombre d’articles »notée x.Si l’entreprise produits deux articles différents au coût de 10 et 15 (en unité moné-taire) chacun, alors le coût total est une fonction à deux variables indépendantesx, y qui s’écrit :

C(x, y) = 10x+ 15y.

43

Chapitre 3. Fonctions à deux variables

Fonction de production : La quantité de production noté Q d’une entreprise est unefonction P qui est souvent exprimée en fonction de deux facteurs ou variables, letravail noté L et le capital noté K :

Q = P(L, K)

En particulier la fonction de Cobb-Douglas à deux facteurs :

Q = P(L, K) = ALαKβ où A, α, β > 0

Fonction d’utilité : L’utilité d’un consommateur est exprimé en fonctions des quan-tités consommées de n biens.

U = f((x1, · · · , xn))

où xi exprime la quantité consommée du ième bien.

3.1 Généralités sur les fonctions à plusieurs Variables

Rappel

Soit n ∈ N∗, On désigne par Rn l’ensemble des n−uplet x = (x1, x2, · · · , xn) avecxi ∈ R pour tout i = 1, · · ·n qui est un espace vectoriel sur R muni des lois :

∀ X = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, ∀ Y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn, et ∀ λ ∈ RX+ Y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)

λX = (λx1, λx2, · · · , λxn)

on note généralement pour

n = 2, X = (x, y) et pour n = 3, X = (x, y, z)

3.1.1 Domaine de définition, image et graphe d’une fonction réellesà plusieurs variables

Définition 3.1.1

Une fonction numérique f de plusieurs variables est une application :

f : Rn → R

(x1, · · · , xn) 7→ f ((x1, · · · , xn)) .

44


Le domaine de définition de f , noté Df ou D, est l’ensemble des vecteursX = (x1, · · · , xn) ∈ Rn pour lesquels f(x1, · · · , xn) est bien définie sur R :

Df = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn/ f(x1, · · · , xn) ∈ R}.

Exemples 3.1.1.

À La fonction f1 définie par :

f1(x, y) =√x+ y,

Df1 ={(x, y) ∈ R2/

√x+ y ∈ R

}={(x, y) ∈ R2/ x+ y ≥ 0

}.

y = −x

x

y

Df1

F 3.1 – Représentation géométrique dudomaine de f1 =

√x+ y dans R2

De manière générale, l’équa-tion d’une droite est :

αx+βy+γ = 0. α, β, γ ∈ R.

Á La fonction f2 définie par :

f2(x, y) =√

1− x2 − y2,

Df2 ={(x, y) ∈ R2/

√1− x2 − y2 ∈ R

}={(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 ≤ 1

}= D(0, 1) le disque fermé de centre (0,0) et de rayon 1.

45


Le cercle x2 + y2 = 1

x

y

Df2

De manière générale, l’équationd’un cercle de centre (x0, y0) et derayon r est :

(x− x0)2 + (y− y0)

2 = r2.

L’équation du disque ouvert (resp.fermé) de centre (x0, y0) et de rayonr est :

(x− x0)2 + (y− y0)

2 < r2;

resp.

(x− x0)2 + (y− y0)

2 ≤ r2.

F 3.2 – Représentation géométrique du domaine de f2(x, y) =√

1− x2 − y2 dans R2

Â La fonction f3 définie par :

f3(x, y) = ln (xy)

Df3 ={(x, y) ∈ R2/ xy > 0

}

x

y

Df3

F 3.3 – Représentation géométrique du domaine de f3 = ln (xy) dans R2

Ã La fonction f4 définie par :

f4(x, y) =1√

x+ y+ z− 1Df4 =

{(x, y, z) ∈ R3/ x+ y+ z > 1

}.

46


x

y

z

x+y+z=

1

Df4

F 3.4 – Représentation géométrique du domaine de f4 = 1√x+y+z−1 dans R3

Définition 3.1.2

¶ L’image par f de D est l’ensemble :

Imf = f(D) = {f(x1, · · · , xn), / (x1, x2, · · · , xn) ∈ D} ⊂ R.

· Le graphe de f est une hyper-surface de Rn+1

Gf = {(x1, · · · , xn, f(x1, · · · , xn)) ∈ Rn+1/ (x1, · · · , xn) ∈ D} ⊂ Rn+1.

Exemples 3.1.2.

À La fonction f1 définie par :f1(x, y) =

√x+ y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

1

2

3

4

x

y

F 3.5 – Graphe de la fonction f(x, y) =√x+ y.

Á La fonction f2 définie par :f2(x, y) = ln (xy)

47


24

68

1012

14

24

68

1012

14

−4

−2

2

4

x

y

F 3.6 – Graphe de la fonction f2(x, y) = ln(xy)

Â La fonction f3 définie par :

f3(x, y) = x2 + y2

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−5

0

5

10

0

50

100

150

200

x

y

F 3.7 – Graphe de la fonction f3(x, y) = x2 + y2

Ã La fonction f3 définie par :

f4(x, y) = x2 − y2

48


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−5

0

5

10

−100

−50

0

50

100

x

y

F 3.8 – Graphe de la fonction f4(x, y) = x2 − y2

3.1.2 Les courbes de niveau ou lignes de niveau

Le graphe d’une fonction à n variables est un sous ensemble de Rn+1, ce qui estdifficile à représenter graphiquement dans un plan surtout si n > 2. Néanmoins, pourle graphe Gf d’une fonctions à deux variables f, qui est un sous ensemble de dimensiontrois, on peut le visualiser grace une série de courbes dites courbes de niveau, et quisont représentées en fixant l’une des variables ce qui permet de réduire la dimension àdeux.Définition 3.1.3 (Courbe de niveau)

Soit f : D → R, où D ⊂ R2 et k ∈ Imf(D) ⊂ R. La courbe de niveau k de f est lacourbe d’équation f(x, y) = k

Exemples 3.1.3.

À Les courbes de niveau de la fonction f1 définie par :

f1(x, y) =√x+ y

sont des droites d’équations : x+ y = k2, k ∈ R+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 02

46

810

11.5

22.5

33.5

44

3

3

2

1

x

y

4

4

3

3

3

3

2

21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

F 3.9 – Les lignes de niveau de la fonction f1(x, y) =√x+ y

49


Á Les courbes de niveau de la fonction f2 définie par :

f2(x, y) = ln (xy) .

sont des hyperboles d’équations : xy = k k ∈ R.

2 4 6 8 10

5

10−4

−2

0

2

44

2

20

0−2

−4

xy

4

2

2

2

00

0 0−2−41 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

x

yF 3.10 – Les lignes de niveau de la fonction f1(x, y) = ln(x.y)

Â Les courbes de niveau de la fonction f3 définie par :

f3(x, y) = x2 + y2

sont des cercles de centre (0,0) et de rayon√k pour k ≥ 0 : x2 + y2 = k

−10 −5 0 5 10−10

0

1050

100

150

200

150

150

150

150

100

100

100100

50

50

50

xy 150

150

150150

100

100

100

100

100

100

100

100100

100

100

50

50

50

50

50

50

50

50

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x

y

F 3.11 – Les courbes de niveau de la fonction f3(x, y) = x2 + y2

Ã Les courbes de niveau de la fonction f4 définie par :

f4(x, y) = x2 − y2

pour k = 0 ce sont les droites croisées d’équations :

x2 − y2 = 0⇒ |y| = |x|

Pour k 6= 0 : ce sont les paraboles

x2 − y2 = k⇒ y2 = x2 − k.

50


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−5

05

10

−50

0

50

100

5050

000

00

0

−50−50

−50 −50

x

y

50

50

0

0

0

0

0

0

−50−50

−50−50

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10−8−6−4−20246810

x

y

F 3.12 – Les courbes de niveau de la fonction f4(x, y) = x2 − y2

3.1.3 Fonctions vectorielles à plusieurs variables :

Soient n, m ∈ N∗ deux entiers naturels. On défini une fonction vectorielle à plu-sieurs variables comme une application définie sur une partie D de Rn à valeurs dansRm.

f : D ⊂ Rn −→ Rm

(x1, · · · , xn) 7→ f(x1, x2, · · · , xn).

Comme f((x1, x2, · · · , xn)) ∈ Rm, il est représenté dans la base canonique de Rm commeun m−uplet de fonctions réelles à plusieurs variables

f(x1, x2, · · · , xn) = (f1(x1, x2, · · · , xn), · · · , fm(x1, x2, · · · , xn)).

avec pour tout k = 1, · · ·n, fk : D ⊂ Rn −→ R.Le domaine de définition d’une fonction vectorielle f est défini par :

Df = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn/ fk((x1, x2, · · · , xn)) ∈ R} = ∩mk=1Dfk ⊂ Rn.

Exemples 3.1.4.

À la fonction f définie sur R2 à valeur dans R3 par :

f(x, y) = (x+ y,√

1− x− y, exy).

est définie sur D ⊂ R2 avec :

D ={(x, y) ∈ R2/x+ y ∈ R, 1− x− y ≥ 0, exy ∈ R

}={(x, y) ∈ R2/x+ y ≤ 1

}

Á la fonction f définie sur R2 à valeur dans R2 par :

f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ).

est définie sur R2.

51


3.2 Topologie de Rn :

En première année on a vu qu’une fonction réelle f admet une limite l quand x tendvers un point x0 ∈ R si la distance entre f(x) et l est de plus en plus petite quand ladistance entre x et x0 est très petite.

La distance dans R est définie grace à la valeur absolue :

∀x, y ∈ R, d(x, y) = |x− y|.

et la notion de limite est définie par :

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Df : |x− x0| < δ⇒ |f(x) − l| < ε.

Pour les fonctions réelles à plusieurs variables, la notion de limite est la même, maison se pose les questions suivantes :

1. C’est quoi une distance dans Rn ?

2. Peut on généralisé la notion de valeur absolue sur Rn ?

3.2.1 Norme et distance sur Rn :

Définition 3.2.1 (Norme)

Une application N : Rn → R est une norme si et seulement si :

¶ ∀x ∈ Rn, N(x) ≥ 0; (Positivité)

· ∀x ∈ Rn, N(x) = 0⇔ x = 0;

¸ ∀x ∈ Rn,∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x); (Homogénéité)

¹ x, y ∈ Rn, N(x+ y) ≤ N(x) +N(y). (Inégalité triangulaire)

Exemples 3.2.1.

Norme dans R l’application x 7→ |x| est une norme sur R

Normes usuelles dans Rn Pour X = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn et Y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn

on a :

La norme euclidienne : Pour tout X = (x1, · · · , xn) ∈ Rn :

‖X‖2 =

√√√√ n∑k=1

x2k =√x21 + x

22 + · · ·+ x2n.

52


En particulier dans R2

pour (x, y) ∈ R2, ‖(x, y)‖2 =√x2 + y2.

La norme infinie : Pour tout X = (x1, · · · , xn) ∈ Rn :

‖X‖∞ = max{|xk| / k = 1 · · ·n} = max(|x1|, |x2|, · · · , |xn|)


pour (x, y) ∈ R2, ‖(x, y)‖∞ = max(|x|, |y|).

La norme : Pour tout X = (x1, · · · , xn) ∈ Rn :

‖X‖1 =n∑k=1

|xk| = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.


pour (x, y) ∈ R2, ‖(x, y)‖1 = |x|+ |y|.

Définition 3.2.2 (Normes équivalentes)

Soit Rn muni de deux normes N1 et N2. Ces deux normes sont dites équivalentessi et seulement s’il existe deux réels A > 0 et B > 0 tels que :

AN1(X) ≤ N2(X) ≤ BN1(X) ∀X ∈ Rn

Exemple 3.2.1. Sur R2 les normes ‖.‖1, ‖.‖2 et ‖.‖∞ sont équivalentes et on a :

‖(x, y)‖∞ ≤ ‖(x, y)‖2 ≤ ‖(x, y)‖1 ≤ 2‖(x, y)‖∞, ∀(x, y) ∈ R2.

En particulier, la norme infinie ‖.‖∞ est équivalente à la norme euclidienne ‖.‖2 dansR2, en effet, d’une part on a pour :

(x, y) ∈ R2, ‖(x, y)‖∞ ≤ ‖(x, y)‖2car :

|x| =√x2 ≤

√x2 + y2 = ‖(x, y)‖2 et |y| =

√y2 ≤

√x2 + y2 = ‖(x, y)‖2

alors :

‖(x, y)‖∞ = max (|x|, |y|) ≤ ‖(x, y)‖2 (3.1)

53


D’autre part ‖(x, y)‖2 ≤√2‖(x, y)‖∞ car :(

|x| ≤ ‖(x, y)‖∞ ⇒ x2 = |x|2 ≤ ‖(x, y)‖2∞)et :

(|y| ≤ ‖(x, y)‖∞ ⇒ y2 = |y|2 ≤ ‖(x, y)‖2∞)

d’où :

x2 + y2 ≤ 2‖(x, y)‖2∞ ⇒√x2 + y2 ≤

√2‖(x, y)‖∞. (3.2)

et par inégalités (3.1) et (3.2), on en déduit que :

‖(x, y)‖∞ ≤ ‖(x, y)‖2 ≤ √2‖(x, y)‖∞. (3.3)

Définition 3.2.3 (Distance associée à une norme)

Soit Rn muni d’une norme N, alors l’application d définie par :

d : Rn × Rn → R+

(x, y) 7→ d(x, y) = N(x− y).

est appelée la distance associée à la norme N.

Exemple 3.2.2. Dans R2 on définie trois distances :

• ∀x = (x1, x2) ∈ R2, ∀y = (y1, y2) ∈ R2,

d1(x, y) = ‖(x1, y1) − (x2, y2)‖1 = |x1 − y1|+ |x2 − y2|;

• ∀x = (x1, x2) ∈ R2, ∀y = (y1, y2) ∈ R2,

d2(x, y) = ‖(x1, y1) − (x2, y2)‖2 =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2;

• ∀x = (x1, x2) ∈ R2, ∀y = (y1, y2) ∈ R2,

d∞(x, y) = ‖(x1, y1) − (x2, y2)‖∞ = max (|x1 − y1|, |x2 − y2|) .

Proposition 3.1

Soient (Rn, N) un espace normé de norme N, et d une distance associée à N alors :

1. ∀x, y ∈ Rn, d(x, y) = 0⇔ x = y ;

54


2. ∀x, y ∈ Rn, d(x, y) = d(y, x) ;

3. ∀x, y, z ∈ Rn, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ;

3.2.2 Partie ouverte et partie fermée de Rn

Définition 3.2.4 (Boules ouvertes et boules fermée de Rn)

Soient a ∈ Rn et r ∈ R∗+.

• On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble noté B(a, r)ou Br(a) définie par : B(a, r) = {x ∈ Rn/ d(x, a) < r}

• On appelle boule fermé de centre a et de rayon r l’ensemble noté B(a, r)ou Br(a) définie par : B(a, r) = {x ∈ Rn/ d(x, a) ≤ r}

Exemple 3.2.3.

À Dans (R, |.|) : Soient a ∈ R et r > 0 alors :

• B(a, r) =]a− r, a+ r[

• B(a, r) = [a− r, a+ r]

Á Dans (Rn, ‖.‖1). Soient a = (a1, a2) ∈ R2 et r > 0 alors :

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ |x1 − a1|+ |x2 − a2| < r}

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ |x1 − a1|+ |x2 − a2| ≤ r}

Â Dans (Rn, ‖.‖2). Soient a = (a1, a2) ∈ R2 et r > 0 alors :

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ (x1 − a1)2 + (x2 − a2)

2 < r2}

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ (x1 − a1)2 + (x2 − a2)

2 ≤ r2}

Ã Dans (Rn, ‖.‖∞). Soient a = (a1, a2) ∈ R2 et r > 0 alors :

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ max (|x1 − a1|, |x2 − a2|) < r}

• B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2/ max (|x1 − a1|, |x2 − a2|) ≤ r}

55


3.3 Limite et continuité des fonctions à plusieurs va-riables

3.4 Suite dans Rn et limité d’une suite

3.4.1 Limite en un point X0 ∈ Rn

Soient Rn l’espace normé muni de l’une des normes usuelles qu’on notera ‖.‖, Uune partie de Rn, f : U → R une fonction réelles à plusieurs variables et X0 =

(x01 , x02, · · · , x0n) ∈ U.

Définition 3.4.1

Soit l ∈ R. On dit que f tends vers l lorsque X tend vers X0 si :

∀ε > 0, ∃r > 0 , ∀X ∈ U : ‖X− X0‖ < r⇒ |f(X) − l| < ε.

Exemples 3.4.1.

À lim(x,y)→(1,2)

x+ 2y = 5 en effet :

|f(x, y) − f(1, 2)| = |x+ 2y− 5| = |(x− 1) + 2(y− 2)| ≤ 2 (|x− 1|+ |y− 2|)

≤ 2‖(x, y) − (1, 2)‖1

d’où, dès que :

‖(x, y) − (1, 2)‖1 ≤ε

2on a : |f(x, y) − f(1, 2)| ≤ ε

donc il suffit de prendre δ = ε2 > 0

Á lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= 0 En effet : Pour ε > 0 on cherche un δ > 0 tels que, si

‖(x, y) − (0,0)‖ < δ alors |f(x, y) − f(0,0)| < ε.

|f(x, y) − f(0,0)| =

∣∣∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣∣ ≤ |y| car :x2 ≤ x2 + y2

≤ ‖(x, y) − (0,0)‖1

d’où :

‖(x, y) − (0,0)‖1 ≤ ε⇒ |f(x, y) − f(0,0)| ≤ ε

donc il suffit de prendre δ = ε > 0.

56


Propriétés 2.

Propriétés algébriques de la limite : Soient U ⊂ Rn f, g : U → R, X0 ∈ Rn. Onsuppose que lim

X→X0f(X) = l1 et lim

X→X0g(X) = l2. Alors :

i) ∀α, β ∈ R : limX→X0

(αf+ βg) (X) = αl1 + βl2

ii) limX→X0

(f.g) (X) = l1l2

iii) Si l2 6= 0 et ∀X ∈ U \ {X0} : g(X) 6= 0 alors limX→X0

f(X)g(X)

= l1l2

iv) limX→X0

|f(X)| = |l1|

Limite de la composition de fonctions

1ier cas : Soit g : I ⊂ R → R. On suppose que f admet une limite l ∈ R quandX tend vers X0 telle que l ∈ I et que g admet une limite L ∈ R quand t ∈ Rtend vers l. Alors g ◦ f : U ⊂ Rn → R tend vers L quand X tend vers X0

limX→X0

g (f(X)) = limt→l g(t). (3.4)

2ième cas : Soient f : U ⊂ Rn → R, et g : V ⊂ Rm → Rn, telle queg(V) ⊂ U. On suppose que f admet une limite l ∈ R quand X ∈ Rn tend versX0 ∈ Rn et g admet une limite X0 ∈ Rn quand Y ∈ Rm tend vers Y0 ∈ V. Alorsf ◦ g : U ⊂ Rm → R tend vers l quand Y tend vers Y0

limY→Y0 f (g(Y)) = lim

X→X0f(X) = l. (3.5)

Limite par encadrement : Soient f, g et h trois fonctions définies sur un ouvert Ucontenant X0 telles que :

• ∀X ∈ U on a h(X) ≤ f(X) ≤ g(X);

• limX→X0

h(X) = limX→X0

g(X).

alors f admet une limite en X0 et on a :

limX→X0

f(X) = limX→X0

h(X) = limX→X0

g(X).

Indépendance de la limite du chemin : Si f est une fonction réelle à n variablestelle que lim

X→X0f(X) = L, alors pour toute fonction vectorielle ϕ : I ⊂ R → Rn

vérifiant :

• ϕ(I) ⊂ Df;

• limt→t0ϕ(t) = X0

57


on a :limX→X0

f(X) = limt→t0 f(ϕ(t)) = L.

Limite séquentielle : Une fonction f : U ⊂ Rn → R admet une limite l ∈ R quandX tend vers X0 si et seulement si pour toute suite de vecteurs (Xk)k∈N ⊂ U quiconverge vers X0 (c.à.d. Si Xk =

(xk1 , x

k2, · · · , xkn

)et X0 =

(x01 , x

02, · · · , x0n

)alors

∀j ∈ {1, 2, · · · , n} xkj −−−−→n→+∞ x0j ), la suite (f(Xk))k∈N tend vers l.(

limX→X0

f(X) = l

)⇔ (∀ (Xk)k∈N ⊂ U : lim

k→+∞Xk = X0 ⇒ limk→+∞ f(Xk) = l

). (3.6)

Remarque 7. En pratique, on utilise la contraposé des deux dernières propriétés pourmontre l’inexistence de la limite.

Exemples 3.4.2.

À Comme limt→0

1−cos tt2

= 12 et t =

√x2 + y2 −−−−−−→

(x,y)→(0,0)0, alors :

lim(x,y)→(0,0)

1− cos(√

x2 + y2)

x2 + y2=

12

(3.7)

Á Comme limt→0+

t ln(t) = 0 et t = x2 + y2 −−−−−−→(x,y)→(0,0)

0+, alors :

lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) ln(x2 + y2

)= 0 (3.8)

Â lim(x,y)→(0,0)

(x2+y2) cos(

1xy

)= 0, car par le théorème d’encadrement on a d’une part :

pour tout (x, y) ∈ {(x, y) ∈ R2/xy 6= 0}

−1 ≤ cos(

1xy

)≤ 1⇒ (−x2 − y2) ≤ (x2 + y2) cos

(1xy

)≤ (x2 + y2)

et d’autre part :

lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) = lim(x,y)→(0,0)

(−x2 − y2) = 0.

Ã La fonction f(x, y) = xyx2+y2

n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0,0) car si onconsidère les deux chemin suivant :

ϕ1 : t 7→ (t, t) et ϕ2 : t 7→ (t,−t)

on a :

limt→0

f (ϕ1(t)) = limt→0

t2

2t2=

12

limt→0

f (ϕ2(t)) = limt→0

−t2

2t2=

−12

d’où :

limt→0

f (ϕ1(t)) 6= limt→0

f (ϕ2(t))

58


Ä La limite de f(x, y) = xyx2+y2

quand (x, y) tend vers (0,0) n’existe pas car si onconsidère les deux suites

((0, 1

n))n>0 et

(( 1n, 1n))n>0 on a :

limn→+∞

(0, 1n

)= (0,0) = lim

n→+∞(1n,1n

)limn→+∞ f

(0, 1n

)= lim

n→+∞0 = 0

limn→+∞ f

(1n,1n

)= lim

n→+∞1n2

2n2

=12.

d’où :

limn→+∞ f

(0, 1n

)6= lim

n→+∞ f(1n,1n

)

Calcul Limite pour les fonctions à deux variables

Soient (x0, y0) ∈ R2 et f une fonction définie au moins sur une boule de R2 contenant(x0, y0), on vous propose dans cette section une certaine démarche à suivre pour calculerla limite :

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y).

• Comme premier geste, on remplace (x, y) par (x0, y0) dans l’expression de f.

Exemples 3.4.3.

À lim(x,y)→(1,2)

(x3 − 2x2y+ xy− 1) = 13 − 2.12.2+ 1.2− 1 = −2;

Á lim(x,y)→(+∞,0)

y2

x=

02

+∞ = 0;

Â lim(x,y)→(+∞,0)

x3 + x2

y2 − y2 + 1= +∞;

Ã lim(x,y)→(0,0)

ln(1+ xy)xy

=00= F.I.

• Dans le cas où les opérations algébriques aboutissent à une forme indéterminée :

+∞−∞, ∞∞ , 00, 1∞, · · ·

on ne sait plus si la limite existe ou non. Pour les fonctions à une variable, quandun point x tend vers un point x0, il existe deux manières et directions possibles,à gauche lim

x→x0<

f(x) ou à droite limx→x0>

f(x), et on sait que si ces deux limites sont

distinctes alors la limite n’existe pas.

La droite R

à droiteà gauche

O•

x0• •x > x0

•x < x0

59


Pour les fonctions à plusieurs variables et en particulier pour les fonctions à deuxvariables, il existe une infinité de directions et de manières d’approcher un pointcomme c’est illustré dans la figure ci dessous :

x

y

y0 •

x0•

•

F 3.13 – Illustration graphique des directions et chemins pour approcher un point dansR2

Dans ce cas, on peut procéder de la manière suivante :

– On fait un changement de variables

(s = x− x0, t = y− y0)

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = lim(t,s)→(0,0)

F(s, t)

avec F(s, t) = f(s+ x0, t+ y0).

– On vérifie si l’égalité suivante est vraie :

limt→0

(lims→0

F(s, t)

)?= lims→0

(limt→0

F(s, t)

). (3.9)

i) Si l’égalité (3.9) n’est pas vérifiée on arrête et on dit que :

lim(s,t)→(0,0)

F(s, t) = @⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = @.

ii) Si l’égalité (3.9) est vérifiée alors tous ce qu’on peut dire est que cettelimite commune qu’on notera L est une limite éventuelle.

L = limt→0

(lims→0

F(s, t)

)= lim

s→0

(limt→0

F(s, t)

).

– Pour montrer l’existence de la limite on doit trouver une majoration de laforme :

0 ≤ |F(s, t) − L| ≤ ϕ(s, t)

avec lim(s,t)→(0,0)

ϕ(s, t) = 0

60


– Sinon il faut voir avec l’un des chemins suivants pour montrer l’inexistencede la limite.

lim(s,t)→(0,0)

t=s

F(s, t) 6= L

lim(s,t)→(0,0)t=λs

F(s, t) 6= L

lim(s,t)→(0,0)t=λs

F(s, t) = depend de λ

lim(s,t)→(0,0)t=sα

F(s, t) 6= L

⇒ lim(s,t)→(0,0)

F(s, t) = @.

– On peut avec les coordonnées polaires confirmer l’existence ou l’inexis-tence de la limite, en procédant comme suit :

(s = r cos θ, t = r sin θ)

lim(s,t)→(0,0)

|F(s, t) − L| = limr→0θ∈R

|F(r cos θ, r sin θ) − L| .

i) Si |F(r cos θ, r sin θ) − L| ≤ Mϕ(r)r→0−−→ 0 avec M > 0 et ϕ une fonc-

tion définie et bornée sur R alors limr→0θ∈R

|F(r cos θ, r sin θ) − L| = 0 et par

conséquent : lim(s,t)→(0,0)

F(s, t) = L

ii) Si limr→0θ∈R

|F(r cos θ, r sin θ) − L| dépend de θ alors lim(s,t)→(0,0)

F(s, t) = @

Voici quelques exemples illustrant ce qui a été dit ci dessus :

Exemples 3.4.4.

À lim(x,y)→(0,0)

x−yx+y

n’existe pas car

limx→0

(limy→0

x− y

x+ y

)= lim

x→0

x

x= 1 6= lim

y→0

(limx→0

x− y

x+ y

)= lim

y→0

−y

y= −1.

Á lim(x,y)→(0,0)

( x2yx2+y2

) = 0, en effet on d’une part :

limx→0

(limy→0

x2y

x2 + y2

)= lim

y→0

(limx→0

x2y

x2 + y2

)d’autre part comme

2|xy| ≤ x2 + y2 ∀(x, y) ∈ R2

alors

0 ≤∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x| ∀(x, y) ∈ R2

61


d’où (lim

(x,y)→(0,0)

12|x| = 0

)⇒ (lim

(x,y)→(0,0)(x2y

x2 + y2) = 0

)

Â La fonction f(x, y) = sin(xy)x2+y2

n’admet pas de limite car :

limx→0

(limy→0

sin(xy)x2 + y2

)= lim

y→0

(limx→0

sin(xy)x2 + y2

)= 0

par contre :

lim(x,y)→(0,0)y=λx

sin(xy)x2 + y2

= lim(x,y)→(0,0)y=λx

sin(λx2)(1+ λ2)x2

=λ

(1+ λ2)

Ã La fonction x2yx4+y2

n’admet pas de limite en (0,0) car :

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2=

00= F.I

L ≡ limx→0

(limy→0

x2y

x4 + y2

)= 0 = lim

y→0

(limx→0

x2y

x4 + y2

)lim

(x,y)→(0,0)y=λx

x2y

x4 + y2= lim

(x,y)→(0,0)y=λx

λx3

(x2 + λ2)x2= lim

(x,y)→(0,0)y=λx

λx

x2 + λ2= 0 = L

par contre :

lim(x,y)→(0,0)

y=x2

x2y

x4 + y2= lim

(x,y)→(0,0)y=x2

x2x2

x4 + x4=

126= L.

Ä La fonction xy2

x2+y4n’admet pas de limite en (0,0) car :

lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4=

00= F.I

L ≡ limx→0

(limy→0

xy2

x2 + y4

)= 0 = lim

y→0

(limx→0

xy2

x2 + y4

)lim

(x,y)→(0,0)y=λx

xy2

x2 + y4= lim

(x,y)→(0,0)y=λx

λ2x3

(1+ λ4x2)x2=

λ2x

1+ λ4x2= 0

lim(x,y)→(0,0)

x=y2

y2x

x2 + y4= lim

(x,y)→(0,0)x=y2

y2y2

y4 + y4=

126= L

Å Pour calculer : lim(x,y)→(0,0)

x3

x2+y2, on pose : ce qui donne :

x = r cos θ et y = r sin θ

62


ce qui nous ramène au calcul de la limite :

limr→0∀θ∈R

r3 cos3 θr2(cos2 θ+ sin2 θ)

= limr→0∀θ∈R

r3 cos3 θr2

= limr→0∀θ∈R

r cos3 θ = 0 car | cos3 θ| ≤ 1

Æ Pour calculer : lim(x,y)→(0,0)

xyx2+y2

, on pose :

x = r cos θ et y = r sin θ

ce qui nous ramène au calcul de la limite :

limr→0∀θ∈R

r2 cos θ sin θr2(cos2 θ+ sin2 θ)

= limr→0∀θ∈R

r2 cos θ sin θr2

= cos θ sin θ.

d’où la limite n’existe pas car elle dépend de θ.

Attention !Faite attention dans l’utilisation des coordonnées polaires, si on abouti à une limitecomme :

limr→0∀θ∈R

f(r cos θ, r sin θ) = limr→0∀θ∈R

h(r).ϕ(θ).

avec h(r) −−→r→0

0 et ϕ(θ) une fonction non bornée. on ne peut pas écrire :

limr→0∀θ∈R

f(r cos θ, r sin θ) = 0.

Exemple 3.4.1. La fonction f(x, y) = y2

xn’admet pas de limite car :

lim(x,y)→(0,0)y=√x

y2

x= lim

(x,y)→(0,0)y=√x

x

x= 1 6= lim

(x,y)→(0,0)y=0

y2

x= 0

et si on utilise les coordonnées polaires :

limr→0∀θ∈R

y2

x= lim

r→0∀θ∈R

r

(sin2 θ

cos θ

)6= 0

car la fonction sin2 θcos θ n’est pas bornée∣∣∣∣sin2 θ

cos θ

∣∣∣∣ −−−→θ→π2

∞.63


3.4.2 Limite d’une fonction vectorielle

Soit f une fonction de Rn vers Rm et f1, f2, · · · , fm les fonctions coordonnées def. On suppose que L = (l1, · · · , lm) ∈ Rm, alors on a l’équivalence suivante :(

limX→X0

f(X) = L

)⇔ (∀k = 1, · · · ,m lim

X→X0fk(X) = lk

). (3.10)

Exemple 3.4.2.

lim(x,y)→(0,0)

(2x2 − 3xy+ 5xy3 + 1, sin(x

2 + y2)

x2 + y2

)= (1, 1) car

lim(x,y)→(0,0)

2x2 − 3xy+ 5xy3 + 1 = 1 et

lim(x,y)→(0,0)

sin(x2 + y2)x2 + y2

= 1

3.4.3 Continuité en un point X0 ∈ Rn et continuité sur un ouvertU ⊂ Rn

Définition 3.4.2

Soient U un ouvert de Rn et f : U→ R :

1. On dit que f est continue en X0 ∈ U si : limX→X0

f(X) = f(X0).

2. On dit f est continue sur U si elle est continue en tout point de U

Exemples 3.4.5.

À La fonction polynomiale à deux variables

f(x, y) = x4 + 5x3y2 + 6x2y4 − 7y+ 6.

est continue en tout point (a, b) de R2 et par conséquent sur R2.

Á Les fonctions projections :

P1 : (x, y) 7→ x et P2 : (x, y) 7→ y.

Sont des fonctions continues en tout point (a, b) de R2 et par conséquent sur R2.

Propriétés 3.

Propriétés algébriques Soient f, g deux fonctions définies et continues sur une partieU de R2, alors :

64


¶ Les fonctions λf (où λ ∈ R) f+ g et f.g sont continues sur U.

· Si g ne s’annule pas sur U alors les fonctions1getf

gsont continues sur U.

Composition de fonctions Soient f et g deux fonctions définies respectivement surU ⊂ R2 et V ⊂ R2 vérifiant f(U) ⊂ V alors la fonction g ◦ f est une fonctioncontinue sur U.

Fonction bornée Soit f une fonction définie et continue sur le fermé borné U ⊂ R2,alors f est bornée et atteint ses bornes. En d’autre termes : ∃u ∈ U, ∃v ∈ U telsque f(u) = inf{f(x), x ∈ U} et f(u) = sup{f(x), x ∈ U}

Exemples 3.4.6.

À La fonction f(x, y) = 2x+y2+xy+x21+x2+y2 est le quotient de deux fonctions polynomiales

continues avec 1+ x2 + y2 6= 0 sur R2 alors f est continue sur R2.

Á La fonction f(x, y) = ln(1+ x2 + y2) est la composée de deux fonctions continues :t 7→ ln(t) continue sur ]0,+∞[ et (x, y) 7→ 1+ x2 + y2 qui est continue sur R2 avec1+ x2 + y2 > 0

3.5 Dérivées partielles et différentiabilité

L’année passée nous avons étudié les fonctions à une variable et nous avons dit quela dérivée d’une fonction f en un point a de son domaine de définition représentait letaux d’accroissement de cette dernière :

f ′(a) = limδx→0

δf

δx, δx = x− a δf = f(x) − f(a).

Pour les fonctions à plusieurs variables, plusieurs variables interviennent dans sonaccroissement donc on peut l’étudier suivant :

• Un accroissement par rapport à chaque variable séparément, ce qui permettra dedéfinir les Dérivées partielles ;

• Un accroissement par rapport à toutes les variables simultanément permettra dedéfinir ce qu’on entend par Différentielle.

3.5.1 Dérivées partielles d’ordre un

Soient f une fonction définie sur un domaine D ⊂ Rn et a = (a1, · · · , an) ∈ D.En fixant à chaque fois toutes les variables sauf x1, ainsi de suite jusqu’à xn , nous

65


introduisant, par cela n− fonctions à une variable dite fonction partielles associéesà f et notées respectivement

F1 : t 7→ F1(t) = f(t, a2, · · · , an)

etFk : t 7→ Fk(t) = f(a1, · · · , ak−1, t, ak+1, · · · , an).

Définition 3.5.1

On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à xk en a = (a1, · · · , an) eton note ∂f

∂xk(a1, · · · , an) si :

∂f

∂xk(a) ≡ lim

h→0

f(a1, · · · , ak−1, ak + h, ak+1, · · · , an) − f(a1, · · · , an)h

exist et elle est finie.

On note aussi parfois ∂xkf ou fxkEn particulier pour une fonction f définie sur un domaine D de R2 et (x0, y0) ∈ D

on a :

∂f

∂x(x0, y0) = lim

x→x0f(x, y0) − f(x0, y0)

x− x0;

∂f

∂y(x0, y0) = lim

y→y0f(x0, y) − f(x0, y0)

y− y0

Si une fonction f admet des dérivées partielles d’ordre un en a alors on dit quef est dérivable en a.

Exemples 3.5.1.

À La fonction f(x, y) = 4 − x2 − 2y2 admet des dérivées partielles d’ordre un enchaque point (a, b) ∈ R2 car :

∂f

∂x(a, b) ≡ lim

h→0

f(a+ h, b) − f(a, b)

h

= limh→0

(4− (a+ h)2 − 2b2) − (4− a2 − 2b2)h

= limh→0

−(a+ h)2 + a2

h= −2a

∂f

∂y(a, b) ≡ lim

k→0

f(a, b+ k) − f(a, b)

k

= limh→0

(4− a2 − 2(b+ k)2) − (4− a2 − 2b2)h

= limh→0

−2(b+ k)2 + 2b2

h= −4b

66


d’où f admet des dérivées partielle d’ordre 1 en chaque point R2 :

∂f

∂x(x, y) = −2x et ∂f

∂y(x, y) = −4y

Á La fonction f définie par :

f(x, y) =

xy

x2+y2(x, y) 6= (0,0),

0 (x, y) = (0,0).

admet des dérivées partielles d’ordre un en (0,0) et on a :

∂f

∂x(0,0) ≡ lim

h→0

f(0+ h,0) − f(0,0)h

= limh→0

0h= 0;

∂f

∂y(0,0) ≡ lim

k→0

f(0,0+ k) − f(0,0)k

= limk→0

0k= 0.

Â La fonction f définie par :

f(x, y) =

2x

x2+y2(x, y) 6= (0,0),

0 (x, y) = (0,0).

n’admet pas de dérivée partielle d’ordre un par rapport à x en (0,0) car :

limh→0

f(0+ h,0) − f(0,0)h

= limh→0

2hh2

h= lim

h→0

2h2 = +∞

Par contre elle admet une drivée partielle d’ordre un par rapport à y en (0,0) eton a :

∂f

∂y(0,0) ≡ lim

k→0

f(0,0+ k) − f(0,0)k

= limh→0

0k2

k= 0.

AttentionUne fonction qui admet des dérivées partielles d’ordre un n’est pas forcément unefonction continue,il suffit de considéré l’exemple :

f(x, y) =

xy

x2+y2(x, y) 6= (0,0),

0 (x, y) = (0,0).

qui n’est pas continue en (0,0) mais qui admet des dérivées partielles en (0,0).

67


Interprétation géométriques des dérivées partielles

Afin de donner une interprétation géométrique des dérivées partielles nous considé-rons le graphe d’une fonction f à deux variables (x, y) qui est représenté graphiquementpar une surface S ⊂ R3. Pour (a, b) un point fixe du domaine de définition de f ona P(a, b, c = f(a, b)) ∈ S est un point du graphe. Fixant tout d’abord x = a, la courbeC1 : z = f(a, y) représente l’intersection du plan x = a avec le graphe de f,la droitetangente à C1 en P est donnée par :

T1 : y = ∂xf(a, b)(x− a) + c

De même si on fixe y = b la courbe C2 : z = f(x, b) représente l’intersection du plany = b avec le graphe de f la droite tangente à C2 en P est donnée par :

T2 : y = ∂yf(a, b)(y− b) + c

le plan y = b

y

z

x

a (a, b, 0)

b

• P(a, b, c)

C2 : z = f(a, y)

C1 : z = f(x, b)

T2

T1

D

z = f(x, y)

Calcul des dérivées partielles

Somme et Produit : supposons que f et g sont des fonctions à valeurs dans R définiessur le même ouvert D de Rn, et qu’au point a ∈ D les dérivées partielles ∂f

∂xk(a) et

∂g∂xk

(a) existent pour tout k = 1, · · · , n. Alors :

•∂(f+ g)

∂xk(a) =

∂f

∂xk(a) +

∂g

∂xk(a).

•∂(f.g)

∂xk(a) =

∂f

∂xk(a)

g(a) + ∂g

∂xk(a)

f(a).68


En pratiqueUne dérivée partielle se calcule au moyen des techniques de calcul de ladérivée d’une fonction à une variable réelle ; pour cela il suffit de considérerque l’une des variables est constante.

Exemples 3.5.2.

À Les dérivées partielles de la fonction f(x, y) = 3x2 + xy− 2y2 sont :

∂f

∂x(x, y) = 6x+ y, ∂f

∂y(x, y) = x− 4y.

Á Les dérivées partielles de la fonction f(x, y) = xyx2+y2+1 sont :

∂f

∂x(x, y) =

y+ y3 − x2y

(1+ x2 + y2)2,

∂f

∂y(x, y) =

x+ x3 − y2x

(1+ x2 + y2)2.

Â Les dérivées partielles de la fonction f(x, y) = 5x ln(1+7y) sont : pour chaque(x, y) ∈ {(x, y) ∈ R2 \ 1+ 7y > 0}

∂f

∂x(x, y) = 5 ln(1+ 7y), ∂f

∂y(x, y) =

35x1+ 7y

.

Ã Pour chaque (x, y) ∈ R2 on a , f(x, y) = x2y+e−xy3 ⇒

∂f∂x(x, y) = 2xy− y3 e−xy3 .

∂f∂y(x, y) = x2 − 3xy2 e−xy3

Ä Pour chaque (x, y) ∈ {(x, y) ∈ R2/x + y 6= 0} on a , f(x, y) = x−yx+y⇒

∂f∂x(x, y) = 2y

(x+y)2

∂f∂y(x, y) = −2x

(x+y)2

Å Les dérivées partielles de la fonction f définie par :

f(x, y) =

xy

x2+y2si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0).

sont données par :

∂f∂x(x, y) = y3−x2y

(x2+y2)2si (x, y) 6= (0,0)

∂f∂y(x, y) = x3−y2x

(x2+y2)2si (x, y) 6= (0,0)

∂f∂x(0,0) = lim

x→0f(x,0)−f(0,0)

x−0 = 0

∂f∂y(0,0) = lim

y→0f(0,y)−f(0,0)

y−0 = 0

69


Le vecteurs gradient d’une fonction à plusieurs variables : Soit f : D ⊂ Rn →R une fonction dont toutes les dérivées partielles en un point a = (a1, · · · , an)existent. le vecteur gradient de la fonction f noté ∇f(a) ou

−−−→gradaf est défini

par :

∇f(a) =

∂f∂x1

(a)

...

...∂f∂xn

(a)

.

Exemple 3.5.1. Le gradient de la fonction f(x, y) = 4 − x2 − 2y2 est la fonctionvectorielle :

∇f(x, y) =

−2x

−4y

Matrice jacobienne d’un fonction vectorielle à plusieurs variables : Dans le cas d’une

fonction vectorielle f D ⊂ Rn → Rm dont les fonctions composante fk : Rn → R.La matrice jacobienne de f est une matrice m−lignes et n−colonnes dont leslignes sont les vecteurs gradient des fonctions fk sont dérivables en X ∈ D :

J f(X) =

∇f1(X)

∇f2(X)...

∇fm(X)

=

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

... . . . ... ...∂fm∂x1

∂fm∂x2

· · · ∂fm∂xn

=

(∂fi

∂xj(X)

)i=1,··· ,mj=1,··· ,n

Exemple 3.5.2. La matrice Jacobienne de la fonction f : (r, θ) ∈ R2 7→ (r cos θ, r sin θ)est :

J f(r, θ) =

cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ.

Règles de dérivation en chaines :

1ier cas : Soit f une fonction scalaire définie et admet des dérivées partiellesd’ordre un sur Rn et g la fonction composée définie par :

g : R −→ Rn −→ R

t 7→ (x1(t), · · · , xn(t)) 7→ f(x1(t), · · · , xn(t))

70


alors g est dérivable et on a :

g ′(t) =

n∑k=1

x′k(t)∂f

∂xk(x1(t), · · · , xn(t))

=dx1

dt(t)∂f

∂x1+ · · ·+ dxn

dt(t)

∂f

∂xn

En particulier pour n = 2 :

g ′(t) = x ′(t)∂f

∂x(x(t), y(t)) + y ′(t)

∂f

∂y(x(t), y(t)).

Exemples 3.5.3.

À La fonction f(x, y) = 2x+ 3y avec x(t) =√1+ t et y(t) = 2+ 1

3t alors lafonction g(t) = f(x(t), y(t)) est dérivable et on a :

g ′(t) = x ′(t)∂f

∂x(x(t), y(t)) + y ′(t)

∂f

∂y(x(t), y(t))

=

(1

2√(1+ t)

).2+

(13

).3

= 1+ 1√1+ t

Á Le consommateur dont la fonction d’utilité est donnée par U(x, y) estsoumis à la contrainte budgétaire Px +Qy = R où P > 0 et Q > 0 sontles prix unitaires des biens X et Y respectivement et R > 0 le budgetdévolu à ces achats avec cette contrainte la fonction d’utilité devient unefonction à une variable V(x) = U

(x, R−Px

Q

)V ′(x) =

∂U

∂x+

−P

Q

∂U

∂y

2ième cas : Soit f une fonction scalaire et xk = xk(u1, · · · , un) des fonctions de Rn

dans R qui admettent des dérivées partielles d’ordre un, alors :

g(u1, · · · , un) = f(x1(u1, · · · , un), · · · , xn(u1, · · · , un))

admet des dérivées partielles d’ordre un et on a :

∂g

∂uk=

n∑i=1

∂xi

∂uk

∂f

∂xi

en particulier pour n = 2, g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v))

∂g

∂u=∂x

∂u

∂f

∂x+∂y

∂u

∂f

∂y

∂g

∂v=∂x

∂v

∂f

∂x+∂y

∂v

∂f

∂y.

71


Exemples 3.5.4.

À

g :R2 −→ R2 −→ R

(r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) 7→ f(r cos θ, r sin θ)

avec f une fonction qui admet des dérivées partielles :

∂g

∂r=∂x

∂r

∂f

∂x+∂y

∂r

∂f

∂y= cos θ∂f

∂x+ sin θ ∂f

∂y

∂g

∂θ=∂x

∂θ

∂f

∂x+∂y

∂θ

∂f

∂y= −r sin θ∂f

∂x+ r cos θ ∂f

∂y

Fonctions de classe C1

Soit f une fonction scalaire définie sur une partie D de Rn et a ∈ D.

1. On dit que f est de classe C1 au voisinage de a si toutes les dérivées partiellesd’ordre un existent et sont continues en a.

2. On dit que f est de classe C1 sur D si toutes les dérivées partielles d’ordre unexistent et sont continues sur D.

Exemples 3.5.5.

1. La fonction f(x, y) = x2 + y2 − 2xy2 + y3 est de classe C1 sur R2 car :∂f

∂x(x, y) = 2x− 2y2, ∂f

∂y(x, y) = 2y− 2xy+ 3y2

sont définies et continues sur R2

2. La fonction f définie par :xy

x2+y2si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

n’est pas de classe C1 au voisinage de (0,0) car ces dérivées partielles ne sont pascontinues en (0,0) :

∂f

∂x(x, y) =

y3−x2y(x2+y2)2

si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

∂f

∂y(x, y) =

x3−y2x(x2+y2)2

si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

72


3.5.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur

Soit f : D ⊂ R2 → R une fonction à deux variables dont les dérivées partielles∂f∂x, ∂f∂y

existent et admettent à leurs tour des dérivées partielles :

∂2f

∂x2=∂

∂x

(∂f

∂x

),

∂2f

∂y∂x=∂

∂y

(∂f

∂x

)∂2f

∂x∂y=∂

∂x

(∂f

∂y

),

∂2f

∂y2=∂

∂y

(∂f

∂y

).

Ces dérivées partielles sont appelées les dérivées partielles d’ordre 2 de f, ce qui nouspermet de définir la matrice (2× 2) dite matrice Hessienne, notée Hf et définie par :

Hf(X0) =

∂2f∂x2

(X0)∂2f∂y∂x

(X0)

∂2f∂x∂y

(X0)∂2f∂y2

(X0)

.Exemple 3.5.3.

À les dérivées partielles du second ordre de la fonction f(x, y) = x2y+ y3 sont :

∂2f

∂x2(x, y) = 2y, ∂2f

∂x∂y(x, y) = 2x, ∂2f

∂y∂x(x, y) = 2x, ∂2f

∂y2(x, y) = 6y.

et par suite la matrice hessienne de f :

Hf(x, y) =

2y 2x

2x 6y

Á les dérivées partielles du second ordre de la fonction f(x, y) = ln(x2 + y) sont :

∂2f

∂x2(x, y) =

2(y− x2)

(x2 + y)2,

∂2f

∂x∂y(x, y) =

−2x(x2 + y)2

∂2f

∂y∂x(x, y) =

−2x(x2 + y)2

,∂2f

∂y2(x, y) =

−1(x2 + y)2

.

et par suite la matrice hessienne de f :

Hf(x, y) =

2(y−x2)(x2+y)2

−2x(x2+y)2

−2x(x2+y)2

−1(x2+y)2

De manière générale, si f est une fonction définie sur une partie de Rn et α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn

désigne un vecteur d’entiers naturels alors on définie la dérivée partielle d’ordre k de lafonction f par :

Dkf(X0) =∂kf

∂xα11 ∂x

α22 · · ·∂x

αnn

, avec k = α1 + · · ·+ αn.

73


Exemple 3.5.4.

les dérivées partielles d’ordre 3 de la fonction f(x, y) = x2y+ y3 sont :∂3f

∂x3(x, y) = 0, ∂3f

∂y∂x2(x, y) = 2

∂3f

∂x∂y∂x(x, y) = 2, ∂3f

∂y2∂x(x, y) = 0

∂3f

∂x2∂y(x, y) = 2, ∂3f

∂y∂x∂y(x, y) = 0

∂3f

∂x∂y2(x, y) = 0, ∂3f

∂y3(x, y) = 6.

Proposition 3.2

Soient f une fonction définie sur un ouvert U de R2 et X0 = (x0, y0) ∈ U .

¶ Si les dérivées partielles d’ordre 2 de f existent au voisinage de X0 et sontcontinues en X0 alors :

∂2f

∂y∂x(X0) =

∂2f

∂x∂y(X0).

· La fonction f est de classe C2(U) si :

∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂2f

∂x∂y(x, y). ∀(x, y) ∈ U .

Remarque 8.

• Par définition une fonction f est de classe Cn(U) si et seulement si toutes lesdérivées partielles d’ordre n de la fonction f existent et sont continues sur U .

• Il résulte de la proposition ci dessus que la fonction f est de classe Cn(U) si :∂nf

∂xk∂yn−k(x, y) =

∂nf

∂yn−k∂xk(x, y), ∀k = 1, .., (n− 1) et ∀(x, y) ∈ U

Exemples 3.5.6.

À La fonction définie par :

f : R2 −→ R

(x, u) 7−→xyx

2−y2

x2+y2si (x, y) 6= (0,0),

0 si (x, y) = (0,0).

vérifie :∂2f

∂x∂y(0,0) = 1 6= −1 = ∂2f

∂y∂x(0,0)

On en déduit que la fonction f n’est pas de classe C2(R2).

74


3.5.3 Différentiabilité et différentielle total

La dérivée d’une fonction f à une variable permettait de donner une approximationlinéaire de la fonction f au voisinage d’un point a :

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a).

Nous généralisons cette notion d’approximation linéaire à une fonction f de plusieursvariables en introduisant la notion de différentiabilité qui non seulement étudie l’ac-croissement par rapport à toutes les variables simultanément mais qui permet aussi dedonné une « approximation »linéaire exprimée par une certaine application linéaire

La : Rn → R

telle que :

f(X) ≈ f(a) + La(X− a).

Définition 3.5.2

Soit f : D ⊂ Rn → R et a = (a1, · · · , an) ∈ D. La fonction f est dite différentiableen a s’il existe une application linéaire noté La telle que :

La : Rn → R

(h1, · · · , hn) 7→ La(h1, · · · , hn)

et vérifiant :limX→a

|f(X) − f(a) − La(X− a)|

‖X− a‖Rn= 0

Exemple 3.5.5.

À La fonction f définie parf(x, y) = x2 + y2

est différentiable en chaque point (a, b) de R2. En effet :

f(a+ h, b+ k) − f(a, b) = (a+ h)2 + (b+ k)2 − a2 − b2

= 2ah+ 2kb+ h2 + k2

d’où si on considère l’application linéaire L(a,b)(h, k) = 2ah+ 2bk on aura :

lim(h,k)→(0,0)

|f(a+ h, b+ k) − f(a, b) − L(a,b)(h, k)|√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2 + k2√h2 + k2

= 0

d’où f est différentiable en (a, b) et sa différentielle est donnée par :

L(a,b)(h, k) = 2ah+ 2bk ∀(a, b) ∈ R2

75


Á La fonction f définie par :

f(x, y) = x2 − xy+ y2

est différentiable, car si on calcul sont accroissement

f(x+ h, y+ k) − f(x, y) = (x+ h)2 − (x+ h)(y+ k) + (y+ k)2 − (x2 − xy+ y2)

= 2xh+ h2 − hk− xk− yh+ 2yk+ k2

= (2x− y)h+ (2y− x)k+ h2 − hk+ k2

avec

h2 − hk+ k2 = o(√

h2 + k2)

car :

0 ≤∣∣∣∣h2 − hk+ k2√

h2 + k2

∣∣∣∣ ≤ 32√h2 + k2

(h,k)→(0,0)−−−−−−→ 0

d’ou la différentielle de f en (x, y) est définie par :

D(x,y)f : R2 → R

(h, k) 7→ D(x,y)f(h, k) = (2x− y)h+ (2y− x)k

Propriétés 4. Soient f : D ⊂ Rn → R et a ∈ D

¶ Si f est différentiable en a alors l’application linéaire définie dans la définition 3.5.2est unique , elle est appelé Différentielles de f en a et est noté Daf ou dfa.

· Si f est différentiable en a alors elle est continue en a.

¸ Si f est une application linéaire de Rn, alors f est différentiable en a et on a :

dfa = f.

¹ Si f est de classe C1 en a alors f est différentiable en a et on a :

dfa(h1, · · · , hn) =n∑k=1

∂f

∂xk(a)hk.

En pratiqueSi f admet des dérivées partielles en a alors pour étudier la différentiabilité de fen a, il suffit de montrer que :

limH→ORn

f(A+H) − f(X) −∑n

k=1∂f∂xk

(a)hk

‖H‖Rn= 0


lim(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k) − f(a, b) − ∂f∂x(a, b)h− ∂f

∂x(a, b)k

√h2 + k2

= 0.

76


Remarque 9. Pour répondre à la question « la fonction f : Rn → R est-elle différen-tiable ? il est utile de se rappeler le schéma suivant :

f est de classe C1 f est différentiable

∂f∂xk

existent

f est continue

⇒⇒

⇒;

;

3.6 Formule de Taylor pour les fonctions à deux va-riables

Théorème 3.3

Soient f une fonction définie sur un ouvert D de R2 et de classe C2 sur D. Alorspour tout X0 = (x0, y0) ∈ D et tout H = (h, k) ∈ D tel que X0 +H ∈ D on a :

f(X0 +H) = f(X0) + dfX0(H) +12H.Hf(X0).H

T + o(‖H‖)

f(x, y) = f(x0, y0) +11!

[∂f

∂x(x0, y0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y− y0)

]+

12!

[∂2f

∂x2(x0, y0)(x− x0)

2 + 2 ∂2f

∂x∂y(x0, y0)(x− x0)(y− y0)

+∂2f

∂y2(x0, y0)(y− y0)

2]+ o

(‖(x− x0, y− y0)‖2

).

Si f est de classe Cn alors :

f(x, y) = f(x0, y0) +11!

[∂f

∂x(x0, y0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y− y0)

]...

+1n!

[∂nf

∂xn(x0, y0)(x− x0)

n

+

k=n−1∑k=1

Ckn∂nf

∂xk∂yn−k(x0, y0)(x− x0)

k(y− y0)n−k

+∂nf

∂yn(x0, y0)(y− y0)

n

]+ o (‖(x− x0, y− y0)‖n) .

Exemples 3.6.1.

77


À Le développement de Taylor à l’ordre 2 au voisinage de (1,0) de la fonctionf(x, y) = x2y+ y2 est donné par :

f(x, y) = y+ 2(x− 1)y+ y2 + o(‖(x− 1, y)‖2).

Á Le développement de Taylor à l’ordre 3 au voisinage de (0,0) de la fonctionf(x, y) = ex siny est donné par :

f(x, y) = y+ xy+12x2y− y3 + o(‖(x, y)‖3).

Â Le développement de Taylor à l’ordre 2 au voisinage de (−2, 1) de la fonctionf(x, y) = −x2 + 2xy+ 3y2 − 6x− 2y− 4 est donné par :

f(x, y) = 1− (x+ 2)2 + 2(x+ 2)(y− 1) + 3(y− 1)2 + o(‖(x+ 2, y− 1)‖2).

3.7 Calcul d’extremum

3.7.1 Généralités

Parmi tous les sujets abordés dans ce cours, l’optimisation de fonctions, générale-ment de plusieurs variables, est sans conteste celle qui apparaît le plus fréquemmentdans la modélisation économique (maximiser le bénéfice, la satisfaction des clients, laproductivité ou minimiser les coûts, le risque,...etc.).Définition 3.7.1

Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans R.

¶ On dit que f est bornée dans D s’il existe un nombre réel positif M, tel que

∀X ∈ D |f(X)| ≤M.

· On dit que f admet un maximum ( resp.minimum) global ( ou absolu)enX0 ∈ D si

∀X ∈ D : f(X) ≤ f(X0) (resp. f(X) ≥ f(X0)).

¸ On dit que f admet un maximum ( resp. minimum) local ( ou relatif) enX0 ∈ D s’il existe un réel r > 0 tel que

∀X ∈ D, ‖X− X0‖ < r : f(X) ≤ f(X0) (resp. f(X) ≥ f(X0)).

Exemples 3.7.1.

78


¶ La fonction f(x, y) = sin(x2 + y2) est bornée sur R2

∀(x, y) ∈ R2, | sin(x2 + y2)| ≤ 1.

· La fonction f(x, y) = x2 + y2 admet un minimum global en (0,0)

∀(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≥ 0 = f(0,0).

¸ tandis que la fonction f(x, y) =√

1− x2 − y2 admet un maximum global en (0,0)

∀(x, y) ∈ Df,√

1− x2 − y2 ≤ 1 = f(0,0).

¹ La fonction f(x, y) = 12 − sin(x2 + y2) admet un maximum local en (0,0), car pour

tout (x, y) ∈ R2 vérifiant : ‖(x, y) − (0,0)‖2 =√x2 + y2 <

√π6 on a :

12− sin(x2 + y2) ≤ 1

2= f(0,0).

cet extremum n’est pas global car, il existe un point (x1, y1) = (0,√

7π6 ) tel que :

f(0,√

7π6) = 1 ≥ 1

2= f(0,0).

3.7.2 Calcul d’extremum locals

Condition nécessaire d’ordre un

Définition 3.7.2

Soient f : D ⊂ Rn une fonction de classe C1. On appelle point critique de f unélément X0 ∈ D tel que :

∂f

∂xk(X0) = 0 ∀k = 1, · · · , n

en d’autre termes :∇f(X0) = 0Rn

Exemples 3.7.2.

À La fonction f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 6y+ 14 admet un seul point critique (1, 3), eneffet :

∇f(x, y) =

2x− 2

2y− 6

79


d’où

∇f(x, y) =

0

0

⇒2x− 2 = 0

2y− 6 = 0⇒x = 1

y = 3

Á la fonction g(x, y) = x4 + y4 − 4xy+ 1 admet trois points critiques : (0,0), (1, 1) et(−1,−1).

∇g(x, y) =

4x3 − 4y

4y3 − 4x

d’où

∇g(x, y) =

0

0

⇒4x3 − 4y = 0

4y3 − 4x = 0

⇒y = x3

x9 − x = 0⇒y = x3

x = 0 ou x = 1 ou x = −1

Proposition 3.4

Si f admet un extremum local en X0 alors X0 est un point critique de f

Exemple 3.7.1. La fonction f(x, y) = x3 + y3 + x + y − 2 n’admet pas d’extremums carelle n’admet pas de points critiques.

∇f(x, y) =

0

0

⇒3x2 + 1 = 0

3y2 + 1 = 0

qui est un système sans solution.

80


Attention !La condition donnée ci-dessus n’est pas suffisante, car les points critiques ne sontpas forcément des extrema locaux mais juste des candidats.

Exemple 3.7.2. la fonction f(x, y) = x2 − y2 + 2 admet (0,0) comme point cri-tique,qui n’est ni un maximum local ni un minimum local :

∇f =

2x

2y

= 0⇒ (x, y) = (0,0)

or

∀r > 0 f(0, r) = 2− r2 < 2 = f(0,0) < f(r,0) = 2+ r2

Conditions suffisantes

Proposition 3.5

Soit f une fonction de classe C2 sur un ouvert D ⊂ R2 et X0 un point stationnairede f ; posons :

s =∂2f

∂x∂y(X0), r =

∂2f

∂x2(X0), t =

∂2f

∂y2(X0), ∆X0 = rt− s

2.

Alors

1. Si ∆X0 > 0 et r = ∂xxf(X0) < 0 alors f présente un maximum local en X0 ;

2. Si ∆X0 > 0 et r = ∂xxf(X0) > 0 alors f présente un minimum local en X0 ;

3. Si ∆X0 < 0 alors f ne présente ni un maximum local ni un minimum local enX0, on dit que f présente un point selle ou un point col en X0 ;

4. Si ∆X0 = 0 on ne peut rien dire, il faut se référer à la formule de Taylor.

Exemples 3.7.3.

À La fonction f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1 admet 3 points critiques :(0,0), (1, 1) et(−1,−1) où f présent un minimum local en (1, 1) et en (−1,−1) et un point selleen (0,0).

r = ∂2f∂x2

(x, y) = 12x2

t = ∂2f∂y2

(x, y) = 12y2

s = ∂2f∂x∂y

(x, y) = −4.

81


d’où le tableau suivant :XXXXXXXXXXXXXXXXPoint critique

coefficientsr t s rt− s2 Conclusion

(0,0) 0 0 −4 −16 < 0 f(0,0) n’est pas un extremum

(1, 1) 12 > 0 12 −4 128 > 0 f(1,0) minimum local

(−1,−1) 12 > 0 12 −4 128 > 0 f(1,0) minimum local

Á La fonction f(x, y) = (x−1)2+y2 admet un seul point critique (1,0) où elle présentun minimum local.

r = ∂2f∂x2

(x, y) = 2;

t = ∂2f∂y2

(x, y) = 2;

s = ∂2f∂x∂y

(x, y) = 0.

d’où comme rt− s2 = 4 > 0 et r = 2 > 0 on en déduit que f(1,0) est un minimumlocal

Â La fonction f(x, y) = x3+3xy2−15x−12y admet 4 points critiques (−1,−2), (−2,−1), (1, 2)et (2, 1) où f présent un minimum local en (2, 1) et un maximum local en (−2,−1).

r = ∂2f∂x2

(x, y) = 6x;

t = ∂2f∂y2

(x, y) = 6x;

s = ∂2f∂x∂y

(x, y) = 6y.

d’où le tableau suivant :

XXXXXXXXXXXXXXXXPoint critique

coefficientsr t s rt− s2 Conclusion

(−1,−2) −6 −6 −12 −108 < 0 f(−1,−2) est un point selle

(−2,−1) −12 < 0 −12 −6 108 > 0 f(−2,−1) maximum local

(1, 2) 6 6 12 −108 < 0 f(1, 2) est un point selle

(2, 1) 12 12 6 108 > 0 f(2, 1) est un minimum local

3.7.3 Recherche d’extrema globaux

Proposition 3.6

Soit f une fonction définie et continue sur le fermé borné D ⊂ R2, alors f estbornée et atteint ses bornes. En d’autre termes : ∃(x0, y0) ∈ D, ∃(x1, y1) ∈ D tels que

82


f(x0, y0) = inf{f(x, y), (x, y) ∈ D} et f(x1, y1) = sup{f(x, y), (x, y) ∈ D}

Les ensembles fermés bornés de R2 que nous rencontrerons tout au long de ce chapitre,sont les ensembles de la forme :

D = {(x, y)/ a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d}

ou

D = {(x, y)/ 0 ≤ g(x, y) ≤M} avec g une fonction continue

ou

D = {(x, y)/ a ≤ x ≤ b g(x) ≤ y ≤ h(x)} avec g, h des fonctions continues.

Exemples 3.7.4.

À Les pavés ou rectangles :

D = {(x, y) ∈ R2/ 2 ≤ x ≤ 3 − 1 ≤ y ≤ 2}

dont le bord est :

∂D = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ Γ4avec

Γ1 = {(x, y) ∈ R2/ 2 ≤ x ≤ 3 y = −1}

Γ2 = {(x, y) ∈ R2/ 2 ≤ x ≤ 3 y = 2}

Γ3 = {(x, y) ∈ R2/ x = 2 − 1 ≤ y ≤ 2}

Γ4 = {(x, y) ∈ R2/ x = 3 − 1 ≤ y ≤ 2}

Γ1

Γ2

Γ3 Γ4

x

y

F 3.14 – Les rectangles sont des fermés bornés de R2

83


Á Les disques fermés par exemple

D = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x2 + (y− 1)2 ≤ 4};

dont le bord est :

∂D = {(x, y) ∈ R2/ x2 + (y− 1)2 = 4}.

∂D

x

y

F 3.15 – Les disques fermés sont des fermés bornés de R2

Â Les triangles par exemple :

D = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2− x}

dont le bord est

∂D = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3avec

Γ1 = {(x, y) ∈ R2/ x = 0 0 ≤ y ≤ 2}

Γ2 = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x ≤ 2 y = 2− x}

Γ3 = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x ≤ 2 y = 0}

84


∂D

Γ1 Γ2

Γ3 x

y

F 3.16 – Les triangles sont des fermés bornés de R2

Procédé pour déterminer les extrema globaux

Pour rechercher les extrema globaux d’une fonction f définie sur un domaine bornéD on procède comme suit :

1. Déterminer la valeur de f en chacun de ses points critiques ;

2. Déterminer la valeur de la fonction f en chaque point ou elle n’est pas dérivable ;

3. Déterminer les extrema de f sur le bord du domaine, ce qui nous ramène le plussouvent à la recherche d’extrema d’une fonctions à une variable ;

4. Pour conclure la plus grande valeurs indique le maximum global et la plus petitevaleur indique le minimum global.

Exemple 3.7.3. Soit la fonction f définie par :

f(x, y) = x2 + y2 − xy+ x+ y sur D = {(x, y) ∈ R/x ≤ 0, y ≤ 0, x+ y ≥ −3}

f admet un point critique en M0(−1,−1) dont la valeur est f(−1,−1) = −1

• Sur la partie de frontière {x = 0}∩D le problème revient à optimiser une fonctionà une variable f0(y) = y2 + y qui admet un minimum en m1(0, −1

2 ) dont la valeurest f(0, −1

2 ) =−14 et un maximum en M1(0,−3)dont la valeur est f(0,−3) = 6.

• Sur la partie de frontière {y = 0}∩D le problème revient à optimiser une fonctionà une variable f1(x) = x2 + x qui admet un minimum en m2(

−12 ,0) dont la valeur

est f(−12 ,0) =

−14 et un maximum en M2(−3,0) dont la valeur es f(−3,0) = 6.

• Sur la partie de frontière {y + x = −3} ∩ D le problème revient à optimiser unefonction à une variable f2(x) = 3x2+9x+6 qui admet un minimum en m2(

−32 ,

−32 )

dont la valeur est f(−32 ,

−32 ) =

−34 et un maximum en M3(−3,0) dont la valeur est

f(−3,0) = f(0,0) = 6.

85


Pour conclure

max(x,y)∈D

f(x, y) = max(6, 6, 6,−1)

= f(0,−3) = f(−3,0) = f(0,0)

min(x,y)∈D

f(x, y) = min(−34,−14,−1)

= −1 = f(−1,−1)

∂D

D

x

y

x + y + 3 = 0

m1•

M1•

m2•

M2•

M3•

m3•

M0×

Fonctions concave et convexe

Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans R.

Définition 3.7.3

1. On dit que f est une fonction convexe sur D si :

∀X ∈ D, ∀Y ∈ D, ∀λ ∈ [0, 1]

f (λX+ (1− λ)Y) ≤ λf (X) + (1− λ)f (Y) .

2. On dit que f est une fonction concave surD si :

∀X ∈ D, ∀Y ∈ D, ∀λ ∈ [0, 1]

f (λX+ (1− λ)Y) ≥ λf (X) + (1− λ)f (Y) .

Exemples 3.7.5.

À la fonction f(x, y) = x2 + y2 est une fonction convexe :

86


−10−5 0 5 10−10

0

100

100

200

x

y

F 3.17 – Graphe de la fonction f3(x, y) = x2 + y2

Comme pour les fonctions d’une variable, la concavité et la convexité des fonctions dedeux variables suffisamment régulières peuvent être caractérisées à l’aide des dérivéesd’ordres un ou deux.Proposition 3.7

Soit f une fonction de D ⊂ R2 dans R. On suppose que f ∈ C2(D), alors :

1. La fonction f est concave sur D si et seulement si

∀(x, y) ∈ D, det (Hf(x, y)) ≥ 0 et ∂2f

∂x2(x, y) ≤ 0.

2. La fonction f est convexe sur D si et seulement si

∀(x, y) ∈ D, det (Hf(x, y)) ≥ 0 et ∂2f

∂x2(x, y) ≥ 0.

Exemples 3.7.6.

À La fonction f(x, y) = x2 + y2 est convexe car :

Hf(x, y) =

2 0

0 2

d’où ∀(x, y) ∈ R2 det(Hf(x, y)) = 4 > 0 et ∂xxf(x, y) = 2 > 0

Á La fonction f(x, y) = x4 + y4 est convexe car :

Hf(x, y) =

12x2 0

0 12y2

d’où ∀(x, y) ∈ R2 det(Hf(x, y)) = 144x2y2 ≥ 0 et ∂xxf(x, y) = 12x2 ≥ 0

87


Â La fonction f(x, y) = x4 + y4 est convexe car :

Hf(x, y) =

12x2 0

0 12y2

d’où ∀(x, y) ∈ R2 det(Hf(x, y)) = 144x2y2 ≥ 0 et ∂xxf(x, y) = 12x2 ≥ 0

Proposition 3.8

Soit f une fonction de classe C1 sur Rn

1. Si f est convexe sur Rn, et f admet un point critique X0 alors f(X0) est leminimum global de f.

2. Si f est concave sur Rn, et f admet un point critique X0 alors f(X0) est lemaximum global de f.

Exemples 3.7.7.

À La fonction f(x, y) = x2−xy+ 14y

4+ 12y

2 est une fonction convexe sur R2 qui atteintson minimum global en son point critique (0,0) et qui n’admet pas de maximumcar f(x,0) = x2 −−−−→

x→+∞ +∞.3.8 Théorème des fonctions implicites

Si b 6= 0, α ∈ R l’equation ax + by + c = α définie une fonction y = α−ax−cb

. Nousallons généralisé ce fait au cas d’une équation du type f(x, y) = α où f est une fonctionde classe C1. Étant donnée un point (x0, y0), vérifiant f(x0, y0) = α, le théorème desfonction implicite confirme -sous certaines conditions- l’existence d’un voisinage I ⊂ Rde x0 et d’une fonction ϕ définie sur I telle que f(x,ϕ(x)) = α en chaque point x ∈ I,d’où l’énoncé :Théorème 3.9

Soit f une fonction de classe C1 sur D et (x0, y0) un point vérifiant : f(x0, y0) = α ettel que ∂f

∂y(x0, y0) 6= 0. Alors il existe deux intervalles I 3 x0, J 3 y0 et une fonction

ϕ : I −→ J tels que :

f(x,ϕ(x)) = α ∀x ∈ I

De plus ϕ est dérivable et on a :

ϕ′(x) = −∂xf(x,ϕ(x))

∂yf(x,ϕ(x))∀x ∈ I

88


Exemples 3.8.1.

1. Soit P la fonction de production. Une isoquante est une courbe de niveau α oùα est un réel fixé. Si on diminue un peu la quantité de x, de combien faudra-ilaugmenter la quantité de y pour garder le même niveau de production α? D’aprèsl’équation de la tangente

y− y0 =−∂xf(x0, y0)

∂yf(x0, y0)(x− x0).

Le ratio −∂xf(x0,y0)∂yf(x0,y0)

s’appelle le TMST ( taux marginal de substitution technique).

3.9 Fonctions homogènes

Soit f une fonction définie sur U ⊂ Rn à valeur dans R, on suppose que U est telque :

∀X ∈ U, ∀δ > 0, δX ∈ U.Définition 3.9.1

On dit que f est homogène de degré r ∈ R sur U si :

∀X ∈ U, ∀δ > 0, f(δX) = δrf(X).


∀(x, y) ∈ U ⊂ R2, ∀δ > 0, f(δx, δy) = δrf(x, y).

Le théorème d’Euler montre que les fonctions homogènes satisfont une propriété remar-quable liant la fonction et ses dérivées partielles.Théorème 3.10 (Théorème d’Euler)

Si f est homogène de degrés r sur U, on a en tout point X = (x1, · · · , xn) ∈ U où fest différentiable

n∑i=1

xi∂f

∂xi(X) = r.f(X);


x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= r.f(x, y).

89


3.10 Application économique

Dans cette section, nous aborderons des application économiques des dérivées par-tielles et du calcul d’extremums.

3.10.1 Fonction d’utilité

La relation de préférence « � »donne le classement, par un individu, des différentescombinaisons de biens en fonction de la satisfaction qu’il lui procure.

La fonction d’utilité représentant les préférences d’un consommateur dans un en-semble de n−biens est une fonction mathématique qui, à chaque panier composé de cesn−biens, fais correspondre un nombre qui respecte l’ordre des préférences. En d’autreterme : Si on note par :

• (x1, · · · , xn) la combinaison de n−biens dite panier de biens , constituée denombres réels xi représentant pour chaque i = 1, · · · , n la quantité de bien i.

• Cn l’ensemble des paniers .

• « � »la relation de préférence.

Une fonction d’utilité est une fonction U définie sur Cn à valeurs dans R qui vérifie :

∀A, B ∈ Cn : A � B⇔ U(A) ≥ U(B).

où ≥ est la relation d’ordre usuelle définie sur R.Les fonctions d’utilités les plus utilisées dans le cas de deux biens, sont les suivantes,

avec a, b, α, β et γ des nombres réels strictement positifs :

+ U(x, y) = xαyβ ;

+ U(x, y) = a ln(x) + b ln(y) ;

+ U(x, y) =(axα + byβ

)γ.

à titre d’application de ce qui a été fait dans ce chapitre, dans l’étude de la fonctiond’utilité on retrouve :

Utilité marginal d’un bien pour un consommateur, notée Umi, désigne la satisfac-tion supplémentaire qui résulte de l’augmentation ( minimal) de la quantité consom-mée de ce bien, elle se calcul ( voir [10] p.131.) :

Umi(x1, · · · , xn) =∂U

∂xi(x1, · · · , xi, · · · , xn).

90


La Courbe d’indifférence associée à un panier quelconque A, regroupe tous les pa-niers qui procurent au consommateur la même satisfaction que A. Ainsi si U estla fonction d’utilité d’un consommateur, On notera IA cette courbe :

IA = {B ∈ Cn/A � B et B � A} = {B ∈ Cn/A ∼ B}.

Le taux de substitution du bien j au bien i, est le taux auquel un individu accepted’échanger du bien i contre du bien j ( voir [10] p.133.) :

TMSj/i = −

∂U∂xi

(x1, · · · , xn)∂U∂xj

(x1, · · · , xn)= −

Umi

Umj

.

3.10.2 Fonction de production

La fonction de production est l’un des plus important outil pour les économistes. Engénérale, la fonction de production donne une relation entre la quantité de facteurs deproduction « inputs »et le volume de bien produit « output ». Considérons un entreprisequi utilise n facteurs de production, notons xi, i = 1 · · ·n, la quantité de facteur« i »utilisés et Q la quantité de bien produit, la formulation mathématique de la fonctionde production est une fonction noté Q définie par :

F : (R+)n → R∗+

(x1, · · · , xn) 7→ Q = Q(x1, · · · , xn)

L’un des exemples les plus utilisé en économie est la fonction de production de Cobb-Douglas développée en 1928 par deux américains : Paul. H. Douglas ( 1892-1976) unéconomiste et Charles W.Cobb un mathématicien, qui s’écrit sous la forme :

Q = Q(L, K) = ALαKβ (3.11)

avec

• L est la quantité de travail ;

• K la quantité du capital investi ;

• A,α, β sont des constantes réelles strictement positives.

Prenons un exemple spécifique en plaçant A = 10 et α = β = 0.5, donc nous avons :

Q = Q(L, K) = AL0.5K0.5 (3.12)

Une isoquante : associée à une fonction de production Q et à un niveau de productionq0 donné, est l’ensemble de toutes les combinaisons de facteurs qui permettent deproduire exactement q0. Mathématiquement cela représentent pour les fonctionsde production à deux facteurs les courbes de niveau de la fonction de production :

Iq0 = {(L, K) ∈ R+ × R+/Q(K, L) = q0}.

91


Exemple 3.10.1. Considérons l’isoquante de la fonction de Cobb-Douglas pourun niveau de production fixé à Q = 50 ce qui donne la relation implicite entre laquantité de travail L et la quantité de capital K :

50 = 10L0.5K0.5

en élevant au carré on obtient la relation explicite :

25 = LK⇔ K =25L

De même pour un niveau de production fixé à Q = 60 on a la relation explicitetravail-capital donnée par :

70 = 10L0.5K0.5 ⇒ K =49L

L 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40

K = 25L

250 125 83 63 50 42 36 31 28 25 22.73 21 19 18

K = 49L

490 245 136 123 98 82 70 61 54 49 45 41 38 35

K = 64L

640 320 213.33 160 128 106.67 91.43 80 71.11 64 58.18 53.33 49.23 45.71

T 3.1 – Tableau des isoquantes de niveaux Q = 50, Q = 70 et Q = 80 pour la fonction deproduction Q = 10L0.5K0.5.

0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1 1,10 1,20 1,30 1,40 L

K

100

200

300

400

500

600

Isoquante de niveau Q = 50



F 3.18 – Isoquantes de niveaux Q = 50, Q = 70 et Q = 80 pour la fonction de productionQ = 10L0.5K0.5.

Productivité marginale : En générale, la productivité marginale d’un facteur de pro-duction désigne l’augmentation de la quantité de bien produit qui résulte de cefacteur utilisé( voir [10]). Pour la fonction de production à deux facteurs on a :

92


Productivité marginale du travail (PML) :

PML =∂Q

∂L(L, K) = AαLα−1Kβ.

ainsi pour une quantité de capital « K »fixe : PML > 0, alors Q augmentequand L augmente.

Exemple 3.10.2. Si on prend le cas Q = 10L0.5K0.5. La productivité marginaledu travail :

PML = 5√K

L> 0 ∀L, K > 0.

Productivité marginale du capital (PMK) :

PMK =∂Q

∂K(L, K) = AβLαKβ−1.

ainsi pour une quantité de travail « L »fixe : PMK > 0, alors Q augmentequand K augmente.

Exemple 3.10.3. Si on prend le cas Q = 10L0.5K0.5. La productivité marginaledu travail :

PMK = 5√L

K> 0 ∀L, K > 0.

Loi de décroissance de productivité : appliqué au travail L (resp. au capital K), sti-pule que si on continue à augmenté la quantité de travail avec une quantité decapital K constante, alors la croissance de la production devient de plus en pluslente, ce qui se traduit mathématiquement par la décroissance de PML (resp. PMK)qu’on peut constater en calculant la dérivé partielle seconde de la fonction deproduction par rapport au travail (L) (resp. par rapport au travail (K) :

∂2Q

∂L2< 0, ∀L > 0, Kest constante.

Exemple 3.10.4. Si on prend le cas Q = 10L0.5K0.5. La productivité marginale dutravail est décroissante du moment que :

∂2Q

∂L2= 5(−0.5)K0.5L−0.5−1 = −0.25K0.5L−1.5 < 0 ∀L > 0, K constante.

De même si on applique cette loi au capital on aura :

∂2Q

∂K2 < 0, ∀K > 0, Lest constante.

Exemple 3.10.5. Si on prend le cas Q = 10L0.5K0.5. La productivité marginale ducapital est décroissante du moment que :

∂2Q

∂L2= 5(−0.5)K−0.5−1L0.5 = −0.25K−1.5L0.5 < 0 ∀K > 0, L est constante.

93


Élasticité d’un facteur de production : mesure la variation en pourcentage « % »dela quantité produite à la suite d’une augmentation de 1% de la quantité d’unfacteur (voir [10]). Mathématiquement elle se calcul par :

εL =

∂Q∂L(L, K)

Q(L,K)L

=L

Q(L, K)

∂Q

∂L(L, K) =

α.ALα−1Kβ

ALα−1Kβ= α (3.13)

εK =

∂Q∂K(L, K)

Q(L,K)K

=K

Q(L, K)

∂Q

∂K(L, K) =

β.ALαKβ−1

ALαKβ−1 = β (3.14)

Exemple 3.10.6. Si on prend le cas Q = 10L0.5K0.5. L’élasticité des facteurs K, etL :

εL =

∂Q∂L(L, K)

Q(L,K)L

=L

10√LK

5√K√L

= 0.5 (3.15)

εK =

∂Q∂K(L, K)

Q(L,K)K

=K

10√LK

5√L√K

= 0.5 (3.16)

Taux marginal de substitution technique(TMST ) : Le taux marginal de substitutiontechnique du facteur j au facteur i 6= j est la quantité minimal de facteur j quipeut compenser une faible diminution du facteur i tout en maintenant le niveaude production inchangé (Voir [10], p.35). Mathématiquement, En maintenant leniveau de production inchangé l’égalité :

Q = Q(x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xn)

devient une équation implicite reliant la quantité xi du ièmefacteurs avec la quantitéxj du jèmefacteurs ce qui nous permet de confirmer que :

xi = ϕ(xj)

d’où :

TMST =

∣∣∣∣dxidxj

∣∣∣∣et comme c’est une équation implicité on utilise le théorème des fonctions impli-cites pour calculer cette dérivée

TMST =

∣∣∣∣∣∣−∂Q∂xi

(x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xn)∂Q∂xj

(x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xn)

∣∣∣∣∣∣En particulier pour la fonction de production de Cobb-Douglas à deux facteurs :

Q = Q(L, K)

94


Rendement d’échelle : désigne la façon dont varie la quantité produite si l’on aug-mente dans la même proportion tous les facteurs de production

Le rendement d’échelle est constant si en multipliant par la même constanteδ > 1 la quantité de tous les facteurs de production, la quantité produite estmultiplié par δ exactement. Ce qui se traduit mathématiquement par :

Q(δx1, · · · , δxn) = δQ(x1, · · · , xn) Qest une fonction homogène de degré 1.

Le rendement d’échelle est croissant si en multipliant par la même constanteδ > 1 la quantité de tous les facteurs de production, la quantité produite estmultiplié par plus de δ. Ce qui se traduit mathématiquement par :

Q(δx1, · · · , δxn) > δQ(x1, · · · , xn).

Le rendement d’échelle est croissant si en multipliant par la même constanteδ > 1 la quantité de tous les facteurs de production, la quantité produite estmultiplié par plus de δ. Ce qui se traduit mathématiquement par :

Q(δx1, · · · , δxn) < δQ(x1, · · · , xn).

Exemple 3.10.7. La fonction production de Cobb-Douglas à deux facteurs esthomogène de degré α+ β. Soit δ > 1

Q(δL, δK) = A (δL)α (δK)β

= Aδα+βLαKβ = δα+βQ(L, K).

• Si α+ δ = 1 le rendement d’échelle est constant ;

• Si α+ δ > 1 le rendement d’échelle est croissant ;

• Si α+ δ < 1 le rendement d’échelle est décroissant.

95

CHAPITRE 4

CALCUL INTÉGRALE DOUBLE

On a vu en 1ère année qu’à une fonction f continue sur un segment [a, b], a, b ∈ R,on peut associer un nombre I(f) dit intégrale de f sur [a, b],, représentant l’aire délimitépar la courbe de la fonction f et l’axe (Ox) définie par la somme :

I(f) = limn→+∞

n∑k=1

(xk − xk−1)f(xk) = limn→+∞

n∑k=1

(xk − xk−1)f(xk−1)

où {xk, k = 1 · · ·n} est une subdivision de l’intervalle [a, b].

x

y

F 4.1 – Ilustration de l’intégrale de Riemann

4.1 Notion d’intégrale double

De manière analogue l’intégrale d’une fonction continue f sur un fermé borné D(c.à.d. un domaine délimité par des courbes) on peut lui associer un nombre réel noté∫∫D fdxdy représentant le volume de surface délimité par le graphe de la fonction f et

96

Chapitre 4. Calcul intégrale double

le domaine D, et qui est définie par :∫∫Dfdxdy = lim

max1≤j,k≤n

(∆Sk,j)→0

n∑k=1

f(xk, yk)∆Sk,j

où Sj,k est une subdivision du domaine D, (xj, yk) ∈ Sj,k et ∆Sj,k est l’aire de Sj,k.

Exemple 4.1.1. Pour f(x, y) = x, D = [0, 1]× [1, 2], on considère la subdivision :

Sj,k = [j− 1n,j

n]× [1+ k− 1

n, 1+ k

n], ∆Sj,k =

1n2 , ∀k = 1 · · ·n

∫∫Dxdxdy = lim

n→+∞n∑j=0

n∑k=0

f(xj, yk)∆Sj,k

= limn→+∞

n∑j=0

n∑k=0

j

n

1n2 = lim

n→+∞1n3

(n∑j=0

n∑k=0

j

)

= limn→+∞

1n3

(n2(n− 1)

2

)=

12.

4.1.1 Propriétés de l’intégrale double

Propriétés 5. Soient D un domaine fermé bornée de R2(c.à.d D est délimité par descourbes de fonctions continue), f et g deux fonction continue sur D et λ des constantesréelles. Alors :

Propriété algébrique :∫∫D(f(x, y) + λg(x, y))dxdy =

∫∫Df(x, y)dxdy+ λ

∫∫Dg(x, y)dxdy (4.1)

Positivité Si f ≥ 0 (resp. f(x, y) ≥ g(x, y))alors :∫∫Df(x, y)dxdy ≥ 0

(resp.

∫∫Df(x, y)dxdy ≥

∫∫Dg(x, y)dxdy

).

Additivité : Si D est la réunion des deux domaines D1 et D2 tels que l’une des propo-sitions suivantes est vérifiée :

• D1 ∩ D2 = φ ou que

• D1 ∩ D2 = {(x, y) ∈ D/x ∈ I, y = ϕ(x)} où I est un intervalle de R et ϕ estune fonction continue sur I.

alors : ∫∫Df(x, y)dxdy =

∫∫D1

f(x, y)dxdy+

∫∫D1

f(x, y)dxdy (4.2)

97


4.2 Calcul intégrale double

4.2.1 Calcul intégrale sur un rectangle [a, b]× [c, d]

Théorème 4.1 (Théorème de Fubini pour les rectangles)

Soit D = [a, b] × [c, d] où a, b, c et d des réels tels que a < b, c < d et f unefonction continue sur D alors :∫∫

Df(x, y)dxdy =

∫dc

(∫ba

f(x, y)dx

)dy =

∫ba

(∫dc

f(x, y)dy

)dx

Cas particulier : Si f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) alors :∫∫Df(x, y)dxdy =

(∫ba

ϕ(x)dx

).

(∫dc

f(x, y)dy

)

Exemples 4.2.1.

À Pour D = [0, 1]× [0, 2] et f(x, y) = xexy alors :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫ 10

(∫ 20xexydy

)dx

=

∫ 10

(exy|

20

)dx =

∫ 10

(e2x − 1

)dx

=12e2 −

32.

Á Pour D = [0, 1]× [1, 2] et f(x, y) = 2xy2 alors :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫ 10

(∫ 212xy2dy

)dx

=

(∫ 102xdx

).

(∫ 21y2dy

)=(x2∣∣10

)( 13y3∣∣∣∣21

)=

73.

4.2.2 Calcul intégrale sur un domaine régulier :

On distingue dans cette section deux cas possibles :

Domaine régulier de premier type : est un domaine délimité entre deux courbes defonctions continues en y, en bref, qui s’écrit sous la forme :

D = {(x, y) ∈ R2|c < y < d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} (4.3)

98


où c, d sont des réels tels que c < d et ϕ, ψ sont deux fonctions continues sur[c, d] avec ϕ ≤ ψ.

x

y

c y = c

d y = d

•

•

ϕ(y)

•

•

Ψ(y)

F 4.2 – Domaine régulier de premier type.

L’intégrale sur ce type de domaine se calcule par une formule qui est une généra-lisation du théorème de Fubini cité ci-dessus (Théorème 4.1 ) :∫∫

Df(x, y)dxdy =

∫dc

(∫ψ(y)ϕ(y)

f(x, y)dx

)dy. (4.4)

Exemple 4.2.1. Soit D = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ 3 − x2} et f(x, y) =

x+ 2y alors : ∫∫Df(x, y)dxdy =

∫ 10

(∫ 3−x22x

(x+ 2y)dy

)dx

=

∫ 10

(xy+ y2

∣∣3−x22x

)dx

=

∫ 10

(x4 − x3 − 12x2 + 3x+ 9

)dx

=12920

x

y

y = 2xy = 2x

1

A(1, 2)2

y = 3 − x2

B(0, 3)

O(0, 0)

D

F 4.3 – Exemple d’intégrale sur un domaine régulier premier type.

99


Domaine régulier de second type : est un domaine délimité entre deux courbes defonctions continues en x, en bref, qui s’écrit sous la forme :

D = {(x, y) ∈ R2|a < x < b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} (4.5)

où a, b sont des réels tels que a < b et φ, Ψ sont deux fonctions continues sur[a, b] avec φ ≤ ψ.

x

y

a

x = a

b

x = b

••

φ(x)

•

•

ψ(x)

F 4.4 – Domaine régulier de second type.

De même, l’intégrale sur ce type de domaine se calcule par une formule qui estune généralisation du théorème de Fubini cité ci-dessus ( voir Théorème 4.1) :

∫∫Df(x, y)dxdy =

∫ba

(∫ψ(x)φ(x)

f(x, y)dy

)dx. (4.6)

Exemple 4.2.2. Soit D = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 4, √y ≤ x ≤ 4} et f(x, y) = 2x+5yalors :


∫40

(∫4√y

(2x+ 5y)dx

)dy

=

∫40

(5xy+ x2

∣∣3−x22x

)dy

=

∫40

(192y2 + 16y− 2

√y5)dy

= 152

100


x

y

4

x = 4

4 y = 4

D

F 4.5 – Calcul intégrale sur un domaine régulier de second type.

4.2.3 Calcul Intégrale sur un domaine quelconque

Il arrive que le domaine D soit délimité par plusieurs courbes, comme dans l’exempleillustré dans les exemples de la Figure 4.2.3 :

x

y

F 4.6 – Domaines quelconque non régulier.

Pour calculer l’intégrale d’une fonction continue sur un domaine D ⊂ R2, on utilisel’égalité 4.2 énoncée dans la Propriétés 5. Dans ce qui suit, on considère un domainequi n’est ni régulier par rapport à l’axe (Ox) ni à celui de l’axe (Oy).

Exemple 4.2.3. Soit à calculer l’intégrale de la fonction f(x, y) = 1 + x sur le domaineD = {(x, y) ∈ R2/y ≥ |x|, 2y ≤ x+ 4}

101


D1

D2

x

y

y = −x

y = x

2y = x + 4

xA

A yA

xB

ByB

(i) 1èreAlternative

D̃1

D̃2

x

y

y = −x

y = x

2y = x + 4

xA

A yA

xB

ByB

(ii) 2èmeAlternative

F 4.7 – Possibilités de découpage du domaine D

1ère Alternative On divise le domaine D en deux sous domaines D1 et D2 en traçantune droite parallèle à l’axe (Oy) passant par le point (0,0) ce qui donne :

D1 = {(x, y) ∈ R2/−43≤ x ≤ 0, −x ≤ y ≤ 1

2(x+ 4)}

D2 = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 12(x+ 4)}

ainsi on a :


∫∫D1

f(x, y)dxdy+

∫∫D1

f(x, y)dxdy

=

∫0−43

(∫ 12 (x+4)

−x

(1+ x)dy

)dx) +

∫40

(∫ 12 (x+4)

x

(1+ x)dy

)dx)

=

(∫0−43

(y+ xy)|12 (x+4)−x dx

)+

(∫40y+ xy|

12 (x+4)x dx

)=

∫0−43

(32x2 +

72x+ 2)dx+

∫40(−12x2 +

32x+ 2)dx

=

(12x3 +

74x2 + 2x

∣∣∣∣0−43

)dx+

(−16x3 +

34x2 + 2x

∣∣∣∣40

)dx

=2027

+283

=27227.

2èmeAlternative On divise le domaine D en deux sous domaines D̃1 et D̃2 en traçantune droite parallèle à l’axe (Oy) passant par le point B, ce qui donne :

D̃1 = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 43, −y ≤ x ≤ y}

D̃2 = {(x, y) ∈ R2/43≤ y ≤ 4, 2y− 4 ≤ x ≤ y}

102


ainsi on a :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫∫D̃1

f(x, y)dxdy+

∫∫D̃1

f(x, y)dxdy

=

∫ 43

0

(∫y−y

(1+ x)dx)dy) +

∫443

(∫y2y−4

(1+ x)dx)dy)

=

(∫ 43

0(x+

x2

2)

∣∣∣∣y−y

dx

)+

(∫443

x+x2

2

∣∣∣∣y)2y−4

dx

)

=((y2)

∣∣ 430

)+

((−12y3 +

72y2 − 4y)

∣∣∣∣443

)

=169

+22427

=27227.

4.3 Calcul intégrale par changement de variables

4.3.1 Changement de variables cartésienne :

Soit f une fonction continue sur un domaine borné D de R2. On peut calculer l’in-tégrale

∫∫D f(x, y)dxdy de deux manières différentes selon que s’exprime le changement

de variables :

1ère méthode Dans ce cas on écrit les variables (x, y) en fonction des nouvelles va-riables de la manière suivante : ϕ une fonction de classe C1 définie par :

ϕ : ∆→ D(u, v) 7→ ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)).

et telle que : ϕ (∆) = D, alors la formule d’intégration devient :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫∫∆

f(ϕ(u, v)) |detJϕ(u, v)|dudv (4.7)

où

Jϕ(u, v) =

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

2èmeCas : dans ce cas les nouvelles variables sont exprimées en fonction de (x, y) : ψ

une fonction de classe C1 définie par :

ψ : D → ∆

(x, y) 7→ ψ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) .

et telle que : ψ (D) = ∆, alors la formule d’intégration devient :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫∫∆

f(ψ−1(u, v)

) ∣∣∣(det Jψ)−1∣∣∣dudv. (4.8)

103


où

Jψ(x, y) =

∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

Exemple 4.3.1.

À Soit à calculer l’intégrale∫∫D(x+ y+ 2)dxdy où

D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ x+ y ≤ 1, −2 ≤ x− y ≤ 2}.

en utilisant le changement de variables :

ϕ :

x = 1

2(u+ v),

y = 12(u− v).

⇒∆ = {(u, v) ∈ R2/− 1 ≤ u ≤ 1, −2 ≤ v ≤ 2}

|detJϕ(u, v)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1

212

12

−12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

12

d’où l’intégrale devient :∫∫D(x+ y− 2)dxdy

∫∫∆

((u+ v

2) + (

u− v

2) + 2

)12dudv =

∫ 2−2

∫ 1−1(u+ 2)dudv

=12

∫ 2−2

(u2

2+ 2u

∣∣∣∣1−1

)dv = 8.

A

B

C

D

x

y

y = 1 − x

y = −1 − x

y = 2 + x

y = −2 + x

D

ϕ−1u

v

Du,v

F 4.8 – Exemple 1 d’intégration par changement de variables.

Á Soit à calculer l’intégrale∫∫D(x − y)dxdy où D est le domaine délimité par les

droites :x = 0, y = x+ 2, y = −x

104


On considère le changement de variables :

ψ :

u = x+ y

v = xy

⇒∆ = {(u, v) ∈ R2/u ≥ 0, v ≥ −2, u+ v ≤ 0}

|detJψ| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2.

x

y

y = x + 2

y = −x

D

ψ

u

v

u + v = 0

v = −2

∆

F 4.9 – Exemple 2 d’intégration par changement de variables

et l’intégrale devient :∫∫D(x− y)dxdy =

∫∫∆

f(ψ−1(u, v)) |detJψ|−1dudv

=12

∫0−2

(∫−v0

2vdu)dv =

∫0−2

(uv|

−v0)dv

=

∫0−2

(−v2

)dv =

−v3

3

∣∣∣∣0−2

=−83.

4.3.2 Utilisation des coordonnées polaires

Soient f une fonction continue sur un domaine borné D de R2. On explicite danscette section l’intégration en utilisant les cordonnées polaires définie par :

ϕ :

x = r cos θ,

y = r sin θ.⇒∆ = {(r, θ) ∈ R2/(r cos θ, r sin θ) ∈ D}

|detJϕ(r, θ)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = |r|.

et la formule d’intégration en coordonnées polaires est donnée par :∫∫Df(x, y)dxdy =

∫∫∆

f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ. (4.9)

105


Exemple 4.3.2. Soit à calculer l’intégrale de la fonction f(x, y) = xy sur le domaine Ddéfinie par :

D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ y, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

En utilisant les cordonnées polaires l’intégrale devient :

x

y

D

y = x

ϕr

θ

1

π4

π2

2

∆

F 4.10 – Application des cordonnées polaires pour calculer∫∫D xydxdy.

∆ = {(r, θ)/(r cos θ, r sin θ) ∈ D}

= {(r, θ)/0 ≤ r cos θ ≤ 2 sin θ, 1 ≤ r2 ≤ 4}

= {(r, θ)/1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ cos θ, sin θ ≥ 0, tan θ ≥ 12}

= {(r, θ)/1 ≤ r ≤ 2, π

4≤ θ ≤ π

2}∫∫

Dxydxdy =

∫∫∆

r2 cos θ sin θ.rdrdθ =

∫∫∆

r3 cos θ sin θdrdθ

=

(∫ 21r3dr

)(∫ π2

π4

cos θ sin θ

)=

(14r4∣∣∣∣21

).

(12sin2 θ

∣∣∣∣π2π4

)=

1516.

106

CHAPITRE 5

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

Une équation différentielles ordinaire( en abrégé EDO) est une équation quifait intervenir dans son expression une variable indépendante noté x et une fonctioninconnue noté y et une ou plusieurs de ses dérivées y ′, y ′′, · · · , y(n) où pour n ∈ N :

F (x, y, y ′, · · · , yn) = 0

l’ordre de l’EDO est l’ordre de dérivation de y le plus élevé intervenant dans l’équation.

Exemples 5.0.1.

À y ′ = xy est une EDO d’ordre un ;

Á y ′′ − 2y ′ + y = 0 est une EDO d’ordre 2.

Définition 5.0.1

Une fonction f est dite solution de l’EDO si l’équation est satisfaite lorsque y = f. lacourbe représentative se la solution est dite Courbe intégrale de l’EDO.

Exemples 5.0.2.

À La fonction y = exp( 12x2) est solution de l’EDO y ′ = xy;

Á Les fonctions f(x) = e3x f(x) = e−x sont des solutions de l’EDO : y ′′−2y ′−3y = 0est une EDO d’ordre 2.

Remarque 10. Une EDO admet en générale, une infinité de solutions, pour choisirentre les différentes solutions, il faut considérer des données supplémentaires qui sonten relation avec la nature du problème. Par exemple la valeur de la fonction ou/et deses dérivées prise en un ou plusieurs point de l’intervalle d’intégration.

107

Chapitre 5. Équations différentielles ordinaires

5.1 Équations différentielles ordinaires d’ordre un

5.1.1 Équations différentielles ordinaires à variables séparables

Une équation à variables séparables est une équation d’ordre un qui s’écrit sousla forme :

f(y(x))y ′(x) = g(x) (5.1)

où f et g sont des fonctions données dont on connaît les primitives.

Exemple 5.1.1. Les EDO suivantes sont des équations à variables séparables

y ′ = xy, y ′ =x2

y2, y ′ =

6x2

2y+ cos(y), y ′ = x2y.

En pratique (Résolution d’EDO à variables séparées ou séparables).

- En pratique comme y ′(x) = dydx

alors on peut écrire l’équation (5.1) sous la forme :

f(y)dy = g(x)dx

- Intégrer formellement les deux membres. Ce qui donne :

F(y) = G(x) + C, C ∈ R

où F et G sont des primitives def et g respectivement.

Exemples 5.1.1.

À L’EDO y ′ = xy admet comme solution la fonction de forme générale f(x) = K e 12x

2

avec K ∈ R. En effet :

y ′ = xy⇒ dy

y= xdx⇒ ∫ dy

y=

∫xdx

⇒ ln |y| =12x2 + C C ∈ R

⇒ y = K e 12x

2K ∈ R

Á L’EDO y ′ = x2

y2admet comme solution la fonction de forme générale f(x) =

3√x3 + K avec K ∈ R. En effet :

y ′ =x2

y2⇒ y2dy = x2dx⇒ ∫ y2dy =

∫x2dx

⇒ 13y3 =

12x3 + C C ∈ R

⇒ y =3√x3 + K K ∈ R

Â L’EDO y ′ = 6x22y+cos(y) admet comme solution la fonction de forme générale y2 +

sin(y) = 2x3 + K avec K ∈ R. En effet :

y ′ =6x2

2y+ cos(y)⇒ (2y+ cos(y))dy = 6x2dx⇒ ∫ 2y+ cos(y)dy =

∫6x2dx

⇒ y2 + sin(y) = 2x3 + C C ∈ R.

108


5.1.2 Équation homogène

Une EDO d’ordre un est dite homogène si elle s’écrit sous la forme :

y ′(x) = f(x, y). (5.2)

avec f une fonction homogène (voir la définition 3.9.1p. 89)

En pratique (Résolution d’une EDO homogène :). On reconnais une EDO homogèneen l’écrivant sous la forme :

y ′ = F(yx

). (5.3)

où F est une fonction quelconque. Donc pour résoudre une EDO homogène, on pose lechangement de variable

u =y

x

ce qui nous ramène à une EDO à variables séparées de la forme :

xu ′(x) + u(x) = F(u(x))⇔ (1

F(u(x)) − u(x)

)u ′(x) =

1x. (5.4)

Exemples 5.1.2.

À L’EDO x2 + y2dx− xydy = 0 est une EDO homogène,en effet : on pose u = yx

dy

dx=x2 + y2

xy⇒ dy

dx=x2(1+ (y

x)2)

x2 yx⇒ xu ′ + u =

1+ u2

u⇒ uu ′ =

1|x|⇒ u = ±

√2 ln(|x|) + C, C ∈ R⇒ y = ±x√

2 ln(|x|) + C, C ∈ R

Á L’EDO 2xyy ′ = y2 − x2 est une EDO homogène,en effet : on pose u = yx

dy

dx=u2 − 12u

⇒ 2uu ′

1+ u2 =−1x⇒ 1+ u2 =C

x, C ∈ R

⇒ y2 = Cx− x2, C ∈ R

5.1.3 Équations différentielles ordinaires linéaires d’ordre un

Une équation différentielle linéaire d’ordre un est une EDO qui s’écrit sous laforme :

a(x)y ′(x) + b(x)y(x) = c(x) (5.5)

où a, b et c sont continues sur un certain intervalle.À l’EDO (5.5),on associe une EDO dite équation sans second membre associée

a(x)y ′(x) + b(x)y(x) = 0 (5.6)

109


Exemples 5.1.3.

À L’EDO xy ′ + y = 2x est linéaire d’ordre un dont l’EDO sans second membreassociée est xy ′ + y = 0

Á L’EDO y ′ + 3x2y = 6x2 est linéaire d’ordre un dont l’EDO sans second membreassociée est y ′ + 3x2

y = 0

Â L’EDO y ′ + 2xy = 0 est linéaire d’ordre un dont l’EDO sans second membreassociée est y ′ + 2xy = 0

En pratique.

- Pour résoudre une EDO linéaire d’ordre un on commence par résoudre l’EDOlinéaire sans second membre associée : On se met dans un intervalle où a 6= 0

a(x)y ′(x) + b(x)y(x) = 0⇒ y ′

y=b

a

⇒ ln |y| =

∫b(x)

a(x)dx+ C

⇒ y = K exp(∫

b(x)

a(x)dx

)≡ K exp(A(x))

oùAest une primitive de la fonction b

a

- Pour résoudre l’équation avec second membre (5.5), on utilise une méthode diteméthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution dela forme :

y(x) = K(x) exp(A(x)).

En restituant cette forme à l’équation (5.5), on obtient une EDO en K :

K ′(x) = f(x) exp(−A(x)).

Exemples 5.1.4.

À Soit à résoudre l’EDO linéaire suivante : y ′ + 3x2y = 6x2

/ On commence par résoudre l’équation sans second membre associée :y ′ +3x2y = 0 ce qui donne :

y(x) = K exp(−x3), K ∈ R

/ Pour résoudre l’équation avec second membre on fait variée la constanteK = K(x) et on la restitue dans l’équation,ce qui donne :

K ′(x) = 6x2 ex3 ⇒ K(x) = 2 ex3 +C, C ∈ R.

/ d’où y(x) = 2+ C exp(−x3), C ∈ R

110


5.1.4 Équations différentielles ordinaires de Bernoulli

ce sont des EDO d’ordre un qui s’écrivent de la forme :

a(x)y ′(x) + b(x)y(x) = g(x)yα(x) avec α 6= 1 (5.7)

Pour résoudre ce type d’équation on considère le changement d’inconnu suivant :

z = y1−α

qui nous ramène à la résolution d’une EDO à variables séparables. Nous illustreronscette méthode par exemple plus explicite :

Exemples 5.1.5.

À On considère l’EDO de Bernoulli suivante :

y(x) − xy ′(x) = 2xy2(x). (5.8)

On pose : z = y1−2 = y−1 et l’EDO (5.8) devient :

z−1 + xz ′z−2 = 2xz−2 ⇒ z+ xz ′ = 2x (5.9)

On remarque bien que l’EDO (5.9) est une EDO à variables séparées

z+ xz ′ = 0⇒ z ′

z=

−1x⇒ z =

−K

xavec K ∈ R (5.10)

En faisant varier la constante K on obtien la solution génrale de l’EDO (5.9)

z = x−C

xavec C ∈ R⇒ y = z−1 =

x

x2 − Cavec C ∈ R. (5.11)

Á On considère l’EDO de Bernoulli suivante :

xy ′(x) + y(x) = y3(x). (5.12)

On pose : z = y1−3 = y−2 et l’EDO 5.12 devient :

z−x

2z ′ = 1 (5.13)

Da même l’EDO (5.13) est à variables séparées

z−x

2z ′ = 0⇒ z ′

z=

2x⇒ z = Kx2 avec K ∈ R (5.14)

En faisant varier la constante K on obtien la solution génrale de l’EDO (5.13)

z = 1+ Cx2 avec C ∈ R⇒ y =1√z=

1√1+ Cx2

avec C ∈ R. (5.15)

111


5.1.5 Équations différentielles ordinaires de Riccati

ce sont des EDO d’ordre un qui s’écrivent sous la forme :

y ′(x) = a(x)y2(x) + b(x)y(x) + g(x) (5.16)

Pour pouvoir résoudre ce type d’équation, on doit connaître une solution particulièreyp, et si c’est le cas on considère le changement d’inconnu :

z = y− yp

ce qui nous ramène à la résolution d’une EDO de Bernoulli avec α = 2.

Exemple 5.1.2. On considère l’EDO de Ricatti suivante :

x3y ′ + y2 + x2y+ 2x4 (5.17)

Sachant que yp(x) = −x2 est solution particulière de l’équation (5.17), on pose :

z(x) = y(x) + x2 ⇒ y(x) = z(x) − x2

en restituant cette expression dans l’équation (5.17) on obtient une EDO de Bernoulli :

x3z′ − x2z = −z2

qui admet comme solution :

z(x) =x2

Cx− 1avec C ∈ R

d’où y(x) = x2 +x2

Cx− 1avec C ∈ R

5.2 EDO’s linéaires à coefficients constants d’ordre deuxà coefficients constants

On restreindra notre étude dans cette section aux EDO linéaires d’ordre deux àcoefficients constants qui s’écrivent sous la forme :

a(x)y ′′(x) + b(x)y ′(x) + c(x)y(x) = g(x) (5.18)

oùa, b et c sont des constantes réelles avec a 6= 0 et g une fonction continue sur unintervalle I de R. On considère aussi l’EDO sans second membre associée définie par :

ay ′′(x) + by ′(x) + cy(x) = 0. (5.19)

La résolution de ce type d’2do se base sur les propriétés suivantes :

112


Propriétés 6.

¶ Une fonction y(x) = A exp(rx) avec A, r ∈ C est solution de l’EDO (5.19) si etseulement si r est une racine de la fonction polynôme définie par :

P(r) = ar2 + br+ c (5.20)

· Soit yp une solution particulière de l’EDO(5.18) et y0 la solution de l’EDO homo-gène associée (5.19), alors toute solution y de l’EDO (5.18) s’écrit sous la forme :

y = yp + y0.

¸ Si g(x) = g1(x) + g2(x), on considère les deux EDO à coefficients constants :

ay ′′ + by ′ + cy = g1(x) (5.21a)

ay ′′ + by ′ + cy = g2(x) (5.21b)

Pour tout y1 solution de l’EDO (5.21a) et y2 solution de l’EDO (5.21b),la fonctiony1 + y2 est solution de l’EDO (5.18)

Ainsi en ce basant sur ces propriétés on en déduit si on connais une solutionparticulière de L’EDO linéaire d’ordre deux avec second membre, la recherche de lasolution générale se limite à la recherche de la solution générale de l’EDO linéairehomogène :

En pratique (Recherche d’une solution de l’EDO (5.19)). Pour trouver la solutiongénérale on doit résoudre l’équation

P(r) ≡ ar2 + br+ c = 0.

et cela en calculant le discriminant :

∆ = b2 − 4ac.

1iercas ∆ > 0 : l’équation caractéristique admet deux racines réelles r1 et r2, et la solu-tion de l’EDO (5.19) s’écrit sous la forme :

y0(x) = A er1x+B er2x, A, B ∈ R.

2ièmecas ∆ = 0 : l’équation caractéristique admet une racines double r0, et la solutionde l’EDO (5.19) s’écrit sous la forme :

y0(x) = (Ax+ B) er0x, A, B ∈ R.

113


3ièmecas ∆ < 0 : l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguéesλ± iω, et la solution de l’EDO (5.19) s’écrit sous la forme :

y0(x) = eλx (A cos(ωx) + B sin(ωx)) , A, B ∈ R.

Exemples 5.2.1.

À Soit à résoudre l’équation y ′′ + y ′ − 6y = 0 alors :

l’équation caractéristique associée :r2 + r− 6 = 0

∆ = 1+ 4.6 = 25 > 0⇒ r1 = −3, r2 = 2

d’où y(x) = A e2x+B e−3x

Á Soit à résoudre l’équation 4y ′′ + 12y ′ + 9y = 0 alors :

l’équation caractéristique associée :4r2 + 12r+ 9 = 0

∆ = 0⇒ r0 =−32

d’où y(x) = (Ax+ B) e−32 x

Â Soit à résoudre l’équation y ′′ − 6y ′ + 13y = 0 alors :

l’équation caractéristique associée :4r2 + 12r+ 9 = 0

∆ = −4⇒ r = 3± 2i

d’où y(x) = (A cos(2x) + B sin(2x)) e3x, A, B ∈ R.

On passe maintenant à la recherche de solution particulière yp d’une EDO linéaired’ordre deux qui se fait en distinguant certaine formes du second membre g.

En pratique (Recherche de solution particulière).

Sig(x) = eαx Pn(x) où Pn est un polynôme de degrés n et α ∈ R n’est pas racinede l’équation caractéristique alors on pose yp(x) = eαxQn(x) où Qn est unpolynôme de degré n.

Exemple 5.2.1. Soit à résoudre l’EDO y ′′ + y ′ − 2y = x2. L’EDO sans secondmembre y ′′+y ′−2y = 0 admet une solution y0(x) = A ex+B e−2x . pour la solutionparticulière yp(x) = αx2 + βx+ γ ce qui donne

yp(x) =−12x2 −

12x−

34.

Si g(x) = eαx Pn(x) où Pn est un polynôme de degrés n et α ∈ R est une racine del’équation caractéristique alors on pose

yp(x) = xr eαxQn(x)

où Qn est un polynôme de degré n et r l’ordre de multiplicité de la racine α (dans le cas d’une EDO d’ordre 2, r = 1 ou r = 2).

114


Exemple 5.2.2. Soit à résoudre l’EDO y ′′ + y ′ − 2y = ex. L’EDO sans secondmembre y ′′+y ′−2y = 0 admet une solution y0(x) = A ex+B e−2x . pour la solutionparticulière yp(x) = Ax ex ce qui donne

yp(x) =13x ex .

Si g(x) = eαx (Pn(x) sin(βx) +Qm(x) sin(βx)) où Pn est un polynôme de degrés n et Qm

est un polynôme de degrés m, α± iβ n’est pas racine de l’équation caractéris-tique alors on pose

yp(x) = eαx (Rs(x) sin(βx) + Ts(x) cos(βx))

où Ts, Rs deux polynômes de degrés s = max(n,m).

Exemples 5.2.2.

À Soit à résoudre l’EDO y ′′ + 4y = e3x. L’EDO sans second membre y ′′ + 4 = 0admet une solution y0(x) = A cos(2x)+B sin(2x). pour la solution particulièreyp(x) = α e3x ce qui donne yp(x) = 1

13 e3x .

Á Soit à résoudre l’EDO y ′′+y ′−2y = sin x. L’EDO sans second membre y ′′+y ′−2y = 0 admet une solution y0(x) = A ex+B e−2x . pour la solution particulièreyp(x) = α sin(x) + β cos(x) ce qui donne yp(x) = −3

10 sin(x) − 110 cos(x)

Si g(x) = eαx (Pn(x) sin(mx) +Qm(x) cos(mx)) où Pn, Qm deux polynômes de degrés net m respectivement, si de plus α±mi est une racine de l’équation caractéris-tique alors on pose

yp(x) = x eαx (Ts(x) sin(mx) + Rs(x) cos(mx)) , s = max(n,m)

où Ts, Rs deux polynômes de degrés s.

Exemple 5.2.3. Soit à résoudre l’EDO y ′′ + 9y = sin 3x. L’EDO sans secondmembre y ′′ + 9y = 0 admet comme solution générale :

y0(x) = A cos(3x) + B sin(3x), A, B ∈ R.

pour la solution particulière on pose :

yp(x) = x (α sin(3x) + β cos(3x)) .

En restituant cette expression dans l’équation, on trouve :

yp(x) = x

(−16

cos(3x))

115


Remarque 11. Pour les cas où g a une expression plus complexe, et en vertu despropriétés des EDO linéaires ( voir les Propriétés Á ), on écrit la fonction g comme lasomme de fonctions simples comme c’est illustré dans l’exemple ci dessous :

Exemple 5.2.4. Soit l’EDO :y ′′ − 4y = x e2x+ cos(2x)

- La solution de l’EDO sans second membre y ′′ − 4y = 0 est y0 = A e2x+B e−2x

- Comme le second membre s’écrit comme somme de deux fonctions l’une sousla forme P eαx et l’autre cos(mx) alors on écrit yp = yp1 + yp2 somme de deuxsolutions particulières l’une yp1 solution de y ′′ − 4y = x e2x et l’autre yp2 solutionde y ′′ − 4y = cos(x)

- On pose yp1 = (ax+ b) e2x, et en remplaçant dans y ′′ − 4y = x ex on obtient :

yp1 =

(−13x−

29

)e2x .

On pose yp2 = a cos(2x) + b sin(2x), et en remplaçant dans y ′′ − 4y = cos(2x) onobtient :

yp2 =−18

cos(2x).

116

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