Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform

一 . 系统函数的概念：

以卷积特性为基础，可以建立 LTI 系统的拉氏变换分析方法，即

( ) ( ) ( )Y s X s H s

其中 是 的拉氏变换，称为系统函数或转移函数、传递函数。

( )H s ( )h t

9.7 用拉氏变换分析与表征 LTI 系统

( ) ( ) ( )Y j X j H j

这就是 LTI 系统的傅里叶分析。 即是系统的频率响应。

( )H j

这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。当以 为基底分解信号时， LTI 系统对输入信号的响应就是　

j te

如果 的 ROC 包括 轴，则 和 的 ROC 必定包括 轴，以 代入，即有

j

( )X s ( )H sj

s j

( )Y s

连同相应的 ROC 也能完全描述一个 LTI 系统。系统的许多重要特性在 及其 ROC 中一定有具体的体现。

( )H s

( )H s

( ) ( )X j H j ste

( ) ( )X s H s

； 而以 为基底分解信号时，系统的输出响应就是 。

二 . 用系统函数表征 LTI 系统：

1. 因果性：如果 时 ，则系统是因果的。0t ( ) 0h t

如果 时 ，则系统是反因果的。( ) 0h t 0t

因此，因果系统的 是右边信号，其 的 ROC 必是最右边极点的右边。由于反因果系统的 是左边信号， 的 ROC 必是最左边极点的左边。

( )H s( )h t

( )h t ( )H s

应该强调指出，由 ROC 的特征，反过来并不能判定系统是否因果。 ROC 是最右边极点的右边并不一定系统因果。

2. 稳定性：

如果系统稳定，则有 。因此 必存在。意味着 的 ROC 必然包括 轴。

( )h t dt

( )H s( )H jj

( )H s只有当 是有理函数时，逆命题才成立。

综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的　 ，其全部极点必须位于 S 平面的左半边。( )H s

例 1. 某系统的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。

2( ) ( ) ( )t th t e u t e u t

2

1 1 2 3( ) ,

1 2 3 2

sH s

s s s s

ROC :Re[ ] 1s

显然， ROC 是最右边极点的右边。

ROC 包括 轴j 系统也是稳定的。

的全部极点都在 S 平面的左半边。( )H s

例 2. 若有 ( ) ,1

seH s

s

Re[ ] 1s

的 ROC 是最右边极点的右边，但 是非有理函数， ，系统是非因果的。

( )H s ( )H s

( 1)( ) ( 1)th t e u t

由于 ROC 包括 轴，该系统仍是稳定的。j

而对系统 ( ) ,1

seH s

s

Re[ ] 1s

仍是非有理函数， ROC 是最右边极点的右边，但由于 ，系统是因果的。

( )H s

( 1)( ) ( 1)th t e u t

结 论：1.如果 LTI 系统的系统函数是有理函数，且全部极点位于 S 平面的左半平面，单位冲激响应为右边信号，则系统是因果、稳定的。

2. 如果 LTI 系统的系统函数是有理函数，且系统因果，则系统函数的 ROC 是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的 ROC 是最左边极点的左边。

3. 如果 LTI 系统是稳定的，则系统函数的 ROC

必然包括 轴。j

三 . 由 LCCDE 描述的 LTI 系统的系统函数：

对0 0

( ) ( )k kN N

k kk kk k

d y t d x ta b

dt dt

做拉氏变换，可得

0

0

( ) ( )( ) ,

( ) ( )

Nk

kkN

kk

k

b sY s N s

H sX s D sa s

是一个有理函数

的 ROC 需要由系统的相关特性来确定。( )H s

1 ）如果 LCCDE 具有一组全部为零的初始条件（初始松弛），则 的 ROC 必是最右边极点的右边。（因果的 LTI 系统）

( )H s

2 ）如果已知 LCCDE 描述的系统是因果的，则 的 ROC 必是最右边极点的右边。

( )H s

3 ）如果已知 LCCDE 描述的系统是稳定的，则

的 ROC 必包括 轴。

( )H s j

四 .系统特性与系统函数的关系 :

自学。请关注例 9.25 、 9.26 、 9.27

五 . Butterworth 滤波器 :

自学

9.8 系统函数的代数属性与方框图表示System Function Algebra and Block Diagram

Representations

一 .系统互联时的系统函数：

1. 级联：

1 2( ) ( ) ( )H s H s H s

ROC : 1 2R R包括

3. 反馈联结：

1( ) ( ) ( ) ( )X s X s G s Y s

1 1( ) ( ) ( )Y s X s H s

1[ ( ) ( ) ( )] ( )X s G s Y s H s

2. 并联： 1 2( ) ( ) ( )H s H s H s

ROC :1 2R R包括

1

1

( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( )

Y s H sH s

X s G s H s

ROC : 1 2R R包括

二 . LTI 系统的级联和并联型结构：

LTI 系统可以由一个 LCCDE 来描述。

0 0

( ) ( )k kN N

k kk kk k

d y t d x ta b

dt dt

对其进行拉氏变换有：0 0

( ) ( )N N

k kk k

k k

a s Y s b s X s

0

0

( ) ( )( )

( ) ( )

Nk

kkN

kk

k

b sY s N s

H sX s D sa s

是一个有理函数( )H s

1. 级联结构：将 的分子和分母多项式因式分解( )H s

22

1 01 1

22

1 01 1

( )( )

( )

P N P

k k kN k k

Q N QN

k k kk k

s s sb

H sa

s s s

这表明：一个 N 阶的 LTI 系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在 N 为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。

2

1

( ) ( )

N

Nk

kN

bH s H s

a

2

1 02

1 0

( ) k kk

k k

s sH s

s s

其中

如果 N 为奇数，则有一个一阶系统出现。

2. 并联结构： 将 展开为部分分式 (假定 的分子阶数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），则有：

( )H s ( )H s

1

( )N

N k

kN k

b AH s

a s

将共轭成对的复数极点所对应的两项合并 :2

1 02

1 11 0

( )Q N Q

N k k k

k kN k k k

b s AH s

a s s s

2

1

( )

N

Nk

kN

bH s

a

（ N 为偶数时）

N 为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系统的并联结构：

The Unilateral Laplace Transform

单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。

一 .定义 :0

( ) ( ) sts x t e dt

如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。

( )x t

9.9 单边拉普拉斯变换

单边拉氏变换也同样存在 ROC 。其 ROC 必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定位于最右边极点的右边。 正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其 ROC 。

1( ) ( )

2

j st

jx t s e ds

j

因果信号的单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。

做单边拉氏变换：

( 1)

0

( )

0

( )

1

a t st

a s a t a

s e e dt

e e dt es a

Re[ ]s a

例 1. ( 1)( ) ( 1)a tx t e u t

做双边拉氏变换：1

( ) sX s es a

Re[ ]s a

例 2.2 3

( )2

ss

s

1( ) 2

2s s

s

2

1( ) ( ) 2 ( ) ( )tx t u t t e u t

与 不同，是因为 在 的部分对 有作用，而对 没有任何作用所致。( )s

( )x t 0t ( )s( )X s

( )X s

由于其 ROC 为 2

二 .单边拉氏变换的性质 :

　单边拉氏变换的大部分性质与双边拉氏变换相同，但也有几个不同的性质。

1. 时域微分（ Differentiation in the Time Domain ）

( ) ( )x t s若 ( )( ) (0 )

dx ts s x

dt 则

00 0

( )( ) ( ) ( ) (0 )st st stdx t

e dt x t e s x t e dt s s xdt

2

22

( )( ) (0 ) (0 )

d x ts s sx x

dt

2. 时域积分（ Integration in the Time Domain ）01 1

( ) ( ) ( )tx d s x d

s s

0

0( ) ( ) 0( ) )

t tx d x tx d d

（

0

0 0 0( ) ( ) ( ( ) )

t tst stx d x d e dt x d e dt

0

00 0

1 1( ) ( ) ( )

stt ste

x d x d x t e dts s s

01 1( ) ( )x d s

s s

3. 时延性质（ Time Shifting ）

是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性与双边变换时一致。

( )x t

不是因果信号时，( )x t

0

0

( )0 00

( ) ( ) ( ) s tst

tx t t x t t e dt x e d

( ) ( ) ( )x t u t s

00 0( ) ( ) ( ) stx t t u t t s e 则 0( 0)t

若

00

00( ) ( )

tst sts e x t t e dt

0 0

0

0 ( ) ( )

0( ) ( )s t s t

tx e d x e d

三 .利用单边拉氏变换分析增量线性系统 :

单边拉氏变换特别适合于求解由 LCCDE 描述的增量线性系统。

例 .某 LTI 系统由微分方程描述2

2

( ) ( )3 2 ( ) ( ),

d y t dy ty t x t

dt dt ( ) 2 ( ),x t u t

(0 ) 3,y (0 ) 5y 求响应 ( )y t

解：对方程两边做单边拉氏变换：2 ( ) (0 ) (0 )

23[ ( ) (0 )] 2 ( )

s s sy y

s s y ss

代入 (0 ) 3,y (0 ) 5y 可得 :

2 2 2

3( 3) 5 2( )

3 2 3 2 ( 3 2)

ss

s s s s s s s

零输入响应 零状态响应

2

2 2

3 4 2 3 4 2( )

3 2 ( 3 2) ( 1)( 2)

s s ss

s s s s s s s s

1 1 3

1 2s s s

2( ) (1 3 ) ( )t ty t e e u t

其中，第一项为强迫响应，其它为自然响应。

9.10 小结 Summary

ROC 是双边拉氏变换的重要概念。离开了收敛域 ROC ，信号与双边拉氏变换的表达式将不再有一一对应的关系。

拉氏变换是傅氏变换的推广，在 LTI 系统分析中特别有用。它可以将微分方程变为代数方程，这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征系统、分析系统特性等都具有重要意义。

作为拉氏变换的几何表示，零极点图对分析系统的频率特性、零极点分布与系统特性的关系具有重要意义。从本质上讲，系统的特性完全是由系统函数的零极点分布决定的。

作为双边拉氏变换的特例，单边拉氏变换特别适用于分析增量线性系统。

拉氏变换的许多性质对于在变换域分析 LTI

系统，具有重要作用。